Departamento de Matem´atica y C.C. - Universidad de Santiago de Chile

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(1)

C´alculo - Ingenier´ıa Civil

Gu´ıa de Ejercicios N

o

2

Departamento de Matem´atica y C.C. - Universidad de Santiago de

Chile

1

Continuidad de funciones algebraicas

1. Estudie los ejercicios resueltos de la secci´on 1.5.5 del texto gu´ıa .

2. Resuelva los problemas propuestos de la la secci´on 1.5.6 del texto gu´ıa.

3. En cada uno de los siguientes casos, analice la continuidad en cada punto del dominio de la funci´on.

(a)

f(x) =

   

  

x2x12

x2+ 2x3 si x6= 3

1

2 si x= 3 (b)

g(x) =

(

9−t2 si t 2

3t+ 2 si t >2

(c)

h(x) =

      

u3+ 2u2u2

u33u2u+ 3 si u6=1

1

4 si u=1

(d)

f(x) =

    

   

x+ 5−√5

x si x6= 0

5

2 si x= 0

(e)

g(t) =

  

 

q

2 +3

t−2

t−8 si t 6= 8

1 si t = 8

4. En cada uno de los siguientes casos, determine los valores de las constantes A

(2)

(a)

f(x) =

    

x2 si x <1

Ax+B si 1≤x <4

2x+ 1 si x≥4

(b)

f(x) =

  

 

Ax+ 2B si x <−2 3Ax+B si 2≤x≤1 3x−2B si x >1

(c) Sea f la funci´on real definida por:

f(x) =

(

|x−[x]| si [x] es par

|x−[x+ 1]| si [x] es impar

Determine, mediante el gr´afico def, los puntos de discontinuidad de f. (d)

g(x) =

    

   

Ax−1 si x <−1

Ax2+B si 1x <1 A(x2 1)

B(x+ 1) si x≥1

5. Sea f la funci´on definida por:

f(x) = lim

n→∞

2nx n2nx.

Determine el dominio de f y analice su continuidad.

6. Sea f la funci´on definida por:

f(x) = lim

n→∞

µxn1

xn+ 1

¶2 .

(a) Calcule f(0), f(1) , f(1

2), f(2).

(b) Determine el dominio de f. (c) Calcule lim

x→1f(x).

(d) Calcule lim

x→−1f(x).

(e) Determine los puntos del dominio en los cuales f es continua.

(f) ¿ Es posible definir f(1) de modo que la funci´on resulte continua en

1?

7. Sea f la funci´on definida por:

f(x) = lim

n→∞

xn

1 +xn.

(a) Calcule f(0), f(1) , f(1

2), f(2).

(3)

(c) Calcule lim

x→1f(x).

(d) Calcule lim

x→−1f(x).

(e) Determine los puntos del dominio en los cuales f es continua.

8. Dadas la funci´on g(x) =x−[x] y la sucesi´on an= 1

1

n+ 1, calcule:

(a) g(an), nlim→∞g(an), g( limn→∞an).

(b) Use la caracterizaci´on de la continuidad mediante sucesiones para de-mostrar que g no es continua enx= 1.

(c) Generalice el procedimiento anterior para demostrar que gno es continua enx=k ,k entero.

9. Dada

f(x) =

(

x si x es racional 0 si x es irracional

(a) Demuestre que f no es continua enx= 1. Use la sucesi´onan = 1

1

2n

y compare lim

n→∞f(an)y f( limn→∞an).

(b) Demuestre quef no es continua enx=e. Use la sucesi´onbn=

µ

1 + 1

n

n

y compare lim

n→∞f(bn)y f( limn→∞bn).

(c) Generalice ambos procedimientos para demostrar quef es continua sola-mente enx= 0.

2

Propiedades de las funciones continuas

1. Analice si las siguientes funciones alcanzan o no sus valores m´aximos y m´ınimos. Cuando sea posible calcule dichos valores.

(a) f(x) =x3, en [2,3].

(b) f(x) =x3, en ]2,3].

(c) f(x) =x3, en ]2,3[.

(d) f(x) =x3, en ]− ∞,3].

(e) f(x) =x3, en [2,+[.

(f) f(x) =x3, en IR.

(g) f(x) : [0,1]−→[0,1], continua y creciente.

(h) f(x) = x

1− |x|, en ]1,1[.

