Tema 17 Funciones

(1)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 306

FUNCIÓN

CPR. JORGE JUAN

_Xuvia-Narón

Dados dos conjuntos, D, y, E. Se define una función, f, del conjunto, D, hacia el conjunto, E, como una correspondencia que asigna a cada elemento del conjunto, D, un único elemento del conjunto, E.

f: D  E xD  ºyE/ y= f(x)

D conjunto dominio de la función, f. Está formado por los elementos del conjunto, D, al que le corresponde algún elemento del conjunto, E, por la función, f.

Im(f)E conjunto imagen de la función, f. Es un subconjunto del conjunto, E, y está formado por todos los elemento del conjunto, E, que tienen correspondencia a través de la función, f, con algún elemento del conjunto dominio, D.

Im(f)= {yE/ xD, y= f(x)} xD variable independiente

yE variable dependiente

Cuando tanto el conjunto, D, como el conjunto, E, son el conjunto de números reales, ℝ, la función, f, se denomina función real de variable real

y= f(x): Dℝ  ℝ función real definida en el dominio abierto, Dℝ xD f(x)

Una función, f(x), es pues una relación entre dos variables numéricas reales. Una de ella es la variable independiente, x, y la otra es la variable dependiente, y= f(x), cuyo valor depende del valor que se le ha dado a la variable independiente, x.

Las formas en que se puede indicar la relación entre la variable independiente, x, y la variable dependiente, y, son:

Expresión algebraica

Fórmula que da la relación de dependencia entre las dos variables. En forma general esta expresión es de la forma:

y= f(x) Gráfica

Permite visualizar la relación entre la variable independiente, x, y la variable dependiente, y= f(x), por medio de un sistema de coordenadas cartesiano formado por los pares de puntos, (x, f(x)), en los que la variable independiente, x, toma los valores del dominio de la función.

(2)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 307 Si se hace la representación gráfica de una función, f, para cada valor real de la variable independiente perteneciente al dominio de la función, aD, sólo existe un único punto de dicha gráfica que tenga a ese número, a, como abscisa. Toda recta vertical, x= a, corta a la gráfica de la función, f, a lo sumo en un punto.

Las intersecciones de la gráfica de la función, f, con el eje de abscisas, X, del sistema de coordenadas cartesiano son los ceros de la ecuación

f(x)= 0

siendo el valor de las abscisas de esos puntos los ceros de la función, f. Las características de una función que definen a una función son:

Dominio, Dom f

Sea

f(x): Dom f  ℝ  ℝ función real definida en el dominio, Dom f  ℝ

Se llama dominio de la función, f(x), y se escribe, Dom f, al conjunto de valores reales que puede tomar la variable independiente, x, de forma que en ellos exista un valor real para la variable dependiente, y. En los valores de la variable independiente que pertenezcan al dominio de la función existe la gráfica de la función.

xDom f, ºy= f(x), de forma que el punto, (x,f(x)), pertenece a la gráfica de la función

Para el cálculo del dominio, Dom f, de una función real de variable real, f(x), se sigue el esquema:

f(x)>0 la solución de esta inecuación es el dominio de la función ¿hay logaritmos  n(x)= 0 sol: xi

en la expresión de la función?

y= lga f(x)

d(x)= 0, sol: xj

¿hay raíz de índice par? 

d(x)= 0, sol: xi, Dom f= ℝ-xi

¿hay denominador?

Dom f=ℝ

Recorrido, Img f

mirar signos de la raíz en los intervalos que definen sobre la recta real. Los extremos de los intervalos procedentes de la solución

de la ecuación del

numerador se incluyen en el dominio de la función, mientras que los extremos

procedentes de las

soluciones de la ecuación

del denominador se

excluyen del dominio de la función

( ) ( )

( )

par _par n x

f x

d x 

( )

n x

y

f x

d x

(3)

Sea

f(x): Dom f  ℝ  ℝ función real de variable real definida en el dominio, Dom f  ℝ

Se llama recorrido de una función, f(x), y se escribe, Img f, al conjunto de valores reales que toma la variable dependiente, y, en todo el conjunto del valores reales que la variable independiente toma en el dominio de la función, Dom f.

Para cada valor real de la variable independiente, x, la variable dependiente, y, toma un único valor real. xDom f, ºyImg f / y= f(x)

Límite de una función, lim f(x)

Sea

f(x): Dom f  ℝ  ℝ función real de variable real definida en el dominio, Dom f  ℝ

Se dice que la función, f(x), tiene por límite el número real, Aℝ, cuando la variable independiente, x, tiende a tomar el valor, xo, cuando tomado un número real positivo, ℝ, tan pequeño como se quiera, existe otro número real positivo, ℝ, tal que para valores de la variable independiente, x, que disten del valor, xo, menos que esta cantidad entonces la imagen de ellos por la función, f(x), distan del valor, A, menos que el valor, .

