Desarrollo de un sistema neurodifuso para la solución a la cinemática inversa de manipuladores robóticos

DESARROLLO

DE

UN

SISTEMA

NEURO-DIFUSO

PARA

LA

SOLUCIÓN

A

LA

CINEMÁTICA

INVERSA

DE

MANIPULADORES

ROBÓTICOS

E

S

I

M

E

SECCIÓN

DE

ESTUDIOS

DE

POSGRADO

E

INVESTIGACIÓN

I

NSTITUTO

P

OLITÉCNICO

N

ACIONAL

M ,D.F.J 2008

DIRIGIDA POR:

DR. EMMANUEL ALEJANDRO MERCHÁN CRUZ DR. LUIS HÉCTOR HERNÁNDEZ GÓMEZ

P R E S E N T A:

ING. RODOLFO PONCE REYNOSO

MAESTRO EN CIENCIAS

CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA

TESIS

Índice General

Índice General ... i

Índice de Figuras ... v

Índice de Tablas ... vii

Resumen ... ix

Abstract ... x

Objetivo ... xi

Justificación. ... xii

Introducción ... xiii

1. Estado del Arte ... 2

1.1 Definición de robótica ... 2

1.2 Lógica difusa ... 3

1.2.1 Aplicaciones de lógica difusa en la robótica ... 3

1.3 Redes neuronales ... 4

1.3.1 Aplicaciones de las redes neuronales en la robótica ... 5

1.4 ANFIS ... 6

1.5.1 Aplicaciones de ANFIS en la robótica ... 7

1.5 Sumario ... 8

2. Marco teórico ... 10

2.1 Mecánica de manipuladores robóticos ... 10

2.1.1 Cinemática ... 10

2.1.1.1 Problema cinemático directo ... 11

2.1.1.2 Problema cinemático inverso ... 14

2.1.1.3 Cinemática de velocidades ... 15

2.1.1.4 Cinemática de aceleraciones ... 19

2.1.2 Dinámica ... 20

2.1.2.1 Energía cinética del manipulador ... 21

2.1.2.2 Energía potencial del manipulador ... 23

2.1.2.3 Forma general de la ecuación dinámica de movimiento de un manipulador ... 24

2.1.3 Generación de trayectorias de movimiento ... 25

2.1.4 Control ... 27

2.1.4.1 Métodos de control de movimiento convencionales ... 27

2.2 Lógica difusa ... 30

2.2.1 Conjuntos difusos ... 30

2.2.3 Operadores difusos ... 32

2.2.4 Control difuso ... 33

2.2.4.1 Fusificación ... 34

2.2.4.2 Base de reglas difusas ... 35

2.2.4.3 Mecanismo de inferencia ... 37

2.2.4.4 Defusificación ... 37

2.3 Redes neuronales ... 39

2.3.1 Inspiración biológica ... 39

2.3.2 Modelo de una neurona artificial ... 40

2.3.3 Red neuronal ... 40

2.3.3.1 Estructura de una red neuronal ... 41

2.3.3.2 Modelos de redes neuronales ... 41

2.3.4 Funciones de transferencia ... 43

2.3.5 Entrenamiento ... 44

2.3.5.1 Aprendizaje supervisado ... 44

2.3.5.2 Aprendizaje no supervisado ... 45

2.4 Sumario ... 46

3. Redes neuro-difusas ... 48

3.1 Definición de computación flexible (soft-computing) ... 48

3.2 Sistema de inferencia difuso basado en una red adaptiva (ANFIS) ... 48

3.2.1 Características de ANFIS ... 49

3.2.2 Arquitectura ANFIS ... 50

3.2.3 Algoritmo de aprendizaje empleado ... 53

3.2.4 Ajuste de parámetros antecedentes y consecuentes ... 54

3.2.4.1 Parámetros antecedentes ó premisa (parámetros de las funciones de membresía) ... 54

3.2.4.2 Parámetros consecuentes (parámetros de las reglas difusas de tipo Takagi-Sugeno) . 57 3.3 Identificación de parámetros ... 57

3.3.1 Estimador de cuadrados mínimos ... 57

3.3.2 Estimador de cuadrados mínimos recursivos ... 60

3.4 Aplicación de ANFIS ... 62

3.4.1 Modelado de una función no lineal de dos entradas ... 62

3.4.2 Modelado de una función no lineal de tres entradas ... 66

3.4.2.1 Porcentaje promedio de error ... 67

3.5 Sumario ... 68

4. Caso de estudio ... 70

4.2 Cinemática del manipulador ... 71

4.2.1 Problema cinemático directo ... 73

4.2.2 Problema cinemático inverso ... 74

4.2.3 Singularidades ... 74

4.2.4 Solución a la cinemática inversa por el método algebraico ... 76

4.2.5 Solución a la cinemática inversa por el método numérico de Newton ... 78

4.3 Solución a la cinemática inversa por medio del sistema neuro-difuso (ANFIS) ... 78

4.3.1 Rango de movilidad y espacio de trabajo del manipulador ... 79

4.3.2 Generación de los pares de datos de entrenamiento ... 80

4.3.3 Entrenamiento de la red neuro-difusa ... 81

4.3.4 Funciones de membresía empleadas ... 81

4.3.5 Aprendizaje de la cinemática inversa de θ1 ... 82

4.3.6 Aprendizaje de la cinemática inversa de θ2 ... 85

4.4 Obtención de la velocidad y aceleración angular del manipulador plano ... 86

4.4.1 Velocidad angular ... 86

4.4.2 Aceleración angular ... 87

4.5 Determinación de la trayectoria de movimiento del manipulador ... 88

4.5.1 Polinomios de quinto orden ... 88

4.5.2 Determinación de la aceleración máxima permitida ... 94

4.6 Determinación de la dinámica del manipulador ... 95

4.6.1 Trayectorias de movimiento dinámicas ... 96

4.6.2 Cambios en la carga del manipulador ... 98

4.7 Control del manipulador robótico ... 99

4.8 Segundo caso de estudio: solución a la cinemática inversa de un manipulador plano de tres grados de libertad mediante ANFIS ... 103

4.9 Tercer caso de estudio: solución a la cinemática inversa de un manipulador de tres grados de libertad con movimiento espacial mediante ANFIS ... 106

4.9.1 Solución a la cinemática directa del manipulador de tres grados de libertad ... 108

4.9.2 Generación de los datos de entrenamiento ... 110

4.9.3 Entrenamiento de las redes neuro-difusas ... 112

4.10 Sumario ... 113

5. Análisis y discusión de resultados ... 115

5.1 Consideraciones generales ... 115

5.2 Análisis de resultados del primer caso de estudio ... 115

5.2.1 Validación de θ1yθ2inferidos por ANFIS ... 115

5.3 Análisis de resultados del segundo caso de estudio ... 119

5.3.1 Validación de θ1,θ2yθ3inferidos por ANFIS ... 119

5.4 Análisis de resultados del tercer caso de estudio ... 120

5.4.1 Validación de θ1,θ2yθ3inferidos por ANFIS ... 120

5.3 Sumario ... 122

Conclusiones y recomendaciones para trabajos futuros. ... 124

Conclusiones generales. ... 124

Recomendaciones para trabajos futuros ... 126

Referencias ... 128

Anexos. ... 132

Anexo 1. Código desarrollado ... 132

Índice de Figuras

Figura 1.1 Control de aplanado por rodillos mediante un sistema neuro-difuso. El patrón escaneado de la superficie de la placa es reconocido por una red neuronal. Las salidas de las redes neuronales

son empleadas para ajustar las reglas difusas... 7

Figura 2.1 Problema cinemático directo e inverso (Fu et al., 1988) ... 10

Figura 2.2 Asignación de los marcos i e i-1 para un manipulador (Craig, 1955) ... 12

