Revisado por Felipe Aguilar. Marzo del 2007.
Ejercicio 3.1.- Una partícula P se encuentra en el instante t0=0 s en el
[ ]
punto A
(
−2,1,3 m ; de allí se mueve)
[ ]
pasando en el instante t=20 s
[ ]
por elpunto B=
(
3,0,1 m . Determine:)
[ ]
a) El vector desplazamiento entre t0 y t .
b) El vector velocidad media entre t0 y t
c) La rapidez media entre t0 y t .
Solución:
a)
(
5iˆ− −ˆj 2k mˆ)
[ ]
b)
(
0,25iˆ 0,05 jˆ 0,1kˆ)
m s⎡ ⎤
− − ⎢ ⎥
⎣ ⎦
c) No se puede determinar, no sabemos su
trayectoria.
Ejercicio 3.2.- Un automovilista se dirige desde Santiago al sur en línea recta con
una rapidez constante de 90⎡⎢ ⎤⎥
⎣ ⎦
Km
h , luego
de viajar durante 1,5 h , se desvía hacia el
[ ]
oeste recorriendo 60 Km a razón de
[ ]
120⎡⎢ ⎤⎥
⎣ ⎦
Km
h . Determine:
a) El desplazamiento total.
b) La distancia a la que quedó de Santiago.
c) La rapidez media.
d) La velocidad media.
Solución:
(
ˆ ˆ)
[ ]
a) dr= −60i−135 j Km
[ ]
b) 147,7 KmKm c) 97,5
h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
(
ˆ ˆ)
Kmd) 30i 67,5 j h
⎡ ⎤
− − ⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ejercicio 3.3.- Un ciclista recorre una pista circunferencial cuyo radio mide
[ ]
π
300 m
con una rapidez de ⎡ ⎤⎢ ⎥
⎣ ⎦
m 15
s
⎛ ⎡ ⎤⎞ ⎜ ⎢⎣ ⎥⎦⎟
⎝ ⎠
Km 54
h . Si
en el instante inicial t0 =0 s está pasando
[ ]
por el punto = ⎜⎛ ⎞⎟
[ ]
π
⎝ ⎠
300
A ,0 m recorriéndola
en sentido antihorario, determine:
a) El tiempo T en que vuelve a pasar por A.
c) Veloc. media y su módulo entre t0 y T 4.
d) Veloc. media y su módulo entre t0 y T 8 .
e) Veloc. media y su módulo entre t0 y T 20.
Solución:
[ ]
a) 40 sb) 9,55 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
c) 13,50 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
d) 14,62 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
e) 14,93 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio 3.4.- La ecuación de itinerario de una partícula está dada por:
(
)
( )
{
2 ˆ ˆ}
[ ]
r(t)= t +5 i- 4t j mr
en que t está en
segundos.
Determinar:
a) La posición inicial en t0 =0 s
[ ]
.b) La posición en t=10 s
[ ]
.c) La velocidad media entre t0=0 s
[ ]
y[ ]
t=10 s .
d) La velocidad instantánea en el instante t.
e) La aceleración media entre t0 =0 s
[ ]
y[ ]
t=10 s .
f) La aceleración instantánea en el instante
t.
Solución.
[ ]
ˆ a) 5i m(
105iˆ ˆ)
[ ]
b) −40j m
(
ˆ ˆ)
m c) 10i 4 js
⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
(
ˆ ˆ)
m d) 2t i-4js
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
2 m ˆ e) 2i
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
2 m ˆ f ) 2i
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio 3.5.- Un ciclista pretende cubrir la distancia de 120 Km
[ ]
en tres horas. Para ello, en una primera etapa viajaa razón de 35 Km
h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦durante 1h 15min,
luego descansa 15 minutos continuando a
lo largo de 30 Km a razón de 44
[ ]
Km h⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦.
¿Cuál deberá ser su rapidez en la tercera
etapa para lograrlo?
Solución.
Km 56,40
h
Ejercicio 3.6.- Una partícula recorre con rapidez constante en el sentido contrario a
los punteros del reloj (antihorario), una
circunferencia de radio 3 m , dando una
[ ]
vuelta en 20 s a partir del origen O como
[ ]
se ilustra en la figura siguiente. Encuentre:O
y
x
3m
a) Los vectores desplazamiento para 5 y
10[s].
b) El vector velocidad media para este
intervalo.
