Guía Conjuntos Ordenados

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Universidad Antonio Nari˜no Ingenier´ıa de Sistemas Educaci´on a Distancia

Teor´ıa de Grafos

GUIA No. 4. CONJUNTOS ORDENADOS

Tutor: Helena Dulcey Hern´andez

1. Objetivos:

1. Identificar cuando un conjunto es un orden parcial 2. Construir diagramas de Hasse

3. Reconocer cuando un conjunto es totalmente ordenado

4. Hallar los elementos caracter´ısticos (maximales, minimales, sup e inf) de un con-junto ordenado

2. Generalidades

Una relación de orden es una relación definida en un conjunto que verifica las propie-dades reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Cuando en un conjunto se define una relación de orden, se dirá que el conjunto está or-denado con respecto a dicha relación.

Los ret´ıculos y las álgebras de Boole son conjuntos ordenados con caracter´ısticas espe-ciales. Estas estructuras algebraicas juegan un importante papel en la teor´ıa de conjun-tos, as´ı como en problemas de ordenación y búsqueda (estos problemas son de especial interés en la informática), y en particular las álgebras de Boole son importantes para la representación de circuitos lógicos.

3. Relaci´

on de Orden

Una relaci´on binaria R sobre un conjunto A se dice que es de orden, si es reflexiva, antisim´etrica y transitiva.

Los órdenes más comunes son las relaciones≤y≥en Z y enR. En general, se usarán los s´ımbolos4y<para notar una relación de orden en un conjunto A.

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a4b se lee ”a sucede ab” o ”aes anterior ab”.

a≺b se lee ”a precede estrictamente ab” o ”aes estrictamente anterior a b”. a<b se lee ”a sucede ab” o ”aes posterior ab”.

ab se lee ”a sucede estrictamente ab” o ”aes estrictamente posterior ab”.

Ejemplo. 1 La relaci´on ”mayor o igual” definida en el conjunto Z de los n´umeros enteros es de orden, puesto que cumple las propiedades:

1. Reflexiva: Para todoa∈Z, se cumple quea≥a

2. Antisim´etrica: Para todoayb∈Z, sia≥byb≥aentoncesa=b 3. Transitiva: Para todoa,byc∈Z, si a≥b∧b≥c entoncesa≥c

4. Relaci´

on de Orden Estricto

Una relaci´onR sobre un conjuntoAse dice que es de orden estricto si es antisim´etrica y transitiva.

Ejemplo. 2 La relaci´on ”mayor” definida en el conjuntoZde los n´umeros enteros es de orden estricto, puesto que cumple las propiedades:

1. Antisim´etrica: Para todoayb∈Z, sia > b, entoncesb≯a

2. Transitiva: Para todoa,byc∈Z, si a > b∧b > centoncesa > c

Teorema 1 Sea 4 una relaci´on de orden definida sobre un conjunto A y sea ≺ otra relaci´on sobre A definida en la forma

a≺b si y s´olo si a4b y a6=b Entonces ≺es una relaci´on de orden estricto sobre A.

Teorema 2 Sea ≺ una relaci´on de orden estricto definida sobre un conjunto A y sea 4otra relaci´on sobreA definida en la forma

a4b si y sólo si a≺b ó a6=b Entonces 4es una relación de orden sobre A.

5. Conjuntos Ordenados

5.1. Elementos comparables

Dados dos elementos ay b de un conjunto A sobre el que se ha definido una relaci´on de orden4, diremos que son comparables si uno de ellos es anterior al otro. En caso contrario se dice que aybson ”no comparables”.

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aybson comparables ⇔a4b∨b4a

Ejemplo. 3 Sea A={a, b, c, d}, entonces P(A) ={∅,{a},{b},{c},{d},{a, b},{a, c}, {a, d},{b, c},{b, d},{c, d},{a, b, c},{a, b, d},{a, c, d},{b, c, d}, A}.

En la relaci´on (P(A),⊆) los elementos {a, b, d}, y {a, b} son comparables, puesto que {a, b} ⊆ {a, b, d}; mientras que los elementos{a, b, c} y{b, c, d} no son comparables, ya que{a, b, c}*{b, c, d} ni {b, c, d}*{a, b, c}

5.2. Orden parcial y total

Una relación de orden se dice que es total cuando todos los elementos del conjunto sobre el que está definida son comparables por dicha relación. En caso contrario, es decir, si existen elementos no comparables, diremos que la relación definida es de orden parcial. As´ı pues, dada la relación de orden4, diremos

4es de orden total ⇔ ∀a, b∈A(a4b∨b4a) 4es de orden parcial⇔ ∃a, b∈A(ab∪ba)

Ejemplo. 4 Determinar si la relaci´on R es un orden parcial en el conjunto A = Z, dondea R b⇔a= 2b

Soluci´on.

