C´alculo - Ingenier´ıa Civil
Gu´ıa de Ejercicios N
o
3
Departamento de Matem´atica y C.C. - Universidad de Santiago de Chile
1
C´
onicas
1. Estudie los ejercicios resueltos de la secci´on 2.3.3
2. Resuelva los ejercicios propuestos de la secci´on 2.3.4
3. Determine la ecuaci´on de la hip´erbola cuyas as´ıntotas son las rectas: 2y −5x−9 = 0, 2y−5x+ 1 = 0 y que pasa por el punto (1,2).
Respuesta: 25x2 −4y2 + 50x+ 16y−91 = 0.
4. Grafique el conjunto {(x, y)∈IR: 4x2−9y2 = 0}
5. Grafique el conjunto {(x, y)∈IR:x2−y2 =c}, donde ces una constante real.
6. Sea E el conjunto de puntos del plano cuya suma de las distancias a los puntos (3,−1) y (3,3) es igual a 6 unidades. Determine la ecuaci´on que satisfacen las coordenadas de los puntos del conjunto E, dondeces una constante real.
7. Encuentre las ecuaciones de las circunferencias cuyas ´areas valen 25π cada una , sus centros est´an sobre la recta y= 2x+ 1 y pasan por el punto (2,0).
Respuesta: (x−2)2+ (y−5)2 = 25 y (x+ 2)2+ (y+ 3)2 = 25.
8. Encuentre el v´ertice, el foco y la directriz de la par´abola: y2−6y−8x+ 25.
9. Encuentre la ecuaci´on de la par´abola cuya directriz es el eje X y su foco es (6,−2).
10. Demuestre que el gr´afico de la ecuaci´on
x2+ 2x+ 2y+ 12y=c:
(b) Es un ´unico punto si c=−19. (c) Es vac´ıo si c <−19.
11. Encuentre condiciones entre los n´umerosa ,b y cde modo que el gr´afico de la ecuaci´on:
2x2+ax−3y2+by =c,
(a) Sea una hip´erbola. (b) Sea un par de rectas.
2
Propiedades b´
asicas de la derivada
1. Estudie todos los ejercicos resueltos de la secci´on 2.3.
2. Resuelva todos los ejercicios propuestos de la secci´on 2.3.
3. Usando la definici´on, analice la existencia de la derivada de la funci´onfenx0en los siguientes
casos:
(a) f(x) =x3 , x 0 = 1.
(b) f(x) =√x , x0 = 1.
(c) f(x) =√x , x0 = 0.
(d) f(x) =|x| , x0 = 1.
(e) f(x) =|x| , x0 = 0.
(f) f(x) = 1
x−1 , x0 = 1.
4. Demuestre que, si una funci´on f es derivable en un punto x0, entonces ella es continua en
x0.
5. D´e dos ejemplos de funciones continuas en un puntox0, pero que no sean derivables en dicho
punto.
6. Demuestre que, si f es derivable en un punto x0, entonces existe una funci´on G tal que
G→0 cuando h→0 y que satisface la relaci´on:
f(x+h)−f(x)
h =f
0(x) +G(h),
8. Usando las notaciones ∆x = (x+h)−x =h y ∆y =f(x+ ∆x)−f(x) = ∆f, definiremos laraz´on de cambio promedio de la funci´onf =y cuandoxse incrementa en ∆x, como :
∆y ∆x =
f(x+ ∆x)−f(x) ∆x .
La cantidad ∆y
∆x indica el n´umero de unidades del incremento de la funci´on por unidad del
incremento del argumento.
(a) Encuentre la raz´on de cambio promedio de la funci´on y= 4x3−2x+2 cuandoxcambia
de 2 a 2,5.
(b) Calcule la raz´on de cambio promedio de la funci´onypara cualquier valor del incremento ∆x.
(c) Calcule lim
∆x→0
∆y ∆x.
9. Deduzca de la definici´on de derivada que si x est´a cerca de x0 (x→x0), entonces:
f(x)≈f0(x0)(x−x0) +f(x0).
Es decir, six est´a cerca de x0, la recta tangente al gr´afico def en (x0, f(x0)) puede ser una
buena aproximaci´on def. ¿ Cu´al es la utilidad de este tipo de aproximaci´on ?
10. Usando el ejercicio anterior, justifique las siguientes aproximaciones:
(a) 1
1 +x ≈1−x si x≈0. (b) (1 +x)n≈1 +nx six≈0.