Solución:
a)
(
3iˆ+3 j mˆ)
[ ]
b)
(
-0,6iˆ 0,6 jˆ)
m s⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio 3.7.- Un automóvil viaja desde P a Q ida y vuelta en 4 horas,
demorando la mitad del tiempo en cada
trayecto. La longitud de la curva recorrida
PQ es 144[Km]. Calcule:
a) Rapidez media en todo el trayecto.
b) Velocidad media en todo el movimiento.
c) Rapidez media, velocidad media y su
módulo en el viaje de ida.
x y
60
80 P
Q
Solución.
a) 72 Km h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
b) 0 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
r
c) 50 Km h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio 3.8.- Se conduce un auto en sentido antihorario por una pista
circunferencial cuyo perímetro mide 200[m],
a la rapidez constante de 20 m
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦.
Suponiendo que en el instante t0 =0 s se
[ ]
encuentre en el semieje positivo de x,encuentre:
O
y
a) Su vector posición respecto al centro de
la circunferencia en t0 =0 s
[ ]
.b) Su vector posición en t=5 s
[ ]
.c) Su vector posición en t=2,5 s
[ ]
.d) Su velocidad instantánea en t0 =0 s .
[ ]
e) Su velocidad instantánea en t=5 s
[ ]
.f) Su velocidad media entre 0 y 2,5[s].
g) Su aceleración media entre 2,5 y 5[s].
Solución.
[ ]
ˆ a) 31,85i m[ ]
ˆ b) -31,85 i m[ ]
ˆ c) 31,85 j md) 20jˆ m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
m ˆ -20j e)
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
(
ˆ ˆ)
mf ) -12,74 i 12,74j s
⎡ ⎤
+ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
( )
2m ˆ ˆ g) 8 i-8j
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio 3.9.- Un tren se mueve con una rapidez constante de 100 km
h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ hacia el
este durante 0,5[h]; después hacia el sur
con una rapidez constante de 50 km h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
durante una hora. ¿Cuál fue su velocidad
media?
Solución.
(
ˆ ˆ)
km33,3i 33,3 j h
⎡ ⎤
− ⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ejercicio 3.10.- Un tren que tiene una rapidez constante de 96,6 km
h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦se
mueve hacia el este durante 40min.;
después lo hace hacia el noroeste durante
20min.; y finalmente hacia el oeste durante
50min. ¿Cuál es la velocidad media del tren
durante ese recorrido?
Solución.
(
ˆ ˆ)
km-21,2i 12,4 j h
⎡ ⎤
+ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ejercicio 3.11.- Un automóvil durante la primera mitad del tiempo que estuvo en
movimiento se movió con rapidez de
80 Km
h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ y durante la segunda mitad, de
40 Km
h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦. ¿Cuál fue su rapidez media?
Solución.
Km 60
h
Ejercicio 3.12.- Un cuerpo se mueve en un plano paralelo al piso de una
habitación (Plano XY) con una aceleración
constante de componentes 0,3 m2 s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦en X y
de 0,2 m2 s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦en dirección –Y. El cuerpo se
mueve a partir del punto (-4,2)[m] cuando
comienza a andar el reloj y lo hace con una
velocidad de 1 m
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦en dirección Y.
Encuentre la posición y velocidad para
cualquier tiempo posterior al inicio del
movimiento.
Solución.
(
) (
)
{
ˆ ˆ}
m0,3t i 1- 0,2t j s
⎡ ⎤
+ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ejercicio 3.13.- Un tren parte del reposo y se mueve rectilíneamente con
aceleración constante. En un punto de su
recorrido lleva una rapidez de 9 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦y
48[m] más adelante una rapidez de
15 m
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦. Calcule:
a) La aceleración (magnitud).
b) Tiempo requerido para recorrer los 48[m]
c) El tiempo que emplea el tren en alcanzar
la rapidez de 9 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
d) El camino recorrido desde que partió
hasta alcanzar la rapidez de 9 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Solución.
a) 1,5 m2 s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
b) 4 s
[ ]
c) 6 s
[ ]
d) 27 m
[ ]
Ejercicio 3.14.- Un móvil que lleva
una rapidez de 8 m
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ acelera
uniformemente su marcha rectilínea de
forma que recorre 640[m] en 40[s].
