Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

(1)

Yoel E. Guti´

errez T.

1. Introducci´

on

En la ciencias y la ingenier´ıa se desarrollan modelos matemáticos para comprender mejor los fenómenos f´ısicos. con frecuencia, estos modelos producen una ecuación que contiene algunas derivadas de un función incógnita. Esta ecuación es unaecuación difer-encial. U ejemplo de modelo que se desarrolla en c´alculo es la ca´ıda libre de un cuerpo.

Ejemplo 1.1 En el caso de la ca´ıda libre, un objeto es liberado desde una altura deter-minada (por encima del nivel del suelo) y cae bajo la fuerza de la gravedad. Aplicando al objeto que cae la segunda ley de Newton, la cual establece que la masa de un objeto por su aceleración es igual a la fuerza total que actúa sobre él, se obtiene la siguiente ecuación

md

2_h

dt2 =−mg

donde m es la masa del objeto, h es la altura sobre el suelo, d_dt2h2 es su aceleración, g es la aceleración gravitacional (constante) y −mg es la fuerza debido a la gravedad. Ésta es una ecuación diferencial que contiene la segunda derivada de la altura desconocidah como función del tiempo.

Por fortuna, es fácil resolver la ecuación anterior en términos de h. Basta dividir ente m

e integrar dos veces con respecto a t. Es decir,

d2_h

dt2 =−g,

de modo que

dh

dt =−gt+c1

y

h=h(t) = −gt

2

2 +c1t+c2.

Veremos que las constantes de integraci´on c1 y c2 quedan determinadas si conocemos la

altura inicial y la velocidad inicial del objeto. As´ı, tenemos una f´ormula para la altura del objeto en el instante t.

(2)

Siempre que un modelo matemático implique la razón de cambio de una variable con respecto de otra, es probable que aparezca una ecuación diferencial. Por desgracia, en contraste econ el ejemplo de la ca´ıda libre, la ecuación diferencial puede ser muy compleja y dif´ıcil de analizar.

La ecuaciones diferenciales surgen en una amplia gama de áreas, no sólo en las ciencia f´ısicas, sino también en campos tan diversos como la econom´ıa, la medicina, la psicolog´ıa, la investigación de operaciones,.... A continuación enunciamos dos ejemplos:

1. Al aplicar las Leyes de Kirchhoff en un circuito eléctrico formado por un resistor, un inductor y un capacitor que son excitados por una fuerza electromotriz, obtenemos la ecuación

Ld

2_q

dt2 +R

dq dt +

1

Cq=E(t)

donde Les la inductancia, R es la resistencia,C es la capacitancia, E(t) es la fuerza electromotriz, q(t) es la carga en el capacitor y t es el tiempo.

2. En el estudio de las cuerdas vibrantes y la propagaci´on de ondas, encontramos la ecuaci´on diferencial

∂2u ∂t2 −c

2∂2u

∂t2 = 0,

donde t representa el tiempo, x la posición a lo largo de la cuerda, c la rapidez de la onda y u el desplazamiento de la cuerda, que es una función del tiempo y de la posición.

Para comenzar el estudio de las ecuaciones diferenciales necesitamos ciertas terminolog´ıas comunes.

Definición 1.1 Se entiende por ecuación diferencial cualquier ecuación en la que in-terviene una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables in-dependientes.

Como ejemplos adicionales de ecuaciones diferenciales cabe citar:

dy

dt =−4y, (1.1)

2d

2_y

dt2 =−4y, (1.2)

dy

dx + 2xy=e

−x2

, (1.3)

∂2_u

∂x2 =

∂2_u

∂t2 −2

∂u

∂t. (1.4)

Las ecuaciones diferenciales se clasiﬁcan de acuerdo con su tipo, ordeny linealidad.

Definición 1.2 Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una

(3)

Definición 1.3 Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o más variables independientes, se llama una ecuaci´on diferencial en derivadas parciales.

Definición 1.4 El ordende una ecuación diferencial es el orden de las derivadas de orden máximo que aparecen en la ecuación.

Una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n puede expresarse como

f(x, y,dy dx,

d2_y

dx2, ...

dn_y

dxn) = 0,

o sea, usando la notaci´on con primas para las derivadas

f(x, y, y′, y′′, ..., y(n)) = 0. (1.5)

Si podemos resolver la ecuación (1.5) por la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden n tomando la siguiente forma

y(n) =f(x, y, y′, y′′, ..., y(n−1)). (1.6)

Definici´on 1.5 Una ecuaci´on diferencial ordinaria es lineal si se puede escribir de la forma

an(x)

dny

dxn +an−1(x)

dn−1y

dxn−1 +. . .+a1(x)

dy

dx +a0(x)y =f(x), (1.7)

donde cada coeficiente an, an−1, . . . , a1, a0 y f s´olo depende de x, que es la variable

inde-pendiente.

