Tema: Funciones Vectoriales Practica Nº 1

Tema: Funciones Vectoriales Practica Nº 1

1. Hallar el dominio de las siguientes funciones vectoriales.

a) ( )_ (1 ) , ( 2), ( 4)_

 

Ln t Ln t

F t Ln t

t t

b) ( ) ( 1 , 1 , 3 )

(1 ) 1

G t t

Ln t t

 

 

c)F t( )( 3cost2 , 2sent2)

d)

2

2 2

1 2

( ) ( , )

1 1

t t

G t

t t

 

 

e) f t( )( 23tgt, 14sec )t

f) g t( ) (8sent 6 cos , 6t sent8cos )t

g)H t( )( cos t , sen t , 2 )

h)g t( ) ( cos ,t t t sent , )t

i) g t( ) (e sen t3t 5 , e3t cos 5 , 4e )t 3t

2. Encontrar las representación paramétrica de las siguientes curvas

a)x2 y2 9, z0

b)x2 y2 6x4y120, z0

c) 2

3 , 0

 

y x z

d) 2 2

9, 0

  

x y z

3. Defina una función del intervalo



2, 2



en 3 cuya imagen sea el triángulo de vértices



3, 2, 1 , 2, 0,1 ; 1, 2,1

 

 





4. Evaluar los siguientes límites

a)

2

2 3

0

1 cos ( )

lim , ,

( )



   

 

 

t

sent t t sent

t t t sen t Rpta:

1 2

(1 , , )

b)

3

0

1 1 1 8 7

lim ( , , )

(1 ) 6 5

t t t

t t

t

t e sent

t Ln t



    

 

c)

6 3

2 1

1 1 ( 1)

lim , , , 0 , 1

1

 



 _{  } 

 

 

 _ 

 

t

n t

t a sen t

a a

sen t t t .Rpta:

d) 3 ₄ 0

1

lim ( ) , , ,

4       _  _{ }   

a t b t a t b t

t

e e e e

t sen a b

t t senat senbt

e)













2 2 3 3 4 4

0

lim , ,

  _{     }        t

a t a a t a a t a

t t t . Rpta:

2 3

( 2 , 3a a , 4a )

f)

5 2 0

1 cos ( 2) 2 5 3

lim , ,

9 7         _    t t t t t

t Ln t Ln

t t

g) 0

(2 ) cos(2 ) (4 )

lim , ,

(3 ) cos(3 ) cos(5 )



 

 

 

x

sen t t sen t

sen t t t . Rpta:

2 3

( , 1 , 0)

h)

2 2 0

tan(

)

tan

(2 )

lim

,

,

2 sec

t

c

t sent

t sen

t

t

t

t

















5. Analizar la continuidad de las siguientes funciones

a)

2 3

( , , ) , 0

3 ( )

2

(1, , 3 ) , 0

3

arcsent sen t

t sen t t

t t F t t   _      _  

Rpta: F no es continua en t=0.

b)

2 4 1

, , 1

( ) 1

( 2 ,1) , 1

    _    _{ }  _  _  t t t

G t t

t

c)

2

( 5 5) ( 5 ) sec( )

5 - 25

10 , , 5

5 sen ( 5 )

( )

25 10

, , 5

      _{ }        _       _     _{  }    _{ }  t t sen t t

t

t

t t

H t

t

Rpta.- H es continua en t = 5.

6. Analizar la continuidad de la función en t = 1

2 2

t 1 t 1

, , t 1

F(t) t 1 t 1

( 2 , 0 ) , t 1

    _

 

_   _

 _



Rpta.- La función

es continua en t = 1

7. Analizar la continuidad en su dominio sen2t_sen3t , sen2t_sen4t , sen4t_sen5t , t 0 G(t)

2 1 4

, , , t 0

3 2 5

  _          _{  }  _{ } 

Rpta.- La función

8. Hallar la primera y segunda derivadas de las siguientes funciones, determinando su dominio:

a) F t( ) (et,1cos )t b) F t( )( cos ,a t b sent)

c) F t( ) (t e2 t,t Lnt, 7 )t d) ( ) ( 1, 2 , )

1 1

 

 

t t

F t t

t t

e) F t( ) ( 5sec , 6t tg t( )) f) ( ) ( 2 1) , 1 2 , ₂2 1

 

_   _



 

t

F t Ln t t

t

9. Encuentre el vector posición de un partícula en movimiento donde t es el tiempo. Encontrar el

vector velocidad aceleración y rapidez del movimiento

a) ( )t ( 5 ,t 4 , 2 )t t

b) ( )t ( 23cos 2 , 4t 3sen t2 )

c) ( )t 



cos

 

t2 ,sen t

 

2 , 2sen t3



d) ( )t (1t3, 2 , 2t3 t3)

10. Calcular la longitud de arco de las siguientes curvas:

a) :g t( )(e sent et , t cos ) , t t[0, ] . Rpta: L 2 e - 2

b) : ( )g t  (t 3sent, 2cos , 3t tsent), donde 0 t 4

c) Una partícula se mueve en el planoXY según la ecuación xe 2 tcos 3 t ,

2

3 t

ye sen t . Hallar la longitud de la trayectoria desde t0 hasta t

11. Determine las siguientes las integrales

a)



12



1

0 , ,



t

t t e dt b) 2





0 , cos ,





sent t tagt dt c) 1



2



0 , ,





e t t

te t e te dt

12. Encontrar la longitud de la parábola con ecuación y 4 x2 que está en la parte superior del

eje x. Rpta. Dom



 

x y, /y 4 x2,



2, 2





2 2





2

1

1 4 2 17 ln 17 4 2

    

Tema: Rectas y planos fundamentales, curvatura y torsión Práctica Nº 2

1. Determinar los vectores velocidad y aceleración del movimiento descrito por la curva dada por

el vector de posición r t

 





e et, t, ln t



en el punto correspondiente a t1 Calcular la curvatura de dicha curva en el punto dado.

