C´alculo - Ingenier´ıa Civil
Gu´ıa de Ejercicios N
o
2
Departamento de Matem´atica y C.C. - Universidad de Santiago de
Chile
1
Continuidad de funciones algebraicas
1. Estudie los ejercicios resueltos de la secci´on 1.5.5 del texto gu´ıa .
2. Resuelva los problemas propuestos de la la secci´on 1.5.6 del texto gu´ıa.
3. En cada uno de los siguientes casos, analice la continuidad en cada punto del dominio de la funci´on.
(a)
f(x) =
x2−x−12
x2+ 2x−3 si x6= 3
1
2 si x= 3 (b)
g(x) =
(
9−t2 si t ≤2
3t+ 2 si t >2
(c)
h(x) =
u3+ 2u2−u−2
u3−3u2−u+ 3 si u6=−1
1
4 si u=−1
(d)
f(x) =
√
x+ 5−√5
x si x6= 0
√
5
2 si x= 0
(e)
g(t) =
q
2 +√3
t−2
t−8 si t 6= 8
1 si t = 8
4. En cada uno de los siguientes casos, determine los valores de las constantes A
(a)
f(x) =
x2 si x <−1
Ax+B si −1≤x <4
−2x+ 1 si x≥4
(b)
f(x) =
Ax+ 2B si x <−2 3Ax+B si −2≤x≤1 3x−2B si x >1
(c) Sea f la funci´on real definida por:
f(x) =
(
|x−[x]| si [x] es par
|x−[x+ 1]| si [x] es impar
Determine, mediante el gr´afico def, los puntos de discontinuidad de f. (d)
g(x) =
Ax−1 si x <−1
Ax2+B si −1≤x <1 A(x2 −1)
B(x+ 1) si x≥1
5. Sea f la funci´on definida por:
f(x) = lim
n→∞
2nx n2−nx.
Determine el dominio de f y analice su continuidad.
6. Sea f la funci´on definida por:
f(x) = lim
n→∞
µxn−1
xn+ 1
¶2 .
(a) Calcule f(0), f(1) , f(1
2), f(2).
(b) Determine el dominio de f. (c) Calcule lim
x→1f(x).
(d) Calcule lim
x→−1f(x).
(e) Determine los puntos del dominio en los cuales f es continua.
(f) ¿ Es posible definir f(−1) de modo que la funci´on resulte continua en
−1?
7. Sea f la funci´on definida por:
f(x) = lim
n→∞
xn
1 +xn.
(a) Calcule f(0), f(1) , f(1
2), f(2).
(c) Calcule lim
x→1f(x).
(d) Calcule lim
x→−1f(x).
(e) Determine los puntos del dominio en los cuales f es continua.
8. Dadas la funci´on g(x) =x−[x] y la sucesi´on an= 1−
1
n+ 1, calcule:
(a) g(an), nlim→∞g(an), g( limn→∞an).
(b) Use la caracterizaci´on de la continuidad mediante sucesiones para de-mostrar que g no es continua enx= 1.
(c) Generalice el procedimiento anterior para demostrar que gno es continua enx=k ,k entero.
9. Dada
f(x) =
(
x si x es racional 0 si x es irracional
(a) Demuestre que f no es continua enx= 1. Use la sucesi´onan = 1−
1
√
2n
y compare lim
n→∞f(an)y f( limn→∞an).
(b) Demuestre quef no es continua enx=e. Use la sucesi´onbn=
µ
1 + 1
n
¶n
y compare lim
n→∞f(bn)y f( limn→∞bn).
(c) Generalice ambos procedimientos para demostrar quef es continua sola-mente enx= 0.
2
Propiedades de las funciones continuas
1. Analice si las siguientes funciones alcanzan o no sus valores m´aximos y m´ınimos. Cuando sea posible calcule dichos valores.
(a) f(x) =x3, en [−2,3].
(b) f(x) =x3, en ]−2,3].
(c) f(x) =x3, en ]−2,3[.
(d) f(x) =x3, en ]− ∞,3].
(e) f(x) =x3, en [−2,+∞[.
(f) f(x) =x3, en IR.
(g) f(x) : [0,1]−→[0,1], continua y creciente.
(h) f(x) = x
1− |x|, en ]−1,1[.
(i) f(x) = 1
x−2, si x6= 2 y f(2) = 4 en IR.