Cuando una ecuaci´on diferencial ordinaria no es lineal, se dice que es no lineal.

2. Generalidades sobre las soluciones

Definición 2.1 Cuando una función y=y(x), definida en alg´un intervalo I, se sustituye en una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación (1.5), y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una soluci´on de la ecuación en el intervalo.

El intervalo I puede ser un intervalo abierto, (a, b), cerrado, [a, b], infinito, (a,∞), . . .. Para nuestros fines, supondremos que una solución y = y(x) es una función de valores reales.

Cuando la solución de una ecuación diferencial se da sin restricciones sobre los valores que asume la variable independiente, asumimos que el intervalo I en el cual la función

y = y(x) es soluci´on, contiene todos los valores para los cuales las operaciones indicadas producen resultados con sentido.

(4)

Definición 2.3 Una solución expl´ıcita de una ecuación diferencial que es idéntica a cero en el intervalo I, se llama solución trivial.

Definición 2.4 Una relación G(x, y) = 0 es una solución impl´ıcita de una ecuación diferencial ordinaria, en un intervalo I, siempre y cuando exista al menos una función

y = y(x) que satisfaga la relaci´on, y la ecuaci´on diferencial, en I. En otras palabras,

G(x, y) = 0 define impl´ıcitamente a la funci´on y=y(x).

El estudio de las ecuaciones diferenciales es semejante al del cálculo integral. a veces, a una solución de la llama integral de la ecuación y a su gráfica, curva integral o curva solución. En c´alculo, al evaluar una antiderivada empleamos una sola constante c

de integraci´on. En forma parecida, al resolver una ecuaci´on diferencial de primer orden,

f(x, y, y′) = 0, por lo general obtenemos una solución con una sola constante arbitraria, o parámetroc. Una solución con una constante arbitraria representa un conjuntoG(x, y, c) = 0 de soluciones y se llama familia monoparamétrica de soluciones. Al resolver una ecuación diferencial de orden n, se busca una familia n-paramétricas de soluciones

G(x, y, c1, c2, . . . , cn) = 0. Esto quiere decir que las ecuaciones diferenciales tienen, en

general, muchas soluciones que corresponden a las elecciones ilimitadas del parámetro o parámetros. Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular.

En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una solución que no se puede obtener particularizando algunos de los parámetros en una familia de soluciones. Esta solución se llama solución singular.

Definición 2.5 Si toda solución de una ecuación de orden n, en un intervalo I, se puede obtener partiendo de una familia n-paramétrica de soluciones G(x, y, c1, c2, . . . , cn) = 0con

valores adecuados de los par´ametros cj (j = 1,2,3, . . . , n), se dice que la familia es la

soluci´on general de la ecuaci´on diferencial.

3. Problemas de valor inicial

Definición 3.1 Un problema de valor inicial (PVI) es un problema que busca de-terminar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

En alg´un intervaloI que contenga a x0, el problema

dny

dxn =f(x, y, y

′_{, y}′′_{, ..., y}(n−1)₎_,

y(x0) =y0, y′(x0) = y1, . . . , y(n−1)(x0) = yn−1,

en donde y0, y1, . . . , yn−1 son constantes reales especiﬁcadas arbitrariamente, es un

(5)

A menudo, la solución de un problema de valor inicial de ordenn entraña la aplicación de una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial dada para determinar n constantes especializadas, del tal manera que la solución particular que resulte para la ecuación satisfaga a las n condiciones iniciales.

Los problemas de valor inicial de primero y segundo orden, son fáciles de interpretar en términos geométricos. Para el PVI de primer orden

dy

dx =f(x, y) y(x0) =y0,

se pide una soluci´on de la ecuaci´on diferencial en un intervaloI que contenga ax0, tal que

la curva de soluci´on pase por el punto (x0, y0).

Para el PVI de segundo orden

d2_y

dx2 =f(x, y, y

′₎

y(x0) =y0, y′(x0) = y1,

se pide una solución de la ecuación diferencial cuya representación gráfica no sólo pase por el punto (x0, y0), sino que también la pendiente de la recta tangente a la representación

gr´aﬁca en ese punto seay1.