0

lim

xx f(x)= A, si N(f(xo),), N(xo,) / x N(xo,) → f(x) N(f(xo), )

N(f(xo),) entorno de centro el punto, f(xo), y radio,  N(xo,) entorno de centro el punto, xo, y radio,  expresión que se puede leer

0

lim

xx f(x)= A, si >0, >0 / 0<

x



x

0 <  →

f x

( )



A

< 

En función de lo anterior se define:

Límite lateral de una función, f(x)

Límite lateral por la izquierda

Se dice que la función, f(x), tiene por límite el número real, Aℝ, cuando la variable independiente, x, tiende a tomar el valor, xo, cuando tomado un número real positivo, ℝ, tan pequeño como se quiera, existe otro número real positivo, ℝ, tal que para valores de la variable independiente, x, que disten del valor, xo, menos que esta cantidad y además, x<xo, entonces la imagen de ellos por la función, f(x), distan del valor, A, menos que el valor, .

0

lim

xx

f(x)= A, si >0, >0 / 0<

x



x

₀ < , y, x<xo →

f x

( )



A

< 

(4)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 309 Se dice que la función, f(x), tiene por límite el número real, Aℝ, cuando la variable independiente, x, tiende a tomar el valor, xo, cuando tomado un número real positivo, ℝ, tan pequeño como se quiera, existe otro número real positivo, ℝ, tal que para valores de la variable independiente, x, que disten del valor, xo, menos que esta cantidad y además, x>xo, entonces la imagen de ellos por la función, f(x), distan del valor, A, menos que el valor, .

0

lim

x_xf(x)= A, si >0, >0 / 0<

x



x

0 < , y, x>xo →

f x

( )



A

< 

Una función, f(x), tiene límite en el punto, xo, cuando sus límites por la izquierda y por la derecha en ese punto son coincidentes.

Los límites de una función, f(x), cuando la variable independiente, x, tiende a tomar el valor, xo, pueden ser:

0

lim

xx f(x)= 

Si elegido un número real, k>0, tan grande como se quiera se puede hallar un número real, >0, tal que para los valores de la variable independiente, x, que disten del valor, xo, menos que este valor se verifica que su imagen por la función, f(x), es mayor que el valor del número real, k.

0

lim

xx f(x)= , si k>0, >0 / 0<

x



x

0 < , → f(x)>k

0

lim

xx f(x)= -

Si elegido un número real, k<0, tan pequeño como se quiera se puede hallar un número real, >0, tal que para los valores de la variable independiente, x, que disten del valor, xo, menos que este valor se verifica que su imagen por la función, f(x), es menor que el valor del número real, k.

0

lim

xx f(x)= -, si k<0, >0 / 0<

x



x

0 < , → f(x)<>k

Los límites de una función, f(x), cuando la variable independiente, x, tiende a tomar el valor, , pueden ser:

lim

xf(x)= A

Si elegido un número real, >0, tan pequeño como se quiera se puede hallar un número real, >0, tal que para los valores de la variable independiente, x>, se verifica que su imagen por la función, f(x), distan del valor, A, menos que el valor, .

lim

xf(x)= A, si >0, >0 / x>, →

f x

( )



A

<

lim

xf(x)= A

Si elegido un número real, >0, tan pequeño como se quiera se puede hallar un número real, >0, tal que para los valores de la variable independiente, x<, se verifica que su imagen por la función, f(x), distan del valor, A, menos que el valor, .

lim

(5)

lim

x f(x)= 

Si elegido un número real, k>0, tan grande como se quiera se puede hallar un número real, >0, tal que para los valores de la variable independiente, x>, se verifica que su imagen por la función, f(x), es mayor que el valor del número real, k.

lim

xf(x)= , si k>0, >0 / x>, → f(x)>k

lim

x f(x)= -

Si elegido un número real, k<0, tan pequeño como se quiera se puede hallar un número real, >0, tal que para los valores de la variable independiente, x>, se verifica que su imagen por la función, f(x), es menor que el valor del número real, k.

lim

xf(x)= -, si k<0, >0 / x>, → f(x)<k

lim

xf(x)= 

Si elegido un número real, k>0, tan grande como se quiera se puede hallar un número real, >0, tal que para los valores de la variable independiente, x<, se verifica que su imagen por la función, f(x), es mayor que el valor del número real, k.

lim

xf(x)= , si k>0, >0 / x<, → f(x)>k

lim

xf(x)= -

Si elegido un número real, k<0, tan pequeño como se quiera se puede hallar un número real, >0, tal que para los valores de la variable independiente, x<, se verifica que su imagen por la función, f(x), es menor que el valor del número real, k.

lim

xf(x)= -, si k<0, >0 / x<, → f(x)<k

Sean:

f(x): Dom f  ℝ  ℝ función real de variable real definida en el dominio, Dom f  ℝ g(x): Dom g  ℝ  ℝ función real de variable real definida en el dominio, Dom g  ℝ xoDom f  Dom g valor de la variable independiente común a los dos dominios

ℝ número real

N(xo,)Domg entorno de centro el punto, xo, y radio, 

0

lim

(6)

0

lim

xx g(x)= zo

se verifica:

