UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA
C´alculo III Gu´ıa #9: Funciones Impl´ıcitas e Inversas 22109 Rodrigo Vargas
1. Considere la funci´on F(x, y) = x2
−y2
+ 4x+ 2y+ 3. Respecto a esta funci´on:
a) ¿Para cuales puntos (a, b) de la relaci´onF(x, y) = 0 es posible resolver
y en funci´on de x?
b) ¿donde es posible resolver x en funci´on de y? c) Grafique la relaci´on y justifique sus resultados.
2. En los siguientes problemas muestre queF(x, y) = 0 puede ser representa-do en la formay=f(x) en la vencidad del punto (a, b) indicado. Grafique y calculeF′(a) en cada caso:
a) F(x, y) =x+y+xdsiny en (0,0) b) F(x, y) =y3
+y−x3
en (0,0) c) F(x, y) =x2/3
+y2/3
−4 en (1,3√3) d) F(x, y) =xy+ ln(xy)−1 en (1,1)
e) F(x, y) =x5
+y5
+xy+ 4 en (2,−2)
3. En los siguientes problemas muestre que F(x, y, z) = 0 puede ser repre-sentada en la formaz =f(x, y) en una vecindad de (a, b, c). Hallefx(a, b) y fy(a, b):
a) F(x, y, z) =x3
+y3
+z3
−3xyz−4 en (1,1,2) b) F(x, y, z) =ex−z2
−x2
−y2
4. En los siguientes problemas demuestre que existe una vecindad del punto (a, b, c) indicando en donde todos los puntos que satisfacen el sistema
F(x, y, z) = 0; G(x, y, z) = 0
tambi´en satisfacen el sistema
y =f(x); z =g(x)
con f y g funciones diferenciables
a)
F(x, y, z) = 2x+ 4y−z
G(x, y, z) = x+ 2y+z en (a, b, c) = (2,−1,0)
b)
F(x, y, z) = x2
+ 2y2
−z2
−2
G(x, y, z) = 2x−y+z−1 en (a, b, c) = (2,−1,−2)
c)
F(x, y, z) = x3
+y3
+z3
−3xyz−14
G(x, y, z) = x2
+y2
+z2
−6 en (a, b, c) = (2,−1,1)
5. Demuestre que existe una vencidad alrededor del punto (a, b, c) excepto para (2,−3,6) y para (−10,−15,30) en donde es posible despejar y =
f(x), z =g(x) de la relaci´on
2z2
−9x2
−4y2
= 0
x+y+z−5 = 0
Resulva expl´ıcitamente.
6. Ddas las ecuaciones
F(x, y, z) = 0; G(x, y, z) = 0
enuncie condiciones bajo las cuales se cumpla que
∂u ∂x
∂y ∂u +
∂v ∂x
∂y ∂v = 0.
7. Sea y una funci´on determinada por la ecuaci´on
x2
+y2
+ 2axy= 0 (a <1).
Demuestre que d
2
y dx2 = 0.
8. Halle dy
dx, d2
y
9. La funci´onz viene dada en un entorno del punto (−1,0,1) por la relaci´on:
x2
+y2
−z2
−xy = 0
¿est´a bien definida? Calcule, si es que existen ∂z/∂x, ∂z/∂y.
10. Sif(x, y, z) = 0. Demuestre que bajo condiciones apropiadas
∂x ∂y ·
∂y ∂z ·
∂z
∂x =−1.
11. Sea la funci´onz dada por la ecuaci´on
x2
+y2
+z2
=ψ(ax+by+cz)
en donde ψ es una funci´on continuamente diferenciable y a, b, c son con-stantes. Demuestre que bajo condiciones apropiadas se cumple que
(cy−bz)∂z
∂x + (az−cx) ∂z
∂y =bx−ay .
¿Cu´ales son estas condiciones?
12. Considere la transformaci´on ϕ:D⊆R2
→R2
dada por
ϕ(u, v) = (x2
+y2
,2xy).
a) ¿Para qu´e puntos (x, y) la transformaci´on es invertible?
b) Si se sabe que el punto (x, y) = (1,2) es llevado al punto (u, v) = (5,4) por la transformaci´on (x, y)7→(u, v), halle en forma expl´ıcita la trasnformaci´on inversa (si es que existe) que lleva (u, v) en (x, y) y tal que (5,4)→(1,2) ¿en d´onde es v´alida esta transformaci´on?
c) Calcule ∂(u, v)
∂(x, y)(1,2) y
∂(x, y)
∂(u, v)(5,4).
13. Considere la transformaci´on
u=x+x2
+y, v =x2
+y2
.
Halle, en el caso que exista ∂y
∂u(3,2).