Frecuentemente es importante poder predecir de una ecuación diferencial y de las condi-ciones asociadas a ella si existe una solución y si esta es única. Puesto que vamos a comenzar a trabajar con ecuaciones diferenciales de primer orden, enunciaremos aqu´ı, sin demostrar-lo, un teorema que define las condiciones suficientes para garantizar la existencia y unicidad de una solución a un problema de valor inicial de primer orden.

Teorema 3.1 (Teorema de existencia y unicidad) Sea R = {(x, y) : a < x < b, c < y < d} ⊆ R2 una regi´on del plano xy que contiene al punto (x0, y0). si f(x, y) y ∂f_∂y son

continuas en R, entonces existe un intervalo I centrado en x0, y una funci´on ´unica, y(x)

definida en I, que satisface el problema de valor inicial

dy

dx =f(x, y), y(x0) =y0.

4. Ecuaciones con variables separadas

En t´erminos generales, es muy dif´ıcil resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Incluso la sencilla ecuaci´on

dy

dx =f(x, y)

(6)

Definici´on 4.1 Las llamadas ecuaciones separables, o ecuaciones con variables separadas, son aquellas ecuaciones diferenciales que se pueden escribir en la forma

dy

dx =f(x)g(y),

donde el miembro de la derecha es el producto de dos funciones, cada una dependiente de s´olo una de las variables.

En tales circunstancias, podemos separar las variables escribiendo

dy

g(y) =f(x)dx,

y resolver entonces la ecuaci´on original por integraci´on:

∫

dy g(y) =

∫

f(x)dx o H(x) = F(x) +c, (4.8)

en donde H(x) y F(x) son antiderivadas de h(x) = _g₍1_y₎ y de f(x), respectivamente.

Observaci´on 4.1 No hay necesidad de emplear dos constantes cuando se integra una ecuaci´on separable, porque si escribimos H(x) + c1 = F(x) + c2, la diferencia c2 − c1

se puede reemplazar con una sola constante c, como en la ecuaci´on (4.8).

Ejercicio 4.1 Movimiento de un cuerpo en ca´ıda. La segunda ley de Newton es-tablece que la fuerza es igual a la masa por la aceleraci´on. Podemos expresarla mediante la ecuaci´on

mdv dt =F,

donde F representa la fuerza total sobre el objeto, m es la masa del objeto y dv_dt es la aceleración, expresada como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Será con-veniente definir v como positiva cuando está dirigida hacia abajo.

Cerca de la superficie de la tierra, la fuerza debida a la gravedad es simplemente el peso del objeto. Esta fuerza se puede expresar como mg, donde g es la aceleración debido a la gravedad. No hay una ley general que modele con precisión la resistencia del aire que actúa sobre el objeto, pues esta fuerza parece depender de la velocidad del objeto, la densidad del aire, y la forma del objeto, entre otras cosas. Sin embargo, en ciertos casos, la resistencia de aire puede representarse de manera razonable como −bv, dondeb es una constante positiva que depende de la densidad del aire y de la forma del objeto. Utilizamos el signo negativo debido a que la resistencia del aire es una fuerza que se opone al movimiento.

Al aplicar la ley de Newton obtenemos la ecuaci´on diferencial de primer orden

mdv

dt =mg−bv.

Si m= 100kg., g = 9,8_segm2., b= 5

kg

s . yv(0) = 10 m

s., encuentre v(t). ¿Cu´al es la velocidad

(7)

Ejercicio 4.2 Inter´es compuesto. Si P(t) es la cantidad de dinero en una cuenta de ahorro que paga una tasa de inter´es anual de r% compuesto continuamente, entonces

dP dt =

r

100P,

t en años. Suponga que el interés es de 5 % anual, que se abre una cuenta con 3000 Bs. y que no hay retiros. (a) ¿Cuánto dinero abra en la cuenta después de dos años? (b) ¿En que momento las cuenta tendrá 5000 Bs.?

Ejercicio 4.3 Soluciones que no pueden expresarse en términos de funciones elementales. Ciertas integrales indefinidas como ∫ ex2 no pueden expresarse en términos finitos utilizando funciones elementales. Al encontrar una integral de este tipo mientras se resuelve una EDO, con frecuencia es útil usar la integración definida. Por ejemplo, considere el PVI

dy dx =e

x2

y2, y(2) = 1.

