Página 57 P R A C T I C A
N ú m e r o s r e a l e s
1
a) Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales:; ; 53,
)
7; 3,2; ;b) ¿Alguno de ellos es entero?
c) Ordénalos de menor a mayor.
a) Racionales: ; – ; 53,7; 3,2 · 10
)
–10Irracionales: ;
b) Entero: – = –7
c) – < 3,2 · 10–10< < < < 53,
)
72
Di cuáles de los siguientes números son irracionales:– ; 1,73); ; π; ;
Son irracionales , π y .
3
Ordena de menor a mayor:a) 1,45; 1,4; ) b) ; ;
a) < 1,
)
4 < 1,45 b) < <4
Clasifica estos números como naturales, enteros, racionales y/o reales:3 – 7,23
–2 π 0 – 4
2 2,48 18 1 +
–1 3√–1 1 1,010203…
√2
√5 11
9
√–1 1
3
√2 3
4
13 9
3
√3
√2
√2
13 9 3
√3
√2
√2
1 + √5 2
√3
1 + √–5 2
√9
√3 3
4
√12 41
13
3
√5
√49
√49
3
√5
√12
√49 41
13
3 √5
√12
√49 41
N → 3; 0; 2; 18; 1
Z → 3; 0; 2; 18; 1; –2; – 4; –1;
Q → 3; 0; 2; 18; 1; –2; – 4; –1; ; – ; 7,23; ; ; 2,48
Á → 3; 0; 2; 18; 1; –2; – 4; –1; ; – ; 7,23; ; ; 2,48;
; π; 1 + ; 1,010203…
5
Representa en la recta real los siguientes números:a) –3; 2,7; ; , de forma exacta.
b) π= 3,14…, de forma aproximada.
a) =
b)
I n t e r v a l o s
6
Dados los números: 1; 2; 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1:a) Indica cuáles de ellos pertenecen al intervalo [2, 4).
b) Lo mismo, pero con el intervalo [2, 4].
c) Igual, pero con el intervalo (2, +∞).
a) Al intervalo [2, 4) pertenecen el 2; 2,3; 3; 3,9
b) En el intervalo [2, 4] están el 2; 2,3; 3; 3,9; 4
c) En el intervalo (2, +∞) se encuentran los números 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1
√42+ 12
√17
1 3
√17
√2
√2
11 9 1 3 3
4
3
√–1
11 9 1 3 3
4
3
√–1
3
√–1
0 –1
–2
–3 1 2 3 4√—17
√—17
2,7 1
— 3 1
3 3,1 3,2
4
7
Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones dadas en cada caso:a) Menores o iguales que 3.
b) Comprendidos entre –1 y 0, incluyendo el 0, pero no el –1.
c) Mayores que 2, pero menores que 3.
d) Mayores que 5.
a) (–∞, 3]
b) (–1, 0]
c) (2, 3)
d) (5, +∞)
8
Escribe en forma de intervalo y representa en cada caso:a) {x / – 6 ≤x≤3} b) {x/ – 4 < x≤4} c) {x / x≥3} d) {x/ 0 < x< 5} e) {x / x> –2} f ) {x/ 10 ≥x}
a) [–6, 3]
b) (– 4, 4]
c) [3, +∞)
d) (0, 5)
e) (–2, +∞)
f ) (–∞, 10]
9
Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso:a) 0 < x< 1 b) x≤–3
c) x> 0 d) –5 ≤x≤5
e) x> –5 f ) 1 ≤x< 3
–1 0
2 3
5
3
–6 0 3
0
0
0 5
–4 4
3
–2 –1
0 10
a) (0, 1)
b) (–∞, –3] c) (0, +∞) d) [–5, 5]
e) (–5, +∞) f ) [1, 3)
10
Escribe en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos:a) (1; 2,5) b) [–2, 3] c) [–7, 0)
d) [–3, +∞) e) (2, +∞) f ) (–5, 2]
a) {x / 1 < x< 2,5}
