COLEGIO DE LA ASUNCION

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RESUMEN DE ANALISIS COMBINATORIO

CONTEOS, METODOS COMBINATORIOS Y CONJUNTOS

ANALISIS COMBINATORIO

Combinaciones, Variaciones y Permutaciones. Para aplicar la Regla de Laplace, el cálculo de los sucesos favorables y de los sucesos posibles a veces no plantea ningún problema, ya que son un número reducido y se pueden calcular con facilidad:

a) Combinaciones, determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden formar con los n elementos de una nuestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen, sin que influya el orden. Para calcular el número de combinaciones se aplica

)! n m ( ! n

! m C_m_,_n

  

El termino n! se denomina factorial de n y es la multiplicación de todos los números que van desde n hasta 1. Ejemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24

La expresión Cm,n representa las combinaciones de m elementos, formando subgrupos de n elementos. Ejemplo, C10,4 son las combinaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos,

210 )! 4 10 ( ! 4

! 10 C₁₀_,₄ 

  

Es decir, podríamos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos.

b) Variaciones, calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden establecer con los n elementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos elementos (es lo que le diferencia de las combinaciones). Para calcular el número de variaciones se aplica,

)! n m (

! m V_m_,_n

 

La expresión Vm,n representa las variaciones de m elementos, formando subgrupos de n elementos. En este caso, como vimos en la anterior, un subgrupo se diferenciará del resto, bien por los elementos que lo forman, o bien por el orden de dichos elementos. Ejemplo V10,4 son las variaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos,

040 . 5 )! 4 10 (

! 10

V_m_,_n 

 

Es decir, podríamos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos.

c) Permutaciones, calcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los elementos de un grupo, por lo tanto, lo que diferencia a cada subgrupo del resto es el orden de los elementos. Para calcular el número de permutaciones se aplica,

! n P_m 

La expresiónPm representa las permutaciones de m elementos, tomando todos los elementos. Los subgrupos se diferenciaran únicamente por el orden de los elementos. Ejemplo, P10 son las permutaciones de 10 elementos,

800 . 628 . 3 ! 10

P_m  

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Vamos a analizar ahora que ocurriría con el cálculo de las combinaciones, de las variaciones o de las permutaciones en el supuesto de que al formar los subgrupos los elementos pudieran repetirse. Por ejemplo, tenemos bolas de 6 colores diferentes y queremos formar subgrupos en los que pudiera darse el caso de que 2, 3, 4 o todas las bolas del subgrupo tuvieran el mismo color. En este caso no podríamos utilizar las fórmulas que vimos en la anterior.

a) Combinaciones con repetición. Para calcular el número de combinaciones con repetición se aplica,

)! 1 m ( ! n

)! 1 n m ( Cm,n _ _

   

Ejemplo, C'10,4 son las combinaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían estar repetidos,

715 ! 9 ! 4

! 13 `

C₁₀_,₄ 

  

Es decir, podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.

b) Variaciones con repetición. Para calcular el número de variaciones con repetición se aplica,

n n ,

m m

V 

Ejemplo, V'10,4 son las variaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4 elementos,

000 . 10 10

V 4

4 ,

10  

Es decir, podríamos formar 10.000 subgrupos diferentes de 4 elementos.

c) Permutaciones con repetición. Para calcular el número de permutaciones con repetición se aplica,

! x ! x

! m P

k 1 x , , x ,

m 1 k    



Son permutaciones de m elementos, en los que uno de ellos se repite x1 veces, otro x2 veces y así sucesivamente hasta uno que se repite xk veces. Ejemplo, Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones,

400 . 302 ! 3 ! 2

! 10 P10,2,3  _ 

Es decir, tendríamos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos.

Resumen. En resumen y usando otra nomenclatura para que el lector se habitué a los demás libros que circulan en el medio.

Combinaciones, variaciones y permutaciones. Se llaman variaciones de n elementos tomados de m en m a los grupos de m elementos escogidos de los n elementos de un conjunto, teniendo en cuenta que dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación de ellos.

Si los elementos se pueden repetir se llaman variaciones con repetición. Si m = n se llaman permutaciones de n elementos.