0

lim

xx [f(x)±g(x)]= yo+zo

0

lim

xx [f(x)]= yo

0

lim

xx [f(x).g(x)]= yo.zo

Si, xN(xo,), g(x)0, y, zo0, entonces

0

lim

xx

0

( )

f x

y

g x



z

0

lim

xx [f(x)]

g(x) =

_y

₀zo

0

lim

xx <f(x),g(x)>= <yo,zo>

0

lim

xx f(x)=y0

Existen indeterminaciones en el valor del límite de una función cuando se dan los siguientes valores:

( )

lim

( )

x

f x

g x









2 2

3 2 3

3

2 lim

1

x













 



Para obtener el valor final del límite de esta expresión se sigue:

Se divide cada término de la misma por el monomio de mayor grado de la misma

Se simplifica cada término de la expresión resultante

2 3

1 3 2

lim

1 1 1

3

x

x x x



 

  

Se halla el límite de la nueva expresión 2

3 3 3

3 2

3 3 3 3

3 2

lim

3 1

x

x x

x x x

x x x x



 

(7)

2 3

1

3

2

1

3

2

0

1

1 _{3 0}

₀

₃

3

3 







 



_



_

  











se deduce:

Límite

Grado del numerador > Grado del denominador 

Grado del numerador = Grado del denominador coeficiente principal numerador

coeficiente principal denominador

Grado del numerador < Grado del denominador 0

lim

x f(x)-g(x)= -

2

lim

x

x



x



x



2

      

Para obtener el valor final del límite de esta expresión se sigue:

Se multiplica y divide la expresión por el conjugado de la misma. Realizando las operacionesque aparecen en ella se obtiene una indeterminación del tipo, /



2



2





2 2

2 2 2 2

(

)

lim

x x x x

x

_x

x



   







_

_

















_{}





Se divide cada término de la misma por el monomio de mayor grado de la misma

2 2

lim

x x

x













Se simplifica cada término de la expresión resultante

Se halla el límite de la nueva expresión

lim

x [f(x)] g(x)

= 1

1 lim

1

x







1

1 1 1

2

1

1 1 0

1

1 









(8)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 313 Se halla el límite de la base de la potencia y el límite del exponente de la potencia que dan respectivamente, 1, e, .

Límite de la base de la potencia Límite del exponente de la potencia

3

4

3. lim

3

1

3.

x













lim

x

x



2  

3

4

3 3 0

3 lim

lim

1

3

1

1 _{3 0}

₃

3

x x

x

 







Se transforma la base de la potencia en una expresión del tipo,

1

1 ( )

f x



.

Esta transformación se puede hacer de tres formas:

Realizando la división que indica la base de la potencia y desarrollando la regla de comprobación de la división.

3x+4

׀

3x+1 -3x-1 1 3

Sumando, 1, y restando, 1, al cociente expresado en la base de la potencia y realizando de seguido la resta indicada

3

4

3

4 (3

1)

3

4

3

1

3

1

1 1 1

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3 x

x











  

 



Haciendo que en el numerador de la base de la potencia aparezca la misma expresión que en el denominador de la misma, y escribiendo seguidamente la fracción como suma de dos fracciones con igual denominador

3 1 1 4

3 1 3

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3 x

x

  

 







 



Se eleva la expresión así obtenida, a un exponente formado por el producto de su denominador multiplicado por su inverso y por el exponente inicial del límite.

1 ( ). . ( ) ( )

1

1 ( )

f x g x

f x

f x















2

3

4 lim

3

1

x x

x

  



















3

4

3

1

3

1

3

1

3

1

(9)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 314 ( 2 )

3 1 3

. .

3 3 1

1

3

1

3

x x x

x

  













_











Se hace el límite de la expresión obtenida teniendo en cuenta que,

( ) 1 lim 1

( ) f x

x  _{f x} e

 

 

 

 

Regla de L’Hopital

Sean

f(x): [a,b] ℝ  ℝ función real de variable real definida en el intervalo cerrado, [a,b] ℝ

g(x): [a,b] ℝ  ℝ función real de variable real definida en el intervalo cerrado, [a,b] ℝ

c(a,b) / f(c)= g(c)= 0 punto del intervalo, (a,b) ℝ, en el que se anulan ambas funciones

x(a,b), xc  g’(x)0

Si las funciones, f(x), y, g(x), son derivables en el intervalo real, (a,b) ℝ, entonces si existe el límite en el punto, c(a,b), de la función, f'(x)/g'(x), existe el límite en el punto, c(a,b), de la función,

( ) ( ) f x g x

, y su valor es igual al anterior.