2. Sea la curva intersección de la superficie z = xy con el cilindro parabólico y = x 2. Se pide:

a) Parametrizar la superficie

b) En el punto P de coordenadas (0; 0; 0), obtener el vector tangente, normal principal,

binormal, curvatura, torsión y la recta normal a la superficie en el punto P

3. Obtener el vector tangente, normal principal, binormal de la siguientes curvas

a)r t

 





etcos₂t e sen t, t ₂



b) r t

  

 10cos 2t,10cos 2t



4. Sea la curva 

 

t 



t t t, ,2 3



a)Determine los vectores T, N y B b)Determine las ecuaciones de los planos osculador,

normal y rectificante en t=1

5. Determine las ecuaciones de los planos osculador, normal y rectificante en t=0 de la curva

a)r t

 





et1,et1,t



b) r t

  

 tcos ,t tsent t,



c) r t

  

 t sent,1 cos , t t



6. Sea 

 

t el vector posición de una partícula que se desplaza sobre la esfera de centro en el

origen y radio r. Demostrar que el vector velocidad es perpendicular a 

 

t en cada instante .

Sug Derivar

   

2

.

 t  t r

7. Determinar los puntos en que la curva 

 

t 



t21,t21,3t



corta al plano

3x2y  z 7 0.Rpta. (3,5,6) y (0,2,3)

8. Una partícula de masa unidad se mueve en un plano mediante la ecuación r (t) =(x(t), y(t)); es

atraída hacia el origen por una aceleración igual a 4 veces su distancia al origen. En el instante t= 0, la posición inicial es r (0) = (4, 0) y el vector velocidad inicial es v (0) = (0, 6). Determinar las componentes x(t), y(t) en función de t, hallar la ecuación cartesiana de la trayectoria e indicar la dirección del movimiento sobre la curva.

9. Sea la curva

 

2 3

2 , ,

3 2

 _{ } _

 

t t

t t .Determine el centro d ela circunferencia de curvatura 

 

0 .

Rpta



_{0, 2 2, 0}



10. Sea la curva parametrizada 

 

  , 1 1,  _

 

t t

t t

t t a)Determine la torsión Rpta. t=0

b)Determine la ecuación del plano osculador en el punto t=1. Rpta. x-y+z+1=0

12. Determine los tres vectores y planos fundamentales a la curva  descrita por 2

( ) ( , cos , )

f t  t t sent , en t .

13. Si  es la curva descrita por la función 4 3

5 5

( )( cos ,1 ,  cos )

g t t sent t , hallar los

vectores ( )T t , N t( ) , ( )B t y la ecuación de los tres planos fundamentales en el punto

0( 0, 2, 0 )

P .

14. Determine un punto de la curva  descrita por la función G t( ) (t3 , 3 ,t t4 ), donde

el plano normal es paralelo al plano : 6x6y8z 1 0

15. Determine la ecuación de los tres planos fundamentales de la curva  descrita por la

función F t( ) ( 4 cost , 4sent, 2 )t en el punto P₀( 4 , 0, 2  )

16. Sea C la curva descrita por 3 3

( ) ( t, t, 3 2 ), [0, 2]

t e e t t

 _  _

. Hallar un punto de la

curva donde la recta tangente a C sea paralela al plano x y 2z1

17. Una partícula se mueve en el espacio partiendo en el instante t = 0 desde el punto

-2

(1, 0, 2e )

P . En cada instante t0 la velocidad de la partícula es

2( 1)

( ) ( 2, 2 , 4 t )

v t   t e  .¿En que instante el vector velocidad es paralelo al vector posición de la

partícula? ¿ Cruza la partícula al plano x y 0 en algún instante ?

18. Si  es la curva descrita por la función g t( )( e cos ,t t e sentt , t e2 t), hallar los vectores

T, N , B la ecuación del plano osculador, la curvatura y la torsión en t = 0.

19. Determine los planos: Normal, rectificante, osculador, curvatura y torsión de la curva

: ( ) ( 4cos , 4 , 2 )

 F t  t sent t en t

20. Dado : ( ) ( ,1 cos , 4 )

2

t

h t t sent t sen

    , calcular la Curvatura y Torsión de  en el

punto donde el plano normal es paralelo al plano z1.

21. Determine la ecuación de los planos fundamentales, la curvatura y torsión a la curva

( ) ( cos , , )

f t  t sent t , en el punto cuando t.

22. Determine la Torsión de la curva  que resulta de la intersección de las

superficiesx 2y 2z 2 6 ; zx 2y 2 en el punto P₀(1,1, 2).

23. Una curva descrita por la función vectorial g t( )( 2t sen t, ( ) 1, sen t( ) ) se corta con el plano XZ. Determinar el plano osculador en el punto de corte.

24. Sea C la curva descrita por la función vectorial

( ) ( , 1 cos , 4 ( / 2))

f t k tsent  t sen t con k constante positivo.

a) Calcular la longitud de arco de C, desde el punto k(( 2) / 2, 1, 2 2) hasta el punto

k

( , 2, 4)



Tema: Funciones de varias variables derivadas Practica Nº3 De primer orden

1. Hallar el dominio de las siguientes funciones y represéntelo gráficamente

a) z x y xy

b) z 4 y  4 x

c) _z ₇₂_9y2_4x2

d)

2 2

25 x z

x y



 

e) zarccos( x  y 4)

f) 2 2

( , ) 164 

f x y y x

g) f x y( , ) 4 x y

h) 2 2 2 2

1 (4 )

z x y  Ln x y

i) 1 2

2

  



x y

z

x y

j) f x y( , ) 4 x  y

k) f x y( , ) y  x

2. Es verdad que la ecuación y=mx son curvas de nivel de la función

2 2

( , ) , 0 

xy

f x y x

x y

3. Relacione cada mapa d curvas de nivel con las respectivas ecuaciones:

a)z  x2 y2 b) x  y z 0 c) z x  y d)  ₂24 ₂

 y z

x y

4. A continuación se muestran las curvas de nivel de circunferencias para 0 z 9y las

trazas de una superficie sobre los planos YZ y XZ. Realice un esbozo d la superficie ( , )



5. Considere las superficies para x0 cuyas ecuaciones son

2 2

1:  4,

S y z S₂: 3y2x6, S₃:x0

a) Grafique las superficies en un mismo sistema de coordenadas

b) Bosqueje la región R limitada por dichas superficies

c) Grafique la proyección de R sobre los planos coordenados

6. Sea R la región limitada por los planos z x; x1; z0y el cilindro parabólico

2 

y x.