(a) Demuestre que f(x) es estrictamente creciente. (b) Determine el recorrido de f(x).
(c) Deduzca la existencia de f−1.
(d) Analice la continuidad de f(x) y f−1.
(e) Grafique en un mismo diagrama f(x) y f−1.
(f) Encuentre la expresi´on que define f−1.
3. Dada f(x) =xn ; n par, x∈[0,+∞[ .
(a) Demuestre que f(x) es estrictamente creciente. (b) Determine el recorrido de f(x).
(c) Deduzca la existencia de f−1.
(d) Analice la continuidad de f(x) y f−1.
(e) Grafique en un mismo diagrama f(x) y f−1.
(f) Encuentre la expresi´on que define f−1.
4. Dada f(x) = x
1− |x| ; , x∈]−1,1[ .
(a) Analice la continuidad de f . (b) Calcule lim
x→−1+f(x) y xlim→1−f(x) .
(c) Deduzca, usando el Teorema del Valor Intermedio que el recorrido de f
es IR.
(d) Analice el signo de f.
5. Sea f : IR −→IR, continua tal que lim
x→−∞f(x) = limx→+∞f(x) = +∞.
(a) Diga por qu´e f no puede ser inyectiva.
(b) Diga por qu´e el recorrido de f no pueder ser IR . (c) Deduzca que f es acotada inferiormente.
(d) Deduzca que f alcanza su valor m´ınimo.
6. f(x) : [0,1]−→[0,1], continua.
(a) Escriba simb´olicamente el recorrido de f en t´erminos de su valor m´ınimo y su valor m´aximo.
(b) Pruebe que la funci´on g(x) = f(x)−x, con x ∈ [0,1], toma el valor cero para alg´un x0 ∈[0,1].
(c) Interprete geom´etricamente (b).
7. Demuestre que f(x) = x3−3x2+ 5x−4 tiene al menos un cero en el intervalo
[1,2] .
8. Demuestre que g(x) = x4 + 7x3 −9 tiene al menos dos ra´ıces reales. ¿ son
3
Las funciones trigonom´
etricas
1. Estudie todos los ejercicios resueltos de la secci´on 1.4.4 del texto gu´ıa.
2. Resuelva todos los problemas propuestos de la la secci´on 1.4.4 del texto gu´ıa.
(a) Si sen π 10 =
√
5−1
4 , calcule: (b) cos π
10, sen
π
5, sen
π
20.
(c) En el c´ırculo unitario , ubique los trazos : cos π 10, sen
π
10 y tan
π
10. 3. (a) Exprese senα en t´erminos de tanα.
(b) Si tanα = 3√3−4√2, calcule senα, cosα, cotα y sen 2α
4. Demuestre las siguientes identidades:
(a) 1−cos 2α+ sen 2α
1 + cos 2α+ sen 2α = tanα.
(b) sen 2A 1−cos 2A ·
1−cosA
cosA = tan
µA
2
¶
.
(c) sen
2(π
2 −α) secα
cosecαcotan (π
2 −α
) = cos2α.
(d) tan
µ
A+π 6
¶
tan
µ
A− π
6
¶
= 1−2 cos 2A 1 + 2 cos 2A.
(e) cosec2a−cotana cosacoseca−1 = 0.
(f) (tanϕ−cotanϕ) senϕcosϕ+ 2 cos 2ϕ= 1−2 cos2ϕ.
(g) arctanx+ arctany= arctan³1x−+xyy ´.
(h) arcsen 3
5 + arcsen 8
17+ arcsen 36 85 =
π
2.
5. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonom´etricas:
(a) tanx= 2senx.
(b) 2 cos 2a+ 2√2 = 3 sec 2a.
(c) 3 tanϕ+ cotanϕ= 5cosecϕ.
(d) sen2x+ 2senxcosx−2 cos2x=−1
2. (e) cotanx−tanx= senx+ cosx.
(f) 5sen2x−12senx+ 5 = 0.
(g) √1 + 2senx= 2−3senx.
(h) 3senx−√4sen2x−1 = 2.
(i) arcsenx+ arcsen (1−x) = arccosx.
6. Simplifique:
cosx−cos 5x
sen 5x−senx.
7. Resuelva la desigualdad:
(a) 0<sen 2x < 1
2.
(b) 2 cosx−5senx cosx >0.