Figura 2.3 Manipulador de tres eslabones, mostrando dos posibles configuraciones para alcanzar un mismo punto (Craig, 1955) ... 14

Figura 2.4 Movimiento del efector final debido al eslabón i (Spong & Vidyasagar, 1999) ... 17

Figura 2.5 Manipulador planar de 2 eslabones con sus respectivos parámetros (Fu et al., 1988) ... 25

Figura 2.6 Diagrama de bloques de control básico de un manipulador robótico (Fu et al., 1988) ... 27

Figura 2.7 Esquema de control basado en un modelo (Método del Par Calculado) ... 28

(Craig, 1988) ... 28

Figura 2.7 Funciones características de un conjunto difuso (a) y un conjunto clásico (b) ... 30

Figura 2.8 Arquitectura básica de un controlador lógico difuso (CLD) ... 34

Figura 2.9 Esquema de una neurona biológica (Hagan et al., 1996) ... 39

Figura 2.10 Modelo de McCulloch y Pitts de una neurona con múltiples entradas (McCulloch & Pitts, 1943) ... 40

Figura 2.11 Red de perceptrón con una sola neurona (Hagan et al., 1996) ... 42

Figura 2.12 Red de Hamming (Hagan et al., 1996) ... 43

Figura 3.1 (a) Modelo difuso de primer orden de tipo Sugeno de dos entradas con dos reglas. (b) Arquitectura ANFIS equivalente (Roger Jang, 1993) ... 51

Figura 3.2 Significado físico de los parámetros de la función de membresía de tipo campana generalizada ... 55

Figura 3.3 Significado de la variación del parámetro ‘ a ’ ... 55

Figura 3.4 Significado de la variación del parámetro ‘ b ’ ... 56

Figura 3.5 Significado de la variación del parámetro ‘ c ’ ... 56

Figura 3.6 Funciones de membresía de tipo campana generalizada asignadas a las variables de entrada x, y ... 63

Figura 3.7 Estructura del modelo neuro-difuso propuesto para aproximar la función no lineal ... 64

Figura 3.9 Estructura del sistema neuro-difuso propuesto para aproximar la función no lineal ... 66

Figura 4.1 (a) Modelo del manipulador planar propuesto (b) Esquema del manipulador ... 70

Figura 4.2 Problema cinemático directo en un manipulador plano de dos grados de libertad con articulaciones de tipo revolución ... 71

Figura 4.3 Problema cinemático inverso en un manipulador plano de dos grados de libertad con articulaciones de tipo revolución ... 72

Figura 4.4. Manipulador plano en diferentes posiciones del efector final variando los valores angulares θ1, θ2 de las articulaciones ... 73

Figura 4.5 Configuraciones singulares del manipulador ... 76

Figura 4.6 Dos soluciones al problema cinemático inverso (Spong & Vidyasagar, 1999) ... 77

Figura 4.7 Solución algebraica a la cinemática inversa, para dos posiciones distintas del efector final ... 77

Figura 4.8 Solución a la cinemática inversa mediante el método numérico de Newton, para dos posiciones distintas del efector final ... 78

Figura 4.9 Esquema de la forma en que se aborda y resuelve el problema cinemático inverso ... 79

Figura 4.10 Rango de movilidad de los eslabones del manipulador plano ... 79

Figura 4.12 (a) Fusificación de la entrada x con 4 funciones de membresía ... 82

(b) Fusificación de la entrada y con 4 funciones de membresía ... 82

Figura 4.13 Identificación de θ1 por medio de ANFIS empleando 4 funciones de membresía ... 83

Figura 4.14 Identificación de θ1 por medio de ANFIS empleando 5 funciones de membresía ... 83

Figura 4.15 Red neuro-difusa propuesta para la identificación de θ1 ... 84

Figura 4.16 Identificación de θ2 por medio de ANFIS ... 85

Figura 4.17 Red neuro-difusa propuesta para la identificación de θ2 ... 85

Figura 4.18 Solución a la cinemática inversa del manipulador mediante ANFIS ... 89

Figura 4.19 Trayectoria de posición de la articulación uno ... 90

Figura 4.20 Trayectoria de velocidad de la articulación uno ... 91

Figura 4.21 Trayectoria de aceleración de la articulación uno ... 91

Figura 4.22 Trayectoria de posición de la articulación dos... 93

Figura 4.23 Trayectoria de velocidad de la articulación dos... 93

Figura 4.24 Trayectoria de aceleración de la articulación dos ... 94

Figura 4.25 Esquema representativo de la metodología para la obtención del historial de torque .... 96

Figura 4.26 Torque requerido para generar la trayectoria de movimiento de la articulación 1 ... 97

Figura 4.27 Torque requerido para generar la trayectoria de movimiento de la articulación 2 ... 97

Figura 4.28 Historial de torque requerido en la articulación 1 al aumentar la carga en el efector final en 0.4 y 0.8 kg ... 98

Figura 4.29 Historial de torque requerido en la articulación 2 al aumentar la carga en el efector final en 0.4 y 0.8 kg ... 99

Figura 4.30 Sistema de control del manipulador basado en su modelo dinámico (Método del par calculado) ... 100

Figura 4.31 Control de la trayectoria de posición deseada de la articulación 1 por medio del método del par calculado ... 101

Figura 4.32 Control de la trayectoria de posición deseada de la articulación 2 por medio del método del par calculado ... 101

Figura 4.33 Torque producido por medio del método del par calculado para controlar el movimiento de la articulación 1 ... 102

Figura 4.34 Torque producido por medio del método del par calculado para controlar el movimiento de la articulación 2 ... 102

Figura 4.35 Manipulador plano de tres grados de libertad ... 103

Figura 4.36 Solución a la cinemática inversa del manipulador mediante tres sistemas ANFIS ... 104

Figura 4.37. Aprendizaje de θ1 por parte de ANFIS del toolbox de Matlab® Ver. R2007b ... 105

Figura 4.38 Aprendizaje de θ2 por parte de ANFIS del toolbox de Matlab® Ver. R2007b ... 105

Figura 4.39 Aprendizaje de θ3 por parte de ANFIS del toolbox de Matlab® Ver. R2007b ... 106

Figura 4.40 Manipulador de tres grados de libertad con movimiento espacial... 107

Figura 4.41 Solución a la cinemática inversa del manipulador mediante tres sistemas ANFIS ... 107

Figura 4.42 Puntos mapeados dentro del espacio de trabajo del manipulador de tres grados de libertad ... 108

Figura 4.43 Asignación de los marcos de los sistemas de coordenadas cartesianas ... 108

Figura 4.44 Identificación de θ1 ... 112

Figura 4.45 Identificación de θ2 ... 112

Figura 4.46 Identificación de θ3 ... 113

Figura 5.1 Esquema de las etapas de solución al problema cinemático inverso ... 115

Figura 5.2 Error entre θ1 predecido por ANFIS y θ1 calculado ... 117

Índice de Tablas

Tabla 2.1 Caracterización matemática de una función triangular de membresía (Passino &

Yurkovich, 1998) ... 31

Tabla 2.2 Caracterización matemática de una función Gaussiana de membresía (Passino & Yurkovich, 1998) ... 32

