Series de Tiempo Univariantes: Modelos ARMA

MacroEconometría Avanzada

Series de Tiempo Univariantes: Modelos ARMA

univarianteyt 2R (escalar)

Procesos autorregresivos

El aspecto de la distribución conjunta de un proceso estocástico que ha atraído mas interés es la esperanza condicional dado el pasado

E(yt jzt 1)

donde

zt 1 =fyt 1,yt 2,yt 3, ...g

Procesos autorregresivos

El aspecto de la distribución conjunta de un proceso estocástico que ha atraído mas interés es la esperanza condicional dado el pasado

E(yt jzt 1)

donde

zt 1 =fyt 1,yt 2,yt 3, ...g

es el pasado deyt.

Procesos autorregresivos

El aspecto de la distribución conjunta de un proceso estocástico que ha atraído mas interés es la esperanza condicional dado el pasado

E(yt jzt 1)

donde

zt 1 =fyt 1,yt 2,yt 3, ...g

Procesos autorregresivos

Una justi…cación es porque la media condicional de yt dado todo el

pasado _zt 1 es el mejor predictor deyt dado zt 1

(mejor en sentido de minimizar el valor esperado del cuadrado del error de predicción)

o sea si consideras cualquier predictor

b

yt =g(_zt 1)

resulta que la g óptima es E(yt jzt 1)

E(yt jzt 1) =arg min

g E(yt byt) 2

Procesos autorregresivos

Una justi…cación es porque la media condicional de yt dado todo el

pasado _zt 1 es el mejor predictor deyt dado zt 1

(mejor en sentido de minimizar el valor esperado del cuadrado del error de predicción)

o sea si consideras cualquier predictor

b

yt =g(_zt 1)

resulta que la g óptima es E(yt jzt 1)

E(yt jzt 1) =arg min

Procesos autorregresivos

Una justi…cación es porque la media condicional de yt dado todo el

pasado _zt 1 es el mejor predictor deyt dado zt 1

(mejor en sentido de minimizar el valor esperado del cuadrado del error de predicción)

o sea si consideras cualquier predictor

b

yt =g(zt 1)

resulta que la g óptima es E(yt jzt 1)

E(yt jzt 1) =arg min

g E(yt byt) 2

Procesos autorregresivos

Una justi…cación es porque la media condicional de yt dado todo el

pasado _zt 1 es el mejor predictor deyt dado zt 1

(mejor en sentido de minimizar el valor esperado del cuadrado del error de predicción)

o sea si consideras cualquier predictor

b

yt =g(zt 1)

resulta que la g óptima es E(yt jzt 1)

E(yt jzt 1) =arg min

Procesos autorregresivos

Una justi…cación es porque la media condicional de yt dado todo el

pasado _zt 1 es el mejor predictor deyt dado zt 1

(mejor en sentido de minimizar el valor esperado del cuadrado del error de predicción)

o sea si consideras cualquier predictor

b

yt =g(zt 1)

resulta que la g óptima es E(yt jzt 1)

E(yt jzt 1) =arg min

g E(yt byt) 2

Procesos autorregresivos

Prueba

E(yt byt)2 =E(yt E(yt jzt 1) +E(yt jzt 1) byt)2

llamaA=yt E(yt _jzt 1),B =E(yt jzt 1) byt,entonces

E(yt yt_b)2 =EA2+EB2+2EAB

pero EAB=0,usando LEI

EAB=E(E(AB _jzt 1)) =E(BE(Ajzt 1)) =0

nota que EB2 _{0, y eligiendo}

b

yt =E(yt jzt 1)

hacemos EB2 _=0,

Procesos autorregresivos

Prueba

E(yt _byt)2 =E(yt E(yt _jzt 1) +E(yt jzt 1) byt)2

llamaA=yt E(yt jzt 1),B =E(yt jzt 1) byt,entonces E(yt ybt)2 =EA2+EB2+2EAB

pero EAB=0,usando LEI

EAB=E(E(AB _jzt 1)) =E(BE(Ajzt 1)) =0

nota que EB2 _{0, y eligiendo}

b

yt =E(yt jzt 1)