Separamos las variables en la EDO. Integramos la ecuaci´on separada de x= 2 a x=x1 y

obtenemos

dy y2 =e

x2

dx

∫ x=x1

x=2

dy y2 =

∫ x=x1

x=2

ex2dx

− 1

y(x1)

+ 1

y(2) =

∫ x=x1

x=2

ex2dx.

Si t es la variable de integraci´on y reemplazamos x1 por x yy(2) por 1, entonces podemos

expresar la soluci´on del PVI como

y(x) =

{

1−

∫ x

2

et2dt

}−1

.

Utilice la integraci´on definida para hallar una soluci´on expl´ıcita de los siguientes PVI.

1. dy_dx =ex2, y(0) = 0.

2. dy_dx =ex2

y−2_, _y_{(0) = 1}_.

3. dy_dx =√1 + senx(1 +y2), y(0) = 1.

5. Ecuaciones homog´

eneas

Definición 5.1 Una función f(x, y) se dice homogénea de grado n si

f(tx, ty) = tnf(x, y)

(8)

La ecuaci´on diferencial

M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0

se llama homogénea siM y N son funciones homogéneas del mismo grado. Tal ecuación se puede poner en la forma

dy

dx =f(x, y) (5.9)

donde f(x, y) = M_N₍(_x,yx,y₎) es claramente homogénea de grado cero. El método para resolver (5.9) reposa en el hecho de que siempre se puede transformar en una ecuación separable, por medio del cambioz = y_x, sea cual sea la funciónf(x, y) en cuestión. Para comprobarlo, notemos que la relación

f(tx, ty) = t0f(x, y) =f(x, y) nos permite hacer t = _x1 y obtener as´ı

f(x, y) =f(1,y

x) =f(1, z).

Entonces, puesto que y=zxy

dy

dx =z+x dz

dx, (5.10)

la ecuaci´on (5.9) se convierte en

z+xdz

dx =f(1, z),

y podemos separar variables:

dz

f(1, z)−z = dx

x .

Completamos ahora la soluci´on integrando y reemplazando z por _xy.

Ejercicio 5.1 Probar que el cambio z = ax+by+c transforma y′ = f(ax+by +c) en una ecuaci´on de variables separadas, y aplicar este m´etodo para resolver las ecuaciones:

1. y′ = (x+y)2_;

2. y′ = sen2₍_x₋_y_{+ 1).}

Ejercicio 5.2 Si ae ̸=bd, mostrar que se pueden elegir las constantes h y k de modo tal que las sustituciones x=z−h, y =w−k reducen

dy dx =

ax+by+c dx+ey+f

a una ecuación homogénea, y aplicar este método para resolver las ecuaciones:

1. dy_dx = x_x+₋y_y+4₋₆;

(9)

Ejercicio 5.3 Haciendo el cambio z = _xyn, o sea, y = zxn, y escogiendo un valor

ade-cuado de n, demostrar que las ecuaciones diferenciales siguientes pueden transformarse en ecuaciones de variables separadas, y resolverlas:

1. dy_dx = 1₂−_xxy2_y2;

2. dy_dx = y_x−₊xy_x2_y2.

6. Ecuaciones exactas

Si partimos de una familia de curvas f(x, y) = c, su ecuaci´on diferencial se puede escribir en la forma df = 0, o sea,

∂f ∂xdx+

∂f

∂ydy= 0.

Supongamos que volvemos del revés la situación y comenzamos con una ecuación diferencial

M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0. (6.11)

Si existe alguna funci´on f(x, y) tal que

∂f

∂x =M y

∂f

∂y =N, (6.12)

Entonces (6.11) se puede poner como

∂f ∂xdx+

∂f

∂ydy= 0 o sea df = 0

y su soluci´on general es

f(x, y) =c.

En este caso la expresi´onM dx+N dy se dice que es una diferencial exacta, y (6.11) se llama una ecuaci´on diferencial exacta.

A veces es posible determinar el carácter exacto y calcular la funciónf(x, y) por simple inspección. As´ı, los miembros de la izquierda de

ydx+xdy= 0 ,1 ydx−

x

y2dy = 0

son reconocibles como diferenciales dexyy x_y, respectivamente, de manera que las soluciones generales de sus ecuaciones son xy=cy x

y =c. Salvo en casos muy sencillos, sin embargo,

(10)

Teorema 6.1 (Criterio para una ecuaci´on diferencial exacta) Supongamos que

M(x, y), N(x, y) y sus primeras derivadas parciales son continuas en una regi´on rect-angular R, definida pora < x < b,c < y < d. Entonces, la condici´on necesaria y suficiente para que

M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0 (6.13) sea una ecuaci´on diferencial exacta es que

∂M

∂y (x, y) = ∂N

∂x(x, y) (6.14)

para todo (x, y) en R.

