VECTORES EN EL ESPACIO DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL, COMBINACIÓN LINEAL, BASE EJERCICIO 1 :
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(2) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato. 2. EJERCICIO 4 : →. →. →. →. a) Halla los valores de x, y, z tales que x u + y v + z w = 0, siendo. →. →. u (2,0,-3), v (1,-2,0) y w (3,2,-6). b) ¿Son linealmente independientes los tres vectores anteriores? ¿Forman una base de R3? Solución: a) x(2, 0, -3) + y(1, -2, 0) + z(3, 2, -6) = (0, 0, 0) ⇒ (2x + y + 3z, -2y + 2z, -3x - 6z) = (0, 0, 0) 2x + y + 3z = 0 − 2y + 2z = 0 Resolviendo el sistema por Gauss ⇒ Solucione s : x = −2λ, y = λ, z = λ − 3x − 6z = 0 b) Según los resultados obtenidos en el apartado a), deducimos que los vectores son linealmente dependientes. Por tanto, no son base. EJERCICIO 5 : Consideram os la base de R 3 formada por los vectores :. →. →. →. a (2,-1,3), b (0,2,-1), c (3,0,1) r a) Halla las coordenadas de u (4, − 7, 14) respecto de la base anterior.. r r r r b) Expresa, si es posible, el vector c como combinación lineal de a, b y u. Solución:. r r r r a) Tenemos que encontrar tres números x, y, z, tales que: u = x a + y b + z c , es decir : (4, -7, 14) = x(2, -1, 3) + y(0, 2,-1) + z(3, 0, 1) ⇒ (4, -7, 14) = (2x + 3z, -x + 2y, 3x - y + z) 2x + 3z = 4 − x + 2y = −7 Resolviendo el sistema por Gauss ⇒ Solución : x = 5, y = −1, z = −2 3 x − y + z = 14 r r r r r Por tanto, las coordenada s de u respecto de la base dada son (5, − 1, − 2), es decir : u = 5a − b − 2c b) De la igualdad obtenida en a), tenemos. r. que: u. r r r = 5a − b − 2c. →. r r r r 2c = 5a − b − u. →. r 5r 1r 1r c = a− b− u 2 2 2. PRODUCTO ESCALAR Y APLICACIONES (Módulo de un vector, ángulo que forman dos vectores, proyección ortogonal,…). r. (. ). r. (. ). EJERCICIO 6 : Dados los vetores u 2, − 1, 3 , v 4, 2, − 2 y r r r r a) Halla u , v y el ángulo que forman u y v. r r b) Obtén el valor de x para que u y w formen un ángulo de 60 o . Solución: r a) u = 2 2 + (− 1)2 + 3 2 = 14 ≈ 3,74. r w (1, 2, x ):. r v = 4 2 + 2 2 + (− 2 )2 = 24 ≈ 4,90 r r Si llamamos α al ángulo que forman u y v, tenemos que : r r r r u·v 8−2−6 o cos α = r r = r r = 0 → u y v son perpendicu lares, es decir, α = 90 . u · v u · v r r u·w 1 2 − 2 + 3x 1 3x o → = b) Ha de cumplirse que: cos 60 = r r , es decir: = 2 2 u · w 14 · 5 + x 2 70 + 14x 2 70 + 14 x2 = 6 x. →. 70 + 14 x 2 = 36 x2. 35 x = − 11 70 35 x2 = = 22 11 35 x = 11. →. 70 = 22 x2. r r (no vale, pues u · v = 3 x > 0).