Calcular las magnitudes de:
a) La aceleración y la velocidad final.
b) La velocidad media durante los 40[s].
Solución.
a) 24 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
b) 16i ˆ m s
Ejercicio 3.15.- La ecuación de
itinerario de una partícula es: 2
x=12t−3t
con x en metros y t en segundos.
Determine:
a) El instante en que pasa por el origen.
b) El instante en que se detiene.
Solución.
a) t´ 0 s=
[ ]
t´´ 4 s=[ ]
b) 2 s
[ ]
Ejercicio 3.16.- Un cuerpo se mueve de acuerdo con la siguiente ecuación de
itinerario: 2
x= −10+50t−t en que x está
en metros y t en segundos. Determine:
a) La posición en los instantes t0=0[s];
t´=2[s]; t´´=10[s].
b) La ecuación de la velocidad instantánea
y la aceleración en función del tiempo.
c) El (los) instante (s) en que pasa por el
origen.
d) El instante en que se detiene.
e) Gráficos x vs t y v vs t del movimiento.
Solución.
( )
[ ]
a)
x 0 = −10 m
( )
[ ]
x 2 =86 m
( )
[ ]
x 10 =390 m
b) 2 m2 s
⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎣ ⎦
c)t´ 0,2 s=
[ ]
t´´ 49,8 s=[ ]
d) 25 s
[ ]
e)
t (s) x (m)
615
- 10 49,8
0,2
t (s) v (m/s)
50
Movimiento rectilíneo con aceleración de gravedad.
Ejercicio 3.17.- Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba volvió a tierra al
cabo de 4 segundos de empezar a subir.
Calcular:
a) Su velocidad inicial.
b) La altura a la que se elevó.
c) Velocidad a los 2 segundos.
Solución.
a)20 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
b)20 m
[ ]
c) 0 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
r
Ejercicio 3.18.- Un cuerpo cae libremente recorriendo durante el último
segundo de su caída la mitad del camino
total. Determinar:
a) Tiempo que demora la caída.
b) La altura desde la que cae el cuerpo.
Solución.
a)3,41 s
[ ]
[ ]
b) 58,1 mEjercicio 3.19.- Se deja caer un cuerpo desde una altura de 20 metros.
¿Qué distancia recorrerá en su caída?:
a) Al cabo de 0,1[s] de caer
b) Durante el último 0,1[s] de caída.
Solución. a) 0,05 m
[ ]
b) 1,95 m
[ ]
Ejercicio 3.20.- Se lanza hacia arriba una piedra llegando a 10 metros de altura.
a) ¿Cuánto tiempo demora en llegar al
suelo?
b) ¿Hasta que altura subiría la piedra si su
velocidad inicial aumentara al doble?
Solución.
a) 2,83 s
[ ]
b) 40 m
[ ]
Ejercicio 3.21.- Desde un globo se suelta un cuerpo que tarda 20 segundos en
llegar al suelo. Calcular la altura del globo
si:
a) El globo está en reposo.
b) Está ascendiendo con rapidez de
50 m
s
Solución.
[ ]
a) 2000 m[ ]
b) 1000 mEjercicio 3.22.- Un cohete parte del reposo y va subiendo con aceleración de
magnitud constante de 20 m2 s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦durante 1
minuto. En ese momento sigue subiendo y
se comporta como partícula libre.
Determine:
a) La altura alcanzada en el primer minuto
b) La rapidez alcanzada en el primer
minuto.
c) La altura máxima que alcanza.
Solución.
[ ]
a) 36000 mm b) 1200
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
[ ]
c) 108000 mEjercicio 3.23.- Un helicóptero se mueve verticalmente hacia arriba a razón
de 20 m
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦; a una altura de 80[m] suelta un
objeto. ¿Cuánto tiempo tarda este objeto
en llegar al suelo, desde que se soltó?
Solución.
[ ]
6,47 sEjercicio 3.24.- Un paracaidista luego de saltar cae 50[m] libremente. Luego, abre
su paracaídas lo que le produce una caída
con aceleración constante de magnitud
2 m2 s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ en dirección hacia arriba. Si llega al
suelo con una velocidad de magnitud
3 m
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦:
a) ¿Cuánto tiempo está el paracaidista en
el aire?
b) ¿Desde que altura saltó?