Prueba. Supuesto que (6.13) es exacta, existir´a una funci´onf que satisface (6.12). De la continuidad de las primeras derivadas parciales de M(x, y) y N(x, y), se inﬁere que

∂2_f

∂y∂x = ∂2_f

∂x∂y. (6.15)

Por tanto,

∂M ∂y =

∂N

∂x, (6.16)

luego (6.16) es condición necesaria para la exactitud de (6.13). Probaremos que es asimismo suficiente, mostrando que (6.16) nos capacita para construir una función f que cumpla las ecuaciones (6.12). Empezaremos integrando las primera de las ecuaciones (6.12) con respecto a x:

f(x, y) =

∫

M(x, y)dx+g(y). (6.17)

La ¸constante de integración que aparece aqu´ı es una función ordinaria de y, ya que ha de desaparecer bajo derivación enx. Esto reduce nuestro problema a hallar una funcióng(y) con la propiedad de que la f dada por (6.17) satisfaga la segunda de las ecuaciones (6.12). Derivando (6.17) respecto a y e igualando el resultado a N(x, y) se obtiene

∂ ∂y

∫

M(x, y)dx+g′(y) = N(x, y),

as´ı que

g′(y) =N(x, y)− ∂

∂y

∫

M(x, y)dx.

De donde

g(y) =

∫

(N − ∂ ∂y

∫

(11)

supuesto que el integrando es sólo función de y. Esto será cierto si la derivada en x del integrando es 0, y dado que la derivada en cuestión es

∂ ∂x

(

N(n, y)− ∂

∂y

∫

M(n, y)dx

)

= ∂N(n, y)

∂x − ∂2

∂x∂y

∫

M(n, y)dx

= ∂N(n, y)

∂x − ∂2

∂y∂x

∫

M(n, y)dx

= ∂N(n, y)

∂x −

∂M(n, y)

∂y

una mirada a nuestra hipótesis (6.16) completa el argumento. La solución de la ecuación (6.13) es f(x, y) = c.

Observación 6.1 La construcción de la funciónf constituye un procedimiento básico para resolver las ecuaciones diferenciales exactas.

7. Factores integrantes

Definici´on 7.1 Si la ecuaci´on

M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0 (7.19)

no es exacta, pero la ecuaci´on

u(x, y)M(x, y)dx+u(x, y)N(x, y)dy = 0, (7.20)

resultante de multiplicar la ecuaci´on (7.19) por la funci´on u(x, y) si es exacta, entonces

u(x, y) es un factor integrante de la ecuaci´on (7.19).

Observaci´on 7.1 Si (7.19) tiene soluci´onf(x, y) =c, entonces admite al monos un factor integrante u(x, y).

Observación 7.2 En general, al usar factores integrantes, usted debe verificar si cualquier solución de u(x, y) = 0 es en realidad una solución de la ecuación diferencial original.

Nuestra discusión hasta aqu´ı no ha considerado el problema de cómo hallar factores integrantes en la practica. En general es muy fácil. En algunos casos, sin embargo, se dispone de métodos directos. Para ver cómo surgen éstos, consideremos la condición de que u sea un factor integrante para (7.19), entonces debemos tener

∂(uM)

∂y =

∂(uN)

∂x .

Desarrollando esa igualdad resulta

u∂M ∂y +M

∂u ∂y =u

∂N ∂x +N

(12)

o sea,

1

u

(

M∂u ∂y −N

∂u ∂x ) = ∂N ∂x − ∂M

∂y . (7.21)

Con ello hemos reducido el problema de resolver la ecuación diferencial ordinaria (7.19) al mucho más duro de resolver la ecuación diferencial en derivadas parciales (7.21). Sin embargo hay dos excepciones importantes.

Supongamos que la ecuación (7.19) tiene un factor integrante que sólo depende de x; es decir, u=u(x). En esta caso, la ecuación (7.21) se reduce a la ecuación separable

1 u du dx = ∂M ∂y − ∂N ∂x

N . (7.22)

Como

∂M ∂y−

∂N ∂x

N s´olo depende dex, poniendo ∂M

∂y − ∂N

∂x

N =g(x),

la ecuaci´on (7.22) se convierte en

1

u du

dx =g(x)

o lo que es lo mismo

du

u =g(x)dx,

as´ı que

lnu=

∫

g(x)dx

y

u=e∫g(x)dx. (7.23)

Este razonamiento es obviamente reversible: si la expresión de la derecha en (7.22) es sólo función de x, digamos g(x), entonces (7.23) da una función u que depende sólo de x y satisface (7.21), de manera que se trata de un factor integrante para (7.19).

