FORMULAS DE POLIEDROS

(1)

1

Mis fórmulas de

poliedros

Con tres fórmulas para poliedros

Dos de las fórmulas son axiomas y acompañan al teorema de Euler, y la otra es inédita

(2)

2

ÍNDICE

PRÓLOGO ... 3

INTRODUCCIÓN A LOS POLIEDROS ... 4

1ª FÓRMULA ... 6

SÓLIDOS PLATÓNICOS ... 7

SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS ... 9

SÓLIDOS DE CATALÁN ... 16

SÓLIDOS DE JOHNSON ... 21

PRISMAS ... 67

ANTIPRISMAS ... 69

SÓLIDOS DE KEPLER-POINSOT ... 71

2ª FÓRMULA ... 73

PRISMAS ... 96

ANTIPRISMAS ... 99

3ª FÓRMULA ... 102

PRISMAS ... 116

(3)

3

PRÓLOGO

La primera fórmula

se me ocurrió la noche del 12 de diciembre de 2012, cuando

estaba pensando en los poliedros regulares. El poliedro con el que la pensé fue el

tetraedro regular. Más tarde la comprobé para otros poliedros que fui aprendiendo.

Esta fórmula acompaña al teorema de Euler (C + V = A + 2) y es axioma, es decir que

no necesita demostración.

La segunda fórmula

se me ocurrió el día 21 de diciembre por la tarde. El poliedro

con el que se la pensé fue el tetraedro regular. Comprobé que para algunos grupos

de poliedros no valía. Como la primera fórmula, acompaña al teorema de Euler y

también es axioma.

(4)

4

INTRODUCCIÓN A LOS POLIEDROS

Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas.

Hay dos tipos de poliedros, convexos y cóncavos:

Un poliedro es convexo

cuando está contenido en uno de los semiespacios que

delimitan los planos de sus caras, considerando la totalidad de las caras; en estos

poliedros el segmento que une dos puntos suyos cualesquiera está contenido en el

poliedro.

Un poliedro es no convexo

cuando, considerando los planos de todas sus caras, par-

te de él se encuentra en uno de los semiespacios y la otra parte de él se encuentra

en el otro semiespacio; en estos poliedros alguno de los segmentos que unen dos

puntos suyos cualesquiera sale del poliedro.

Entre los poliedros convexos están las siguientes familias:

Sólidos platónicos:

Son los únicos poliedros regulares convexos. Existen 5 sólidos

platónicos.

Sólidos arquimedianos:

Sus caras son polígonos regulares de dos o más tipos y

tienen sus vértices uniformes. La mayoría se ellos se obtienen truncando los sólidos

platónicos. Existen 13 sólidos arquimedianos.

Sólidos de Catalan:

Sus caras son polígonos irregulares iguales. Son poliedros duales

de los arquimedianos. Existen 13 sólidos de Catalan.

Sólidos de Johnson:

Sus caras son polígonos regulares. No hace falta que todas sus

caras sean iguales o que sus aristas o vértices sean uniformes. Existen 92 sólidos de

Johnson.

Prismas:

Tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y caras laterales que

son paralelogramos. Tienen sus vértices uniformes. Existen infinitos prismas.

Antiprismas:

Tienen dos bases, pero estas están giradas y las caras laterales son

triángulos. Tienen sus vértices uniformes. Existen infinitos antiprismas.

Entre los poliedros no convexos están los sólidos de Kepler-Poinsot.

(5)

5

Estos son los elementos que aparecen en un polígono:

Lados:

Son las segmentos que forman la línea poligonal. Su abreviatura es

l

.

Vértices:

Son los puntos donde se unen los lados. Su abreviatura es

v

.

Ángulos:

Son los ángulos que forman los lados. Su abreviatura es

a

.

Estos son los elementos que aparecen en los poliedros:

Caras:

Son los polígonos que limitan un poliedro. Su abreviatura es

C

.

Aristas:

Son las uniones de dos caras por uno de sus lados. Su abreviatura es

A

.

Vértices:

Son las uniones de tres o más caras por uno de sus vértices. Su abreviatura

es

V

.

Caras concurrentes en un vértice:

Son las caras que tienen un vértice en común. Yo

uso la abreviatura

C

V

.