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Variaciones:

) 1 m n ( )

1 n ( n Vm

n       son los distintos grupos de m elementos distintos que se pueden formar con n elementos, teniendo en cuenta el orden.

Variaciones con repetición: m

m n n

VR  son los distintos grupos de m elementos, repetidos o no, que se pueden formar con n elementos, teniendo en cuenta el orden.

Combinaciones:

)! m n ( ! m

! n m

n Cm

n  _ _

     

son los distintos subconjuntos de m elementos distintos que se pueden formar con n elementos.

Combinaciones con repetición: m

1 m n m n C

CR  _ _ son los distintos subconjuntos de m elementos, repetidos o no, que se pueden formar con n elementos.

Permutaciones: P_n  V_nn n! son todas las distintas ordenaciones que se pueden formar con n elementos, todos distintos.

Permutaciones con repetición:

! x ! x

! n P

k 1

x , , x n

k 1

  



 _{son las distintas}

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Si

No n<N

Se toman todos los elementos

Si Muestreo con Reemplazo

No

Muestreo sin Reemplazo

Si

No Si

No

N elementos con n repetidos Existen en A elementos

repetidos?

Interesan los subgrupos de tamaño n

Se repite extracción con devolución? En el subgrupo

interesa el orden de colocación

Permutaciones con repetición

! x ! x ! x ! N P k 2 1 N x ,

x1k   _

En particular, si

entonces,

k 2

1 x x

x  

! N P_N 

Combinación con repetición de N elementos tomados de a n

Variación con repetición de n elementos tomados a la vez

Variación simple de N elementos tomados de a n sin repetir Combinaciones sin repetir

)! n N ( ! n )! 1 N ( n 1 N CN_n

            )! n N ( ! N VN

n  _

)! n N ( ! n ! N n N CN

n   _ _

     

Interesa el orden de agrupamiento?

n N

V 

n objetos de los cuales hay n1 de la clase

1, n2 de la clase 2, …, nk de la clase k,

tal que    k 1 i i n N

Muestra A de N elementos



y1, y2, , yN



A 

Combinaciones con repetición

         n 1 n N CN n Permutación Circular )! 1 N (

P_N  

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Si

No n<N

Si Muestreo con Reemplazo

No

Muestreo sin Reemplazo

Si

No No

Si

Cuántas palabras se pueden formar con la palabra BOOK de a dos letras, considreando que las O no repetidas y si repetidas? Existen en A elementos

repetidos?

Interesan los subgrupos de tamaño n

Se repite extracción con devolución? En el subgrupo

interesa el orden de colocación

Se tienen en una bolsa el siguiente número de bolas: 4 rojas, 3 blancas y 2 amarillas. Cuán-tas permutaciones con repetición se pueden hacer?

! 2 ! 3 ! 4 ! 9 PN x ,

x1 k   

En particular, si se clasifican las bolas

De cuántas formas sentar 4 personas en una silla?

! 9 ! N P_N  

Tomar 2 boletos CON repetir dentro de 20 que hay en una bolsa CON Orden

Cuántas palabras se pueden formar con la palabra BOOK de a dos letras, considreando que las O no repetidas y si repetidas?

Tomar dos boletos entre 20 que existen en una bolsa sin repetir CON orden

Tomar 2 boletos sin repetir dentro de 20 que hay en una bolsa SIN Orden

! 18 !* 2 ! 21 )! n N ( ! n )! 1 N ( n 1 N CN

n _ _ 

          19 * 20 ! 18 ! 20 )! n N ( ! N

VnN _   ! 18 !* 2 ! 20 )! n N ( ! n ! N n N CN n           

Interesa el orden de agrupamiento?

16 4 N

VN n 2

n   

bolas 9 2 3 4 n N k 1 i

i   





EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Cuántos comités de 2 quimicos y 1 físico se forman con 4 quimicos y 3 físicos?

Circularmente o

también, no circularmente                 2 6 n 1 n N CN n

Se tienen 5 personas jugando bridge en una mes. De cuántas formas se puede repartir?