( )

'( )

lim

( )

'( )

x c x c

f x

g x







Dado que las funciones, f(x), y, g(x), se anulan para el valor, x=c, f(c)=g(c)= 0

la función cociente de ambas,

( )

f x

g x

, se puede escribir:

x(a,b)ℝ ,

( )

0 ( )

( )

0 ( )

( )

f x

f c

f x

f c

_x

_c

g x

g c

g x

g c

x

c



_





como las funciones, f(x), y, g(x), son derivables en el punto, c(a,b)ℝ, por la definición de la derivada de una función se tiene:

( 2)

3 lim .( 2)

3 1_. 3 _. 3 1 3 1

3 3 1 3

2 3 6

lim

1 3 1

3

4

1

1 lim

lim 1

3

1

3

1

3

1

3

x x

x

x x x

x

x x

x

x x x

x

e

(10)

( )

'( )

lim

( )

'( )

x c x c

f x

f c

f x

_x

_c

f c

g x

g c

g x

g c

x

c

 







0

s n

0 lim

0

x

e x

x





ˆ l Hopital 0 0

s n

cos

1 lim

lim

1

x x

e x

x

 







0

2 lim

s n

x x x

e

x

e x







ˆ ˆ

l Hopital l Hopital

0 0 0

2 (

)

2 lim

lim

s n

1 cos

s n

x x x x x x

x x x

e

x

e

x

e x

x

e x

       



 



 





0 0 ˆ l Hopital 0

(

)

1 1

lim

2 cos

cos 0

1

x x

x

e

x

   

 







Esta regla tiene gran utilidad, por ello resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo, 0

0

, mediante transformaciones algebraicas, así:

 

Esta indeterminación se puede resolver directamente a través de la regla de l’Hopital ó realizando su transformación a la indeterminación, 0/0, mediante la doble inversión de los cocientes, es decir, se hace el cambio de variable

x=

1 z

, de forma que cuando, x→, z→0 se verifica

2

0 0 0

2

1

1 . '

'

( )

'( )

lim

1

1 ( )

'( )

. '

'

x z z z x

f

f x

z

f x

g x

g

z

(11)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 316 2 2 2 ₁ 3 1 1 3

3

6

3 lim

lim

3

2

3

1

6

2

6

2

2 i

1

4 l m

2

x x x

x



x

 













2

0 0 0 0

0

1

2 .cos

0 lim

lim

0

1 cos

cos

.

.c

ln

lim

os

cos

.

1 .

cos

x x x x

x

sen x

senx

x

ecx ctgx

x

x senx

senx se

x

ecx

nx

    







_



0

0 0 0

2 1 1

lim

2

2 l

1 co

im

s

cos

1

x x x x x x

x

x x x

x

e

x

e

x

senx

x

       













1 1

1

1 l

ln

li

1 m

1

x

im

1

x



_







cos

lim

cos

lim

1

x x

senx

sen

x

 













2 2

1 1 1

2 1

2 (

1)

1

1 lim

lim

li

2

1 lim

1

x

1

x

m

2 2 1

.

2

x x

x



x



x

 



















_









1

1 lim

0 .

lim

_ax x ax x

x

a a

e

 







_



2

2 li

m

lim

_x

lim

_x

2

0

x x

x

e



e













_



2

0 0 0

0

cos

1

1 lim

lim

1 ₂

_.co

co

s

2.0.1

0 t

lim

lg

x x x

x e

x

sen x

se

x

nx

x

gx

x

   





 

2 2

0 0 0

0

1 .cos 2 .2

2 cot 2

2.( cos

2 ).2

2 lim

lim

1 _cot

_cos

.cos

ln(

2 )

lim

ln(

)

x x x

x

sen x

_s

x

g x

ec

x

s

en x

gx

ec x

x

senx

enx

 







₂ 0

1

1 4.lim

4.

1 4.cos

4.1

(12)

-



2



2



2 2 2

( )

lim li lim

lim m

x x

x x x x x x _x _x _x _x

x x x x x x

x x x x x x          _ _              2 lim x x x x x

          ˆ l Hopital 2 2 2

( )

1

1 lim

lim

2

1 1 1

2 (

)

₁

2

x x x

x

   

_

_





_

_









_







1 1 1

1

1 lim

lim

1

1 lim

l

n

l

n

l

n

1

x x x

x

 





















 





2 2 2 2

1

1 cos

0 lim

lim

0 cos

cos

lim se

os

1 c

c

x x x

x

tgx

senx

x

senx

       









_



_











2 2 2 2 ₀

0 0 2

2.(1 cos )

(1 cos

)

lim

.

2

1 lim

1 co

s

(1 cos )

.(1 cos

)

x

_{sen x}

_x

x x

x

sen x

x

sen x

x

sen x

x

  









_















₂ ₂ 0 0

2.(1 cos )

(1 cos ).(1 cos )

2 (1 cos )

lim

.(1 cos )

x x

x

sen x

x

sen x

 













₂

0 0 0

1 cos

1

1 lim

lim

2 .cos

2cos

2.1

2

x x x

x

senx

sen x

senx

x

  





0.





2 2 2 2

2

2 lim

lim

2 c

lim (

ot

)

co

1 .

s

2

x x x

x

gx

x

c x

gx

e

t

  



  







2 2

cos .

lim

lim .cos

.cos 0

1

1 lim( .

)

x x x x

a

sen

a

x

_a

x

a

x sen

x

  

 



















Límites indeterminados de las potencias, 1, 0, 00

Para hacer estos límites se sigue:

Hallar el logaritmo neperiano de la expresión aplicando la propiedad de las potencias de los logaritmos.

