Ejemplo: La matriz A=

Texto completo

(1)

BLOQUE DE ÁLGEBRA:

TEMA 1: MATRICES.

Matrices: Se llama matriz de dimensión m×n a un conjunto de números reales dispuestos en m

filas y n columnas de la siguiente forma:

A=

a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n

... ... ... ... ...

am1 am2 am3 ... amn

=

aij

Ejemplo: La matriz A=

1 0 2

−1 3 1

es de dimensión 2×3 .

Una matriz es rectangular si mn , y es cuadrada si m=n . En una matriz cuadrada definimos:

– Diagonal principal: la formada por los elementos aii .

– Diagonal secundaria: la formada por los elementos aij donde ij=n1 .

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

matriz cuadrada de orden 3.

diagonal diagonal principal secundaria

Tipos de matrices:

Matriz fila: matriz de dimensión 1×n .

Ejemplo:

1 0 3

es de dimensión 1×3 .

Matriz columna: matriz de dimensión m×1 .

Ejemplo:

2 0

−1

(2)

Matriz nula:Todos sus elementos son nulos.

Ejemplo: O=

0 0 0

0 0 0

es la matriz nula de dimensión 2×3 .

Matriz triangular superior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por

debajo de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo:

2 00 4 56

0 0 −3

es una matriz triangular superior de orden 3.

Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por

encima de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo:

1 0 0 0 2 3 0 0 4 5 6 0 7 8 9 10

matriz triangular inferior de orden 4.

Matriz diagonal: Matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados en la diagonal

principal son ceros.

Ejemplo:

1 0 00 2 0

0 0 3

matriz diagonal de orden 3.

Matriz escalar: Matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son

iguales.

Ejemplo:

4 0

0 4

matriz escalar de orden 2.

Matriz unidad o matriz identidad: Matriz escalar en la que todos los términos de la

diagonal principal son 1.

Ejemplo: I=

1 0 0 0 1 0 0 0 1

(3)

Método de Gauss: Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en

transformar dicho sistema en otro equivalente a él (con la misma solución). Para ello utilizaremos las siguientes transformaciones:

– Cambiar dos ecuaciones de orden.

– Multiplicar una ecuación por un número real distinto de cero.

– Cambiar una ecuación por una suma de ella con otra ecuación del sistema multiplicada previamente por número real distinto de cero.

Ejemplos: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

x2yz= 6

y3z=−1 2z=−2

}

b)

x2yz=−7 2x5y−3z=−19

3xyz=−5

}

c)

3xyx= 4

(4)

d)

xyz=0 2x 3z=7

x−3y−4z=1

}

e)

x2yz=3

y−3z=−16

−2xyz=−14

}

f)

2xy−3z=−5 4x−2yz=−10

(5)

g)

xyt=6

xzt=−1

yzt=6

xyz =0

}

Operaciones con matrices:

Suma de matrices: AB=

aij

bij

=

aijbij .

Ejemplo:

1 −2 3

4 −5 6

0 2 3 4 −1 −2

Producto por un número real (por un escalar): kA=k ·

aij

=

k · aij

, k∈ℝ .

Ejemplo: −2·

1 4

−5 0

Producto de matrices: Dadas las matrices A=

aij

de dimensión m×n y B=

bij

de dimensión n×p , la matriz producto A · B es de dimensión m×p y viene dada por:

Am×n· Bn×p=Cm×p donde

aij

·

bij

=

cik

con: cik=

j=1 n

aij·bjk .

Ejemplos:

a)

1 −2 3 4 5 −6

·

(6)

b)

4 2

−1 0

2 1

·

5 −1 4

0 1 1

Ejercicio: Dadas las matrices A=

2 0

−1 3

y B=

1 5 0

−1 2 3

, calcula A · B . ¿Se puede hallar B · A ?

Propiedades del producto de matrices:

Asociativa: A ·

B ·C

=

A · B

·C .

Elemento Neutro (I= matriz identidad): A · I=I · A=A .

Distributiva respecto a la suma: A ·

BC

=A· BA ·C .

NO CONMUTATIVA: A · BB · A

Ejemplo: A=

1 2

3 4

B=

0 −1 1 1

A · B

(7)

Ejercicio: Dada la matriz A=

2 0

0 1

, calcula A1999 .

