COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA

(1)

(2)

2 PRELIMINARES

Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2009. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México

La edición consta de 12,130 ejemplares. COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General

Lic. Eusebio Pillado Hernández Director Académico Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Director de Administración y Finanzas Lic. Oscar Rascón Acuña

Director de Planeación Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas MATEMÁTICAS 1

Módulo de Aprendizaje.

Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite. COMISIÓN ELABORADORA:

EQUIPO TÉCNICO

Coordinación general: Luz María Grijalva Díaz Elaboradores disciplinares:

Alma Lorenia Valenzuela Chávez Matemáticas I Nydia Gabriela Estrella Química I

Luz María Grijalva Díaz Introducción a las Ciencias Sociales Diego Navarro Gil Taller de Lectura y Redacción I María del Socorro Salas Meneses Ética y Valores I

María Enedina Duarte Camacho Informática I Moisés Galaz Duarte Lengua Adicional al Español I Gabriela Rivera Ramos Orientación Educativa Revisión Disciplinaria:

Guadalupe Borgo Valdez Jesús Rolando Gutiérrez Duarte Corrección de Estilo: Flora Inés Cabrera Fregoso Supervisión Académica: Patricia Pérez Munguía Nancy Vianey Morales Luna Diseño:

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(4)

4 PRELIMINARES

Ubicación Curricular

DATOS DEL ALUMNO

Nombre: _______________________________________________________________ Plantel: __________________________________________________________________ Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________ E-mail: _________________________________________________________________ Domicilio: ______________________________________________________________ _______________________________________________________________________

COMPONENTE:

FORMACIÓN BÁSICA

CAMPO DE CONOCIMIENTO:

MATEMÁTICAS

HORAS SEMANALES:

05

(5)

5 PRELIMINARES

Presentación ... 7

Mapa conceptual ... 8

BLOQUE 1. RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS ... 9

Secuencia didáctica 1. Conociendo los números ... 10

Diferentes formas de representar números... 13

Secuencia didáctica 2. Jerarquía de operaciones ... 25

Símbolos de agrupación ... 26

Secuencia didáctica 3. Expresiones algebraicas ... 29

Lenguaje algebraico ... 30

BLOQUE 2: UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES ... 39

Secuencia didáctica 1. Los números reales ... 40

Los números Naturales ... 42

Los números Enteros ... 42

Los números Racionales ... 43

Los números Irracionales... 44

Propiedades de los números Reales ... 47

Operaciones de números enteros ... 52

Operaciones con números racionales ... 60

Secuencia didáctica 2. Razones y proporciones ... 65

Razones ... 67

Proporciones ... 69

BLOQUE 3: REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS ... 75

Secuencia didáctica 1. Sucesiones y series... 76

Sucesiones ... 78

Series ... 88

BLOQUE 4: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I ... 95

Secuencia didáctica1. Polinomios de una variable ... 96

Leyes de los exponentes ... 97

Polinomios ... 98

Operaciones con polinomios ... 99

Productos Notables ... 103

Secuencia didáctica 2. Factorización de polinomios ... 108

Factorización ... 109

BLOQUE 5: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II ... 117

Secuencia didáctica 1. Continuación de Factorización de polinomios ... 118

Continuación de Factorización ... 119

Secuencia didáctica 2. Fracciones algebraicas ... 127

Multiplicación de fracciones ... 128

División de fracciones ... 131

BLOQUE 6: RESUELVE ECUACIONES LINEALES I ... 135

Secuencia didáctica 1. Ecuaciones lineales ... 136

Despeje de ecuaciones lineales ... 137

Secuencia didáctica 2. Relación de la ecuación de primer grado con la función lineal ... 153

Construcción de gráficas a partir de ecuaciones lineales ... 154

(6)

6 PRELIMINARES

BLOQUE 7: RESUELVE ECUACIONES LINEALES II ... 169

Secuencia didáctica 1. Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (2x2) ... 170

Interpretación gráfica ... 172

Secuencia didáctica 2. Métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas ... 179

Métodos de Reducción... 181

Método numérico de Determinantes (Regla de Cramer) ... 194

BLOQUE 8: RESUELVE ECUACIONES LINEALES III ... 203

Secuencia didáctica 1. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3 x 3) ... 204

Interpretación gráfica ... 208

Secuencia didáctica 2. Métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas ... 212

Métodos de Reducción... 213

Método numérico de Determinantes ... 219

BLOQUE 9: RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I ... 229

Secuencia didáctica 1. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita ... 230

Métodos algebraicos de resolución de ecuaciones de segundo grado ... 234

BLOQUE 10: RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS II ... 257

Secuencia didáctica 1. Funciones cuadráticas ... 258

Gráfica de la función cuadrática ... 260

Aplicaciones de la función cuadrática ... 279

Glosario ... 284

Bibliografía ... 288

(7)

7 PRELIMINARES El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura de: Matemáticas 1, está diseñado considerando el modelo de competencias y el enfoque centrado en el Aprendizaje, respondiendo así a las nuevas disposiciones establecidas en la Reforma Integral de la Educación Media Superior implementada a nivel nacional. La estructura de este material didáctico integra competencias genéricas y disciplinares básicas que desarrollarás con aprendizajes múltiples, que permitirán apropiarte del conocimiento en forma crítica, analítica y propositiva.

Con la mediación del maestro(a), este módulo te guiará a una nueva experiencia, a un reto: construir tu propio conocimiento.

Es un documento guía que se verá enriquecido con las orientaciones y aportaciones de tu maestro (a), para cumplir con su cometido final, y como alumno profundices con autonomía, disciplina científica e interés intelectual, en tu propio conocimiento.

Tu institución, el Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, ha trabajado fuerte y sin límite alguno, para entregarte un módulo perfectible y a la vez, de la calidad que lo requiere la Reforma, la Sociedad Mundial y sobre todo tú como alumno (a).

(8)

la cual consta de

MATEMÁTICAS 1

ÁLGEBRA

RESOLVER PROBLEMAS

Introducción al Álgebra Polinomios de una

variable ecuaciones lineales Despeje de ecuaciones con dos Sistemas de dos incógnitas

•Conocer los números •La jerarquía de las

operaciones •Expresiones algebraicas

•Los números reales y sus propiedades •Razones y

proporciones

•Series y sucesiones

•Leyes de los exponentes •Operaciones con

exponentes

•Productos notables •Factorización •Simplificación de

fracciones

•Formas de la ecuación lineal •Relación de la

ecuación lineal con la función lineal •Graficas de

ecuaciones y funciones lineales

Interpretación gráfica Métodos de solución

Reducción Numérico

•Suma o resta •Sustitución •Igualación

•Determinantes (Regla de Cramer) Sistemas de tres ecuaciones con tres

incógnitas

Ecuaciones de segundo grado de

una incógnita

Graficación

Métodos algebraicos

•Despeje •Factorización •Fórmula

general contiene

con el fin de

para ello requiere adquirir conocimientos de

Requieren de se necesita contiene Se resuelve mediante

los cuales son y se dividen en

(9)

Resuelve problemas aritméticos y a

Unidades de competencia:

Construye e interpreta modelos aritmé propiedades de los números reales y exp magnitudes constantes y variables, y em resolución de situaciones y/o problemas a cotidiana y escolar, que le ayudan a explica Identifica las características presentes e provenientes de situaciones cotidianas y los

Atributos a desarrollar en el bloq

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante re

gráficas.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de uno de sus pasos contribuye al alcance 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica m 5.6 Utiliza las tecnologías de la información

información.

