Departamento de Matem´atica y C.C. - Universidad de Santiago de Chile

Texto completo

(1)

C´alculo - Ingenier´ıa Civil

Gu´ıa de Ejercicios N

o

3

Departamento de Matem´atica y C.C. - Universidad de Santiago de Chile

1

onicas

1. Estudie los ejercicios resueltos de la secci´on 2.3.3

2. Resuelva los ejercicios propuestos de la secci´on 2.3.4

3. Determine la ecuaci´on de la hip´erbola cuyas as´ıntotas son las rectas: 2y 5x9 = 0, 2y5x+ 1 = 0 y que pasa por el punto (1,2).

Respuesta: 25x2 4y2 + 50x+ 16y91 = 0.

4. Grafique el conjunto {(x, y)∈IR: 4x29y2 = 0}

5. Grafique el conjunto {(x, y)∈IR:x2−y2 =c}, donde ces una constante real.

6. Sea E el conjunto de puntos del plano cuya suma de las distancias a los puntos (3,−1) y (3,3) es igual a 6 unidades. Determine la ecuaci´on que satisfacen las coordenadas de los puntos del conjunto E, dondeces una constante real.

7. Encuentre las ecuaciones de las circunferencias cuyas ´areas valen 25π cada una , sus centros est´an sobre la recta y= 2x+ 1 y pasan por el punto (2,0).

Respuesta: (x2)2+ (y5)2 = 25 y (x+ 2)2+ (y+ 3)2 = 25.

8. Encuentre el v´ertice, el foco y la directriz de la par´abola: y26y8x+ 25.

9. Encuentre la ecuaci´on de la par´abola cuya directriz es el eje X y su foco es (6,−2).

10. Demuestre que el gr´afico de la ecuaci´on

x2+ 2x+ 2y+ 12y=c:

(2)

(b) Es un ´unico punto si c=−19. (c) Es vac´ıo si c <−19.

11. Encuentre condiciones entre los n´umerosa ,b y cde modo que el gr´afico de la ecuaci´on:

2x2+ax3y2+by =c,

(a) Sea una hip´erbola. (b) Sea un par de rectas.

2

Propiedades b´

asicas de la derivada

1. Estudie todos los ejercicos resueltos de la secci´on 2.3.

2. Resuelva todos los ejercicios propuestos de la secci´on 2.3.

3. Usando la definici´on, analice la existencia de la derivada de la funci´onfenx0en los siguientes

casos:

(a) f(x) =x3 , x 0 = 1.

(b) f(x) =√x , x0 = 1.

(c) f(x) =√x , x0 = 0.

(d) f(x) =|x| , x0 = 1.

(e) f(x) =|x| , x0 = 0.

(f) f(x) = 1

x−1 , x0 = 1.

4. Demuestre que, si una funci´on f es derivable en un punto x0, entonces ella es continua en

x0.

5. D´e dos ejemplos de funciones continuas en un puntox0, pero que no sean derivables en dicho

punto.

6. Demuestre que, si f es derivable en un punto x0, entonces existe una funci´on G tal que

G→0 cuando h→0 y que satisface la relaci´on:

f(x+h)−f(x)

h =f

0(x) +G(h),

(3)

8. Usando las notaciones ∆x = (x+h)−x =h y ∆y =f(x+ ∆x)−f(x) = ∆f, definiremos laraz´on de cambio promedio de la funci´onf =y cuandoxse incrementa en ∆x, como :

∆y ∆x =

f(x+ ∆x)−f(x) ∆x .

La cantidad ∆y

x indica el n´umero de unidades del incremento de la funci´on por unidad del

incremento del argumento.

(a) Encuentre la raz´on de cambio promedio de la funci´on y= 4x32x+2 cuandoxcambia

de 2 a 2,5.

(b) Calcule la raz´on de cambio promedio de la funci´onypara cualquier valor del incremento ∆x.

(c) Calcule lim

x→0

∆y ∆x.

9. Deduzca de la definici´on de derivada que si x est´a cerca de x0 (x→x0), entonces:

f(x)≈f0(x0)(x−x0) +f(x0).

Es decir, six est´a cerca de x0, la recta tangente al gr´afico def en (x0, f(x0)) puede ser una

buena aproximaci´on def. ¿ Cu´al es la utilidad de este tipo de aproximaci´on ?

10. Usando el ejercicio anterior, justifique las siguientes aproximaciones:

(a) 1

1 +x 1−x si x≈0. (b) (1 +x)n1 +nx six0.

