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Texto completo

(1)

Página 57 P R A C T I C A

N ú m e r o s r e a l e s

1

a) Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales:

; ; 53,

)

7; 3,2; ;

b) ¿Alguno de ellos es entero?

c) Ordénalos de menor a mayor.

a) Racionales: ; – ; 53,7; 3,2 · 10

)

–10

Irracionales: ;

b) Entero: – = –7

c) – < 3,2 · 10–10< < < < 53,

)

7

2

Di cuáles de los siguientes números son irracionales:

– ; 1,73); ; π; ;

Son irracionales , π y .

3

Ordena de menor a mayor:

a) 1,45; 1,4; ) b) ; ;

a) < 1,

)

4 < 1,45 b) < <

4

Clasifica estos números como naturales, enteros, racionales y/o reales:

3 7,23

–2 π 0 – 4

2 2,48 18 1 +

–1 3–1 1 1,010203…

2

5 11

9

–1 1

3

2 3

4

13 9

3

√3

√2

√2

13 9 3

3

2

2

1 + √5 2

√3

1 + –5 2

9

3 3

4

√12 41

13

3

√5

√49

√49

3

√5

√12

√49 41

13

35

12

49 41

(2)

N → 3; 0; 2; 18; 1

Z → 3; 0; 2; 18; 1; –2; – 4; –1;

Q → 3; 0; 2; 18; 1; –2; – 4; –1; ; – ; 7,23; ; ; 2,48

Á → 3; 0; 2; 18; 1; –2; – 4; –1; ; – ; 7,23; ; ; 2,48;

; π; 1 + ; 1,010203…

5

Representa en la recta real los siguientes números:

a) –3; 2,7; ; , de forma exacta.

b) π= 3,14…, de forma aproximada.

a) =

b)

I n t e r v a l o s

6

Dados los números: 1; 2; 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1:

a) Indica cuáles de ellos pertenecen al intervalo [2, 4).

b) Lo mismo, pero con el intervalo [2, 4].

c) Igual, pero con el intervalo (2, +).

a) Al intervalo [2, 4) pertenecen el 2; 2,3; 3; 3,9

b) En el intervalo [2, 4] están el 2; 2,3; 3; 3,9; 4

c) En el intervalo (2, +∞) se encuentran los números 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1

√42+ 12

√17

1 3

17

√2

√2

11 9 1 3 3

4

3

√–1

11 9 1 3 3

4

3

√–1

3

√–1

0 –1

–2

–3 1 2 3 417

√—17

2,7 1

— 3 1

3 3,1 3,2

4

(3)

7

Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones dadas en cada caso:

a) Menores o iguales que 3.

b) Comprendidos entre –1 y 0, incluyendo el 0, pero no el –1.

c) Mayores que 2, pero menores que 3.

d) Mayores que 5.

a) (–∞, 3]

b) (–1, 0]

c) (2, 3)

d) (5, +∞)

8

Escribe en forma de intervalo y representa en cada caso:

a) {x / – 6 x3} b) {x/ – 4 < x4} c) {x / x3} d) {x/ 0 < x< 5} e) {x / x> –2} f ) {x/ 10 x}

a) [–6, 3]

b) (– 4, 4]

c) [3, +∞)

d) (0, 5)

e) (–2, +∞)

f ) (–∞, 10]

9

Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso:

a) 0 < x< 1 b) x–3

c) x> 0 d) –5 x5

e) x> –5 f ) 1 x< 3

–1 0

2 3

5

3

–6 0 3

0

0

0 5

–4 4

3

–2 –1

0 10

(4)

a) (0, 1)

b) (–∞, –3] c) (0, +∞) d) [–5, 5]

e) (–5, +∞) f ) [1, 3)

10

Escribe en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos:

a) (1; 2,5) b) [–2, 3] c) [–7, 0)

d) [–3, +) e) (2, +) f ) (–5, 2]

a) {x / 1 < x< 2,5}

b) {x / –2 ≤x≤3} c) {x / –7 ≤x≤0} d) {x / –3 ≤x} e) {x / x> 2}

f ) {x / –5 < x≤2}

P o t e n c i a s y r a í c e s

11

Expresa en forma de potencia con exponente fraccionario:

a) b) c) d)

e) f ) g) h)

a) 52/3 b) a2/5 c) a5/8 d) x1/3

e)a–1/2 f ) a2/4= a1/2 g) a1/2 h) 21/2

12

Expresa en forma de raíz:

a) 32/5 b) 23/4 c) a1/3 d) a1/2

e) x1/4 f ) a3/2 g) x–1/2 h) x–3/2

a) = b) = c) d)

e) f ) 4√xa3 g) √x–1 h) √x–3

a

3

a

4

√8

4

√23

5

√9

5

√32

2

a

4a2

a–1

3x

8a5

5a2

352

0 1

–3

0

0

–5 5

0

–5

0 1 3

0 1

0

–7 0

–1

–2 1 2 3

2 2,5 3

–3 0

2 0

(5)