b) {x / –2 ≤x≤3} c) {x / –7 ≤x≤0} d) {x / –3 ≤x} e) {x / x> 2}
f ) {x / –5 < x≤2}
P o t e n c i a s y r a í c e s
11
Expresa en forma de potencia con exponente fraccionario:a) b) c) d)
e) f ) g) h)
a) 52/3 b) a2/5 c) a5/8 d) x1/3
e)a–1/2 f ) a2/4= a1/2 g) a1/2 h) 21/2
12
Expresa en forma de raíz:a) 32/5 b) 23/4 c) a1/3 d) a1/2
e) x1/4 f ) a3/2 g) x–1/2 h) x–3/2
a) = b) = c) d)
e) f ) 4√x √a3 g) √x–1 h) √x–3
√a
3
√a
4
√8
4
√23
5
√9
5
√32
√2
√a
4 √a2
√a–1
3 √x
8 √a5
5 √a2
3 √52
0 1
–3
0
0
–5 5
0
–5
0 1 3
0 1
0
–7 0
–1
–2 1 2 3
2 2,5 3
–3 0
2 0
13
Calcula:a) 251/2 b) 271/3 c) 1252/3 d) 813/4
a) 251/2= (52)1/2= 52/2= 5
b) 271/3= (33)1/3= 33/3= 3
c) 1252/3= (53)2/3= 53 · 2/3= 52= 25
d) 813/4= (34)3/4= 33= 27
Página 58
14
Calcula las siguientes raíces:a) b) c)
d) e) f )
g) h)
a) = = 2 b) = = 3
c) = 0 d) = 1
e) = –1 f ) no existe
g) = = –3 h) = = 12
15
Obtén con la calculadora:a) b) c)
d) e) f ) 283/4
g) 8–1/3 h) 0,021/2 i ) 0,2–1/2
a) = 91/5≈1,55 b) ≈–5,57
c) = 143/4≈7,24 d)
4
=
( )
1/4≈0,88e) ≈148,16 f ) 283/4≈12,17
g) 8–1/3= 0,5 h) 0,021/2≈0,14
i) 0,2–1/2≈2,24
√283
3 5
√
3 54
√143
3
√–173
5
√9
√283
3
4
√
—5
4 √143
3 √–173
5 √9
√122 √144
3
√(–3)3
3
√–27
√–1
3
√–1
4
√1
7
√0
5
√35
5
√243
4
√24
4
√16
√144
3 √–27
√–1
3 √–1
4 √1
7 √0
5 √243
R a d i c a l e s
16
Multiplica y simplifica el resultado:a) · · b) ·
c) · · d) ·
a) · · = = = 6
b) · = = = a
c) · · = = = 20
d) · = = = a2
17
Simplifica los siguientes radicales:a) b) c)
d) e) f )
a) = b) = =
c) = d) =
e) = f ) = x3
18
Reduce a índice común y ordena de menor a mayor en cada caso:a) , , b) , ,
a) , ,
= =
= = = <
= =
b) , ,
= ; = ; =
Como 310< 216< 59 → √635 < < 3√24 √4 53
12
√310
6
√35
12
√59
4
√53
12
√216
3
√24
6
√35
4
√53
3
√24
12
√64
12
√43
4 √4 3 √3 4 √4 √2 12 √81 12
√34
3
√3
12
√64
12
√26
√2 4 √4 3 √3 √2 6 √35
4 √53
3 √24
4 √4 3 √3 √2 4
√x12
4
√x· y
8
√x2· y2
3
√a· b2
12
√a4· b8
5
√a4
10
√a8
5
√16
5
√24
15
√212
√a
6
√a3
4 √x12
8 √x2y2
12
√a4·b8
10 √a8
15 √212
6 √53
√a4 √a· a3 √a3
√a
√400
√5 · 10 · 8
√8
√10
√5
3
√a3
3
√a· a2
3
√a2
3
√a
√36
√2 · 3 · 6
√6
√3
√2
√a3
√a
√8
√10
√5
3 √a2
19
Divide y simplifica el resultado:a) b) c) :
d) e) : f)
a) = = = 2
b) = = 6 =
c) 4 : 4 = 4 = 4 = 4 =
d) = 3 =
e) : = = =
f ) = = 12 = 12
20
Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales:a) b) c)
d) e) f)
a) = = 2
b) = = 2
c) = = 4
d) = = 2
e) = = 5 · 2 = 10
f ) = = 10
21
Calcula y simplifica en cada caso:a)
(
)
10 b)(
)
4 c)(
)
8d) e) 4√√8
(
√√2)
10 f)(
3√√2)
64 √32
3 √2
√2
√3
√22· 52· 3
√300
√2
√2
√52· 23
√200
√2
√23
√8
4
√4
4
√24· 24· 22
4
√210
√7
√7 · 22
√28
3
√2
3
√24
3
√16
√300
√200