! 4 )! 1 N (

P_N   

16 4 V 12 ! 2 / ! 4 ! n / ! N V 2 N n N n      ! 4 ! N PN  

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TÉCNICAS DE CONTEO

Listas. Una lista es una sucesión ordenada de objetos, se escriben entre paréntesis y separando los elementos por comas. Por ejemplo la lista (1,2,3,Ζ) es una lista cuyo primer elemento es el 1, el segundo el 2, el tercer elemento es el 3 y el cuarto elemento es el conjunto de los números enteros. El orden en que aparecen los elementos en una lista es de suma importancia, así la lista (2,4,6) es diferente de la lista (6,4,2) y de la lista (4,2,6) sin importar que los elementos sean los mismos. Los elementos en una lista pueden repetirse como en (2,2,3). La longitud de una lista es la cantidad de elementos que tiene la lista, así en todos los ejemplos anteriores la longitud es de tres, mientras que la lista (2,4,6,8) tiene una longitud de cuatro. Una lista de longitud dos tiene el nombre especial de par ordenado.

Ejemplo. Se desea hacer una lista de dos elementos, en los lugares de la lista pueden estar cualquiera de los dígitos 2, 4, 6 o 8. ¿Cuántas listas con estas características son posibles?. La forma más directa de responder es escribiendo todas las posibilidades:

(2,2) (2,4) (2,6) (2,8)

(4,2) (4,4) (4,6) (4,8)

(6,2) (6,4) (6,6) (6,8)

(8,2) (8,4) (8,6) (8,8)

Hay 16 elementos posibles.

Supongamos que los elementos posibles en la primera posición de la lista son los enteros del 1 al n y los posibles para la segunda posición son los enteros del 1 al m. Como antes tenemos la siguiente tabla con las diferentes posibilidades:

(1,1) (1,2) (1,3) ... (1,m) (2,1) (2,2) (2,3) ... (2,m) (3,1) (3,2) (3,3) ... (3,m)

. . . .

: : : :

(n,1) (n,2) (n,3) ... (n,m)

Hay n filas o renglones (con el primer elemento igual en cada una de las listas), y cada fila contiene m listas. Por consiguiente la cantidad de listas posibles es:

m + m + m +...+ m = m * n n veces

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entonces, las dos operaciones se pueden realizar juntas de n1*n2 formas. Consideremos listas de dos elementos en las que hay n opciones para la primera posición, y cada opción del primer elemento tiene m opciones para el segundo elemento. Entonces la cantidad de estas listas es de nm.

Ejemplo. Una persona tiene disponible 4 camisas y 3 pantalones. Al levantarse en la mañana esta selecciona una camisa y un pantalón cualquiera para vestirse. ¿De cuántas formas puede resultar vestida la persona? Aquí la actividad que se efectúa es que la persona se viste. Esta actividad consiste de dos partes, la primera en seleccionar el pantalón y la segunda en seleccionar la camisa. Como puede seleccionar el pantalón en una de n=3 formas y por cada pantalón seleccionado puede escoger una de m=4 camisas este puede resultar vestido en una de nm = 4*3 = 12 formas diferentes.

Ejemplo, Las iniciales de una persona (suponiendo que sólo nos interesa el primer nombre así tenga segundo nombre) son las listas formadas por las iniciales de su nombre y su apellido (primer apellido).

- ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales de las personas?

- ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales en las que las dos letras que no se repitan? (Por ejemplo CC de Carmen Cardona no se permitiría).

El alfabeto es de 26 letras tendremos estos 26 elementos para la primera posición de cada lista y así mismo 26 opciones para la segunda posición, luego hay 262 = 676 listas posibles.

b. La segunda pregunta pide la cantidad de listas de dos elementos, habiendo 26 opciones para el primer elemento (n=26) y para cada una de ellas, 25 opciones para el segundo (m=25). Por consiguiente hay 26 * 25 listas.

Ejemplo, Un club tiene 15 miembros. Desean elegir un presidente y alguien más como vicepresidente. ¿De cuántas formas pueden llenarse esos cargos?. Al reformular la pregunta como una de conteo de listas, tenemos: ¿Cuántas listas de dos elementos se pueden formar en las que dos elementos sean personas seleccionadas de un total de 15 candidatos y que la misma persona no se seleccione dos veces (no esté repetida)?. Hay 15 opciones para el primer elemento de la lista (primera posición, n=15) y para cada una de estas (para cada presidente) hay 14 opciones (m=14) para el segundo elemento de la lista (el vicepresidente). Según el principio de la multiplicación, hay 15 X 14 (nm) posibilidades.