Ejercicio: Determina la matriz X que verifique la igualdad 3XI=A· BA2 , siendo:

A=

−1 1 2 2 0 3 3 1 2

, B=

−1 0 2

2 1 1 3 2 −1

(8)

Ejercicio: Calcula los valores a y b que satisfagan cada una de las siguientes igualdades: a)

1 a

2 b

·

a b

3 4

=

0 0 0 0

b)

a b 1 5

·

5 −9

−1 a

=

1 0 0 1

Ejercicio: Estudia la conmutatividad de las siguientes matrices:

A=

1 −3

1 5

B=

1 −6

(9)

Ejercicio: Dadas las matrices A=

2 1 0

−1 0 3

1 1 −2

B=

x 0 1

y 1 0

3 −2 z

y C=

−2 0 2

11 −6 −1

−6 4 1

,

determinar los valores x, y, z que hacen posible la igualdad: A · B=AC .

Trasposición de matrices. Matriz simétrica y matriz antisimétrica:

La matriz traspuesta de una matriz A de dimensión m×n es una matriz de dimensión n×m que se obtiene al cambiar en A las filas por columnas. La escribiremos At .

Ejemplo: A=

−11 0 22 3

3 4 5

At=

1

−1 3

2 0 4 3 2 5

.

Propiedades:

At

t

=A

AB

t=AtBt

k · A

t=k · At

(10)

Matriz simétrica: Matriz cuadrada tal que At=A .

Matriz antisimétrica ( o hemisimétrica) : Matriz cuadrada tal que At=−A .

Ejemplo:

2 1 3 1 0 5 3 5 1

es una matriz simétrica.

0 1 3

−1 0 5

−3 −5 0

es una matriz antisimétrica.

Ejercicio: Dadas las matrices A=

−1 3

2 4

y B=

4 0 −2

3 1 −1

. Comprueba que

A· B

t=Bt· At .

A· B

t

Bt· At

Ejercicio: Encuentra todas las matrices que conmutan con A=

1 2

(11)

Matriz inversa: La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz A−1 de orden n que verifica:

A · A−1=A−1· A=I

Las matrices que tienen inversa se denominan matrices regulares o no singulares, y las que no la tienen se llaman matrices singulares.

Cálculo de la matriz inversa:

Mediante la definición:

Ejemplo: A=

1 2

3 7

Mediante el método de Gauss-Jordan:

Hacemos la transformación:

A

I

I

A−1

mediante operaciones elementales

(12)

Ejemplos: Calcula la inversa de las matrices:

a) A=

1 2

3 7

b) B=

2 −1

1 3

c) C=

1 0 0

(13)

d) D=

1 2 0 1 3 1

−1 2 1

Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial A · X=B siendo A=

1 1

3 4

y B=

0 2

(14)

Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial: X · AB=X , siendo:

A=

2 0 2 0 2 3 0 0 2

, B=

−1 2 −1

0 1 2

−1 3 1

.

Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial: BX3C=C

B3I

, siendo:

B=

1 0 0

−1 2 3 0 1 2

, C=

0 0 1 0 1 0 1 0 0

(15)

Rango de una matriz:

Ejemplo: En la matriz A=

1 2 3

−1 1 0 0 3 3

las filas verifican que F3=F1F2 , y se dice que

F3 es linealmente dependiente de las filas F1 y F2 .

• En una matriz una fila Fi no nula depende linealmente de las filas Fj , Fk , … ,

Ft se se verifica:

Fi=xFjyFk...zFt donde x , y , ... , z∈ℝ .

Ejemplo: En la matriz A=

3 1 0 −2 1 1 −1 0 3 −1 3 −4

se verifica que F3=2F1−3F2 , luego podemos decir que F3 es linealmente dependiente de F1 y F2 .

• En una matriz una fila Fi no nula es linealmente independiente de las filas Fj ,

Fk , … , Ft si no se puede escribir en la forma anterior (no es posible escribirla como combinación lineal de las demás).

Rango o característica de una matriz es el número de filas o columnas no nulas y

linealmente independientes que tiene la matriz.

• Para calcular el rango aplicamos el método de Gauss hasta llegar a una matriz triangular superior, y dicho rango será el número de filas no nulas.

Nota: Todo lo explicado para filas sería exactamente igual para columnas.

Ejemplos: Calcula el rango de las matrices:

a) A=

1 1 0 2 1 1

(16)

b) B=

1 0 2

−1 1 1 0 1 5

c) C=

1 2

−2 3

2 4 4 1

d) D=

1 2 3 4 2 4 6 9

(17)

Ejercicio: Calcula el rango, según los valores de k de la matriz:

A=

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...