Sistemas Lineales
Universidad Antonio Nari˜
no
Se propone resolver el problema AX = b donde A es uma matriz cuadrada invertible de orden n. Los sistemas m´as faciles de resolver son aquellos donde la matrizAes diagonal, esto significa que el sistemaAX=bes de la forma
a11 0 ... 0
0 a22 ... 0
..
. ... ... ... 0 0 · · · ann
x1 x2 .. . xn = b1 b2 .. . bn
reduciendose anecuaciones y la soluci´on es
b1/a11
b2/a22
.. . bn/ann
Siaii= 0 para alg´un ´ındicei, ybi = 0, entoncesxi puede ser cualquier n´umero
real. Siaii= 0 ybi6= 0, el sistema no tiene soluci´on.
Otro sistema f´acil de resolver es
a11 0 ... 0
a21 a22 ... 0
..
. ... ... ... an1 an2 · · · ann
x1 x2 .. . xn = b1 b2 .. . bn
en el cualA es una matriz triangular inferior (los elementos no nulos de A se encuentran sobre la diagonal principal y debajo de la misma). Para resolver este sistema, suponemos queaii6= 0 para todoi, as´ıx1se obtiene de la primera
ecuaci´on. se sustituye el valor de x1 en la segunda ecuaci´on para obtener el
valor dex2. procediendo de la misma manera, se obtienenx1,x2, ...,xnuno por
uno y en este orden. Este procedimiento se conoce como sustituci´on progresiva y lo escribimos
xi=bi−
1 aii
i−1
X
j=1
Ejercicio 1. Utilice la idea anterior para deducir un procedimiento que re-suelva el sistema (1) donde la matrizAes triangular superior.
Ejercicio resuelto 1. Resolver el siguiente sistema
4 3 −2 1 0 −0.25 2.5 4.25 0 0 45 79 0 0 0 2.8
x1
x2
x3
x4
=
4
−11
−203
−5.6
De la cuarta ecuaci´on, se deduce quex4=−5.6/2.8 =−2. A partir de la tercera
ecuaci´on
45x3=−203−(79x4) (1)
x3=−203−(79x4)/45 (2)
reemplazandox4 se obtienex3=−1. A partir de la segunda ecuaci´on
x2=
−11−(2.5x3+ 4.25x4)
−0.25 (3)
de dondex2= 0. Finalmente, utilizando la primera ecuaci´on,
x1=
4−(3x2−2x3+x4)
4 (4)
Reemplazandox2, x3, x4por sus valores, se obtiene el valor de x1= 1.
1
M´
etodo de Gauss
el m´etodo de Gauss para resolver el sistemaAX=b Consiste en triangularizar el sistema, es decir por medio de operaciones elementales se obtiene un sistema A0X =b0 dondeA0 es una matriz triangular superior Enseguida se resuelve el
sistema triangularizado.