(3) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato r r EJERCICIO 7 : Dados los vectores u (1, 0, 0 ) y v (1, 1, 0 ): r r r r a) Halla la proyección de u sobre v, así como el ángulo que forman u y v.. 3. r r b) Encuentra un vector (x , y , z ) ≠ (0, 0, 0 ), que sea combinació n lineal de u y v, y que sea perpendicular a (1, 0, 0).. Solución:. r r 1 1 r u·vr 1 Proyección de u sobre v: u´= r 2 v = (1,1,0) = ( , ,0) 2 2 2 v r r r r u·v 1 1 2 Si llamamos α al ángulo que forman u y v, tenemos que : cos α = r = = → α = 45o r = u · v 1· 2 2 2 r r r r b) Un vector que sea combinació n lineal de u y v es de la forma au + bv, es decir : r r a u + b v = a (1, 0, 0 ) + b (1, 1, 0 ) = (a + b, b, 0 ) Para que sea perpendicular a (1, 0, 0), su producto escalar ha de ser cero: (a + b, b, 0) · (1, 0, 0) = 0 ⇒ a + b = 0 ⇒ b = - a Por tanto, cualquier vector de la forma: (0, b, 0), con b ≠ 0 cumple las condiciones exigidas. r r EJERCICIO 8 : Sean u y v dos vectores que forman un ángulo de 45 o y que tienen , r r el mismo módulo u = v = 2. r r r r a) ¿Cuál es el módulo de u + v? ¿Y el de u − v? r r r r b) Demuestra que u + v y u − v son perpendicu lares. Solución: r r 2 r r r r r r r r r r r r r a) u + v = (u + v ) · (u + v ) = u · u + u · v + v · u + v · v = u. 2. r r r +2·u· v+ v. 2. =. r r r r = 4 + 2 · u · v · cos (u, v ) + 4 = 4 + 8 ·. 2 r r + 4 = 8+4 2 → u + v = 8 + 4 2 ≈ 3,70 2 r r 2 r r r r r 2 r r r 2 r r u − v = (u − v ) · (u − v ) = u − 2u · v + v = 4 − 2 · u · v · cos 45o + 4 = 8 − 4 2 r r u − v = 8 − 4 2 ≈ 1,53. r r r r r r r r r r r r r 2 r 2 r r r r b) (u + v ) · (u − v ) = u · u − u · v + v · u − v · v = u − v = 4 − 4 = 0 ⇒ (u + v ) ⊥ (u − v ) EJERCICIO 9 :. r r r r r Dados los vectores a (1, − 1, 0 ), b (0, 1, − 1) y c = ma − b :. r r a) Halla el valor de m para que a y c sean perpendicu lares. r r b) Para m = 2, halla el ángulo que forman b y c.. Solución: r r r a) c = ma − b = m(1, − 1, 0) − (0, 1, − 1) = (m, − m − 1, 1) r r r r 1 a ⊥ c → a · c = (1, − 1, 0 ) · (m, − m − 1, 1) = m + m + 1 = 2m + 1 = 0 → m = − 2 r r r b) Para m = 2, queda c (2, − 3, 1). Si llamamos α al ángulo que forman b y c, r r b · c −4 −4 tenemos que: cos α = r = ≈ 0,76 → α = 139 o 27' 51' ' r = 2 · 14 28 b · c.