√8
4 √210
√28
3 √16
√
4 10√
400 1 00012 √202
12 √103
6 √20
4 √10
3 2 32
√
—22
3 2
√
— : —2 3
√
2 3√
3 23
√a
√
a2 a3 √a2
3 √a
1 2
√
1 16√
5 · 312 · 20
5 20
√
— : —12 3
√
20 3√
5 126
√2 42
√
— 236 √42
6 √23
3 √4 √2
√4
√
12 3 √12√3
6
√20
4
√10
√
2 3√
3 24
√a2
4
√a
20
4
√
—3 5
4
√
—12
3
√4 √2 √12
a)
(
)
10= = 25= 32 b)(
)
4= = 2c)
(
)
8= = 34= 81 d) =e)
(
)
10= = f )(
)
6= = 222
( E S T Á R E S U E LTO E N E L L I B RO ) .23
Calcula y simplifica:a) + 3 – 5 b) 2 + 4 – 7
c) 3 + 4 – + d) 5 + – 8 +
e) + –
a) + 3 – 5 = (1 + 3 – 5) = –
b) 2 + 4 – 7 = 2 + 4 – 7 =
= 4 + 24 – 21 = (4 + 24 – 21) = 7
c) 3 + 4 – + = 3 + 4 – + =
= 3 + 8 – 4 + 5 =
= (3 + 8 – 4 + 5) = 12
d) 5 + – 8 + = 5 + – 8 + =
= 10 + 3 – 40 + 4 =
= (10 + 3 – 40 + 4) = –23
e) + – = + – = =
24
Efectúa:a) + – b) + –
c) + –
a) + – = + – =
= 23· + 22· – 2 · 5 =
= 8√5 + 4√5 – 10√5 = (8 + 4 – 10)√5 = 2√5
√5
√5
√5
√22· 53 √24· 5
√26· 5 √500
√80
√320
3 √5
3 √135
3 √40
√45
√54
√125
√500
√80
√320
√2 12 (12 + 9 – 20)√2
12 20√2
12 9√2
12 12√2
12 5√2
3 3√2
4
√2
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√24· 3 √52· 3
√33 √22· 3 √48
√75
√27
√12
√2
√2
√2
√2
√2
√2
√52· 2
√25
√23
√2
√50
√32
√8
√2
√2
√2
√2
√2
√2
√32· 2 √32· 23
√23 √18
√72
√8
√3
√3
√3
√3
√3
5√2 3 3√2
4
√2
√48
√75
√27
√12
√50
√32
√8
√2
√18
√72
√8
√3
√3
√3
6
√26
√2
3 √
√25
4
√210
√2 √
8
√8
√8
4
√ 4
√316
4
√32
√2
√24
√2
√210
b) + – = + – =
= 5 + 3 – 3 = 2 + 3
c) + – = + – =
= 2 + 3 – = (2 + 3 – 1) = 4
25
Racionaliza y simplifica:a) b) c) d)
a) = =
b) = =
c) = = = =
d) = =
26
Racionaliza y simplifica:a) b)
c) d)
a) = = =
b) = = =
c) = = =
d) = = = 2 = 4√8
4 √8 2 2 4√23
4 √24 2 4√23
4
√2 · 4√—23 2
4 √2
3 √x2
x
3 √x2
3 √x3
3 √x2
3
√x· 3√—x2
1
3 √x
3 √a3
a
8 √a3
8 √a8
8 √a3
8
√a5· 8√—a3
1
8 √a5
3 3√25 5 3 · 3√52
3 √—53
3 · 3√52
3
√5 · 3√—52
3
3 √5
2
4
√2 1
3
√x
1
8
√a5
3
3
√5
√15 5 3√15
15 3
√15
√3 2√3
2 √12
2 6√12
12 6
√12
2√6 3 4√6
6 4
√6
√2 2√2
2 2
√2
3 √15 6
√12 4
√6 2
√2
3
√5
3
√5
3
√5
3
√5
3
√5
3
√5
3
√33· 5
3
√23· 5
3
√5
3
√135
3
√40
√6
√5
√5
√6
√5
√32· 5
√33· 2
√53
√45
√54
Página 59
27
Racionaliza y simplifica:a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
a) = = = = 2 – 2
b) = = =
c) = = = = 5 +
d) = = = = –
e) = = = =
f ) = = = +
g) = = = 10 – 10
h) = = = =
i) = = = = – – 2
P I E N S A Y R E S U E LV E
28
¿Cuántos números racionales hay entre 0,)
8 y 0,9? Pon ejemplos y razona tu)
respuesta.√3 2√3 + 4
–2 1 + 2√3 + 3
1 – 3
(
1 +√—3)(
1 +√—3)
(
1 – √—3)(
1 + √—3)
1 +√—31 – √—3
3√2 – 2 7 2 – 3√2
–7 √–2
(√
2 – 3)
2 – 9 √—2
(√
—2 – 3)
(√
—2 + 3)(√
—2 – 3)
√—2√—2 + 3
√2
√3 10
(√
3 +√–2)