Ejercicio resuelto 2. Considere el sistema de ecuaciones en forma matricial
4 3 −2 1 3 2 1 5
−2 3 1 2
−5 0 1 1
x1
x2
x3
x4
=
4
−8
−7
−8
Se acostumbra trabajar con una matriz ampliada, resultado de pegar a la derecha deAel vectorb
4 3 −2 1 4 3 2 1 5 −8
−2 3 1 2 −7
−5 0 1 1 −8
Inicialmente se buscan ceros en la primera columna. Para buscar cero en la posici´on (2,1) fila 2 y columna 1, se hace la siguiente operaci´on:
fila2←fila2−3/4fila1
4 3 −2 1 4 0 −0.25 2.5 4.25 −11
−2 3 1 2 −7
−5 0 1 1 −8
Para obtener cero en la posici´on (3, 1) se hace la siguiente operaci´on
fila3←fila3−(−2/4)fila1
4 3 −2 1 4 0 −0.25 2.5 4.25 −11 0 4.5 0 2.5 −5
−5 0 1 1 −8
Para obtener cero en la posici´on (4, 1) se hace la siguiente operaci´on
fila4←fila4−(−5/4)fila1
4 3 −2 1 4 0 −0.25 2.5 4.25 −11 0 4.5 0 2.5 −5 0 3.75 −1.5 2.25 −3
Ahora hay que obtener ceros en la segunda columna. Se empieza por la posici´on (3, 2) haciendo la operaci´on
fila3←fila3−(4.5/−0.25)fila2
4 3 −2 1 4 0 −0.25 2.5 4.25 −11 0 0 45 79 −203 0 3.75 −1.5 2.25 −3
Para obtener cero en la posici´on (4, 2) se hace la siguiente operaci´on
fila4←fila4−(3.75/−0.25)fila1
4 3 −2 1 4 0 −0.25 2.5 4.25 −11 0 0 45 79 −203 0 0 36 66 −168
fila4←fila4−(36/45)fila3
4 3 −2 1 4 0 −0.25 2.5 4.25 −11 0 0 45 79 −203 0 0 0 2.8 −5.6
El sistema resultante es triangular superior, entonces por sustituci´on regresiva obtenemos los valoresx4=−2, x3=−1, x2= 0,yx1= 1. En general cuando ya
hay ceros por debajo de la diagonal, en las columnas 1,2, ..., k−1 para obtener cero en la posici´on (i, k) se hace la operaci´on
filai←filai−(aik/akk)filak
2
Factorizaci´
on LU
Si durante el proceso del m´etodo de Gauss no fue necesario intercambiar filas entonces es posible escribir el sistemaAX=bde la siguiente maneraLU X =b, es decirA=LUcon L matriz triangular inferior con unos en la diagonal formada por los coeficienteslik=aik/akky U matriz triangular superior obtenida al final
del proceso de triangularizaci´on por el m´etodo de Gauss.
Para el ejemplo anterior
U =
4 3 −2 1 0 −0.25 2.5 4.25 0 0 45 79 0 0 0 2.8
L=
1 0 0 0 0.75 1 0 0
−0.5 −18 1 0
−1.25 15 0.8 1
la factorizaci´on LU es ´util para resolver otro sistema Ax= b0 donde b0 es un nuevo vector de t´erminos independiente.
Ax=b0
LU x=b0 Ly=b0 donde
.
Ejercicio resuelto 3. Resolver el sistema
4 3 −2 1 3 2 1 5
−2 3 1 2
−5 0 1 1
x1 x2 x3 x4 = 8 30 15 2 Al resolver
1 0 0 0 0.75 1 0 0
−0.5 −18 1 0
−1.25 15 0.8 1 y1 y2 y3 y4 = 8 30 15 2
se obtieney1= 8, y2= 24, y3= 451, y4= 11.2.
Al resolver
4 3 −2 1 0 −0.25 2.5 4.25 0 0 45 79 0 0 0 2.8
x1 x2 x3 x4 = 8 24 451 11.2
se obtienex4= 4, x3= 3, x2= 2, x1= 1.