Tabla 2.3 Reglas de implicación difusa (Lin & Lee, 1996) ... 37

Tabla 2.4 Funciones de transferencia más empleadas (Hagan et al., 1996) ... 43

Tabla 3.1 Técnicas que constituyen a la computación flexible ... 48

Tabla 3.2 Procedimiento de aprendizaje híbrido de ANFIS en dos pasos (Roger Jang, 1993) ... 53

Tabla 3.3 Parámetros de las funciones de membresía de tipo campana generalizada (Antecedentes) ... 64

Tabla 3.4 Reglas difusas de tipo Takagi-Sugeno para la red neuro-difusa propuesta ... 65

Tabla 4.1 Parámetros y valores de los eslabones del manipulador ... 71

Tabla 4.2 Dimensiones de los parámetros del manipulador... 95

Tabla 4.3 Parámetros de Denavit-Hartenberg ... 109

Tabla 5.1. Comparación de resultados obtenidos mediante ANFIS y el método algebraico ... 116

Tabla5.2. Comparación entre resultados obtenidos mediante ANFIS y el método de Newton ... 120

Agradecimientos

Mi más profundo agradecimiento y gratitud a mis padres y a mi familia por estar siempre conmigo

alentándome en todo momento.

A mis amigos, por todo el apoyo, consejos y vivencias adquiridas a lo largo de esta etapa de mi

vida.

A mis directores de tesis y a todos mis profesores, los cuales fueron parte fundamental para la

culminación de este trabajo.

A mi alma mater, el INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL, por haberme dado las

herramientas y la formación necesarias para la vida.

Agradezco al Instituto Politécnico Nacional (IPN) y al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (

CONACyT ), por el apoyo y los medios otorgados para la realización de este trabajo de tesis, a

través del programa institucional de becas de posgrado y del Programa Institucional de Formación

de Investigadores (PIFI), con los proyectos SIP20071298 “Análisis y síntesis de un mecanismo

antropomórfico subactuado para el desarrollo de una prótesis robótica, diseño y construcción del

prototipo” y SIP20082296 “Caracterización de la dinámica del cuerpo humano mediante un

sistema basado en acelerómetros microelectromecánicos (MEMS)” . Así mismo, se agradece el apoyo

otorgado por medio del proyecto SEP/CONACyT 2005-49701 “Robótica y microtecnología

aplicada a la ingeniería biomecánica para el desarrollo de prótesis y equipo con tecnología

nacional”.

Resumen

Este trabajo presenta el desarrollo e implementación de redes neuro-difusas (ANFIS) aplicadas a la solución del problema de la cinemática inversa de manipuladores robóticos planos y espaciales. Debido a la naturaleza de las redes neuro-difusas, cuya estructura en paralelo les permite identificar y aproximar funciones no lineales, se hace, por lo tanto, de gran interés explorar su aplicación a la solución de un problema no lineal como lo es la cinemática inversa de manipuladores.

Para demostrar la factibilidad de emplear una red neuro-difusa como alternativa de solución, se analizan tres casos de estudio: dos manipuladores planos de dos y tres grados de libertad y otro con configuración espacial de revolución de tres grados de libertad. En todos los casos se obtienen resultados satisfactorios y son validados mediante la comparación con aquellos resultados generados por la aproximación algebraica y el método numérico de Newton.

Abstract

This work presents the development and implementation of neuro-fuzzy networks (ANFIS) applied to the solution of the problem of the inverse kinematics of planar and spatial robot manipulators. Due to the nature of the neuro-fuzzy networks, which its parallel structure allows them to identify and approximate nonlinear functions, therefore it is of great interest to explore its application to the solution of a nonlinear problem such as the inverse kinematics of manipulators.

To demonstrate the feasibility of using a neuro-fuzzy network as an alternative of solution, three study cases are analyzed: two planar manipulators of two and three-degrees of freedom and another with revolute spatial configuration of three-degrees of freedom. In all cases satisfactory results are obtained and are validated by the comparison against those generated by the algebraic approach and the numerical method of Newton.

Objetivo

Desarrollar y simular un sistema neuro-difuso aplicado a la solución de la cinemática inversa de tres manipuladores robóticos de dos y tres grados de libertad.

Objetivos particulares

1. Establecer una metodología para la generación de datos de entrenamiento que sirvan para entrenar a los sistemas neuro-difusos propuestos.

2. Diseñar una red neuro-difusa que aprenda la cinemática inversa de un manipulador plano de dos grados de libertad con articulaciones de tipo revolución como caso de estudio.

3. Diseñar una red neuro-difusa que aprenda la cinemática inversa de un manipulador plano de tres grados de libertad con articulaciones de tipo revolución como caso de estudio.

4. Realizar el análisis dinámico, la generación de trayectoria de movimiento y diseño del esquema de control del manipulador plano de dos grados de libertad.

Justificación.

Existen muchas técnicas y métodos para resolver el problema de la cinemática inversa en manipuladores robóticos, sin embargo se ha encontrado que en general esos métodos son computacionalmente costosos, en cuanto a tiempo y recursos de memoria en el caso de una aplicación on-line. Es por ello, que se propone la exploración y aplicación de una red neuro-difusa a la solución del problema de la cinemática inversa de manipuladores, la cual tiene como ventaja principal que se realiza primero el entrenamiento ó aprendizaje fuera de línea (off line) de la red neuro-difusa y una vez entrenada se utiliza ya en la solución del problema en tiempo real. Después se compararán los resultados obtenidos por métodos convencionales con aquéllos obtenidos mediante la red neuro-difusa, y se evaluará de esta manera su factibilidad de aplicación.

Los sistemas ó redes neuro-difusas presentan una gran flexibilidad y capacidad de generalización, en cuanto a la identificación y modelación de funciones altamente no lineales. La combinación de sus grandes potenciales, los cuales son la gran capacidad de aprendizaje y generalización de las redes neuronales y la facilidad de manejo de información vaga e incertidumbres de la lógica difusa, hace que la aplicación de un sistema neuro-difuso orientada a la solución de un problema no lineal, como es el caso de la solución a la cinemática inversa, sea de mucho interés y motivación.

Introducción

El presente trabajo de investigación se encuentra distribuido en cinco capítulos, los cuales se detallan a continuación:

El primer capítulo muestra una recopilación de los trabajos que se han realizado en lo que se refiere a lógica difusa y redes neuronales aplicadas a la solución del problema de la cinemática inversa. Así mismo, se presentan los trabajos de investigación sobre sistemas neuro-difusos y se observa que son aún pocos los realizados en cuanto a la materia que se estudia en esta tesis.

En el segundo capítulo de este trabajo se establecen los fundamentos teóricos en los cuales se apoya todo el estudio de movimiento de manipuladores robóticos, desde la cinemática (movimiento de un cuerpo sin atender las causas que lo originan), dinámica (estudio de las causas que originan el movimiento de un cuerpo) y control de movimiento, hasta los principios de la lógica difusa y la teoría de las redes neuronales artificiales.

El tercer capítulo presenta de manera formal a las redes neuro-difusas (ANFIS), de las cuales se habla de su arquitectura, funcionamiento, entrenamiento y aplicación. Se detalla cuál es su metodología de aprendizaje y se realizan dos casos de estudio en los que se emplean dos funciones no lineales, las cuales se identifican y aproximan. De esta manera se deja el material listo para su posterior aplicación en la solución al problema de la cinemática inversa.