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b opciones para el segundo elemento y para cada opción del par formado por el primer y segundo elemento hay c opciones para el tercer elemento. De esta forma hay en total abc listas posibles. Una forma provechosa de imaginar problemas de conteo de listas es hacer un diagrama con cuadros.

Cada cuadro representa una posición en la lista. Escribimos la cantidad de elementos posibles en cada cuadro. El total de listas posibles se calcula multiplicando entre sí esas cantidades.

Ejemplo, Hay un club con 15 socios. Se desea elegir una mesa directiva formada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas maneras se puede hacer la elección, suponiendo que un socio puede ocupar sólo un cargo?. Trazamos el siguiente diagrama:

15 14 13 12

Esto nos muestra que hay 15 socios para elegir el presidente. Una vez seleccionado el presidente quedan 14 socios para ser elegidos como vicepresidente y en consecuencia hay 15*14 formas de elegir al presidente y al vicepresidente. Una vez elegidos, hay 13 formas de elegir al tercer elemento (el secretario). Una vez elegidos los tres primeros cargos quedarán 12 socios para elegir entre estos al tesorero. En consecuencia hay 15*14*13*12 formas de seleccionar la mesa directiva.

Principio Básico de Conteo Generalizado. Supongamos que vamos a efectuar una actividad que se compone de k partes. La primera parte puede resultar en uno de n1 resultados posibles. Para cada uno de los posibles resultados de la primera parte, la segunda parte puede resultar en uno de n2 resultados posibles. En general, para cada una de los posibles resultados de las partes anteriores, la i-ésima parte puede resultar en uno de ni resultados distintos. Entonces el total de resultados de la actividad es n1n2n3...nk .

Principio del palomar. El principio del palomar establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma. Otra forma de decirlo es que m huecos pueden albergar como mucho m objetos si cada uno de los objetos está en un hueco distinto, así que el hecho de añadir otro objeto fuerza a volver a utilizar alguno de los huecos. De otra manera: si se toman trece personas, al menos dos habrán nacido el mismo mes. Aunque el principio del palomar puede parecer una observación trivial, se puede utilizar para demostrar resultados inesperados. Por ejemplo, tiene que haber por lo menos dos personas en Medellín con el mismo número de pelos en la cabeza.

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de un millón de personas en Medellín. Si asignamos un palomar por cada número de 0 a 1.000.000, y asignamos una paloma a cada persona que irá al palomar correspondiente al número de pelos que tiene en la cabeza, al menos habrá dos personas con el mismo número de pelos en la cabeza.

Una versión generalizada de este principio dice que, si n objetos discretos deben guardarse en m cajas, al menos una caja debe contener no menos de n/m objetos. En el ejemplo anterior, si suponemos que Medellín tiene 3.100.000 habitantes, entonces habrá al menos 4 personas que tengan el mismo número de pelos en la cabeza.

Coeficientes Binomiales. Dado un conjunto X con n elementos, el número de subconjuntos de X que tienen k elementos es el coeficiente binomial de n en k y se

denota como C(n,k) o como _

     k n

El número C(n,k) es también llamado combinaciones de n en k. Otra notación común es Cnk. Dado que un conjunto de k elementos se puede permutar en k! posibles formas, se tiene la siguiente identidad que relaciona permutaciones y combinaciones,

) k , n ( P ! k ) k , n (

C  

de la cual se puede deducir la expresión para calcular directamente C(n,k),

)! k n ( ! k ! n k n        

en donde k≤2n.

El nombre de coeficiente binomial proviene del hecho que las combinaciones de n en k son los coeficientes que aparecen al desarrollar un binomio a la n-ésima potencia, resultado que fue establecido por Isaac Newton:





_

          n 1 i k k n n b a k n b a Ejemplo, 4 3 2 2 3 4 4 0 3 1 2 2 1 3 0 4 4 b ab 4 b a 6 b a 4 a b a 4 4 b a 3 4 b a 2 4 b a 1 4 b a 0 4 ) b a (                                          

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                            k n n k n 1 n n 0 n

El significado combinatorio de la identidad anterior, es que determinar un subconjunto con k elementos equivale a determinar el complemento de n-k elementos y por tanto hay la misma cantidad de subconjuntos con k elementos que subconjuntos con n-k elementos.