6.1 Elige las fuentes de información más re entre ellas de acuerdo a su relevancia y 7.1 Define metas y da seguimiento a sus pr 8.1 Propone maneras de solucionar un prob

definiendo un curso de acción con pas 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y co

reflexiva.

8.3. Asume una actitud constructiva, congru los que cuenta dentro de distintos equi

lgebraicos

éticos, algebraicos y gráficos, aplicando las presiones aritméticas y algebraicas, relacionando mpleando las literales para la representación y aritméticos y algebraicos concernientes a su vida ar y describir su realidad.

n tablas, gráficas, mapas, diagrama o textos, s traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

que:

presentaciones lingüísticas, matemáticas o e manera reflexiva, comprendiendo cómo cada e de un objetivo.

odelos para probar su validez.

y comunicación para procesar e interpretar levantes para un propósito específico y discrimina y confiabilidad.

rocesos de construcción de conocimientos. blema y desarrolla un proyecto en equipo,

os específicos.

onsidera los de otras personas de manera uente con los conocimientos y habilidades con

pos de trabajo.

(10)

Secuencia didáctica 1. Conociendo los números.

Inicio

Actividad 1:

1. ¿Se te dificultan las Matemáticas? Si es así, describe por qué

2. ¿De qué forma aplicas las Matemáticas en tu entorno?

3. ¿Qué tipo de apoyos didácticos utilizaban tus profesores de Matemáticas en sus clases y cómo los usaban?

4. Marca con una

3

la frecuencia con que el profesor utilizaba las siguientes estrategias.

Estrategias Siempre Casi siempre Casi nunca Nunca

Tareas individuales Tareas en equipo

Exposición por parte del docente Exposición por parte del alumno Investigación

Proyectos

Elaboración de ensayos Mapas conceptuales Analogías

Resumen

Organizador previo Debates

Solución de casos Lluvia de ideas

Portafolio de evidencias Otros:

5. ¿Qué cambiarías de la clase de Matemáticas para que fuera más significativa para ti?

(11)

+++++

Evaluación

Actividad 1: Producto: Cuestionario Puntaje: Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica las estrategias

aplicadas por su profesor de matemáticas en secundaria.

Reconoce las estrategias utilizadas por los profesores de matemáticas en secunadaria.

Distingue la aplicación de las matemáticas en su entorno.

Propone mejoras al curso de matemáticas.

Se compromete con actitud propositiva a reflexionar el cuestionario que se le plantea.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el _docente

Evaluación

Actividad 2: Producto: Reporte escrito Puntaje: Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Reconoce el origen de los

números.

Indaga el origen de los números.

Explora información del origen de los números.

Sintetiza la información encontrada del origen de los números.

Acepta la necesidad de la numerología.

Aprecia los cambios que ha sufrido la numerología a través del tiempo.

Actividad 2:

(12)

Desarrollo

Evaluación

Actividad 3: Producto: Registro de ideas Puntaje: Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Conoce la forma de los

números de algunas culturas antiguas.

Identifica las ideas principales en el texto.

Expresa con claridad las ideas

principales en grupo. Aprecia la necesidad del origen de los números.

Muestra disposición para compartir las ideas extraídas.

Respeta a los integrantes del grupo en el proceso de comunicación.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Actividad 3:

(13)

Diferentes formas de representar

La necesidad de contar se originó en ti aquellos tiempos sus pertenencias c miembros de la tribu, entre otras más encontrado muescas ordenadas tallad numeración antigua.

Existen vestigios de diferentes tipos de n a continuación.

CIVILIZACIÓN

Numeración Antigua Egipcia

Numeración Romana

Numeración Antigua Griega

Numeración Antigua Griega durante el siglo III A.C.

Numeración Maya

r números.

iempos primitivos, el hombre requería contar en omo: las piezas de caza, los utensilios, los s. Algunas investigaciones antropológicas han as en paredes rocosas que son evidencia de

numeración, algunos de los cuales se presentan

SIMBOLOGÍA

0 1 2 3

5 6 ₇ ₈

10 ₁₁ ₁₂ ₁₃

15 ₁₆

17 18

I V X L C D M

1 5 10

50

100

500

100

4

9

14

19

M

(14)

Evaluación

Actividad 4: Producto: Complementación de la _tabla Puntaje:

Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal

Conoce la forma de los números de algunas culturas antiguas

Ubica los nombres y formas de algunos números antiguos.

Realiza la escritura y la identificación de algunos números antiguos.

Acepta la dificultad de la expresión de los números de algunas culturas antiguas.

Aprecia la necesidad de utilizar un sistema de numerología más práctico.

Actividad 4:

CIVILIZACIÓN NÚMERO REPRESENTACIÓN

Numeración Antigua Griega durante el siglo III

A.C.

Numeración Maya 44 Numeración

Antigua Griega 6860

Numeración

Egipcia 10141

MCMXCIX

(15)

La complejidad con la que se escribían

los números indoarábigos.

Los números son necesarios en todo industria, la agricultura, el comercio, definitivamente somos una sociedad de ofertas, rebajas, cambios monetarios y d El porcentaje juega un papel muy impo de las expresiones matemáticas más u una diversidad de formas de expresar p en gráficas y tablas.

Durante los Censos Económicos1

potabilizadoras de agua y 632 plantas este recurso se requiere de la capaci tratamiento y suministro de agua. Otro r laboran en el sector, 84.8% son hombre

Las funciones que realizan los trabaj distribución de agua, control de calid medioambiente, emisión y cobro de rec y contables.

Ejemplos como éste, existen muchos en entender el uso de los porcentajes e inte a que en cualquier momento podemos r Cuando una persona invierte el 10 % celular, se gasta $10 de cada $100 qu como una fracción que tiene denominad de cada 100, y como sabemos, cualqu realizando la operación de división.

