REPASO DE LAS RAZONES ALGEBRAICAS (4º ESO)
CÁLCULO DEL M.C.D. Y m.c.m. DE VARIOS POLINOMIOS.-
Dados dos o más polinomios P
( )
x y Q( )
x , se calcula el M.C.D. y el m.c.m. de dichos polinomios, de forma análoga al cálculo del M.C.D. y el m.c.m. con números:1º) Se factorizan los polinomios P
( )
x y Q( )
x en factores irreducibles.2º) El M.C.D.( P
( )
x , Q( )
x )=Producto de factores comunes a ambas factorizaciones con elmenor exponente.
El m.c.m. ( P
( )
x , Q( )
x )=Producto de factores comunes y no comunes a ambas factorizacionescon el mayor exponente.
Ejemplo.- El M.C.D. y el m.c.m. de los polinomios: P
( )
x =6x2−6x y Q( )
x =4x2−8x+4 , se calcula:Factorizando: P
( )
x =6x2 −6x=2⋅3⋅x⋅( )
x−1( )
2 2( )
21 2
4 8
4 − + = ⋅ −
= x x x
x Q
M.C.D.( P
( )
x , Q( )
x )=2⋅( )
x−1 m.c.m. ( P( )
x , Q( )
x )=22⋅3⋅x⋅( )
x−12 =12⋅x⋅( )
x−12FRACCIÓN POLINÓMICA.-
Una fracción polinómica es un par ordenado de polinomios, P
( )
x y Q( )
x ,llamados numerador ydenominador (respectivamente), que se nota:
( )
( )
x Qx P
, con Q
( )
x ≠ polinomio0.Ejemplo.-
1 2 2
− − x
x x
FRACCIONES POLINOMICAS EQUIVALENTES.-
Dos fracciones polinómicas,
( )
( )
x Qx P
y
( )
( )
x Sx R
, son equivalentes, y se nota:
( )
( )
S( )
( )
x x R x Qx
P =
, si se cumple
que el producto de los extremos, P
( ) ( )
x ⋅S x , es igual al producto de medios, Q( ) ( )
x ⋅R x .Ejemplo.-
1 2 2
− − x
x x
y 1 + x
x
, son equivalentes, porque sale el mismo polinomio:
(
2−)
⋅(
+1)
= x xRAZÓN O FRACCIÓN ALGEBRAICA.-
Hay infinitas fracciones equivalentes a una dada. Cada una de ellas se obtiene multiplicando
(ampliación) o dividiendo (simplificación) el numerador y denominador de la fracción dada por el mismo polinomio.
El conjunto de todas las fracciones polinómicas equivalentes entre sí, se llama razón o fracción algebraica.
Ejemplo.-
+ + +
+ −
−
+ 2 2,... 2
, 1 2 , 1 ,
1 2
2 2
2
x x x
x x x x
x x x
x
Cualquiera de ellas representa a la fracción algebraica. Entre ellas hay una, que es la fracción irreducible, cuyo numerador y denominador tienen como M.C.D. al 1 ( en el ejemplo la fracción
irreducible es 1 + x
x )
Las razones algebraicas se expresan con una cualquiera de sus representantes (fracción polinómica) metida entre llaves:
En nuestro ejemplo:
+ +
+ 1 2 2
2
x x
x x
ó
+1 x
x
etc.
Pero en la práctica es incómodo utilizar las llaves cada vez que queremos usar una razón o fracción algebraica; por eso, y a partir de ahora, como solo vamos a trabajar con razones algebraicas, las expresaremos sin llaves, pero sobreentendiendo que nos referimos a la fracción polinómica que está
entre las llaves y a todas sus equivalentes. En nuestro ejemplo: notaremos con
1 2 2
2 + +
+ x x
x x
a
+ +
+ 1 2 2
2
x x
x x
(sobreentendiendo las llaves)
•La fracción irreducible se calcula por simplificación, de la siguiente forma:
1º) Factorizamos numerador y denominador en polinomios irreducibles.
2º) Dividimos numerador y denominador entre todos los factores que sean comunes al
numerador y al denominador.
Simplificar todo lo que se pueda una fracción algebraica es encontrar su fracción irreducible.
Ejemplo.- Simplifica todo lo que se pueda (o calcula la fracción irreducible de):
(
)
(
)
( ) 1 1
1 1
2
1
2 2
2
+ ↑
+ + ⋅ ↑ + +
+
=
=
+
x x x
x x x
x x x
x entre dividiendo do
OPERACIONES CON RAZONES ALGEBRAICAS.-
Se definen la suma, resta, multiplicación y división de fracciones algebraicas de la misma forma que se definen para los números racionales, usando, para su cálculo, los mismos procedimientos que se
utilizan para ellos.