(i) f(x) = 1

x−2, si x6= 2 y f(2) = 4 en IR.

(4)

(a) Demuestre que f(x) es estrictamente creciente. (b) Determine el recorrido de f(x).

(c) Deduzca la existencia de f−1.

(d) Analice la continuidad de f(x) y f−1.

(e) Grafique en un mismo diagrama f(x) y f−1.

(f) Encuentre la expresi´on que define f−1.

3. Dada f(x) =xn ; n par, x[0,+[ .

(a) Demuestre que f(x) es estrictamente creciente. (b) Determine el recorrido de f(x).

(c) Deduzca la existencia de f−1.

(d) Analice la continuidad de f(x) y f−1.

(e) Grafique en un mismo diagrama f(x) y f−1.

(f) Encuentre la expresi´on que define f−1.

4. Dada f(x) = x

1− |x| ; , x∈]1,1[ .

(a) Analice la continuidad de f . (b) Calcule lim

x→−1+f(x) y xlim1−f(x) .

(c) Deduzca, usando el Teorema del Valor Intermedio que el recorrido de f

es IR.

(d) Analice el signo de f.

5. Sea f : IR −→IR, continua tal que lim

x→−∞f(x) = limx→+∞f(x) = +∞.

(a) Diga por qu´e f no puede ser inyectiva.

(b) Diga por qu´e el recorrido de f no pueder ser IR . (c) Deduzca que f es acotada inferiormente.

(d) Deduzca que f alcanza su valor m´ınimo.

6. f(x) : [0,1]−→[0,1], continua.

(a) Escriba simb´olicamente el recorrido de f en t´erminos de su valor m´ınimo y su valor m´aximo.

(b) Pruebe que la funci´on g(x) = f(x)−x, con x [0,1], toma el valor cero para alg´un x0 [0,1].

(c) Interprete geom´etricamente (b).

7. Demuestre que f(x) = x33x2+ 5x−4 tiene al menos un cero en el intervalo

[1,2] .

8. Demuestre que g(x) = x4 + 7x3 9 tiene al menos dos ra´ıces reales. ¿ son

(5)

3

Las funciones trigonom´

etricas

1. Estudie todos los ejercicios resueltos de la secci´on 1.4.4 del texto gu´ıa.

2. Resuelva todos los problemas propuestos de la la secci´on 1.4.4 del texto gu´ıa.

(a) Si sen π 10 =

51

4 , calcule: (b) cos π

10, sen

π

5, sen

π

20.

(c) En el c´ırculo unitario , ubique los trazos : cos π 10, sen

π

10 y tan

π

10. 3. (a) Exprese senα en t´erminos de tanα.

(b) Si tanα = 3342, calcule senα, cosα, cotα y sen 2α

4. Demuestre las siguientes identidades:

(a) 1cos 2α+ sen 2α

1 + cos 2α+ sen 2α = tanα.

(b) sen 2A 1cos 2A ·

1cosA

cosA = tan

µA

2

.

(c) sen

2(π

2 −α) secα

cosecαcotan (π

2 −α

) = cos2α.

(d) tan

µ

A+π 6

tan

µ

A− π

6

= 12 cos 2A 1 + 2 cos 2A.

(e) cosec2acotana cosacoseca1 = 0.

(f) (tanϕ−cotanϕ) senϕcosϕ+ 2 cos 2ϕ= 12 cos2ϕ.

(g) arctanx+ arctany= arctan³1x+xyy ´.

(h) arcsen 3

5 + arcsen 8

17+ arcsen 36 85 =

π

2.

5. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonom´etricas:

(a) tanx= 2senx.

(b) 2 cos 2a+ 22 = 3 sec 2a.

(c) 3 tanϕ+ cotanϕ= 5cosecϕ.

(d) sen2x+ 2senxcosx2 cos2x=1

2. (e) cotanx−tanx= senx+ cosx.

(f) 5sen2x12senx+ 5 = 0.

(g) 1 + 2senx= 23senx.

(h) 3senx−√4sen2x1 = 2.

(i) arcsenx+ arcsen (1−x) = arccosx.

(6)

6. Simplifique:

cosx−cos 5x

sen 5x−senx.

7. Resuelva la desigualdad:

(a) 0<sen 2x < 1

2.

(b) 2 cosx−5senx cosx >0.