(6)

6

1ª FÓRMULA

Esta fórmula vale para cualquier poliedro convexo o no convexo sin excepción. En el

libro la compruebo con los sólidos platónicos, con los sólidos arquimedianos, con los

sólidos de Catalan, con los sólidos de Johnson, con los prismas, con los antiprismas y

con los sólidos de Kepler-Poinsot.

(7)

7

SÓLIDOS PLATÓNICOS

1. Tetraedro regular

Características

Comprobación de la fórmula

4 caras de 3 lados

6 aristas

4 vértices

2. Cubo

Características

Comprobación de la fórmula

6 caras de 4 lados

12 aristas

8 vértices

3. Octaedro regular

Características

Comprobación de la fórmula

8 caras de 3 lados

12 aristas

(8)

8

4. Dodecaedro regular

Características

Comprobación de la fórmula

2 caras de 5 lados

30 aristas

20 vértices

5. Icosaedro regular

Características

Comprobación de la fórmula

20 caras de 3 lados

30 aristas

(9)

9

SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS

1. Tetraedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

8 caras: 4 de 6 lados

4 de 3 lados

18 aristas

12 vértices

2. Cuboctaedro

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

24 aristas

(10)

10

3. Cubo truncado

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

36 aristas

24 vértices

4. Octaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

6 de 4 lados

36 aristas

(11)

11

5. Rombicuboctaedro

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

48 aristas

24 vértices

6. Cuboctaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 6 lados

12 de 4 lados

72 aristas

(12)

12

7. Cubo romo

Características

Comprobación de la fórmula

32 de 3 lados

60 aristas

24 vértices

8. Icosidodecaedro

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 3 lados

60 aristas

(13)

13

9. Dodecaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 3 lados

90 aristas

60 vértices

10. Icosaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

12 de 5 lados

90 aristas

(14)

14

11. Rombicosidodecaedro

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

12. Icosidodecaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 6 lados

30 de 4 lados

180 aristas

(15)

15

13. Dodecaedro romo

Características

Comprobación de la fórmula

80 de 3 lados

150 aristas

(16)

16

SÓLIDOS DE CATALÁN

1. Triaquistetraedro

Características

Comprobación de la fórmula

12 caras de 3 lados

18 aristas

8 vértices

2. Rombododecaedro

Características

Comprobación de la fórmula

12 caras de 4 lados

24 aristas

14 vértices

3. Triaquisoctaedro

Características

Comprobación de la fórmula

24 caras de 3 lados

36 aristas

(17)

17

4. Tetraquishexaedro

Características

Comprobación de la fórmula

24 caras de 3 lados

36 aristas

14 vértices

5. Icositetraedro deltoidal

Características

Comprobación de la fórmula

24 caras de 4 lados

48 aristas

26 vértices

6. Hexaquisoctaedro

Características

Comprobación de la fórmula

48 caras de 3 lados

72 aristas

(18)

18

7. Triacontaedro rómbico

Características

Comprobación de la fórmula

30 caras de 4 lados

60 aristas

32 vértices

8. Triaquisicosaedro

Características

Comprobación de la fórmula

60 caras de 3 lados

90 aristas

32 vértices

9. Pentaquisdodecaedro

Características

Comprobación de la fórmula

60 caras de 3 lados

90 aristas

(19)

19

10. Hexecontaedro deltoidal

Características

Comprobación de la fórmula

60 caras de 4 lados

120 aristas

62 vértices

11. Hexaquisicosaedro

Características

Comprobación de la fórmula

120 caras de 3 lados

180 aristas

62 vértices

12. Icositetraedro pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

24 caras de 5 lados

60 aristas

(20)

20

13. Hexecontaedro

pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

60 caras de 5 lados

150 aristas

(21)

21

SÓLIDOS DE JOHNSON

1. Pirámide cuadrada

Características

Comprobación de la fórmula

4 de 3 lados

8 aristas

5 vértices

2. Pirámide pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 3 lados

10 aristas

(22)

22

3. Cúpula triangular

Características

Comprobación de la fórmula

3 de 4 lados

4 de 3 lados

15 aristas

9 vértices

4. Cúpula cuadrada

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 4 lados

4 de 3 lados

20 aristas

(23)

23

5. Cúpula pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

1 de 5 lados

5 de 4 lados

5 de 3 lados

25 aristas

15 vértices

6. Rotonda pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

6 de 5 lados

10 de 3 lados

35 aristas

(24)