8. Grafique las siguientes funciones:
(a) f(x) = |senx| (b) f(x) =|tanx|
(c) f(x) =
¯ ¯ ¯ ¯tan1x
¯ ¯ ¯
¯ (d) f(x) =
¯ ¯ ¯ ¯sen1x
¯ ¯ ¯ ¯
(e) f(x) = max{senx,0} (f) f(x) = max{−senx,0}
(g) f(x) = max{cosx,0} (h) f(x) = max{cosx,0}
(i) f(x) = √cosx (j) f(x) = √tan
9. Encuentre la amplitud, el per´ıodo y bosqueje el gr´afico de las siguientes fun-ciones:
(a) f(x) = 5sen 2πx (b) f(x) = 2sen x
2
(c) f(x) = 3sen πx
3 (d) f(x) = 0.5 cos 4x
10. Dada la funci´on
f(x) = (2
q
2 +√2) sin(3x) + (2
q
2−√2) cos(3x)
red´uzcala a la forma :
f(x) = Asin(ωx+ϕ) y encuentre los valores de A,ω y ϕcorrespondientes.
4
L´ımites de sucesiones de funciones trigonom´
etricas
1. Dada la sucesi´on de t´ermino general xn = sen (2n+ 1)
π
2, demuestre que lim
n→∞xn no existe.
2. Calcule lim
n→∞
1
(2n+ 1)πsen (2n+ 1) π
2 , acotando inferior y superiormente el t´ermino general de la sucesi´on.
3. Calcule lim
n→∞
n2sen (n!) n3+ 1 .
4. (a) Use el c´ırculo unitario para calcular geom´etricamente cosπ
2 y cos
π
4.
(b) Use las f´ormulas del ´angulo medio para calcular cosπ
8 y sinπ8.
(c) Calcule cos π
16.
(d) Apoy´andose en los c´alculos anteriores, deduzca inductivamente que:
cos
µπ
2n
¶
= 1 2
r
2 +
q
2 +√2 +. . ..
Es decir, si
x1 = 2 cos π
4 =
√
2, entonces
xn = 2 cos
π
2n+1 =
q
2 +xn−1 , n >1.
5. (a) Use el c´ırculo unitario para deducir que |sinx|<|x|.
(b) Use (5a) para deducir que, si (xn) es una sucesi´on tal que limn→∞xn = 0,
entonces la sucesi´onyn= sinxn converge a cero.
(c) Use (5b) para deducir que, si lim
n→∞xn = 0, entonces zn= cosxn converge
a uno.
(d) Use (c) y el ejercicio (4d) para calcular el l´ımite de la sucesi´on {un}
definida por recurrencia:
u1 = √
2, un+1 =
√
2 +un , n >1.
6. (a) Demuestre que la sucesi´on definida por xn = 1n es decreciente y acotada
inferiormente. Deduzca que existe lim
n→∞xn existe.
(b) Encuentre cotas superiores e inferiores para los valores de la sucesi´on
yn = cos(nπ).
(c) Calcule y1, y2, y3, y4 , . . . .. ¿ Qu´e puede decir sobre la existencia del
l´ımite de la sucesi´on (yn) ?.
(d) Calcule
lim
n→∞
1
5
L´ımites de funciones trigonom´
etricas
.
1. Calcule los siguientes l´ımites:
(a) lim
x→0
sen (3x) sen (2x) (x3−x)2
(b) lim
x→0
Ã
sen (2x)
x
!
(c) lim
x→0
Ã
sen2(x) x
!
(d) lim
x→0
Ã
tan2(x) xsen (x)
!
(e) lim
x→1
Ã
sen (x2−1) x−1
!
(f) lim
x→1
Ã
sen (x2−1 |x−1|
!
(g) lim
x→2
tan(πx)
x−2
(h) lim
x→π
Ã
1−sen (x
2) π−x
!
(i) lim
x→2
sen (πx) (x−2) cos(πx)
(j) lim
x→2
Ã
sen (π(2−x))
x2−4
!
(k) lim
x→0
Ã
1−cos2(x) xtan(x)
!
(l) lim
x→π3
Ã
1−2 cos(x)
π−3x
!
(m) lim
x→π
2
Ã
x
cot(x)−
π
2 cos(x)
!
2. Demuestre que lim
x→0sen
µ1
x
¶
no existe.
3. Demuestre que lim
x→0xsen
µ1
x
¶
= 0.
4. Demuestre que lim
x→0
Ã
x2sen (1
x)
sen (2x)
!
