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Control 6, MA11A Algebra 13 Noviembre, 2003

Problema 1:

(1) Considere la matrizA∈ M4×4(R)

A=    

2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2

    (a) Pruebe que el polinomio caracter´ıstico deAes

p(λ) = (1−λ)3(5−λ).

(2 ptos.) (b) De una base ortonormal deR4,formada por vectores propios deA.

(2 ptos.) (2) Considere la matrizA∈ M2×2(R),donde

A=

a b c d

cona, b, c, d >0.Pruebe que Aes diagonalizable.

(2 ptos.) Problema 2:

Considere la aplicaci´on

T :_R5 −→ M2×2(R) 

    

a b c d e

     

−→ T      

a b c d e

     

=

a+e c −c b+d

(1) Pruebe queT es una transformaci´on lineal.

(1 pto.) (2) Obtenga una base y la dimesi´on para el Ker (T) e Im (T). Determine siT

es inyectiva y/o sobreyectiva.

(2 ptos.) (3) Encuentre la matriz representante deT con respecto a las bases can´onicas

B=           

     

1 0 0 0 0

      ,

     

0 1 0 0 0

      ,

     

0 0 1 0 0

      ,

     

0 0 0 1 0

      ,

     

0 0 0 0 1

     

           y

B0 =

1 0 0 0

,

0 1 0 0

,

0 0 1 0

,

0 0 0 1

(4) Utilizando la matriz de cambio de base y la matriz obtenida en la parte anterior, calcule la matriz representante deT con respecto a las bases

B1=           

     

0 0 0 0 1

      ,

     

0 0 0 1 1

      ,

     

1 1 1 0 0

      ,

     

0 1 1 1 1

      ,

     

1 1 −1

1 1

     

           y

B2=

1 0 0 1

,

0 1 1 0

,

1 0 0 −1

,

0 1 −1 0

(2 ptos.) Problema 3:

(1) SeaT :R4−→R4 una transformaci´on lineal tal que

T    

1 1 0 0

   

=    

0 1 0 −1

    y

T    

1 0 1 0

   

=    

1 1 1 0

   

Entonces de una expresi´on paraT sabiendo queIm (T) = Ker(T). (3 ptos.) (2) Sean α, β ∈ R constantes arbitrarias. Sea T : R3 −→ R3 una

transfor-maci´on lineal tal que

T  

1 1 1

 =

 

2β α 0

 

T  

0 −1

1  =

 

0 α β

 

T  

0 0 1

 =

 

β α−1

0  

(a) Encuentre los valores deαyβ,tales que la aplicaci´onTno es inyectiva. (1.5 ptos.) (b) Encuentre una base y la dimensi´on deKer (T)e Im (T) para el caso

α= 1 yβ = 0.

Pauta Control 6, MA11A Algebra 13 Noviembre, 2003

Problema 1:

(1) Considere la matrizA∈ M4×4(R)

A= 

  

2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2



  

(a) Pruebe que el polinomio caracter´ıstico de Aes

p(λ) = (1−λ)3(5−λ).

(2 ptos.) (b) De una base ortonormal deR4,formada por vectores propios de A.

(2 ptos.) (2) Considere la matrizA∈ M2×2(R),donde

A=

a b c d

con a, b, c, d >0.Pruebe queAes diagonalizable.

(2 ptos.) Soluci´on:

(1) (a) Recordemos que el polinomio caracter´ıstico est´a dado por

p(λ) = det(A−λI).

Luego, utilizando operaciones elementales se tiene que

p(λ) = det(A−λI) =

2−λ 1 1 1

1 2−λ 1 1

1 1 2−λ 1

1 1 1 2−λ

=

1−λ 0 0 λ−1

0 1−λ 0 λ−1 0 0 1−λ λ−1

1 1 1 2−λ

= (1−λ)

1−λ 0 λ−1 0 1−λ λ−1

1 1 2−λ

−(λ−1)

0 1−λ 0

0 0 1−λ

1 1 1

= (1 =λ)

(1−λ)

1−λ λ−1 1 2−λ

+ (λ−1)

0 1−λ

1 1

+ (1−λ)

−(1−λ)

0 1−λ

1 1

= (1−λ)3(2−λ) + 3(1−λ)3

= (1−λ)3(5−λ).

