Movimientos en una y dos dimensiones
1. El conductor de un automóvil que marcha a 90 km/h por una carretera secundaria, ve de repente que una vaca cruza la carretera. Si el tiempo que transcurre, desde que percibe el animal hasta que comienza a frenar, es de 0,8 s, y la aceleración de frenado es –7 m/s2
, ¿cuál es la distancia mínima entre el coche y la vaca para que no se produzca el choque?
2. Un policía motorizado está detenido junto a una señal que limita la velocidad a 50 km/h. En un momento dado, ve pasar un coche con velocidad constante que incumple dicho límite. En ese mismo instante y con el fin de multarlo, sale en su persecución con un aceleración constante de 3 m/s2. Sabiendo que tarda 10 s en alcanzarlo, ¿qué distancia recorre hasta alcanzarlo? ¿Es justa la sanción?
3. Un zorro observa a un conejo a 20 m de distancia y sale en su persecución con una velocidad constante de 45 km/h. El conejo sale huyendo con una velocidad constante de 40 km/h. Sabiendo que el conejo se encuentra a 140 m de su madriguera, ¿consigue ponerse a salvo antes de que el zorro le alcance?
4. La siguiente gráfica representa el movimiento de un motorista desde que sale de la puerta de su casa hasta que llega a un semáforo.
a) Interpreta la gráfica, indicando el tipo de movimiento efectuado en cada tramo.
b) Halla la aceleración en cada tramo. c) ¿Qué distancia total recorre el motorista?
5. Un globo aerostático asciende con una velocidad de 10 m/s. Mientras asciende y cuando se encuentra a 150 m del suelo se suelta uno de los sacos de lastre. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad con que lo hace.
6. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 6 m/s. Un segundo después, se lanza otra pelota con una velocidad de 4 m/s en la misma dirección y sentido. Calcula a qué distancia del suelo se encuentran y cuánto tiempo tardan en encontrarse.
7. Se golpea un balón situado en el suelo, proporcionándole una velocidad inicial de 15 m/s con un ángulo de 30º con la horizontal. Contesta:
a) ¿Cuál es el vector velocidad inicial?
b) ¿Cuál es el vector de posición un segundo después del lanzamiento? c) ¿Y el vector velocidad para un segundo después del lanzamiento? d) ¿Cuánto tiempo tarda el balón en volver al suelo?
e) ¿A qué distancia del punto de lanzamiento cae el balón? f) ¿Cuál es la velocidad con la que llega al suelo?
g) ¿Qué altura máxima alcanza el balón en su vuelo? h) ¿Cuál es la ecuación de la trayectoria?
8. Se lanza horizontalmente una pelota desde lo alto de un edificio de 50 m con una velocidad de 10 m/s. a) ¿Cuál es el vector de posición en función del tiempo? ¿y el vector de posición a los 2 s?
b) ¿Cuál es el vector velocidad en función del tiempo? ¿y el vector velocidad a los 2 s? c) ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo de la calle?
9. En los Juegos Olímpicos de Pekin 2008, la checa Barbora Spotakova consiguió la medalla de oro con un lanzamiento de 71,42 m. Si el ángulo de lanzamiento fue de 40° y la altura a la que soltó la jabalina fue de 2,0 m. Calcula:
a) La velocidad de lanzamiento. b) El tiempo de vuelo de la jabalina.
10. Nos encontramos en el borde de un acantilado de 30 m de altura. Enfrente, a 40 metros, se encuentra una pequeña isla. Calcula:
a) La velocidad con la que debemos lanzar horizontalmente una piedra para que llegue a la isla. b) El tiempo de vuelo de la piedra.
c) El tiempo que tardaría en llegar al suelo si, en vez de lanzar la piedra, la soltamos.
11. Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 30° con la horizontal y al llegar a su extremo queda en libertad con una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es de 60 m y el ancho de la calle a la que cae el tejado es de 30 m. Calcular:
a) Las ecuaciones del movimiento de la pelota al quedar en libertad y ecuación de la trayectoria. b) ¿Llegará directamente al suelo o chocará antes con la pared del edificio de enfrente?
c) El tiempo que tarda en llegar al suelo y velocidad en ese momento, si es que ocurre.
d) La posición en que se encuentra cuando su velocidad forma un ángulo de 45° con la horizontal.
