ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

Texto completo

(1)

INSTITUTO TÉCNICO MARÍA INMACULADA

VILLA DEL ROSARIO PROFESORES

GUIA DE MATEMÁTICAS 9

FUNCIONES 2013

Eusebio Molina y Carlos Iván

Velandia ESTANDARES.

 Utiliza los números reales en sus diferentes representaciones en diversos contextos  Simplifica cálculos usando relaciones inversas.

 Identificar la radicación y potenciación para representar situaciones matemáticas. INDICADORES DE DESEMPEÑO

 Utiliza los argumentos de la teoría de números para justificar las relaciones que involucran a todos los números reales.

 Resuelve ejercicios y problemas de aplicación sobre la Potenciación y radicación  Verifica la validez del teorema de semejanza de triángulo.

FUNCIONES LINEALES

Observe y analice el video

http://www.youtube.com/watch?v=6A2Lf5cbS-s

ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

Una ecuación que se puede escribir de la forma Ax + By = C, donde A,B y C son números reales, con A y B no simultáneamente cero, es una ecuación lineal en dos variables.

Todo par ordenado de números reales que convierte una ecuación lineal en dos variables en una proposición verdadera es una solución de la ecuación

Ejemplos:

1. Determinar si el par ordenado (2,1) es una solución de la ecuación lineal 5x – 2y = 8 Solución: Se remplaza x = 2 y y = 1 en la ecuación 5x – 2y = 8

5.2 – 2.1 = 8 10 - 2 = 8

8 = 8 Luego: (2,1) es una solución de la ecuación 5x – 2y = 8

2. Encontrar 3 soluciones de 4x + 3y = 12

Solución: Se hace una tabla de valores así: Cuando x = 0, entonces 4. 0 + 3y = 12 0 + 3y = 12 y = 4

Cuando y = 0, entonces 4x +3.0 = 12

4x +0 = 12

x = 3

Cuando x = -3, entonces 4.(-3) + 3y = 12 -12 + 3y = 12 3y = 24 y = 8 Luego las tres soluciones son: (0, 4), (3,0) y (-3, 8)

ACTIVIDAD 1

A. Determinar si cada par ordenado es una solución de la ecuación 2x + y = 8 1. (0 , 8 )

2. (4, 4 )

3. (-5, 2 ) 4. (6, -4)

5. (4, 0 ) 6. (-6,0 )

B. Determinar si el par ordenado es una solución de la ecuación dada 1. 2x – 3y = 6; (0, 4 )

2. x – 5y = 2 ; (7,1)

3. x – 2y = 4; (4, 2) 4. 2x + 3y = 12; (

,

2

)

2

3

C. Encontrar 3 soluciones de cada ecuación: 1. x + y = 4

2. x + y = -3

4. 3x – y = 7 5. y = 2/3

(2)

GRÁFICAS DE LAS ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

Observe y Analice el video: http://www.youtube.com/watch?v=Sgp5yetV7jA

 La gráfica de una ecuación en dos variables es la representación en el plano cartesiano del conjunto de puntos que corresponden a los pares ordenados que son soluciones de la ecuación

Ejemplo:

Trazar la grafica de 2x + y = 3 en el plano cartesiano. Solución:

En primer lugar se resuelve para y. Después se hace una tabla de valores

2x + y = 3

y = 3 – 2x x y Si x = 0 , y = 3

Si y = 0 , x = 3/2 0 3

Si x = 1 , y = 1 3/2 0

Si x = -1/2, y = 4 1 1

Si x = 2 , y = - 1 -1/2 4

2 -1

 En general Si A; B; C son números reales, con A y B no simultáneamente cero, entonces la gráfica de cualquier ecuación de la forma Ax + By = C es una recta. OTROS EJEMPLOS  Trazar la gráfica de y = - 2 Solución: L a ecuación y = -2 se puede escribir como 0 x + y = - 2. Se usa e3sta ecuación para hacer una tabla de valores. x y 0 - 2

1 - 2

-2 - 2

PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de una recta es un número que indica la inclinación de la recta.

Para encontrar la pendiente de una recta(no vertical) en el plano, se escogen dos puntos en la recta y se encuentra el cociente: diferencia de las coordenadas y dividida por la diferencia de las coordenadas x

Si l es una recta no vertical que contiene los puntos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2 , y2 ), entonces la pendiente de l es igual a:

1 2

1 2

x

x

y

y

x

s

coordenada

de

diferencia

y

s

coordenada

de

diferencia

m

Ejemplos:

1. Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (4, -1) y (4, 2)

Solución:

0

3

4

4

)

1

(

2

1 2

1

2

x

x

y

y

m

, la pendiente no está

definida

2. Trazar la gráfica de – x + 5y = 7 y encontrar su pendiente Solución:

Se hace una tabla de valores y se traza la gráfica

(3)

 Otro método eficaz para trazar una línea recta, es el de intersectos:

Ejemplo: Trazar en el plano cartesiano 2x + 6y = 12 Si y = 0, entonces 2x + 6.0 = 12

2x = 12 x = 6

El punto de corte con el eje x es (6,0) Si x = 0 , entonces 2.0 + 6y = 12 6y = 12 y = 2

El punto de corte con el eje y es (0,2)

Observe y analice el video: http://www.youtube.com/watch?v=YNvoFi9ndfs ACTIVIDAD

1. Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A. (8, 6) , (-4 ,-1)