(b) Notemos que dado que la matrizA∈ M4×4(R) es sim´etrica, entonces existe una base ortonormal formada

por vectores propios.

Buscaremos ahora los subespacios propios de la matrizA.

Para λ= 1

Definamos el subespacio propioW1asociado al valor propio 1, como:

es decir, v=     x y z w    

∈W1 ⇐⇒



  

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

        x y z w     =     0 0 0 0    

Luego, dado que todas las filas deAson iguales, se tiene que

    x y z w    

∈W1⇐⇒x+y+z+w= 0.

Por lo tanto, tenemos que

v=     x y z w    

∈W1⇐⇒v=

    x y z −x−y−z

    =x     1 0 0 −1     +y     0 1 0 −1     +z     0 0 1 −1    

Luego una base deW1es

B={u1, u2, u3}=

           1 0 0 −1         0 1 0 −1         0 0 1 −1           

la cual no es una base ortonormal. Para obtener la base ortonormal utilizaremos un proceso de ortonor-malizacion.

Sean

v1=u1=

    1 0 0 −1    

y w1=

v1

kv1k

= √1 2     1 0 0 −1     =     1 √ 2 0 0 −_√1

2



  

v2=u2−

hu2, v1i

kv1k 2 v1=

    0 1 0 −1     − *     0 1 0 −1     ,     1 0 0 −1     + 2     1 0 0 −1     =     0 1 0 −1     −1 2     1 0 0 −1     =     −1 2 1 0 −1 2     adem´as

w2=

v2

kv2k

= r 2 3     −1 2 1 0 −1 2     =     

−_√1 6

q

2 3

0 −_√1

6      Finalmente, sea

v3 =u3−

hu3, v1i

kv1k 2 v1−

hu3, v2i

kv2k 2 v2

3

as´ı tenemos que

w3=

v3

kv3k

= √1 182·



  

−1 −6 8 −9



  

Luego

B0={w1, w2, w3}

es una base ortonormal de W1.

Para encontrar la base ortonormal deR4nos basta agregar un elementow4,l.i. a la base anterior de manera

que sea ortogonal aB0 y de norma 1, para esto buscaremos el subespacio propio asociado a el segundo valor propio.

Para λ= 5

En este caso tenemos lo siguiente. definamos el subespacio propioW5asociado al valor propioλ= 5. Luego

W1=v∈R4 : (A−5I)v=θ ,

es decir,

v= 

  

x y z w



  

∈W1 ⇐⇒



  

−3 1 1 1

1 −3 1 1

1 1 −3 1

1 1 1 −3



  



  

x y z w



  

= 

  

0 0 0 0



  

Veamos las soluciones de este sistema de ecuaciones homog´eneo. Para resolverlo aplicaremos operaciones elementales sobre la matriz A.



  

−3 1 1 1

1 −3 1 1

1 1 −3 1

1 1 1 −3



  

∼ 

  

1 1 1 −3

1 −3 1 1

1 1 −3 1

−3 1 1 1 

  



  

1 1 1 −3

0 −4 0 4

0 0 −4 4

0 4 4 −8



  

∼ 

  

1 1 1 −3

0 −4 0 4

0 0 −4 4

0 0 4 −4



  

∼ 

  

1 1 1 −3

0 −4 0 4

0 0 −4 4

0 0 0 0



  

Por lo tanto tenemos que

x+y+z−3w= 0, −4y+ 4w= 0, −4z+ 4w= 0,

de donde se concluye que

y=w, z=w, x=−y−z+ 3w=−2w+ 3w= 0,

es decir

v= 

  

x y z w



  

∈W5⇐⇒v=



  

w w w w



  

=w 

  

1 1 1 1



  

Por lo tanto, si llamamos

v4=



  

1 1 1 1



  

y

w4=

v4

kv4k

= √1 4



  

1 1 1 1



  

tenemos que

e

B={w1, w2, w3, w4}

(2) Veamos los valores propios de la matrizA.Se tiene que el polinomio caracter´ıstico es

det(A−λI) =

a−λ b c d−λ

= (a−λ)(d−λ)−bc

=λ2−(a+d)λ+ (ad−bc).