a) Bosqueje la región R

b) Grafique la proyección de R sobre el plano XY

7. Sea R la región limitada por los planos y4; y  x2; z 0y z 4 y.

c) Bosqueje la región R

d) Grafique la proyección de R sobre el plano XY

8. Calcular los siguientes límites ( si existen)

a)

3 3

2 2 ( , ) (2,1)

2 8

lim

4 x y

xy x y

x y   _{  }         b) 2 2 2 2

( , ) (0, 0)

( )

lim

x y

sen x y

x y      _    c)

( , ) (2, 1)

( 2)

lim ( )

arctan(3 6) x y arcsen xy xy  

 d) _{( , ) (0,0)} 2 2

1 1 1

lim ( )

1 1

x y  _{xy xy xy x y}

 



 _{  } 

 

9. Analizar la existencia de los siguientes límites:

a)

2

2 2

( , )x ylim(0, 0)( )

x

x y

 

b)

2 2

2 2 2

( , ) x ylim (0, 0)( _{( )} ) x y

x y x y

  

c)

3

2

2 4

( , )x ylim(0, 0)

x y x x y      _    d)

( , ) (0, 0) 4 lim 4 x y xy x y     _    e) 2 2 2

( , ) (1,2) 5 lim   x y x y x y f) 2 2

( , ) lim (1, 1)   x y x y x y g) 2 2 2 2 2

( , ) lim (0, 0)

    _    x y x y x y h)

( , ) lim (0, 0)

  

x y

10. Para las siguientes funciones, probar que el valor de





( , ) x ylim (0, 0) f x y,

para acercarse a



0, 0



a)









2 4

2

2 4 2

, 

 

x y f x y

x y x y

Rpta.1 b)





3

2 6

, 



xy f x y

x y Rpta. 1/2

11. Consideremos

2 2

( , ) lim (0, 0) 

x y

x y

xy

. Se pide:

a) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de cualquier recta ymx. Rpta

2 1m

m

b) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de la parábola _ 2

y x . Rpta 

c) ¿Existe el límite? Justifica la respuesta. Rpta. Los resultados anteriores indican que el

valor depende del camino de acercamiento al (0,0) y como el límite para existir ha de ser único, la conclusión es que el límite no existe.

12. Demostrar aplicando la definición de límite que



1



( , ) x ylim (0, 0) ycosx 0

Rpta.

2 2

1 1

cos_x 0 cos_x      3

y y y x y

13. ¿Existe el





4 2

2 ( , ) x ylim (0, 0) 4 2  2

x y

x y y x

? Caso afirmativo, calcularlo. Rpta. Límite a lo largo de

la parábola  2

y x es 1, luego, no existe el límite estudiado ya que depende del camino.

14. Determinar si las siguientes funciones son continuas en el origen

a)

4 2 2 3

2 2 2

3 2

, (x,y) (0,0) ( , ) ( )

0 , (x,y) (0,0)

x x y xy

H x y x y

   _



 

 _



Rpta: Discontinua en (0,0)

b)

2 2

2 2 , (x,y) (0,0)

( , ) ( ) ( )

0 (x,y) (0,0) x y

G x y xy x y

       _  c) 8 2

16 4 , ( , ) (0, 0) ( , )

0 , ( , ) (0, 0)

x y

x y

f x y x y

x y       _ 

. Rpta: No es continua en (0,0)

e)

3

2

2 4 , ( , ) (0, 0)

( , )

0 , ( , ) (0, 0) x y

x x y

T x y x y

x y        _ 

f) _{( , , )} 3 3 ( , , ) (0, 0, 0)

1/3 (x, y, z) = (0, 0, 0)

x z y z

x y

e e

x y z

g x y z _{e e}

    _   _{ }   15. Sea





2 2 2

4 4

2 , ( , ) (0, 0) ( , )

k , ( , ) (0, 0)

 

  

  

 _



x y y x

x y

f x y _{x y}

x y

a) Hallar, si existe,





( , ) x ylim (0, 0) f x y,

. Rpta Sug utilice coordenadas

polares





( , ) x ylim (0, 0) f x y, 2

16. Sea

3 5

2 4 , ( , ) (0, 0)

( , )

0 , si ( , ) (0, 0)

  _     _  x y

si x y

f x y x y

x y

estudiar la continuidad. Rpta. Utilizar

definición









( , ) x ylim (0, 0) f x y,  f 0, 0 0

continua en todo los reales

17. Calcule las derivadas parciales de primer orden de las funciones siguientes:

a) f



x y,



2xy33yx39

b)





3



2 3



,  tan 

f x y exy y x

c)

 





 

3

, 13 5 cos

f x t t x tx

d)

 

3 2



3 2



6

,  2 9  9

f x t x y y x x y

e)



,



 y2 4 3 2

f x y e y x

f) f



x y,



arctan 12



x2y3



2yx3 9x2

g) f



x y,



 x2 y4 ln



y2 x



h) f



x y,



2zy33y2cos 2



x3 9



i) f



x y z, ,



xyzex y z 

18. Si z  xyarctan

 

y_x , demuestre que _z _z 

x y

zx zy xy.

19. Si z 



x y2 1



5 , demuestre que. _z 2 _z

x y

x y

20. Sea la función𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 (1 − 𝑥𝑦) + 𝑦2𝑥 (1 + 𝑦𝑥) , calcule x__xf  y_f_y 0

21. Sea la función



, ,





 

y x

f x y z e sen yx , verifique que se cumple x_f_x y_f_y 0

22. Sea la función𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦)(𝑦 − 𝑧)(𝑧 − 𝑥) , verifique que _xf  _f_y_f_z 0

23. Sea la función 2 2 2

( , , )  

f x y z x y z , verifique que x_xf y_f_yz_f_z  f

24. Sea la función f x y( , ) ln

 

xy arcsen

 

y_x verifique que   1

   

f f

x y f

x y 𝑥

25. Sea la función f definida por

2 4 ( , )



 _n rt

f r t t e . Determine el valor de la constante 𝑛 para

que𝑓 satisfaga la siguiente ecuación

 

2 4 1 3 2 1 2    _{ }         r t n f

t r e

t r t

26. En una fábrica la producción P está relacionada con la cantidad de los insumos x e y por

la relación P2x2 3x y2  y3. Determine la razón de cambio de la producción respecto

de cada uno de los insumos cuando los niveles de estos son de e . Además de una interpretación

a su resultado. x20 e y10. Además de una interpretación a su resultado

27. Dada las siguientes funciones

a)

