REPASO DE LAS RAZONES ALGEBRAICAS (4º ESO)

REPASO DE LAS RAZONES ALGEBRAICAS (4º ESO)

CÁLCULO DEL M.C.D. Y m.c.m. DE VARIOS POLINOMIOS.-

Dados dos o más polinomios P

( )

x y Q

( )

x , se calcula el M.C.D. y el m.c.m. de dichos polinomios, de forma análoga al cálculo del M.C.D. y el m.c.m. con números:

1º) Se factorizan los polinomios P

( )

x y Q

( )

x en factores irreducibles.

2º) El M.C.D.( P

( )

x , Q

( )

x )=Producto de factores comunes a ambas factorizaciones con el

menor exponente.

El m.c.m. ( P

( )

x , Q

( )

x )=Producto de factores comunes y no comunes a ambas factorizaciones

con el mayor exponente.

Ejemplo.- El M.C.D. y el m.c.m. de los polinomios: P

( )

x =6x2−6x y Q

( )

x =4x2−8x+4 , se calcula:

Factorizando: P

( )

x =6x2 −6x=2⋅3⋅x⋅

( )

x−1

( )

2 2

( )

2

1 2

4 8

4 − + = ⋅ −

= x x x

x Q

M.C.D.( P

( )

x , Q

( )

x )=2⋅

( )

x−1 m.c.m. ( P

( )

x , Q

( )

x )=22⋅3⋅x⋅

( )

x−12 =12⋅x⋅

( )

x−12

FRACCIÓN POLINÓMICA.-

Una fracción polinómica es un par ordenado de polinomios, P

( )

x y Q

( )

x ,llamados numerador y

denominador (respectivamente), que se nota:

( )

( )

x Q

x P

, con Q

( )

x ≠ polinomio0.

Ejemplo.-

1 2 2

− − x

x x

FRACCIONES POLINOMICAS EQUIVALENTES.-

Dos fracciones polinómicas,

( )

( )

x Q

x P

y

( )

( )

x S

x R

, son equivalentes, y se nota:

( )

( )

S

( )

( )

x x R x Q

x

P ₌

, si se cumple

que el producto de los extremos, P

( ) ( )

x ⋅S x , es igual al producto de medios, Q

( ) ( )

x ⋅R x .

Ejemplo.-

1 2 2

− − x

x x

y 1 + x

x

, son equivalentes, porque sale el mismo polinomio:

(

2−

)

⋅

(

+1

)

= x x

RAZÓN O FRACCIÓN ALGEBRAICA.-

Hay infinitas fracciones equivalentes a una dada. Cada una de ellas se obtiene multiplicando

(ampliación) o dividiendo (simplificación) el numerador y denominador de la fracción dada por el mismo polinomio.

El conjunto de todas las fracciones polinómicas equivalentes entre sí, se llama razón o fracción algebraica.

Ejemplo.-

  

  

+ + +

+ −

−

+ 2 2,... 2

, 1 2 , 1 ,

1 2

2 2

2

x x x

x x x x

x x x

x

Cualquiera de ellas representa a la fracción algebraica. Entre ellas hay una, que es la fracción irreducible, cuyo numerador y denominador tienen como M.C.D. al 1 ( en el ejemplo la fracción

irreducible es 1 + x

x )

Las razones algebraicas se expresan con una cualquiera de sus representantes (fracción polinómica) metida entre llaves:

En nuestro ejemplo:

  

  

+ +

+ 1 2 2

2

x x

x x

ó

     

+1 x

x

etc.

Pero en la práctica es incómodo utilizar las llaves cada vez que queremos usar una razón o fracción algebraica; por eso, y a partir de ahora, como solo vamos a trabajar con razones algebraicas, las expresaremos sin llaves, pero sobreentendiendo que nos referimos a la fracción polinómica que está

entre las llaves y a todas sus equivalentes. En nuestro ejemplo: notaremos con

1 2 2

2 + +

+ x x

x x

a

  

  

+ +

+ 1 2 2

2

x x

x x

(sobreentendiendo las llaves)

•La fracción irreducible se calcula por simplificación, de la siguiente forma:

1º) Factorizamos numerador y denominador en polinomios irreducibles.

2º) Dividimos numerador y denominador entre todos los factores que sean comunes al

numerador y al denominador.

Simplificar todo lo que se pueda una fracción algebraica es encontrar su fracción irreducible.

Ejemplo.- Simplifica todo lo que se pueda (o calcula la fracción irreducible de):

(

)

(

)

( ) 1 1

1 1

2

1

2 2

2

+ ↑

+ + ⋅ ↑ + +

+

=

=

+

x x x

x x x

x x x

x entre dividiendo do

OPERACIONES CON RAZONES ALGEBRAICAS.-

Se definen la suma, resta, multiplicación y división de fracciones algebraicas de la misma forma que se definen para los números racionales, usando, para su cálculo, los mismos procedimientos que se

utilizan para ellos.