De esta forma se ha transformado la indeterminación de la potencia en una indeterminación del tipo, 

 , ó, 0

0

(13)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 318 Se halla el límite, L, de la expresión resultante mediante la regla de L´Hopital. El límite final de la expresión es, eL.

0

lim

x

1

x

x



e



ln

x



x

.ln

x





0 0 0 0 0

2

1 ln

lim ln

lim .ln

lim

0

1

1 ₁

x

x x x x x

x

_x

x

    







1 1 1 1

l

im

x

1

x

e

_e

  



1 1 1 1

1

1 ln

ln

₁

ln

.ln

lim

1

x

x x

x

_x

x



 



 



Límites de funciones equivalentes

Dos funciones son equivalentes en un punto si el límite de su cociente en ese punto es, 1. Si en una expresión figura como factor ó divisor una función, el límite de esa expresión no varía al sustituir dicha función por otra equivalente.

Un límite de gran importancia es

0

lim

1

x

senx

x





en torno al, 0, se verifica, arco x x, por lo que sen x < arco x< tg x  sen x < x < tg x

estos tres valores son aproximadamente iguales por lo que dividiendo todas por la variable, x, se tiene

0 0 0 0 0

lim

1 lim

lim

1

x x x x x

senx

x

tgx

senx

tgx

x







 









0 0

5 lim

i

5

5 l m

x x

sen x

x

 



0 0

8 li

8

4 lim

4

(14)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 319 2

2

0 0 0

0

2

2 ₂

lim

1 cos

li

lim

2 m

0

x x x

x

_x

sen

x



  

















Continuidad

Sea

f(x): Dom f  ℝ  ℝ función real de variable real definida en el dominio, Dom f  ℝ Una función, f(x), es continua en su dominio, Dom

f, si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel en dicho dominio.

En caso de que esta condición no se cumpla la

función, f(x), se dice discontinua. La discontinuidad se indica diciendo los números reales del dominio la función, Dom f, en que ésta se produce. Por regla general el conjunto dominio de la función, Dom f, y el conjunto de números reales pertenecientes al dominio de la función donde la función, f(x), es continua coinciden.

Matemáticamente la función, f(x), es continua en el número real, xo, de su dominio, Dom f, si se verifica:

Existe el valor de la función, f(x), en ese número real, xoDom f, de su dominio.

f(xo)Img f

Existe el límite de la función, f(x), en es número real, xoDom f, de su dominio.

La existencia del límite de la función lleva implícita la existencia de sus límites laterales por la izquierda y por la derecha y el ambos sean idénticos.



0

lim

xx f(x) 

0

lim

xx

f(x)=

0

lim

xx

f(x)

La imagen de la función, f(x), en el número real , xoDom f, de su dominio es coincidente con el límite de la función en dicho punto.

f(xo)=

0

lim

xx f(x)

La existencia de este límite permite decir que si:  N(xo,), N(f(xo),), / x N(xo,) → f(x) N(f(xo),)

(15)

Continuidad por la izquierda en un punto, xoDom f, de su dominio.

Una función, f(x), es continua por la izquierda en el número real, xoDom f, de su dominio si se verifica:

Existe el valor de la función, f(x), en el número real, xoDom f, de su dominio.

f(xo)Img f

Existe el límite por la izquierda de la función, f(x), en el número real, xoDom f, de su

dominio y su valor coincide con el valor de la función, f(xo), en ese número real.



0

lim

xx

f(x)= f(xo)

Continuidad por la derecha en un punto

Una función, f(x), es continua por la derecha en el número real, xoDom f, de su dominio si se verifica:

Existe el valor de la función en el número real, xoDom f, de su dominio.

f(xo)Img f

Existe el límite por la derecha de la función, f(x), en el número real, xoDom f, de su

dominio y su valor coincide con el valor de la función, f(xo), en ese número real.



0

lim

xx

f(x)= f(xo)

se deduce de las anteriores que una función, f(x), es continua en el número real, xoDom f, de su dominio si lo es por la izquierda y por la derecha de dicho número real, xo.

f(xo)=

0

lim

x_xf(x)= 0

lim

x_xf(x)

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio. En general la continuidad de una función, f(x), coincide con su dominio.

Una función definida a trozos es continua si:

En el intervalo de definición lo es la función que la representa.

En los números reales que representan la división de los intervalos también lo es. En estos números reales de división de intervalo han de coincidir los límites laterales de la función y el valor que toma la función en ellos.

(16)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 321 son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división de los intervalos coinciden.

Si alguna de las tres condiciones de continuidad no se cumple, la función es discontinua. De aquí se deduce que existen tres tipos de discontinuidad:

Discontinuidad evitable

Sea

f(x): Dom f  ℝ  ℝ función real de variable real definida en el dominio, Dom f  ℝ Se dice que la función, f(x), tiene una discontinuidad evitable en el número real, xo, de su dominio, Dom f, si:

En ese punto, xo, de su dominio, Dom f, existe el límite de la función.

