ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

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ECUACIONES

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado tiene la forma general: a·x2+b·x+c=0.

(El primer sumando del primer miembro no puede ser nunca nulo, pues entonces no se trataría de una ecuación de segundo grado).

Para resolver una ecuación de segundo grado, cuya expresión general es, como ya hemos visto: a·x2+b·x+c=0, hay que despejar la x. Esto se consigue mediante un largo proceso cuya expresión final es la siguiente:

a

ac

b

b

x

2

4

2

Posibles formas de la ecuación de segundo grado.

Todas las ecuaciones de segundo grado se pueden resolver con la ecuación general de la solución que hemos visto. Pero hay algunas ecuaciones de segundo grado que, por su forma, se pueden resolver mas fácilmente por otros métodos. Veremos algunos casos a continuación.

Ecuaciones sin término en x: son de la forma ax2+c=0. En estas ecuaciones se despeja x, y se obtienen los valores de x, si los hay.

Ejemplos: a) 3x2-75=0 b) 7x2-40=0 c) 2x2+10=0

Ecuaciones que son producto de varios factores: son de la forma: k·(x-p)·(x-q)=0. Teniendo en cuenta que para que el producto de varios factores sea cero es necesario que alguno de los factores valga cero, en estas ecuaciones hay que igualar todos los factores a cero para encontrar las soluciones.

Ejemplos: a) 3(x-5)(4x+3)=0 b) 7(2x+11)(3x-1)=0

Ecuaciones sin término independiente: son de la forma: ax2+bx=0. Estas ecuaciones se pueden factorizar sacando x factor común. Una solución es x=0 y la otra solución se obtiene resolviendo la ecuación ax+b=0.

Ejemplos: a) 7x2-5x=0 b) 2x2+40x=0

Número de soluciones.

El radicando, es decir, la expresión que aparece dentro de la raíz, b2-4ac, se llama discriminante de la ecuación. El número de soluciones depende del signo de ésta expresión:

- Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas. - Si el discriminante es cero, entonces la ecuación tiene una solución única, que se llama solución real doble.

(2)

ECUACIONES BICUADRADAS

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones polinómicas de cuarto grado que se reducen, aplicando las reglas de las transformaciones de ecuaciones, a la forma:

a·x4+b·x2+c=0 con a > 0

Estas ecuaciones se resuelven haciendo el cambio: x2 = z, obteniéndose la ecuación de 2º grado: a·z2+b·z+c=0

Una vez calculados los valores de z, se calculan los valores de x extrayendo la raíz cuadrada. Según el signo de las soluciones de z, se pueden obtener hasta cuatro soluciones.

Ejemplo: Calcula las soluciones de la ecuación: x4-13x2+36=0

2

2

4

3

3

9

4

,

9

0

36

13

2 1 2 2 1 2 2 1 2

x

x

x

x

x

x

z

z

z

z

ECUACIONES RACIONALES (CON LA X EN EL DENOMINADOR)

Una ecuación con denominadores algebraicos se llama ecuación racional. Para resolverla hay que transformarla en una ecuación entera (sin denominadores), multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.

Como esta operación no conduce a una ecuación equivalente, tenemos que comprobar si se han producido soluciones extrañas, es decir, que las soluciones que obtenemos no sean raíz de ningún denominador.

Ejemplo: Resuelve la ecuación:

1

2

2

1

3

1

1

2

2

x

x

x

x

.

El m.c.m. de los denominadores es

x

1

 

2

·

x

1

. Entonces:

 

 

1



·

1

 

3

·

1

2

·

1

1

2

2

·

1

·

1

1

3

1

1

·

1

·

1

2 2 2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

3

2

5

1

2

24

1

1

0

6

2

2

3

3

1

2 1 2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

Ambas soluciones son válidas.

EJERCICIOS

7.- Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

1)

3

2

4

x

x

2)

2

2

1

2

3

x

x

x

x

3)



1

2

2

1

·

4

1

5

4

2

3

4

x

x

x

x

x

x

x

x

4)

0

5

20

5

30

x

x

5)

8

5

4

5

30

x

x

x

6)

x

x

x

(3)

7)

x

x

x

x

x

x

x

2

1

10

1

1

8)

1

12

1

4

1

8

2

x

x

x

x

x

x

9)



2

·

3

7

2

2

3

1

x

x

x

x

10)

1

2

2

2

1

2

x

x

x

x

11)

4

3

1

1

x

x

x

x

12)

1

1

2

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

Soluciones: 1) x=1/2 2) x=3 3) x =

2

217

13

4) x=1 5) x = -5/4, 5 6) x =

1

3

7) x=4, x=0 no 8) x=½ 9) x = 5 10) sin solución 11) x = 3, -1/3 12) x = 0, -4

ECUACIONES RADICALES (IRRACIONALES)

Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita aparece en alguno de sus términos, bajo el signo radical. Resolveremos ecuaciones con radicales cuadráticos. Para resolverlas, basta seguir los siguientes pasos:

1º. Se aísla un radical en uno de los miembros, pasando los restantes términos, radicales y no radicales, al otro miembro.