En el cuarto capítulo se muestra y desarrolla la aplicación del ANFIS a la solución del problema de la cinemática inversa de manipuladores robóticos. Se generan los pares de entrenamiento que serán presentados a las redes neuro-difusas, se realiza el aprendizaje de las redes y finalmente se aplica a la solución del problema. Se presentan tres casos de estudio, dos de manipuladores planos de dos y tres grados de libertad y otro de un manipulador con movimiento espacial de tres grados de libertad.

Esta sección presenta algunas de las aplicaciones e investigaciones más significativas que se han efectuado para la solución a la cinemática inversa de manipuladores robóticos, empleando para tal fin lógica difusa, redes neuronales y sistemas neuro-difusos.

Estado del Arte

1. Estado del Arte

La Federación Internacional de Robótica (International Federation of Robotics) recientemente reveló el número de robots industriales que fueron adquiridos en los últimos años por empresas en todo el mundo, el cual se estima en 112 203. Por otro lado, se espera que en el año 2010 el número de robots industriales en operación en fábricas se incremente a 1.2 millones (ABB, 2007).

Algunas de las razones por las cuales el empleo de robots industriales es cada vez más notorio y extenso en las industrias y fábricas todo el mundo son las siguientes (ABB, 2007):

· Reducción de costos de operación

· Mejoramiento de la calidad y consistencia del producto

· Mejoramiento de la calidad del entorno de trabajo de los empleados

· Incremento de la capacidad de producción

· Incremento de la flexibilidad de manufactura del producto

· Reducción del desperdicio de material e incremento de beneficios

· Cumplimiento de las reglas de seguridad y mejoramiento de la seguridad e higiene del espacio de trabajo

· Reducción de capacitación para labores y dificultad para reclutar personal

· Reducción del capital de costo

· Ahorro de espacio en áreas de manufactura de alto valor

Todo lo expuesto anteriormente implica que el estudio de la robótica se convierta en un área de grandes oportunidades y posibilidades de desarrollo, para llevar a cabo la investigación y aplicación de nuevas técnicas al vasto y sofisticado campo de la robótica industrial, específicamente.

1.1 Definición de robótica

Estado del Arte

la ingeniería mecánica, que proporciona metodologías para el estudio de las máquinas en condiciones estáticas y dinámicas; la ingeniería eléctrica, que interviene en el diseño de sensores e interfaces, así como en la aplicación de actuadores que proporcionen movimiento al sistema. Se encuentra también el empleo de herramientas matemáticas para describir la geometría de los movimientos en el espacio; así como también la teoría del control que provee métodos para diseñar algoritmos de control que permitirán, a su vez, realizar algún movimiento deseado.

Se puede definir a un robot según el Robot Institute of America como:

“Un manipulador reprogramable multifuncional diseñado para mover materiales, partes, herramientas ó dispositivos especializados a través de movimientos variables programados para el desarrollo de una variedad de tareas”

1.2 Lógica difusa

La lógica difusa fue desarrollada como un intento de captar y modelar la naturaleza inexacta del mundo real. Una de las principales características de la lógica difusa es que en su estructura emplea el conocimiento experto de alguna persona en el control y supervisión de alguna tarea, representando este conocimiento mediante sentencias if-then (sí-entonces).

Debido al impacto positivo que han tenido los productos comerciales en donde se han incorporado elementos que emplean lógica difusa, se hace confiable y se recurre cada vez más al diseño e implementación de éste tipo de sistemas difusos en manipuladores y aplicaciones robóticas.

Actualmente los sistemas de inferencia difusa encuentran su mayor aplicación en aparatos eléctricos que son de uso doméstico, entre ellos se menciona a las lavadoras, máquinas de coser y cámaras de video. Así mismo, se puede mencionar su aplicación en controladores inteligentes, identificadores, sistemas de reconocimiento de imágenes y patrones, entre otros.

1.2.1 Aplicaciones de lógica difusa en la robótica

Una aplicación de la lógica difusa en el área de robótica es la que se realiza en (Niku, 2001), en donde se controla directamente la salida del torque de un motor de reluctancia mediante un esquema de modulación de corriente (Sahoo et al., 2000) .

Estado del Arte

de un esquema basado en lógica difusa recursiva para resolver el problema de la cinemática inversa en manipuladores seriales. Además, las funciones de membresía de la lógica difusa son ajustadas y optimizadas usando algoritmos genéticos. Finalmente, este esquema basado en lógica difusa elimina el problema de las singularidades cinemáticas.

En (Howard & Zilouchian, 1998) se emplea como modelo de estudio un robot comercial con tres grados de libertad, en el cual de aplica un controlador difuso descentralizado para cada articulación del manipulador. Para la solución a la cinemática inversa se desarrollan unas Memorias Asociativas Difusas (FAM por sus siglas en inglés), las cuales realizan un mapeo cinemático inverso entre las

coordenadas cartesianas deseadas y los ángulos de las articulaciones, todo ello en un modo supervisado. Finalmente, se demuestra que el método difuso propuesto resulta ser efectivo en el control del robot.

La solución a la cinemática inversa para manipuladores robóticos redundantes comúnmente se obtiene mediante la matriz pseudo inversa de la matriz Jacobiana; sin embargo, en (Kim et al., 1993)

se plantea una solución basada en el método del gradiente, que después es refinada introduciendo la lógica difusa. Las simulaciones realizadas demuestran que la solución a la cinemática inversa es simple y rápida.

Basándose en el hecho de que los humanos no calculan exactamente la cinemática inversa de su cuerpo, sino que realizan mediante aproximaciones un posicionamiento específico deseado, en (Xu & Nechyba, 1993) se desarrolla un mapeo cinemático inverso usando lógica difusa. La implementación de este esquema demuestra que es factible tanto para manipuladores redundantes como no redundantes.

1.3 Redes neuronales

Estado del Arte

modeladas como elementos de toma de decisiones discretas. Más aún, como el cerebro humano, las redes neuronales artificiales tienen la habilidad de aprender y generalizar.

1.3.1 Aplicaciones de las redes neuronales en la robótica

El aprendizaje del modelo cinemático inverso para calcular cada ángulo de las articulaciones de un manipulador, resulta ser de gran importancia para lograr una posición específica de la mano humana. Sin embargo, la función de la cinemática inversa del brazo humano es una función con múltiple valores y además discontinua. Debido a ello, en (Oyama et al., 2001) se propone una novedosa

arquitectura modular de una red neuronal, la cual soluciona el problema de aproximar una función discontinua.

En (Köker et al., 2004) se presenta la solución a la cinemática inversa de un manipulador robótico

de tres grados de libertad, basándose en una red neuronal. Como datos de entrenamiento de la red neuronal primero se generan, mediante una planeación de trayectorias cúbicas, puntos iníciales y finales dentro del espacio de trabajo del manipulador. Luego se almacenan en un archivo de datos de entrenamiento, ángulos que corresponden a las coordenadas cartesianas x, y, z. Realizando las

simulaciones se observa que la red neuronal diseñada proporciona los ángulos correctos, es decir, soluciona de manera exitosa el problema cinemático inverso.