hacemos EB2 _=0,

nota que EA2 no depende de g,no hay nada que elegir

Procesos autorregresivos

Prueba

E(yt _byt)2 =E(yt E(yt _jzt 1) +E(yt jzt 1) byt)2

llamaA=yt E(yt _jzt 1),B =E(yt jzt 1) byt,entonces

E(yt ytb)2 =EA2+EB2+2EAB

peroEAB =0,usando LEI

EAB=E(E(AB _jzt 1)) =E(BE(Ajzt 1)) =0

nota que EB2 _{0, y eligiendo}

b

yt =E(yt jzt 1)

hacemos EB2 _=0,

Procesos autorregresivos

Prueba

E(yt _byt)2 =E(yt E(yt _jzt 1) +E(yt jzt 1) byt)2

llamaA=yt E(yt _jzt 1),B =E(yt jzt 1) byt,entonces

E(yt ytb)2 =EA2+EB2+2EAB

peroEAB =0,usando LEI

EAB=E(E(AB _jzt 1)) =E(BE(Ajzt 1)) =0

nota que EB2 _{0, y eligiendo}

b

yt =E(yt jzt 1)

hacemos EB2 =0,

nota que EA2 no depende de g,no hay nada que elegir

Procesos autorregresivos

Prueba

E(yt _byt)2 =E(yt E(yt _jzt 1) +E(yt jzt 1) byt)2

llamaA=yt E(yt _jzt 1),B =E(yt jzt 1) byt,entonces

E(yt ytb)2 =EA2+EB2+2EAB

peroEAB =0,usando LEI

EAB=E(E(AB _jzt 1)) =E(BE(Ajzt 1)) =0

nota que EB2 _{0, y eligiendo}

b

Procesos autorregresivos

La motivación anterior es en términos de predicción

pero en econometría también la esperanza condicional es el objeto que ha atraído mas interés (y se le llama la función de regresión) aunque mas adelante veremos que otros aspectos, como la varianza condicional, también son de interés (ej modelos ARCH)

Procesos autorregresivos

La motivación anterior es en términos de predicción

pero en econometría también la esperanza condicional es el objeto que ha atraído mas interés (y se le llama la función de regresión)

Procesos autorregresivos

La motivación anterior es en términos de predicción

pero en econometría también la esperanza condicional es el objeto que ha atraído mas interés (y se le llama la función de regresión)

aunque mas adelante veremos que otros aspectos, como la varianza condicional, también son de interés (ej modelos ARCH)

Procesos autorregresivos:AR(p)

Un modelo autorregresivo de ordenp establece que

E(yt jzt 1) =E(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p)

es decir sólo los últimos p rezagos son relevantes para especi…car la esperanza condicional

Es más general que un proceso Markoviano de ordenp que establece

algo similar para la distribución condicional:

f(yt jzt 1) =f(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p)

Un modelo autorregresivo lineal de orden p establece que

E(yt _{j z}t 1) =E(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p) = w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p

Procesos autorregresivos:AR(p)

Un modelo autorregresivo de ordenp establece que

E(yt jzt 1) =E(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p)

es decir sólo los últimos p rezagos son relevantes para especi…car la esperanza condicional

Es más general que un proceso Markoviano de ordenp que establece

algo similar para la distribución condicional:

f(yt jzt 1) =f(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p)

Un modelo autorregresivo lineal de orden p establece que

E(yt _{j z}t 1) =E(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p) = w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p

es decir que la media condicional es lineal (por tanto la media condicional y el predictor lineal óptimo coinciden)

Procesos autorregresivos:AR(p)

Un modelo autorregresivo de ordenp establece que

E(yt jzt 1) =E(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p)

es decir sólo los últimos p rezagos son relevantes para especi…car la esperanza condicional

Es más general que un proceso Markoviano de ordenp que establece algo similar para la distribución condicional:

f(yt jzt 1) =f(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p)

Un modelo autorregresivo lineal de orden p establece que

E(yt _{j z}t 1) =E(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p) = w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p

