CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra

UNIDAD 8

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

Centro de masa.

Hasta ahora se ha utilizado el modelo de partícula o punto material para el estudio de la dinámica de los cuerpos de dimensiones finitas. En ese caso la partícula material se ha considerado aislada, representando el resto del universo por la accion de fuerzas o por su energía potencial. Pero, ¿qué ocurre cuando hay que considerar las dimensiones del cuerpo en estudio?

La aproximación de punto material es válida en los movimientos de traslación y en aquellos casos en los que la precisión en la localización del cuerpo es del orden de las dimensiones de este. Por tanto, hay de proponer un nuevo modelo que permita estudiar los cuerpos, y su evolución temporal, en los casos en que la aproximación anterior no sea válida. Este modelo es el de sistemas de partículas, que es un conjunto de partículas cuyas propiedades globales se quieren estudiar.

La figura muestra un sistema de partículas compuesto de tres masas. En el sistema existen dos tipos de fuerzas:

1. Las fuerzas externas como la atracción gravitacional de la tierra por ejemplo. 2. Las fuerzas internas que las partículas ejercen unas sobre otras .

Frecuentemente es muy práctico reemplazar un sistema de muchas partículas con una partícula simple equivalente de masa igual, esto lo conocemos como centro de masa.

El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede definir como el punto del sistema donde se

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Por otro lado, el centro de masa se refiere a cuerpos o a varios cuerpos que se mueven en relación de otros y se define como el punto R_CM x, y, z que se mueve en la misma trayectoria que seguiría una partícula sometida a una fuerza resultante. El análisis de la figura anterior permite definir el vector posición del centro de masa mediante la siguiente ecuación:

𝑅

_𝐶𝑀

𝑥, 𝑦, 𝑧 =

𝑚

1

𝒓

𝟏

+ 𝑚

2

𝒓

𝟐

+ ⋯ + 𝑚

𝑛

𝒓

𝒏

𝑚

₁

+ 𝑚

₂

+ ⋯ + 𝑚

_𝑛

=

𝑚

_𝑖

𝒓

_𝒊

𝑛 𝑖=1

𝑚

_𝑖

𝑛 𝑖=1

Como n_i=1m_n = M, es decir la masa total del sistema, la ecuación se convierte:

𝑅

_𝐶𝑀

𝑥, 𝑦, 𝑧 =

𝑚

𝑖

𝒓

𝒊

𝑛 𝑖=1

𝑀

Donde 𝒓𝒊es el vector posición que contiene las coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧 de la masa 𝑚𝑛, que se

puede escribir como:

𝑅

_𝐶𝑀

𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥

_𝐶𝑀

𝑖 + 𝑦

_𝐶𝑀

𝑗 + 𝑧

_𝐶𝑀

𝑘

De donde se obtiene:

𝑥

_𝐶𝑀

=

𝑚

𝑖

𝒙

𝒊

𝑛 𝑖=1

𝑀

; 𝑦

𝐶𝑀

=

𝑚

_𝑖

𝒚

_𝒊

𝑛 𝑖=1

𝑀

; 𝑧

𝐶𝑀

=

𝑚

_𝑖

𝒛

_𝒊

𝑛 𝑖=1

𝑀

Movimiento del centro de masa.

Imaginemos una rueda de un automovil que tiene un movimiento de rotación, aunque la rueda gira, el centro de masa de la misma genera una trayectoria rectilínea debido a una fuerza neta. Esa fuerza es el total de todas las fuerzas involucradas en mover la rueda del auto. En este ejemplo el centro de masa coincide con el centro de gravedad, pero cuando hablamos de sistemas de cuerpos, el centro de masa no siempre coincide con el centro del sistema.