Luego, los valores propios son las ra´ıces de

λ2−(a+d)λ+ (ad−bc) = 0,

es decir,

λ=(a+d)± p

(a+d)2_{−4(ad−bc)}

2 =

(a+d)±p(a−d)2_{+ 4bc}

2 ,

comob ycson constantes positivas se tiene que

p

(a−d)2_{+ 4bc >0,}

y por lo tanto la matrizAtiene dos valores propios reales diferentes, lo que muestra que Aes diagonalizable. Problema 2:

Considere la aplicaci´on

T :R5 −→ M2×2(R)



    

a b c d e



    

−→ T 

    

a b c d e



    

=

a+e c −c b+d

(1) Pruebe queT es una transformaci´on lineal.

(1 pto.) (2) Obtenga una base y la dimesi´on para el Ker (T) e Im (T). Determine siT es inyectiva y/o sobreyectiva.

(2 ptos.) (3) Encuentre la matriz representante deT con respecto a las bases can´onicas

B=      

    



    

1 0 0 0 0



     ,



    

0 1 0 0 0



     ,



    

0 0 1 0 0



     ,



    

0 0 0 1 0



     ,



    

0 0 0 0 1



    

     

    

y

B0=

1 0 0 0

,

0 1 0 0

,

0 0 1 0

,

0 0 0 1

(1 pto.) (4) Utilizando la matriz de cambio de base y la matriz obtenida en la parte anterior, calcule la matriz representante

deT con respecto a las bases

B1=

     

    



    

0 0 0 0 1



     ,



    

0 0 0 1 1



     ,



    

1 1 1 0 0



     ,



    

0 1 1 1 1



     ,



    

1 1 −1

1 1



    

     

    

y

B2=

1 0 0 1

,

0 1 1 0

,

1 0 0 −1

,

0 1 −1 0

5

Soluci´on:

(1) Veamos que la aplicaci´onT es lineal. Seanα, β∈_Ry seanu, v∈_R5 _{dados por}

u= 

    

u1

u2

u3

u4

u5



    

v= 

    

v1

v2

v3

v4

v5



    

luego

T(αu+βv) =T 

    

αu1+βv1

αu2+βv2

αu3+βv3

αu4+βv4

αu5+βv5



    

=

(αu1+βv1) + (αu5+βv5) (αu3+βv3)

−(αu3+βv3) (αu2+βv2) + (αu4+βv4)

=

α(u1+u5) +β(v1+v5) (αu3+βv3)

−(αu3+βv3) α(u2+u4) +β(v2+βv4)

=

α(u1+u5) αu3

−αu3 α(u2+u4)

+

β(v1+v5) βv3

−βv3 β(v2+βv4)

=α

(u1+u5) u3

−u3 (u2+u4)

+β

(v1+v5) v3

−v3 (v2+βv4)

=α T 

    

u1

u2

u3

u4

u5



    

+β T 

    

v1

v2

v3

v4

v5



    

lo que prueba que T es una transformaci´on lineal.

(2) Estudiaremos en primer lugar el Ker (T), luego se tiene quev∈Ker (T) si y s´olo siT(v) =θ. Sea

v= 

    

v1

v2

v3

v4

v5



    

∈ Ker (T),

luego

T 

    

v1

v2

v3

v4

v5



    

=

(v1+v5) v3

−v3 (v2+βv4)

=

0 0 0 0

as´ı tenemos que

v1+v5= 0, v3= 0, v2+v4= 0,

es decir

v5=−v1, v3= 0, v4=−v2,

de donde tenemos que

v∈ Ker (T)⇐⇒v= 

    

v1

v2

0 −v2

−v1



    

=v1



    

1 0 0 0 −1



    

+v2



    

0 1 0 −1

0 

    

de donde se obtiene que

y una base est´a dada por

B=      

    



    

1 0 0 0 −1



     ,



    

0 1 0 −1

0 

    

     

    

Luego, del Teorema N´ucleo-Imagen se tiene que

dim Im (T) = 3.