Procesos autorregresivos:AR(p)

Un modelo autorregresivo de ordenp establece que

E(yt jzt 1) =E(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p)

es decir sólo los últimos p rezagos son relevantes para especi…car la esperanza condicional

Es más general que un proceso Markoviano de ordenp que establece

algo similar para la distribución condicional:

f(yt jzt 1) =f(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p)

Un modelo autorregresivo lineal de orden p establece que

E(yt _{j z}t 1) =E(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p) = w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p

es decir que la media condicional es lineal (por tanto la media condicional y el predictor lineal óptimo coinciden)

Procesos autorregresivos:AR(p)

Un modelo autorregresivo de ordenp establece que

E(yt jzt 1) =E(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p)

es decir sólo los últimos p rezagos son relevantes para especi…car la esperanza condicional

Es más general que un proceso Markoviano de ordenp que establece

algo similar para la distribución condicional:

f(yt jzt 1) =f(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p)

Un modelo autorregresivo lineal de orden p establece que

E(yt j zt 1) =E(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p)

Procesos autorregresivos:AR(p)

Un modelo autorregresivo de ordenp establece que

E(yt jzt 1) =E(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p)

es decir sólo los últimos p rezagos son relevantes para especi…car la esperanza condicional

Es más general que un proceso Markoviano de ordenp que establece

algo similar para la distribución condicional:

f(yt jzt 1) =f(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p)

Un modelo autorregresivo lineal de orden p establece que

E(yt _{j z}t 1) =E(yt jyt 1,yt 2, ...,yt p) = w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p

es decir que la media condicional es lineal (por tanto la media condicional y el predictor lineal óptimo coinciden)

MDS

Def: MDS(secuencia diferencia de martingala):

Una secuencia et se dice que es MDS si veri…ca que

E(et _jzt 1) =0

es decir no se puede predecir aunque conozcas todo el pasado

entonces podemos escribir el modelo autorregresivo así

yt =w +φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et

MDS

Def: MDS(secuencia diferencia de martingala):

Una secuencia et se dice que es MDS si veri…ca que E(et jzt 1) =0

es decir no se puede predecir aunque conozcas todo el pasado

entonces podemos escribir el modelo autorregresivo así

yt =w +φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et

dondeet es MDS

MDS

Def: MDS(secuencia diferencia de martingala):

Una secuencia et se dice que es MDS si veri…ca que

E(et _jzt 1) =0

es decir no se puede predecir aunque conozcas todo el pasado

entonces podemos escribir el modelo autorregresivo así

yt =w +φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et

MDS

Def: MDS(secuencia diferencia de martingala):

Una secuencia et se dice que es MDS si veri…ca que

E(et _jzt 1) =0

es decir no se puede predecir aunque conozcas todo el pasado

entonces podemos escribir el modelo autorregresivo así

yt =w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et

dondeet es MDS

MDS

Def: MDS(secuencia diferencia de martingala):

Una secuencia et se dice que es MDS si veri…ca que

E(et _jzt 1) =0

es decir no se puede predecir aunque conozcas todo el pasado

entonces podemos escribir el modelo autorregresivo así

yt =w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et

MDS

MDS es el supuesto que en series de tiempo remplaza al supuesto de que

E(ε/X) =0

en el modelo de regresión

y =Xβ+ε

MDS

MDS es el supuesto que en series de tiempo remplaza al supuesto de que

E(ε/X) =0

en el modelo de regresión

MDS

MDS aparece de forma natural en modelos económicos en los que los agentes optimizan su comportamiento

Por ejemplo, los modelos de valoración de activos suelen implicar que los rendimientos …nancieros son una constante mas un proceso MDS

Otro ejemplo, versiones del modelo de ciclo vital, implican que la tasa de crecimiento del consumo es una constante mas un proceso MDS (Hall, 1978)

La ecuación básica del modelo de consumption-asset pricing

β₀E

"