14. Dada la transformaci´onψ :R2
→R2
dada por
ψ(x, y) = (u−uv, uv),
a) det(Jψ(x, y))
b) La transformaci´on inversa.
c) Las im´agenes de las rectas u = 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1, v = 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1.
d) La imagen del cuadrado 1/2≤u≤3/4, 1/4≤v ≤1/2
15. Considere la transformaci´on f :R2
→R2
dada por
f(x, y) = (excosy, exseny).
Demuestre que
a) Jf−1
(u, v)>0 para todo (x, y)∈R2
.
b) Determine la imagen en el plano (u, v) de los puntos (x, y) = (1,0) y (x, y) = (1,2π). Su resultado ¿entra en contradicci´on con el teorema de la funci´on inversa?
16. En los siguientes ejercicios halle ∂(u, v)
∂(x, y) donde
∂(u, v)
∂(x, y) =
∂u ∂x
∂u ∂y ∂v ∂x
∂v ∂y
y la transformaci´on inversa. En el plano (u, v) dibuje las im´agenes de las rectas x = 1/4, 1/2, 3/4, 1 e y = −1/2, −1/4, 0, 1/4, 1/2 para las siguientes funciones:
a) u=x,v =y+x2
b) u= 2x−3y,v =x+ 2y
c) u= x
1 +x+y,v = y
1 +x+y (x+y >−1)
d) u=xcosπy 2
, v =xsenπy 2
(x >0, −1< y < 1)
17. Halle, usando multiplicadores de Lagrange, la distancia m´ınima desde el punto (−1,3) a la recta x+ 3y= 7.
18. Halle la distancia m´ınima desde el origen al cono
z2
= (x−2)2
+ (y−5)2
19. Halle las dimensiones del mayor paralelep´ıpedo rectangular de aristas par-alelas a los ejes coordenados que puede ser inscrita en el elipsoide
x
3
2
+y 4
2
+z 5
2
= 1.
20. Un pent´agono est´a formado por un rect´angulo y un tri´angulo is´osceles. Ver figura abajo
Si el per´ımetro del pent´agono es P, halle sus dimensiones de modo que tenga m´axima ´area.
21. Halle el m´ınimo def(x, y, z) =x2
+y2
+z2
sujeta a la condici´on x+ 3y−
2z= 4.
22. Halle el m´ınimo def(x, y, z) = x2
+y2
+z2
si (x, y, z) est´a en la recta de intersecci´on de los planos:
x+ 2y+z = 1, 2x−y−3z = 4.
23. Halle aquel punto de la curva x2
+ 2xy + 2y2
−55 = 0, m´as cercano al origen.
24. Halle las dimensiones de una caja de forma rectangular de 12 cent´ımetros cuadrados de ´area total, abierta por encima y cuyo volumen sea el m´aximo posible (suponiendo que tal caja existe).
25. Halle las dimensiones de una caja de forma rectangular de 10 cent´ımetros cuadrados de ´area total cuyo volumen seea el m´aximo posible.
26. Sea f(x, y) = x2
−y2
. Halle los extremos de f si nos restringuimos al c´ıculo unitario.
27. Demuestre que para todo (x, y, z) sobre la esfera unitaria, esto esx2
+y2
+
z2
= 1, se cumple que
28. Halle el m´aximo de f(x, y, z, t) = x2
+y2
+z2
+t2
, sujeto al par de condiciones
x+y−z+ 2t= 2, 2x−y+z+ 3t= 3.
29. Demuestre que todo punto (x, y, z) sobre la intersecci´on del cilindro x2
+
y2
= 2 y el plano x+z = 1, cumple con
1−√2≤x+y+z ≤1 +√2.
30. Halle los puntos sobre la superficie z2
−xy = 1 m´as cercanos al origen.
31. Determine el m´aximo absoluto de la funci´onz = 1+x+2yen las regiones:
a) x≥0, y≥0,x+y≤1. b) x≥0, y≤0,x−y≤1.
32. Determine los valores extremos que puede alcanzar la funci´onf(x, y) =xy
en el disco unitario.
33. Determine m´aximos y m´ınimos de z =x2
+y3
−3xy en la regi´on:
R ={(x, y)|0≤x≤2, −1≤y≤2}.
34. Halle m´aximos y m´ınimos absolutos de z = sinx+ siny+ sen(x+y) en la regi´on
R={(x, y)|0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2}.
35. Hallar las coordenadas de un punto P tal que la suma de los cuadrados de las distancias deP a las tres rectas
x= 0, y= 0, x−y+ 1 = 0,
sea la menor posible.
36. Hallar el tri´angulo de per´ımetro 2p, que al girar alrededor de uno de sus lados engendre el cuerpo de mayor volumen.
37. ¿En qu´e puntos de la elipse
x2
a2 +
y2
b2 = 1,
38. En una esfera de radio R hallar las dimensiones del cilindro inscrito de mayor ´area total posible.