                       1 k 1 n 1 k n k n

La identidad anterior se conoce como Teorema de Pascal y es también la regla que permite la construcción del Triángulo de Tartaglia, en donde se obtienen los coeficientes del binomio

n n 0 k 2 n n 1 n 0 n k n                            



 

La identidad se puede obtener por el Teorema del Binomio al desarrollar (1+1)n, pero el significado combinatorio es que el conjunto potencia de un conjunto con n elementos tiene 2n elementos.

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Principio fundamental de conteo. Si un suceso A presenta n1 maneras diferentes y una vez este suceso ha ocurrido un segundo suceso B se puede presentar en n2 maneras diferentes y así cuando ha ocurrido este, sucede un tercer suceso C que se puede presentar en n3 maneras diferentes y así diferentes sucesos en nk formas, entonces el número total de maneras diferentes como pueden darse simultáneamente los sucesos es,

k 3

2

1 n n n

n   

Coeficientes Multinomiales. Supongamos que 20 miembros de una organización se dividirán en tres comités: Reglamento, Presupuesto, Actividades. Los comités de Reglamento y de Presupuesto tendrán 8 miembros cada uno y el comité de Actividades tendrá 4. ¿De cuántas maneras se pueden asignar los miembros a esos comités?

Dividimos esta tarea en tres partes. Primero seleccionamos los miembros del comité de Reglamento. Esto puede hacerse de 20C8 formas distintas. Una vez seleccionados los miembros de ese comité, procedemos a seleccionar miembros del comité de Presupuesto. Ahora sólo quedan 12 miembros de la organización disponibles, por lo cual el número de formas de seleccionar los miembros del comité de Presupuesto es

12C8. De paso hemos seleccionado los miembros del comité de Actividades, pues lo constituyen las 4 personas que quedan. Usando el coeficiente binomial, esto se puede hacer de 4C4 formas distintas. Usamos el principio básico de conteo para obtener el resultado. Entonces el número de maneras de asignar los miembros a los comités es

150 . 355 . 62 4 4

8 12

8 20 C

* C *

C₈ ₁₂ ₈ ₄ ₄

20 

                

 

En general, tenemos n elementos distintos que deben ser divididos en k 2 grupos de manera tal que para j = 1, 2 ,…k, el j-ésimo grupo tiene exactamento nj elementos, donde n1 + n2 +…+ nk = n.

Deseamos determinar el número de formas en que los n elementos pueden dividirse en los k grupos. Para lograr esto hacemos uso del principio básico de conteo. Los nj

elementos del primer grupo pueden seleccionarse de los n disponibles en _

    

1

n n

formas. Luego de esto quedan n - n1 elementos disponibles. De éstos se seleccionan

los n2 miembros del segundo grupo, lo cual se puede hacer 

  

  

2 1

n n n

formas distintas,

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tercer grupo de esta misma manera y así sucesivamente. Finalmente, el número de maneras de seleccionar los k grupos es:

   

   

   



  

   



  

   

       

 

k 2 1 k 2 1 k

1 k 1

3 2 1

2 1

1 n ,n , ,n

n

! n ! n ! n

! n n

n n

n

n n n n

n n n

n n

 



Esta última expresión se conoce como un coeficiente multinomial, ya que aparece en el teorema multinomial¨Para cualquier números reales x1, x2, … xk y un número

entero positivo n, tenemos 1 2 nk

k n 2 n 1 k 2 1 n

k 2

1 x x x

n , , n , n

n )

x x

x

( 





_

  

   



 ,

donde la sumatoria se extiende sobre todas los enteros no negativos n1, n2, … nk tal que n1 + n2 +…+ nk = n.

Variaciones sin repetición. En una carrera de carros participan 20 corredores. Teniendo en cuenta que no es posible llegar la mismo tiempo, de cuántas maneras podrán llegar a la meta los tres primeros?

