Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como
, siendo el conjunto de los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede
representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica
cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n
soluciones complejas. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1
Definición
Definiremos cada complejo
z
como un
par ordenado
de números reales (
a
,
b
) ó (Re(
z
), Im (
z
)), en
el que se definen las siguientes operaciones:
Suma
Producto por escalar
Multiplicación
Suma y diferencia de números complejos
La sum a y diferencia de núm eros com plejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
(5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
M ultiplicación de números complejos
El producto de los núm eros com plejos se realiza aplicando la propiedad distributiv a del producto respecto de la sum a y teniendo en cuenta que i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =
= 10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11
División de números complejos
Valor absoluto de un número complejo El valor absoluto,
Módulo O Magnitud De un número complejo z viene dado por la siguiente expresión : Si
pensamos en z
como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de
un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano .Si el complejo
está escrito en forma exponencial
z
=
r e
iφ
, entonces |
z
| =
r
. Se puedeexpresar en forma polar como
z
=
r (cosφ + isenφ)
, donde cosφ + isenφ =
e
iφ
es la conocidafórmula de Euler.Potencias de iPotencias de la Unidad Imaginaria:Para encontrar el
resultado de cualquier potencia de la unidad imaginar
ia “i” cogemos su
Números complejos en forma polar
Un número complejo en forma polar consta de dos com ponentes: módulo y argumento.
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del v ector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
Argumento de un número complejo
.
Expresión de un número complejo en forma polar.
z = rα
|z| = r r es el módulo.
arg(z) = es el argumento.
Ejemplos
Pasar a la forma polar:
z = 21 2 0 º
z = 22 4 0 º
z = 23 0 0 º
z = 2
Operaciones de complejos en forma polar
M ultiplicación
La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su m ódulo es el producto de los m ódulos.
Su argum ento es la sum a de los argum entos.
64 5 ° · 31 5 ° = 186 0 °
Producto por un complejo de módulo 1
Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β
alrededor del origen.
División
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su m ódulo es el cociente de los m ódulos.
Su argum ento es la diferencia de los argum entos.
64 5 ° : 31 5 ° = 23 0 °
Potencias
La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la potencia n -ésima del módulo.
Su argumento es n veces el argumento dado.
(23 0 °) 4
= 161 2 0 °
Fórmula de M oivre
La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la en raíz enésima del módulo.
Su argumento es:
Forma exponencial
Llamamos
raíz n-ésima
de un número dado
a
al número
b
que elevado a
n
nos da
a
.
Un
radical
es equivalente a una
potencia de exponente fraccionario
en la que el
denominador
de
Potencia de complejos en forma polar
La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal
que:
Su módulo es la potencia n-ésima del módulo.
Su argumento es n veces el argumento dado.
Fórmula de Moivre
Expresa en función de cos α y sen α:
cos 3α y sen 3α
Binomio de Newton
Fórmula de Moivre
Bibliografía
Historia De Los Números Complejos
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
Operaciones Fundamentales con números complejos
http://www.vitutor.com/di/c/a_5.html
números complejos en Forma polar
http://www.ditutor.com/numeros_complejos/complejos_polar.html
Forma Exponencial
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasA/4quincena2/4quincena2_co
ntenidos_2a.htm
Potencias números complejos
Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicaciones.
Departamento de Sistemas y Computación
Nombre: Jhonatan Omar Gutiérrez Solorio
no.Control:11210597
Materia Algebra Lineal