1_{http://cuentame.inegi.gob.mx/economi}

los números hizo necesaria una nueva escritura:

lo que nos rodea, los utilizamos en el hogar, la etc., sobre todo en el comercio, dado que e consumo en la que se requiere estar al tanto de

de cómo fluctúa la economía en nuestro país. ortante en el manejo de cantidades, éste es una utilizadas. En los medios de comunicación existe porcentajes y constantemente los encontraremos

se recopiló información de 864 plantas tratadoras. De ahí se concluye que para cuidar itación de hombres y mujeres en la captación, resultado indica que de las 96,803 personas que s y 15.2%, mujeres.

adores son de mantenimiento a las redes de dad del agua potable, estudios de impacto en cibos, así como diversos trabajos administrativos

n los medios de comunicación. Es muy necesario erpretarlos y sobre todo saber calcularlos, debido requerir de ellos.

de su sueldo en pagar el plan de su telefonía ue gana. Se puede expresar el tanto por ciento dor 100, en este caso sería

100 10

, que significa 10 ier fracción se puede expresar en forma decimal

ia/parque/Agua.html

Datos curiosos Existe una numeración

especial que usan los comerciantes para que el

cliente no conozca el precio real del producto y a su vez esté presente en la mercancía, le llaman el

código oculto, el cual consiste en elegir una palabra de 10 letras diferentes y asignarle los

(16)

Todo lo anteri

Porcentaje 15 % 50 % 6 %

Para calcular su expresión d

El 38% del a población tota

El resultado decimal y est 1230 obtenien

Por lo que res

Sitios Web re

En la siguiente http://descarte culo_porcenta

or se puede resumir en la siguiente tabla.

Se lee Fracción Decimal Quince por ciento 15/100 0.15 Cincuenta por ciento 50/100 0.5

Seis por ciento 6/100 0.06

el porcentaje de cantidades sólo es necesario multip decimal) por la cantidad, como por ejemplo:

alumnado de una preparatoria de Ciudad Obregó al es de 1230 ¿cuántas mujeres hay?

a este problema se obtiene convirtiendo primero o se obtiene dividiendo 38 entre 100, para posteriorm ndo así la cantidad de mujeres que hay.

4 . 467 ) 38 . 0 ( 1230 38

. 0 100

38

= =

sulta que hay 467 alumnas en esa preparatoria.

ecomendados:

e página de Internet puedes practicar la obtención de es.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Porcentajes_m ajes.htm

Significado 15 de cada 100 50 de cada 100 6 de cada 100

plicar el porcentaje (en

n son mujeres, si su

38% a su expresión mente multiplicarlo por

(17)

Evaluación

Actividad 5: Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes

Identifica la existencia de los números decimales en la aplicación de porcentajes.

Realiza la obtención de porcentajes. Se interesa en cómo se relacionan los decimales con su vida diaria.

Actividad 5:

1. En el colegio se llevarán a cabo los eventos deportivos y en uno de los planteles el 25 % del alumnado practica algún deporte; si el plantel tiene 1620 alumnos. ¿Cuántos alumnos pueden participar en algún evento deportivo?

2. El precio de una blusa es $320 y el impuesto al valor agregado es del 15 %. ¿Cuál es el valor total de la blusa?

3. Gustavo fue a comprar un libro que costaba $420 y cuando pasó a la caja le dijeron que tenía descuento y sólo pagó $352.80. ¿A qué porcentaje corresponde el descuento aplicado?

4. La caja de ahorros de la empresa donde trabaja Sandra le ofrece un 5% anual para los $ 8000 que tiene ahorrados. ¿Qué interés obtendrá Sandra por su capital en un año?

(18)

Para transformar una fracción a decimal es muy sencillo, sólo es necesario llevar a cabo la división, pero para convertir de decimal a fracción es necesario primero identificar el tipo de decimal para después decidir qué procedimiento utilizar.

Ejemplo: 5 . 0 10 5 = 29 . 4 100 429 = 76 . 0 25 19 ₌ 6 1 . 7 ... 1666 . 7 6 43 = = 81 . 4 ... 8181 . 4 11 53 = =

A continuación se nombrará y ejemplificará cada uno de los diferentes decimales y sus trasformaciones a fracción.

1. Decimales finitos: Son aquéllos cuya cifra decimal tiene fin. Ejemplo: 5.25, 0.006, 3.575, 0.1, 4.94

Para convertir cada uno de ellos a fracción se requiere eliminar el punto, dividiendo entre 10 si termina en décimas, en 100 si termina en centésimas, entre 1000 si termina en milésimas, y así sucesivamente; y posteriormente simplificar la fracción obtenida, si acaso es simplificable.

10 1 1 . 0 = 4 21 100 525 25 .

5 = =

50 247 100 494 94 .

4 = =

40 143 1000 3575 575 .

3 = =

5000 3 10000 6 0006 .

0 = =

Algunas cantidades conocidas expresadas con decimales son:

Masa del electrón uma 28

10 1 .

9 _× −

Cantidad de pesticidas permitidos en agua potable lt mg / 0005 . 0

Gravedad promedio en la tierra

2

/ 8 .

9 m s

(19)

Verifica cada uno de estos resultados en tu calculadora.

2. Decimales infinitos. Son aquéllos con cifras decimales que no tienen fin, es decir que siguen infinitamente; éstos pueden ser infinitos periódicos o semiperiódicos.

Decimales infinitos periódicos. Son aquéllos que tienen una o más cifras decimales repetidas infinitamente, formando así el periodo.

Para convertir a fracción este tipo de números, se requiere eliminar la extensión decimal y realizar un proceso de conversión. A continuación se muestra este proceso.

Ejemplos: Convertir los siguientes números con extensión decimal a fracción.

1) 0.3

Proceso Transformación

Se expresa el número en su forma infinita 0.3 =0.333...

Se le asigna una letra al número n=0.333...

Con base en el primer número se crea otro con la misma

extensión, multiplicando éste por 10 10n=3.333...

Para eliminar la extensión se realiza una resta de los números anteriores

Se realiza el despeje y la simplificación, si es posible

3 1 9 3

= =

n

2) 2.6

3 8 9 24

= =

n

3

9 ...

333 .

0 ...

333 .

3

10 =

=

−

=

n

24 9

... 666 . 2

... 666 . 26 10

= = −

=

(20)

421 99

2525 4

2525 425 100

= = −

=

n n n

... .

3) 4.25

Se expresa el número en su forma infinita 4.25 = 4.2525...

Se realiza el despeje y la simplificación, si es posible n=421₉

4) 0.324

Se expresa el número en su forma infinita 0.324 = 0.324324 ...

37 12 999 324 ₌

= n

Decimales infinitos semiperiódicos. Son decimales que aparecen con una o más cifras

antes del periodo. Las cifras que no son periódicas se llaman antiperiodo.

Este caso es similar al proceso anterior, sólo que se requiere buscar la forma de obtener la misma extensión decimal, para esto se multiplicará el número por 10, 100, 1000, etc. dependiendo del antiperiodo y se realizarán combinaciones de sustracción, como se verá en los siguientes ejemplos.

324 999

324324 0

324324 324 1000

= = −

=

n n

n

... .

(21)

Ejemplos:

1) 0.15

Se le asigna una letra al número n =0.1555...

Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 100, debido a que hasta ahí llega la primera cifra del periodo

... 555 . 15 100n=

extensión, multiplicando éste por 10, debido a que hasta ahí llega el antiperiodo.

... 555 . 1 10n=

45 7 90 14

= =

n

2) 0.252

Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 1000, debido a que hasta ahí llega la primera cifra del periodo

... 222 . 252 1000n=

Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 100, debido a que hasta ahí llega el antiperiodo.