Solución.
[ ]
[ ]
a) 17,46 sb) 297,7 m
Ejercicio 3.25.- Desde una torre a 100m de altura se arroja hacia abajo un
objeto con una rapidez de 10 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦.
a) ¿Cuánto demora en llegar al suelo?
b) ¿Cuál es su velocidad después de haber
descendido 30m?
c) ¿Con qué velocidad llega al suelo?
Solución.
a) 3,58 s
[ ]
m ˆ b) 26,46 j
s
⎡ ⎤
− ⎢ ⎥
⎣ ⎦
m c) 45,8j
s
⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio 3.26.- Desde un puente a 80 [m] de altura se deja caer un cuerpo (A)
libremente, 1 segundo después se arroja
otro cuerpo (B) desde el mismo lugar.
Determinar:
a) La velocidad inicial del segundo cuerpo
para que lleguen al agua al mismo tiempo.
b) La velocidad con la que cada uno llega
al agua.
c) Un gráfico y vs t del movimiento de cada
objeto.
d) Un gráfico v vs t del movimiento de cada
objeto.
Solución.
m a) 11,67j
s
⎡ ⎤
− ⎢ ⎥
⎣ ⎦
$
1 2
m m
ˆ ˆ
b) v 40 j v 41,67 j
s s
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= − ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
r r
c)
t (s) y (m)
v0A = 0
v0B
= -11,67 m /s
0 1
t
encuentrod)
t (s)
0 1 2 3 4
11,67
41,67 40
v (m/s)
A
B
10
Ejercicio 3.27.- Un perro ve que un objeto pasa frente a una ventana de
1,52[m] de alto, primero de subida y
después de bajada. Si el tiempo total que
ve al objeto es de 1 segundo, encuentre a
que altura sobre la ventana sube el objeto.
Solución.
Movimiento en el plano, con aceleración de gravedad.
Ejercicio 3.28.- ¿Cuánto tiempo antes de que el avión esté sobre el blanco
debe dejar caer la bomba, si vuela a 720[m]
de altura y con velocidad de magnitud
200 Km
h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦?. ¿Y si vuela con velocidad de
magnitud 400 Km h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦?
Solución.
[ ]
12 s para cualquier magnitud de la
velocidad.
Ejercicio 3.29.- Se lanza un proyectil desde lo alto de una torre en
dirección horizontal y con una velocidad de
magnitud 40 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦. Calcule, en el instante
3,1[s] después del lanzamiento:
a) Las componentes horizontal y vertical de
la velocidad.
b) El ángulo formado con eje +X.
Solución.
x y
m m
a) v 40 v 31
s s
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
b)−37,78º
Ejercicio 3.30.- Desde un punto situado a 100[m] sobre el nivel del mar se
dispara un proyectil en dirección horizontal
y a 400 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦. Al respecto calcule:
a) El tiempo que tardará el proyectil en
llegar al agua.
b) El alcance horizontal.
c) La velocidad del proyectil al llegar al
agua.
Solución.
[ ]
[ ]
a) 4,47 sb) 1778 m
(
)
mc) 400i 44,7j s
⎡ ⎤
− ⎢ ⎥
⎣ ⎦
$ $
Ejercicio 3.31.- Desde una altura de 50[m] se lanza un objeto con una
velocidad de magnitud 40 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ formando
un ángulo de 30º con la horizontal.
Determine:
a) El instante en que se encuentra a una
altura de 10[m]
b) La velocidad cuando ha recorrido una
distancia horizontal de 60[m]
c) La distancia horizontal recorrida desde
Solución.
[ ]
a) 5,46 s(
ˆ ˆ)
mb) 34,6i 2,7 j s
⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
[ ]
c) 198,8 mEjercicio 3.32.- Un proyectil es lanzado desde el suelo con una velocidad
inicial de magnitud 50 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦, formando un
ángulo de 37º con la horizontal. Determine:
a) La altura máxima a la que llega
b) La posición y la velocidad 2[s] después.
c) El tiempo de vuelo.
Solución.