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desplazado ∆𝑅𝐶𝑀, entonces el desplazamiento del Centro de Masa en ese mismo intervalo

de tiempo será:

∆𝑅

_𝐶𝑀

=

𝑚

𝑖

∆𝒓

𝒊

𝑛 𝑖=1

𝑀

si dividimos esta expresión por ∆t y hacemos que este intervalo de tiempo sea lo mas pequeño posible, es decir ∆t → 0, se obtendrá:

lim

∆t→0

∆𝑅

_𝐶𝑀

∆𝑡

=

𝑚

_𝑖

lim

∆t→0

∆𝒓

_𝒊

∆𝒕

𝑛 𝑖=1

𝑀

⇒

Y esta expresión es la definición de velocidad media, es decir:

𝑑𝑅

_𝐶𝑀

𝑑𝑡

=

𝑚

_𝑖

𝑑𝑟

_𝑑𝑡

𝑖

𝑛 𝑖=1

𝑀

𝑣

_𝐶𝑀

=

𝑚

𝑖

𝑣

𝑖

𝑛 𝑖=1

𝑀

La aceleración del centro de masas se obtiene derivando 𝑣_𝐶𝑀 con respecto del tiempo:

𝑑𝑣

𝐶𝑀

𝑑𝑡

=

𝑚

_𝑖

𝑑𝑣

_𝑑𝑡

𝑖

𝑛 𝑖=1

𝑀

𝑎

_𝐶𝑀

=

𝑚

𝑖

𝑎

𝑖

𝑛 𝑖=1

𝑀

Las expresiones de 𝑣𝐶𝑀 y de 𝑎𝐶𝑀, permiten señalar que el centro de masas se mueve como

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Cantidad de movimiento lineal de una partícula.

Siempre hacemos referencia a cantidad de cosas, objetos, etc. Cuando vemos una avenida a las 12 del mediodía existirá más cantidad de movimiento que si la observamos un domingo a la misma hora.

La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar, como resultado obtenemos un vector con la misma dirección y sentido que la velocidad.

La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la misma velocidad, pero distinta masa, el de mayor masa, a la misma velocidad, tendrá mayor cantidad de movimiento.

Consideremos una partícula de masa constante m, como la de la figura anterior, ya que 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡, y aplicando la segunda ley de Newton, obtenemos que:

𝐹 = 𝑚

𝑑𝑣

𝑑𝑡

=

𝑑

𝑑𝑡

𝑚𝑣

Podemos introducir m en la derivada porque es constante. Así, la segunda ley de Newton dice que la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a la rapidez de cambio de la combinación el producto de la masa y la velocidad de la partícula 𝑚𝑣. Esto es lo que se conoce como cantidad de movimiento lineal (p), lo que permite escribir.

𝑝 = 𝑚𝑣

Para una partícula en movimiento en el espacio, las componentes del momento lineal en cada dirección x, y y z son:

𝑝

𝑥

= 𝑚𝑣

𝑥

; 𝑝

𝑦

= 𝑚𝑣

𝑦

; 𝑝

𝑧

= 𝑚𝑣

𝑧

Las unidades en el SI de la magnitud cantidad de movimiento lineal son las de masa por rapidez, es decir, 𝑘𝑔𝑚

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Si cambia la cantidad de movimiento lineal de una partícula, su velocidad varía, y si la masa es constante, como casi siempre es el caso, entonces hay aceleración, que necesariamente debe ser producida por una fuerza. Mientras mayor sea la fuerza, mayor el cambio de velocidad, y por lo tanto mayor el cambio de la cantidad de movimiento lineal. Pero hay otro factor importante a considerar: el tiempo durante el cual se ejerce la fuerza.