... 222 . 25 100n=

900 227

=

n

14

90 ...

555 .

1

10 ...

555 .

15

100 =

=

−

=

n

227

900 ...

222 .

25

100 ...

222 .

252 1000

=

−

=

(22)

3) 0.1545

Se expresa el número en su forma infinita 0.1545 = 0.154545 ...

Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 10000, debido a que hasta ahí llega el primer periodo

... 4545 . 1545 10000n=

... 4545 . 15 100n=

110 17 9900 1530 = = n

4) 2.46

Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 100, debido a que hasta ahí llega el primer periodo

... 666 . 246 100n=

... 666 . 24 10n=

15 37 90 222 = = n

3. Decimales infinitos no periódicos. Son aquéllos cuya extensión decimal no se acaba y no se repiten; en este caso, estos números no se pueden convertir en fracción. Los decimales infinitos no periódicos se manejarán en el próximo bloque.

(23)

Evaluación

Actividad 6: Producto: Ejercicios de conversión. Puntaje:

Saberes

Identifica la necesidad de expresar en diferentes formas los números decimales.

Obtiene la conversión de los números decimales en sus diferentes formas de expresión.

Realiza la comprobación (con la calculadora) de las operaciones obtenidas en la actividad.

Reconoce el proceso de transformación de los decimales.

Aprecia el uso adecuado de la calculadora en el proceso de aprendizaje.

Actividad 6:

De fracciones a decimales. 1) =

5 2

2) =

5 7

3) =

3 1

4) =

100 11

5) =

225 82

6) =

90 41

7) =

9 14

8) =

10 47

De decimales a fracciones. 1) 0.52=

2) 0.45 = 3) 7.5 = 4) 0.215=

5) 2.102 = 6) 1.6129 =

(24)

Cierre

Evaluación

Actividad 7: Producto: Reporte de investigación. Puntaje:

Saberes

Reconoce los decimales y porcentajes.

Realiza una búsqueda de información que contenga números decimales, que provengan de fuentes de investigación.

Analiza porcentajes de situaciones o casos investigados.

Formula juicios de la información obtenida de las fuentes de consultadas.

Actividad 7:

Recomendaciones: las fuentes pueden ser del INEGI, SHCP, SECTUR, etc

(25)

Secuencia didáctica 2. Jerarquía de operaciones.

Inicio

Evaluación

Actividad 1: Producto: Solución de

problemas con operaciones. Puntaje: Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica la jerarquía de las

operaciones de los números (reales).

Aplica las operaciones entre los diferentes tipos de números.

Reconoce la importancia de la jerarquía de las operaciones y del uso de la calculadora.

Autoevaluación

C MC NC

Calificación otorgada por el docente

Actividad 1:

1) 4−3•5+1= 2) (7−2)•6−9=

3) 10+3•(4−6)= 4) (4+ 2)•(11−3)=

5) 8+14÷(2−9)= 6) (4+2) ÷6−2=

(26)

Desarrollo

Símbolos de agrupación.

Ciertas expresiones incluyen símbolos de agrupación “( )”, “[ ]”, “{ }” que, dependiendo de su ordenamiento, es necesario expresarlas correctamente o pueden llevar a resultados diferentes. Los signos y símbolos usados en lenguaje matemático tienen una función análoga a los signos de puntuación usados en el lenguaje común; por ejemplo en la siguiente frase.

“María dijo el psicólogo es incoherente en su comportamiento” María dijo, el psicólogo es incoherente en su comportamiento María, dijo el psicólogo, es incoherente en su comportamiento

Con esto se comprueba que las oraciones son diametralmente opuestas en significado.

Para realizar operaciones entre varios números, es necesario llevar un orden. Si existen paréntesis se efectúa primero la operación que esté contenida en éstos; si no, se requiere darle prioridad a la potenciación, seguida de la multiplicación y la división, y por último, a la suma y resta.

Si existen paréntesis anidados, la operación se efectúa de adentro hacia fuera.

Ejemplos:

1) 5+3•8−2=27

2) (5+3)•8−2=62

3) 5+3•(8−2)= 23

4) (5+3)•(8−2)= 48

5)

[

]

=

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨

⎧ ₊ ₊ ₋₄ ₃

3 18 ) 2 ( 3 7

6

[

]

=

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨

⎧ ₊ ₊ ₋₄ ₃

3 18 6 7 6

[ ]

=

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨

⎧ ₊ ₋

3 4 3 18 13

6

{

78 +6−4

}

3 =

{ }

80 3 = 240 René Descartes

(1619 D C) Crea la geometría analítica,

(27)

Evaluación

Actividad 2: Producto: Ejercicios de _solución. Puntaje:

Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica la jerarquía de las

operaciones de los números (reales).

Aplica las operaciones entre los

diferentes tipos de números. Aprecia la jerarquía de las operaciones para un resultado correcto.

Autoevaluación

C MC NC

Calificación otorgada por el docente

Actividad 2:

1) 18+6÷3−5=

2)

{

[

(

18+6

)

÷3

]

−5

}

=

3)

{

[

2

(

23−10

)

]

−12

}

=

4) 3

{

2

[

(

12 −4

) (

÷410÷5

)

]

−6

}

=

5) 3

[

(

2

(

12−4÷10 −8

)

−6

)

]

=

(28)

Cierre

Evaluación

Actividad 3: Producto: Ejercicios de operación. Puntaje:

Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Reafirma el uso de la

calculadora. Realiza una práctica en la calculadora para determinar el orden de las operaciones. Ejecuta ejercicios que requieran un orden operacional.

Aprecia la calculadora como una herramienta de apoyo en su aprendizaje.

Sitios Web recomendados:

En las siguientes páginas de Internet puedes practicar más sobre la jerarquía de las operaciones.

http://www.appletpie.com/apie/apiedemo/ejercicio_jerarquia_de_op_.html http://www.genmagic.net/mates4/jerarquia_opera_c.swf

Actividad 3:

(29)

Secuencia didáctica 3. Expresiones algebraicas.

Inicio

Evaluación

Actividad 1: Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Identifica el concepto de

Álgebra. Describe sus conocimientos sobre el Álgebra Reconoce sus conocimientos previos sobre Álgebra.

Muestra disposición para exteriorizar sus conocimientos previos.

Actividad 1:

1. ¿Qué es Álgebra?

2. ¿Cómo la aplicaste en tus clases de matemáticas?

3. Escribe, al menos, tres expresiones algebraicas que recuerdes de tus clases de secundaria.

4. Describe cómo las utilizarías en tu vida cotidiana.

(30)

Desarrollo

Lenguaje algebraico

En un juego, Carmen, Nilsa, Alma, Sandra, Nora y Letty se comunican en ese orden lo siguiente:

Carmen le dice un número a Nilsa; Nilsa le suma 6 y se lo dice a Alma; Alma le resta 2 y se lo dice a Sandra; Sandra lo multiplica por 4 y se lo dice a Nora; Nora le resta 8 y se lo dice a Letty, finalmente esta última tiene que “adivinar” qué número le dio Carmen a Nilsa.