(c) √1 +x≈1 + 1
2xsi x≈0. (d) senx≈x six≈0.
(e) arctanx≈x si x≈0.
11. En cada caso anterior analice si la aproximaci´on es mayor o menor que el valor exacto.( Para esto debe usar la segunda derivada.)
12. Calcularf0 en t´erminos de g0:
(a) f(x) =g(x+ 5). (b) f(x) =g(x2−4x+ 5).
(c) f(x) = (g(x+ 5))2.
(g) f(x) =g(5)·(x+ 5)·g(x).
(h) f(x) = g(x+ 5) x2 .
(i) f(x) =
s
g(x) +
r
x2+qx+g(x2).
13. En los siguientes ejercicios calcule las derivadas de las funciones que se indican y simplifique el resultado. En todos ellos a representa una constante fija.
(a) f(x) = 1 3
q
(a2+x2)3
(b) f(x) =³1
5x2− 152 a2 ´ q
(a2+x2)3
(c) f(x) =√a2+x2
(d) f(x) = 1 3
q
(a2+x2)3−a2√a2+x2
(e) f(x) = x a2q(a2 +x2)
(f) f(x) = 1 a4
"√
a2+x2
x +
x √
a2+x2 #
(g)
s
a−x a+x
(h) x
s
a−x a+x
14. Analice la aplicabilidad del Teorema de Rolle en cada uno de los sigientes casos. Si corre-sponde encontrar el punto o los puntos donde la derivada se anula.
(a) f(x) = 2x3−3x2+ 1 en el intervalo [−1
2,1]. (b) f(x) =x4−2x2 en el intervalo [−√2,√2].
(c) f(x) =|x−2| en el intervalo [−1,3]. (d) f(x) = √3 x−1 en el intervalo [0,2].
(e) f(x) =
(
xarctan1
x si x6= 0
3
Derivadas de funciones trigonom´
etricas
Derive las siguientes funciones y presente el resultado en la forma m´as simplificada posible.
1. f(x) = x 2 −
sen 2x
4 , f
0(x) = sen2x.
2. f(x) = x 2 +
sen 2x
4 , f
0(x) = cos2x.
3. f(x) = cosx
3 −cosx, f
0(x) = sen3x.
4. f(x) = senx−sen3x
3 , f0(x) = cos3x.
5. f(x) = 3x 8 −
sen 2x 4 +
sen 4x
32 , f0(x) = sen4x. 6. f(x) = 3x
8 +
sen 2x 4 +
sen 4x
32 , f0(x) = cos4x. 7. f(x) = x
2
4 −
xsen 2x 4 −
cos 2x
8 , f
0(x) =xsen2x.
8. f(x) = x
3 6 − Ã x2 4 − 1 8 !
sen 2x− xcos 2x 4 −
xcos 2x
4 , f
0(x) =x2sen2x.
9. f(x) = cosx+xsenx, f0(x) =xcosx.
10. f(x) = 2xcosx+ (x2−2)senx f0(x) =x2cosx.
11. f(x) = x
2
4 +
xsen 2x 4 −
cos 2x
8 , f
0(x) =xcos2x.
12. f(x) = sen (a−b)x 2(a−b) +
sen 8a+b)x
2(a+b) , a6=b. f
0(x) = cos(ax) cos(bx).
13. f(x) = √ 2
a2−b2 arctan
s
a−b a+btan
x 2
;a2 > b2. f0(x) = 1
a+bcosx. 14. f(x) = tanx−x, f0(x) = tan2x.
15. f(x) = xarcsinx+√1−x2, f0(x) = arcsinx.
16. f(x) = x(arcsinx)2 −2x+ 2√1−x2arcsinx, f0(x) = (arcsinx)2.
17. f(x) = −x 2
√
a2−x2+a2
2 arcsin x
a, f
0(x) = √ x2
a2−x2.
18. f(x) = √1
acarctan µ x r a c ¶
, a >0, c >0, f0(x) = 1
ax2+c.
19. f(x) = √x−3√6 x+ 3 arctan√6x, f0(x) = 3
√ x 2√x(1 +√3 x.
20. f(x) = x 2
√
a2−x2−a2
2 arccos x
a, f
0(x) =√a2−x2.
21. f(x) = −1 aarcsin
a
x, f
0(x) = 1
x√x2−a2.
