Ejercicios 2 Integrales, mas ejercicios

Relaci´

on 1. Funciones

Γ

y

β

1. Funci´on Gamma

Definimos la funci´on gamma Γ(p) como:

Γ(p) = ! _∞

0 t

(p−1)_e−t_{dt para p >0}

Demostrar que:

a) Γ(1) = 1

b) Integrando por partes, ver que Γ(p) = (p₋1)Γ(p₋1) parap > 1

c) Γ(n) = (n₋1)! _∀n_∈IN

d) Haciendo el cambiot =u2 _{comprobar que}

1) Γ(p) = 2 ! _∞

0 u

2p−1_e−u2

du

2) Γ(1 2) =

√

π

2. Funci´on Beta

Definimos la funci´on betaβ(p, q) como:

β(p, q) = ! 1

0 x

p−1_(1−x)(q−1)_{dx para p, q >0}

Demostrar que:

a) β(p, q) = β(q, p)

b) Integrar por partes para ver queβ(p, q) = q−1

p β(p+ 1, q−1) c) Haciendo el cambiox= sen2_{t comprobar que}

1) β(p, q) = 2 ! π

2

0 sen

2p−1_tcos2q−1_{t dt}

2) β(1₂,1₂) =π

d) Sabiendo queβ(p, q) = Γ(p)Γ(q)

Γ(p+q), calcular

1) Comprobar y calcular que ! π

2

0 sen

m_xdx=!

π

2

0 cos

m_xdx

2) Γ(1₂) (Utilizar que β(1₂,1₂) = π)

3) ! π

2

0 sen

Relaci´

on 2. Integrales de l´ınea

1. Calcular !

OA

"

xy4dx+x2y3dy# siendoO(0,0), A(1,1), a lo largo de los siguinetes caminos:

a) quebradas de dos lados, paralelos a los ejes: 1) con primer lado sobre el ejeX.

2) con primer lado sobre el ejeY.

b) rectaOA c) y3 _{= x}

d) ¿Existe funci´on potencial?.

2. Hallar !

C[y dx + z dy + x dz], siendo C la curva intersecci´on de

las superficies: x+y= 4; x2_+y2 _+z2 _{= 4(x+y).}

3. Dada la integral: !

C

"

(6xy3+ 5)dx + (ax2yb)dy + (6z2)dz#:

a) Hallar el valor de a y b para que el integrando admita funci´on potencial.

b) En ese caso, hallar la integral curvilinea entre los puntos (0,1,1) y (1,√2

2 , √

2

2 ) a lo largo de C.

4. Calcular el valor de a para que la integral: !

C

$

3x2+ 2y+ ex+y(cosx+ senx)%dx+$3y2+ 2x+ ex+y(senx+acosx)%dy

sea independiente del camino. Para dicho valor, calcular la integral entre los puntos (0,0) y (1,2) siguiendo el camino dado por y = 2x2_.

5. Calcular el potencial (si existe) de las siguientes formas diferenciales:

a) yexy dx + xexy dy

b) (x+z)dx − (y+z)dy + (x−y)dz

c) (2x

3_{+ 2xy}2_{+y)dx − (2x}2_{y+ 2y}3_+x)dy

Relaci´

on 3. Integrales de l´ınea

1. Sea la forma diferencial: $

ex+y _{+ cos(x−y)}% _{dx +} $_ex+y _{−acos(x−y) + 2}% _dy

a) Calcular a para que sea exacta. Hallar la funci´on potencial.

b) Calcular la integral curvil´ınea de la forma diferencial a lo largo de

1) cualquier curva que una los puntos (x1, y1) y (x2, y2).

2) la circunferenciax2_+y2 _{= 3 recorrida en sentido positivo.}

2. Calcular &

C

x dy − y dx

x2_+y2 dondeC es la curva

a) x2 _{+ y}2 _{= 4.}

b) (x₋2)2 + y

2

4 = 1.