[ ]
a) 45 m[ ]
2 ˆ ˆ
b) rr =(80i+40 j) m 2
m
ˆ ˆ
v (40i 10 j) s
⎡ ⎤
= + ⎢ ⎥
⎣ ⎦
r
c) 6[s]
Ejercicio 3.33.- Desde lo alto de un edificio de 125[m] de altura se dispara un
proyectil con una velocidad de magnitud
720 Km
h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦formando un ángulo de 37º con
respecto de la horizontal. Determine:
a) El tiempo que demora el proyectil en
llegar al suelo.
b) La distancia horizontal desde el edificio
hasta el punto de impacto (alcance
horizontal).
c) Altura máxima que alcanza el proyectil
respecto del suelo.
Solución.
[ ]
a) 25 s[ ]
b) 4000 m[ ]
c) 845 mEjercicio 3.34.- Un motociclista de espectáculos asegura romper el récord de
salto por sobre otros vehículos, para lo que
prepara una rampa de 30[m] de longitud
inclinada en 30º sobre la horizontal y
calcula que si sale de ella a 108 Km h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
(30 m
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦) podrá establecer la marca
saltando sobre vehículos de 3[m] de ancho
y 1,5[m] de altura ubicados en el suelo a
partir de la vertical bajo el extremo de la
rampa.
a) ¿Cuántos vehículos alcanzará a
sobrevolar el motociclista?
b) ¿Qué distancia horizontal recorrerá
desde que sale de la rampa hasta que
Solución.
a) 32 vehículos
b) 98,46 m
[ ]
Ejercicio 3.35.- De un cañón emplazado en un cerro a 630[m] de altura
se dispara un proyectil que sale con una
velocidad de magnitud 200 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦. Si el
cañón está inclinado en 30º bajo la
horizontal, determine:
a) La distancia horizontal que recorre el
proyectil desde que sale del cañón hasta
que llega al suelo.
b) El vector velocidad al llegar al suelo.
Solución.
[ ]
a) 871 m(
ˆ ˆ)
mb) 173,2i 150,3 j s
⎡ ⎤
− ⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ejercicio 3.36.- Un proyectil es disparado desde el suelo en dirección de
30º sobre la horizontal, alcanzando una
altura máxima de 120[m]. Determine:
a) El tiempo que demora en llegar al suelo
b) El alcance horizontal que logra.
Solución.
a) 9,8 s
[ ]
b) 831,5 m
[ ]
Ejercicio 3.37.- Un avión que vuela horizontalmente a 1500[m] de altura con
una velocidad de magnitud 500 Km h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ deja
caer una bomba. ¿Cuánto tiempo tarda la
bomba en llegar a tierra?.
Solución.
[ ]
t=17,3 sEjercicio 3.38.- Se dispara un proyectil de mortero con un ángulo de
elevación de 30º y una velocidad inicial de
magnitud 40 m
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ sobre un terreno
horizontal.
Calcular:
a) El tiempo que tarda en llegar al suelo.
b) El alcance que tiene el proyectil.
c) El ángulo que forma la velocidad
instantánea al momento de llegar al
Solución.
[ ]
a) 4 s[ ]
b) 138,56 mc) - 30º
Ejercicio 3.39.- Un cañón dispara un proyectil con un ángulo de elevación de
45º y una velocidad inicial de magnitud
150 m
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ sobre un terreno horizontal.
Sabiendo que a una distancia de 2200[m].
se encuentra una pared vertical, determine
la altura de punto donde impacta el
proyectil.
Solución.
[ ]
48,89 mEjercicio 3.40.- Un hombre lanza una pelota formando un ángulo de 53º con
respecto de la horizontal, con una
velocidad inicial de magnitud 20 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦. ¿A
qué distancia del aro que se muestra en la
figura la debe lanzar, si entre su mano y el
aro hay 12[m] verticalmente y cuando llega
al aro está bajando?.
Solución.
[ ]
x ''=23,91 mEjercicio 3.41.- Se lanza un proyectil de tal manera que su alcance
horizontal es igual al triple de su altura
máxima. ¿Cuál es el ángulo de tiro?
Solución.
53,1º
Ejercicio 3.42.- ¿Con qué rapidez mínima es necesario lanzar un objeto para
que llegue a la otra orilla de un puente de
7,5[m] de ancho?. y ¿Cuánto tiempo
demorará?