5. Demuestre que lim
x→0
Ã
sen (cx)
x
!
=c,∀c constante.
6. Demuestre que lim
x→π
2
f(x) no existe si f(x) =
sec(x)−tan(x) si x < π
2 π−2x
sen (x− π
2)
si x > π
2
item Determine bajo qu´e condiciones de a y b el lim
x→0f(x) existe si
f(x) =
(ax+b)2−b2 si x <0
cos(ax)−cos(bx)
x2 si x >0
6
Continuidad de funciones trigonom´
etricas
1. Calcule lim
x→0
Ã
f(x) =
√
2x+ 1−√x+ 1 sen 3x
!
y analice la posibilidad de definir
la funci´on f en el punto x0 = 0 de manera que ella sea continua en dicho
punto.
2. Dada la funci´on
f(x) =
(
xcosec (2x) si x6= 0
M si x= 0
Determine el valor de M de modo que la funci´onf sea continua en x0 = 0
3. Establezca las condiciones para que la funci´on G(x) pueda ser definida en todo el intervalo
·
−π
2;
π
2
¸
y adem´as resulte continua en todo punto de su dominio si
G(x) =
1 + senx−cosx
1−senx−cosx si − π
2 ≤x <0 2senx+ cosx si 0< x < π
4 1−senx+ cosx
sen 2x−cos 2x−1 si
π
4 < x≤
π
2
4. Determine el dominio de f. Analice la continuidad y existencia de as´ıntotas verticales y horizontales de f.
(a) f(x) =√senx.
(b) f(x) = √3 senx.
(c) f(x) = √ 1
senx.
(e) f(x) = 1 tanx+√3
(f) f(x) = 1 senx−cosx
(g) f(x) = 1 sen3³x
2
´ + 1
cos3³x
2
´
5. Demuestre que:
(a) 1−cos x= 2sen2³x
2
´
.
(b) xsenx= 2xsen ³x
2
´
cos³x
2
´
.
(c) lim
x→0
1−cos x
x2 =
1 2. (d) lim
x→0
xsenx
1−cos x = 2.
(e) lim
x→0
tanx
1−cos x = +∞.
6. (a) Deduzca usando el c´ırculo unitario que senx < x <tanx.
(b) Demuestre que 1−cosx
senx = tan
µx
2
¶
.
(c) Demuestre que 0< 1 x−
1
tanx <tan x
2.
(d) Calcule lim
x→0
1
x −
1 tanx.
7. Analice si las siguientes funciones alcanzan o no sus valores m´aximos y m´ınimos. Cuando sea posible calcule dichos valores.
(a) h(x) = 1
senx en [−
π
2,π2].
(b) f(x) = 1
cosx en [0,
π
2[.
(c) g(x) = 1
sen2x+ 1 en [−10π,10π].
8. Sea f(x) = 2 + 1
3 tanx con x∈]0, π[.
(a) Calcule f(π
2) ) y limx→π−f(x) .
(b) Justifique por qu´e la ecuaci´on f(x) = 0 tiene al menos una ra´ız en el intervalo ]0, π[.
(c) ¿ Es posible encontrar un intervalo contenido en ]0, π[ que contenga dicha ra´ız?
9. Sea f(x) = 1 + 2 tanx
(a) Calcule lim
x→0+f(x) , limx→π−f(x) y f(
3π
4 ) ) .
(b) Utilice la informaci´on obtenida en (a) para analizar la existencia y ubi-caci´on de las soluciones de la ecuaci´on f(x) = 0 .
10. Demuestre que existe x0 ∈[0, π] tal que senx=x−1 .
11. Pruebe que existe x0 ∈]π2,32π[ tal que tanx=x.
7
Bibliograf´ıa
1. N. B. Haaser, J.P.Lasalle y J.A. Sullivan: An´alisis Matem´atico, Vol 1.Ed. Trillas, 1988.
2. H. S.Hall and S. R. Knight: Elementary Trigonometry, Macmillan and Co. Ltd. 1960.
3. H. S.Hall y S. R. Knight: Trigonometr´ıia Elemental, Editorial Hispano Americana, M´exico, 1961.
4. G.H.Hardy : A Course of Pure Mathematics . Cambridge University Press, 1960.
5. R´eunion de Professeurs : Exercices de trigonom´etrie. Ligel, Par´ıs, 1960.