Ejercicio 2. Encuentre la factorizaci´onLU de la matriz
1 1 0 3 2 1 −1 1 3 −1 −1 2
−1 2 3 −1
3
M´
etodo de Gauss con pivoteo parcial
El m´etodo de Gauss que se describio anteriormente no es satisfactorio en tanto fracasa en sistemas que podriamos considerar f´aciles de resolver
1 1 1 x1 x2 = 1 2
Al aplicar el m´etodo de Gauss, se obtiene el siguiente sistema triangular superior
1
0 1−−1 x1 x2 = 1 2−−1
La soluci´on es
x2=
x1= (1−x2)−1≈0
sin embargo la soluci´on correcta esx1=x2= 1
Veamos otro ejemplo que mostrar´a que la pequenez de a11 no es la causa del
problema. M´as bien la pequenez relativa dea11 respecto de los dem´as elementos
en su fila
1 −1
1 1 x1
x2
=
−1
2
El m´etodo de Gauss produce
1 −1
0 1−−1
x1
x2
=
−1
2−−1
La soluci´on es
x2=
2−−1
1−−1 ≈1
x1=−1−−1x2≈0
sin embargo la soluci´on correcta esx1=x2= 1
Las dificultades desaparecer´an si se cambia el orden de las ecuaciones
1 1 1
x1
x2
=
2 1
El m´etodo de Gauss produce
1 1 0 1−
x1
x2
=
2 1−2
cuya soluci´on es
x2=
1−2 1− ≈1
x1=
1−2 1− ≈1
La conclusi´on que puede extraerse de los anteriores ejemplos es que un buen m´etodo debe permitir el intercambio de ecuaciones cuando las circunstancias as´ı lo exijan. En el m´etodo de Gauss con pivoteo parcial se busca el elemento de mayor valor absoluto en la columnakde la diagonal hacia abajo, es decir entre los valores|akk|,|ak+1k||ak+2k|, ...,|ank|, y se intercambian la filaky la fila del
valor dominante.
0.7290 0.8100 0.0000
1 1 1
1.3310 1.2100 1.1000
x1
x2
x3
=
0.6867 0.8388 1.0000
Al resolver con cuatro cifras decimales, resulta
0.7290 0.8100 0.0000 0.9000 1 1 1 0.8338 1.3310 1.2100 1.1000 1.0000
Intercambio de las filas 1 y 3
1.3310 1.2100 1.1000 1.0000 1 1 1 0.8338 0.7290 0.8100 0.0000 0.9000
conLik= 0.7513 y conLik= 0.5477 se obtiene
1.3310 1.2100 1.1000 1.0000 0.0000 0.0909 0.1736 0.0825 0.0000 0.1473 0.2975 0.1390
Intercambio de las filas 2 y 3
1.3310 1.2100 1.1000 1.0000 0.0000 0.1473 0.2975 0.1390 0.0000 0.0909 0.1736 0.0825
conLik= 0.6171 se obtiene
1.3310 1.2100 1.1000 1.0000 0.0000 0.1473 0.2975 0.1390 0.0000 0.0000 −0.0100 0.0033
La soluci´on del sistema triangular da (0.2267), 0.2770,0.3300)
Ejercicio 3. La soluci´on exacta del sistema anterior, tomada con cuatro cifras decimales es (0.2245, 0.2814, 0.3279). Resuelva el ejemplo anterior empleando esta vez el m´etodo de Gauss, trabaje con cuatro cifras decimales. Compare la soluci´on encontrada con la soluci´on exacta y la obtenida por el m´etodo de Gauss con pivoteo parcial.
Ejercicio 4. Resuelva por el m´etodo de Gauss con pivoteo parcial el sistema Ax=b, donde
A=
4 −12 10
−12 45 30
−10 30 41
, b=
6
−9
−31
4
Factorizaci´
on
LU
=
P A
al aplicar el m´etodo de Gauss con pivoteo parcial, se espera por lo menos una vez hacer un intercambio de filas, de esta manera la factorizaci´on LU =Ano se puede obtener. No obstante si se puede obtener una factorizaci´on LU = P A donde P es un a matriz de permutaci´on, es decir, se obtiene mediante permutaci´on de filas de la matriz identidad.