Buscaremos ahora una base de Im (T). Sea

A=

α β γ δ

∈Im (T),

luego se tiene que existev∈R5 tal que

A=

α β γ δ

=

a+e c −c b+d

,

es decir, el sistema de ecuaciones

a+e =α c =β −c =γ b+d =δ

tiene soluci´on. Estudiaremos ahora el sistema de ecuaciones anterior. 

  

1 0 0 0 1 | α

0 0 1 0 0 | β

0 0 −1 0 0 | γ

0 1 0 1 0 | δ



  

∼ 

  

1 0 0 0 1 | α

0 1 0 1 0 | δ

0 0 1 0 0 | β

0 0 0 0 0 | β+γ 

  

de donde se concluye que el sistema tiene soluci´on si y s´olo si

β+γ= 0,

por lo tanto

A=

α β −β δ

=α

1 0 0 0

+β

0 1 −1 0

+δ

0 0 0 1

por lo tanto una base de Im (T) est´a dada por

B0=

1 0 0 0

,

0 1

−1 0

,

0 0 0 1

(3) Buscaremos ahora la matriz representante deA con respecto a las bases can´onicas. As´ı tenemos que

T 

    

1 0 0 0 0



    

=

1 0 0 0

T 

    

0 1 0 0 0



    

=

0 0 0 1

T 

    

0 0 1 0 0



    

=

0 1 −1 0

=

0 1 0 0

−

0 0 1 0

7 T       0 0 0 1 0       = 0 0 0 1 T       0 0 0 0 1       = 1 0 0 0

por tanto la matriz representante deT con respecto a las bases can´onicas es

MBB0(T) =



  

1 0 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 −1 0 0

0 1 0 1 0



  

(4) Calculemos ahora las matrices de paso entre las basesB yB1, y entreB0 yB2.As´ı tenemos que

      0 0 0 0 1       =       0 0 0 0 1             0 0 0 1 1       =       0 0 0 1 0       +       0 0 0 0 1             1 1 1 0 0       =       1 0 0 0 0       +       0 1 0 0 0       +       0 0 1 0 0             0 1 1 1 1       =       0 1 0 0 0       +       0 0 1 0 0       +       0 0 0 1 0       +       0 0 0 0 1             1 1 −1 1 1       =       1 0 0 0 0       +       0 1 0 0 0       −       0 0 1 0 0       +       0 0 0 1 0       +       0 0 0 0 1      

por lo tanto

MB1B(I) =

     

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 0 1 1 −1

0 1 0 1 1

1 1 0 1 1

     

Por otra parte

1 0

0 −1

=

1 0 0 0

−

0 0 0 1

0 1 −1 0

=

0 1 0 0

−

0 0 1 0

por lo tanto

MB2B0(I) =



  

1 0 1 0

0 1 0 1

0 1 0 −1

1 0 −1 0



  

As´ı se tiene que

MB1B2(I) =MB0B2(I)MBB0(T)MB1B(I) = [MB2B0(I)] −1

MBB0(T)M_B

1B(I)

= 

  

1 0 1 0

0 1 0 1

0 1 0 −1

1 0 −1 0



  

−1

  

1 0 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 −1 0 0

0 1 0 1 0



  



    

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 0 1 1 −1

0 1 0 1 1

1 1 0 1 1



    

= 

  

1

2 0 0 1 2

0 1 2

1 2 0 1

2 0 0 − 1 2

0 1 2 −

1 2 0



  



  

1 0 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 −1 0 0

0 1 0 1 0



  



    

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 0 1 1 −1

0 1 0 1 1

1 1 0 1 1



    

= 

  

1

2 0 0 1 2

0 1₂ 1₂ 0

1

2 0 0 − 1 2

0 1₂ −1 2 0



  



  

1 1 1 1 2

0 0 1 1 −1

0 0 −1 −1 1

0 1 1 2 2



  

= 

  

1 2 1 1

3 2 2

0 0 0 0 0

1

2 0 0 − 1 2 0

0 0 1 1 −1



  

Problema 3:

(1) SeaT :R4−→R4una transformaci´on lineal tal que

T 

  

1 1 0 0



  

= 

  

0 1 0 −1



  

y

T 

  

1 0 1 0



  

= 

  

1 1 1 0



  

Entonces de una expresi´on paraT sabiendo queIm (T)= Ker(T).