8. Grafique las siguientes funciones:

(a) f(x) = |senx| (b) f(x) =|tanx|

(c) f(x) =

¯ ¯ ¯ ¯tan1x

¯ ¯ ¯

¯ (d) f(x) =

¯ ¯ ¯ ¯sen1x

¯ ¯ ¯ ¯

(e) f(x) = max{senx,0} (f) f(x) = max{−senx,0}

(g) f(x) = max{cosx,0} (h) f(x) = max{cosx,0}

(i) f(x) = cosx (j) f(x) = tan

9. Encuentre la amplitud, el per´ıodo y bosqueje el gr´afico de las siguientes fun-ciones:

(a) f(x) = 5sen 2πx (b) f(x) = 2sen x

2

(c) f(x) = 3sen πx

3 (d) f(x) = 0.5 cos 4x

10. Dada la funci´on

f(x) = (2

q

2 +2) sin(3x) + (2

q

2−√2) cos(3x)

red´uzcala a la forma :

f(x) = Asin(ωx+ϕ) y encuentre los valores de A,ω y ϕcorrespondientes.

(7)

4

L´ımites de sucesiones de funciones trigonom´

etricas

1. Dada la sucesi´on de t´ermino general xn = sen (2n+ 1)

π

2, demuestre que lim

n→∞xn no existe.

2. Calcule lim

n→∞

1

(2n+ 1)πsen (2n+ 1) π

2 , acotando inferior y superiormente el t´ermino general de la sucesi´on.

3. Calcule lim

n→∞

n2sen (n!) n3+ 1 .

4. (a) Use el c´ırculo unitario para calcular geom´etricamente cosπ

2 y cos

π

4.

(b) Use las f´ormulas del ´angulo medio para calcular cosπ

8 y sinπ8.

(c) Calcule cos π

16.

(d) Apoy´andose en los c´alculos anteriores, deduzca inductivamente que:

cos

µπ

2n

= 1 2

r

2 +

q

2 +2 +. . ..

Es decir, si

x1 = 2 cos π

4 =

2, entonces

xn = 2 cos

π

2n+1 =

q

2 +xn−1 , n >1.

5. (a) Use el c´ırculo unitario para deducir que |sinx|<|x|.

(b) Use (5a) para deducir que, si (xn) es una sucesi´on tal que limn→∞xn = 0,

entonces la sucesi´onyn= sinxn converge a cero.

(c) Use (5b) para deducir que, si lim

n→∞xn = 0, entonces zn= cosxn converge

a uno.

(d) Use (c) y el ejercicio (4d) para calcular el l´ımite de la sucesi´on {un}

definida por recurrencia:

u1 =

2, un+1 =

2 +un , n >1.

6. (a) Demuestre que la sucesi´on definida por xn = 1n es decreciente y acotada

inferiormente. Deduzca que existe lim

n→∞xn existe.

(b) Encuentre cotas superiores e inferiores para los valores de la sucesi´on

yn = cos().

(c) Calcule y1, y2, y3, y4 , . . . .. ¿ Qu´e puede decir sobre la existencia del

l´ımite de la sucesi´on (yn) ?.

(d) Calcule

lim

n→∞

1

(8)

5

L´ımites de funciones trigonom´

etricas

.

1. Calcule los siguientes l´ımites:

(a) lim

x→0

sen (3x) sen (2x) (x3x)2

(b) lim

x→0

Ã

sen (2x)

x

!

(c) lim

x→0

Ã

sen2(x) x

!

(d) lim

x→0

Ã

tan2(x) xsen (x)

!

(e) lim

x→1

Ã

sen (x21) x−1

!

(f) lim

x→1

Ã

sen (x21 |x−1|

!

(g) lim

x→2

tan(πx)

x−2

(h) lim

x→π

Ã

1sen (x

2) π−x

!

(i) lim

x→2

sen (πx) (x−2) cos(πx)

(j) lim

x→2

Ã

sen (π(2−x))

x24

!

(k) lim

x→0

Ã

1cos2(x) xtan(x)

!

(l) lim

x→π3

Ã

12 cos(x)

π−3x

!

(m) lim

x→π

2

Ã

x

cot(x)

π

2 cos(x)

!

2. Demuestre que lim

x→0sen

µ1

x

no existe.

3. Demuestre que lim

x→0xsen

µ1

x

= 0.

4. Demuestre que lim

x→0

Ã

x2sen (1

x)

sen (2x)

!