Calcule la derivada de las siguientes funciones:
1. f(x) = cos(x+ 2x2 −x3)
3. f(x) = cos(x+x2)
4. f(x) = (cosx) + cosx2
5. f(x) = cos(sen (x+x2))
6. f(x) = cos(sen (sen (x+x2)))
7. f(x) = cos[x+ sen (x+x2)]
8. f(x) = sen
Ã
cos(x2+x+ 1)
senx
!
9. f(x) = 1
x+ cos(x+x2)
10. f(x) = cosx+ 1 cosx2+ cos2x
11. f(x) = qcos(senx)
12. Analice la aplicabilidad del Teorema del Valor Medio en cada uno de los sigientes casos. Si corresponde encontrar el punto o los puntos donde la derivada es paralela a la secante que pasa por los extremos del intervalo dado.
(a) f(x) =
(
−1
x2 cos1x si x6= 0
0 si x= 0 en el intervalo [−1,1].
(b) f(x) = cosx en el intervalo [0,π 2]. (c) f(x) = senx en el intervalo [0,π
2].
4
Derivadas de orden superior
1. Calcule d
2y
dx2 dexarcsenx+
√
1−x2.
Respuesta: √ 1 1−x2.
2. Calcule las tres primeras derivadas de x5senx.
3. Sea y = f(x) es una funci´on tres veces derivable , cuya funci´on inversa existe y se denota como x=g(y) . Calcule: g0(y), g00(y) yg000(y) en t´erminos def0(x) ,f00(x) f000(x).
4. Dada una funci´on f con derivadas de ordenn, se define el polinomio de Taylor def de grado n centrado en x0 como:
Pfn(x) =
kX=n
k=0
f(k)(x 0)
k! (x−x0)
Calcule los polinomios indicados en cada uno de los siguientes casos y encuentre una f´ormula para el t´ermino general del polinomio.
(a) n= 5, x0 = 0, f(x) = (1 +x)10.
(b) n= 10, x0 = 0, f(x) = (1 +x)10.
(c) n= 5, x0 = 0, f(x) = (1 +x)
1 10.
(d) n= 8, x0 = 0, f(x) = 1
1−x. (e) n= 10, x0 = 0, f(x) = cosx.
(f) n= 10, x0 = 0, f(x) = senx.
(g) n= 10, x0 = 0, f(x) = arctanx.
5
An´
alisis de curvas usando derivaci´
on impl´ıcita
1. Sea C una circunferencia de radio r y centro en el origen.
(a) Utilice derivaci´on impl´ıcita para obtener el valor de la pendientemC, en cualquier punto
P(x0, y0). ¿ Depende del radio este valor ?
(b) Sea C1 la semicircunferencia de C que est´a en el primer y segundo cuadrante y C2
la semicircunferencia de C que est´a en el tercer y cuarto cuadrante. Determine una expresi´on paraC1 y C2 colocando y como funci´on de x.
(c) Utilice el resultado anterior para encontrar el valor de mC(x0, y0), s´olo en terminos de
x0.
2. Dada la ecuaci´on de la curva llamada Hoja de Descartes:
y3−2xy+x3 = 0
(a) Verifique que el punto (1,1) pertenece a la curva definida por la ecuacion dada.
(b) Si x= 1, la ecuaci´on resultante es de tercer grado en y.Encuentre los tres valores de y correspondientes ax= 1, usando (a) y divisi´on de polinomios.
(c) Calcule la ecuaci´on de las rectas tangentes a la curva en cada uno de los puntos encon-trados en (b).
3. La curva llamada Rosa de cuatro p´etalos tiene por ecuaci´on:
(x2+y2)3−4a2x2y2 = 0
(a) Haciendo x= rcosα y y = rsenα , r >0, α ∈[0,2π]. Encuentre la ecuaci´on equivalente en funci´on de r α.
(c) Encuentre la recta tangente a la curva en cada uno de los puntos encontrados en el item anterior. Diga en qu´e regi´on del plano se ubica la curva.
(d) Analice la simetr´ıa de la curva con respecto a los ejes coodenados, al origen y a la recta y=x.
(e) Considerando la simetr´ıa estudiada, establezca la regi´on m´ınima donde se debe analizar la curva para obtener su gr´afico.
4. La ecuaci´on
(x2+y2−ax)2 =a2(x2+y2), a >0, representa una curva llamada Cardioide.
(a) Calcule todos los puntos de la curva cuya abscisa es x= 0.
(b) Calcule las rectas tangentes a la curva en los puntos obtenidos en (a). (c) Encuentre los puntos de la curva donde su tangente es horizontal.