(3 ptos.) (2) Seanα, β∈Rconstantes arbitrarias. SeaT :R3−→R3 una transformaci´on lineal tal que

T 

 1 1 1



= 

 2β

α 0





T 

 0 −1

1 

= 

 0 α β





T 

 0 0 1



= 

 β α−1

0 

9

(a) Encuentre los valores deαyβ,tales que la aplicaci´onT no es inyectiva.

(1.5 ptos.) (b) Encuentre una base y la dimensi´on deKer (T) e Im (T) para el casoα= 1 yβ= 0.

(1.5 ptos.) Soluci´on:

(1) Dado que la aplicaci´on lineal est´a definida deR4 enR4, y del teorema N´ucleo-Imagen, se tiene que

dim Ker (T) + dim Im (T) = 4,

y dado que Ker (T) = Im (T), tenemos que

dim Ker (T) = dim Im (T) = 2,

adem´as podemos observar que

T 

  

0 1 0 −1



  

=T 

  

1 1 1 0



  

= 

  

0 0 0 0



  

ya que



  

0 1 0 −1



  

=T 

  

1 1 1 0



  

∈Im (T).

Por otra parte, el conjunto

B=    

  



  

1 1 0 0



   ,



  

1 0 1 0



   ,



  

0 1 0 −1



   ,



  

1 1 1 0



  

   

  

es linealmente independiente y por lo tanto una base de R4.

Adem´as



  

x y z w



  

=a 

  

1 1 0 0



  

+b 

  

1 0 1 0



  

+c 

  

0 1 0 −1



  

+d 

  

1 1 1 0



  

Luego, se tiene que

a+b+d = x a+c+d = y b+d = z −c = w

as´ı resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos que



  

x y z w



  

= (x−z) 

  

1 1 0 0



  

+ (x−y−w) 

  

1 0 1 0



  

−w 

  

0 1 0 −1



  

+ (z+y+w−x) 

  

1 1 1 0



Por lo tanto tenemos que

T 

  

x y z w



  

= (x−z)T 

  

1 1 0 0



  

+ (x−y−w)T 

  

1 0 1 0



  

−wT 

  

0 1 0 −1



  

+ (z+y+w−x)T 

  

1 1 1 0



  

= (x−z) 

  

0 1 0 −1



  

+ (x−y−w) 

  

1 1 1 0



  

= 

  

x−y−w 2x−y−w−z

x−y−w z−w



  

(2) (a) Veamos la definici´on de la aplicaci´onT.Se tiene que



 x y z



=a 

 1 1 1



+b 

 0 −1

1 

+c 

 0 0 1





y resolviendo el sistema, tenemos que

a=x, b=x−y, c=y+z−2x

por lo tanto, tenemos que

T 

 x y z



 =xT 

 1 1 1



+ (x−y)T 

 0 −1

1 

+ (y+z−2x) 

 0 0 1





=x 

 2β

α 0



+ (x−y) 

 0 α β



+ (y+z−2x) 

 β α−1

0 



= 



βy+βz 2x−y+ (α−1)z

βx−βy





El sistema homog´eneo asociado tiene soluci´on ´unica si y s´olo si la matriz

A= 



0 β β

2 −1 (α−1) β −β 0





es invertible, luego

detA= (α−2)β2,

lo que nos dice que la matriz es invertoble si y s´olo siα6= 0 yβ6= 0, lo que nos dice que la aplicaci´onT no es invertible si y s´olo siα= 2 o bienβ= 0.

(b) Ahora, siα= 1 yβ = 0 se tiene que

T 

 x y z



= 

 0 −2x+y

0 



Por lo tanto



 x y z



11

es decir

Ker (T) =  

 

 x 2x

z 

 : x, z∈R  



por lo tanto una base de Ker (T) es

B=  

 

 1 2 0



 

 0 0 1



  



adem´as del Teorema N´ucleo-Imagen tenemos que

dim Im (T) = 1

y dado que



 0 1 0



 ∈ Im (T)

tenemos que una base de la Im (T) est´a dada por

B0=  

 

 0 1 0



  