3. Siendo A = (3x2 _{+ 6y,−14yz,20xz}2_{), hallar} !

CA dr donde C es una

trayectoria que va desde (0,0,0) hasta (1,1,1), en los siguientes casos:

a) la curvax=t; y2 _{=t; z}3 _=t.

b) la quebrada que une los puntos (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1).

c) la recta que une ambos puntos.

d) ¿EsA dr exacta?. ¿Por qu´e?.

4. Hallar el trabajo efectuado al mover una part´ıcula sobre la elipse de semiejes 4 y 3 situada en el planoz = 0, si el campo de fuerzas es:

F = (3x₋4y+ 2z,4x+ 2y₋3z2, xz+ 4y+z2)

5. Calcular la integral curvilinea I a lo largo del contorno cerrado en sentido positivo formado por una semicircunferencia de centro el origen y radio dos y su di´ametro sobre el ejeOX.

I = &

Relaci´

on 4. Integrales dobles

1. a) Poner los l´ımites de integraci´on a !!

Rf(x, y)dx dy siendoR :

1) Interior de la circunferencia: x2_+y2 _{= 4.}

2) Porci´on del plano limitada por:x2_+y2_{−ax−2ay+a}2 _{= 0.}

3) Regi´on comprendida por     

x2_+y2 _{= 16}

x2_+y2 _{= 9}

y_≥0 .

4) Recinto encerrado por (x2_+y2₎2 _=a2_(x2 _−y2_{), x≥0.}

5) Recinto encerrado por      x2

a2 +

y2

b2 = 1

x2_+y2 _=a2

y≥0 .

6) Region comprendida en: y=x2_{, x=y}2_.

b) Calcular el ´area de todos los recintos anteriores.

c) Calcular !!

Rf(x, y)dx dy en todos los recintos siendo:

(i) f(x, y) =x. (ii) f(x, y) = y. (iii) f(x, y) = xy.

2. Calcular !!

Rf(x, y)dx dy en los recintos encerrados por:

(i)     

x2_+y2 _{= 1}

x_≥0

y_≥0

(ii) +

x2_+y2 _{= 1}

y_≥0 siendo :

(i) f(x, y) = _x22₊xy_y2. (ii) f(x, y) =

x2_−y2

x2_+y2. (iii) f(x, y) = 2xy

(x2_+y2₎2.

(iv) f(x, y) = _x2xy₊3_y2. (v) f(x, y) = _x2₊x_y2. (vi) f(x, y) =

x3_y

x2_+y2.

3. Calcular el ´area limitada por las curvas:

a) x12 +y 1 2 =a

1

2; x+y =a.

b) (x2+y2)2 =a2(x2−y2), x2+y2 = a

2

2.

c) ρ=a(1 + cosω), ρ=acosω.

Relaci´

on 5. Integrales dobles y triples

1. Pasando a coordenadas polares calcular las integrales siguientes:

a) ! a

0

! √a2_−x2

0

,

a2_−y2_−x2_{dy dx}

b) ! _∞

0

! _∞

0 e

−(x2_+y2₎

dx dy

2. Calcular el volumen del elipsoide x

2

a2+

y2

b2+

z2

c2 = 1 por dos m´etodos

diferentes.

3. Calcular !!!

V(1 +x+y+z)

−3_{dx dy dz siendoV el recinto limitado}

por x+y+z = 1 y los planos coordenados.

4. Calcular !!!

V

xyz dx dy dz

√

x2_+y2_+z2 siendo V el recinto limitado por

x2_+y2_+z2 _=a2 _{en el primer octante.}

5. Calcular !!!

V

,

x2_+y2_{dx dy dz siendo V el recinto limitado por}

los planos z = 0, z = 1 y el interior del cono z2 _=x2_+y2_.

6. Calcular !!!

V x

2_yz3_{dx dy dz siendo V el recinto comprendido por}

y= 0, y2 _=x−x2_{, z = 0, z}2 _{= 4x.}

7. Calcular !!!

V xy

√

10−x2_{dxdy dz siendoV el recinto limitado por}

los planos x= 1, x= 3, y = 0, y = 2, z =₋1, z = 1.