(d) Haciendo el cambio de variable x=rcosα y y=rsenα , r >0, α∈ [0,2π], demuestre que la ecuaci´on se escribe como :
r =a(cosα+ 1).
(e) Deduzca en que regi´on del plano est´a ubicada la curva.
6
An´
alisis de curvas parametrizadas
1. Dada las ecuaciones param´etricas
(
x = 6 + 2t
y = 1−4t, t∈IR.
Deduzca , sin eliminar el par´ametro, que dicha curva es una recta. Caracterice tal recta.
2. Las ecuaciones param´etricas siguientes, en queaes una constante positiva yθ ∈IR, describen la curva llamada cicloide: (
x = a(θ−senθ) y = a(1−cosθ) Bosqueje su gr´afico en el plano XY:
(a) Determinando la regi´on del plano XY donde se encuentra la curva. (b) Analizando la periodicidad de x e y como funci´on de θ.
(e) Encontrando los valores de θ para los cuales la tangente a la curva es paralela a los ejes coordenados.
(f) Encontrando los valores de xey para los cuales la tangente a la curva es paralela a los ejes coordenados.
3. Bosqueje en el plano XY, las siguientes curvas:
(a) (
x = 5sent
y = 5 cost, t∈IR
(b) (
x = cost
y = sen 2t, t∈IR
(c) (
x = 5 cost
y = 2sent, t∈IR
(d) (
x = 1−2 cost
y = 2 + 3sent; t∈[0,2π]
(e) (
x = sent
y = 1−cos2t; t ∈[0,2π]
7
Aplicaciones de la derivada
1. Dada la funci´on y(x) =ax2+bx+c,
(a) Encuentre el punto (x0, y0) donde la recta tangente a la curva es paralela al eje X.
(b) Analice cuando el punto encontrado en (a) es un m´aximo o un m´ınimo. (c) Analice la concavidad de y(x).
(d) Use la traslaci´on de ejes:
x0 = x−x
0
y0 = y−y
0,
para Demostrar que la par´abolay0 =a(x0)2 corrsponde a la funci´on y(x).
(e) Usando (d), determine el foco, la directriz y el v´ertice de la par´abola y(x).
2. Dada la curva 16x2+ 25y2−400 = 0 :
(a) Determine las coordenadas de sus focos F1 y F2 y distancia focal.
(b) Determine el o los puntos P sobre la curva de manera que el tri´angulo F1P F2 tenga
´area m´axima.
(c) Deduzca que todos los tri´angulos F1P F2 , con P sobre la curva tienen el mismo
per´ımetro . Calcule dicho valor.
3. Sean : f : [a, b]7→IR, una funci´on positiva y continua y g(x) =qf(x).
(a) Deduzca que g alcanza sus valores m´aximo y m´ınimo.
(b) Demuestre que max
x∈[a,b]g(x) = r
max
x∈[a,b]f(x).
(c) Demuestre que min
x∈[a,b]g(x) = r
min
x∈[a,b]f(x).
Aplicaci´on: para optimizar una funci´on compuesta con una ra´ız basta optimizar la cantidad subradical.
4. Encuentre los puntos de m´aximo y m´ınimo de √x2+x+ 1, si es que existen.
5. Determine la distancia entre el punto (2,3) y la rectax−y= 2. La distancia entre un punto P0 y un conjunto C es el m´ınimo de todas las distancias entreP0 y Q, dondeQ varia entre
todas las posibilidades que da el conjunto C.
6. Generalice el problema (4), demostrando que la distancia de un punto P0 = (x0, y0) a la
recta ax+by+c= 0 est´a dada por:
|ax√0+by0+c|
a2+b2 .
Compare este m´etodo con la deducci´on de esta f´ormula sin usar derivadas. Ver el libro problema resuelto 3, secci´on 2.4.
7. Determine la ecuaci´on que satisfacen las coordenadas de los puntos del lugar geom´etrico de los puntos del plano cuya distancia al punto (2,3) es igual a la distancia a la rectax−y= 2. En virtud de la propiedad geom´trica Ud. puede saber la forma de la curva y graficarla. Explique por qu´e su ecuaci´on no es de forma can´onica vista en clases.
