MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Funciones de Variable Compleja. Departamento de Matemáticas. Continuidad. Derivada.

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones de Variable Compleja Departamento de Matemáticas Función Ejercicios 1 Ejercicios 2 Gráficas De partes Mapeo Ejercicios 3 Flu´ıdos L´ımite Intro Definición Propiedades Ejercicios 4 Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6 Analiticidad Ejercicios 7

Matem´

aticas Avanzadas para Ingenier´ıa:

Funciones de Variable Compleja

Departamento de Matem´aticas

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Funci´on de variable compleja

Cuando el dominio de una función f es un conjunto de números complejos y cuando los valores que proporciona la función son también números complejos, diremos que f es una función de variable compleja o simplemente que f es una

función compleja. Como la función evaluada en un número complejo z = x + y i es un número complejo w = f (z), entonces w debe ser de la forma:

w = f (z) = f (x + y i ) = u(x , y ) + v (x , y ) i donde u(x , y ) es la parte real de w y v (x , y ) es la parte

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones de Variable Compleja Departamento de Matemáticas Función Ejercicios 1 Ejercicios 2 Gráficas De partes Mapeo Ejercicios 3 Flu´ıdos L´ımite Intro Definición Propiedades Ejercicios 4 Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6 Analiticidad Ejercicios 7 Ejercicios

Escriba las siguientes funciones en la forma: f (z) = f (x + y i ) = u(x , y ) + v (x , y ) i Es decir, determine la fórmula de la parte real u(x , y ) y la fórmula de la parte imaginaria v (x , y ) de la función f (z).

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones de Variable Compleja Departamento de Matemáticas Función Ejercicios 1 Ejercicios 2 Gráficas De partes Mapeo Ejercicios 3 Flu´ıdos L´ımite Intro Definición Propiedades Ejercicios 4 Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6 Analiticidad Ejercicios 7 Para f1(z) = 6z− 5 + 9 i : f1(z) = f1(x + y i) = 6 (x + y i) − 5 + 9 i = 6 x + 6 y i − 5 + 9 i = 6 x − 5 + 6 y i + 9 i = (6 x − 5) + (6 y + 9) i

Por lo tanto, para la funci´on f1(z) la parte real es la funci´on

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones de Variable Compleja Departamento de Matemáticas Función Ejercicios 1 Ejercicios 2 Gráficas De partes Mapeo Ejercicios 3 Flu´ıdos L´ımite Intro Definición Propiedades Ejercicios 4 Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6 Analiticidad Ejercicios 7 Para f2(z) = 7z− 9 iz− 3 + 2 i : f2(z) = f2(x + y i) = 7 (x + y i) − 9 i (x + y i) − 3 + 2 i = 7 (x + y i ) − 9 i (x − y i ) − 3 + 2 i = 7 x + 7 y i − 9 x i − 9 y − 3 + 2 i = 7 x − 9 y − 3 − 9 x i + 7 y i + 2 i = (7 x − 9 y − 3) + (−9 x + 7 y + 2) i Por lo tanto, para la función f2(z) la parte real es la función

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones de Variable Compleja Departamento de Matemáticas Función Ejercicios 1 Ejercicios 2 Gráficas De partes Mapeo Ejercicios 3 Flu´ıdos L´ımite Intro Definición Propiedades Ejercicios 4 Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6 Analiticidad Ejercicios 7 Para f3(z) =z2− 3z+ 4 i : f3(z) = f3(x + y i) = (x + y i)2− 3 (x + y i) + 4 i = x2− y2_{+ 2 x y i − 3 (x + y i) + 4 i} = x2− y2_{+ 2 x y i − 3 x − 3 y i + 4 i} = x2_{− y}2_{− 3 x + 2 x y i − 3 y i + 4 i} = x2− y2_{− 3 x + (}_{2 x y − 3 y + 4}_{) i} Por lo tanto, para la función f3(z) la parte real es la función