Ct+1 Ct

α0

Rt+1 jzt 1

#

=1,

donde β₀ es el parámetro de descuento, α0 es la aversión al riesgo,Ct

es el consumo del agente representativo en el momentot,yRt es el

rendimiento bruto del activo libre de riesgo

MDS

MDS aparece de forma natural en modelos económicos en los que los agentes optimizan su comportamiento

Por ejemplo, los modelos de valoración de activos suelen implicar que los rendimientos …nancieros son una constante mas un proceso MDS

Otro ejemplo, versiones del modelo de ciclo vital, implican que la tasa de crecimiento del consumo es una constante mas un proceso MDS (Hall, 1978)

La ecuación básica del modelo de consumption-asset pricing

β₀E

"

Ct+1 Ct

α0

Rt+1 jzt 1

#

=1,

donde β₀ es el parámetro de descuento, α0 es la aversión al riesgo,Ct

es el consumo del agente representativo en el momentot,yRt es el

MDS

MDS aparece de forma natural en modelos económicos en los que los agentes optimizan su comportamiento

Por ejemplo, los modelos de valoración de activos suelen implicar que los rendimientos …nancieros son una constante mas un proceso MDS

Otro ejemplo, versiones del modelo de ciclo vital, implican que la tasa de crecimiento del consumo es una constante mas un proceso MDS (Hall, 1978)

La ecuación básica del modelo de consumption-asset pricing

β₀E

"

Ct+1 Ct

α0

Rt+1 jzt 1

#

=1,

donde β₀ es el parámetro de descuento, α0 es la aversión al riesgo,Ct

es el consumo del agente representativo en el momentot,yRt es el

rendimiento bruto del activo libre de riesgo

MDS

MDS aparece de forma natural en modelos económicos en los que los agentes optimizan su comportamiento

Por ejemplo, los modelos de valoración de activos suelen implicar que los rendimientos …nancieros son una constante mas un proceso MDS

Otro ejemplo, versiones del modelo de ciclo vital, implican que la tasa de crecimiento del consumo es una constante mas un proceso MDS (Hall, 1978)

La ecuación básica del modelo de consumption-asset pricing

β₀E

"

Ct+1 Ct

α0

Rt+1 jzt 1

#

=1,

donde β₀ es el parámetro de descuento, α0 es la aversión al riesgo,Ct

es el consumo del agente representativo en el momentot,yRt es el

MDS

MDS aparece de forma natural en modelos económicos en los que los agentes optimizan su comportamiento

Por ejemplo, los modelos de valoración de activos suelen implicar que los rendimientos …nancieros son una constante mas un proceso MDS

Otro ejemplo, versiones del modelo de ciclo vital, implican que la tasa de crecimiento del consumo es una constante mas un proceso MDS (Hall, 1978)

La ecuación básica del modelo de consumption-asset pricing

β₀E

"

Ct+1 Ct

α0

Rt+1 jzt 1

#

=1,

donde β₀ es el parámetro de descuento, α0 es la aversión al riesgo,Ct

es el consumo del agente representativo en el momentot,yRt es el

rendimiento bruto del activo libre de riesgo

MDS

MDS aparece de forma natural en modelos económicos en los que los agentes optimizan su comportamiento

Por ejemplo, los modelos de valoración de activos suelen implicar que los rendimientos …nancieros son una constante mas un proceso MDS

Otro ejemplo, versiones del modelo de ciclo vital, implican que la tasa de crecimiento del consumo es una constante mas un proceso MDS (Hall, 1978)

La ecuación básica del modelo de consumption-asset pricing

β₀E

"

Ct+1 Ct

α0

Rt+1 jzt 1

#

MDS

Nota que MDS implica RB (suponiendo que la varianza sea …nita)

MDS se corresponde con la idea de independencia en media

RB se corresponde con la idea de ausencia de correlación

ver Goldberger, capítulo 6

IID₎MDS ₎RB

MDS

Nota que MDS implica RB (suponiendo que la varianza sea …nita)

MDS se corresponde con la idea de independencia en media

RB se corresponde con la idea de ausencia de correlación

ver Goldberger, capítulo 6

MDS

Nota que MDS implica RB (suponiendo que la varianza sea …nita) MDS se corresponde con la idea de independencia en media