2 2

2 2

8 ( )

, (x,y) (0 , 0 )

( , ) +

0 , (x,y) (0 , 0 )

xy x y

G x y x y

  _

  

 _



b) 2 _{( ) -} 2_arctg( x _{) , (x,y) (0 , 0 )}

y ( , )

0 , (x,y) (0 , 0 )

y

x arctg y

x H x y

 _

  

 _



Tema: Regla de la cadena , diferencial toral y razón de cambio Práctica Nº4

1. En cada caso halle 

 u

t

a) uxy x, 2sen t

 

, ycos

 

t

b) ucos



xy



, xt2, y1 c)uln ,y_x xcos ,t ysent

d)uxycos ,z x t y, t sent z2 , arccost e)uxyxz x, t1, yt2,zt

2. En cada caso determine 

 u s y

  u

t

a) u y3 3x y x2 , es, yet

b) ux3y2, xscos ,t yssen t

 

c) usen



2x3y



, x s t y,  s t

d) 2 2 2

, 3 , 2 , 2

        

u x y z x s t y s t z s t

3. Sea g x y



,



xyf u

 

una función diferenciable en (2 ; 1) , donde u xy

xy . Calcule

 

3 2 '

f sabiendo que 4

 

2,1 

 

2,1  20

 

g g

x y y g

 

2,1 8.

4. Sean 𝑓: ℝ → ℝ y 𝑔: ℝ → ℝ dos funciones derivables en todo . Se define la función

 

2

 

2

 

,  

z x y x yf u xy g v con u x

y y  y v

x

a) Determine las expresiones para  ;

 

z z

x y

b) Calcule el valor de   

 

z z

x y en el punto (−1; 1) si 𝑓′(−1) = 𝑔′(−1) = 4.

5. Sean

1

 



x y

u

xy donde xtans; ytant halle las siguientes derivadas ;

 

 

u u

s t . Luego

evalúe las funciones resultantes en s t ₄

6. La temperatura en un punto (𝑥, 𝑦) de una región del plano 𝑋𝑌 es 𝑇(𝑥, 𝑦), medida en grados

Celcius. Una hormiga se desplaza de modo que su posición después de 𝑡 segundos está dada

por x 102t3 ;

2 2

3

 t

y t , donde 𝑥 e 𝑦 se miden en centímetros. La función de

temperatura satisface 𝑇𝑥 (8; 9) = 10 y 𝑇𝑦 (8; 9) = 7.

a) Modele la expresión que describa la rapidez de cambio de la temperatura después de 3 segundos.

b) Determine la rapidez con la que está subiendo la temperatura en la trayectoria de la hormiga

después de 3 segundos.

7. La producción de trigo 𝑊, en un año dado, depende del promedio de temperatura 𝑇 y la

cantidad de lluvia anual 𝑅. Los expertos estiman que el promedio de temperatura está subiendo

a razón de 0,15°C/año y la lluvia está decreciendo a razón de 0,1 cm/año. También se

estima que, a los niveles actuales de producción   2, 25

 w

T y 8, 5

 _ 

w

R . Estime la razón

8. Una caja rectangular cambia su tamaño tal que su longitud crece a razón de 3cm/s, su ancho decrece a razón de 2cm/s y su altura a razón de 1cm/s. ¿Cuál es la rapidez de variación del volumen de la caja en el instante que su longitud es de 15cm, ancho de 10cm y altura de 8cm? 9. El radio de una circunferencia disminuye a razón de 2cm/s y la altura de un triángulo

isósceles inscrito en tal circunferencia disminuye a razón de 1cm/s. Halle la rapidez con la

que varía el área del triángulo isósceles inscrito en el instante que el radio de la circunferencia

es de 40cm y la altura del triángulo de 75cm.

Razón de cambio

10. Un cilindro circular recto tiene 4 cm de radio y 20 cm de altura. Determine la razón de cambio del volumen del cilindro respecto del radio y respecto de la altura.

11. Una medida de cómo siente una persona el calor lo da el índice de temperatura aparente, que

admite como modelo 𝐴(𝑕, 𝑡) = 0,885𝑡 − 22,4𝑕 + 1,20𝑡𝑕 − 0,544 donde 𝐴 es la temperatura

aparente en grados centígrados, t es la temperatura del aire y h la humedad relativa en forma

decimal. Cuando la temperatura del aire es de 37oC y la humedad relativa de 80%,

a) Determine e intérprete 

 A h y

 

A t

b) ¿Qué influye más sobre, la temperatura del aire o la humedad relativa? Justifique su respuesta.

12. Una empresa produce dos modelos de un mismo producto. El costo de producción de x

unidades del primero e y unidades del segundo viene dado por

( , )32 175 205 1050

C x y xy x y . Calcule los costos marginales 

 C

x y 

 C

y

cuando se producen 80 unidades del primer modelo y 20 unidades del segundo.

13. La temperatura del casco de la nave, cuando él está en la posición (𝑥, 𝑦, 𝑧) viene dada por





2 ₂ 2 ₃ 2

, ,  x  y  z

T x y z e donde 𝑥, 𝑦 y 𝑧 vienen dados en metros. Si actualmente está en el punto (1; 1; 1), determine la razón de cambio de la temperatura respecto de 𝑥, 𝑦 y 𝑧.

14. Se tiene una esfera de radio R en la cual se inscribe un cono recto cuyo radio de la base es r

Tema: Derivada direccional y gradiente Práctica Nº5

1. Para las siguientes funciones, calcule la dirección de máximo crecimiento de 𝑓(𝑥, 𝑦) en el punto

𝑃, la derivada direccional de 𝑓 en 𝑃 y en la dirección del vector 𝑣 , y la tasa de crecimiento de 𝑓 (el valor máximo de D f P_u

 

)

a)





2 2

4 ,

8

 



x y

f x y

y en 𝑃(5; 2), 𝑣 (−3; 6).

b)





2 2

, 

 x f x y

x y

, en 𝑃(−4; 3), 𝑣 (−2; 2).

c) f



x y,



 xarctan

 

_xy en 𝑃(6; −2), 𝑣 = −3𝑖 + 2𝑗 .

d) f



x y,



 x2 xey2, en 𝑃(−1; 0) , 𝑣 forma un ángulo de 3



rad con el eje 𝑋.

e) 𝑓(𝑥, 𝑦 f



x y,



 x2 y2ln



x y



en 𝑃(𝑒; 2𝑒), 𝑣 forma un ángulo de2

3



rad con el eje 𝑋.