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Variaciones ordinarias o variaciones sin repetición. de n elementos tomados m cada vez (m≤n) son los distintos grupos o listas que se pueden formar con los n elementos, de manera que en cada grupo entren m elementos distintos, y dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos. El número de variaciones ordinarias de n elementos tomando m cada vez se representa por Vn,m

Número de variaciones ordinarias. Hemos obtenido el número de formas de clasificarse 20 corredores para obtener los tres primeros puestos: 20*19*18. En general, si hallamos el número de variaciones sin repetición que se pueden formar con n elementos tomados m a m, obtendremos, Vn,m = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)

Ejemplo, V3,2= 3*2 = 6 que podría ser un grupo de tres socios, por ejemplo Abe (A), Diego (D) y Ver (V) entre los cuales se van a designar dos cargos importantes: Representante Legal y tesorero. Si la primera posición es para el Representante legal y la segunda para el tesorero tenemos las siguientes posibilidades:

(A,D), (A,V) (D,A), (D,V) (V,A),(V,D)

Para este caso siempre quedaría uno de ellos sin un cargo, porque son 3 elementos (n=3) tomados 2 cada vez (m=2). Si todos quieren quedar con un cargo, digamos ahora que entre los 3 socios (n=3) se van a elegir como Presidente de la Mesa directiva y los cargos de Representante Legal y tesorero. En este caso tenemos V3,3 así, V3,3 = 3·2·1=6 también 6 posibilidades, pero ahora tenemos:

(A,D,V), (A,V,D) (D,A,V), (D,V,A) (V,A,D), (V,D,A) y así cada uno de los socios tiene un cargo y estarán felices.

¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 sin que se repita ninguna cifra?. Como el número 123 es diferente del número 321, luego influye el orden y además no se puede repetir ninguna cifra. Por lo tanto debemos calcular el número de variaciones de nueve elementos (n=9) tomando tres cada vez (m=3), V9,3 = 9·8·7 = 504 números distintos.

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UNO DOS TRES CUATRO

C CCCC S CCCS C CCSC S CCSS C CSCC S CSCS C CSSC S CSSS C SCCC S SCCS C SCSC S SCSS C SSCC S SSCS C SSSC S SSSS S

C

S C

S

C

S

C

S

C

S

RESULTADO LANZAMIENTO

C

S C

Las distintas ordenaciones que acabamos de obtener se llaman variaciones con repetición de dos elementos tomados de a cuatro cada vez. Observamos que ahora sigue influyendo el orden, como en el caso anterior, pero además los elementos se pueden repetir

Variaciones con repetición de n elementos tomados m cada vez (m≤n) son los distintos grupos o listas que se pueden formar con los n elementos, de manera que en cada grupo entren m elementos, repetidos o no, y dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos.

El número de variaciones con repetición de n elementos tomando m cada vez se representa por VRn,m.

Número de Variaciones con Repetición. Hemos hallado el número de resultados distintos que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda: 2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16. De la misma forma, podemos hallar el número de resultados distintos que se obtienen al lanzar:

- Una vez una moneda 2

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En general si queremos hallar el número de variaciones con repetición que se pueden formar con n elementos tomados de a m cada vez, obtendremos

VRn,m = n · n · n ·... n = nm m factores

¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si se pueden repetir las cifras?. Tenemos que hallar el número de variaciones con repetición de 10 elementos tomados de a tres, es decir, VR10,3 = 103 = 1000 Ahora bien, de estos 1000 números habrá muchos que inicien con cero como por ejemplo 035, 099, 001 por lo cual no se pueden considerar de tres cifras. Por esto debemos descontar estos números, y tendremos:

VR10,3 - VR10,2 = 103 - 102 = 1000 - 100 = 900

Ejemplo, Se lanzan tres dados de distintos colores una vez. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?. Son VR6,3 = 63 = 216 resultados diferentes.

Algunas veces queremos saber cuántos arreglos podemos obtener con un grupo de elementos, para ello podemos utilizar la técnica conocida como permutación que veremos a continuación en el siguiente tema.

Permutación. Hasta aquí hemos contado listas de elementos de diversas longitudes, en las que permitimos o prohibimos la repetición de los elementos. Un caso especial de este problema es contar las listas de longitud n formadas por un conjunto de n objetos, en las que se prohíbe la repetición. En otras palabras, se desea tener n objetos en listas, usando cada objeto exactamente una vez en cada lista. Según el principio de la multiplicación, la cantidad de listas posibles es de:

(n)n = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1

Arreglos que se puedan distinguir, Si se quieren arreglar objetos, donde todos los objetos sean diferentes entre sí, la permutación (el número de arreglos que se pueden obtener) es n!