0

lim

xx f(x)=

0

lim

x_xf(x)= 0

lim

x_xf(x)

En ese punto, xo, de su dominio, Dom f, no existe la imagen de la función, f(xo), ó si existe

su valor no coincide con el límite de la función, f.

f(xo) no existe ó f(xo)

0

lim

xx f(x)

La discontinuidad en el punto, xo, del dominio la función, Dom f, se evita haciendo que en ese punto la función, f, tome el valor de su límite.

La función es discontinua porque en el número real, x= 2, de su dominio no existe la imagen de la función. La discontinuidad es evitable.

La función es discontinua porque en el número real, x= 2, de su dominio no tiene límite.

La función es discontinua porque en el número real, x= 2, de su dominio no coincide la imagen de la función con su límite. La discontinuidad es evitable.

Discontinuidad de primera especie por salto finito

Sea

f(x): Dom f  ℝ  ℝ función real de variable real definida en el dominio, Dom f  ℝ Se dice que la función, f(x), tiene una discontinuidad de primera especie por salto finito en el número real, xo, de su dominio, Dom f, si:

(17)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 322 Los límites laterales existen pero son distintos.

0

lim

xx

f(x)

0

lim

xx

f(x)

Se dice que la función en el punto, xo, del dominio de la función, Dom f, dio un salto finito cuyo valor viene dado por la diferencia entre el límite de la función por la derecha y el límite de la función por la izquierda.

Salto=

0

lim

xx

f(x) -

0

lim

xx

f(x)

Discontinuidad de segunda especie por salto infinito

Sea

f(x): Dom f  ℝ  ℝ función real de variable real definida en el dominio, Dom f  ℝ Se dice que la función, f(x), tiene una discontinuidad de segunda especie por salto finito en el número real, xo, de su dominio, Dom f, si:

En ese punto, xo, de su dominio, Dom f, existe la imagen de la función, f(xo).

Alguno de los límites laterales es infinito.

0

lim

x_xf(x)=  ó 0

lim

x_xf(x)= 

Algunos teoremas que verifican las funciones continuas son

Teorema de continuidad y derivabilidad

Sea

f(x): Dom f  ℝ  ℝ función real de variable real definida en el dominio, Dom f  ℝ Si la función, f(x), es derivable en el punto, x0, de su dominio, Dom f, entonces es continua en dicho punto.

0

0 0

0

( )

f x

.(

)

f x

x







tomando límites cuando la variable independiente tiende a tomar el valor, xo

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

( )

(

)

lim

( )

(

)

lim

.(

)

lim

. lim (

)

'( ).0

0

x x x x x x x x

f x

x

f x

x

   















(18)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 323 0

lim

xx f(x)= f(xo)

se deduce entonces que la función, f(x), es continua.

La continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad, no siendo cierto la afirmación contraria. Las funciones derivables son una parte del conjunto de las funciones continuas.

Teorema de los ceros de Bolzano

Sea

f(x): [a,b] ℝ  ℝ función real de variable real continua y definida en el intervalo cerrado, [a,b]ℝ

Si la función, f(x), toma valores de signo contrario en los extremos de dicho intervalo, entonces al menos en un valor de la variable independiente interior al intervalo cerrado, p[a,b], la imagen de la función es nula, f(p)= 0.

Sea, S,el conjunto definido por:

S={xℝ / x[a,b], f(x)0}

este conjunto no es vacío, pues al menos contiene al valor, a, y está acotado por el valor, b, por lo que contiene un supremo, p= sup(S).

Si la función, f(x), toma valores de signo contrario en los extremos de dicho intervalo, y si, f’(x), no cambia de signo en el intervalo, (a,b),

f’(x)> 0 la función, f(x), es creciente en el intervalo, (a,b) f’(x)< 0 la función, f(x), es decreciente en el intervalo, (a,b)

entonces existe una única raíz de la función, f(x), en el intervalo, (a,b).

Teorema del valor intermedio de Weierstrass

Sea

Si la función, f(x), toma valores reales tales que, f(a) < u < f(b), entonces existe un punto, c, interior al intervalo cerrado, [a,b], en el que la función toma el valor, f(c)= u. Se define la función, g(x)= f(x)-u, la cual verifica:

x= a g(a)= f(a)-u< 0 x= b g(b)= f(b)-u> 0

(19)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 324 x=c g(c)= f(c)-u= 0

de donde

f(c)= u

Teorema de acotación

Sea

f(x): [a,b] ℝ  ℝ función real de variable real continua y definida en el intervalo cerrado acotado, [a,b]ℝ

La función, f(x), está acotada en el intervalo cerrado, [a,b], es decir: Mℝ / x[a,b] → f(x)< M

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Sea

Existen dos puntos, p, y ,q, del intervalo abierto, (a,b), donde, f(p)= Supremo f, y, f(q)= Infimo f

Teorema de Rolle

Sea

f(x): [a,b] ℝ  ℝ función real de variable real continua definida en el intervalo cerrado, [a,b]ℝ, y derivable en el intervalo abierto, (a,b)ℝ

f(a)= f(b) la función toma el mismo valor en los extremos del intervalo cerrado, [a,b]ℝ

Entonces existe un punto, c, interior al intervalo abierto, (a,b), en el que la derivada de la función, f(x), se anula.

c(a,b)ℝ / f’(c)= 0

Supongamos que se verifica:

x[a,b]  ℝ, f’(x) 0

Al ser la función, f(x), continua, por el teorema de Bolzano-Weierstrass existen dos puntos interiores al intervalo, [a,b], en los que la función tiene un supremo, M, y un ínfimo, m.