Las singularidades y las incertidumbres en las diferentes configuraciones de un brazo robótico son algunas de las dificultades que se presentan en la solución de su cinemática inversa. Es por ello que en (Hasan et al., 2006) se realiza un aprendizaje adaptativo mediante el uso de una red neuronal

artificial. Con la finalidad de solucionar el problema de la cinemática inversa, la red neuronal es entrenada para aprender un conjunto de posiciones angulares de las articulaciones, dado previamente un conjunto de posiciones del efector final. Este mapeo es realizado dentro del espacio de trabajo del manipulador y una vez que la red ha sido entrenada se valida su capacidad de predicción y generalización mediante la introducción a la red de un conjunto de nuevos datos. Los resultados experimentales demuestran una buena capacidad de generalización.

Estado del Arte

Muchas son ya las soluciones al problema cinemático inverso de manipuladores redundantes, que se basan en redes neuronales artificiales; sin embargo, tales soluciones resultan ser no muy confiables, debido al error que se presenta al final del entrenamiento de la red. En (Köker, 2005) se plantea la utilización de una red neuronal basada en confiabilidad para la solución a la cinemática inversa de un manipulador de seis grados de libertad. La estrategia consiste en emplear tres redes neuronales tipo Elman diseñadas en paralelo, las cuales minimizan el error total del sistema. Al final, los resultados de cada red neuronal son evaluados usando las ecuaciones cinemáticas directas para determinar la red que proporcione el mejor resultado.

En (Martín & Milán, 2000) se presenta un método neuronal que calcula la cinemática inversa de cualquier tipo de robot manipulador. La solución se obtiene a través de la inversión de una red neuronal que fue previamente entrenada para aproximar la cinemática directa del manipulador. Una red neuronal estática con multicapas es empleada para resolver el problema de la cinemática inversa de un brazo robótico plano de dos grados de libertad (Nedungadi, 1991). El esquema de aprendizaje de la red se basa en el algoritmo de Levenberg-Marquardt. Los resultados de las simulaciones muestran que la estructura ANFIS propuesta es exitosa para la solución al problema cinemático inverso.

1.4 ANFIS

ANFIS significa Sistema de Inferencia Neuro-Difuso y fue inicialmente presentado en (Roger Jang, 1993). La idea fundamental de ANFIS es tomar un sistema de inferencia difusa (FIS) y sintonizarlo y/o ajustarlo mediante un algoritmo de retro-propagación basado en alguna colección de datos de entrada-salida (Roger Jang & Gulley, 2007). Esto le permite al sistema difuso aprender de la información presentada a la red y posteriormente tendrá la capacidad de generalizar y aproximar información que no fue necesariamente presentada.

Una de las aplicaciones reales que emplean este tipo de sistema de control es el desarrollado por la empresa Hitachi (Nakajima et al., 1993). Una máquina de aplanado por rodillos se controla

Estado del Arte

Figura 1.1 Control de aplanado por rodillos mediante un sistema neuro-difuso. El patrón escaneado de la superficie de la placa es reconocido por una red neuronal. Las salidas de las redes neuronales son empleadas para ajustar las reglas

difusas.

1.5.1 Aplicaciones de ANFIS en la robótica

En (Wang & Li, 2003)se plantea la solución al problema de la cinemática inversa mediante el uso de una red ANFIS. Los resultados de la simulación muestran que el método de solución tiene la ventaja de tener un aprendizaje rápido, una elevada precisión de identificación y una mejor habilidad en tiempo real.

Una de las aplicaciones prácticas más exitosas que emplean sistemas neuro-difusos es la que se expone en (Jafari & Jarvis, 2004). En este trabajo se presenta un nuevo método híbrido de llevar a cabo una coordinación del ojo con la mano, para que el robot llamado COERSU ejecute tareas de manipulación. Para este caso se emplea una combinación optimizada de dos aproximaciones neuro-difusas y un sintonizador genético, los cuales en conjunto contribuyen a encontrar una posición óptima final de la mano robótica con la finalidad de manipular algún objeto.

Estado del Arte

describe la aplicación de ANFIS para la solución a la cinemática inversa de manipuladores planos de dos y tres grados de libertad. Las simulaciones demuestran la efectividad de esta aproximación.

Los sistemas neuro-difusos se distinguen por su simplicidad de interpretación, rápida convergencia de entrenamiento y por sus propiedades de interpolación. Por esta razón, en (Bidaud & Ben Amar) se expone que la solución al problema cinemático inverso de una pierna robótica puede ser aprendida por la red y que ningún algoritmo analítico matemático es requerido. Las posiciones

angulares de las articulaciones (α, β, γ) son calculadas por la red, teniendo como entradas las posiciones cartesianas (x, y, z). Los resultados del sistema confirman la aplicabilidad de ANFIS para resolver la cinemática inversa de la pierna robótica.

1.5 Sumario

Como se mostró en este capítulo, se han efectuado varias investigaciones y aplicaciones a la solución del problema de la cinemática inversa de manipuladores robóticos, tomando como plataforma de solución la lógica difusa y las redes neuronales. En general, se ha demostrado con simulaciones en computadora que la solución del problema a la cinemática inversa puede ser efectuada fácilmente con el empleo de lógica difusa, obteniéndose resultados que están dentro del margen de error permitido. Más aun, la aplicación de redes neuronales artificiales a este mismo problema ha sido una materia que aumenta progresivamente en los trabajos publicados al respecto. Esto se debe, fundamentalmente, a la gran capacidad de generalización y procesamiento que poseen las redes neuronales. Los trabajos que reportan la aplicación de redes neuronales demuestran que pueden, de una manera muy precisa y confiable, solucionar el problema de la cinemática inversa. Es importante señalar que las aplicaciones de sistemas neuro-difusos son hasta el momento pocas en cuanto a la solución del problema de la cinemática inversa, sin embargo, los resultados obtenidos demuestran la factibilidad de su uso. Finalmente, se puede concluir que las técnicas actuales de soft-

computing son intentos y exploraciones sobre nuevas formas de resolver problemas, en los cuales se

En esta sección se presentan los fundamentos teóricos de la mecánica y control de movimiento de manipuladores robóticos; además, se muestran los principios y teoría de la lógica difusa y de las redes neuronales artificiales.

Marco Teórico

2. Marco teórico

2.1 Mecánica de manipuladores robóticos

Un manipulador mecánico es una cadena cinemática articulada en lazo abierto compuesta por varios eslabones (cuerpos rígidos) conectados en serie por una articulación de revolución o prismática impulsada por actuadores. Un extremo de la cadena se fija a una base soporte, mientras que el otro extremo está libre y unido con una herramienta (efector final) para manipular objetos o realizar tareas de ensamble (Fu et al., 1988).

2.1.1 Cinemática

La cinemática de un manipulador es el estudio de la geometría de su movimiento, con respecto a un sistema de referencia fijo, como una función del tiempo, pero sin atender las causas y fenómenos que lo originan tales como fuerzas y momentos, y tomando en consideración los tipos de uniones (articulaciones) entre los eslabones (Fu et al., 1988).

La cinemática de un manipulador se divide para su estudio en cinemática directa y cinemática inversa. La figura 2.1 muestra la manera en que se relacionan la cinemática directa e inversa con los ángulos de las articulaciones y los parámetros geométricos de cada eslabón.

Figura 2.1 Problema cinemático directo e inverso (Fu et al., 1988)

Posición y orientación del efector final

Ángulos de las articulaciones

q1(t),…qn(t)

Parámetros Geométricos de los eslabones

Ángulos de las articulaciones

q1(t),…qn(t)

Cinemática Directa

Cinemática Inversa Parámetros Geométricos

Marco Teórico

2.1.1.1 Problema cinemático directo

El problema cinemático directo se presenta cuando se deben calcular la posición y orientación del efector final del manipulador con respecto a un marco de referencia fijo, proporcionados previamente un conjunto de ángulos de las articulaciones del manipulador (Craig, 1955).