(4) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato →. →. EJERCICIO 10 : Dados los vectores. →. →. →. →. →. →. →. b y tenga el mismo módulo que a .. s r r Solución: a (2, − 1, 0 ) b (1, 2, − 1) c (x , y, 0) r r r r x = −2y c ⊥ b → c · b = 0 → x + 2y = 0 y = −1 → x = 2 2 2 r r c = a → x 2 + y 2 = 5 → x 2 + y 2 = 5 4 y 2 + y 2 = 5 5 y = 5 → y = 1 → y = 1 → x = −2 Hay dos soluciones: r • x = 2, y = −1, que correspond e a c (2, − 1, 0 ). r • x = −2, y = 1, que correspond e a c (− 2, 1, 0 ). PRODUCTO VECTORIAL. r r Dados los vectores u (1, 3, 0) y v (2, 1, 1): r r r a) Halla un vector, w , de módulo 1, que sea perpendicular a u y a v. r r b) ¿Cuál es el área del paralelogramo determinado por u y v?. EJERCICIO 11 :. Solución: r r r r a) Un vector perpendicu lar a u y a v es: u × v = (1, 3, 0 ) × (2, 1, 1) = (3, − 1, − 5 ) r r r 3 u× v Dividimos por su módulo para conseguir que tenga módulo 1: w = r r = , u× v 35. 3 −3 −1 −5 y Hay dos soluciones: , , , 35 35 35 35 r r b) Área = u × v = 35 ≈ 5,92 u2. 1. −1 35. ,. −5 35 . 5 35 . ,. 35. EJERCICIO 12 :. r r a) Demuestra que, si u y v son dos vectores cualesquiera, se tiene que: (ur − vr ) × (ur + vr ) = 2(ur × vr ) r r b) Halla un vector perpendicular a u (2, − 1, 1) y a v (3, 0, − 1).. Solución:. r r r r r r r r r r r r (*) r r r r r r r r a) (u − v ) × (u + v ) = u × u + u × v − v × u − v × v = 0 + u × v + u × v − 0 = 2 (u × v ) r r r r r r r (*) Tenemos en cuenta que u × u = 0 y que u × v = −v × u. b) u × v = (2, − 1, 1) × (3, 0, − 1) = (1, 5, 3 ) →. EJERCICIO 13 : Halla el valor de m para que el área del paralelogramo determinado por →. v (0,m,1) sea 2. Solución: r r r r • El área del paralelogr amo determinad o por u y v es igual a u × v . r r r r • Calculamos u × v y hallamos su módulo : u × v = (2, 0, 1) × (0, m, 1) = (− m, − 2, 2m ). r r u×v =. (− m)2 + (− 2)2 + (2m)2. = m2 + 4 + 4m2 = 5m2 + 4. Igualamos a 2: Área = 5m 2 + 4 = 2. →. a =2 i - j ; b = i + 2 j – k ; halla x e y de forma que c =x i + y j. →. sea perpendicular a. →. 4. →. 5m 2 + 4 = 4. →. 5m 2 = 0. →. m=0. u (2,0,1) y.
(5) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato. 5. EJERCICIO 14 : a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, -1, 1) y a (1,-2,0) r r r r r r b) ¿Es cierto que (u × v )× w = u × (v × w )? Pon un ejemplo. Solución: a) Un vector perpendicular a los dos dados es: (3,-1, 1) x (1, -2, 0) = (2, 1, -5) 2 1 −5 , , Dividiendo por su módulo, tendrá módulo 1: 30 30 30 −2 −1 5 También cumple las condiciones su opuesto: , , 30 30 30 r r r b) En general, no es cierto. Por ejemplo: u = (1, 0, 0) v = (1, 0, 0) w = (0, 1, 0) r r r r r r r r (ur × vr )× wr = 0 × wr = 0 Por tanto, (u × v ) × w ≠ u × (v × w ). r r r r u × (v × w ) = u × (0, 0, 1) = (1, 0, 0) × (0, 0, 1) = (0, − 1, 0 ) →. EJERCICIO 15 : Halla el área de un paralelogramo determinado por los vectores r r r ( ) ( ) ( ) siendo: u 2 , − 1, 1 , v 0 , 1, − 1 y w 1, 0, 1. →. →. →. u x v y u x w,. Solución: r r r r r r r r r r • Calculamos u × v y u × w : a = u × v = (0, 2, 2) b = u × w = (− 1, − 1, 1) El área del paralelogramo determinado por a y b es igual al módulo del producto vectorial: r r a × b = (0, 2, 2) × (− 1, − 1, 1) = (4, − 2, 2). Área = 42 + (− 2)2 + 22 = 16 + 4 + 4 = 24 ≈ 4,90 u2 PRODUCTO MIXTO EJERCICIO 16 : →. →. →. u (2,-1,1), v (3,0.