BLOQUE DE ÁLGEBRA:
TEMA 1: MATRICES.
Matrices: Se llama matriz de dimensión m×n a un conjunto de números reales dispuestos en m
filas y n columnas de la siguiente forma:
A=
a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
=
aijEjemplo: La matriz A=
1 0 2−1 3 1
es de dimensión 2×3 .Una matriz es rectangular si m≠n , y es cuadrada si m=n . En una matriz cuadrada definimos:
– Diagonal principal: la formada por los elementos aii .
– Diagonal secundaria: la formada por los elementos aij donde ij=n1 .
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
matriz cuadrada de orden 3.
diagonal diagonal principal secundaria
Tipos de matrices:
– Matriz fila: matriz de dimensión 1×n .
Ejemplo:
1 0 3
es de dimensión 1×3 .– Matriz columna: matriz de dimensión m×1 .
Ejemplo:
2 0
−1
– Matriz nula:Todos sus elementos son nulos.
Ejemplo: O=
0 0 00 0 0
es la matriz nula de dimensión 2×3 .– Matriz triangular superior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por
debajo de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:
2 00 4 560 0 −3
es una matriz triangular superior de orden 3.
– Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por
encima de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:
1 0 0 0 2 3 0 0 4 5 6 0 7 8 9 10
matriz triangular inferior de orden 4.
– Matriz diagonal: Matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados en la diagonal
principal son ceros.
Ejemplo:
1 0 00 2 00 0 3
matriz diagonal de orden 3.
– Matriz escalar: Matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son
iguales.
Ejemplo:
4 00 4
matriz escalar de orden 2.– Matriz unidad o matriz identidad: Matriz escalar en la que todos los términos de la
diagonal principal son 1.
Ejemplo: I=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Método de Gauss: Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en
transformar dicho sistema en otro equivalente a él (con la misma solución). Para ello utilizaremos las siguientes transformaciones:
– Cambiar dos ecuaciones de orden.
– Multiplicar una ecuación por un número real distinto de cero.
– Cambiar una ecuación por una suma de ella con otra ecuación del sistema multiplicada previamente por número real distinto de cero.
Ejemplos: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
x2y− z= 6
y3z=−1 2z=−2
}
b)
x2y−z=−7 2x5y−3z=−19
3xy−z=−5
}
c)
3x−y−x= 4
d)
xy−z=0 2x 3z=7
x−3y−4z=1
}
e)
x2y−z=3
y−3z=−16
−2xy−z=−14
}
f)
2x−y−3z=−5 4x−2yz=−10
g)
xy t=6
x z−t=−1
yzt=6
x−yz =0
}
Operaciones con matrices:
• Suma de matrices: AB=
aij
bij
=
aijbij .Ejemplo:
1 −2 34 −5 6
0 2 3 4 −1 −2
• Producto por un número real (por un escalar): k⋅A=k ·
aij
=
k · aij
, k∈ℝ .Ejemplo: −2·
1 4−5 0
• Producto de matrices: Dadas las matrices A=
aij
de dimensión m×n y B=
bij
de dimensión n×p , la matriz producto A · B es de dimensión m×p y viene dada por:
Am×n· Bn×p=Cm×p donde
aij
·
bij
=
cik
con: cik=∑
j=1 n
aij·bjk .
Ejemplos:
a)
1 −2 3 4 5 −6
·
b)
4 2−1 0
2 1
·
5 −1 40 1 1
Ejercicio: Dadas las matrices A=
2 0−1 3
y B=
1 5 0
−1 2 3
, calcula A · B . ¿Se puede hallar B · A ?Propiedades del producto de matrices:
• Asociativa: A ·
B ·C
=
A · B
·C .• Elemento Neutro (I= matriz identidad): A · I=I · A=A .