La opuesta y la inversa de una razón algebraica también se define de la misma forma que para los números racionales:
Ejemplo:
La opuesta de
3 1 2 2
− + − x
x x
, se nota con:
3 1 2 2
− + − −
x x x
, y se calcula: = −
+ − −
3 1 2 2
x x x
3 1 2 2
− − + −
x x x
La inversa de
3 1 2 2
− + − x
x x
, se nota:
3 1 2 1 2
− + − x
x
x ó 3
1 2 : 1
2 −
+ − x
x x
, y se calcula:
3 1 2
1 2
− + − x
x
x = 2 1
3 2− +
− x x
x
Las propiedades que se cumplen para dichas operaciones y la prioridad con la que se opera en cualquier operación combinada con razones algebraicas, se establece de la misma forma:
Sumar y Restar:
•Si tienen el mismo denominador:
-Se suman (o restan) los numeradores y se deja el mismo denominador.
-Se simplifica todo lo que se pueda la razón resultante.
•Si tienen distinto denominador:
-Factorizamos todos los denominadores en factores irreducibles (con el objetivo de poner
denominador común).
-Ponemos el mismo denominador en todas las razones que intervienen en la suma o resta:
Dicho denominador es el m.c.m.(factorizado) de todos los denominadores (que están factorizados en el paso anterior).
El numerador correspondiente a cada una de ellas se obtiene dividiendo el denominador común (factorizado) entre el denominador de cada fracción (factorizado), y multiplicando el resultado por el numerador correspondiente.
-Expresamos el resultado con una sola fracción cuyo numerador es el resultado de realizar
todas las operaciones indicadas en los numeradores y cuyo denominador es el común (m.c.m. de los denominadores).
Ejemplo.-
( )
( )( )
(
)
( )
( ) (
( )
)
desarrollamoslosnumeradoresx x
mcm x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x ↑ ⋅ − =↑
− ⋅ − − − ⋅
− ⋅ + − ⋅ = − − −
− + − ⋅ = − − −
− +
− =⋅ − 1
1 3 1 1
1 2 1
1 1
3 1
1 2 1 1 1
3 1
1 2 1
1
2
(
)
( )
(
)
(
)
⋅(
−)
=+ − = −
⋅
− + + − − + = −
⋅
+ − − − − ⋅
− + − ⋅ =
↑
↑ 1
3 1
1 3 3
2 1 1
1 3 3
1 2 1
1 2 2 2 2 2
x x
x x x
x
x x x x x x
x
x x x x
x x x x
x conunasolafracción operamosnumeador
(
)
( )
simplificaos numeradoros
factorizam x x
x x
↑
↑ ⋅ − =
+ − ⋅ =
1 3
1 3 −
+ −
x x
Multiplicar:
-Su numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los
denominadores (ambos productos se dejan indicados).
-Se factorizan todo lo posible los factores que hay en el numerador y en el denominador y se simplifica
la razón todo lo que se pueda.
-Se efectúan los productos que queden en el numerador y en el denominador.
Ejemplo:
(
)
(
)
factorizamostodo(
(
) (
)
)
simplificamos(
)
desarrollamos indicadosproductos x x x x x
x x x x
x
x x x x
x x
x x
↑ ↑
↑
↑ ⋅ + ⋅ − = ⋅ − =
⋅ + ⋅ =
− ⋅
⋅ + =
− ⋅ +
2 1 2
2 2 4
2 4
2
3 2
3 2 2
3 2
x
x 2
1 2 −
Dividir:
-Su numerador es el producto de los polinomios extremos y su denominador es el producto de los
medios (ambos productos se dejan indicados).
-Se factorizan todo lo posible los factores que hay en el numerador y en el denominador y se simplifica
la razón todo lo que se pueda.
-Se efectúan los productos que queden en el numerador y en el denominador.