3 – 2 10
(√
—3 –√—2)
(√
—3 + √—2)(√
—3 – √—2)
10√—3 + √—2
√2
√3 √3 +√–2
3 – 2 √—3 +√—2
(√
—3 – √—2)(√
—3 + √—2)
1√—3 – √—2
3 – √5 4 √5 – 3
– 4 √5 – 3
5 – 9 √—5 – 3
(√
—5 + 3)(√
—5 – 3)
1√5 + 3
1 + √3 2 1 + √3
–2 1 + √3
1 – 3 1 + √—3
(
1 –√—3)(
1 +√—3)
11 – √3
√2 23
(
5 + √2)
23 23
(
5 + √2)
25 – 2 23
(
5 + √—2)
(
5 –√—2)(
5 +√—2)
235 – √2
12 + 4√2 7 4
(
3 + √2)
9 – 2 4
(
3 + √—2)
(
3 –√—2)(
3 +√—2)
43 – √2
√2 2 – 2√2
–1 2
(
1 – √2)
1 – 2 2
(
1 – √—2)
(
1 +√—2)(
1 –√—2)
21 + √2
1 + √3 1 – √3 √2
√2 + 3 10
√—3 + √—2
1 √—3 – √—2 1
√—5 + 3 1
1 – √3
23 5 – √2 4
3 – √2 2
Entre 0,8 y 0,9 hay infinitos números racionales. Basta con introducir nueves en-tre la parte entera y el primer decimal de 0,
)
8. Por ejemplo, 0,98 está entre 0,8 y 0,)
9.)
Lo mismo ocurre con 0,99)
8; 0,999)
8; 0,9999)
8, y así, sucesivamente, vemos que podemos incluir infinitos números racionales entre 0,)
8 y 0,9.)
29
Explica un procedimiento para construir un segmento que mida, exactamen-te, cm.Con un rectángulo 3 ×1 construimos su diagonal, que medirá = .
Con un rectángulo de dimensiones y 1 construimos .
(
)
2+ 12= =Análogamente, con un rectángulo de dimensiones y 1 construimos .
Finalmente, con un rectángulo de dimensiones y 1 construimos .
30
¿Cuáles de las siguientes raíces no existen?:; ; ; ;
No existen las raíces de índice par y radicando negativo: , no
existen.
31
Obtén con la calculadora:a) b) c)
a) ≈–0,41 b) ≈1,57 c) ≈0,59
32
( E S T Á R E S U E LTO E N E L L I B RO ) .33
Expresa como potencia única:a) · b) 2 c) a
d) e) f) ·
a) · = 31/2· 31/3= 31/2 + 1/3= 35/6
b) 23√4 = 2 · 3√22 = 2 · 22/3= 21 + 2/3= 25/3
3
√3
√3
6 √a
3 √a2
3
√a8 a2 √8
3
√4
√a
3 √4
3 √3
√3
√2 1 + √2 √3 +√—2
2 1 – √5
3
√2 1 + √2 √3 +√—2
2 1 – √5
3
4
√–16
√–1
4 √–16
5 √241
√–1
6 √0,12
3 √–20
√13
√12
√12
√11
√11
√10 + 1
√10
√11
√10
√10
√32+ 12
√13
c)a = a· a1/2= a3/2
d) = = = 23/2 – 2/3= 25/6
e) = = a8/3 – 2= a2/3
f ) · = a2/3· a1/6= a2/3 + 1/6= a5/6
34
Expresa en forma exponencial:a)
(
)
3 b) c)d)
(
)
–3 e)(
)
2 f)(
)
5a)
(
)
3= (a2/5)3= a6/5 b) = = a7/8c) = = x1/12 d)
(
)
–3= (a1/2)–3= a–3/2e)
(
)
2= (a2/4)2= a f )(
)
5= (a1/2)5= a5/235
Reduce a un solo radical:a) · b) · c)
a) · = · = =
b) · = · = = = a
c) = =
8
=
8
=
8
= 8√2–3
√
1 23√
2326
√
2322· 24
8 √23
8
√22· 8√—24
8 √8
4
√2 · √—2
12
√a7
12
√a19
12
√a9· a10
12
√a10
12
√a9
6
√a5
4
√a3
12
√211
12
√28· 23
12
√23
12
√28
4
√2
3
√22
8
√8
4
√2 · √—2
6 √a5
4 √a3
4 √2
3 √22
√a
4
√a2
√a
12
√x
4
√x
3 √
8
√a7
8
√a5· a2
5
√a2
√a
4 √a2
√a
4 √x
3
√
8
√a5· a2
5 √a2
6
√a
3
√a2
a8/3 a2
3 √a8
a2
23/2 22/3
√23
3 √22 √8
3 √4