13

Calcula:

a) 251/2 b) 271/3 c) 1252/3 d) 813/4

a) 251/2= (52)1/2= 52/2= 5

b) 271/3= (33)1/3= 33/3= 3

c) 1252/3= (53)2/3= 53 · 2/3= 52= 25

d) 813/4= (34)3/4= 33= 27

Página 58

14

Calcula las siguientes raíces:

a) b) c)

d) e) f )

g) h)

a) = = 2 b) = = 3

c) = 0 d) = 1

e) = –1 f ) no existe

g) = = –3 h) = = 12

15

Obtén con la calculadora:

a) b) c)

d) e) f ) 283/4

g) 8–1/3 h) 0,021/2 i ) 0,2–1/2

a) = 91/51,55 b) –5,57

c) = 143/4≈7,24 d)

4

=

( )

1/4≈0,88

e) ≈148,16 f ) 283/4≈12,17

g) 8–1/3= 0,5 h) 0,021/2≈0,14

i) 0,2–1/2≈2,24

√283

3 5

3 5

4

√143

3

√–173

5

√9

283

3

4

5

4143

3–173

59

√122 √144

3

√(–3)3

3

√–27

√–1

3

√–1

4

√1

7

√0

5

√35

5

√243

4

√24

4

√16

144

3–27

–1

3–1

41

70

5243

(6)

R a d i c a l e s

16

Multiplica y simplifica el resultado:

a) · · b) ·

c) · · d) ·

a) · · = = = 6

b) · = = = a

c) · · = = = 20

d) · = = = a2

17

Simplifica los siguientes radicales:

a) b) c)

d) e) f )

a) = b) = =

c) = d) =

e) = f ) = x3

18

Reduce a índice común y ordena de menor a mayor en cada caso:

a) , , b) , ,

a) , ,

= =

= = = <

= =

b) , ,

= ; = ; =

Como 310< 216< 59 635 < < 324 4 53

12

√310

6

√35

12

√59

4

√53

12

√216

3

√24

6

√35

4

√53

3

√24

12

√64

12

√43

4 √4 3 √3 4 √4 √2 12 √81 12

√34

3

√3

12

√64

12

√26

√2 4 √4 3 √3 √2 635

453

324

44 332 4

x12

4

x· y

8

x2· y2

3

a· b2

12

a4· b8

5

a4

10

a8

5

√16

5

√24

15

√212

a

6

a3

4x12

8x2y2

12

ab8

10a8

15212

653

a4 √a· a3 √a3

a

√400

√5 · 10 · 8

√8

√10

√5

3

a3

3

a· a2

3

a2

3

a

√36

√2 · 3 · 6

√6

√3

√2

a3

a

8

10

5

3a2

(7)

19

Divide y simplifica el resultado:

a) b) c) :

d) e) : f)

a) = = = 2

b) = = 6 =

c) 4 : 4 = 4 = 4 = 4 =

d) = 3 =

e) : = = =

f ) = = 12 = 12

20

Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales:

a) b) c)

d) e) f)

a) = = 2

b) = = 2

c) = = 4

d) = = 2

e) = = 5 · 2 = 10

f ) = = 10

21

Calcula y simplifica en cada caso:

a)

(

)

10 b)

(

)

4 c)

(

)

8

d) e) 4√√8

(

√√2

)

10 f)

(

3√√2

)

6

432

32

2

√3

√22· 52· 3

√300

√2

√2

√52· 23

√200

√2

√23

√8

4

√4

4

√24· 24· 22

4

√210

√7

√7 · 22

√28

3

√2

3

√24

3

√16

300

200

8

4210

28

316

4 10

400 1 000

12 √202

12 √103

6 √20

4 √10

3 2 32

22

3 2

— : —

2 3

2 3

3 2

3

a

a2 a

3 √a2

3 √a

1 2

1 16

5 · 3

12 · 20

5 20

— : —

12 3

20 3

5 12

6

√2 42

— 23

6 √42

6 √23

3 √4 √2

√4

12 3 √12

√3

6

20

4

10

2 3

3 2

4

a2

4

a

20

4

3 5

4

12

3

4212

(8)

a)

(

)

10= = 25= 32 b)

(

)

4= = 2

c)

(

)

8= = 34= 81 d) =

e)

(

)

10= = f )

(

)

6= = 2

22

( E S T Á R E S U E LTO E N E L L I B RO ) .