24

7. Pirámide triangular elongada

Características

Comprobación de la fórmula

4 de 3 lados

12 aristas

7 vértices

8. Pirámide cuadrada elongada

Características

Comprobación de la fórmula

4 de 3 lados

16 aristas

(25)

25

9. Pirámide pentagonal elongada

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 4 lados

5 de 3 lados

20 aristas

11 vértices

10. Pirámide cuadrada giroelongada

Características

Comprobación de la fórmula

12 de 3 lados

20 aristas

9 vértices

11. Pirámide pentagonal giroelongada

Características

Comprobación de la fórmula

15 de 3 lados

25 aristas

(26)

26

12. Bipirámide triangular

Características

Comprobación de la fórmula

6 caras de 3 lados

9 aristas

5 vértices

13. Bipirámide pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

10 caras de 3 lados

15 aristas

7 vértices

14. Bipirámide triangular elongada

Características

Comprobación de la fórmula

6 de 3 lados

15 aristas

(27)

27

15. Bipirámide cuadrada elongada

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

20 aristas

10 vértices

16. Bipirámide pentagonal elongada

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 3 lados

25 aristas

12 vértices

17. Bipirámide cuadrada giroelongada

Características

Comprobación de la fórmula

16 caras de 3 lados

24 aristas

(28)

28

18. Cúpula triangular elongada

Características

Comprobación de la fórmula

9 de 4 lados

4 de 3 lados

27 aristas

15 vértices

19. Cúpula cuadrada elongada

Características

Comprobación de la fórmula

13 de 4 lados

4 de 3 lados

36 aristas

(29)

29

20. Cúpula pentagonal elongada

Características

Comprobación de la fórmula

1 de 5 lados

15 de 4 lados

5 de 3 lados

45 aristas

25 vértices

21. Rotonda pentagonal elongada

Características

Comprobación de la fórmula

6 de 5 lados

10 de 4 lados

55 aristas

(30)

30

22. Cúpula triangular giroelongada

Características

Comprobación de la fórmula

3 de 4 lados

16 de 3 lados

33 aristas

15 vértices

23. Cúpula cuadrada giroelongada

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 4 lados

20 de 3 lados

44 aristas

(31)

31

24. Cúpula pentagonal giroelongada

Características

Comprobación de la fórmula

1 de 5 lados

5 de 4 lados

25 de 3 lados

55 aristas

25 vértices

25. Rotonda pentagonal

giroelongada

Características

Comprobación de la fórmula

6 de 5 lados

30 de 3 lados

65 aristas

(32)

32

26. Girobifastigium

Características

Comprobación de la fórmula

4 de 3 lados

14 aristas

8 vértices

27. Ortobicúpula triangular

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

24 aristas

12 vértices

28. Ortobicúpula cuadrada

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

32 aristas

(33)

33

29. Girobicúpula cuadrada

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

32 aristas

16 vértices

30. Ortobicúpula pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 4 lados

10 de 3 lados

40 aristas

(34)

34

31. Girobicúpula pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 4 lados

10 de 3 lados

40 aristas

20 vértices

32. Ortocupularrotonda pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 4 lados

15 de 3 lados

50 aristas

(35)

35

33. Girocupularrotonda pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 4 lados

15 de 3 lados

50 aristas

25 vértices

34. Ortobirrotonda pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 3 lados

60 aristas

(36)

36

35. Ortobicúpula triangular elongada

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

36 aristas

18 vértices

36. Girobicúpula triangular elongada

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

36 aristas

18 vértices

37. Girobicúpula cuadrada elongada

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

48 aristas

(37)

37

38. Ortobicúpula pentagonal elongada

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 4 lados

10 de 3 lados

60 aristas

30 vértices

39. Girobicúpula pentagonal elongada

Características

Comprobación de la fórmula

32 caras: 2 de 5 lado

20 de 4 lados

10 de 3 lados

60 aristas

(38)

38

40. Ortocupularrotonda pentagonal

elongada

Características

Comprobación de la fórmula

15 de 4 lados

15 de 3 lados

70 aristas

35 vértices

41. Girocupularrotonda pentagonal

elongada

Características

Comprobación de la fórmula

15 de 4 lados

15 de 3 lados

70 aristas

(39)

39

42. Ortobirrotonda pentagonal elongada

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 4 lados

20 de 3 lados

80 aristas

40 vértices

43. Girobirrotonda pentagonal elongada

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 4 lados

20 de 3 lados

80 aristas

(40)