2º. Se elevan al cuadrado los dos términos. (Si queda todavía algún radical, se repiten los dos pasos anteriores).

3º. Se resuelve la ecuación obtenida.

4º. Se comprueba cuáles de las soluciones obtenidas son válidas, sustituyéndolas en la ecuación dada.

Ejemplos: Resuelve las ecuaciones:

a)



)

(

1

)

(

4

0

4

5

2

2

2

2 2

vale

si

x

vale

no

x

x

x

x

x

x

x

x

x

b)

x

5

x

5

x

5

5

x

x

5

25

x

10

x

x

2

x

4

(

si

vale

)

ECUACIONES EXPONENCIALES

Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita está en el exponente.

Para resolver ecuaciones exponenciales, además del cálculo mental, se utilizan distintos métodos según el tipo de ecuación.

Cuando los dos miembros de la ecuación se pueden expresar como potencias de la misma base, hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias:

a0=1, a-m= m

a

1

(m > 0)

1º. El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y que tiene como exponente la suma de los exponentes: am·an=am+n.

2º. El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y que tiene como exponente la resta de los exponentes: am:an=am-n.

3º. La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y que tiene como exponente el producto de los exponentes: (am)n=am·n.

(4)

producto de las bases y por exponente el mismo: am·bm=(a·b)m.

5º. El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases y por exponente el mismo: am:bm=(a:b)m.

6º. La potencia de exponente negativo de un cociente es igual a la misma potencia con exponente positivo de la inversa del cociente: (a/b)-n=(b/a)n.

Ejemplo:

2

3x5

128

.

Descomponiendo 128 en factores primos, queda: 3 5 7

2

2

x

. Como son dos potencias de igual base, han

de ser iguales los exponentes, por tanto: 3x – 5 = 7, que tiene por solución x = 4.

- Todos los términos con incógnita se pueden expresar en función de algún número elevado a dicha incógnita.

Ejemplo:

4

x2

2

x1

20

. Como 2

2

4

, queda

 

2

2 x2

2

x1

20

; usando las propiedades de las potencias y quitando denominadores, se tiene:

2

2x

32

·

2

x

320

0

. Llamando

y

2

x, será

y

2

2

2x. Sustituyendo en la

ecuación queda:

y

2

32

y

320

0

, que tiene por soluciones 8 y –40. Como

y

2

x, queda

8

2

x o

bien x

2

40

. De x

2

8

resulta x = 3. De

40

2

x no se obtiene solución, ya que una potencia no puede ser negativa.

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Para resolver una ecuación logarítmica se deben aplicar las propiedades de los logaritmos hasta conseguir expresarla en la forma:

log

a

A

log

a

B

, siendo A y B expresiones algebraicas. Por tratarse de logaritmos iguales con igual base se deduce que: A = B.

Ejemplo: 2·logx-4·log2=3·log3 

3

12

3

2

3

log

2

log

3

log

2

log

log

4 3

2 3 4

2 3

4

2

x

x

x

x

Como

log

12

3

no se puede calcular, sólo es válida la solución

x

12

3

.

 Así que es imprescindible comprobar las soluciones, porque aunque satisfagan la ecuación A = B, pueden no satisfacer la ecuación inicial, debido a que algún logaritmo carezca de sentido.

 Algunas ecuaciones exponenciales sólo se pueden resolver tomando logaritmos, puesto que no se reducen a potencias de igual base.

Ejemplo:

2

3x

11

. Aplicando logaritmos:

log

2

3x

log

11

3

x

·log

2

log

11

y despejando x,

obtenemos

1

'

1533

2

·log

3

11

log

x

.

OTRAS ECUACIONES INCOMPLETAS

Las ecuaciones de tercer grado en las que falta el término independiente,

ax

3

bx

2

cx

0

, y las de cuarto grado en las que faltan los dos últimos términos,

ax

4

bx

3

cx

2

0

, se pueden resolver también reduciéndolas a ecuaciones de segundo grado.

(5)

0

0

0

0

2 2

2 3

c

bx

ax

x

c

bx

ax

x

cx

bx

ax

La ecuación tiene como soluciones x=0 y las que se obtengan al resolver la ecuación de segundo grado resultante.

Ejemplo: Resuelve la ecuación: x3+12 x2 –64 x = 0

16

4

0

64

12

0

0

64

12

64

12

2 2 2

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POR FACTORIZACIÓN

La expresión (x-1)(x+2)(x-4)=0 es una ecuación de tercer grado que podemos resolver aplicando una técnica que ya conocemos: igualando cada factor a cero:





4

0

4

2

0

2

1

0

1

0

4

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

En general, si en una ecuación de cualquier grado, escrita en la forma P(x)=0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta con igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones resultantes.

Para ello, las ecuaciones de tercer grado o grado superior deben tener raíces enteras, que siempre se encuentran entre los divisores del término independiente. (Las podemos encontrar aplicando el teorema del resto o el teorema del factor).

EJEMPLOS:

Resuelve las ecuaciones:

1) x3+2x2-x-2=0 2) 2x3+3x2-4x-1=0

Soluciones: 1) x=1,-1,-2 2) x=1,

4

17

5

,

4

17

5

Figure

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Referencias

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