23

Calcula y simplifica:

a) + 3 – 5 b) 2 + 4 – 7

c) 3 + 4 + d) 5 + – 8 +

e) +

a) + 3 – 5 = (1 + 3 – 5) = –

b) 2 + 4 – 7 = 2 + 4 – 7 =

= 4 + 24 – 21 = (4 + 24 – 21) = 7

c) 3 + 4 – + = 3 + 4 – + =

= 3 + 8 – 4 + 5 =

= (3 + 8 – 4 + 5) = 12

d) 5 + – 8 + = 5 + – 8 + =

= 10 + 3 – 40 + 4 =

= (10 + 3 – 40 + 4) = –23

e) + – = + – = =

24

Efectúa:

a) + b) +

c) +

a) + – = + – =

= 23· + 22· – 2 · 5 =

= 8√5 + 4√5 – 10√5 = (8 + 4 – 10)√5 = 2√5

√5

√5

√5

√22· 53 √24· 5

√26· 5 √500

√80

√320

35

3135

340

45

54

125

500

80

320

√2 12 (12 + 9 – 20)√2

12 20√2

12 9√2

12 12√2

12 5√2

3 3√2

4

√2

√3

√3

√3

√3

√3

√3

√24· 3 √52· 3

√33 √22· 3 √48

√75

√27

√12

√2

√2

√2

√2

√2

√2

√52· 2

√25

√23

√2

√50

√32

√8

√2

√2

√2

√2

√2

√2

√32· 2 √32· 23

√23 √18

√72

√8

√3

√3

√3

√3

√3

52 3 32

4

2

48

75

27

12

50

32

8

2

18

72

8

3

3

3

6

√26

√2

3 √

√25

4

√210

√2 √

8

√8

√8

4

√ 4

√316

4

√32

√2

√24

√2

√210

(9)

b) + – = + – =

= 5 + 3 – 3 = 2 + 3

c) + – = + – =

= 2 + 3 – = (2 + 3 – 1) = 4

25

Racionaliza y simplifica:

a) b) c) d)

a) = =

b) = =

c) = = = =

d) = =

26

Racionaliza y simplifica:

a) b)

c) d)

a) = = =

b) = = =

c) = = =

d) = = = 2 = 4√8

4 √8 2 2 4√23

4 √24 2 4√23

4

√2 · 4√—23 2

4 √2

3 √x2

x

3 √x2

3 √x3

3 √x2

3

x· 3√—x2

1

3 √x

3 √a3

a

8 √a3

8 √a8

8 √a3

8

a5· 8√—a3

1

8 √a5

3 3√25 5 3 · 3√52

3 √—53

3 · 3√52

3

√5 · 3√—52

3

3 √5

2

4

2 1

3

x

1

8

a5

3

3

5

√15 5 3√15

15 3

√15

√3 2√3

2 √12

2 6√12

12 6

√12

2√6 3 4√6

6 4

√6

√2 2√2

2 2

√2

315 6

12 4

6 2

2

3

√5

3

√5

3

√5

3

√5

3

√5

3

√5

3

√33· 5

3

√23· 5

3

√5

3

√135

3

√40

√6

√5

√5

√6

√5

√32· 5

√33· 2

√53

√45

√54

(10)

Página 59

27

Racionaliza y simplifica:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

a) = = = = 2 – 2

b) = = =

c) = = = = 5 +

d) = = = = –

e) = = = =

f ) = = = +

g) = = = 10 – 10

h) = = = =

i) = = = = – – 2

P I E N S A Y R E S U E LV E

28

¿Cuántos números racionales hay entre 0,

)

8 y 0,9? Pon ejemplos y razona tu

)

respuesta.