2. Encontrar el gradiente de las siguientes funciones:

a) F x y z( , , ) x 2 y 2 z 2 b)G x y z( , , ) x y e 2 xz

c) 2 2 2

( , , ) + +

H x y z  x y y z xz d) T x y z( , , )xzLn x (  y z )

3. Hallar la derivada direccional de la función f x y z( , , ) x y3 3 x z3 3 x z2 4 en el

punto P₀(1,1, 0) y en la dirección del vector v 2i 3j4k. Rpta:

(1,1, 0)2103 / 755

u

D f

4. Si H x( y x, y)xy y 2. Calcular H(4, 2)

5. Si 2

( , 2 )

T xy y x , determinar el valor de T(1, 4)

6. Calcular la derivada direccional de la función H x y z( , , )x 2 + xyy z+ 2,en el

punto P₀( 1 , 2 , 1) y en la dirección de un vector ortogonal a la superficie

2 2

: 2 3 1 0

S x  y   z ,en el punto P₁( 2 , 1 , 6).

7. Hallar la derivada direccional de la función f x y z( , , ) x y z2 2 en el punto P(1,-1,2) en la dirección del vector c  a b donde a (1, 1, 3) y b (2,1, 1) . Rpta: 33 / 62.

8. Sea 2

:

f  definida en (3, 4) tiene las derivadas direccionales: 3 en la dirección al punto (4, 4); 1 en la dirección al punto (3, 2). Determinar f(3, 4)

9. Sea ( , ) ( 2 2 1) 0 2 ₂

1 x

t

f x y Ln x y dt

t

   





. Determinar la derivada direccional de f

en (1,1)

10. Una función u está definida por una ecuación de la forma uxyf

 

x y_xy dado que u

satisface una ecuación en derivadas parciales de la forma 2 2

( , )

x y

x u y u  g x y u determinar g x y( , )

11. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las siguientes proposiciones.

Justifique su respuesta.

a) La derivada direccional de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥2− 5𝑦2_{en el punto} (1,1) _{y en la dirección}

paralela al vector (3,4) es −2.

b) La dirección donde la derivada direccional de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑥2 _{en el punto} (1; 1) _es

12. Dada la función



,



 ₂24 ₂

 y f x y

x y

a) Determine el vector gradiente de f en el punto 𝑃(1; −1).

b) Determine la derivada direccional máxima de f en el punto 𝑄(1; 1).

13. Dada la función f



x y,



 26x22xy2

a) Determine el vector gradiente de f en punto (2; 1)

b) Calcule la derivada direccional de f en el punto (2; 1) en la dirección del vector 𝑣 = (1; 1).

14. Una lámina de metal plana se encuentra en un plano 𝑋𝑌 y su temperatura T (en grados

Celcius) en un punto (𝑥, 𝑦) está dada por la siguiente expresión T 10



x2 y2



2 (donde x ,

y se miden en centímetros). Calcule la razón de cambio de la temperatura en la posición



1;2



en la dirección paralela al eje 𝑌.

15. En cierta montaña, la altura 𝑧 en metros, sobre el nivel del mar en la que se encuentra un

alpinista, viene dada por la expresiónz20002x2 4y2. Un alpinista se encuentra en el

punto 𝐴(−20 ; 5 ; 1100). Sean 𝑃(1; 2) y 𝑄(1; −1) dos puntos en el plano 𝑋𝑌 .

a) Determine la razón de cambio de 𝑧, si el alpinista se mueve desde el punto 𝐴, siguiendo la trayectoria del vector que va del punto 𝑃 al punto 𝑄

b) Una vez que llegue el alpinista al punto 𝑄, determine la dirección en la que debe moverse

para que ascienda a la cima lo más rápidamente posible.

16. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie f x y( , )ey  x x2 6 en el punto (1,0,9). Rpta: 3x+y-z+6=0

17. Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie

3 2 2

3 cos ( ) 9 0

senz

x e  z x y   , en el punto ( 2 , , 0 )

2

P  .

18. Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie

2 3 2

2 2 0

     

x y xy y x z en el punto Q₀(1, 0,1). Rpta: 2x2y  z 3 0

19. Hallar la ecuación del plano tangente a la superfic ie x2 yz 5 0, si este plano

pasa por los puntos P0( 0 , 2 , 2 ),P1( 1 , 2 , 0 ) y es ortogonal al plano

2 0 x y z .

20. En qué puntos de la superficie 2 2 2

4 16 2 12

   

x y z xy son los planos tangentes

paralelos al plano XZ. Rpta: Los puntos son (2,2,0) y (-2,-2,0)

21. Encontrar la ecuación del plano tangente a la superficie

2 2

2

( 1) ( 2)

1

4 9

 _  _{ }

x y

z , que

es paralelo al plano que pasa por los puntos P0( 1 , -1 , 2 ), P1( 2 , 2 , -1 ) y es

perpendicular al plano x  y z 0

22. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie

2

2 2

: 7 166

2

x

S y  z  que esortogonal a

la recta tangente a la curva de intersección de las superficiesS ₁:zx22y2 ,

2 2

2: 2 3 1

S z x  y  , en el puntoP ₀( 2 , 1 , 6 ).

23. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie, z cos x seny en el punto

0(0, / 2,1)

Tema: Derivada parciales de orden superior Práctica Nº6

1. Calcule todas las cuatro derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones y muestre que las derivadas parciales mixtas son iguales:

a) f



x y,



5x y4 3 2xy

b) f



x y,



 ycosx3x e2 y

c)



,



1

1

 

 x f x y

y

d) f



x y,



ex y2

e) f



x y,



 x2 y2

f)



,



 22  22

y x

a b

f x y

2. Una función es llamada armónica cuando satisface la ecuación

2 2

2 2 0

 _ _

 

f f

x y en todo el

dominio de f . Demuestre que las siguientes funciones son armónicas

a)



,



1





2

  y  y

f x y e e senx

b) f



x y,



ln x2 y2

c) f



x y,



excosyeycosx

d) f



x y,



e senyx

3. Dada zu x y e ( , ) a x b y ;

2

0

u x y

 _

  , hallar los valores de las constantes a y b

tal que 2

0

z z z

z

x y x y

  

   

   

4. Si 1xyLn e ( x y ex y) z, hallar z x 

 ,

z y

 

5. Si F x ( a z , yb z )0 = 0, verificar que a z b z 1

x y

 _  _  

6. Dado que u  f ( , )x y , xescost e, ye sen ts verificar que

2

( )

s

s s t t x x y y

u u e u u , dondes t, son variables independientes.

7. Si z f u g v( ) ( )donde u= x + y, v = y/x y ambas funciones f y g son funciones arbitrarias demostrar. xz_x  y z_y u f '( ) ( )u g v , ( f ' ( )u es la derivada de f respecto de u )

8. La ecuación f ( y, z)

x x define a z implícitamente como una función de x e y sea esa

función z g x y( , ) demostrar que xg_x  y g_y  g x y( , )

9. Si z x en a x b yf(x) y



 donde f (x)

y es una función arbitraria de y/x demostrar que

( )

x y

10. Sea la función no constante z u x y e



,



ax by tal que satisface 2

0

   

u

x y . Determine los

valores de las constantes 𝑎 y 𝑏, tales que 2

0

 _ _ _{ }

   

z z z

z

x y x y

11. Demuestre que la función wcos



xy



ln



xy



satisface la ecuación

2 2

2 2 0

 

 

 

w w

x y

12. Considere la función _{( , )} 2 4

y x

n

f x y x e donde 𝑛 es un número real. Calcule el valor de 𝑛

de manera se cumple la relación  4  _  _

  _  _

f f

y

x y y

13. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones de una sola variable dos veces derivables, verifique que la función 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑓(𝑥 + 𝑦) + 𝑦𝑔(𝑥 + 𝑦) satisface la ecuación diferencial parcial𝑢𝑥𝑥 − 2𝑢𝑥𝑦 + 𝑢𝑦𝑦 = 0.

14. Verifique que la función





1 2

2 2 2

( , , )   

u x y z x y z satisface la ecuación diferencial

2 2 2

2 2 2 0

 _ _ _

  

u u u

x y z

15. Demuestre que, para todo



x y,

 

 0, 0



la función U x y



,



 xysatisface

2 2

 _ 

   

U U

x y y x

16. Demuestre que cada una de las siguientes funciones es una solución de la ecuación de onda:

2 2

2

2 2

 _ 

 

f f

a

t x

a) u x t( , )sen x



at



b) u x t( , )sen kx sen akt

 





c) ( , ) _{2 2 2}  t u x t

Tema: Máximos y Mínimos (Método del Hessiano) Practica Nº7

1. Determine y clasifique los puntos críticos de las siguientes funciones

a) 2 2



2 2



( , ) 8 5 

f x y x y xy x y

b) _{( , )} 3  3  1 1

x y

f x y x y

c) f x y( , )2x3 9x2 12x2y33y21

d) f x y( , )



xy

 

4  x2



4

e) 3

( , ) 2  2 8

f x y x xy x y

f)



2



( , ) 4 2

f x y x x y y

g) f x y( , )3axyx y2 xy2 donde a es una constante no nula

2. Determine los valores extremos de las siguientes funciones:

a) _{f x y( , )}_x3_y3_9x2_3y2_15x_9y₂₀

Rpta: Máximo en (1,-1) y f(1,-1)=32, Mínimo en (5,3) y f(5,3)=-32 y puntos de

silla en (1,3) y (5,-1).

b) f x y( , ) 1 2x2y2xyx 22y 2

c) f x y( , )x3 y3 2xy6Rpta: Máximo en (-2/3,2/3) y f(-2/3,2/3)=170/27

d) g x y( , ) x 2  y 2 xy3x2y1

e) f x y( , ) x3  y2 3xy y 2Rpta: Mínimo en (1,1) y f(1,1)=2.Punto silla en ( ½,¼ )

f) h x y( , ) x 3y 33xy

g) f x y( , )x 3y 33xy 218 (xy)

h) f x y( , )18x 2 32y 236x128y110

i) h x y ( , )x 4y 44xy1

j) h x y ( , )4xy2x y2 2xy3

k) h x y z ( , , )x 32y 3z3xyyz2

l) h x y z ( , , )x 22y 2z2 6x3y2z5

3. Dada la función f x y( , ) x2 mxyy2

a) Determine todos los valores de𝑚 para los cuales 𝑓 tiene un punto silla en(0; 0).

4. Sea la función

2 2

( , )

2 2

 x  y

f x y

p qdonde p y qson reales diferentes de cero. Según los

signos de las constantes p y qanalice los extremos relativos de la función f

5. Sea la función𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦 − 𝑥) sen(𝑥)

a) Determine los puntos críticos de𝑓.

b) Clasifique los puntos críticos encontrados en el ítem (a). (máximo relativo, mínimo relativo,

punto silla).

6. En una bodega el dueño vende uno de sus productos en cajas rectangulares, por sus años de

experiencia en el negocio ha notado que la mayoría de sus clientes compran 5 cm3 de tal

producto, así que decide empacarlos en cajas de tal capacidad. Además (como es natural)

requiere que el material empleado en la elaboración de la caja sea el menor posible, ¿cuáles son

las dimensiones de la caja (largo, ancho y alto) que Ud. le recomendaría al bodeguero para que

satisfaga sus necesidades?

7. Para un fabricante de cámaras y películas el costo total C x y ( , )de producir x cámaras ,

y rollos de película está dado por C x y( , )30x0, 015xy y 900. Las funciones de

demanda para las cámaras y los rollos están dados por 9000

r 

x

s , y2000 s 400r, donde

ses el precio por cámara y r por rollo de película. Encontrar la tasa de cambio del costo total con respecto al precio total de la cámara cuando s50 y r2.