8. Un artista quiere pintar un cuadro que consiste en un rect´angulo rojo rodeado de un borde blanco. Si el rect´angulo rojo tiene ´area de 12 cm2 y el borde tiene 1 cm de ancho a cada
9. Se traza una l´ınea desde (3,0) a la curva dada por y = x2 , x ∈ [0,3], intersectando a la
curva en un punto Q. ¿ C´omo deber´ıa ser trazada de modo que el tri´angulo formado por el eje X, el trazo P Qy la vertical trazada desde Qtenga ´area m´axima?
10. (a) Dadasf(t) =Asenωtyg(t) = Bsen (ωt+ϕ),deduzca, usando las f´ormulas apropiadas, queh(t) = f(t)·g(t) tambi´en puede ser representada por una sinusoidal.
(b) En electricidad se tiene que siI [amperes] es la intensidad de la corriente de un circuito el´ectrico yE es la fuerza electromotriz [volts], entonces la potencia P [watts] es :
P =E·I
SiI(t) = 50sen200πtyE(t) = 150sen(200πt+0,559), tmedido en segundos; encuentre la forma sinusoidal para la potencia.
(c) Determine el per´ıodo, la frecuencia ( el n´umero de per´ıodos por segundo) y los instantes en que la potencia es m´axima.
11. (a) Un objeto circular va aumentando de tama˜no de manera cuando el radio es 6, la tasa de variaci´on del mismo es 4. Encuentre la tasa de variaci´on del ´area cuando el radio es 6.
(b) Suponga que el onjeto circular de (a) es la secci´on transversal de un objeto esf´erico. Encuentre la tasa de variaci´on del volumen cuando el radio es 6. ( Volumen de la esfera = 4
3πr3.)
(c) Suponga que la tasa de variaci´on del ´area de la secci´on transversal circular es 5 cuando el radio es 3. Encuentre la tasa de variaci´on del volumen cuando el radio es 3.
12. Demuestre que entre todos los puntos de una par´abola, el punto m´as cercano al foco es el v´ertice.
13. Si la poblaci´on de una ciudad crece a partir de 106 habitantes a una cantidad P(t) dada por
:
P(t) = 106+ 103t2, donde t se mide en a˜nos.
(a) Determine la rapidez con crece la poblaci´on. (b) Determine la poblaci´on despues de 10 a˜nos.
(c) ¿ Cu´al es la tasa de creciemiento cuando t= 10 a˜nos ?
14. La rigidez de una barra de secci´on transversal rectangular es proporcional al ancho y al cubo de la altura.
(b) Encuentre la relaci´on entre los lados de la secci´on transversal de la viga de m´axima rigidez dado un per´ımetro fijo.
Respuesta: (a) 2×3,464cm2.(b) altura= 3·ancho.
15. La intensidad de la corriente de un circuito var´ıa con respecto al tiempo, seg´u la ley:
I(t) = 3,16sen (2πωt−3,06).
(a) ¿ Con qu´e velocidad var´ıa la intensidad de la corriente cuando t = 0,017, si ω= 60? (b) ¿ En qu´e momentos la intensidad de la corriente es m´axima ?
16. De un tumor de forma apr´oximadamente esf´erica de radio r , se sabe que su radio crece a raz´on de 4
·mm
dias
¸
. Si en un cierto d´ıa, el radio es 1,5mm, ¿ cu´an r´apido crece el volumen del tumor tres d´ıas despu´es ?
8
Regla de L’H
o
ˆ
pital
1. lim
x→2
sinπx
x−2 , xlim→0
sinx x .
2. lim
x→0
x−sinx
x3 , xlim→0
sin2x x2 .
3. lim
x→0
x−arctanx
x−sinx , xlim→π
4 3
√
tanx−1 2 sin3x−1.
4. lim
x→0
sin2x tanx2.
Se recomienda volver a calcular los l´ımites de la parte 5 de la gu´ıa 2 usando la regla de L’Hˆopital, cuando se pueda aplicar esta regla.
9
An´
alisis de gr´
aficos de funciones
Para esta aplicaci´on de la derivada, es suficiente con que Ud. estudie los ejercicios del texto, p´aginas 219 - 406.
10
Bibliograf´ıa consultada
1. L. Bers: Calculus. Holt, Rinehart and Winston ,inc.
2. M. L. Bittinger: Calculus. Addison - Wealey.
4. R´eunion de Professeurs : Exercices de trigonom´etrie. Ligel, Par´ıs.
5. W. N Rose: Matem´atica para ingenieros. Editorial Labor.
6. M. Spivak : Calculus. Ed. Revert´e. S. A. Barcelona.