(c) 1 +x≈1 + 1

2xsi x≈0. (d) senx≈x six≈0.

(e) arctanx≈x si x≈0.

11. En cada caso anterior analice si la aproximaci´on es mayor o menor que el valor exacto.( Para esto debe usar la segunda derivada.)

12. Calcularf0 en t´erminos de g0:

(a) f(x) =g(x+ 5). (b) f(x) =g(x24x+ 5).

(c) f(x) = (g(x+ 5))2.

(4)

(g) f(x) =g(5)·(x+ 5)·g(x).

(h) f(x) = g(x+ 5) x2 .

(i) f(x) =

s

g(x) +

r

x2+qx+g(x2).

13. En los siguientes ejercicios calcule las derivadas de las funciones que se indican y simplifique el resultado. En todos ellos a representa una constante fija.

(a) f(x) = 1 3

q

(a2+x2)3

(b) f(x) =³1

5x2 152 a2 ´ q

(a2+x2)3

(c) f(x) =√a2+x2

(d) f(x) = 1 3

q

(a2+x2)3a2a2+x2

(e) f(x) = x a2q(a2 +x2)

(f) f(x) = 1 a4

"

a2+x2

x +

x

a2+x2 #

(g)

s

a−x a+x

(h) x

s

a−x a+x

14. Analice la aplicabilidad del Teorema de Rolle en cada uno de los sigientes casos. Si corre-sponde encontrar el punto o los puntos donde la derivada se anula.

(a) f(x) = 2x33x2+ 1 en el intervalo [−1

2,1]. (b) f(x) =x42x2 en el intervalo [−2,2].

(c) f(x) =|x−2| en el intervalo [−1,3]. (d) f(x) = 3 x1 en el intervalo [0,2].

(e) f(x) =

(

xarctan1

x si x6= 0

(5)

3

Derivadas de funciones trigonom´

etricas

Derive las siguientes funciones y presente el resultado en la forma m´as simplificada posible.

1. f(x) = x 2

sen 2x

4 , f

0(x) = sen2x.

2. f(x) = x 2 +

sen 2x

4 , f

0(x) = cos2x.

3. f(x) = cosx

3 cosx, f

0(x) = sen3x.

4. f(x) = senx−sen3x

3 , f0(x) = cos3x.

5. f(x) = 3x 8

sen 2x 4 +

sen 4x

32 , f0(x) = sen4x. 6. f(x) = 3x

8 +

sen 2x 4 +

sen 4x

32 , f0(x) = cos4x. 7. f(x) = x

2

4

xsen 2x 4

cos 2x

8 , f

0(x) =xsen2x.

8. f(x) = x

3 6 Ã x2 4 1 8 !

sen 2x xcos 2x 4

xcos 2x

4 , f

0(x) =x2sen2x.

9. f(x) = cosx+xsenx, f0(x) =xcosx.

10. f(x) = 2xcosx+ (x22)senx f0(x) =x2cosx.

11. f(x) = x

2

4 +

xsen 2x 4

cos 2x

8 , f

0(x) =xcos2x.

12. f(x) = sen (a−b)x 2(a−b) +

sen 8a+b)x

2(a+b) , a6=b. f

0(x) = cos(ax) cos(bx).

13. f(x) = 2

a2b2 arctan 

 s

a−b a+btan

x 2

;a2 > b2. f0(x) = 1

a+bcosx. 14. f(x) = tanx−x, f0(x) = tan2x.

15. f(x) = xarcsinx+1−x2, f0(x) = arcsinx.

16. f(x) = x(arcsinx)2 2x+ 21x2arcsinx, f0(x) = (arcsinx)2.

17. f(x) = −x 2

a2x2+a2

2 arcsin x

a, f

0(x) = x2

a2x2.

18. f(x) = 1

acarctan µ x r a c

, a >0, c >0, f0(x) = 1

ax2+c.

19. f(x) = √x−36 x+ 3 arctan6x, f0(x) = 3

x 2√x(1 +√3 x.

20. f(x) = x 2

a2x2a2

2 arccos x

a, f

0(x) =a2x2.

21. f(x) = 1 aarcsin

a

x, f

0(x) = 1

x√x2a2.