B. (5, 3) , (-2, -2)

C. (3, -7) , (-8, 0) D. (-5, 7) , ( -2, 0)

E. (6, 5) , ( 6, 1 ) F. (0, 0) , (-6, -2) 2. Hallar la pendiente, los x, y –intersectos y trazar la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones:

A. 3x + 5y = 15 B. -5x – 2y = 15

C. 5x – y = 7 D. x + 4y = 9

E. x = 2y + 5

3. Trazar la gráfica de la recta que:

A. Pasa por (3, 1) y tiene como pendiente -2 1

B. Pasa por (4, 2) y tiene como pendiente - 3 1

C. Pasa por (-2, 3) y tiene como pendiente 3 2

FORMA EXPLICITA DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA

La forma explicita de la ecuación de una recta es Y = mx + b. La pendiente es m y el y- intersecto es b. Ejemplo:

1. La pendiente de una recta es 1/8 y el y- interfecto es -4. Escribir la ecuación de la recta en forma explicita. Solución: . La ecuación y = mx + b queda

Y = ( 4) 8

1

 

x

Y = 4 8 1

x

2. Escribir la ecuación -3x + 5y = 15 en forma explicita Sol. Se despeja y: 5y = 3x + 15

Y = 5

15 3x

Y =

3

5

3

x

ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE UNA RECTA

1. ECUACIÓN DE UNA RECTA DADA LA PENDIENTE Y UN PUNTO POR DONDE PASA

Ejemplo: Escribir la ecuación en la forma explicita para la recta que tiene pendiente m=3 y pasa por (1,4) Sol.

(4)

Como la recta pasa por (1,4), el par ordenado (1,4) satisface la ecuación y = 3x + b , es decir 4 = 3.1 + b

4 – 3 = b b = 1 Luego: una ecuación una ecuación de la recta es y = 3x + 1

2. ECUACIÓN DE UAN RECTA DADOS DOS PUNTOS POR DONDE PASA

Ejemplo: Escribir una ecuación en la forma explicita para la recta que pasa por los puntos (2,3) y (4, 7) Sol. Se halla la pendiente m de la recta:

2 2 4 2 4

3 7

    

m

Después se halla la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 2 y pasa, por ejemplo, por el punto (2,3) Y = mx + b

Y = 2x + b 3=2.(3) + b

b = -1 Luego la ecuación de la recta es: y = 2x -1

ECUACIÓN DE LA RECTA PUNTO – PENDIENTE

Consideremos una recta de pendiente m que pasa por el punto A de coordenadas (x1 , y1 ). Otro punto cualquiera de coordenadas (x, y) pertenece a la recta si:

1 1

x

x

y

y

m

, de donde

y

y

1

m

(

x

x

1

)

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1 , 3 ) y tiene pendiente 5. Sol.

Sabemos que

y

y

1

m

(

x

x

1

)

, en este caso

x

1

1

,

y

1

3

y

m

5

,

luego: Y - 3 =

5

x

 

1

Y - 3 = 5x + 5 Y = 5x + 8

Observe y analice el video: http://www.youtube.com/watch?v=cOJEL2LC_xU Ejercicios

Escribir una ecuación en la forma explícita para la recta que tiene pendiente m y que pasa por el punto dado 1. m = 2 ; (3, 1)

2. m=-1 : (-4, 2) 3. m= -3 ; (1, -4)

4. m = ;( 2, 3) 5

3

 

5. m = 0 ; (4, 2)

6. ; (0,1) 4

3

m

Escribir una ecuación en forma explicita para la recta que pasa por los puntos dados: 7. (1,1) y (3,5)

8. (3,5) y (7,2)

9. (-2,1) y (3,2) 10.(1,2) y (-4,-2)

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

 RECTAS PARALELAS: Dos rectas no verticales son paralelas si tienen la misma pendiente. Ejemplo: Determinar si las rectas de ecuaciones 2x – 3y = 3 y

3 8 3 2

x

y son paralelas

Sol. Se hallan las pendientes de cada recta: 2x – 3y = 3

2x – 3 = 3y y x

3 3 2

3

3

2

x

y

1 3 2

x

y

(5)

Y en la ecuación

3 8 3 2

x

y

3 2 2  m

Como

m

1

m

2

las rectas son paralelas

Observe y analice el video:

http://www.youtube.com/watch?v=RFBMG7IWiMM

RECTAS PERPENDICULARES

 Dos rectas no verticales son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1

Ejemplo

Determinar si las rectas de ecuaciones 4x + 7y = 10 y 7x – 4y = 4 son perpendiculares. Trazar sus gráficas.

Sol. Se escribe cada ecuación en la forma explicita:

4x + 7y = 10 de donde

7 4 ,

7 10 7

4

1 

 

x m

y

7x – 4y = 4 de donde

4 7 ,

1 4 7

2 

x m

y

Como

)

1

4

7

).(

7

4

(

.

2

1

m

m

Las rectas son perpendiculares

Observe y analice el video:

http://www.youtube.com/watch?v=HCcZ5AKNXl4

EJERCICIOS PROPUESTOS:

Escribir una ecuación para la recta que pasa por el punto dado y es paralela a la recta dada

1.

(2,4);

2x – 5y = 9

2.

(-2, 5);

2x – 6y = 5

Escribir una ecuación para la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular a la recta dada:

3.

(3,7);

3x – y = 6

4.

(1,1);

x + 2y =-4

5.

(-1,-1)

-x + 5y = 11

Figure

Actualización...