40

44. Bicúpula triangular giroelongada

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 3 lados

42 aristas

18 vértices

45. Bicúpula cuadrada giroelongada

Características

Comprobación de la fórmula

24 de 3 lados

56 aristas

(41)

41

46. Bicúpula pentagonal giroelongada

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 4 lados

30 de 3 lados

70 aristas

30 vértices

47. Cupularrotonda pentagonal

giroelongada

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 4 lados

35 de 3 lados

80 aristas

(42)

42

48. Birrotonda pentagonal giroelongada

Características

Comprobación de la fórmula

40 de 3 lados

90 aristas

40 vértices

49. Prisma triangular aumentado

Características

Comprobación de la fórmula

6 de 3 lados

13 aristas

7 vértices

50. Prisma triangular biaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 3 lados

17 aristas

(43)

43

51. Prisma triangular triaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

14 caras de 3 lados

21 aristas

9 vértices

52. Prisma pentagonal aumentado

Características

Comprobación de la fórmula

4 de 4 lados

4 de 3 lados

19 aristas

11 vértices

53. Prisma pentagonal biaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

3 de 4 lados

8 de 3 lados

23 aristas

(44)

44

54. Prisma hexagonal aumentado

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 4 lados

4 de 3 lados

22 aristas

13 aristas

55. Prisma hexagonal

parabiaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

4 de 4 lados

8 de 3 lados

26 aristas

(45)

45

56. Prisma hexagonal metabiaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

4 de 4 lados

8 de 3 lados

26 aristas

14 vértices

57. Prisma hexagonal triaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

3 de 4 lados

12 de 3 lados

30 aristas

(46)

46

58. Dodecaedro aumentado

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 3 lados

35 aristas

21 vértices

59. Dodecaedro parabiaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 3 lados

40 aristas

22 vértices

60. Dodecaedro metabiaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 3 lados

40 aristas

(47)

47

61. Dodecaedro triaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

15 de 3 lados

45 aristas

23 vértices

62. Icosaedro metabidisminuido

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 3 lados

20 aristas

10 vértices

63. Icosaedro tridisminuido

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 3 lados

15 aristas

(48)

48

64. Icosaedro tridisminuido aumentado

Características

Comprobación de la fórmula

7 de 3 lados

18 aristas

10 vértices

65. Tetraedro truncado aumentado

Características

Comprobación de la fórmula

3 de 4 lados

8 de 3 lados

27 aristas

(49)

49

66. Cubo truncado aumentado

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 4 lados

12 de 3 lados

48 aristas

28 vértices

67. Cubo truncado biaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 4 lados

16 de 3 lados

60 aristas

(50)

50

68. Dodecaedro truncado aumentado

Características

Comprobación de la fórmula

1 de 5 lados

5 de 4 lados

25 de 3 lados

105 aristas

(51)

51

69. Dodecaedro truncado

parabiaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

2 de 5 lados

10 de 4 lados

30 de 3 lados

120 aristas

(52)

52

70. Dodecaedro truncado

metabiaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

2 de 5 lados

10 de 4 lados

30 de 3 lados

120 aristas

(53)

53

71. Dodecaedro truncado

triaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

3 de 5 lados

15 de 4 lados

35 de 3 lados

135 aristas

75 vértices

72. Rombicosidodecaedro giroide

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

(54)

54

73. Rombicosidodecaedro parabigiroide

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

74. Rombicosidodecaedro metabigiroide

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

(55)

55

75. Rombicosidodecaedro trigiroide

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

76. Rombicosidodecaedro disminuido

Características

Comprobación de la fórmula

52 caras: 1 de 10 caras

11 de 5 lados

25 de 4 lados

15 de 3 lados

105 aristas

(56)

56

77. Rombicosidodecaedro paragiroide

disminuido

Características

Comprobación de la fórmula

11 de 5 lados

25 de 4 lados

15 de 3 lados

105 aristas

(57)

57

78. Rombicosidodecaedro metagiroide

disminuido

Características

Comprobación de la fórmula

11 de 5 lados

25 de 4 lados

15 de 3 lados

105 aristas

(58)

58

79. Rombicosidodecaedro bigiroide

disminuido

Características

Comprobación de la fórmula

11 de 5 lados

25 de 4 lados

15 de 3 lados

105 aristas

(59)

59

80. Rombicosidodecaedro

parabidisminuido

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 5 lados

20 de 4 lados

10 de 3 lados

90 aristas

(60)