Razonamientos análogos proporcionan el siguiente procedimiento paralelo, aplicable cuando (7.19) tiene un factor integrante que sólo depende dey: si la expresión

∂M ∂y −

∂N ∂x

−M (7.24)

es s´olo funci´on de y, digamos h(y), entonces

u=e∫h(y)dy (7.25)

es as´ı mismo una funci´on s´olo de y que satisface (7.21), siendo, por tanto, un factor inte-grante para (7.19).

Ejercicio 7.1 Determine un factor integrante de la forma xn_ym _{y resuelva cada EDO.}

1. (2y2−6xy)dx+ (3xy−4x2)dy= 0.

(13)

8. Ecuaciones lineales

El tipo mas importante de ecuaciones diferenciales es el de las ecuaciones lineales, en las que la derivada de orden más alto es una función lineal de las derivadas de ordenes inferiores. As´ı pues, la ecuación diferencial lineal general de primer orden es

dy

dx =p(x)y+q(x),

la de segundo orden es

d2y

dx2 =p(x)

dy

dx+q(x)y+r(x),

y as´ı sucesivamente. Se sobrentiende que los coeﬁcientes de la derecha en esas expresiones,

p(x), q(x),r(x), etc., son s´olo funciones dex.

Nuestro interés se centra ahora en la ecuación diferencial lineal general de primer orden, que escribimos en la forma canónica

dy

dx +P(x)y=Q(x). (8.26)

El método más simple de resolución reposa en la observación de que

d dx

(

e∫P dxy

)

=e∫P dxdy

dx +yP e

∫

P dx₌_e∫P dx(dy

dx +P y

)

. (8.27)

Seg´un esto, si multiplicamos (8.26) por e∫P dx, pasa a ser

d dx

(

e∫P dxy

)

=Qe∫P dx. (8.28)

Por integraci´on se obtiene ahora

e∫P dxy =

∫

Qe∫P dxdx+c,

luego

y=e−∫P dx

( ∫

Qe∫P dxdx+c

)

(8.29)

es la soluci´on general de (8.26).

Ejercicio 8.1 Use integraci´on definida para mostrar que la soluci´on del PVI

dy

dx + 2xy= 1, y(2) = 1,

se puede expresar como

y(x) =e−x2

(

e4 +

∫ x

2

et2dt

)

(14)

Ejercicio 8.2 Considere el PVI

dy dx +y

√

1 + sen2_x₌_x, _y_{(0) = 2}_.

Utilice la integraci´on definida para mostrar que el factor integrante para la EDO se puede escribir como

u(x) = exp

( ∫ x

0 √

1 + sen2_tdt)

y que la soluci´on del PVI es

y(x) = 1

u(x)

∫ x

0

u(s)ds+ 2

u(x).

Ejercicio 8.3 Coeficientes discontinuos.Hay ocasiones en que el coeficiente P(x) de una ecuaci´on lineal no es continuo debido a la existencia de discontinuidades de salto. Por fortuna, aun en este caso obtenemos una soluci´on ¨_{razonable¨. Por ejemplo, considere el PVI}

dy

dx +P(x)y=x, y(0) = 1,

donde

P(x) =

{

1, 0≤x≤2,

3, x >2.

1. Determine la soluci´on general para 0≤x≤2.

2. Elija la constante en la soluci´on de la parte (1) de modo que satisfaga las condiciones iniciales.

3. Determine la soluci´on general para x >2.

4. Ahora seleccione la constante en la solución general de la parte (3) de modo que la solución de la parte (2) y la solución de la parte (3) coincidan en x = 2. Al pegar las dos soluciones, podemos obtener una función continua que satisface la ecuación diferencial en x= 2, punto donde su derivada no est´a definida.

5. Bosqueje la gr´afica de la soluci´on desde x= 0 hasta x= 5.

Ejercicio 8.4 T´erminos de forzamiento discontinuo.Hay ocasiones en que el t´ ermi-no de forzamiento Q(x) en una ecuación lineal deja de ser continuo debido a la aparición de las discontinuidades de salto. Utilice el procedimiento anterior para hallar la solución continua del PVI

dy

dx+ 2y=Q(x), y(0) = 0.

donde

Q(x) =

{

2, 0≤x≤3,

−2, x >3.