-2), w (2,-3,0) r r r r r r r b) ¿Cuánto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?: [2u, v, w ]; [u, v, u + v ] a) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores. Solución: r r r a) El volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w es igual al valor absoluto. −1 1 0 − 2 = −17 2 −3 0. 2 r r r de su producto mixto: [u, v, w ] = 3. →. Volumen = 17 u 3. r r r r r r b) Utilizando las propiedades de los determinantes, tenemos que: [2u, v, w ] = 2[u, v, w ] = 2 ⋅ (− 17 ) = −34 [ur , vr , ur + vr ] = 0 (el tercer vector depende linealment e de los dos primeros). EJERCICIO 17 : →. →. →. a) Halla los valores de m para que los vectores u (0,1,1), v (-2,0,1) y w (m,m-1,1) sean linealmente independientes. r r r b) Estudia si el vector (2, 1, 0 ) depende linealmente de u, v y w para el caso m = 3. Solución: a) Para que sean linealmente independientes, su producto mixto debe ser distinto de cero: 0 1 1 r r r [u, v, w ] = − 2 0 1 = 4 − m = 0 → m = 4 ⇒ Ha de ser m ≠ 4.. m. m −1 1. r r r b) Para m = 3, los vectores u, v y w son linealment e independie ntes, y forman una base de R3. Por tanto, cualquier vector de R3, en particular (2, 1, 0), depende linealmente de ellos..
(6) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato →. →. 6. →. EJERCICIO 18 : Dados los vectores u (1,2,3), v (1,1,1) y a) determinen un paralelepípedo de volumen 10.. w (1,λλ,5), halla el valor de λ para que: b) sean linealmente dependientes.. Solución: r r r a) El volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w es igual al valor absoluto. 1 2 3 r r r de su producto mixto: [u, v, w ] = 1 1 1 = 2λ − 6 1 λ 5 2λ − 6 = 10 → 2λ = 16 → λ = 8 Volumen = 2λ − 6 = 10 ⇒ 2λ − 6 = −10 → 2λ = −4 → λ = −2. Hay dos soluciones : λ1 = 8 ,. λ2 = −2 r r r b) Su producto mixto ha de ser cero: [u, v, w ] = 2λ − 6 = 0. r. (. →. ) r(. λ=3. ). r. (. ). EJERCICIO 19 : Dados los vectores u 1, 0, − 1 , v 0, 2, − 1 y w 2, − 2, 1 , se pide: a) El volumen del paralelepípedo determinado por ellos. r b) Halla, si existe, el valor de α para que el vector a (α, α, − 6 ) se pueda expresar como r r combinació n lineal de u y v. Solución:. 1 r r r a) Es igual al valor absoluto de su producto mixto: [u, v, w ] = 0. 0 2 2 −2 r r r r b) Los vectores u, v y a han de ser linealment e dependient es (u y. 1 0 r r r por tanto, su producto mixto ha de ser cero: [u, v, a] = 0 2. −1 −1 = 4. →. Volumen = 4 u 3. 1 r v son linealment e independientes);. −1 − 1 = 3α − 12 = 0. →. α=4. α α −6 EJERCICIO 20 : r r r a) Demuestra que los vectores u (k, − 3, 2 ), v (k, 3, 2 ) y w (1, 0, 0 ) son linealment e independientes, cualquiera que sea el valor de k. r r r b) ¿Cuál es el volumen del paralelepí pedo determinad o por u, v y w ? Solución: a) Tenemos que probar que su producto mixto es distinto de cero, sea cual sea el valor de k. k −3 2 [ur , vr , wr ] = k 3 2 = −12 ≠ 0 para todo k. 1 0 0 b) El volumen es igual al valor absoluto de su producto mixto. Por tanto: Volumen = 12 u3 REPASO. r r r EJERCICIO 21 : Dados los vectores u (2, − 1, 1), v (3, − 1, 0 ) y w (m, 2, − m ): r r a) Halla el valor de m para que u y w sean perpendicu lares. r r r r b) Calcula el ángulo que forman u y v. c) Halla el área del triángulo que determinan u y v. Solución: r r a) Para que u y w sean perpendicu lares, su producto escalar ha de ser cero : r r u · w = (2, − 1, 1) · (m, 2, − m ) = 2m − 2 − m = m − 2 = 0 → m = 2 r r b) Si llamamos α al ángulo que forman u y v, tenemos que : r r |u · v | 7 7 cos α = r = ≈ 0,904 → α = 25 o 21' 6 ' ' r = |u|·| v | 6 · 10 60.