60

81. Rombicosidodecaedro

metabidisminuido

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 5 lados

20 de 4 lados

10 de 3 lados

90 aristas

(61)

61

82. Rombicosidodecaedro giroide

bidisminuido

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 5 lados

20 de 4 lados

10 de 3 lados

90 aristas

(62)

62

83. Rombicosidodecaedro tridisminuido

Características

Comprobación de la fórmula

9 de 5 lados

15 de 4 lados

5 de 3 lados

75 aristas

45 vértices

84. Biesfenoide romo

Características

Comprobación de la fórmula

12 caras de 3 lados

18 aristas

(63)

63

85. Antiprisma cuadrado romo

Características

Comprobación de la fórmula

24 de 3 lados

40 aristas

18 vértices

86. Esfenocorona

Características

Comprobación de la fórmula

12 de 3 lados

22 aristas

(64)

64

87. Esfenocorona aumentada

Características

Comprobación de la fórmula

16 de 3 lados

26 aristas

11 vértices

88. Esfenomegacorona

Características

Comprobación de la fórmula

16 de 3 lados

28 aristas

(65)

65

89. Hebesfenomegacorona

Características

Comprobación de la fórmula

18 de 3 lados

33 aristas

14 vértices

90. Biesfenocíngulo

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 3 lados

38 aristas

(66)

66

91. Bilunabirrotonda

Características

Comprobación de la fórmula

2 de 4 lados

8 de 3 lados

26 aristas

14 vértices

92. Hebesfenorrotonda triangular

Características

Comprobación de la fórmula

3 de 5 lados

3 de 4 lados

13 de 3 lados

36 aristas

(67)

67

PRISMAS

1. Prisma triangular

Características

Comprobación de la fórmula

2 de 3 lados

9 aristas

6 vértices

2. Prisma pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 4 lados

15 aristas

10 vértices

3. Prisma hexagonal

Características

Comprobación de la fórmula

6 de 4 lados

18 aristas

(68)

68

4. Prisma octogonal

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 4 lados

24 aristas

16 vértices

5. Prisma decagonal

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 4 lados

30 aristas

(69)

69

ANTIPRISMAS

1. Antiprisma cuadrado

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

16 aristas

8 vértices

2. Antiprisma pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 3 lados

20 aristas

10 vértices

3. Antiprisma hexagonal

Características

Comprobación de la fórmula

12 de 3 lados

24 aristas

(70)

70

4. Antiprisma octogonal

Características

Comprobación de la fórmula

16 de 3 lados

32 aristas

16 vértices

5. Antiprisma decagonal

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 3 lados

40 aristas

(71)

71

SÓLIDOS DE KEPLER-POINSOT

1. Pequeño dodecaedro estrellado

Características

Comprobación de la fórmula

12 caras de 5 lados

30 aristas

12 vértices

2. Gran dodecaedro estrellado

Características

Comprobación de la fórmula

12 caras de 5 lados

30 aristas

(72)

72

3. Gran icosaedro

Características

Comprobación de la fórmula

20 caras de 3 lados

30 aristas

12 vértices

4. Gran dodecaedro

Características

Comprobación de la fórmula

12 caras de 5 lados

30 aristas

(73)

73

2ª FÓRMULA

Esta fórmula vale para todos los poliedros que cumplan que el número de caras

concurrentes en los vértices sea siempre el mismo, por que si no, no se podría

calcular la fórmula. Son los sólidos platónicos, los sólidos arquimedianos, los

pris-mas, los antiprismas y los 25 siguientes sólidos de Johnson: 15, 27, 28, 29, 30, 31, 32,

33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 57, 72, 73, 74, 75, 85 y 92.

(74)

74

SÓLIDOS PLATÓNICOS

1. Tetraedro regular

Características

Comprobación de la fórmula

4 caras de 3 lados

6 aristas

4 vértices

3 caras concurrentes en cada vértice

2. Cubo

Características

Comprobación de la fórmula

6 caras de 4 lados

12 aristas

8 vértices

(75)

75

3. Octaedro regular

Características

Comprobación de la fórmula

8 caras de 3 lados

12 aristas

6 vértices

4. Dodecaedro regular

Características

Comprobación de la fórmula

12 caras de 5 lados

30 aristas

20 vértices

5. Icosaedro regular

Características

Comprobación de la fórmula

20 caras de 3 lados

30 aristas

12 vértices

(76)