12. El tenista del esquema golpea la pelota paralelamente a las líneas laterales del campo. Si la velocidad que le proporciona a la pelota es de 25 m/s y golpea “hacia abajo” formando 5º con la horizontal, averigua si consigue que entre en el campo contrario la pelota.
Dato: La longitud total del campo es de 23,77 m
13. Un piloto de avión desea hacer llegar un paquete al punto A. Para ello debe calcular cuándo soltarlo. ¿Qué ángulo con la horizontal deberá formar la visual al punto A en el instante de lanzamiento?
14. La niña de la figura lanza una pelota de manera que golpea la pared del edificio a la máxima altura que alcanzaría su trayectoria. Si la pelota tarda 1,48 segundos en ir de A a B, determina:
a) la velocidad
v
A a la cual fue arrojada. b) el ángulo de tiro .c) la altura h.
2,6 m
5,0 m
Ejercicios de repaso
15. El vector de posición de una partícula en cualquier instante viene dado por:
r
(t)
4t·
i
2t
2·
j
(SI) Deduce la ecuación de la trayectoria.16. El vector de posición de una partícula viene dado por:
r
(t)
2t·
i
(10
-
t)·
j
(SI)Halla la posición de la partícula en los instantes 0, 1, 2, 3, 4, y 5 segundos. Dibuja los vectores de posición y la trayectoria. Comprueba que la ecuación analítica de la trayectoria es la de la recta que une los extremos de los vectores de posición.
17. La ecuación vectorial del movimiento de una partícula viene dada por:
r
(
t
)
4·
i
t·
j
(SI) a) Dibuja los vectores de posición para los tiempos 1, 3, y 5 segundosb) Halla la ecuación de la trayectoria y represéntala.
c) Calcula y dibuja el desplazamiento para el intervalo entre t = 1 s y t = 3 s. d) Halla el módulo de dicho desplazamiento.
e) Efectúa los apartados c y d para el intervalo entre t = 3 s y t = 5 s
18. Un objeto se mueve siguiendo una trayectoria definida por x = t2 e y = t + 2 en el S.I.. Calcula: a) El vector de posición en cualquier instante.
b) El desplazamiento en el intervalo de tiempo t = 1 y t = 3 segundos. c) La velocidad media en ese intervalo de tiempo.
d) La velocidad instantánea en función del tiempo.
19. La ecuación de la posición de un móvil viene dada por el vector:
a) Expresa el vector de posición inicial y la ecuación de la trayectoria.
b) ¿Cuál es el vector desplazamiento del móvil para el intervalo de tiempo desde t = 0 hasta t = 2 s? c) Calcula la velocidad media en ese mismo intervalo.
d) Calcula la velocidad instantánea en función del tiempo y qué velocidad lleva a los 2 s. e) Calcula la aceleración que lleva a los 3 s.
20. La ecuación de la posición de un móvil viene dada por el vector:
a) Expresa el vector de posición inicial.
b) ¿Cuál es el vector desplazamiento del móvil para el intervalo de tiempo desde t = 0 hasta t = 3 s? c) Calcula la velocidad media en ese mismo intervalo.
d) Calcula la velocidad instantánea en función del tiempo y qué velocidad lleva a los 2 s. e) Calcula la aceleración que lleva a los 3 s.
Movimientos en una dimensión
21. El diagrama x-t de un movimiento rectilíneo es el siguiente: a) ¿Qué representa el valor x = 5 m?
b) ¿Qué significa el tramo horizontal?
c) ¿Qué velocidad tiene la partícula en los intervalos de t = 0 a t = 2 s y de t = 2 s a t = 4 s?
d) ¿Qué distancia recorre la partícula en 4 s?
22. Un móvil está situado a 3 m a la derecha del origen de coordenadas y se mueve con velocidad constante de 5 m/s hacia él. Determina:
a) La posición del objeto transcurridos 10 s desde que se inició el movimiento. b) La distancia recorrida en ese tiempo.
c) Comprueba que dicha distancia coincide con el módulo del vector desplazamiento.
.)
I
.