Calcule la derivada de las siguientes funciones:

1. f(x) = cos(x+ 2x2 x3)

(6)

3. f(x) = cos(x+x2)

4. f(x) = (cosx) + cosx2

5. f(x) = cos(sen (x+x2))

6. f(x) = cos(sen (sen (x+x2)))

7. f(x) = cos[x+ sen (x+x2)]

8. f(x) = sen

Ã

cos(x2+x+ 1)

senx

!

9. f(x) = 1

x+ cos(x+x2)

10. f(x) = cosx+ 1 cosx2+ cos2x

11. f(x) = qcos(senx)

12. Analice la aplicabilidad del Teorema del Valor Medio en cada uno de los sigientes casos. Si corresponde encontrar el punto o los puntos donde la derivada es paralela a la secante que pasa por los extremos del intervalo dado.

(a) f(x) =

(

1

x2 cos1x si x6= 0

0 si x= 0 en el intervalo [−1,1].

(b) f(x) = cosx en el intervalo [0,π 2]. (c) f(x) = senx en el intervalo [0,π

2].

4

Derivadas de orden superior

1. Calcule d

2y

dx2 dexarcsenx+

1−x2.

Respuesta: 1 1−x2.

2. Calcule las tres primeras derivadas de x5senx.

3. Sea y = f(x) es una funci´on tres veces derivable , cuya funci´on inversa existe y se denota como x=g(y) . Calcule: g0(y), g00(y) yg000(y) en t´erminos def0(x) ,f00(x) f000(x).

4. Dada una funci´on f con derivadas de ordenn, se define el polinomio de Taylor def de grado n centrado en x0 como:

Pfn(x) =

kX=n

k=0

f(k)(x 0)

k! (x−x0)

(7)

Calcule los polinomios indicados en cada uno de los siguientes casos y encuentre una f´ormula para el t´ermino general del polinomio.

(a) n= 5, x0 = 0, f(x) = (1 +x)10.

(b) n= 10, x0 = 0, f(x) = (1 +x)10.

(c) n= 5, x0 = 0, f(x) = (1 +x)

1 10.

(d) n= 8, x0 = 0, f(x) = 1

1−x. (e) n= 10, x0 = 0, f(x) = cosx.

(f) n= 10, x0 = 0, f(x) = senx.

(g) n= 10, x0 = 0, f(x) = arctanx.

5

An´

alisis de curvas usando derivaci´

on impl´ıcita

1. Sea C una circunferencia de radio r y centro en el origen.

(a) Utilice derivaci´on impl´ıcita para obtener el valor de la pendientemC, en cualquier punto

P(x0, y0). ¿ Depende del radio este valor ?

(b) Sea C1 la semicircunferencia de C que est´a en el primer y segundo cuadrante y C2

la semicircunferencia de C que est´a en el tercer y cuarto cuadrante. Determine una expresi´on paraC1 y C2 colocando y como funci´on de x.

(c) Utilice el resultado anterior para encontrar el valor de mC(x0, y0), s´olo en terminos de

x0.

2. Dada la ecuaci´on de la curva llamada Hoja de Descartes:

y32xy+x3 = 0

(a) Verifique que el punto (1,1) pertenece a la curva definida por la ecuacion dada.

(b) Si x= 1, la ecuaci´on resultante es de tercer grado en y.Encuentre los tres valores de y correspondientes ax= 1, usando (a) y divisi´on de polinomios.

(c) Calcule la ecuaci´on de las rectas tangentes a la curva en cada uno de los puntos encon-trados en (b).

3. La curva llamada Rosa de cuatro p´etalos tiene por ecuaci´on:

(x2+y2)34a2x2y2 = 0

(a) Haciendo x= rcosα y y = rsenα , r >0, α [0,2π]. Encuentre la ecuaci´on equivalente en funci´on de r α.

(8)

(c) Encuentre la recta tangente a la curva en cada uno de los puntos encontrados en el item anterior. Diga en qu´e regi´on del plano se ubica la curva.

(d) Analice la simetr´ıa de la curva con respecto a los ejes coodenados, al origen y a la recta y=x.

(e) Considerando la simetr´ıa estudiada, establezca la regi´on m´ınima donde se debe analizar la curva para obtener su gr´afico.

4. La ecuaci´on

(x2+y2−ax)2 =a2(x2+y2), a >0, representa una curva llamada Cardioide.

(a) Calcule todos los puntos de la curva cuya abscisa es x= 0.

(b) Calcule las rectas tangentes a la curva en los puntos obtenidos en (a). (c) Encuentre los puntos de la curva donde su tangente es horizontal.