La opuesta y la inversa de una razón algebraica también se define de la misma forma que para los números racionales:

Ejemplo:

La opuesta de

3 1 2 2

− + − x

x x

, se nota con:

3 1 2 2

− + − −

x x x

, y se calcula: = −

+ − −

3 1 2 2

x x x

3 1 2 2

− − + −

x x x

La inversa de

3 1 2 2

− + − x

x x

, se nota:

3 1 2 1 2

− + − x

x

x ó 3

1 2 : 1

2 −

+ − x

x x

, y se calcula:

3 1 2

1 2

− + − x

x

x = 2 1

3 2− +

− x x

x

Las propiedades que se cumplen para dichas operaciones y la prioridad con la que se opera en cualquier operación combinada con razones algebraicas, se establece de la misma forma:

Sumar y Restar:

•Si tienen el mismo denominador:

-Se suman (o restan) los numeradores y se deja el mismo denominador.

-Se simplifica todo lo que se pueda la razón resultante.

•Si tienen distinto denominador:

-Factorizamos todos los denominadores en factores irreducibles (con el objetivo de poner

denominador común).

-Ponemos el mismo denominador en todas las razones que intervienen en la suma o resta:

Dicho denominador es el m.c.m.(factorizado) de todos los denominadores (que están factorizados en el paso anterior).

El numerador correspondiente a cada una de ellas se obtiene dividiendo el denominador común (factorizado) entre el denominador de cada fracción (factorizado), y multiplicando el resultado por el numerador correspondiente.

-Expresamos el resultado con una sola fracción cuyo numerador es el resultado de realizar

todas las operaciones indicadas en los numeradores y cuyo denominador es el común (m.c.m. de los denominadores).

Ejemplo.-

( )

( )

( )

(

)

( )

( ) (

( )

)

desarrollamoslosnumeradores

x x

mcm x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x x x x

x x

x ↑ ⋅ − =↑

− ⋅ − − − ⋅

− ⋅ + − ⋅ = − − −

− + − ⋅ = − − −

− +

− =⋅ − 1

1 3 1 1

1 2 1

1 1

3 1

1 2 1 1 1

3 1

1 2 1

1

2

(

)

( )

(

)

(

)

⋅

(

−

)

=

+ − = −

⋅

− + + − − + = −

⋅

+ − − − − ⋅

− + − ⋅ =

↑

↑ ₁

3 1

1 3 3

2 1 1

1 3 3

1 2 1

1 2 2 2 2 2

x x

x x x

x

x x x x x x

x

x x x x

x x x x

x conunasolafracción operamosnumeador

(

)

( )

simplificaos numerador

os

factorizam x x

x x

↑

↑ ⋅ − =

+ − ⋅ =

1 3

1 3 −

+ −

x x

Multiplicar:

-Su numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los

denominadores (ambos productos se dejan indicados).

-Se factorizan todo lo posible los factores que hay en el numerador y en el denominador y se simplifica

la razón todo lo que se pueda.

-Se efectúan los productos que queden en el numerador y en el denominador.

Ejemplo:

(

)

(

)

factorizamostodo

(

(

) (

)

)

simplificamos

(

)

desarrollamos indicados

productos x x x x x

x x x x

x

x x x x

x x

x x

↑ ↑

↑

↑ ⋅ + ⋅ − = ⋅ − =

⋅ + ⋅ =

− ⋅

⋅ + =

− ⋅ +

2 1 2

2 2 4

2 4

2

3 2

3 2 2

3 2

x

x 2

1 2 −

Dividir:

-Su numerador es el producto de los polinomios extremos y su denominador es el producto de los

medios (ambos productos se dejan indicados).

-Se factorizan todo lo posible los factores que hay en el numerador y en el denominador y se simplifica

la razón todo lo que se pueda.

-Se efectúan los productos que queden en el numerador y en el denominador.