(7) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato c) Área =. 7. 1 r r 1 (1, 3, 1) = 1 1 + 9 + 1 = 1 11 ≈ 1,66 u 2 u×v = 2 2 2 2. r r r EJERCICIO 22 : Consideram os los vectores a (1, 1, 2 ), b (0, − 2, 1) y c (3, 2, 1). Calcula: r r a) El área del triángulo que determinan a y b. r r r b) El volumen del paralelepípedo determinado por a, b y c. Solución: 1 r r 1 (1, 1, 2) × (0, − 2, 1) = 1 (5, − 1, − 2) = 1 25 + 1 + 4 = = 1 30 ≈ 2,74 u 2 a×b = 2 2 2 2 2 b) El volumen es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores: 1 1 2 r r r a, b, c = 0 − 2 1 = 11 → Volumen = 11 u 3 3 2 1 a) Área =. [. ]. EJERCICIO 23 :. r r r Dados los vectores u (− 1, 1, 1), v (2, 0, − 3) y w (k , 1, k ):. r r r a) Halla el valor de k para que el volumen del paralelepípedo determinado por u, v y w valga 11 u3 . r r b) Calcula el ángulo que forman u y v. Solución: a) El volumen del paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores: − 12 −1 1 1 r r r − 5k − 1 = 11 → k = 5 [u, v, w ] = 2 0 − 3 = −5k − 1 ⇒ Volumen = − 5k − 1 = 11 → − 5k − 1 = −11 → k = 2 k 1 k r r b) Si llamamos α al ángulo que forman u y v, tenemos que: r r |u · v | | −5 | 5 cos α = r = ≈ 0,80 → α = 36 o 48 ' 31' ' r = |u|·| v | 3 · 13 39 EJERCICIO 24 : Dados los puntos A(-2,0,1), B (1,-3,2), C (-1, 4, 5) y D (3, 1, -2), calcula: a) El área del triángulo de vértices A, B y C. b) El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. Solución:. a) AB (3, − 3, 1); AC (1, 4, 4 ) Área =. (− 16, − 11, 15 ). 1 1 AB × AC = 2 2. =. b) AB (3, − 3, 1); AC (1, 4, 4); AD (5, 1, − 3) 3. [AB, AC, AD ] = 1. −3. 1. 4. 4. 1. −3. 5. 1 2. (− 16 )2 + (− 11)2 + 15 2. = =. 1 2. 602 = 12,27 u 2. = −136 → Volumen = 136 u 3. EJERCICIO 25 : Sean los puntos A (2, -1, 3), B(-1,5,m), C (m, 2, -2) y D (0, 1,-3). Calcula el valor de. m , sabiendo que el paralelepí pedo determinado por los vectores AB, AC y AD tiene un volumen de 40 u 3 .. Solución:. AB (− 3, 6, m − 3 ); AC (m − 2, 3, − 5); AD (− 2, 2, − 6) −3. [AB, AC, AD] = m − 2 −2. 6 m−3 3. −5. 2. −6. = [54 + 2(m -2)(m -3) +60] – [- 6(m -3) + 30 - 36(m -2)] = 2m2 + 32m + 6.