u(x , y ) = x2− y2_{− 3 x y la parte imaginaria es}

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Matemáticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones de Variable Compleja Departamento de Matemáticas Función Ejercicios 1 Ejercicios 2 Gráficas De partes Mapeo Ejercicios 3 Flu´ıdos L´ımite Intro Definición Propiedades Ejercicios 4 Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6 Analiticidad Ejercicios 7 Para f4(z) = 3z2+ 2z: f4(z) = f4(x + y i) = 3 x + y i2 + 2 (x + y i) = 3 (x − y i )2+ 2 (x + y i ) = 3 x2− y2_{− 2 x y i}_{+ 2 (x + y i)} = 3 x2− 3 y2_{− 6 x y i + 2 x + 2 y i} = 3 x2− 3 y2_{+ 2 x − 6 x y i + 2 y i} = 3 x2− 3 y2_{+ 2 x}_{+ (}_{−6 x y + 2 y}_{) i} Por lo tanto, para la función f4(z) la parte real es la función

u(x , y ) = 3 x2− 3 y2_{+ 2 x y la parte imaginaria es}

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Evalue la funci´on en los valores dados.

• f1(x + y i ) = 2 x − y2+ (x y3− 2 x2+ 1) i en:

z1 = 5 + 3 i , z2 = 2 − i y z3 = 2 i

• f2(x + y i ) = excos(y ) + exsen(y ) i en:

z3 = 3 + π i /3, z2 = −1 − π i y z3= π i /4

• f3(z) = 4 z + i z + Re(z) en:

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Note que ante la imposibilidad de graficar en R4 no es posible graficar una función de variable compleja. Hay varias opciones para representar gráficamente una función:

• Representar alguna de sus partes:

• La parte real: Re (f (z)) • La parte imaginaria: Im (f (z)) • Su m´odulo: | (f (z)) |

• Su argumento principal: Arg (f (z))

• Representar en el plano complejo la posici´on de sus ceros y de sus polos.

• Trazar en el plano complejo las curvas de nivel de la parte real e imaginaria de la funci´on.

• Representar c´omo transforma un rect´angulo.

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Parte real de f (z) Parte imaginaria de f (z)

Argumento de f (z) M´odulo de f (z)

Diagrama de Polos y Ceros

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Diagrama simplificado de polos y ceros (Posici´on y orden) 1

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Diagrama simplificado de polos y ceros (Posici´on y orden)

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1 1

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Diagrama de Polos y Ceros

1

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Transformaciones del plano complejo

Una representación alternativa consiste en graficar las imágenes de rectas en el plano complejo. Por ejemplo, para la función

w = f (z) = z2 = (x + y i )2 = (x2− y2) + 2 x y i

Aqu´ı u(x , y ) = x2− y2 _{y v (x , y ) = 2 x y . Ilustremos c´}_{omo se}

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Funci´on complejas como fluidos

Una función compleja w = f (z) se puede interpretar como un flujo de un flu´ıdo bidimensional considerando el número complejo f (z) como un vector basado en el punto z. A veces, será conveniente ilustrar el flujo con vectores normalizados. Por ejemplo, para la función w = f (z) = z2 generaremos el flujo graficando en cada punto z = (x , y ) el vector

(uesc, vesc) = _{2 |w |}1 (u, v ).

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Suponga que usted tiene una pequeña fábrica que genera un solo producto. Suponga también que este art´ıculo está basado en una sola materia prima. Suponga que la materia prima que le proveen sólo tiene un sólo parámetro medible digamos x . Por ejemplo, la densidad de un l´ıquido; la pureza de un compuesto qu´ımico; el grado de humedad de cal; el radio promedio de los pelets, etc. Suponga también que su producto que vende en diferentes cantidades tiene una sola medida, y . Por ejemplo, el grosor de la hoja de papel que usted produce. En la situaciones productivas es importante cumplir estándares. Por ejemplo, que el papel que usted produce tiene un cierto grosor con un valor nominal yo y que la variación de este valor es correcto

con un margen de error . Es decir, que su producto tendr´a un valor y que cumple |yo− y | ≤ . Es deseable que la cualidad y

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En general, a usted le imponen est´andares en su producto: Algo como que la caracter´ıstica de su producto, y , se acerque al valor pedido yo con un error m´aximo :

|y − y_o| ≤

Y usted a su vez solicitar´a a sus proveedores de materia prima que la caracter´ıstica medible de lo que le venden, x , cumpla ciertos est´andares: Algo parecido a que la materia prima tenga una caracter´ıstica x con valor xo con un margen de error δ. Es

decir,

|x − xo| ≤ δ

Lo que es deseable que pase en nuestro proceso es que: si la materia prima cumple nuestro est´andar de entrada entonces el producto que generamos cumpla el est´andar de salida:

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Nosotros sabemos que hay circunstancias donde los estándares van cambiando. En muchos casos se van ajustando. Es decir, que me van pidiendo tolerancias más pequeñas en el error de nuestro producto a su valor nominal. Diremos que

Nuestro proceso de generaci´on y = y (x ) tiene como l´ımite el valor yo para x = xo si no importa cuan

peque˜na sea la tolerancia que nos exija nuestro comprador al valor yo, existe una tolerancia δ que le

podemos transferir a nuestro proveedor de materia prima, para que tengamos la garant´ıa de que una materia prima con medida de calidad x que cumple este est´andar

|x − xo| ≤ δ

se transforme en un producto con medida de calidad y (x ) que cumple el est´andar pedido

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Definici´on de L´ımite de una Funci´on

Suponga que f (z) est´a definida en una vecindad de zo, excepto

posiblemente en el mismo zo. Entonces se dice que f (z) posee

como l´ımite L en zo, escrito como

lim

z→zo

f (z) = L

si para cada aproximaci´on a L existe distancia δ de cercan´ıa a zo de manera que todo valor de z1 que est´e a una distancia de

zo menor que δ tendr´a una evaluaci´on f (z1) que cuya

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Suponga que f (z) est´a definida en una vecindad de zo, excepto

posiblemente en el mismo zo. Entonces se dice que f (z) posee

como l´ımite L en zo, escrito como

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Propiedades del l´ımite de una funci´on

Suponga que las funciones f (z) y g (z) est´an definidas en una vecindad de zo y ambas poseen l´ımite en zo y que

lim z→zo f (z) = L1 y lim z→zo g (z) = L2 entonces:

• L´ımite de una suma es la suma de los l´ımites: lim

z→zo

(f (z) + g (z)) = L1+ L2

• L´ımite de una constante por una funci´on: lim

z→zo

(c · f (z)) = c · L1

• L´ımite de un producto es el producto de los l´ımites: lim

z→zo

(f (z) · g (z)) = L1· L2

• L´ımite de un cociente es el cociente de los l´ımites, cuando el denominador no tiene l´ımite cero:

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Entonces: cuando |z − zo| → 0, se tiene que |f (z) − L1| → 0 y

|g (z) − L2| → 0 , por tanto |(f (z) + g (z)) − (L1+ L2)| → 0.

Por tanto

lim

z→zo

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Entonces: cuando |z − zo| → 0, se tiene que |f (z) − L1| → 0;

por tanto |c · f (z) − c · L1| → 0. Por tanto,

lim

z→zo

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|g (z) − L₂| → 0 , por tanto |f (z) · g (z) − L₁· L₂| → 0. Por tanto

lim

z→zo

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Como (compru´ebelo!): f (z) g (z)− L1 L2 = 1 g (z)(f (z) − L1) − L1 L2g (z) · (g (z) − L₂) Por tanto 0 ≤ f (z) g (z)− L1 L2 ≤ 1 |g (z)||f (z) − L1|+ |L1| |L2| · |g (z)| ·|g (z) − L2|

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Determine cada uno de los l´ımites siguientes o argumente en su caso porqu´e no existe.

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Se dice quela funci´on f (z) es continua en el punto zo si:

lim

z→zo

f (z) = f (zo)

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Derivada de una función en un punto Supóngase que f (z) es una función de variable compleja definida en la vecindad de un punto zo. Laderivada de f (z) en

el punto z = zo es

f0(zo) = lim ∆z→0

f (zo + ∆z) − f (zo)

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Obtenga la f´ormula de la derivada de cada una de las siguientes funciones por medio de l´ımites.

• f (z) = z2

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Las reglas de derivaci´on de funciones complejas son las mismas que las usadas en el c´alculo en variables reales:

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Por f´ormulas, obtenga la derivada de las siguientes funciones.

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Determine en qu´e puntos no son derivables las siguientes funciones.

• f (z) = _{z−3 i}z

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En vista que las funciones son racionales (es decir,el cociente de dos polinomios en z, donde no aparece el conjugado de z, ni su parte real suelta ni la parte imaginaria) la clave est´a en ver d´onde el

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Supóngase que f (z) es una función de variable compleja definida en la vecindad de un punto zo. La función f (z) se dice

anal´ıtica en el punto zo si f (z) es derivable en z = zo y adem´as

lo es en todo punto de una vecindad de zo.

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• Argumente porqué la función f (z) = z no es derivable en ningún punto.