El problema cinemático directo se reduce a encontrar una matriz de transformación que relacione el sistema de coordenadas ligado a cada uno de los eslabones al sistema de coordenadas de referencia. Una matriz de rotación de 3 x 3 simplemente representa la orientación, es decir, describe las rotaciones de los marcos asignados a cada eslabón con respecto al sistema de referencia que se encuentra ubicado en la base del manipulador. En el momento en que se incluyen vectores de posición para describir los movimientos de traslación de los marcos individuales de los eslabones respecto al sistema fijo, entonces se obtiene una matriz de transformación homogénea de 4 x 4, la cual describe al efector final espacialmente en orientación y posición con respecto al sistema de referencia fijo de la base del manipulador (Fu et al., 1988). La matriz de transformación homogénea

de 4 x 4 puede ser dividida en submatrices:

é ù

é ù

ê ú

ê ú

ë û ë û

A B

A B

B (2.1)

Donde la submatriz A

B representa la matriz de rotación ( orientación de un marco movible B con respecto a un marco de referencia A); la submatriz Ap representa el vector de posición del origen del

sistema de coordenadas rotado B con respecto al sistema de referencia; la submatriz f indica la

transformación de perspectiva y finalmente la submatriz _ρ representa el factor de escala global, que

para el caso de la cinemática de manipuladores el factor de escala es 1 y la submatriz de transformación de perspectiva es puesta a cero.

La metodología de Denavit-Hartenberg es una convención empleada para establecer los marcos de coordenadas para cada eslabón de una cadena cinemática abierta y se basa en un método matricial para obtener una relación espacial de traslación y rotación entre eslabones adyacentes (Denavit & Hartenberg, 1955).

Marco Teórico

1) Localizar los ejes de las articulaciones y marcar líneas a lo largo de ellos, considerando las líneas adyacentes como ejes i e i+1.

2) Observar el punto donde se encuentra la perpendicular común entre los ejes o punto de intersección; aquí estará el origen del marco del eslabón i- ésimo.

3) Asignar el eje Zi Ù

apuntando a lo largo del eje de la articulación i- ésima.

4) Asignar el eje Xi Ù

apuntando a lo largo de la perpendicular común, o si los ejes se

intersectan, Xi Ù

será normal al plano donde se encuentran esos dos ejes.

5) El eje Yi Ù

será asignado de tal forma que se complete un sistema de coordenadas de la mano derecha. Las asignaciones de los marcos se muestran en la figura 2.2:

Figura 2.2 Asignación de los marcos i e i-1 para un manipulador (Craig, 1955)

Marco Teórico

i

a = Distancia de Zi Ù

a Zi 1 Ù

+ medida a lo largo de Xi Ù

i =

a Ángulo entre Zi Ù

y Zi 1 Ù

+ medido alrededor de X_i Ù

i

d = Distancia de Xi 1 Ù

- a Xi

Ù

medida a lo largo de Zi Ù

i =

q Ángulo entre Xi 1 Ù

- y Xi

Ù

medido alrededor de Zi Ù

La matriz del par ó del brazo es la matriz que relaciona los parámetros de Denavit-Hartenberg de dos eslabones consecutivos, siendo definida esta matriz como:

1

1 1 1 1

1

1 1 1 1

cos 0

cos cos cos

s cos s cos cos

0 0 0 1

i i i

i i i i i i i

i i

i i i i i i i

sen a

sen sen sen d

T

sen en en d

q q

q a q a a a

q a q a a a

-- - - -- - - -é ù ê _{- -} ú ê ú = ê ú ê ú ë û (2.2)

Esta matriz permite concatenar dos eslabones consecutivos, es decir obtener las matrices de transformación individuales, y una vez hecho esto se puede calcular la matriz de transformación que relaciona el marco de coordenadas del último eslabón con el marco de referencia de la base. Simplemente hay que multiplicar las matrices individuales de cada par de eslabones en el orden conveniente y tomar en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo. Habiendo hecho lo anterior se obtiene la matriz que contiene los siguientes elementos:

0 0 0 1

x x x x

y y y y

z z z z

n s a p

n s a p

T

n s a p

é ù ê ú ê ú = ê ú ê ú ë û (2.3) Siendo:

n = Vector normal de la mano

s = Vector de deslizamiento de la mano

a = Vector de aproximación de la mano

p = Vector de posición de la mano

Marco Teórico

, , , , , , , , , , ,

x y z x y z x y z x y z

n n n s s s a a a p p p _(2.4)

2.1.1.2 Problema cinemático inverso

El problema cinemático inverso también es conocido como la solución del brazo, y consiste en que conocidas una posición y orientación del efector final de un manipulador robótico con respecto a su base, obtener el conjunto de los ángulos de las articulaciones correspondientes de los eslabones, que a su vez lograrán posicionar al efector en el punto donde sea requerido (Craig, 1955).

El problema de resolver las ecuaciones cinemáticas de un manipulador es del tipo no lineal; debido a ello, en la resolución del sistema de esas ecuaciones no lineales aparecen múltiples soluciones, lo cual implica que se lleve a cabo un análisis para así poder determinar cuál es la mejor solución posible. La figura 2.3 muestra dos posibles configuraciones de los eslabones para dar solución a la cinemática inversa de un manipulador plano.

Figura 2.3 Manipulador de tres eslabones, mostrando dos posibles configuraciones para alcanzar un mismo punto (Craig, 1955)

Existen diversos métodos y técnicas mediante los cuales se pude resolver el problema cinemático inverso, entre ellos se pueden mencionar los siguientes:

1) Técnica transformada inversa (Paul et al., 1981)

2) Álgebra de tornillo (Kohli & Soni, 1975)

3) Matrices duales (Denavit, 1956)

4) Cuaterniones duales (Yang & Freudenstein, 1964)

Marco Teórico

6) Métodos geométricos (Lee & Ziegler, 1984)

Todas las estrategias de solución pueden ser agrupadas en dos clases:

v Soluciones de forma cerrada

v Soluciones numéricas

La solución en forma cerrada es una estrategia basada en expresiones analíticas ó en la solución de un polinomio de cuarto orden ó menos. Se pueden mencionar dos métodos distintivos de este tipo de solución, algebraicos y geométricos (Craig, 1955). Las soluciones numéricas presentan generalmente un requerimiento importante de tiempo de cálculo, debido a la necesidad de iteraciones continuas. Basándose en los puntos anteriores se puede establecer que es mucho mejor encontrar una solución del brazo en forma cerrada para resolver su cinemática inversa. Para que se pueda efectuar la solución en forma cerrada se debe tomar en cuenta alguna de las dos siguientes consideraciones (Craig, 1955):

1) Tres ejes de articulación adyacentes se intersectan en un punto

2) Tres ejes de articulación adyacentes son paralelos entre sí

2.1.1.3 Cinemática de velocidades

Las ecuaciones cinemáticas directas definen una función o relación entre el espacio de las posiciones y orientaciones del efector final, y el espacio de las articulaciones; por otro lado, las relaciones de velocidad son determinadas por medio de la obtención del Jacobiano de esta función. La determinación del Jacobiano es muy importante para poder obtener las ecuaciones dinámicas de movimiento y realizar la transformación de fuerzas y torques del efector final, a las articulaciones del manipulador (Spong & Vidyasagar, 1999). El Jacobiano representa una transformación instantánea entre las velocidades de las articulaciones y las velocidades lineal y angular del efector final de un manipulador. Esto se puede representar como:

( )

Marco Teórico

Donde: V = Vector 6 x 1 de velocidades cartesianas, siendo a su vez definido como:

x y z x y z v v v v V ω ω ω ω é ù ê ú ê ú ê ú é ù =_{ê ú}= ê ú ë û ê ú ê ú ê ú ê ú ë û (2.5.1) Siendo

v = Vector 3 x 1 de velocidad lineal

ω= Vector 3 x 1 de velocidad angular o rotacional

θ = Vector n x 1 de ángulos de las articulaciones, siendo n el número de articulaciones θ& _{= Vector de las velocidades de las articulaciones}

J = Jacobiano del manipulador, siendo definido como:

v J J J_ω é ù = ê ú

ë û (2.5.2)

El Jacobiano es una matriz de 6 x n, donde n es el número de eslabones.