• Distributiva respecto a la suma: A ·
BC
=A· BA ·C .• NO CONMUTATIVA: A · B≠B · A
Ejemplo: A=
1 23 4
B=
0 −1 1 1
A · B
Ejercicio: Dada la matriz A=
2 00 1
, calcula A1999 .Ejercicio: Determina la matriz X que verifique la igualdad 3XI=A· B−A2 , siendo:
A=
−1 1 2 2 0 3 3 1 2
, B=
−1 0 2
2 1 1 3 2 −1
Ejercicio: Calcula los valores a y b que satisfagan cada una de las siguientes igualdades: a)
1 a2 b
·
a b3 4
=
0 0 0 0
b)
a b 1 5
·
5 −9
−1 a
=
1 0 0 1
Ejercicio: Estudia la conmutatividad de las siguientes matrices:
A=
1 −31 5
B=
1 −6Ejercicio: Dadas las matrices A=
2 1 0
−1 0 3
1 1 −2
B=
x 0 1
y 1 0
3 −2 z
y C=
−2 0 2
11 −6 −1
−6 4 1
,
determinar los valores x, y, z que hacen posible la igualdad: A · B=AC .
Trasposición de matrices. Matriz simétrica y matriz antisimétrica:
La matriz traspuesta de una matriz A de dimensión m×n es una matriz de dimensión n×m que se obtiene al cambiar en A las filas por columnas. La escribiremos At .
Ejemplo: A=
−11 0 22 33 4 5
⇒At=
1−1 3
2 0 4 3 2 5
.
Propiedades:
•
At
t=A
•
AB
t=AtBt•
k · A
t=k · AtMatriz simétrica: Matriz cuadrada tal que At=A .
Matriz antisimétrica ( o hemisimétrica) : Matriz cuadrada tal que At=−A .
Ejemplo:
2 1 3 1 0 5 3 5 1
es una matriz simétrica.
0 1 3
−1 0 5
−3 −5 0
es una matriz antisimétrica.
Ejercicio: Dadas las matrices A=
−1 32 4
y B=
4 0 −2
3 1 −1
. Comprueba que
A· B
t=Bt· At .
A· B
tBt· At
Ejercicio: Encuentra todas las matrices que conmutan con A=
1 2Matriz inversa: La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz A−1 de orden n que verifica:
A · A−1=A−1· A=I
Las matrices que tienen inversa se denominan matrices regulares o no singulares, y las que no la tienen se llaman matrices singulares.
Cálculo de la matriz inversa:
• Mediante la definición:
Ejemplo: A=
1 23 7
• Mediante el método de Gauss-Jordan:
Hacemos la transformación:
A∣
I
I∣
A−1
mediante operaciones elementalesEjemplos: Calcula la inversa de las matrices:
a) A=
1 23 7
b) B=
2 −11 3
c) C=
1 0 0
d) D=
1 2 0 1 3 1
−1 2 1
Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial A · X=B siendo A=
1 13 4
y B=
0 2
Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial: X · AB=X , siendo:
A=
2 0 2 0 2 3 0 0 2
, B=
−1 2 −1
0 1 2
−1 3 1
.
Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial: BX3C=C
B3I
, siendo:B=
1 0 0
−1 2 3 0 1 2
, C=
0 0 1 0 1 0 1 0 0
Rango de una matriz:
Ejemplo: En la matriz A=
1 2 3
−1 1 0 0 3 3
las filas verifican que F3=F1F2 , y se dice que
F3 es linealmente dependiente de las filas F1 y F2 .
• En una matriz una fila Fi no nula depende linealmente de las filas Fj , Fk , … ,
Ft se se verifica:
Fi=xFjyFk...zFt donde x , y , ... , z∈ℝ .
Ejemplo: En la matriz A=
3 1 0 −2 1 1 −1 0 3 −1 3 −4
se verifica que F3=2F1−3F2 , luego podemos decir que F3 es linealmente dependiente de F1 y F2 .
• En una matriz una fila Fi no nula es linealmente independiente de las filas Fj ,
Fk , … , Ft si no se puede escribir en la forma anterior (no es posible escribirla como combinación lineal de las demás).
• Rango o característica de una matriz es el número de filas o columnas no nulas y
linealmente independientes que tiene la matriz.
• Para calcular el rango aplicamos el método de Gauss hasta llegar a una matriz triangular superior, y dicho rango será el número de filas no nulas.
Nota: Todo lo explicado para filas sería exactamente igual para columnas.
Ejemplos: Calcula el rango de las matrices:
a) A=
1 1 0 2 1 1
b) B=
1 0 2
−1 1 1 0 1 5
c) C=
1 2
−2 3
2 4 4 1
d) D=
1 2 3 4 2 4 6 9
Ejercicio: Calcula el rango, según los valores de k de la matriz:
A=