El problema para Letty además de adivinar es recordar todas las operaciones que se hicieron en el transcurso del juego, así que decide hacer una fórmula para recordar el proceso mientras adivina el número inicial, y lo hace de la siguiente forma.

Letty le pone letra al primer número

proporcionado por Carmen C

Nilsa le suma 6 C+6

Alma le resta 2 C+6 – 2

Sandra lo multiplica por 4 4( C +6 – 2 )

Nora le resta 8 4( C +6 – 2 ) – 8

De esta forma, para Letty es más fácil adivinar, porque expresa todas las operaciones mediante una fórmula en que fue sustituyendo números.

L=4( C +6 – 2 ) – 8

Así es que si Nora le comunica a Letty el número 38, para ella es más fácil adivinar usando la fórmula.

En el transcurso de la historia de la humanidad, los individuos han ido construyendo diferentes lenguas como el español, el inglés o el francés, entre muchos otros, con la principal finalidad de lograr la comunicación. Ahora bien, en el desarrollo de las matemáticas, el lenguaje algebraico ha sido herramienta fundamental, cuya aplicación es necesaria para facilitar el procedimiento en la solución de problemas.

Para facilitar el proceso se debe convertir el lenguaje verbal al lenguaje algebraico y viceversa, teniendo en cuenta que las operaciones fundamentales de adición (suma), sustracción (resta), multiplicación y división se expresan con palabras especiales tales como:

Suma: Gana, aumenta, más, se incrementa, crece, etc.

Resta: Diferencia, menos, disminuye, baja, pierde, decrece, etc.

Multiplicación: Producto, dos veces, doble o duplo, triple, cuádruplo, etc.

División: Dividido por, cociente, razón, mitad, tercera parte, semi, etc.

También en un problema algebraico la palabra “es”, “resulta”, “se obtiene” etc., es dada por el símbolo de la igualdad (=).

Como se observó, al trasladar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, se requiere el uso del alfabeto y los números, los cuales adquieren nombres especiales, como son: ¿Sabías que…

La palabra Álgebra tiene origen de la palabra árabe “Al-jabru “, originada por el matemático Al-khwarizmi.

(31)

Literal. Se refiere a nombrar con una letra del alfabeto a una variable y sirven para representar números desconocidos.

Expresión algebraica. Es una combinación de números y/o literales por medio de operaciones matemáticas.

Una expresión algebraica puede estar compuesta de:

La siguiente tabla contiene algunas expresiones comunes utilizadas en Álgebra.

Lenguaje verbal Lenguaje algebraico

Un número aumentado en 4 x+4

La semisuma de dos números

2 n m+

La diferencia de dos números a−b

El cociente de dos números aumentado en 2 +2

y x

Un número par 2n

El producto de dos números xy

La suma de tres números consecutivos n+(n+1)+(n+2)

El triple de un número 3a

La edad del padre hace 5 años x−5

La edad de María es el quíntuplo de la edad de Daniel m = 5d

El producto de los cuadrados de dos números _x2_y2

El cubo de la suma de dos números

(

_a₊_b

)

3

La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de dos números _x2 ₊ _y2

Coeficiente

Término algebraico Exponente Variable

2

(32)

Actividad 2:

Un número disminuido en 12

2

n m+

La tercera parte de un número menos el cuádruplo del mismo

y x

+ −

El 45% de una mezcla

El producto de los cubos de dos números dos números aumentado en 9

La suma de dos números pares consecutivos

Susana es cuatro años menos que Manuel

Seis veces un número disminuido en 15 es – 18

Carolina tiene el triple de la mitad de la edad de Saúl

2

2 _y

x −

El cubo de la suma de dos números 3 _x2 ₊_x

(33)

Evaluación

Actividad 2: Producto: Complementación de la tabla. Puntaje:

Saberes

Traduce de lenguaje verbal a

lenguaje algebraico y viceversa. Analiza y practica el traslado del lenguaje verbal al lenguaje algebraico. Reconoce la facilidad de manejo de situaciones al momento de asignarles variables.

A continuación se mostrarán ejemplos más estructurados y relacionados con algunas situaciones que has visto en algún momento de tu vida cotidiana; primero se manejarán paso a paso para obtener como último resultado la expresión algebraica que los modela, y posteriormente notarás que el planteamiento de los problemas es más directo, que a fin de cuentas eso es lo que tendrás que lograr. En algunos casos deberás apoyarte en dibujos para poder visualizar mejor el planteamiento.

Ejemplos.

1. La edad de Lucía es el triple de la edad de Moisés y la suma de sus edades es 68. ¿Qué edad tiene cada uno?

La edad de Lucía x

La edad de Moisés es el triple que la de Lucía 3x

La suma de sus edades x + 3x

La suma de sus edades es 68 x + 3x = 68

2. Lourdes y Alonso tienen un total de $ 342 en sus alcancías. Si Alfonso tiene $105 más que Lourdes ¿cuánto dinero tiene cada uno?

El dinero de Lourdes m

Alfonso tiene $105 más que Lourdes m +105

El dinero de Lourdes más el dinero de Alfonso m + m +105 El total de dinero de Lourdes y Alfonso es $342 m + m +105 = 342 3. ¿Cuál es el perímetro de un terreno rectangular, si su longitud es el triple que su

anchura?

Anchura del terreno x

La longitud del terreno (triple de la anchura) 3x

El perímetro del terreno 2(x) + 2(3x)

Ada Loveace (1815 – 1852)

Fue la primera programadora en la historia de las computadoras. Ella escribió las instrucciones para la

(34)

Como se observa en los tres ejemplos anteriores, la expresión que resolvería cada uno de los problemas está dada en el último renglón de cada recuadro, pero a diferencia del ejemplo 1 y 2, el ejemplo 3 no tiene una solución única. Comenta con tus compañeros esta situación.

Con un poco de práctica te darás cuenta que no es necesario ir formando la expresión algebraica de forma tan detallada como se hizo en los ejemplos, irás adquiriendo la habilidad para expresarla de forma directa.

Como por ejemplo.

1. La tercera parte de un número es 7 unidades menor que la mitad de él. Si “x” representa al número, entonces la expresión algebraica es:

7 2 3 = −

x x

2. Una persona realizó dos inversiones de un total de $10,000. En una de las inversiones obtuvo un 10% de utilidad, pero en la otra obtuvo una pérdida de 13%. Si la pérdida neta fue de $ 495, ¿qué cantidad tenía en cada inversión?

Primera inversión Segunda inversión

x 10,000− x

Ganancia de la primera inversión Pérdida de la segunda inversión x

1 .

0 0.13(10,000 − x)

Pérdida neta

495 1 . 0 ) 000 , 10 ( 13 .

0 − x − x =

3. Una enfermera mezcló 50 onzas de una solución de sal al 8 % con 40 onzas de la misma solución al 5 % de la misma solución. ¿Cuál es el porcentaje de sal en la mezcla?

) 90 ( 100 ) 40 ( 05 . 0 ) 50 ( 08 .