8. Calcular los vol´umenes de los cuerpos limitados por las superficies:

a) x

a + y b +

z

c = 1, en el primer octante.

b) El cilindro x2_+y2 _{= 2by y el cono x}2_+y2 _=z2_.

Relaci´

on 6. Campos escalares y vectoriales

1. Demostrar las siguientes propiedades del operador ∇:

a) ∇(U V) = V ∇(U) + U∇(V)

b) ∇(U

V ) =

V _∇(U) ₋ U_∇(V)

V2

c) _{∇ ·} (F% _×G%) = G% _· (_{∇ ×}F%) ₋ F% _· (_{∇ ×}G%)

2. Calcular el rotacional y la divergencia del campo vectorial:

%

F(x, y, z) = exy%ı + cos(xy)% − cos(xz2)%k

3. Sea F% = y2_z2_{%ı + z}2_x2_{% + x}2_y2_{%k . Ver que F% no es irrotacional} 1_,

pero se tiene que F% _· rot(F%) = 0.

4. Sean f = x2_yz3_{, y F% = xz%ı − y}2_{% + 2x}2_{y %k. Calcular:}

∇(f), div(F%), rot(F%), div(f %F), rot(f %F).

5. Hallar un vector normal unitario a la superficie S de ecuaci´on: 2x2 _{+ 4yz−5z}2 _{=−10 en el punto P(3,−1,2).}

6. Sea f = 2x2_y−xz3 _{, calcular ∇(f)}

7. Sea %r = x%ı + y % + z %k y r =(%r(.

a) Comprobar que F% = r %r es un campo irrotacional.

b) Demostrar que _∇(_r!r3) = 0.

8. Determinar el punto del primer octante com´un a las superficies de ecua-ciones: z = xy, xyz = 1; y x2_+y2 _+z2 _{= 3, y calcular los ´angulos}

que forman estas superficies dos a dos en dicho punto.

Relaci´

on 7. Teorema de Green-Riemann

1. Calcular, por medio de una integral de l´ınea el ´area de:

a) la circunferencia: x2 + y2 = r2.

b) la elipse: x_a22 +

y2

b2 = 1.

c) el astroide: √3 x2 ₊ √3

y2 ₌ √3

a2

2. Calcular la integral I = !!

R

y

(x2_+y2₎2dx dy dondeRes el recinto

encerrado por x2_+y2_{−2x−2y+ 1 = 0.}

3. Calcular el volumen en el primer octante comprendidos entre los planos

z = 0 yz =x+y+ 2 e interior al cilindro: x2_+y2 _{= 16.}

4. Sea I =

&

Cx(x 2

−xy)dx + xy2dy siendo_C el contorno de la regi´on comprendida entre los c´ırculos x2 _+y2 _{= 4 y x}2 _+y2 _{= 16.}

Comprobar que se verifica el teorema de G-R.

5. Calcular I =-_C(x+y)2_{dx − (x}2_+y2_{)dy siendoC el contorno,}

recorri-do en sentirecorri-do positivo, del tri´angulo ₎OABdonde:O _≡ (0,0), A _≡ (1,0), B _≡ (0,1).

6. Calcular I = !

Cy

2_{dx + x dy siendo C:}

a) el cuadrado de v´ertices (0,0),(3,0),(3,3),(0,3)

b) la circunferencia de radio 5 centrada en el origen.

c) tiene la ecuaci´on vectorial%r= 7cos3_{t%ı + 7sen}3_{t %.}

7. Calcular el trabajo realizado por un punto material que se desplaza a lo largo de la mitad superior de la elipse de ecuaci´on x_a22 +

y2

b2 = 1

entre los puntos A ≡ (a,0) y B ≡ (−a,0) sujeto al campo de fuerzas

%

F = y%ı ₋ x%.

8. Calcular I =

!