8. Telefónica del Perú planea introducir en el mercado dos nuevos tipos de sistemas de

comunicación para ejecutivos que espera vender a sus mayores clientes comerciales. Se calcula

que si el primer tipo de sistema se valora en x cientos de dólares por sistema y el segundo tipo

en x cientos de dólares por sistema, aproximadamente 40 8 x5y consumidores comprarán

el primer tipo y 50 + 9𝑥 − 7𝑦 comprarán el segundo tipo. Si el costo de fabricación del primer

tipo es de $1 000 por sistema y el costo del segundo tipo de $3 000 por sistema ¿qué precio

deberá fijar la compañía a los sistemas para generar la mayor utilidad posible?

9. Un fabricante con derechos exclusivos sobre una nueva maquinaria industrial planea vender

una cantidad limitada de ésta y calcula que si se suministran x máquinas al mercado nacional e

𝑦 al mercado extranjero entonces se venderán a 150₆x _{miles de dólares cada una en el}

marcado nacional y a 100₁₀y 1 miles de dólares cada una en el extranjero

b) ¿Cuántas máquinas debería suministrar el fabricante al mercado extranjero para generar la mayor utilidad posible en este mercado?

c) ¿Cuántas máquinas debería suministrar el fabricante a cada mercado para generar la mayor

utilidad total posible?

10. Una placa circular plana tiene la forma de la región 𝑥²+𝑦²≤1. La placa, incluyendo la

frontera 𝑥²+𝑦²=1, se calienta de manera que la temperatura en cualquier punto (𝑥,𝑦) es 𝑇(𝑥,𝑦)=𝑥²+2𝑦²−𝑥. Se sabe que los puntos más fríos de la placa se encuentran al interior de la

misma (𝑥²+𝑦²<1), de modo que para hallarlos se resuelve un problema de optimización sin

restricciones. Determine este o estos puntos, y su temperatura.

11. Una corporación de cremas dentífricas orgánicas produce crema dental en dos tamaños, de

100 y 150 mililitros. El costo de producción de cada tubo de cada tamaño es de US$ 0.6 y

US$ 0.9, respectivamente. Las demandas 𝑥1 y 𝑥2 (en miles) para los tamaños de 100 y 150

mililitros son, respectivamente, 𝑥1=3(𝑝2−𝑝1) y 𝑥2=320−5𝑝2+3𝑝1 , donde 𝑝1, 𝑝2 son losprecios,

en centavos de dólar, de los

12. Una empresa utiliza dos tipos de materia prima 𝑋 e 𝑌, en la elaboración de su producto.

Usando 𝑥 unidades de 𝑋 e 𝑦 unidades de 𝑌, la empresa puede elaborar 𝑃 unidades del

producto con 𝑃=0,52𝑥+0,48𝑦+0,12𝑥𝑦−0,07𝑥2−0,06𝑦2. Si el costo de cada unidad de 𝑋 es de $

5.10 y de cada unidad de 𝑌 es $ 1.80 y la empresa puede vender todas las unidades que

produce a $15 cada una. Determine las cantidades de 𝑋 e 𝑌 que debe utilizar la empresa con el

objeto de maximizar las utilidades.

Máximos y Mínimos (Método del Lagrange)

13. Determine y clasifique los extremos condicionados

a) f x y( , )x2y2 sujeto a la condición x y 4

b) f x y( , ) x y sujeto a la condición x y 10

c) f x y( , )2x2xy sujeto a la condición 2x y 100

d) 2 2

( , ) 

f x y x y sujeto a la condición 2x2y 6 0

e) f x y( , ) x2y2 sujeto a la condición 2x4y15

f) f x y( , )x2y2xy  x y 11 sujeto a la condición x2y2 1

g) f x y( , )3x24y2xy sujeto a la condición 2x y 21

h)h x y ( , )25x 2 y 2 con restricción x 2  y 24y0

i) ( , )

p q

x y

f x y

p q

j) h x y ( , )4x y sujeto a la restricción x2/ 9y2/ 41

k)f ( , , )x y z  x 2 y 2 z 2xyyz sujeto a x 2y 2z 2 1

l) h x y z ( , , ) x z sujeto a la restricción x2 y2z2 1

14. Sea 2

:  

f D una función de dos variables, tal que su matriz hessiana en un

punto (𝑥; 𝑦) es:



 

,



4 2 4

1 1



 

  

 

x x

H f x y . Modele la expresión que permita calcular

los valores de 𝑎 de modo que (𝑎; 𝑎; 𝑓(𝑎; 𝑎)) sea un punto silla.

15. Un espejo plano de dimensiones 80cm por 90cm, se rompe por una esquina. De los

trozos resultantes, el menor tiene forma de triángulo rectángulo, de catetos 10cm y

12cm, correspondientes a las dimensiones menor y mayor del espejo (vea la figura).

Se tiene como objetivo determinar las dimensiones x e y del espejo rectangular que

se puede construir de modo que su área sea máxima.

a) Modele el problema de optimización indicando

claramente la función objetivo y su respectiva restricción.

b) Utilice el método de Lagrange para determinar los

valores de 𝑥 e 𝑦 y el área máxima.

16. Se desea construir un almacén que tiene la forma de un cilindro circular recto de

radio 5 metros, terminando en cada uno de sus extremos en una tapa cónica. Si el

volumen de esté almacén debe ser de 625 5

3



metros cúbicos y las tapas tienen igual

altura.

a) Exprese la superficie total en función de la altura 𝐻 del cilindro y la altura 𝑕 de

los conos.

b) Encuentre la altura 𝐻 del cilindro y la altura 𝑕 de los conos, de modo que la

superficie del almacén sea mínima.

17. Hallar la distancia más corta del punto P(1, -1, 3) a la esfera

2 2 2

6 4 10 62 0 x y z  x y z 

18. Determinar el punto del plano x2y z 10que está más cerca al origen

20. Si en p0 (x y0, 0), zx  zy 0, zxx 3, zyy 12 ¿Para qué valor de zxyes cierto que

z tiene mínimo relativo en P₀ (x y₀, ₀)?

21. Determinar el producto máximo de tres números no negativos cuya suma es 16.

22. Demuestre que el sólido rectangular con volumen 1 y área mínima es el cubo de lado 1.

23. El producto de dos números positivaos es 128. El primer número se suma al cuadrado del

segundo ¿ qué tan pequeña puede ser esta suma?