0 + = x

50 onzas 40 onzas

0.08 (50) 0.05 (40) Solución

al 8%

+

Solución al 5%

=

90 onzas

Solución al x %

100 x

(90) Cantidad

(35)

Posteriormente, podrás resolver estos problemas, pero por ahora lo más importante es que adquieras la habilidad de cambiar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico.

Actividad 3:

1. En una máquina de golosinas sólo se pueden depositar monedas de $5 y de $10, si hay 100 monedas que suman $720 ¿cuántas monedas de cada denominación hay en la máquina?

2. Una computadora costó $12,000. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es el 20% de dicho precio?

3. Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de $52 el kilo y otra de $35 el kilo. Si la combinación pesa 5 kilos y la vende a $46 el kilo ¿Cuántos kilos de cada clase forma la mezcla?

4. José tiene actualmente

3

1_{de la edad de su padre. Dentro de diez años tendrá la mitad de la edad}

correspondiente de su padre. ¿Cuál es la edad actual de José?

5. La base de una pintura al óleo rectangular es de 5 pulgadas menor que el doble de su altura, y el perímetro es de 62 pulgadas. ¿Qué dimensiones tiene el cuadro?

(36)

Evaluación

Actividad 3: Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:

Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Traduce de lenguaje

cotidiano a lenguaje algebraico

Realiza ejercicios de situaciones que se modelarán con expresiones algebraicas

Reconoce la facilidad de manejo de situaciones al momento de asignarles variables.

.

Gottfried Wilhem Leibnitz (1646 - 1716) Físico, filósofo y matemático alemán. Construyó una máquina

para multiplicar.

“No entiendes realmente algo a menos que seas capaz de explicárselo a tu abuela.”

(37)

Cierre

Actividad 4:

INSTRUCCIONES: En equipo problemas de la actividad ant grupo.

(38)

Evaluación

Actividad 4: Producto: Exposición Puntaje:

Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal Interpreta la solución de

problemas.

Expone la solución de problemas de la vida cotidiana, para su análisis.

Se compromete con los integrantes del equipo.

Se responsabiliza de sus acciones. Tiene apertura de comunicación.

(39)

Utiliza magnitudes y números Rea

Unidades de competencia:

Construye e interpreta modelos aritmé propiedades de los números reales y exp magnitudes constantes y variables, y em resolución de situaciones y/o problemas a cotidiana y escolar, que le ayudan a explica Identifica las características presentes e provenientes de situaciones cotidianas y los

Atributos a desarrollar en el bloq

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante re

gráficas.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de uno de sus pasos contribuye al alcance 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica m 5.6 Utiliza las tecnologías de la información

información.

6.1 Elige las fuentes de información más re entre ellas de acuerdo a su relevancia y 7.1 Define metas y da seguimiento a sus pr 8.1 Propone maneras de solucionar un prob

definiendo un curso de acción con pas 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y co

reflexiva.

8.3. Asume una actitud constructiva, congru los que cuenta dentro de distintos equi

ales

éticos, algebraicos y gráficos, aplicando las presiones aritméticas y algebraicas, relacionando mpleando las literales para la representación y aritméticos y algebraicos concernientes a su vida ar y describir su realidad.

en tablas gráficas, mapas, diagrama o textos, s traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

que:

presentaciones lingüísticas, matemáticas o e manera reflexiva, comprendiendo cómo cada e de un objetivo.

odelos para probar su validez.

y comunicación para procesar e interpretar levantes para un propósito específico y discrimina y confiabilidad.

rocesos de construcción de conocimientos. blema y desarrolla un proyecto en equipo,

os específicos.

onsidera los de otras personas de manera uente con los conocimientos y habilidades con

pos de trabajo.

(40)

Secuencia

Inicio

Actividad 1:

Concep Identifica la divers números.

Clasificación de lo

Coevalua

Actividad 1:

INSTRUCCIONES: Rea

1. Haz una lista en tu cuaderno de lo 2. Con respeto y tolerancia, intercam integrantes del equipo y anota los

Nombre del número

a didáctica 1. Los números reales.

Evaluación

Producto: Registro de acuerdos Puntaje Saberes

ptual Procedimental sidad de

os números.

Expresa con claridad la notación numérica.

Interioriza en sus conocimientos previos para expresarlos.

Tiene a anotac

Muestr integra

Respet proces

ación C MC NC Calificación otorgad docente

aliza la siguiente actividad en equipo.

os nombres y tipos de números que conoces. mbien opiniones acerca de los números que conoce s números que piensen que están correctos.

Representación numérica

e:

Actitudinal apertura para hacer las ciones individuales.

ra disposición para ar las ideas expresadas.

ta a los integrantes en el so de comunicación.

da por el

cada uno de los

(41)

Desarrollo

E

Actividad 2: Producto: Regist_{observaciones.}

S Conceptual Procedim Identifica los números.

Identifica la utilidad de los números.

Ubica la aplica números en el ho

Coevaluación C MC

Actividad 2:

INSTRUCCIONES: En equipo, in la utilidad y aplicación de los di acordaron en el equipo.

Nombre del número

valuación

tro de _Puntaje:

Saberes

mental Actitudinal ación de los

ogar.

Aprecia el uso y aplicación de los números en su vida cotidiana.

Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales.

Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.

NC _{Calificación otorgada por el} docente

ntercambia opiniones con tus compañeros acerca iferentes números. Anota a continuación la lista

Ejemplo de aplicación

(42)

Los números Naturales.

Los números surgieron de la necesidad de contar pertenencias, objetos, personas, etc. Cuando contamos objetos se inicia con 1, luego 2, 3, 4, etc. ¿Qué tan grande es este conjunto de números?, imaginemos que estamos en la playa y tomamos una pizca de arena y la colocamos en nuestra mano, podríamos contar el número de granos de arena que tenemos sin ninguna dificultad. Pues bien, podríamos contar, por dar un ejemplo 34 granos de arena, iniciando la cuenta en 1, 2, 3, 4, …., 34. Pero luego imaginemos que quisiéramos contar una cantidad mayor de granos de arena, el proceso sería laborioso, pero al fin de cuenta no imposible; algo similar se tiene con las estrellas, pero en este caso sería imposible el contarlas todas. Esto nos da una idea de lo que es el infinito, debido a que el conjunto de números naturales no tiene fin.

Existe una polémica acerca de considerar al cero como elemento de los números naturales; como se inventaron para contar objetos, que representaría el cero, precisamente eso, la ausencia de objetos dirían los especialistas en teoría de conjuntos (probabilidad y lógica), entonces algunos consideran al cero como elemento de los números naturales, y otros más conservadores como los especialistas en teoría de números que no lo reconocen como tal así es que no lo incluyen.

El conjunto de números que utilizaremos es el de mayor tendencia: el conjunto en el que se excluye el cero como elemento uno de sus elementos.

Los números naturales se representan con la letra N y su notación de conjunto es:

Los números Enteros.