Ejemplo, Cinco amigos que están en una piscina, después de haberse lanzado por el deslizadero gigante, observan que cada vez que llegan a la parte superior para el nuevo lanzamiento hacen cola en distinto orden. ¿De cuántas formas podrán hacer cola para arrojarse de nuevo?

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COLEGIO DE LA ASUNCION

Como observamos, en este caso intervienen a la vez todos los elementos y únicamente varía el orden de colocación.

Ejemplo, Queremos permutar (arreglar) las letras abc. Cuáles arreglos se obtienen? abc, acb, bac, bca, cab y cba. Son 6 permutaciones diferentes. También hubiéramos podido decir son 3 letras diferentes a, b y c por lo tanto son 3! permutaciones, o sea 3*2*1=6

Vemos que hay efectivamente 3 opciones para la primera posición (cualquiera de las letras a, b o c, luego quedan sólo dos opciones para la segunda posición (por ejemplo si se escogió a para la primera posición, quedarían b o c para la segunda posición), y quedaría una sola letra para la tercera posición.

Permutaciones ordinarias de n elementos son los distintos grupos que se pueden formar de manera que:

- En cada grupo (o lista) están los n elementos.

- Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos.

El número de permutaciones ordinarias de n elementos se representa por Pn y es igual a n!

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COLEGIO DE LA ASUNCION

Representamos por sus iniciales a cada seleccionado y mediante un diagrama de árbol se obtiene:

De aquí vemos que hay P4 = 4! = 4·3·2·1 = 24 clasificaciones distintas.

Las variaciones sin repetición también se pueden representar con factoriales, según: Si se quieren arreglar n objetos diferentes, pero se van a tomar r objetos de ellos los cuales son distinguibles entre sí, entonces:

m m n n

VR 

Ejemplo, De cuántas formas puede cespro.com colocar a 3 programadores de sistemas en 3 diferentes ciudades. Si los programadores están disponibles para cualquiera de 5 ciudades.

Entonces se tienen 3 programadores disponibles pero hay 5 posibles ciudades a donde ellos pueden ir. ¿De cuántas formas podríamos ubicarlos?. Tenemos 60 formas posibles de ubicarlos en las 5 ciudades. Parece que de todos modos va tocar pensar bien dónde ubicarlos...

Ejemplo, ¿Cuántas palabras se pueden formar con ocho letras de forma que dos de ellas estén siempre juntas y guardando el mismo orden?

Como las dos letras siempre van a estar juntas y en el mismo orden, las podemos considerar como si fuera una sola letra. Por esta razón es una permutación realmente de sólo siete elementos:

P7 = 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040 palabras diferentes

Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden sentar nueve personas en una mesa circular? Hay que tener en cuenta que una vez sentadas, si trasladamos a cada persona un asiento a la izquierda obtendremos una posición idéntica a la anterior. Por ello dejamos fija una persona y permutamos todas las demás:

P8 = 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40320 formas distintas

A estas permutaciones se las denomina permutaciones circulares de n elementos y se representan por PCn.

Permutaciones con repetición. Si se quiere permutar (arreglar) objetos, dentro de los cuales hay varios repetidos, entonces se pueden contar las posibilidades de arreglos diferentes,

! x ! x

! n P

k 1

x , , x n

k 1

  



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COLEGIO DE LA ASUNCION

Ejemplo, Supongamos que queremos hacer un arreglo de luces, con 4 bombillas amarillas, 3 bombillas azules y 3 rojas. En total se tienen 10 bombillas. Pero, ¿qué arreglos de colores puedo tener?.

Ejemplo, Imaginemos que tenemos 5 monedas de 100 centavos, de las cuales dos están en posición de cara y tres en posición de Sello. ¿Cuántas ordenaciones diferentes podremos formar en las que siempre estén dos en posición de cara y tres en posición de Sello?

Las ordenaciones posibles son: (CCSSS, CSCSS, CSSCS, CSSSC, SCCSS, SCSCS, SCSSC, SSCCS, SSCSC, SSSCC)