Solución.
a) 8,66 m s
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
[ ]
b) 1,22 sEjercicio 3.43.- Un cañón dispara proyectiles con un ángulo de elevación de
50º y con una velocidad de magnitud
400 m
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ desde un montículo de 10[m] de
altura. ¿A qué altura de un acantilado que
se encuentra a 0,5[Km] de distancia
impactará el proyectil?
Solución.
Ejercicio 3.44.- Se lanza un objeto con una velocidad cuya magnitud es
20 m
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ con un ángulo de tiro de 53º. Si se
lanza desde 36[m] de distancia horizontal
de un edificio, ¿entrará por una ventana de
2[m] de alto cuyo marco inferior está a
2,70[m] de altura?.
Cuando alcanza al edificio, ¿estará
subiendo o bajando?
Solución.
Si entra pues llega 34[cm] más arriba del
marco inferior.
Viene bajando.
Ejercicio 3.45.- Un cuerpo se lanza con una rapidez v0 formando un cierto
ángulo con el horizonte; su vuelo dura un
tiempo de 2,2[s]. Hallar la altura máxima a
que se elevó este cuerpo.
Solución.
[ ]
6,05 mEjercicio 3.46.- Un avión que vuela horizontalmente hacia el sur con una
velocidad de magnitud 360 Km h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦, suelta
una bomba.
a) ¿A que distancia en dirección sur, del
punto en que abandona la bomba, se
encontrará 5[s] más tarde?
b) ¿Que tiempo necesitaría la bomba para
desplazarse 340[m] al sur del lugar en
que se ha dejado caer?
Solución.
[ ]
a) 500 m[ ]
b) 3,4 sEjercicio 3.47.- Una piedra fue lanzada en dirección horizontal, en el
instante t=0,5[s] el módulo de la velocidad
de la piedra es 1,5 veces el valor de la
velocidad inicial. Hallar el módulo de la
velocidad inicial de la piedra.
Solución.
m 4,47
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio 3.48.- Un cañón dispara un proyectil con un ángulo θ0 sobre la
horizontal, con velocidad de magnitud V0.
¿Cuanto tiempo tardará el proyectil en caer
de nuevo a tierra?
Solución.
( )
02v sen
g
0
Ejercicio 3.49.- Demostrar que para una velocidad inicial de magnitud V0,
el alcance máximo se obtiene para un
ángulo de elevación de 45º.
Ejercicio 3.50.- Un cañón que proporciona un disparo con una velocidad
de magnitud 200 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦, se dispara desde la
cima de una colina a 500[m] de altura sobre
un plano horizontal. El cañón se dirige
formando un ángulo de 15º sobre la
horizontal, determine:
a) La distancia horizontal a la que cae.
b) La velocidad al momento del impacto.
Solución.
Primero calculamos el tiempo que tarda en llegar al plano horizontal:
[ ]
a) 3174,03 m(
)
mb) v 193,2i 112,5j s
⎡ ⎤
= − ⎢ ⎥
⎣ ⎦
r $ $
Ejercicio 3.51.- Un motociclista corre por una rampa de 40[m] de largo
inclinada en un ángulo de 37º y salta con
una velocidad de magnitud 40 m s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ por
sobre automóviles ubicados en el suelo
horizontal uno al lado del otro a lo ancho, a
partir del extremo de la rampa.
a) Determine la cantidad de autos que el
motociclista podrá saltar considerando
que cada uno tiene una altura de 1,5[m]
y ancho de 2,5[m] .
b) Calcule la distancia horizontal recorrida
hasta que toca el suelo.
Solución.
a) 71 vehículos
b) 179,14 m
[ ]
Ejercicio 3.52.- Un avión está volando horizontalmente a una altura de
1,2[Km] con una velocidad de1800iˆ Km h
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦.
a) ¿Cuanto tiempo antes de que el avión
pase sobre el blanco debe soltar la
bomba?
b) ¿Cuál será la velocidad de la bomba al
llegar al suelo?
c) ¿Cual será la velocidad de la bomba
10[s] después de ser soltada?
d) ¿Cual será la velocidad de la bomba
200[m] antes de llegar al suelo?
e) ¿Cuál es el ángulo formado por la
velocidad de la bomba al llegar al suelo
respecto de éste?
f) ¿Cuál será la distancia horizontal
Solución.