Esta relaci´on no es de orden, puesto que no se tiene la propiedad reflexiva, por ejemplo, 1∈Z entonces16= 2·1, es decir 1 no est´a relacionado con1

5.3. Conjuntos ordenados

Dado un conjunto A diremos que está ordenado si en él hay definida una relación de orden. Dicho conjunto estará parcial o totalmente ordenado según que la relación definida sea parcial o total.

Se notar´a (A,4) al conjuntoA ordenado con la relaci´on 4.

Ejemplo. 5

1. La relación de inclusión es una relación de orden parcial sobre cualquier colección de subconjuntos deA; es decir,⊆es un orden parcial sobre el conjunto de las par-tes o potencias deA y, consecuentemente,(P(A),⊆) es un conjunto parcialmente ordenado.

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6. Orden Lexicogr´

afico

Sean (A,4) y (B,4) dos conjuntos ordenados. Es posible construir una relaci´on de orden parcial sobreA×B, indicada tambi´en por4, definida as´ı:

((a, b)4(c, d))⇔(a4c)∧(b4d)

tal relaci´on recibe le nombre de orden lexicogr´afico sobreA×B

Ejemplo. 6 Sea A = {a, b, c, ..., z} el alfabeto, ordenado totalmente por el orden usual, es decir,a≤b,b≤c , . . .,y≤z. El producto cartesiano An puede considerarse como el conjunto de las palabras de longitudn.

El orden lexicogr´afico en An tiene la propiedad que si p1 4 p2(p1, p2 ∈ An), entonces

la palabra p1 deber´a preceder a la palabra p2 en una lista de diccionario. Este hecho

justifica el nombre dado al ordenamiento. As´ı

amiga4amigo, ya que a = a, m = m, i = i, g = g y a 4o

p´ajaro4rat´on, ya que p4r

NOTA:Si Σ es un alfabeto ordenado, el orden lexicogr´afico puede extenderse al con-junto Σ∗ _{de todas las palabras de longitud finita construidas con s´ımbolos de Σ, de la} siguiente manera:

six=a1a2. . . an e y=b1b2. . . bk

est´an en Σ∗ _con_n_≤_{k, entonces}

x4y⇔(a1, a2, . . . , an)4(b1, b2, . . . , bn)

bajo el orden lexicogr´afico de Σn .

En otras palabras, esto quiere decir que se recorta la palabra de mayor longitud a la de menor longitud y luego se comparan.

Ejemplo. 7 SeaΣ ={a, b, c, . . . , z}. Entonces,Σ∗_{es el conjunto de todas las palabras} posibles de cualquier longitud, independientemente de que tengan o no significado.

1. amar4 amarte enΣ∗ _{ya que amar}₄ _{amar en}_Σ4

2. amando4 amante enΣ∗ _{ya que amando}₄_{amante en}_Σ6_{, (d} ₄_t)

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7. Representaci´

on gr´

afica: Diagramas de Hasse

Dada una relaci´on de orden,4, sobre un conjuntoA, un diagrama de Hasse es un grafo dirigido de la misma, simplificado seg´un los siguientes criterios:

1. Se le suprimen todos los bucles, ya que toda relaci´on de orden parcial es reflexiva. 2. Se suprimen las aristas implicadas en la propiedad transitiva, ya que toda relaci´on

de orden parcial debe ser transitiva.

3. Se ubican los nodos de tal manera que las flechas siempre indiquen hacia arriba, en tal caso se suprimen las cabezas de las flechas.

Ejemplo. 8 El diagrama de Hasse del conjunto A = {1,2,3,5,6,10,15,30} por la relaci´on de divisibilidad. Escribiendo expl´ıcitamente la relaci´on se tiene que

R={(1,1),(2,2),(3,3),(5,5),(6,6),(10,10),(15,15),(30,30),(1,2),(1,3),(1,5),(1,6), (1,10),(1,15),(1,30),(2,6),(2,10),(2,30),(3,6),(3,15),(3,30),(5,10),(5,15),(5,30), (6,30),(10,30),(15,30)}

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Ejemplo. 9 El diagrama de Hasse del conjunto A = {2,4,8,16,32} por la relaci´on de divisibilidad es

8. Elementos caracter´ısticos de un conjunto ordenado

Ciertos elementos en un conjunto ordenado son de especial importancia para muchas de las aplicaciones de esos conjuntos. Se explicar´an quienes son estos elementos y pos-teriormente se ver´a el importante papel que juegan.

A lo largo de este tema {A,4} ser´a un conjunto ordenado y B un subconjunto suyo (B ⊆A).