76

SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS

1. Tetraedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

4 de 3 lados

18 aristas

12 vértices

2. Cuboctaedro

Características

Comprobación de lan fórmula

8 de 3 lados

24 aristas

12 vértices

(77)

77

3. Cubo truncado

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

36 aristas

24 vértices

4. Octaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

6 de 4 lados

36 aristas

24 vértices

(78)

78

5. Rombicuboctaedro

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

48 aristas

24 vértices

6. Cuboctaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 6 lados

12 de 4 lados

72 aristas

48 vértices

(79)

79

7. Cubo romo

Características

Comprobación de la fórmula

32 de 3 lados

60 aristas

24 vértices

8. Icosidodecaedro

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 3 lados

60 aristas

30 vértices

(80)

80

9. Dodecaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 3 lados

90 aristas

60 vértices

10. Icosaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

12 de 5 lados

90 aristas

60 vértices

(81)

81

11. Rombicosidodecaedro

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

4 caras concurremtes en cada vértice

12. Icosidodecaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 6 lados

30 de 4 lados

180 aristas

120 vértices

(82)

82

13. Dodecaedro romo

Características

Comprobación de la fórmula

80 de 3 lados

150 aristas

60 vértices

(83)

83

SÓLIDOS DE JOHNSON

15. Bipirámide cuadrada elongada

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

20 aristas

10 vértices

27. Ortobicúpula triangular

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

24 aristas

12 vértices

(84)

84

28. Ortobicúpula cuadrada

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

32 aristas

16 vértices

4 caras concurrentes en un vértice

29. Girobicúpula cuadrada

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

32 aristas

16 vértices

(85)

85

30. Ortobicúpula pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 4 lados

10 de 3 lados

40 aristas

20 vértices

31. Girobicúpula pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 4 lados

10 de 3 lados

40 aristas

20 vértices

(86)

86

32. Ortocupularrotonda pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 4 lados

15 de 3 lados

50 aristas

25 vértices

33. Girocupularrotonda pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 4 lados

15 de 3 lados

50 aristas

25 vértices

(87)

87

34. Ortobirrotonda pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 3 lados

60 aristas

30 vértices

35. Ortobicúpula triangular elongada

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

36 aristas

18 vértices

(88)

88

36. Girobicúpula triangular elongada

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

36 aristas

18 vértices

4 caras concurrentes en un vértice

37. Girobicúpula cuadrada elongada

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

48 aristas

24 vértices

(89)

89

38. Ortobicúpula pentagonal elongada

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 4 lados

10 de 3 lados

60 aristas

30 vértices

39. Girobicúpula pentagonal elongada

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 4 lados

10 de 3 lados

60 aristas

30 vértices

(90)

90

40. Ortocupularrotonda pentagonal

elongada

Características

Comprobación de la fórmula

15 de 4 lados

15 de 3 lados

70 aristas

35 vértices

41. Girocupularrotonda pentagonal

elongada

Características

Comprobación de la fórmula

15 de 4 lados

15 de 3 lados

70 aristas

35 vértices

(91)

91

42. Ortobirrotonda pentagonal elongada

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 4 lados

20 de 3 lados

80 aristas

40 vértices

43. Girobirrotonda pentagonal elongada

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 4 lados

20 de 3 lados

80 aristas

40 vértices

(92)

92

57. Prisma hexagonal triaumentado

Características

Comprobación de la fórmula

3 de 4 lados

12 de 3 lados

30 aristas

15 vértices

72. Rombicosidodecaedro giroide

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

(93)

93

73. Rombicosidodecaedro parabigiroide

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

74. Rombicosidodecaedro metabigiroide

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

(94)

94

75. Rombicosidodecaedro trigiroide

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados

20 de 3 lados

120 aristas

60 vértices

85. Antiprisma cuadrado romo

Características

Comprobación de la fórmula

24 de 3 lados

40 aristas

16 vértices

(95)

95

92. Hebesfenorrotonda triangular

Características

Comprobación de la fórmula

3 de 5 lados

3 de 4 lados

13 de 3 lados

36 aristas

18 vértices

(96)

96

PRISMAS

1. Prisma triangular

Características

Comprobación de la fórmula

2 de 3 caras

9 aristas

6 vértices

2. Prisma pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

5 de 4 caras

15 aristas

10 vértices

(97)