Ejemplo:
(
)
(
)
(
)
(
)
factorizamos(
(
) (
) (
) ( )
)
simplificamos( )
desarrollamos indicadosproductos x
x x
x x
x x x x
x
x x x x
x x
x x
↑ ↑
↑
↑ ⋅ + ⋅ + ⋅ − = ⋅ − =
+ ⋅ + ⋅ =
− ⋅ +
+ ⋅ + =
+ − +
+
1 2 1
1 2
2
2 1
1 4
2
2 2
1 : 4
2 2
2 2
2
= 2 2x−
EJERCICIOS
1) Simplifica las siguientes fracciones polinómicas:
a) 4 8 4 2 − − x x
b) 2 4
2 4 4 4 x x x x − + −
c) 4 3
4 6 3 4 x x x x − − d) x x x x x − + − 3 2 3 2 e) x x x x 18 12 2 36 4 2 3 2 + + − f) 1 1 2 2 2 − + + x x x g) x x x − + − 1 3 4 2
h) 5 52 x x x + + i) x x x x x 10 3 30 19 2 3 3 − − − − j) 4 4 4 2 4 2 + − − x x x x
k) 4 2
4 1 x x x + − l) 9 4 2 3 2 − − x x m) 1 3 3 2 2 3 2 3 − + − + − x x x x x x n) x x x x x x x x 4 4 4 4 2 3 4 2 3 4 + + + − + −
o) 2 2
2
2xy y x xy x + − −
p) 2 2 4
3 2 a b a a b a − − q) bx y x x b y x − − 2 2 2 3
r) 2
2 2 2 a ab b ab − − Soluciones: a) 2 4 +
x b) 3 2 2
2 x x x + − c) 3 4 3 − − x x x d) 1 1 + − x x e) x x x 3 6 2 2 + − f) 1 1 − + x x
g) −x+3
h) x 5
i) x x+3
j) x x x − + 2 2 2 3
k) 2
2 1 x x − l) 3 2 1 + −
x m) x−1 x n) 1 1 + − x x o) y x x
− p) b+a 1
q) xy+b r)
a b −
2) Realiza las operaciones siguientes, y simplifica el resultado todo lo que se pueda:
a) 6 4 2 5 3 1
2x+ + + x− x
b) 3
2 2 9 1 6 3 2 2 5 x x x x x + + − − c) 1 6 1 3 1 3 2 − + − +
+ x x
x d) 4
16 6 3 4 2 2 2 − + − − + − x x x x x e) x x x x x x x x + + − − − + − + 2 2 2 1 1 2 1 2 f) 4 2 1 2 2 4 2 5 − − − +
+ x x
x g) 4 3 5 2 1 3 2 3 2 2 − − + + − − − + x x x x x x h) 25 5 4 5 3 1 2 2 3 − − + − − − + x x x x x x x i) 9 2 9 3 3 6
2 + + 2 −
− −
− x x
x x x j) 24 6 1 1 6 3 2 2 − − ⋅ + + x x x x k) 3 4 4 3 : 9 16 16 9 2 2 + − − − x x x x l) 4 4 5 ) 10 7
( 2 2
+ + + ⋅ + + x x x x x
m) 5
3 4 3 16 6 25 24 a x x a
⋅ n) 2
ñ)
− −
+ 1
2 1 2 : 1
2 2
x x x
x o)
− −
+
1 :
1
x x x x x
p)
6 3
2
1 5 3
3 2
x x x x x
+ ⋅
+
+ q)
8 2
5 12
6 7
2 − + −
+ x
x x
x
r)
25 10
9 :
225 9
81 18
2 2 2
2
+ −
+ −
+ +
x x
x x x
x x
s)
5 10 5
1 3 1
2 9
9 2 2 − +
− −
+ +
− x x
x x
x x
t)
+ − +
+ −
+
3 3 2 1 : 1 3
3 2
x x x
x
u)
− + +
+ −
− x x
x x
x x x
x x x
x x
2 2 2
: 2 2
2 2 2
2 2
2 2
Soluciones: a) 12
19 12x+
b) 3
2
18 2 9 41
x x x + +
c) 1 6
−
x d) 6 24
108 16
2 2
− + −
x x x
e) x x
x − + 3
2 5
f) 4 2 4
2 − − x
x
g)
4 11 5 5
2 2
− − + −
x x x
h) 5 5 − −
x i) 6 54
6 21 2 2
− − + x
x x
j) 4 2
1 − − x x
k) 3 4
4 3
− + x x
l)
2 25 10 2
+ + +
x x x
m) x a2 25
9
n)
) 1 ( ) 1 ( 5 4 3 2
3
− ⋅ − + − +
−x x x x x
x
x
ñ) −2x3 −2x o) 3 2 2 3
2 1 x x
x x x
− − + −
p)
6
3 2 4 2 3 2
4 + + + +
x x x x
q)
24 6
15 17 7
2 2
− − − x
x x
r)
x x
x x
45 9
45 4 2 2
+ − +
s)
45 135 45
45
99 176 68
2 3
2
+ −
−
+ −
x x
x
x x
t) 3 3 − + x x