[ ]
t ' 1) s
a = 5,49
(
)
mb) v 500i 154,9j s
⎡ ⎤
= − ⎢ ⎥
⎣ ⎦
r $ $
(
)
10 m
c) v 500i 100j
s
⎡ ⎤
= − ⎢ ⎥
⎣ ⎦
r $ $
(
)
200m m
d) v 500i 141,42j
s
⎡ ⎤
= − ⎢ ⎥
⎣ ⎦
r $ $
e) 17,21º−
[ ]
f ) 7745 mEjercicio 3.53.- Un cañón está colocado en la base de un cerro cuya
pendiente hace un ángulo θ sobre la
horizontal. Si el cañón forma un ángulo α
con la horizontal y dispara un proyectil con
velocidad de magnitud v0, encontrar la
distancia R medida a lo largo del cerro a la
cual caerá el proyectil.
Solución.
( )
( )
( )
( )
2 2
0
2
2v tg tg 1 tg
R
g 1 tg
⎡ α − θ⎤ + θ
⎣ ⎦
=
⎡ + α ⎤
⎣ ⎦
Ejercicio 3.54.- El techo de una casa presenta una inclinación en 30º bajo
la horizontal, la altura mayor es de 6[m], la
altura a la que se encuentra el término del
techo es 3,5[m]. Al considerar el agua
como cuerpo que parte desde la altura
mayor y del reposo, demorando 1,6
segundos en recorrer el techo. Calcule la
distancia horizontal que recorre desde que
abandona el techo.
Solución.
Movimiento circunferencial.
Ejercicio 3.55.- ¿Cuál es el ángulo en radianes subtendido por un arco de
longitud 91,44[cm] en una circunferencia de
70[cm] de radio?. ¿Cuál es este ángulo en
grados?. El ángulo del centro en una
circunferencia de radio 200[cm] es de 0,6
radianes. ¿Cuál es la longitud del arco?
Solución.
[ ]
120 cmEjercicio 3.56.- Hallar la magnitud de la velocidad angular de:
a) La rotación de la Tierra.
b) La aguja horaria de un reloj.
c) El minutero de un reloj.
d) Un satélite artificial con período de
rotación de 88 [min].
Solución.
a) -5 rad
7,27 10 s
⎡ ⎤ ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
b) -5 rad
14,54 10 s
⎡ ⎤ ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
c) 174,44 10-5 rad s
⎡ ⎤ ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
d) 118,94 10-5 rad s
⎡ ⎤ ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio 3.57.- Una partícula se mueve por una circunferencia de radio
10[cm] con una aceleración tangencial
constante. Hallar esta aceleración
tangencial sabiendo que al finalizar la
quinta vuelta desde que comienza a
moverse, su rapidez es 79,2 cm s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦.
Solución.
2 cm 10
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio 3.58.- La velocidad tangencial apropiada para trabajar el hierro
fundido es alrededor de 61 cm
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦. ¿A
cuántas [r.p.m.] debe rotar en un torno una
pieza de 5[cm] de diámetro?
Solución
Podemos saber las [r.p.m.] con la velocidad angular:
[
]
233 r.p.m.
Ejercicio 3.59.- Un cilindro de 7,5[cm] de diámetro rota en un torno a
1500 [r.p.m.] ¿Cuál es la velocidad
tangencial en la superficie del cilindro?.
Solución.
cm 589
s
Ejercicio 3.60.- Sobre un eje que gira a 1600r.p.m., hay montados dos discos
que se encuentran entre sí a una distancia
de 0,5m. Una bala disparada paralelamente
al eje atraviesa los dos discos con la
particularidad que el agujero dejado en
cada uno presenta una desviación de 12º.
¿Cuál era la velocidad (magnitud) de la
bala?
Solución. m 400
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio 3.61.- Hallar el radio de una rueda giratoria sabiendo que la
velocidad lineal v1 de los puntos situados
en la superficie de su llanta es 2,5 veces
mayor que la velocidad lineal v2 de los
puntos que se encuentran 5[cm] más
próximos al eje de la rueda.
Solución.
[ ]
8,33 cmEjercicio 3.62.- Un volante de diámetro 92[cm] parte desde el reposo y
acelera uniformemente hasta una velocidad
angular de 100 rad s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ en 20[s]. Encuentre:
a) La aceleración angular.
b) El arco descrito por un punto en el
borde.