97

3. Prisma hexagonal

Características

Comprobación de la fórmula

6 de 4 caras

18 aristas

12 vértices

4. Prisma octogonal

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 4 lados

24 aristas

16 vértices

(98)

98

5. Prisma decagonal

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 4 caras

30 aristas

20 vértices

(99)

99

ANTIPRISMAS

1. Antiprisma cuadrado

Características

Comprobación de la fórmula

8 de 3 lados

16 aristas

8 vértices

2. Antiprisma pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

10 de 3 lados

20 aristas

10 vértices

(100)

100

3. Antiprisma hexagonal

Características

Comprobación de la fórmula

12 de 3 lados

24 aristas

12 vértices

4. Antiprisma octogonal

Características

Comprobación de la fórmula

16 de 3 lados

32 aristas

16 vértices

(101)

101

5. Antiprisma decagonal

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 3 lados

40 aristas

20 vértices

(102)

102

3ª FÓRMULA

Esta fórmula vale para los poliedros que cumplan que la configuración de los

vértices sea la misma en todos ellos, porque si no, no se podría calcular la fórmula.

Son los sólidos platónicos, los sólidos arquimedianos, los prismas, los antiprismas y

los 7 siguientes sólidos de Johnson: 27, 34, 37, 72, 73, 74 y 75.

Cuando en la configuración de los vértices todos los números están al menos dos

veces, el m. c. d. hay que dividirlo entre 2; cuando están al menos tres veces hay que

dividir el m. c. d. entre 3, y así sucesivamente.

Casos en que hay que dividir el m. c. d. entre 2:

Los sólidos arquimedianos 2 y 8; y

los sólidos de Johnson 27 y 34.

Casos en que hay que dividir el m. c. d. entre 3:

Los sólidos platónicos 1, 2 y 4.

Casos en que hay que dividir el m. c. d. entre 4:

El sólido platónico 3.

(103)

103

SÓLIDOS PLATÓNICOS

1. Tetraedro regular

Características

Comprobación de la fórmula

4 caras de 3 lados 4 x 3 = 12

6 aristas m. c. d. de 12 = 12 12 : 3 = 4

4 vértices 12 : 4 = 3

Configuración de los vértices: 3, 3, 3 Configuración de los vértices: 3, 3, 3

2. Cubo

Características

Comprobación de la fórmula

12 aristas m. c. d. de 24 = 24 24 : 3 = 8

8 vértices 24 : 8 = 3

(104)

104

3. Octaedro regular

Características

Comprobación de la fórmula

12 aristas m. c. d. de 24 = 24 24 : 4 = 6

6 vértices 24 : 6 = 4

Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3 Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3

4. Dodecaedro regular

Características

Comprobación de la fórmula

30 aristas m. c. d. de 60 = 60 60 : 3 = 20

20 vértices 60 : 20 = 3

Configuración de los vértices: 5, 5, 5 Configuración de los vértices: 5, 5, 5

5. Icosaedro regular

Características

Comprobación de la fórmula

30 aristas m. c. d. de 60 = 60 60 : 5 = 12

12 vértices 60 : 12 = 5

(105)

105

SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS

1. Tetraedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

8 caras: 4 de 6 lados 4 x 6 = 24 4 x 3 = 12

4 de 3 lados m. c. d. de 24 y 12 = 12

18 arista 24 : 12 = 2 12 : 12 = 1

12 vértices Configuración de los vértices: 3, 6, 6

Configuración de los vértices: 3, 6, 6

2. Cuboctaedro

Características

Comprobación de la fórmula

14 caras: 6 de 4 lados 4 x 6 = 24 8 x 3 = 24

8 de 3 lados m. c. d. de 24 y 24 = 24 24 : 2 = 12

24 aristas 24 : 12 = 2 24 : 12 = 2

12 vértices Configuración de los vértices: 3, 4, 3, 4

(106)

106

3. Cubo truncado

Características

Comprobación de la fórmula

14 caras: 6 de 8 lados 6 x 8 = 48 8 x 3 = 24

8 de 3 lados m. c. d. de 48 y 24 = 24

36 aristas 48 : 24 = 2 24 : 24 = 1

4. Octaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

14 caras: 8 de 6 lados 8 x 6 = 48 6 x 4 = 24

6 de 4 lados m. c. d. de 48 y 24 = 24

36 aristas 48 : 24 = 2 24 : 24 = 1

24 vértice Configuración de los vértices: 4, 6, 6

(107)