S
del
unidades
en
(
j
t
2
i
)
5
t
t
3
(
r
2
40
4,9t
j
(en
unidades
del
S.I.)
i
5t
r
2
23. En la gráfica se representa el movimiento de un vehículo desde que entra en una calle hasta que se detiene en un semáforo que se encuentra al final de la misma. a) Describe el movimiento en las distintas etapas y
calcula la aceleración en cada una.
b) Calcula el espacio total recorrido por el vehículo en la calle.
c) Representa la gráfica x-t
24. Dos móviles se dirigen uno al encuentro del otro con velocidad constante de 2 y 4 m/s respectivamente. Si el encuentro tiene lugar a 16 m del punto de partida del móvil de menor velocidad, determina:
a) La distancia que separaba inicialmente los dos móviles. b) El tiempo invertido hasta el instante del encuentro.
25. Dos automóviles circulan por un tramo recto de autopista con las velocidades de 36 y 108 km/h.
a) Si ambos viajan en el mismo sentido y están separados 1 km, determina el instante y la posición en el que el coche más rápido alcanza al otro.
b) Si se mueven en sentido opuesto determina el instante y la posición en que se cruzan.
26. Un automóvil parte de una gasolinera donde estaba en posición de reposo. Después de recorrer 200 m alcanza una velocidad de 108 km/h. Calcula:
a) El valor de la aceleración
b) El tiempo que ha tardado en alcanzar la velocidad indicada.
27. Un camión y un automóvil inician el movimiento en el mismo instante, en la misma dirección y sentido desde dos semáforos contiguos de la misma calle. El camión tiene una aceleración constante de 1,2 m/s2, mientras que el automóvil acelera con 2,4 m/s2. Cuando el camión ha recorrido 50 m, es alcanzado por el automóvil.
a) ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar el camión? b) ¿Qué distancia separa los dos semáforos?
c) ¿Qué velocidad posee cada vehículo cuando están emparejados?
28. Se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad de 20 m/s. Calcula: a) La altura máxima alcanzada.
b) La velocidad cuando llega al suelo.
29. Desde una cierta altura se deja caer libremente un objeto. Cuando se encuentra a 5 m del suelo ha alcanzado una velocidad de 25 m/s.
a) ¿Desde qué altura se dejó caer?
b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la calle?
30. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un puente situado a 35 m del agua. Si la piedra golpea el agua 4 s después de soltarla. Calcula:
a) La velocidad con que se lanzó. b) La velocidad con que golpeó el agua.
31. Se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Al mismo tiempo, desde una altura de 10 m se deja caer otro objeto. Calcula:
a) El instante y la posición donde se encuentran. b) Las velocidades de ambos objetos en ese instante.
33. Dos jóvenes se mueven en la misma dirección, dirigiéndose uno al encuentro del otro. Inician el movimiento al mismo tiempo desde las porterías de un campo del fútbol, con velocidades respectivas de v1 = 3,5 m/s y v2 = 5,0 m/s. Sabiendo que el encuentro tiene lugar a 28 m de la posición de partida del primero, determina:
a) El tiempo transcurrido hasta que se encuentran. b) La longitud del campo de fútbol.
34. Sabiendo que la luz lleva una velocidad de 300 000 km/s y el sonido una velocidad de 340 m/s, calcular a que distancia se encuentra una tormenta si desde que se ve el relámpago hasta que se oye el trueno pasan 6 s.
35. Un móvil marcha con MRU sobre una recta con una velocidad de 8 m/s. Dos segundos después y desde una posición retrasada 20 m respecto al punto de partida del primer móvil, sale en su persecución otro móvil con una velocidad de 13 m/s. Determina la posición y el instante en que lo alcanza y represéntalo gráficamente.
36. Un conductor que viaja de noche en un automóvil a 100 km/h ve de repente luces de señalización de una valla que se encuentra a 40 m en medio de la calzada. Si tarda 0,75 s en pisar el pedal de los frenos y la aceleración máxima del automóvil es de 10 m/s2:
a) ¿Chocará con la valla?
b) ¿Cuál será la velocidad máxima a la que puede viajar el automóvil sin que colisione con la valla?