(15)

9. Ecuaciones diferenciales de primer orden y

mode-los matem´

aticos

Las leyes del universo están escritas en el lenguajes de las matemáticas. El álgebra es suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero los fenómenos naturales más interesantes implican cambios y se describen sólo por medio de ecuaciones que relacionen las cantidades que cambian.

Puesto que la derivada dx_dt = f′(t) de la funci´on f es la raz´on a la cual la cantidad

x = f(t) est´a cambiando con respecto a la variable independiente t, es natural que las ecuaciones diferenciales se usen con frecuencia para describir el universo cambiante.

El estudio de la ecuaciones diferenciales tiene tres objetivos principales:

1. Describir la ecuación diferencial que describa una situación f´ısica espec´ıfica.

2. Determinar -ya sea de manera exacta o aproximada- la soluci´on apropiada de esa ecuaci´on.

3. Interpretar la soluci´on que se encuentre.

El proceso crucial de la modelaci´on matem´atica incluye lo siguiente:

1. Formulación de un problema del mundo real en términos matemáticos; esto es, la construcción de un modelo matemático.

2. Análisis o solución del problema matemático resultante.

3. Interpretación de los resultados matemáticos en el contexto original de la situación del mundo real; por ejemplo, responder la pregunta originalmente planteada.

Un modelo matemático satisfactorio está sujeto a dos requisitos contradictorios. Debe ser suficientemente detallado para responder la situación del mundo real con relativa exacti-tud, y aun as´ı debe ser lo suficientemente sencillo para hacer práctico el análisis matemático. Si el modelo es demasiado detallado que representa por completo la situación f´ısica, en-tonces el análisis matemático puede ser demasiado dif´ıcil de llevar a cabo. Si el modelo es demasiado simple, los resultados pueden ser tan imprecisos que sean inútiles. Por lo tanto, hay un compromiso ineludible entre lo que es f´ısicamente realista y lo que es matem´ atica-mente posible. Por consiguiente, el paso más crucial y delicado en el proceso es la construc-ción de un modelo que salve adecuadamente esta brecha entre el realismo y la factibilidad. Se deben encontrar caminos para simplificar el modelo matemáticamente sin sacrificar las caracter´ısticas esenciales de la situación del mundo real.

A continuaci´on se ilustran algunos modelos matem´aticos.

9.1. Crecimiento y decaimiento (o desintegraci´

on)

(16)

matemático es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un pa´ıs crece en forma proporcional a la población total P(t), de ese pa´ıs en cualquier momento t. En otras palabras, mientras más personas hayan en el momentot, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar

dP

dt =kP, (9.30)

dondek es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial (9.30) aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos.

El modelo (9.30) también se aplica al fenómeno de la desintegración radiactiva y a sistemas biológicos. En el modelo (9.30), se puede notar que en el caso del crecimiento

k > 0, y en el caso del decaimiento o desintegraci´onk < 0.

Ejercicio 9.1 Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias. Cuando t = 1h,

la cantidad medida de bacterias es 3₂N0. Si la raz´on de reproducci´on es proporcional a

la cantidad de bacterias presentes, calcular el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos. (Sol. 2,71h.)

Ejercicio 9.2 Se sabe que la población de una cierta comunidad aumenta con una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? (Sol. 7,9 y 10 años)

Ejercicio 9.3 La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en cualquier momento. Su población inicial es 500 y aumenta el 15 % en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? (Sol. 760)

9.2. Ley de Newton del enfriamiento

La ley del enfriamiento de Newton puede ser establecida en la forma siguiente: La tasa de cambio de la temperatura T(t) de un cuerpo con respecto al tiempot es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura A del medio ambiente. Esto es,

dT

dt =−k(T −A), (9.31)

dondek es una constante positiva. Observe que siT > A, entonces dT_dt <0, de modo que la temperatura es una función decreciente de t y el cuerpo se está enfriando. Pero, si T < A, entonces dT_dt >0, y por tanto T está aumentando.