Estos son conocidos como números deudos, dado que nacen como una necesidad de representar deudas. Estos son usados para ubicar posiciones de objetos con respecto a un punto de referencia, como por ejemplo, cuando se quiere ubicar un objeto por encima o debajo del nivel del mar para operaciones prácticas, los que están por encima del nivel del mar serían los números positivos y los que están por debajo del nivel del mar son los números negativos. Estos números tienen las siguientes características: son infinitos, numerables y sirven para contar unidades completas, es decir, podemos tomar dos números consecutivos y no existe un número intermedio. Al igual que los números naturales, estos no tienen fin, tanto hacia la derecha como a la izquierda.

El conjunto se describe de la siguiente forma:

{

....,

6 ,

5 ,

4 ,

3 ,

2 ,

,1

0 ,

,1

2 ,

3 ,

4 ,

5 ,

6 ,

....

}

Z

=

−

N

=

{

,1

2 ,

3 ,

4 ,

5 ,

6 ,

....

}

¿Sabías que…

(43)

Los números Racionales.

Investigando los jeroglíficos de diferentes civilizaciones como los egipcios, babilonios, griegos, entre otros, se encontró que dichas civilizaciones conocieron las fracciones desde tiempos muy remotos; al analizar los jeroglíficos egipcios se encontró que las utilizaban para la construcción y la agrimensura.

Los números racionales se expresan como el cociente de dos números enteros, de ahí que se le denomine con la letra Q por “quotient”, que significa “cociente”. El término “racional” proviene de “razón”.

Al número racional se le conoce como fracción, porque puede ser expresado con numerador y denominador de números enteros, a excepción del cero como denominador. Por ejemplo:

,

6 ,

0 ,

4

5 ,

2

3 −

etc. En las dos primeras fracciones se observa de forma clara la estructura de fracción.

Recordemos que cualquier número entero se puede escribir como una fracción con denominador 1, por ejemplo, el 6 se puede representar de la siguiente forma.

Así que al generalizar la definición en su forma de fracción de los números racionales, tendríamos que expresarlo de la siguiente forma:

También se sabe que cuando tenemos un número fraccionario podemos realizar la división entre el numerador y el denominador, como en los siguientes ejemplos.

Como se ve en los ejemplos, los números se expresan con desarrollo decimal y pueden ser finitos, como en el caso a) y b), o infinito periódico como en el caso c), d) y e). De aquí que, se enuncia la definición de números racionales con base en la forma de su desarrollo decimal. Q ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _∈ _∈ _≠

= a Z, b Z, b 0

b a 4 0 . 1 .... 0444 . 1 45 47 ) 571428 . 3 ... 28 5714285714 . 3 7 25 ) 6 . 1 .... 66666 . 1 3 5 ) 5 . 0 2 1 ) 0 . 6 6 1 6 ) = = = = = = = = = e d c b a

2

3

Numerador Denominador

1

6

6 =

Numerador Denominador

Pitágoras de Samos (580 – 500 A C) Fue un metafísico, moral, religioso y científico. El saber geométrico de los pitagóricos

(44)

Los números racionales (Q): Son números con desarrollo decimal finito o infinito periódico.

Javier fue a comprar 2/3 de kilo de Carne para asar, pero Karla, la dependienta del lugar, le dijo que no podía darle esa cantidad, Javier extrañado porque sabía que tenían suficiente producto se molestó al recibir la respuesta de Karla, se quedó pensando por que la negativa de su solicitud.

¿Cuál fue el motivo por el que Karla no podía darle la cantidad de carne que Javier pedía?

Los números Irracionales.

Los antiguos griegos notaron que la recta no estaba completa con los números Racionales, al identificar ciertos puntos en ella a los cuales sólo se podían aproximar con fracciones.

El filósofo matemático Pitágoras de Samos, quien estudiando el triángulo rectángulo encontró que dichos números no pueden ser expresados como un cociente, se estaba enfrentando a otro tipo de números que por ser “desconocidos” desconcertaron de manera alarmante a los estudiosos dado que muchas suposiciones y demostraciones geométricas eran falsas o incompletas, incluso llegaron a contemplar mantenerlo en secreto porque contradecían su doctrina.

Hasta el siglo XVI fue cuando consideraron llamar número irracional a los números con desarrollo decimal infinito no periódico. Algunos de ellos se pueden encontrar al resolver un problema. Como por ejemplo.

.... 9793 1415265348 .

3

.... 5904 7182818284 .

2

.... 07 4422495703 .

1 3

.... 73 4142135623 .

1 2

= = = =

π e

Como se observa en los ejemplos, el desarrollo decimal que presentan estos números es infinito no periódico y con base a la definición planteada en los números racionales, no podríamos expresarlos como un cociente de dos números enteros.

Analizando todos los conjuntos que se mencionaron anteriormente, se observa que los Naturales están incluidos en los números Enteros, y éstos a su vez están incluidos en los Racionales. Pero ellos no tienen ninguna relación con los Irracionales, pues bien, todos ellos forman parte de los números Reales, como se muestra en el siguiente diagrama.

R

I Q

Z

N

¿Sabías que… Fue el filósofo y matemático Euclides

de Megara quien demostró que el número irracional

2 no puede expresarse como un

número racional. Johan Lambert

(1761 D C) Dice que el numero Pi es

(45)

Actividad 3: Producto: Com_{de la tabla.}

Conceptual Proce Identifica elementos de los

subconjuntos de los números reales.

Ubicar los números reales.

Esboza en un números reale

Autoevaluación C MC

Ejemplos.

1. Juan, es estudiante de primer añ medida de la altura que tiene divid cumple con el número áureo, el cua

2. Al contar el número de niños que a utiliza números naturales.

Actividad 3:

INSTRUCCIONES: Identifica los s “Z” para los enteros, con “Q” a la tabla colocando un número numérica.

Número 4 - 6

Conjunto Gráfica

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2

Evaluación

mplementación _Puntaje:

Saberes

edimental Actitudinal a gráfica los

es.

Acepta la variedad de los números.

o de arquitectura, y quiere comprobar que la dida entre la medida de su ombligo a los pies, al es un número irracional.

asistieron para ir a un paseo escolar, la maestra siguientes números con la letra “N” si son natur los Racionales, con “I” si son Irracionales. Com del conjunto indicado. Represéntalos en la

3

4

10

−

₂

1 I

Z

Q

2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

rales, pleta recta

(46)

3. Una perso están por debajo de

4. Don Javie para sus e

Actividad 4:

Conce Concepto de los Reales.

Identifica la utilid números Reales

Autoeva

Actividad 4:

INSTRUCCIONES: Obser que se relacionan con determinando a qué conj

ona que se traslada de un piso a otro en un edificio r encima de la planta baja serían los positivos y los q e la planta baja, serían los negativos.

er requiere repartir $ 2565.00 entre sus 4 hijos para q estudios.

Evaluación Producto: Registro de

observaciones Puntaje: Saberes

eptual Procedimental A

s números

dad de los s.

Ubica la aplicación de los números Reales en el hogar.

Expresa correctamente la notación de conjunto de los números Reales.