(20)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 325 M, de la función sería un máximo y el ínfimo, m, de la función sería un mínimo, y en ellos se verificaría

f’(M)= f’(m)= 0

contra la hipótesis de ser, f’(x) 0, x[a,b].

El supremo, M, y el ínfimo, m, de la función tendrán que estar entonces en los extremos, a, y, b, del intervalo, [a,b], por lo que se verifica

m= f(a)= f(b)= M

todos los valores de la función, f(x), al estar comprendidos entre los valores del ínfimo, m, y del máximo, M, tendrán que ser iguales. La función, f(x), es entonces uniforme ó constante en el intervalo, [a,b], y la función derivada, f’(x), es nula en todos los puntos del intervalo abierto, (a,b), contra la hipótesis

x(a,b), f’(x)= 0

se deduce entonces que no puede ser

x[a,b]  ℝ, f’(x) 0

por lo que habrá al menos un punto, c, interior al intervalo, [a,b], en el que, f’(c)= 0.

Teorema de Cauchy

Sea

f(x): [a,b] ℝ  ℝ función real de variable real continua en el intervalo cerrado, [a,b]ℝ, y derivable en el intervalo abierto, (a,b)ℝ

g(x): [a,b] ℝ  ℝ función real de variable real continua y derivable definida en el intervalo cerrado, [a,b]ℝ

existe entonces al menos un punto, c, interior al intervalo cerrado, [a,b], en el que se verifica

( )

'( )

( )

'( )

f a

f b

f c

g a

g b

g c







Se define la función continua y derivable en el intervalo, [a,b]

h(x): [a,b] ℝ  ℝ

x → h(x)= g(x).[f(a)-f(b)] – f(x).[g(a)-g(b)]

esta function toma valores iguales en los extremos del intervalo, [a,b]

h(a)= g(a).[f(a)-f(b)]–f(a).[g(a)-g(b)]= g(a).f(a)–g(a).f(b)–f(a).g(a)+f(a).g(b)= f(a).g(b)–f(b).g(a)

h(b)= g(b).[f(a)-f(b)]–f(b).[g(a)-g(b)]= g(b).f(a)–g(b).f(b)–f(b).g(a)+f(b).g(b)= f(a).g(b)–f(b).g(a)

(21)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 326 h’(x)= g’(x).[f(a)-f(b)] – f’(x).[g(a)-g(b)]

h’(c)= g’(c).[f(a)-f(b)] – f’(c).[g(a)-g(b)]= 0

de donde se escribe

g’(c).[f(a)-f(b)] – f’(c).[g(a)-g(b)]= 0

se pasa el segundo término de esta expresión al segundo miembro y se escribe

g’(c).[f(a)-f(b)]= f’(c).[g(a)-g(b)]

de donde

( )

'( )

( )

'( )

f a

f b

f c

g a

g b

g c







Teorema del valor medio de Lagrange

f(x): [a,b] ℝ  ℝ función real de variable real definida y continua en el intervalo cerrado, [a,b]ℝ, y derivable en el intervalo abierto, (a,b)ℝ

entonces existe un punto, c, interior al intervalo abierto, (a,b), en el que la recta tangente a la función, f(x), es paralela a la recta secante a la función, f(x), que pasa por los puntos, (a,f(a)), y, (b,f(b)).

Se aplica el teorema de Cauchy a las funciones, f(x), y, g(x)= x

( )

'( )

( )

'( )

f a

f b

f c

g a

g b

g c







sustituyendo valores

( )

'( )

1 f a

f b

f c

a

b







cambiando el signo de los dos miembros de la primera fracción se obtiene la pendiente de la que une los puntos, (a,f(a)), y, (b,f(b)). Esta pendiente coincide con la de la recta tangente a la función, f(x), en el punto, c(a,b).

( )

'( )

f a

f b

f c

a

b







Como consecuencia del teorema de Lagrange, se deduce

Si una función, f(x), tiene derivada nula en todos los puntos de intervalo abierto, entonces

esa función, f(x), es constante.

f(x)= cte

(22)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 327 f(x+h)-f(x)= f’(c).(x+h-x)= f’(c).h

dado que se cumple

c(x,x+h), f’(c)= 0

se deduce, f(x+h)-f(x)= 0  f(x+h)= f(x)= cte

Si dos funciones, f(x), y, g(x), tienen igual derivada en todos los puntos de un intervalo abierto, entonces ambas difieren en una constante.

Se considera el intervalo cerrado, [x,x+h].