La velocidad angular del eslabón i expresado en el marco i-1 está dado por:

1 i i q ki

ω- = & (2.6)

Además, las velocidades angulares pueden ser sumadas vectorialmente, siempre y cuando estén expresadas con respecto a un sistema de coordenadas en común (Spong & Vidyasagar, 1999). Por lo tanto, la velocidad angular total del efector final en el marco de referencia de la base se define como:

1 1

1 1 2 2

1 1

...

n n

o o n n o

n n

o i i i

i

p q k p q R k p q R k p q z

ω ω -= + + + =

å

& & &

& (2.7)

Donde, 1

1 i

i o

Marco Teórico

si la articulación es prismática. Por lo tanto, el Jacobiano de las velocidades angulares se define como:

[ 1 o.... n n1]

J_ω = p z p z - (2.8)

La velocidad lineal del efector final es sólo n o

d& , que para el caso de una articulación de revolución se

tiene:

1 1

1

n i i n

o o o i

d =d - +R-d- (2.9)

Donde:

n o

d = Distancia del efector final a la base

1 i o

d - = Distancia de la articulación i-1 a la base

1 n i

d- = Distancia del efector final a la articulación i-1

1 i o

R- = Matriz de rotación

Las designaciones anteriores se pueden observar en la figura 2.4:

Figura 2.4 Movimiento del efector final debido al eslabón i (Spong & Vidyasagar, 1999)

Empleando la siguiente notación y reescribiendo la ecuación (2.9), se obtiene:

1

1 1

i n

n i o i

o -o- =R-d- (2.10)

x0

z0

y0

1 0 i

d - 1

n i d

-0 n d

i

θ

1 i

-Marco Teórico

Y de la figura 2.4 se observa que i1 o

d - y i 1

o

R- son constantes, sólo en el caso de que la articulación

i-ésima sea actuada. Debido a ello, derivando (2.9) se obtiene:

1 1

n i n

o o i

d& =R-d&- (2.11)

Y dado que el movimiento de la articulación i es una rotación qi alrededor de zi-1se tiene que:

1 1

n n

i i i

d&- =q k& ´d- (2.12)

Sustituyendo (2.12) en (2.11) se obtiene:

(2.13)

Por lo tanto,

( )

1 1

n o

i n i

i

d

z o o q -

-¶ _{= ´}

-¶ (2.14)

Definiéndose el Jacobiano de velocidades lineales como:

[ 1... ]

v v vn

J = J J (2.15)

Siendo Jvi para una articulación de revolución:

( )

1 1

vi i n i

J =z- ´ o -o- (2.16)

Y para una prismática como:

1

vi i

J =z_- (2.17)

Y finalmente se pueden agrupar los Jacobianos de velocidades angulares y lineales, resultando:

[ 1 2... n]

J = J J J (2.18)

(

)

n i n

o o i i

n i i n

o i o o i

n

o i i n i

d R q k d

d q R k R d

d q z o o

Marco Teórico

Donde cada columna Ji, se expresa para una articulación de revolución como:

( )

1 1

1

i n i

i

i

z o o J z - -´ -é ù = ê ú

ë û (2.19)

Y para una articulación prismática como:

1

0

i i

z J = ê úé - ù

ë û (2.20)

Las expresiones para la determinación del Jacobiano requieren del conocimiento de los vectores unitarios zi, y de los vectores que van del origen Oo a los orígenes de los sistemas de coordenadas de

cada articulación O1, … , On.

Haciendo un análisis de esta necesidad, se deduce que el vector zi está dado por los primeros tres

elementos de la tercera columna de la matriz de transformación homogénea i o

T , mientras que Oi está dado por los primeros tres elementos de la cuarta columna de la misma matriz (Spong & Vidyasagar, 1999).

2.1.1.4 Cinemática de aceleraciones

Las velocidades de las articulaciones y las del efector final del manipulador son relacionadas por el Jacobiano como:

( )

X& =J q q& (2.21)

Calculando la derivada de la ecuación anterior se obtiene la ecuación de la aceleración:

( )

( )

X J q q J q q

dt

æ ö

= _{+ ç ÷}

è ø

&& _{&& & (2.22)}

Resultando finalmente que las ecuaciones de velocidad y aceleración inversas para un manipulador de seis grados de libertad, quedan definidas como:

( )

( ) ( )

1

1

q J q X d

Marco Teórico

Siempre y cuando el determinante de J q( ) 0¹

2.1.2 Dinámica Sea i

i

r un punto fijo y en reposo sobre el elemento i, y expresado con respecto al sistema local de coordenadas del elemento i, esto se define como (Fu et al., 1988):

(

)

i

T i

i i i i i

i

x

r y x y z

z é ù ê ú =_{ê ú}= ê ú ë û (2.25)

Sin embargo, el punto i i

r puede a su vez ser expresado con respecto al sistema de la base (inercial),

representándose como 0 i

r. Empleando matrices de transformación de coordenadas homogéneas es

posible establecer la relación entre esos dos puntos, quedando definida como (Fu et al., 1988):

0 0 i

i i i

r = A r (2.26)

Siendo

0 0 1 1

1 2.... i

i i

A = A A - A (2.26.1)

Debido a que el punto i i

r está expresado en el sistema de coordenadas del elemento i-ésimo, y ya que este es un sistema no inercial, su velocidad i

i

r& será cero. No obstante, la velocidad de ese mismo

punto expresada en el sistema de la base, está definida como (Fu et al., 1988):

( )

(

)

0 0 0

1 i

i i i

i i i i j i

j j

A

d d

V r A r q r

dt dt = q

æ _¶ ö

= = = ç_ç ÷_÷

¶

è

å

& (2.27)

Para facilitar la obtención de la derivada parcial 0 i j

A q

¶

Marco Teórico

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

i Q -é ù ê ú ê ú = ê ú ê ú ë û (2.28)

Obteniéndose la siguiente igualdad:

1 1 i i i i i i A Q A q -¶ =

¶ (2.29)

El efecto que ocasiona el movimiento de la articulación j sobre el elemento i, se interpreta como:

0 1 2 1 1

0

1 2... 1 ...