(17)

Ejercicio 9.5 Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es 70o_F. y se lleva al exterior, donde la temperatura es 10oF. Pasado 1₂ minuto el termómetro indica 50o_{F. ¿Cu´}_{al es la temperatura cuando} _t_{= 1} _{minuto? ¿Cu´}_{anto tiempo se necesita para que} el termómetro llegue a 15o_{F? (Sol. 36,67}o_F, ₃_,₀₆′₎

Ejercicio 9.6 Un recipiente con agua hirviendo a 100o_C _{se retira de una estufa en el} instante t = 0 y se deja enfriar en la cocina. Despu´es de 5 minutos, la temperatura del agua ha descendido a 80o_C _{y otros 5 minutos despu´}_{es ha bajado a} ₆₅o_C_{. suponga que} se aplica la ley de enfriamiento de Newton y determine la temperatura (constante) de la cocina.

9.3. Mezclas

Al mezclar dos fluidos, a veces se originan ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Por ejemplo, al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones se da pie a una ecuación diferencial de primer orden, que define la cantidad de sal que contiene la mezcla. Sea A(t) la cantidad de sal en el tanque en cualquier momentot. En este caso, la rapidez con que cambia A(t) es la tasa neta:

dA dt =

(

tasa de entrada de la sustancia

)

−

(

tasa de salida de la sustancia

)

=R1−R2.

Ejercicio 9.7 Un tanque contiene 200 lts. de agua en que se han disuelto 30 gr. de sal y le entran 4 lits/min. de solución con 1 gr. de sal por litro; está bien mezclado, y de él sale l´ıquido con el mismo flujo. Calcule la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier momento t. (Sol. A(t) = 200−170e−50t ).

Ejercicio 9.8 Un tanque tiene 500 gal. de agua pura y le entra salmuera con 2 lb. de sal por galón a un flujo de 5 gal/min. El tanque está bien mezclado, y sale de él el mismo flujo de solución. Calcule la cantidad A(t)de libras de sal que hay en el tanque en cualquier momento t. (Sol. A(t) = 1000−1000e−100t ).

Ejercicio 9.9 Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 lb. de sal disuelta. Le entra salmuera con 1₂ lb. de sal por galón a un flujo de 6 gal/min. El contenido del tanque está bien mezclado y del él sale un flujo de 4 gal/min. de solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos. (Sol. 64,38 lb.)

9.4. Circuitos en serie

Cuando un circuito en serie solo contiene un resistor y un inductor (circuito LR), la segunda ley de Kirchhoﬀ establece que las sumas de las ca´ıdas de voltaje a trav´es del inductor (Ldi_dt) y del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado, (E(t)), al circuito.

con lo anterior se obtiene la ecuaci´on diferencial lineal que describe la corrientei(t),

Ldi

(18)

E

R L

Figura 1: Circuito LR en serie

E

[image:18.595.60.386.525.647.2]

R C

Figura 2: Circuito RC en serie

en que LyR son las constantes conocidas como inductancia y resistencia. La corrientei(t) se llama, tambi´en, respuesta del sistema.

La ca´ıda de voltaje a trav´es de un capacitor de capacitancia C es q(_tt), donde q es la carga del capacitor; por lo tanto, para el circuito RC en serie, la segunda ley de Kirchhoﬀ establece

Ri+ 1

Cq=E(t).

Pero la corriente i y la carga q se relacionan mediante i = dq_dt, as´ı, la ecuaci´on anterior se transforma en la ecuaci´on diferencial lineal

Rdq dt +

1

Cq =E(t).

Unidades utilizadas en los circuitos el´ectricos

Cantidad Representaci´on literal Unidades

Fuente de voltaje E voltio (V)

resistencia R ohn (Ω)

Inductancia L henrio (H)

Capacitancia C faradio (F)

Carga q coulomb (C)

Corriente i amperio (A)

Ejercicio 9.10 Un acumulador de 12 V se conecta a un circuito en serie LR, con una inductancia de 1₂ H y una resistencia de 10 Ω Determinar la corriente i, si la corriente inicial es cero. (Sol. i(t) = 6₅ − 6₅e−20t)

(19)

capacitor, si i(0) = 0,4 A. Halle la corriente i(t). (Sol. q(t) = ₁₀₀1 −₁₀₀1 e−50t_; _i₍_t_{) =} 1 2e−

50t

)

Ejercicio 9.12 Se aplica una fuerza electromotriz

E(t) =

{

120, 0≤t≤20

0, t >20

a un circuito en serie LR, en que la inductancia es 20 H y la resistencia es 2 Ω. Determine

la corriente, i(t), si i(0) = 0.

(

Sol. i(t) =

  

60−60e−10t , 0≤t ≤20 60(e2₋₁₎_e−₁₀t _, _{t >}₂₀