√3 2√3 + 4

–2 1 + 2√3 + 3

1 – 3

(

1 +√—3

)(

1 +√—3

)

(

1 – √—3

)(

1 + √—3

)

1 +√—3

1 – √—3

3√2 – 2 7 2 – 3√2

–7 √–2

(√

2 – 3

)

2 – 9 √—2

(√

—2 – 3

)

(√

—2 + 3

)(√

—2 – 3

)

√—2

√—2 + 3

√2

√3 10

(√

3 +√–2

)

3 – 2 10

(√

—3 –√—2

)

(√

—3 + √—2

)(√

—3 – √—2

)

10

√—3 + √—2

√2

√3 √3 +√–2

3 – 2 √—3 +√—2

(√

—3 – √—2

)(√

—3 + √—2

)

1

√—3 – √—2

3 – √5 4 √5 – 3

– 4 √5 – 3

5 – 9 √—5 – 3

(√

—5 + 3

)(√

—5 – 3

)

1

√5 + 3

1 + √3 2 1 + √3

–2 1 + √3

1 – 3 1 + √—3

(

1 –√—3

)(

1 +√—3

)

1

1 – √3

√2 23

(

5 + √2

)

23 23

(

5 + √2

)

25 – 2 23

(

5 + √—2

)

(

5 –√—2

)(

5 +√—2

)

23

5 – √2

12 + 4√2 7 4

(

3 + √2

)

9 – 2 4

(

3 + √—2

)

(

3 –√—2

)(

3 +√—2

)

4

3 – √2

√2 2 – 2√2

–1 2

(

1 – √2

)

1 – 2 2

(

1 – √—2

)

(

1 +√—2

)(

1 –√—2

)

2

1 + √2

1 + 3 1 – 32

2 + 3 10

—3 + —2

1—3 – —2 1

—5 + 3 1

1 – 3

23 5 – 2 4

3 – 2 2

(11)

Entre 0,8 y 0,9 hay infinitos números racionales. Basta con introducir nueves en-tre la parte entera y el primer decimal de 0,

)

8. Por ejemplo, 0,98 está entre 0,8 y 0,

)

9.

)

Lo mismo ocurre con 0,99

)

8; 0,999

)

8; 0,9999

)

8, y así, sucesivamente, vemos que podemos incluir infinitos números racionales entre 0,

)

8 y 0,9.

)

29

Explica un procedimiento para construir un segmento que mida, exactamen-te, cm.

Con un rectángulo 3 ×1 construimos su diagonal, que medirá = .

Con un rectángulo de dimensiones y 1 construimos .

(

)

2+ 12= =

Análogamente, con un rectángulo de dimensiones y 1 construimos .

Finalmente, con un rectángulo de dimensiones y 1 construimos .

30

¿Cuáles de las siguientes raíces no existen?:

; ; ; ;

No existen las raíces de índice par y radicando negativo: , no

existen.

31

Obtén con la calculadora:

a) b) c)

a) ≈–0,41 b) ≈1,57 c) ≈0,59

32

( E S T Á R E S U E LTO E N E L L I B RO ) .

33

Expresa como potencia única:

a) · b) 2 c) a

d) e) f) ·

a) · = 31/2· 31/3= 31/2 + 1/3= 35/6

b) 23√4 = 2 · 3√22 = 2 · 22/3= 21 + 2/3= 25/3

3

√3

√3

6a

3a2

3

a8 a28

3

4

a

34

33

3

√2 1 + √2 √3 +√—2

2 1 – √5

3

2 1 + 23 +—2

2 1 – 5

3

4

√–16

√–1

4–16

5241

–1

60,12

3–20

√13

√12

√12

√11

√11

√10 + 1

10

√11

√10

√10

√32+ 12

13

(12)

c)a = a· a1/2= a3/2

d) = = = 23/2 – 2/3= 25/6

e) = = a8/3 – 2= a2/3

f ) · = a2/3· a1/6= a2/3 + 1/6= a5/6

34

Expresa en forma exponencial:

a)

(

)

3 b) c)

d)

(

)

–3 e)

(

)

2 f)

(

)

5

a)

(

)

3= (a2/5)3= a6/5 b) = = a7/8

c) = = x1/12 d)

(

)

–3= (a1/2)–3= a–3/2

e)

(

)

2= (a2/4)2= a f )

(

)

5= (a1/2)5= a5/2

35

Reduce a un solo radical:

a) · b) · c)

a) · = · = =

b) · = · = = = a

c) = =

8

=

8

=

8

= 8√2–3

1 23

23

26

23

22· 24

8 √23

8

√22· 8√—24

8 √8

4

√2 · √—2

12

a7

12

a19

12

a9· a10

12

a10

12

a9

6

a5

4

a3

12

√211

12

√28· 23

12

√23

12

√28

4

√2

3

√22

8

8

4

2 · —2

6a5

4a3

42

322

a

4

a2

a

12

x

4

x

3 √

8

a7

8

aa2

5

a2

a

4a2

a

4x

3

8

a5· a2

5a2

6

a

3

a2

a8/3 a2

3 √a8

a2

23/2 22/3

√23

3 √22 √8

3 √4

Figure

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