37. Un tren del metro sale de una estación A; acelera a razón de 0,5 m/s2 durante 10 s y luego con 2 m/s2 hasta alcanzar la velocidad de 54 km/h. El tren mantiene la misma velocidad hasta que se acerca a la estación B. En ese momento frena uniformemente hasta pararse en 10 s. El tiempo total desde A hasta B ha sido 60 s. ¿Qué distancia hay entre las estaciones A y B?
38. Desde la terraza de un edificio de 20 m de altura dejas caer una pelota. a) ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar al suelo?
b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
39. Desde una altura de 80 m se deja caer un objeto. Dos segundos más tarde se lanza otro desde el suelo hacia arriba en la misma vertical con una velocidad de 20 m/s. ¿A qué altura se cruzan?
40. Se dejan caer dos pelotas desde diferentes alturas. Una se deja caer 1,0 s después que la otra, pero ambas llegan al suelo a la vez, 4,0 s después de dejar caer la primera. ¿Cuál es la diferencia de altura desde la que se dejaron caer?
41. Una persona desea averiguar la profundidad de un pozo y para ello deja caer una piedra escuchando el sonido de chocar en el fondo al cabo de 6 s. ¿Qué profundidad tiene el pozo? vsonido= 340 m/s
Movimientos en dos dimensiones
42. Desde un avión que vuela a 500 m de altura y cuya velocidad horizontal es de 90 m/s se desea lanzar una bolsa de víveres sobre unos náufragos. Sin tener en cuenta el rozamiento ni los efectos del viento, determina:
a) La velocidad del objeto a los 5 s de haber sido lanzado. b) La posición del objeto en ese instante.
c) La distancia horizontal desde la que ha de soltarse la bolsa. d) El módulo de la velocidad de la bolsa cuando esta llega al suelo.
44. Sobre una mesa de 1 m de altura rueda, con velocidad constante de 2 m/s una bola, hasta que cae por uno de sus extremos:
a) ¿A qué distancia de la base de la mesa golpeará el suelo?
b) Calcular el módulo de la velocidad en el momento de chocar con el suelo c) Escribir la ecuación de la trayectoria
45. El 18 de mayo de 1998, el “hombre bala” David Smith estableció el récord mundial de lanzamiento en 56,54 m. En otro de sus intentos, el cañón lo lanzó con una velocidad de 77,4 km/h y un ángulo de 45º con el suelo horizontal.
a) Averigua si consiguió superar el récord anterior.
b) Si realiza esta prueba en un recinto cerrado, ¿qué altura mínima debe tener el techo?
46. Un futbolista lanza un balón con un ángulo de 37º respecto a la horizontal y a una velocidad inicial de 14,4 m/s. Un segundo jugador situado a 30 m de él, en dirección a la bola, echa a correr para hacerse con el balón en el mismo instante que aquel lo lanza. ¿Qué velocidad constante debe llevar para alcanzar el balón justo en el instante en que toca el suelo?
47. Un bombero desea apagar el fuego de una casa. Para ello deberá introducir agua por una ventana situada a 10 m de altura. Si sujeta la manguera a 1 m del suelo apuntando bajo un ángulo de 60º hacia la fachada, que dista 15 m, ¿con qué velocidad debe salir el agua? ¿Cuánto tiempo tarda el agua en llegar a la ventana?
48. Desde la cima de un acantilado se lanza horizontalmente un proyectil y se observa que tarda 2 segundos en tocar el agua en un punto que dista 60 m de la base del acantilado. Calcula:
a) La altura que tiene el acantilado
b) ¿Con qué velocidad se lanzó el proyectil? c) ¿Con qué velocidad llegará al agua?
49. El portero de balonmano de un equipo inicia un contraataque lanzando la pelota con una velocidad de 20 m/s y una inclinación de 60º sobre un compañero 25 m más adelante. Si moviéndose con velocidad constante, este alcanza la pelota a la misma altura a la que ha sido lanzada, determina el valor de la velocidad del compañero.
50. Se lanza verticalmente hacia arriba desde un plano horizontal una pelota con una velocidad inicial de 9,8 m/s. El viento produce sobre la pelota una aceleración horizontal de 2 m/s2 constante. Calcular:
a) La distancia del punto de lanzamiento al punto de impacto sobre la horizontal. b) Las coordenadas del punto más alto de la trayectoria.
c) La velocidad de la pelota en ese punto.
d) La velocidad de la pelota en el punto de impacto.