(8) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato. 8. Volumen: V = |2m2 + 32m + 6| = 40. Dos posibilidades: • 2m2 + 32m + 6 = 40 ⇒ 2m2 + 32m - 34 = 0 ⇒ m2 +16m - 17 = 0 − 16 ± 256 + 68 − 16 ± 324 − 16 ± 18 m = 1 m= = = 2 2 2 m = −17 2 2 • 2m + 32m + 6 = -40 ⇒ 2m + 32m + 46 = 0 ⇒ m2 + 16m + 23 = 0. − 16 ± 256 − 92 − 16 ± 164 − 16 ± 2 41 = = = −8 ± 41 2 2 2 Hay cuatro soluciones: m1 = −17 ; m2 = 1; m3 = −8 + 41 ; m4 = −8 − 41 m=. REPRESENTAR PUNTOS EN EL ESPACIO EJERCICIO 26 : Representa los puntos siguientes: a) A(2, 3, -4), B(5, 3, 0) y C(0, 0, 4) b) A(0, 5, 2), B(1, 3, 0) y C(2, -3, 1) c) A(0, 0, 2), B(3, 2, 4) y C(4, -1, 3) d) A(0, 3, 1), B(0, 3, 0) y C(1, -2, 4) Solución:. APLICACIONES DE LOS VECTORES EJERCICIO 27 : Los puntos A(3, 0, 2), B(5, -1, 1) y C(-2, 3, 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Obtén el cuarto vértice y el centro del paralelogramo. Solución:. Como se trata de un paralelogramo, se tiene que AB = DC. Si D = (x, y, z ): (2,-1,-1)=(-2-x,3-y,1-z) de donde: x = -4, y = 4, z = 2 ⇒ D(-4, 4, 2) El centro del paralelogramo es el punto medio de una de las dos diagonales, así:. 1 3 3 M= , , 2 2 2 EJERCICIO 28 : Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(3,-1, 2) y B(-2, 2, 4) en tres partes iguales. Solución: AB = 3AP ⇒ (-1,3,2) = 3(x-3, y+1, z-2) ⇒ P(x,y,z) =. 8 8 ,0, 3 3. 8 8 −2 0+ 2 + 4 3 = 2 ,1, 10 Q = Pto_medio PB = , ,3 2 2 3 3 2 .
(9) Tema 5 – Vectores – Ejercicios resueltos – Matemáticas II – 2º Bachillerato. 9. EJERCICIO 29 : Dos de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(3, 0, -1) y B(2,-2, 3). El centro del paralelogramo está en el punto M(1, 2, -1). Halla los otros dos vértices. Solución: Llamemos C = (x1, y1, z1) y D = (x2, y2, z2).. 3 + x1 =1 2 C es el simétrico de A respecto de M, por tanto:. 0 + y1 =2 2. − 1 + z1 = −1 2 2+ x2 =1 → 2 D es el simétrico de B respecto de M. Así:. − 2 + y2 =2 2. →. 3+ z2 = −1 → 2. → x 1 = −1 → y1 = 4 C = (− 1, 4, − 1) → z1 = −1 x2 = 0 y 2 = 6 D = (0, 6, − 5) z 2 = −5 . EJERCICIO 30 : Calcula el valor de a para el cual los siguientes puntos están alineados: A(2, a, 0), B(6, 5, 2), C(8, 7, 3) Solución:. Los puntos A , B y C están alineados siempre que los vectores AB y BC tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales:. 6−2 5−a 2−0 5−a = = ⇒ =2 8−6 7 −5 3−2 2. →. 5−a = 4. →. a =1. EJERCICIO 31 : Halla el simétrico, P ', del punto P(2, 1,-3) respecto de Q(3, 5, 1).. Solución:. 2+α = 3 → α = 4 2 1+ β Llamamos P '(α,β,γ),de manera que: = 5 → β = 9 P' (4, 9, 5) 2 −3+ γ = 1 → γ = 5 2.
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