C(e

x_{seny−my)dx + (e}x_{cosy−m)dy siendo}

Relaci´

on 8. Integrales de superficies

1. Calcular el ´area de:

a) la porci´on de cono: z2 _=x2_+y2 _{interior al cilindro}

x2_+y2_{−ax= 0 (z ≥0).}

b) la porci´on de superficie: z = xy_a interior a (x2_+y2₎2 _{= 2a}2_xy.

c) la porci´on de la esfera: x2_+y2_+z2 _{= 16 exterior al paraboloide:}

x2_+y2_{+z = 16.}

d) la porci´on de la esfera: x2 _+y2 _+z2 _{= r}2 _{interior al cilindro}

x2_+y2_{−rx = 0.}

e) el s´olido limitado por y2_+z2 _{= 4(x+ 9); y}2_+z2 _=−6(x−6)

2. Calcular la integral de superficie I = !!

Sz

2_{dx dy siendo}

S el elipsoide de semiejesa, b, c.

3. Calcular la integral de superficie I = !!

S(x

2 _+y2_{)dS siendo S la}

superficie del cono z2 _{= 3(x}2_+y2_{); 0≤z ≤3}

4. Comprobar el teorema de Stokes siendof%(x, y, z) = (y−z, z−x, x−y) y _C la elipse x2 _+y2 _{= 1; x+z = 1}

5. Calcular el flujo del rotacional del campo vectorialf%= (y, z, x) a trav´es de la superficiez = 2(1₋x2_−y2_{) intersectada por el plano z = 0}

6. Calcular el flujo del vector f%= (ax, by, cz), a, b, c_∈IR a trav´es de una superficie_S cerrada de volumen v.

7. Se corta la esfera x2 + y2 +z2 = 9 por el plano z = 2. La parte menor es un s´olido V limitado por una superficie _S0 constituida por

dos partes: una esf´erica (S1) y otra plana (S2). Si la normal interna es

(cosα,cosβ,cosγ).

Calcular la integral de superficie I = !!

S(xzcosα+yzcosβ+ cosγ) dS

a) En _S =_S1.

b) En _S =_S2.

Relaci´

on 9. Integrales de Superficie

1. Calcular, de dos formas distintas, el flujo de F% = 2x2_y%ı−y2_{%+ 4xz}2%k

sobre la superficie situada en el primer octante limitada por

y2_+z2 _{= 9, x= 0, x= 2, y = 0, z = 0. (Sol. 180)}

2. Calcular el ´area de la esfera: x2_+y2_+z2 _=a2_{. (Sol. 4πa}2₎

3. Calcular el ´area intersectada en el parabol´oide:

z = x₂2_a + ₂y2_b por el cilindro el´ıptico: x_a22 +

y2

b2 = 1.

(Sol. 2abπ₃ (2√2−1) )

4. Hallar el flujo del vector F% = (2x+ 3z,₋xz₋y, y2_{+ 2z) a trav´es de}

la esfera de centro (7,−1,4) y radio 7. (Sol. 1372π)

5. Calcular por dos m´etodos diferentes:

I = !!

S(y

2_{+x)dydz + (z}2_{+y)dxdz + (x}2_{+z)dxdysiendoS la cara}

exterior de la superficiez2 _=x2_+y2_{, con:}

a) 0≤z ≤1. (Sol. π)

b) 1≤z ≤3. (Sol. 26π)

6. Poner los l´ımites de integraci´on en: !!!

V f(x, y, z)dxdydz siendo V el

recinto comprendido entre x2_+y2 _=b2 _{y el plano}

x+y+z = 2b, con z _≥0.

7. Calcular el ´area de la porci´on de cilindro x2_+y2 _{=bx situado dentro}

de la esfera de centro el origen y radio b. (Sol. 4b2₎

8. Calcular la integral de superficie: !!

S(xcosα+ycosβ+zcosγ)dS

siendo_S la superficie limitada por x2_+y2 _{= 2az y el planoz = 2a:}

a) Utilizando integrales de superficies.

b) Aplicando alg´un teorema.