24. Un granjero desea cercar un potrero rectangular a lo largo de la orilla de un rio. El área del

potrero debe ser 3,200 m2 y no necesita cercar a lo largo de la orilla del rio. Hallar las

dimensiones del potrero que exigirá la menor cantidad de cerco.

25. Tenemos una caja rectangular contenida exactamente dentro del elip soide

2 2 2

2x 3y z 18, con cada arista paralela a uno de los ejes de coordenadas. Encontrar su

máximo volumen.

26. La temperatura en grados centígrados en cualquier punto de la región limitada por las rectas

0, 0, 3;

x y x y está dada por T x y( , )8x 24xy5y 24x8y Determinar la

máxima y mínima temperatura en la región.

27. Determinar los puntos críticos de la función f x y z( , , )sen x sen y sen z( ) ( ) ( ) , siendo

, con x > 0, y > 0, z > 0 2

x  y z



28. Se quiere fabricar cajas rectangulares de 20 m3 de volumen. Si el material usado en

los lados cuesta 1 dólar el m2 y el material usado en el fondo y la parte superior

cuesta 2 dólares y 4 dólares el m2 respectivamente. ¿Cuáles deben ser las

dimensiones de la caja más económica?. Rpta: Largo = ancho = 320 / 3 y

altura=3 20 / 3 3

29. Un fabricante determina que el número de osciloscopios que puede vender por semana es

2 4

( , )

9 18

 

 

y x

V x y

x y , x e y sus gastos semanales (en miles de dólares) por publicidad

en periódicos y televisión respectivamente. La utilidad es de $ 625 por venta menos el costo

de publicidad de modo que su utilidad está dado por ( , ) 625( 4 2 ) ( )

9 18

   

 

y x

G x y x y

x y .

Encuentre los valores x e y para los cuales la utilidad es máximo y hallar el valor máximo.

30. Un fabricante desea construir una caja rectangular con tapa de 3

36 cm de volumen.

Hallar las dimensiones de la caja para minimizar el costo, si el fon do y la tapa

21

31. SeaP x y( , ) la función de producción dada por

2 3 2 3

( , ) 0,54 0, 02 1,89 0, 09

P x y  x  x  y  y , donde x e y son las cantidades de

trabajo y capital respectivamente y P es la cantidad producida. Determinar los valore de x e

y que maximizan P.

32. Determinar las 3 dimensiones del paralelepípedo de volumen máximo que tiene 3 Caras en

los planos coordenados y tiene un vértice sobre el plano. 1

2 3 6 x_{  }y z

33. Un pentágono se forma con un rectángulo y un triángulo Isósceles.Si el pentágono

tiene un perímetro dado P. Hallar las dimensiones para que el área sea máxima (ver

figura)

34. Una empresa produce dos tipos de acero A y B , para los cuales los costos promedio de

producción, son respectivamente, constantes de $ 2 y $ 3 por barras de tres metros. Las

cantidades x e y en barras de A y B que pueden venderse cada semana están dadas por

las funciones de demanda conjunta x400(ts) e y400(9 s 2 )t , donde y ts son los

precios de venta en dólares por barra deA y B respectivamente. Determinar los precios de

venta que maximizan las utilidades de la empresa,

si utilidad por barras utilidad por barras

barra de A vendidas de A barra de B vendidas de B

       

_{    } _{  }

       

P (reemplazar los

datos).

35. La intersección del paraboloide 2z16x2y2 con plano x y 4 determina una curva

C en el primer octante. Encontrar los puntos de C más cercanos y los más lejanos.

36. La sección transversal de una batea es un trapecio isósceles. Si la batea se

construye doblando los lados de una franja de metal de 18 pulgadas de ancho. Hallar

las dimensiones para que el área de la sección transversal sea máximo. Elegir h y T

como variables independientes.

h

T T

l

x x

S1

2x

y L

h S2

Tema: Integrales dobles y aplicaciones Práctica Nº8

1. Calcular las siguientes integrales dobles:

a)



Q 2 2 dxdy y sen x

sen , Q

   

0,  0, Rpta: 1 2 4

b)



3 6 2 3



Q

x  x yy dxdy



, Q

   

0,1  0,1 Rpta: 3/2

c)



2x y 3



3dxdy

Q





  , Q

   

2,3  2,3 Rpta: 1/80

d)





Q dxdy ) y x cos(

x , Q

   

1, 2  1, 2 Rpta: 3-3cos(1)

e)





2 3

2 3

3 1 1

   

 

x

y

x y dxdy

f)

 

3 1 4 2 2 5   

 

y

y xy dxdy

g) 2

4 1

 

x y x x dydx h) 2 4 2 4 3 0 2  

 

x y

x x e dydx i)

2 3 3

1 2

0 

 

x _{y x}

x x y dydx j) 2

1

0 ( , )

x

x f x y dydx

 

k)

2

3 3 0

4 9

( , )

x

f x y dydx





 

l)

2 2

2

0 2 ( , )

a x a a

ax x f x y dydx

 



 

m)

2 2

2 / 2

2

1 ( , )

y

y f x y dxdy

 

 

2. Calcule la integral:





xy dD



donde 𝐷 es la región exterior al cuadrado con vértices (2;2),(2;−2),(−2;−2),(−2;2) e interior al cuadrado con vértices (5,5), (5,−5), (−5,−5), (−5,5) con

0



x

3. En la siguiente igualdad ¿ se aplicó el teorema de Fubini. Justifique su respuesta.









2 2

2 2 2 2

0 0 1  0 0 1

 

x

 

x

x y dydx x y dxdy

4. Calcular las siguientes integrales dobles

a) 20 2 4

D

x y dA



, D es la región triangular limitada por x4, y0 e y4x.

b) 2

D

xy dxdy



, D es la región limitada por x y 2 , 2 2

2

x y  y, x0 .

c) x y

D

e  dxdy



, D



( , ) /x y x  y 1



d) 2

D

x y dxdy



, D es la región acotada por las curvas x 4 y2 , y x 2

e) 2 2

D

a x dxdy



, D está acotada por y 2x 2 a 2,xa, x0 e y0.

5. Sea f una función definida en un rectángulo Q, representar el conjunto de coordenadas de

f sobre Q

   

0,1 0,1 y calcular la integral.

a) ( , ) 1 1

0

x y si x y

f x y

en los demás puntos de Q

   