Una matriz de permutaci´onP puede presentarse de manera compacta mediante un vector p de Rn con la convenci´on P
i = IPi. Por ejemplo p = (3,4,2,1)
representa la matriz
0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0
Ejercicio resuelto 5. Obtener la factorizaci´onLU =P Ade la matriz
A=
1 2 −1 2 4 0 0 1 −1
InicialmenteP = (1,2,3,4, para buscar el mejor pivote se intercambian las filas 1 y 2
P= (2,1,3),
2 4 0 1 2 −1 0 1 −1
buscando ceros en la primera columna y almacenando los valoresLikse obtiene
2 4 0 1/2 0 −1
0 1 −1
Para buscar el mejor pivote se intercambian la fila 2 y 3
P = (2,3,1),
2 4 0 0 1 −1 1/2 0 −1
Ya tenemos toda la informaci´on necesaria para obtenerL, U yP
L=
1 0 0 0 1 0 1/2 0 1
U =
2 4 0 0 1 −1 0 0 −1
P =
0 1 0 0 0 1 1 0 0
Si se desea resolver el sistemaAx=b a partir de la descomposici´onLU =P A se considera el siguiente procedimiento
1. Resolverz=P b
2. ResolverLy=z
3. ResolverU x=y
Ejercicio resuelto 6. Para la matriz A del ejemplo anterior, resolverAx=b conb= (5,10,2)
z=P b= (10,2,5) Ly=z, luegoy= (10,2,0) U x=y, luego y = (1, 2, 0)
Ejercicio 5. Halle la factorizaci´onLU =P Apara la matrizAdel ejercicio 4. Resuelva el sistemaAx=c, con
c=
−36 126 122
Ejercicio 6. Considere las siguientes matrices. Encuentre la matriz de per-mutaci´on P, tal que P A se pueda factorizar en el producto LU, donde L es triangular inferior con unos en su diagonal y donde U es triangular superior para las siguientes matrices.
1.
1 2 −2 2 4 0 0 1 −1
2.
0 1 1 1 −2 −1 1 −1 1
3.
1 1 −1 0 1 1 4 3 2 −1 2 4 2 −1 2 3
5
M´
etodos Indiretos
Los m´etodos iterativos para resolver el sistema Ax=b dondeA es una matriz cuadrada no singular, proporcionan una aproximaci´on de la soluci´on, despues de un n´umero finito de iteraciones exigido de acuerdo con la precisi´on deseada. Los m´etodos que se describen a continuaci´on se construyen con ayuda de una matriz no singularB de tal manera que al escribirA=B+ (A−B) el sistema Ax=b quedaBx+ (A−B)x=bde dondex= (I−B−1A)x+B−1b. Resulta
por tanto natural considerar el m´etodo iterativo
xk+1= (I−B−1A)xk+B−1b (5)
o equivalentemente,
Bxk+1= (B−A)xk+b, k= 0,1, . . . (6)
La matriz
G=I−B−1A (7)
se llama matriz de iteraci´on. Se denota k = xk −x el error en la k-´esima
iteraci´on, la condici´on de convergencia implica entonces limk= 0 cuandok−→
∞
5.1
El m´
etodo de Jacobi
SeaA=AL+AD+AU dondeAD=diag(a11, ..., a1n),
AL=
0 0 0 0
a21 0 0 0
..
. . .. . .. ... an1 . . . ann−1 0
AU =
0 a12 . . . a1n
..
. . .. . .. ... 0 . . . 0 ann−1
0 . . . 0 0
Se supone que la matrizAD es no singular. El m´etodo de Jacobi es el m´etodo
iterativo que se obtiene cuando enB =AD. En este caso la matriz de iteraci´on
es
G=I−B−1A=−A−D1(AL+AR)
De (2) se tiene
ADxk+1=−(AL+AR)xk+b
Ejercicio resuelto 7. Construya las f´ormulas de iterados para xk1+1, xk2+1, xk3+1 del sistema
5 −1 1 2 8 −1
−1 1 4
x1
x2
x3
=
10 11 3
por el m´etodo de Jacobi, Partiendo dex0= (0,0,0).