(d) Haciendo el cambio de variable x=rcosα y y=rsenα , r >0, α∈ [0,2π], demuestre que la ecuaci´on se escribe como :

r =a(cosα+ 1).

(e) Deduzca en que regi´on del plano est´a ubicada la curva.

6

An´

alisis de curvas parametrizadas

1. Dada las ecuaciones param´etricas

(

x = 6 + 2t

y = 14t, t∈IR.

Deduzca , sin eliminar el par´ametro, que dicha curva es una recta. Caracterice tal recta.

2. Las ecuaciones param´etricas siguientes, en queaes una constante positiva yθ ∈IR, describen la curva llamada cicloide: (

x = a(θ−senθ) y = a(1−cosθ) Bosqueje su gr´afico en el plano XY:

(a) Determinando la regi´on del plano XY donde se encuentra la curva. (b) Analizando la periodicidad de x e y como funci´on de θ.

(9)

(e) Encontrando los valores de θ para los cuales la tangente a la curva es paralela a los ejes coordenados.

(f) Encontrando los valores de xey para los cuales la tangente a la curva es paralela a los ejes coordenados.

3. Bosqueje en el plano XY, las siguientes curvas:

(a) (

x = 5sent

y = 5 cost, t∈IR

(b) (

x = cost

y = sen 2t, t∈IR

(c) (

x = 5 cost

y = 2sent, t∈IR

(d) (

x = 12 cost

y = 2 + 3sent; t∈[0,2π]

(e) (

x = sent

y = 1cos2t; t [0,2π]

7

Aplicaciones de la derivada

1. Dada la funci´on y(x) =ax2+bx+c,

(a) Encuentre el punto (x0, y0) donde la recta tangente a la curva es paralela al eje X.

(b) Analice cuando el punto encontrado en (a) es un m´aximo o un m´ınimo. (c) Analice la concavidad de y(x).

(d) Use la traslaci´on de ejes:

x0 = xx

0

y0 = yy

0,

para Demostrar que la par´abolay0 =a(x0)2 corrsponde a la funci´on y(x).

(e) Usando (d), determine el foco, la directriz y el v´ertice de la par´abola y(x).

(10)

2. Dada la curva 16x2+ 25y2400 = 0 :

(a) Determine las coordenadas de sus focos F1 y F2 y distancia focal.

(b) Determine el o los puntos P sobre la curva de manera que el tri´angulo F1P F2 tenga

´area m´axima.

(c) Deduzca que todos los tri´angulos F1P F2 , con P sobre la curva tienen el mismo

per´ımetro . Calcule dicho valor.

3. Sean : f : [a, b]7→IR, una funci´on positiva y continua y g(x) =qf(x).

(a) Deduzca que g alcanza sus valores m´aximo y m´ınimo.

(b) Demuestre que max

x∈[a,b]g(x) = r

max

x∈[a,b]f(x).

(c) Demuestre que min

x∈[a,b]g(x) = r

min

x∈[a,b]f(x).

Aplicaci´on: para optimizar una funci´on compuesta con una ra´ız basta optimizar la cantidad subradical.

4. Encuentre los puntos de m´aximo y m´ınimo de √x2+x+ 1, si es que existen.

5. Determine la distancia entre el punto (2,3) y la rectax−y= 2. La distancia entre un punto P0 y un conjunto C es el m´ınimo de todas las distancias entreP0 y Q, dondeQ varia entre

todas las posibilidades que da el conjunto C.

6. Generalice el problema (4), demostrando que la distancia de un punto P0 = (x0, y0) a la

recta ax+by+c= 0 est´a dada por:

|ax0+by0+c|

a2+b2 .

Compare este m´etodo con la deducci´on de esta f´ormula sin usar derivadas. Ver el libro problema resuelto 3, secci´on 2.4.

7. Determine la ecuaci´on que satisfacen las coordenadas de los puntos del lugar geom´etrico de los puntos del plano cuya distancia al punto (2,3) es igual a la distancia a la rectax−y= 2. En virtud de la propiedad geom´trica Ud. puede saber la forma de la curva y graficarla. Explique por qu´e su ecuaci´on no es de forma can´onica vista en clases.