0

j j i

j j j i

i

j

A A A Q A A para j i

A

q para j i

- -

-ì £ ü

¶ ï ï

= í ý

¶ ïî > ïþ

(2.30)

Lo anterior se puede simplificar empleando:

0 i i j j A U q ¶ =

¶ (2.31)

Y sustituyendo en (2.30), se obtiene:

0 1

1 0

j

j j i

i j

A Q A para j i U

para j i -ì £ ü ï ï = í ý > ï ï î þ (2.32)

Finalmente se obtiene la velocidad de la articulación, siendo expresada como:

1 i

i

i i j j i

j

V U q r

=

æ ö

= ç ÷

è

å

& (2.33)

Es posible también encontrar los efectos que se producen en el movimiento, debido a la interacción de las articulaciones j y k sobre el elemento i. Para ello se obtiene la derivada parcial de Uij con

respecto a qk, resultando que (Fu et al., 1988):

0 1 1

1 1

0 1 1

1 1

0 ,

j k

j j k k i

i j k j

i j k k k j j i

k

A Q A Q A i k j

U

U A Q A Q A i j k

q

i j i k

- -- -- -- -ì ³ ³ ü ï ï ¶ _{ï ï} = =í ³ ³ ý ¶ _{ï ï} < < ï ï î þ (2.34)

Marco Teórico

La energía cinética de una partícula con masa diferencial dm en el elemento i, se expresa como:

(

)

1 2

i i i i

dK = x& +y& +z& dm (2.35)

Con el fin de evitar un producto escalar de vectores y obtener la matriz de inercia del elemento i-ésimo, se emplea el operador traza, el cual se define como la suma del cuadrado de los elementos de la diagonal principal de una matriz. Entonces, empleando el operador traza se tiene que (Fu et al.,

1988):

( )

( )

1 1

2 2

T T

i i i i i

dK = traza v v dm= Tr v v dm (2.36)

Enseguida, sustituyendo vi de la ecuación (2.33) se obtiene:

(

)

i i j j i i k k i

j k

i i

i i T T

i i j i i i k j k

j k

i i

i i T T

i i j i i i k j k

j k

dK Tr U q r U q r dm dK Tr U r r U q q dm dK Tr U r dm r U q q

= = = = = = é _{æ ö} ù = ê _{ç ÷} ú è ø ê ú ë û é ù = _{ê ú} ë û é ù = _{ê ú} ë û

å

å

åå

åå

Ahora, integrando para obtener la energía cinética total en el elemento i-ésimo:

(

)

1 2

1 1

i i

i i T T

i i i j i i i k j k

j k

K dK Tr U r r dm U q q

= =

é ù

= = _{ê ú}

ë

å å

ò

ò

De la ecuación anterior se observa que:

2

2

2

i i i i i i

i i i i i i

i i T

i i i

i i i i i i

i i i

x dm x y dm x z dm x dm x y dm y dm y z dm y dm J r r dm

x z dm y z dm z dm z dm x dm y dm z dm dm

Marco Teórico

Esta matriz es conocida como la matriz de pseudoinercia, ya que contiene otros términos que son distintos a la inercia propia de los puntos en el elemento i-ésimo.

Empleando el tensor de inercia Ii j, el cual se define como (Fu et al., 1988):

2

i j i j k i j

k

I = é_êδ æ_ç x ö_÷-x x dmù_ú

è ø

ë

å

ò

Donde:

i j

δ = Delta de Kronecker

, ,

i j k=Ejes principales del sistema de coordenadas i-ésimo

Se expresa ahora la matriz de pseudoinercia Ji, mediante un tensor, obteniéndose:

2

2

2

xx yy zz

i

xy xz i

xx yy zz

xy yz i i

i

xx yy zz

i

xz yz i

i i

i i i i i

I I I

I I m x I I I

I I m y J

I I I I I m z m x m y m z m

- + + é ù ê ú ê ú - + ê ú ê ú = ê ú + -ê ú ê ú ê ú ê ú ë û (2.41)

Siendo esta matriz de inercia simétrica, positiva y dependiente solamente de la distribución de masa del elemento i-ésimo, y no depende de su posición o velocidad; debido a ello, se requiere calcular solamente una vez la matriz Jicon el fin de obtener la energía cinética de un manipulador.

Finalmente se obtiene la energía cinética total de un manipulador:

(2.40) (2.42)

2.1.2.2 Energía potencial del manipulador

La energía potencial almacenada en un elemento i, se define como la cantidad de trabajo requerido

para elevar el centro de masa del eslabón i-ésimo, desde un plano de referencia horizontal hasta su

posición actual, bajo la influencia de la gravedad (Fu et al., 1988).

(

)

1 2

1 1 1 1

1 2

1 1 1

n n i i

T

i i j i i k j k

i i j k

n i i

T i j i i k j k

i j k

K K Tr U J U q q

K Tr U J U q q

Marco Teórico

La energía potencial Pi del elemento i-ésimo, se define como:

(

)

0 ₀ i

i i

i i i i

P = -m g r = -m g A r (2.43)

Donde:

i

m =Masa del eslabón i-ésimo

g =Vector fila de gravedad

(

)

g= g g g =

-Resultando finalmente para la energía potencial total del manipulador:

(

)

1 1

n n

i i

i i i i

i i

P P m g A r

= =

=

å

å

2.1.2.3 Forma general de la ecuación dinámica de movimiento de un manipulador

Al obtener la función Lagrangiana resulta:

(

)

(

)

1 2

1 1 1 1

n i i n _i

T

i

i j i i k j k i i

i j k i

L K P Tr U J U q q m g A r

= = = =

é ù

= - =

ååå

å

Ahora aplicando la formulación de Lagrange-Euler a la función Lagrangiana del manipulador, se obtiene:

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1

j j j

n n n

j

T T

j

i j k j j i k j k m j ji k m j j i

j k j k m j

i i

d L L

Tr U J U q Tr U J U q q m gU r dt q q

τ = = = = = = æ¶ ö ¶ _{é ù} = _{ç ÷}- = + _{ë û} -¶ ¶ è ø

åå

ååå

å

&& & &

& (2.46)

Expresando (2.46) en notación matricial, se obtiene:

i M qi k k Vi k mq qk m Gi

τ =

å

åå

Marco Teórico

Figura 2.5 Manipulador planar de 2 eslabones con sus respectivos parámetros (Fu et al., 1988)

Y en forma matricial para hacerla más compacta:

( )t M q t

(

)

(

)

(

)

τ = && + _,& + (2.48)

2.1.3 Generación de trayectorias de movimiento

La trayectoria de movimiento es un registro en el tiempo de las posiciones, velocidades y aceleraciones deseadas de las articulaciones de un manipulador robótico, con la finalidad de que el efector final siga una ruta o camino específico para ejecutar una acción. Para obtener ó generar la trayectoria se establecen convenientemente puntos intermedios en la ruta deseada, los cuales se conocen como puntos vía (via points). Así mismo, se establecen los tiempos que se desean para cubrir los espacios ó intervalos de los puntos vía.

Con la finalidad de generar una trayectoria que sea continua y suave (smooth trajectory) se emplean unas funciones geométricas conocidas como funciones “spline”. Estas funciones de ajuste emplean polinomios para aproximar la trayectoria deseada entre los puntos vía, y después son concatenadas con la condición de que las posiciones, velocidades y aceleraciones del manipulador sean continuas en los puntos vía. La secuencia de estas funciones ligadas una a otra representa la trayectoria deseada que generará a su vez un movimiento suave del manipulador (Koivo, 1989).

Lo que se pretende es controlar a las variables de articulación del manipulador, es por ello que la trayectoria deseada debe estar expresada en términos de las variables de articulación (espacio de las articulaciones). El orden de polinomios a emplear para aproximar la trayectoria deseada, expresada

2

θ

m1 , I1 m2 , I2

l1

l2

1

τ

2

τ

1