Ejemplo:

(

)

(

)

(

)

(

)

factorizamos

(

(

) (

) (

) ( )

)

simplificamos

( )

desarrollamos indicados

productos x

x x

x x

x x x x

x

x x x x

x x

x x

↑ ↑

↑

↑ ⋅ + ⋅ + ⋅ − = ⋅ − =

+ ⋅ + ⋅ =

− ⋅ +

+ ⋅ + =

+ − +

+

1 2 1

1 2

2

2 1

1 4

2

2 2

1 : 4

2 2

2 2

2

= 2 2x−

EJERCICIOS

1) Simplifica las siguientes fracciones polinómicas:

a) 4 8 4 2 ₋ − x x

b) _{2 4}

2 4 4 4 x x x x − + −

c) _{4 3}

4 6 3 4 x x x x − − d) x x x x x − + − 3 2 3 2 e) x x x x 18 12 2 36 4 2 3 2 + + − f) 1 1 2 2 2 − + + x x x g) x x x − + − 1 3 4 2

h) 5 5₂ x x x + + i) x x x x x 10 3 30 19 2 3 3 − − − − j) 4 4 4 2 4 2 + − − x x x x

k) _{4 2}

4 1 x x x + − l) 9 4 2 3 2 − − x x m) 1 3 3 2 2 3 2 3 − + − + − x x x x x x n) x x x x x x x x 4 4 4 4 2 3 4 2 3 4 + + + − + −

o) _{2 2}

2

2xy y x xy x + − −

p) _{2 2 4}

3 2 a b a a b a − − q) bx y x x b y x − − 2 2 2 3

r) ₂

2 2 2 a ab b ab − − Soluciones: a) 2 4 +

x b) 3 2 2

2 x x x + − c) 3 4 3 − − x x x d) 1 1 + − x x e) x x x 3 6 2 2 + − f) 1 1 − + x x

g) −x+3

h) x 5

i) x x+3

j) x x x − + 2 2 2 3

k) ₂

2 1 x x − l) 3 2 1 + −

x m) x−1 x n) 1 1 + − x x o) y x x

− p) b+a 1

q) xy+b r)

a b −

2) Realiza las operaciones siguientes, y simplifica el resultado todo lo que se pueda:

a) 6 4 2 5 3 1

2x+ ₊ + x₋ x

b) ₃

2 2 9 1 6 3 2 2 5 x x x x x + + − − c) 1 6 1 3 1 3 2 − + − +

+ x x

x d) 4

16 6 3 4 2 2 2 − + − − + − x x x x x e) x x x x x x x x + + − − − + − + 2 2 2 1 1 2 1 2 f) 4 2 1 2 2 4 2 5 − − − +

+ x x

x g) 4 3 5 2 1 3 2 3 2 2 − − + + − − − + x x x x x x h) 25 5 4 5 3 1 ₂ 2 3 − − + − − − + x x x x x x x i) 9 2 9 3 3 6

2 + + 2 −

− −

− x x

x x x j) 24 6 1 1 6 3 2 2 − − ⋅ + + x x x x k) 3 4 4 3 : 9 16 16 9 2 2 + − − − x x x x l) 4 4 5 ) 10 7

( 2 ₂

+ + + ⋅ + + x x x x x

m) ₅

3 4 3 16 6 25 24 a x x a

⋅ n) ₂

ñ) _

  

 

− −

     

+ 1

2 1 2 : 1

2 2

x x x

x o) 

  

 

− −      

+

1 :

1

x x x x x

p)

6 3

2

1 5 3

3 2

x x x x x

+ ⋅

   

 

+

+ q)

8 2

5 12

6 7

2 − + −

+ x

x x

x

r)

25 10

9 :

225 9

81 18

2 2 2

2

+ −

+ −

+ +

x x

x x x

x x

s)

5 10 5

1 3 1

2 9

9 2 2 − +

− −

+ +

− x x

x x

x x

t) 

  

 

+ − +    

 

+ −

+

3 3 2 1 : 1 3

3 2

x x x

x

u) _

  

 

− + +

   

 

+ −

− x x

x x

x x x

x x x

x x

2 2 2

: 2 2

2 2 2

2 2

2 2

Soluciones: a) 12

19 12x+

b) ₃

2

18 2 9 41

x x x + +

c) 1 6

−

x d) 6 24

108 16

2 2

− + −

x x x

e) x x

x − + 3

2 5

f) 4 2 4

2 − − x

x

g)

4 11 5 5

2 2

− − + −

x x x

h) 5 5 − −

x i) 6 54

6 21 2 2

− − + x

x x

j) 4 2

1 − − x x

k) 3 4

4 3

− + x x

l)

2 25 10 2

+ + +

x x x

m) x a2 25

9

n)

) 1 ( ) 1 ( 5 4 3 2

3

− ⋅ − + − +

−x x x x x

x

x

ñ) −2x3 −2x o) _{3 2} 2 3

2 1 x x

x x x

− − + −

p)

6

3 2 4 2 3 2

4 + + + +

x x x x

q)

24 6

15 17 7

2 2

− − − x

x x

r)

x x

x x

45 9

45 4 2 2

+ − +

s)

45 135 45

45

99 176 68

2 3

2

+ −

−

+ −

x x

x

x x

t) 3 3 − + x x