El m´etodo de Jacobi permite construirxki con i=1, 2, 3; k=0,1... en la siguiente forma
xk1+1 = 1/5[10−(−xk
2+xk3)]
xk2+1= 1/8[11−(2xk
1−xk3)]
xk3+1= 1/4[3−(−xk
1+xk2)]
Ejercicio 7. Resuelva el sistema anterior por el m´etodo de Jacobi, partiendo del vector inicialx0= (0,0,0) y empleando como criterio de detenci´onkxk+1−
xkk2<10−5
5.2
M´
etodo de Gauss Seidel
El m´etodo de Gauss Seidel mejora la rapidez con la cual converge el m´etodo de Jacobi
Ejercicio resuelto 8. Resolver
10 2 −1 0 1 20 −2 3
−2 1 30 0
1 2 3 20
x1
x2
x3
x4
=
26
−15 53 47
Partiendo dex0= (1,2,3,4) la iteraci´on correspondiente seria
x11=26−(2×2 + (−1)×3 + 0×4) 10 = 2.5 x1= (2.5, 2, 3, 4)
x22= −15−(1×2 + (−1)×3 + 0×4) 10 = 2.5 x2= (2.5, -1.175, 3, 4)
x33=53−(−2×2.5 + 1×(−1.175) + 0×4
30 = 1.9725 x3= (2.5, -1.175, 1.9725, 4)
x44= 47−(1×2.5 + 2×(−1.175) + 3×1.9725
20 = 2.0466 x4= (2.5, -1.175, 1.9725, 2.0466)
Una vez que se ha realizado una iteraci´on completa (n subiteraciones) se utiliza el ´
ultimoxobtenido como aproximaci´on inicial y se vuelve a empezar; se calcula x1 de manera que se satisfaga la primera ecuaci´on, luego se calcula x2.... A
3.0323 -1.1750 1.9725 2.0466 3.0323 -1.0114 1.9725 2.0466 3.0323 -1.0114 2.0025 2.0466 3.0323 -1.0114 2.0025 1.9991
3.0025 -1.0114 2.0025 1.9991 3.0025 -0.9997 2.0025 1.9991 3.0025 -0.9997 2.0002 1.9991 3.0025 -0.9997 2.0002 1.9998
3.0000 -0.9997 2.0002 1.9998 3.0000 -1.0000 2.0002 1.9998 3.0000 -1.0000 2.0000 1.9998 3.0000 -1.0000 2.0000 2.0000
3.0000 -1.0000 2.0000 2.0000 3.0000 -1.0000 2.0000 2.0000 3.0000 -1.0000 2.0000 2.0000 3.0000 -1.0000 2.0000 2.0000
El m´etodo de Gauss Seidel es el m´etodo iterativo que se obtiene cuando en (3) se reemplazaB=AD+AL. En este caso la matriz de iteraci´on es
G=I−B−1A=−(A
D−AL)−1AR)
Reemplazando en (2) se obtiene
(AD+AL)xk+1=−ARxk+b
5.3
Convergencia
Definici´on 1. Una matriz A es de diagonal estrictamente dominante sobre sus filas, si satisface:
|aii|> n
X
j=1,j6=i
|aij| (8)
coni= 1,2..., n
Definici´on 2. Una matriz A es de diagonal estrictamente dominante sobre sus columnas, si satisface:
|ajj|> n
X
i=1,i6=j
conj= 1,2..., n.
En ambos casos cuando la desigualdad no es estricta, se dice queAes debilmente dominante
Algunos criterios garantizan la convergencia del m´etodo de Gauss Seidel y por ende del m´etodo de Jacobi. Por ser condiciones suficientes para la convergen-cia son criterios bastante fuertes, es decir la matriz A puede no cumplir tales requisitos y sin embargo el m´etodo puede ser convergente.
Terminamos esta secci´on con el siguiente teorema cuya demostraci´on pueden encontrar en la bibliograf´ıa de estas notas.
Teorema 1. SiA es de diagonal estrictamente dominante por filas, entonces el m´etodo de Gauss Seidel converge para cualquierx0 inicial.
6
Bibliograf´ıa
Mora Escobar Hector, Introducci´on a C y a m´etodos num´ericos, Universidad Nacional de Colombia, Bogot´a, 2004.