8.1. Elemento maximal

Un elementob de B se dice que es maximal de B, respecto de la relaci´on 4, si no hay en B elemento alguno que sea estrictamente posterior a ´el. Es decir,

b es maximal⇔ ∀x∈B, b4x⇒x=b

8.2. Elemento minimal

Un elementobde B se dice que es minial deB, respecto de la relaci´on 4, si no hay en B elemento alguno que sea estrictamente anterior a ´el. Es decir,

b es minimal⇔ ∀x∈B, x4b⇒x=b

8.3. Existencia del maximal y del minimal

Todo conjunto ordenado finito posee, al menos, un elemento maximal y un elemento minimal.

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diagrama de Hasse de la figura, los elementos 1 y 5 son maximales y los 3 y 6 son los elementos minimales.

8.4. Elemento m´aximo

Un elemento b perteneciente al subconjunto B se dice que es m´aximo de B, respecto de la relaci´on 4, si es posterior a todos los elementos de B. Es decir,

b es m´aximo⇔ ∀x, x∈B,⇒x4b

8.5. Elemento m´ınimo

Un elementobperteneciente al subconjuntoB se dice que es m´ınimo deB, respecto de la relaci´on 4, si es anterior a todos los elementos deB. Es decir,

b es m´ınimo⇔ ∀x, x∈B,⇒b4x

Ejemplo. 11 Encontrar, si existen, m´aximo y m´ınimos en los siguientes diagramas de Hasse

Soluci´on.

M´aximo M´ınimo (a) No existe a

(b) d No existe

(c) No existe No existe

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NOTA:Obsérvese la diferencia que existe entre máximo y maximal y entre m´ınimo y minimal. Para ser maximal sólo se necesita que no haya ningún elemento que lo suceda, mientras que para ser máaximo ha de suceder y por tanto estar relacionado con todos los demás. Análogamente sucede entre m´ınimo y minimal.

8.6. Unicidad del m´aximo y el m´ınimo

Todo conjunto ordenado finito posee, a lo sumo, un elemento máximo y uno m´ınimo. NOTA:Todo elemento máximo es también maximal, análogamente con el m´ınimo.

8.7. Cota superior

El elementoadeA se dice que es cota superior deB, subconjunto deA, si es posterior a todos los elementos deB, es decir,

aes cota superior de B⊆A⇔ ∀x, x∈B,⇒x4a

8.8. Cota inferior

El elementoade A se dice que es cota inferior deB, subconjunto de A, si es anterior a todos los elementos deB; es decir

aes cota inferior de B ⊆A⇔ ∀x, x∈B,⇒a4x

8.9. Conjunto Acotado

Cuando un conjunto tiene cota inferior se dice que est´a acotado inferiormente y acotado superiormente cuando tiene cota superior. Cuando un conjunto posee ambas cotas se dice que est´a acotado.

8.10. Supremo

SeaB ⊆A. El elemento a∈A se dice que es el supremo o cota superior m´ınima deB en Asi se verifica:

1. aes una cota superior deB en A.

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8.11. ´Infimo

SeaB⊆A. El elementoa∈A se dice que es el ´ınfimo o cota inferior m´axima deB en Asi se verifica:

1. aes una cota inferior deB enA.

2. Sia0 es otra cota inferior deB enA, entoncesa0 4a.

8.12. Unicidad del ´Infimo y el Supremo

Todo conjunto ordenado finito posee, a lo sumo, un ´ınfimo y un supremo.

Ejemplo. 12 SeaA={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}un conjunto ordenado cuyo diagra-ma de Hasse est´a en la figura. Encontrar el supremo y el ´ınfimo de B ={6,7,10}.

Soluci´on.

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9. EJERCICIOS PARA ENTREGAR

1. Pruebe que la relaci´on ”divide a” es una relaci´on de orden sobre N

2. Haga los diagramas de Hasse de los siguientes digrafos y de las siguientes relacio-nes

Para los puntos a) y b)A={1,2,3,4} y para c) y d)A={1,2,3,4,5}

a) R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}

b) R={(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(a, c),(a, d),(a, e),(b, c),(b, d),(b, e),(c, d),(c, e)}

c) MR=

     

1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1

     

d) MR=

     

1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

     

3. Describa las parejas ordenadas de la relaci´on determinada por el diagrama de Hasse dado en el conjuntoA={1,2,3,4}

4. Dada la siguiente matriz de relaci´on en el conjuntoA={a, b, c, d, e}

MR=      

1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1

     

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BIBLIOGRAF´

IA

1. JOHNSONBAUGH, Richard. Matemáticas discretas. Sexta edición. Pearson Edu-cación de México. 2005.

2. GONZALEZ, Francisco José. Apuntes de matemática discreta. Cádiz. 2004.

3. GRASSMANN W. K., Tremblay J-P: Matem´atica Discreta y L´ogica. Ed. Prentice-Hall, 2000

4. GRIMALDI, Ralph. Matemáticas discreta y combinatoria. Tercera edición. Ad-dison Wesley Iberoaericana. México. 1997.