Se define la función, h(x)= f(x)-g(x)

la cual tiene derivada nula en todos los puntos del intervalo abierto por verificarse

h’(x)= f’(x)-g’(x)= 0

entonces por la consecuencia anterior

h(x+h)-h(x)= 0

h(x+h)= h(x)= cte= f(x)-g(x), de donde, f(x)= g(x)+cte

Raíces de una función, f(x)

Sea

f(x) función derivable

Entre cada dos raíces de una función derivable existe al menos una raíz de la función derivada. Si la función, f’(x), no tiene raíces, al número máximo de raíces de la función, f(x), es, 1.

Si la función, f’(x), tiene una raíz, el número máximo de raíces de la función, f(x), es, 2.

Demostrar que la función, f(x)= x3+x+1, tiene como máximo una raíz real.

la función, f(x), es derivable por tratarse de una función polinómica.

f(x)= x3+x+1

f’(x)= 3x2+1

Las raíces de la función, f’(x), son

f’(x)= 0, 3x2+1= 0 3x2= -1 x=

la función, f’(x), no tiene raíces, por lo que a lo sumo la función, f(x), tiene una raíz real.

1

3

(23)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 328 Demostrar que la función, ex= x+1, tiene únicamente la raíz real, x= 0.

se considera la función, f(x)= ex–x-1, que se anula en, x= 0, f(0)= 0.

la función, f’(x)= ex-1, se anula en

ex– 1= 0 ex= 1 x= -

dado que la función, f’(x), no tiene solución, la función, f(x), tiene sólo una raíz real.

Dada la función, f(x)= 2+x3.(x-2)2. Probar que la función, f’(x), posee al menos una raíz en el intervalo, (0,2).

la función, f(x), en continua en el intervalo, [0,2], por ser una función polinómica.

la función, f’(x), en derivable en el intervalo, (0,2), por ser una función polinómica.

f(0)= 2= f(2)

por el teorema de Rolle existe un punto, c, interior a dicho intervalo en el que se anula la derivada de la función

f’(c)= 0 c, es una raíz de la función, f’(x).

Para resolver problemas que se plantean en ciencias se necesita resolver ecuaciones para las cuales no existen fórmulas simples que proporcionen sus soluciones. El cálculo numérico trata de encontrar métodos que resuelvan este tipo de problemas dando soluciones aproximadas, por lo que debe de estudiarse a continuación la magnitud del error cometido, Los métodos así proporcionados necesitan una gran cantidad de cálculos reiterativos, por lo que se puede aplicar para su obtención algún tipo de algoritmo.

Método del punto medio

f(x): [a,b] ℝ  ℝ función real de variable real definida en el intervalo cerrado, [a,b]ℝ, y continua en el intervalo abierto, (a,b)ℝ

Si la función, f(x), tiene al menos una raíz en el intervalo abierto, (a,b), y la función, f(x), toma valores de signo contrario en los extremos de dicho intervalo

f(a).f(b)<0

entonces se considera el punto medio del intervalo abierto, (a,b), cuya expresión viene dada por

1

2 a

b

c





el signo de la función, f(x), en el punto, c1, coincide con uno de los signos de la función, f(x), en uno de los extremos del intervalo abierto, (a,b). Así

f(a).f(c1)<0  signo f(a)  signo f(c1)  la solución está en el intervalo, (a,c1) en caso contrario la solución está en el intervalo, (c1,b),

(24)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 329 .

Método de la falsa posición ó Regula falsi

f(a).f(b)<0

si la función, f(x), tiene una raíz en el intervalo, (a,b), ésta puede aproximarse hallando el punto, c1, que es el punto

donde la cuerda que une los puntos, (a,f(a)), y, (b,f(b)), corta al eje, X vector director de la cuerda, V=(b-a,f(b)-f(a))

pendiente de esta recta,

m

f b

( )

f a

( )

b

a







la ecuación de la cuerda viene dada por la expresión de la recta que pasa por el punto, (a,f(a)), y que tiene por pendiente, m

y-f(a)=

f b

( )

f a

( )

b

a



.(x-a)

el punto de corte, c1, de esta recta con el eje, X, se obtiene imponiendo la condición, y= 0

0-f(a)=

f b

( )

f a

( )

b

a



.(c1-a)

1

( )

b

a

f a

c

a

f b

f a







de donde

1

( )

b

a

c

a

f a

f b

f a







(25)

función Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 330 Método de Newton

f(a).f(b)<0

El método de Newton consiste en hallar el punto de intersección con el eje, X, de la recta tangente a la función, f(x), en uno de los extremos del intervalo, (a,b). La elección del extremo del intervalo escogido ha de verificar:

f”(x), no cambia de signo en todo el intervalo abierto, (a,b), es decir, la función, f(x), no tiene

punto de inflexión y es siempre cóncava, f”(x)>0, ó convexa, f”(x)<0, en el intervalo abierto, (a,b) f(i).f”(i)>0 i= a,b

la ecuación de la recta tangente a la función, f(x), en el extremo correspondiente del intervalo, (a,b), viene dada por

y-f(i)= f’(i).(x-i)

el punto de corte, c1, de esta recta con el eje, X, se obtiene imponiendo la condición, y= 0 0-f(i)= f’(i).(c1-i)