107

5. Rombicuboctaedro

Características

Comprobación de la fórmula

26 caras: 18 de 4 lados 18 x 4 = 72 8 x 3 = 24

8 de 3 lados m. c. d. de 72 y 24 = 24

48 aristas 72 : 24 = 3 24 : 24 = 1

Configuración de los vértices: 3, 4, 4, 4

6. Cuboctaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

26 caras: 6 de 8 lados 6 x 8 = 48 8 x 6 = 48 12 x 4 = 48

8 de 6 lados m. c. d. de 48, 48 y 48 = 48

12 de 4 lados 48 : 48 = 1 48 : 48 = 1 48 : 48 = 1

72 aristas Configuración de los vértices: 4, 6, 8

48 vértices

(108)

108

7. Cubo romo

Características

Comprobación de la fórmula

38 caras: 6 de 4 lados 6 x 4 = 24 32 x 3 = 96

32 de 3 lados m. c. d. de 24 y 96 = 24

60 aristas 24 : 24 = 1 96 : 24 = 4

24 vértices Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 4

Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 4

8. Icosidodecaedro

Características

Comprobación de la fórmula

32 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 20 x 3 = 60

20 de 3 lados m. c. d. de 60 y 60 = 60 60 : 2 = 30

60 aristas 60 : 30 = 2 60 : 30 = 2

(109)

109

9. Dodecaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

32 caras: 12 de 10 lados 12 x 10 = 120 20 x 3 = 60

20 de 3 lados m. c. d. de 120 y 60 = 60

90 aristas 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1

10. Icosaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

32 caras: 20 de 6 lados 20 x 6 = 120 12 x 5 = 60

12 de 5 lados m. c. d. de 120 y 60 = 60

90 aristas 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1

(110)

110

11. Rombicosidodecaedro

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60

20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1

120 aristas Configuración de los vértices: 3, 4, 5, 4

60 vértices

12. Icosidodecaedro truncado

Características

Comprobación de la fórmula

20 de 6 lados m. c. d. de 120, 120 y 120 = 120

30 de 4 lados 120 : 120 = 1 120 : 120 = 1 120 : 120 = 1

180 aristas Configuración de los vértices: 4, 6, 10

120 vértices

(111)

111

13. Dodecaedro romo

Características

Comprobación de la fórmula

92 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 80 x 3 = 240

80 de 3 lados m. c. d. de 60 y 240 = 60

150 aristas 60 : 60 = 1 240 : 60 = 4

60 vértices Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 5

(112)

112

SÓLIDOS DE JOHNSON

27. Ortobicúpula triangular

Características

Comprobación de la fórmula

14 caras: 6 de 4 lados 6 x 4 = 24 8 x 3 = 24

8 de 3 lados m. c. d. de 24 y 24 = 24 24 : 2 = 12

24 aristas 24 : 12 = 2 24 : 12 = 2

34. Ortobirrotonda pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

32 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 20 x 3 = 60

20 de 3 lados m. c. d. de 60 y 60 = 60 60 : 2 = 30

60 aristas 60 : 30 = 2 60 : 30 = 2

(113)

113

37. Girobicúpula cuadrada elongada

Características

Comprobación de la fórmula

26 caras: 18 de 4 lados 18 x 4 = 72 8 x 3 = 24

8 de 3 lados m. c. d. de 72 y 24 = 24

48 aristas 72 : 24 = 3 24 : 24 = 1

72. Rombicosidodecaedro giroide

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60

20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1

60 vértices

(114)

114

73. Rombicosidodecaedro parabigiroide

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60

20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1

60 vértices

74. Rombicosidodecaedro metabigiroide

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60

20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1

60 vértices

(115)

115

75. Rombicosidodecaedro trigiroide

Características

Comprobación de la fórmula

30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60

20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1

60 vértices

(116)

116

PRISMAS

1. Prisma triangular

Características

Comprobación de la fórmula

5 caras: 3 de 4 lados 3 x 4 = 12 2 x 3 = 6

2 de 3 lados m. c. d. de 12 y 6 = 6

9 aristas 12 : 6 = 2 6 : 6 = 1

2. Prisma pentagonal

Características

Comprobación de la fórmula

7 caras: 2 de 5 lados 2 x 5 = 10 5 x 4 = 20

5 de 4 lados m. c. d. de 10 y 20 = 10

15 aristas 10 : 10 = 1 20 : 10 = 2