Solución.
2 rad a) 5
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
[ ]
b) s=460 mEjercicio 3.63.- Un motor eléctrico trabaja a 1800[r.p.m.] y tiene sobre su eje
de transmisión tres poleas de diámetros 5,
10 y 15[cm] respectivamente. Las poleas
pueden ser conectadas mediante una
correa a otro juego similar ubicado sobre el
eje secundario de transmisión, la de 5[cm]
con la de 15[cm], la de 10[cm] con la de
10[cm] y la de 15[cm] con la de 5[cm].
Encuentre las tres posibles frecuencias de
rotación del eje secundario en [r.p.m.]
Solución.
[
]
[
]
[
]
1
2
3
f 600 r.p.m.
f 1800 r.p.m.
f 5400 r.p.m.
= = =
Ejercicio 3.64.- Una rueda que empieza a girar con movimiento uniforme
acelerado circunferencial; al cabo de 10
revoluciones alcanza la rapidez angular de
20 rad s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦. Hallar la aceleración angular de
esta rueda.
Solución.
2 rad 3,18
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio 3.65.- Un volante después de un minuto de haber comenzado a girar,
alcanza la frecuencia de 720[r.p.m.]. Hallar
su aceleración angular constante y el
número de vueltas que da en ese minuto.
Solución.
2 rad 1,26
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦; 358,86 vueltas
Ejercicio 3.66.- La velocidad de una rueda que gira con MUAC, disminuyó
al ser frenado durante un minuto, desde
300[r.p.m.] hasta 180[r.p.m.]. Hallar la
aceleración angular de la rueda y el
número de vueltas que dio en ese lapso.
Solución.
2 rad 0,21
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ 239,24 vueltas
Ejercicio 3.67.- El aspa de un ventilador gira a 900[r.p.m.]. Al
desconectarlo, su movimiento pasa a ser
uniformemente retardado, hasta que se
detiene por completo después de dar 75
vueltas. ¿Cuánto tiempo transcurre desde
el momento en que se desconecta el
ventilador hasta que se detiene por
completo?
Solución.
[ ]
10 sEjercicio 3.68.- Un volante gira a 180[r.p.m.]. A partir de un momento
determinado se frena y su movimiento pasa
a ser uniforme retardado con una
aceleración de valor 3⎡⎢ ⎤⎥
⎣ 2 ⎦
rad
s . Determinar:
a) El tiempo que tarda en detenerse.
b) El número de vueltas que gira hasta
detenerse.
Solución.
[ ]
a) 6,28 sb) 9,42 vueltas
Ejercicio 3.69.- Un punto se mueve por una circunferencia cuyo radio es de
20[cm] con una aceleración tangencial
constante de 5⎡⎢ ⎤⎥
⎣ 2 ⎦
cm
s . ¿Cuánto tiempo, a
partir del tiempo en que empieza a
moverse el punto, deberá transcurrir para
que la aceleración normal del punto sea
igual a:
a) La aceleración tangencial.
b) El doble de la aceleración tangencial.
Solución.
[ ]
a) 2 sEjercicio 3.70.- Un punto se mueve por una circunferencia de radio 10[cm] con
una aceleración tangencial constante.
Hallar la aceleración normal de este punto
después de 20[s] de iniciado el movimiento,
sabiendo que al finalizar la quinta vuelta su
velocidad lineal es de 10⎡⎢ ⎤⎥
⎣ ⎦
cm s
Solución.
2 2
10 cm s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ π ⎣ ⎦
Ejercicio 3.71.- Hallar la aceleración angular de una rueda sabiendo que al cabo
de 2[s] de comenzar su movimiento
uniforme y acelerado, el vector aceleración
total lineal de un punto en el borde, forma
un ángulo de 60º con la dirección de la
velocidad lineal de este mismo punto.
Solución.
2 rad 0,43
s
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
Ejercicio 3.72.- Una rueda gira con aceleración angular constante de 2⎡⎢ ⎤⎥
⎣ 2 ⎦
rad
s .
Al cabo de 0,5[s] desde que comenzó a
girar, la aceleración total lineal de ella es
13,6⎡⎢ ⎤⎥
⎣ 2⎦
cm
s . Hallar el radio de la rueda.
Solución.