(9)

5. Demuestre que lim

x→0

Ã

sen (cx)

x

!

=c,∀c constante.

6. Demuestre que lim

x→π

2

f(x) no existe si f(x) =

  

 

sec(x)tan(x) si x < π

2 π−2x

sen (x− π

2)

si x > π

2

item Determine bajo qu´e condiciones de a y b el lim

x→0f(x) existe si

f(x) =

 

(ax+b)2b2 si x <0

cos(ax)cos(bx)

x2 si x >0

6

Continuidad de funciones trigonom´

etricas

1. Calcule lim

x→0

Ã

f(x) =

2x+ 1−√x+ 1 sen 3x

!

y analice la posibilidad de definir

la funci´on f en el punto x0 = 0 de manera que ella sea continua en dicho

punto.

2. Dada la funci´on

f(x) =

(

xcosec (2x) si x6= 0

M si x= 0

Determine el valor de M de modo que la funci´onf sea continua en x0 = 0

3. Establezca las condiciones para que la funci´on G(x) pueda ser definida en todo el intervalo

·

−π

2;

π

2

¸

y adem´as resulte continua en todo punto de su dominio si

G(x) =

       

      

1 + senx−cosx

1senx−cosx si π

2 ≤x <0 2senx+ cosx si 0< x < π

4 1senx+ cosx

sen 2x−cos 2x−1 si

π

4 < x≤

π

2

4. Determine el dominio de f. Analice la continuidad y existencia de as´ıntotas verticales y horizontales de f.

(a) f(x) =senx.

(b) f(x) = 3 senx.

(c) f(x) = 1

senx.

(10)

(e) f(x) = 1 tanx+3

(f) f(x) = 1 senx−cosx

(g) f(x) = 1 sen3³x

2

´ + 1

cos3³x

2

´

5. Demuestre que:

(a) 1cos x= 2sen2³x

2

´

.

(b) xsenx= 2xsen ³x

2

´

cos³x

2

´

.

(c) lim

x→0

1cos x

x2 =

1 2. (d) lim

x→0

xsenx

1cos x = 2.

(e) lim

x→0

tanx

1cos x = +.

6. (a) Deduzca usando el c´ırculo unitario que senx < x <tanx.

(b) Demuestre que 1cosx

senx = tan

µx

2

.

(c) Demuestre que 0< 1 x−

1

tanx <tan x

2.

(d) Calcule lim

x→0

1

x

1 tanx.

7. Analice si las siguientes funciones alcanzan o no sus valores m´aximos y m´ınimos. Cuando sea posible calcule dichos valores.

(a) h(x) = 1

senx en [

π

22].

(b) f(x) = 1

cosx en [0,

π

2[.

(c) g(x) = 1

sen2x+ 1 en [10π,10π].

8. Sea f(x) = 2 + 1

3 tanx con x∈]0, π[.

(a) Calcule f(π

2) ) y limxπ−f(x) .

(b) Justifique por qu´e la ecuaci´on f(x) = 0 tiene al menos una ra´ız en el intervalo ]0, π[.

(c) ¿ Es posible encontrar un intervalo contenido en ]0, π[ que contenga dicha ra´ız?

9. Sea f(x) = 1 + 2 tanx

(11)

(a) Calcule lim

x→0+f(x) , limxπ−f(x) y f(

3π

4 ) ) .

(b) Utilice la informaci´on obtenida en (a) para analizar la existencia y ubi-caci´on de las soluciones de la ecuaci´on f(x) = 0 .

10. Demuestre que existe x0 [0, π] tal que senx=x−1 .

11. Pruebe que existe x0 ]π2,32π[ tal que tanx=x.

7

Bibliograf´ıa

1. N. B. Haaser, J.P.Lasalle y J.A. Sullivan: An´alisis Matem´atico, Vol 1.Ed. Trillas, 1988.

2. H. S.Hall and S. R. Knight: Elementary Trigonometry, Macmillan and Co. Ltd. 1960.

3. H. S.Hall y S. R. Knight: Trigonometr´ıia Elemental, Editorial Hispano Americana, M´exico, 1961.

4. G.H.Hardy : A Course of Pure Mathematics . Cambridge University Press, 1960.

5. R´eunion de Professeurs : Exercices de trigonom´etrie. Ligel, Par´ıs, 1960.

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Referencias

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