El cambio de la cantidad de movimiento lineal es mayor si se aplica la misma fuerza durante un intervalo de tiempo largo que durante un intervalo de tiempo corto. Estas afirmaciones se pueden demostrar escribiendo la ecuación de momento lineal de la siguiente forma:

𝐹 =

𝑑

𝑑𝑡

𝑚𝑣 =

𝑑𝑝

𝑑𝑡

⇒ 𝑑𝑝 = 𝐹𝑑𝑡

𝑝

_𝑓

− 𝑝

_𝑖

= ∆𝑝 = 𝐹𝑑𝑡

𝑡_𝑓

𝑡𝑖

Esta expresión se define como el impulso I de la fuerza F en el intervalo de tiempo dt, es decir el impulso I es un vector definido por la expresión:

𝐼 = 𝐹𝑑𝑡

𝑡_𝑓

𝑡𝑖

El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso, por lo que se puede escribir:

𝐼 = 𝐹∆𝑡 = ∆𝑝

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Cantidad de movimiento lineal de un sistema de partículas.

Para comprender la importancia del centro de masa de un conjunto de partículas, debemos preguntar qué le sucede cuando las partículas se mueven. La primera respuesta que podemos obtener es que las ecuaciones de las partículas son equivalentes a la ecuación de un solo vector que se obtiene al analizar una sola partícula.

Para entenderlo veamos los siguientes ejemplos, al atrapar una pelota, realmente estamos atrapando un conjunto de un gran número de moléculas de masas 𝑚1,

𝑚2, 𝑚3, ⋯ 𝑚𝑛. El impulso que sentimos se

debe a la cantidad de movimiento lineal total de ese conjunto, pero es el mismo que si estuviéramos atrapando una sola partícula de masa 𝑀 = 𝑚₁+ 𝑚₂+ 𝑚₃+ ⋯ + 𝑚_𝑛, que se mueve con velocidad equivalente a de la velocidad del centro de masa del conjunto.

𝑣

_𝐶𝑀

=

𝑚

𝑖

𝑣

𝑖

𝑛 𝑖=1

𝑀

Suponga que marcamos el centro de masa de una llave ajustable, que está en algún punto del mango, y deslizamos la masa con cierto giro sobre una mesa lisa horizontal, tal como se aprecia en la figura. El movimiento global parece complicado, pero el centro de masa sigue una línea recta, como si toda la masa estuviera concentrada en ese punto, por lo que se concluye que:

𝑝 = 𝑀𝑣

_𝐶𝑀

En un sistema de partículas sobre el que la fuerza resultante es cero, la cantidad de movimiento lineal total es constante y la velocidad del centro de masa también es constante.

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Conservación de la cantidad de movimiento lineal.

Partamos de las siguientes afirmaciones, la cantidad de movimiento lineal de un sistema de partículas es la suma de los momentos de cada una de las partículas que integran el sistema y la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas a un sistema coincide con la variación temporal del momento lineal del sistema de partículas, para señalar la importancia que tiene definir el principio de conservación de la cantidad de movimiento.

Éste dice, cuando la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema de partículas es cero se dice que la cantidad de movimiento es constante cumpliéndose que la cantidad de movimiento inicial es igual a la cantidad de movimiento final. En un sistema de dos partículas podremos plantear la siguiente ecuación:

𝑚

₁

𝑣

_1𝑖

+ 𝑚

₂

𝑣

_2𝑖

= 𝑚

₁

𝑣

_1𝑓

+ 𝑚

₂

𝑣

_2𝑓

𝑝

_1𝑖

+ 𝑝

_2𝑖

= 𝑝

_1𝑓

+ 𝑝

_2𝑓

𝑝

_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖}

= 𝑝

_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑓}

𝑝

_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙}

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

En ausencia de impulso, la cantidad de movimiento de un cuerpo o sistema de cuerpos, se conserva, recordemos que impulso es debido a las fuerzas externas

Al aplicar la conservación del momento lineal a un sistema, es indispensable recordar que el momento lineal es una cantidad vectorial. En ciertos aspectos, el principio de conservación del momento lineal es más general que el de conservación de la energía mecánica.

Esta ley de conservación es importantísima y es aplicable a un gran número de situaciones físicas de las que mencionaremos sin desarrollar algunas de ellas:

 En el estudio del choque de dos o más cuerpos.

 En la dinámica de un motor a reacción (cohete o avión jet).