8. Un artista quiere pintar un cuadro que consiste en un rect´angulo rojo rodeado de un borde blanco. Si el rect´angulo rojo tiene ´area de 12 cm2 y el borde tiene 1 cm de ancho a cada

(11)

9. Se traza una l´ınea desde (3,0) a la curva dada por y = x2 , x [0,3], intersectando a la

curva en un punto Q. ¿ C´omo deber´ıa ser trazada de modo que el tri´angulo formado por el eje X, el trazo P Qy la vertical trazada desde Qtenga ´area m´axima?

10. (a) Dadasf(t) =Asenωtyg(t) = Bsen (ωt+ϕ),deduzca, usando las f´ormulas apropiadas, queh(t) = f(t)·g(t) tambi´en puede ser representada por una sinusoidal.

(b) En electricidad se tiene que siI [amperes] es la intensidad de la corriente de un circuito el´ectrico yE es la fuerza electromotriz [volts], entonces la potencia P [watts] es :

P =E·I

SiI(t) = 50sen200πtyE(t) = 150sen(200πt+0,559), tmedido en segundos; encuentre la forma sinusoidal para la potencia.

(c) Determine el per´ıodo, la frecuencia ( el n´umero de per´ıodos por segundo) y los instantes en que la potencia es m´axima.

11. (a) Un objeto circular va aumentando de tama˜no de manera cuando el radio es 6, la tasa de variaci´on del mismo es 4. Encuentre la tasa de variaci´on del ´area cuando el radio es 6.

(b) Suponga que el onjeto circular de (a) es la secci´on transversal de un objeto esf´erico. Encuentre la tasa de variaci´on del volumen cuando el radio es 6. ( Volumen de la esfera = 4

3πr3.)

(c) Suponga que la tasa de variaci´on del ´area de la secci´on transversal circular es 5 cuando el radio es 3. Encuentre la tasa de variaci´on del volumen cuando el radio es 3.

12. Demuestre que entre todos los puntos de una par´abola, el punto m´as cercano al foco es el v´ertice.

13. Si la poblaci´on de una ciudad crece a partir de 106 habitantes a una cantidad P(t) dada por

:

P(t) = 106+ 103t2, donde t se mide en a˜nos.

(a) Determine la rapidez con crece la poblaci´on. (b) Determine la poblaci´on despues de 10 a˜nos.

(c) ¿ Cu´al es la tasa de creciemiento cuando t= 10 a˜nos ?

14. La rigidez de una barra de secci´on transversal rectangular es proporcional al ancho y al cubo de la altura.

(12)

(b) Encuentre la relaci´on entre los lados de la secci´on transversal de la viga de m´axima rigidez dado un per´ımetro fijo.

Respuesta: (a) 2×3,464cm2.(b) altura= 3·ancho.

15. La intensidad de la corriente de un circuito var´ıa con respecto al tiempo, seg´u la ley:

I(t) = 3,16sen (2πωt3,06).

(a) ¿ Con qu´e velocidad var´ıa la intensidad de la corriente cuando t = 0,017, si ω= 60? (b) ¿ En qu´e momentos la intensidad de la corriente es m´axima ?

16. De un tumor de forma apr´oximadamente esf´erica de radio r , se sabe que su radio crece a raz´on de 4

·mm

dias

¸

. Si en un cierto d´ıa, el radio es 1,5mm, ¿ cu´an r´apido crece el volumen del tumor tres d´ıas despu´es ?

8

Regla de L’H

o

ˆ

pital

1. lim

x→2

sinπx

x−2 , xlim0

sinx x .

2. lim

x→0

x−sinx

x3 , xlim0

sin2x x2 .

3. lim

x→0

x−arctanx

x−sinx , xlim→π

4 3

tanx−1 2 sin3x1.

4. lim

x→0

sin2x tanx2.

Se recomienda volver a calcular los l´ımites de la parte 5 de la gu´ıa 2 usando la regla de L’Hˆopital, cuando se pueda aplicar esta regla.

9

An´

alisis de gr´

aficos de funciones

Para esta aplicaci´on de la derivada, es suficiente con que Ud. estudie los ejercicios del texto, p´aginas 219 - 406.

10

Bibliograf´ıa consultada

1. L. Bers: Calculus. Holt, Rinehart and Winston ,inc.

2. M. L. Bittinger: Calculus. Addison - Wealey.

(13)

4. R´eunion de Professeurs : Exercices de trigonom´etrie. Ligel, Par´ıs.

5. W. N Rose: Matem´atica para ingenieros. Editorial Labor.

6. M. Spivak : Calculus. Ed. Revert´e. S. A. Barcelona.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...