Aprecia el uso números en su

Se comprome buscar la utilid Reales en su v

Admite la impo Reales para ex magnitudes (v discretas o co

aluación C MC NC Calificación otorgada _{el docente} rva dentro y fuera de tu casa para que enlistes los números Reales, anota la lista en el sigu junto pertenece, N, Z, Q, I.

, donde los pisos que que se encuentran por

que compren material

Actitudinal y aplicación de los u vida cotidiana.

te con sí mismo a dad de los números

vida cotidiana.

ortancia de los números xpresar todo tipo de

ariables, constantes, ntinuas).

por

(47)

E Actividad 5: Producto: Tabla_{clasificación}

Conceptual Proced

Identifica los subconjuntos de números Reales.

Identifica la utilidad y aplicación de los números.

Ubica la aplic números en el

Relaciona los de los número las aplicaciones

Autoevaluación C MC

Propiedades de los números Rea

El deporte es una actividad muy impor vitalidad, integración social y retos. organizar a los jugadores, así como tam se llevarán a cabo, como la medida de de aditamentos.

Actividad 5:

INSTRUCCIONES: Comenta en el gr siguiente espacio los elementos que al conjunto(s) al cual pertenece cad

EJE

Evaluación

a de _Puntaje:

Saberes

imental Actitudinal

cación de los hogar.

subconjuntos os reales con s.

Aprecia el uso y aplicación de los números en su vida cotidiana.

Disposición para integrar las ideas expresadas.

Respeta a los integrantes del grupo en el proceso de comunicación.

ales.

rtante en nuestras vidas, nos proporciona salud, En los deportes existen reglas que permiten mbién, establecer roles y condiciones en las que e los espacios en los que se desarrollan y el tipo

rupo el resultado de tus observaciones y anota e e te resulten más interesantes, además marca co a ejemplo.

EMPLOS N Z

en el on 3

(48)

Actividad 6:

Conce Reconoce la imp las reglas

Autoeva

Como se obs forma, las Ma permiten realiz A continuació en cuenta que

Actividad 6

:

INSTRUCCIONES: Es de tu deporte favorito

Evaluación

Producto: Texto Puntaje:

Saberes eptual Procedimental

portancia de Aplica el reglamento en el

deporte Muestra resp

aluación C MC NC Calificación otorgada_{el docente}

serva, las reglas dan la pauta a seguir en muchas atemáticas no son la excepción. Existen “reglas” en lo

zar operaciones, se les conocen como propiedades d n se enuncian algunas de las propiedades de los núm e

a

,

b

y

c

∈

R

, esto se lee,

a, b y c

pertenecen a los n scribe en el siguiente espacio las reglas más i o.

Actitudinal eto a las reglas

por

s actividades; de igual os números reales que de los números reales. meros reales, tomando números reales.

(49)

Propiedad Operación Definición Significado Ejemplo Cerradura Suma Multiplicación R ) (a+b∈

R ) (ab ∈

El resultado de sumar o multiplicar dos números reales, también es número real.

R

∈

=

+

5

8

3

R )

)(

(4 6 =24∈

Conmutativa Suma Multiplicación

a

b

a

+

=

+

ba

ab

=

El orden al sumar o multiplicar los números reales, no afecta el resultado.

5

3

5 +

=

+

(2)(9) (9)(2)= Asociativa Suma Multiplicación ) ( )

(a+b +c=a+ b+c

) ( )

(abc=abc

No importa el orden al asociar la suma o multiplicación de tres o más números reales, el resultado siempre será el mismo.

) ( )

(6+3 +2=6+ 3+2

[

(5)(4)

]

7=5

[

(4)(7)

]

Neutro

Suma

Multiplicación

a

+

0 =

a a)( )= ( 1

Si a un número real se le suma el cero (neutro aditivo), se queda igual.

Si un número real se multiplica por 1 (neutro multiplicativo), se queda igual.

8

0

8 +

=

13 1 13)( )= ( Inverso Suma Multiplicación 0 = − +( a)

a 1 1 ₌ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a a) (

Si a un número se le suma su inverso, se obtiene como resultado el 0 (neutro aditivo). Si un número se

multiplica por su inverso multiplicativo, se obtiene como resultado 1 (neutro multiplicativo).

0 9 9+(− )=

1 2 1 2 ⎟=

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ) (

Distributiva respecto a la Suma multiplicación

bc ab c b

a( + )= + El factor se distribuye a

cada sumando 5(3+4)=(5)(3)+(5)(4)

(50)

Propiedad D Aditiva Si

a

=

b

, ent

Multiplicativa _Si

_a

=

_b

_{, e}

Reflexiva

Simétrica _Si

_a

=

_b

_,

Transitiva Si

a

=

b

y

b

=

A continuació propiedades d

Reflexiva. Esta es una d un elemento e

Simétrica. La simetría s tenemos el re reportar el res

Transitiva. Si el peso de al peso de un la caja de reg

Definición Signific

tonces,

a

+

c

=

b

+

c

Si dos números son igua_{un mismo número a amb}

igualdad y ésta se sigue entonces,

ac

=

bc

Si dos números son igua multiplicar un mismo núm de la igualdad y ésta se s

a

=

Un número es igual a sí m

entonces,

b

=

a

Si tenemos la igualdad d podemos cambiar el lado derecho y no afectaría la

c

=

, entonces,

a

=

c

Si tenemos dos igualdad términos es el mismo par entonces podemos estab entre los términos restant

ón se mostrarán algunos ejemplos en donde p de la igualdad.

de las propiedades que se podría decir que es “obvia es igual a sí mismo. Una persona es igual a ella mism

se encuentra en la naturaleza, pero un ejemplo m esultado de una ecuación, y muchas veces el alumn sultado, sin tomar en cuenta que es la misma.

5 =

x

sería lo mismo si se dejara como

5 =

5 botellas es igual al peso de 2 libros, y el peso de na caja de regalo, entonces decimos que las 5 botella

alo.

cado

ales, podemos sumar bos lados de la

cumpliendo. ales, podemos mero a ambos lados

sigue cumpliendo. mismo.

e dos números, o izquierdo con el

igualdad. es y uno de los ra las dos igualdades, blecer una igualdad

tes.

puedes visualizar las

”, en el sentido de que ma y a nadie más.

muy claro es cuando o tiene duda de cómo

x

(51)

Otras propiedades muy importantes son Aditiva.

Si se pone en una balanza dos libros q igual peso en ambos lados, la balanza s

Multiplicativa.

Si ahora se tiene una balanza en eq multiplicación es la simplificación de la lados significaría tener el mismo objeto equilibrio.

Actividad 7:

INSTRUCCIONES: Realiza el números reales.

1

3

4

5

7

8

n:

que pesan lo mismo, al añadirle una manzana de sigue en equilibrio.

quilibrio con dos objetos, y recordando que la a suma, entonces, multiplicar por dos a ambos o dos veces por lo que resultaría la balanza en

siguiente crucigrama utilizando las propiedades d

2

6

9

e los