RB se corresponde con la idea de ausencia de correlación

ver Goldberger, capítulo 6

IID₎MDS ₎RB

MDS

Nota que MDS implica RB (suponiendo que la varianza sea …nita) MDS se corresponde con la idea de independencia en media

RB se corresponde con la idea de ausencia de correlación

ver Goldberger, capítulo 6

MDS

Nota que MDS implica RB (suponiendo que la varianza sea …nita) MDS se corresponde con la idea de independencia en media

RB se corresponde con la idea de ausencia de correlación

ver Goldberger, capítulo 6

IID₎MDS ₎RB

MDS

Nota que siet es MDS esto implica que cov(et,g(zt 1)) =0

prueba: aplica LEI

cov(et,g(zt 1)) =E(etg(zt 1))

=EE(etg(_zt 1)jzt 1) =E(g(zt 1)E(et jzt 1)) =0

en particular, para cualquier s >0

MDS

Nota que siet es MDS esto implica que

cov(et,g(zt 1)) =0

prueba: aplica LEI

cov(et,g(zt 1)) =E(etg(zt 1))

=EE(etg(_zt 1)jzt 1) =E(g(zt 1)E(et jzt 1)) =0

en particular, para cualquier s >0

E(etyt k) =0

MDS

Nota que siet es MDS esto implica que

cov(et,g(zt 1)) =0

prueba: aplica LEI

cov(et,g(zt 1)) =E(etg(zt 1))

=EE(etg(zt 1)jzt 1) =E(g(zt 1)E(et jzt 1)) =0

en particular, para cualquier s >0

MDS

Nota que siet es MDS esto implica que

cov(et,g(zt 1)) =0

prueba: aplica LEI

cov(et,g(zt 1)) =E(etg(zt 1))

=EE(etg(_zt 1)jzt 1) =E(g(zt 1)E(et jzt 1)) =0

en particular, para cualquier s >0

E(etyt k) =0

Modelos ARMA

un P.E. yt sigue un modelo ARMA(p,q) si

yt = w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et+ +θ1et 1+θ2et 2+...+θqet q

donde (w,φ₁, ...,φ_p, θ1, ...θq)son constantes

y, o bienet RB(0,σ2)-más

general-o bienet MDS - un poco más

restrictivo-Modelos ARMA

un P.E. yt sigue un modelo ARMA(p,q) si

yt = w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et+

+θ1et 1+θ2et 2+...+θqet q

donde (w,φ₁, ...,φ_p, θ1, ...θq)son constantes

y, o bienet RB(0,σ2)-más

general-o bienet MDS - un poco más

restrictivo-o bienet IID(0,σ2)- lo mas

Modelos ARMA

un P.E. yt sigue un modelo ARMA(p,q) si

yt = w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et+

+θ1et 1+θ2et 2+...+θqet q

donde (w,φ₁, ...,φ_p, θ1, ...θq)son constantes

y, o bienet RB(0,σ2)-más

general-o bienet MDS - un poco más

restrictivo-Modelos ARMA

un P.E. yt sigue un modelo ARMA(p,q) si

yt = w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et+

+θ1et 1+θ2et 2+...+θqet q

donde (w,φ₁, ...,φ_p, θ1, ...θq)son constantes

y, o bienet RB(0,σ2)-más

general-o bienet MDS - un poco más

restrictivo-o bienet IID(0,σ2)- lo mas

Modelos ARMA

un P.E. yt sigue un modelo ARMA(p,q) si

yt = w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et+

+θ1et 1+θ2et 2+...+θqet q

donde (w,φ₁, ...,φ_p, θ1, ...θq)son constantes

y, o bienet RB(0,σ2)-más

general-o bienet MDS - un poco más

restrictivo-Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación

Piensa en el AR(1)

yt =w+φ₁yt 1+et

¿qué representaw +φ₁yt 1?

si asumes queet RB(0,σ2)entonces w+φ₁yt 1 representa el mejor

predictor lineal deyt dado yt 1

si asumes queet MDS entonces w+φ₁yt 1 representa la esperanza

condicional de yt dadozt 1

Recuerda que si quieres interpretar fácil y correctamente tienes que

asumir queet MDS y en este caso

φ₁ = dE(yt jzt 1) dyt 1

es equivalente a

β= dE(y/X) dX

en el modelo de regresión lineal y =Xβ+ε,donde E(ε/X) =0.

Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación

Piensa en el AR(1)

yt =w+φ₁yt 1+et

¿qué representaw +φ₁yt 1?

si asumes queet RB(0,σ2)entonces w+φ₁yt 1 representa el mejor

predictor lineal deyt dado yt 1

si asumes queet MDS entonces w+φ₁yt 1 representa la esperanza

condicional de yt dadozt 1

Recuerda que si quieres interpretar fácil y correctamente tienes que

asumir queet MDS y en este caso

φ₁ = dE(yt jzt 1) dyt 1

es equivalente a

β= dE(y/X) dX

Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación Piensa en el AR(1)

yt =w+φ₁yt 1+et

¿qué representaw +φ₁yt 1?

si asumes queet RB(0,σ2)entonces w+φ₁yt 1 representa el mejor

predictor lineal deyt dado yt 1

si asumes queet MDS entonces w+φ₁yt 1 representa la esperanza

condicional de yt dadozt 1

Recuerda que si quieres interpretar fácil y correctamente tienes que

asumir queet MDS y en este caso

φ₁ = dE(yt jzt 1) dyt 1

es equivalente a

β= dE(y/X) dX

en el modelo de regresión lineal y =Xβ+ε,donde E(ε/X) =0.

Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación Piensa en el AR(1)

yt =w+φ₁yt 1+et

¿qué representaw +φ₁yt 1?

si asumes queet RB(0,σ2)entonces w+φ₁yt 1 representa el mejor

predictor lineal deyt dado yt 1

si asumes queet MDS entonces w+φ₁yt 1 representa la esperanza

condicional de yt dadozt 1

Recuerda que si quieres interpretar fácil y correctamente tienes que

asumir queet MDS y en este caso

φ₁ = dE(yt jzt 1) dyt 1

es equivalente a

β= dE(y/X) dX

Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación Piensa en el AR(1)

yt =w+φ₁yt 1+et

¿qué representaw +φ₁yt 1?

si asumes queet RB(0,σ2)entonces w+φ₁yt 1 representa el mejor

predictor lineal deyt dado yt 1

si asumes queet MDS entonces w+φ₁yt 1 representa la esperanza

condicional de yt dadozt 1

Recuerda que si quieres interpretar fácil y correctamente tienes que

asumir queet MDS y en este caso

φ₁ = dE(yt jzt 1) dyt 1

es equivalente a

β= dE(y/X) dX

en el modelo de regresión lineal y =Xβ+ε,donde E(ε/X) =0.

Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación Piensa en el AR(1)

yt =w+φ₁yt 1+et

¿qué representaw +φ₁yt 1?

si asumes queet RB(0,σ2)entonces w+φ₁yt 1 representa el mejor

predictor lineal deyt dado yt 1

si asumes queet MDS entonces w+φ₁yt 1 representa la esperanza

condicional de yt dadozt 1

Recuerda que si quieres interpretar fácil y correctamente tienes que asumir queet MDS y en este caso

φ₁ = dE(yt jzt 1) dyt 1

es equivalente a

β= dE(y/X) dX

Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación Piensa en el AR(1)

yt =w+φ₁yt 1+et

¿qué representaw +φ₁yt 1?

si asumes queet RB(0,σ2)entonces w+φ₁yt 1 representa el mejor

predictor lineal deyt dado yt 1

si asumes queet MDS entonces w+φ₁yt 1 representa la esperanza

condicional de yt dadozt 1

Recuerda que si quieres interpretar fácil y correctamente tienes que

asumir queet MDS y en este caso

φ₁ = dE(yt jzt 1) dyt 1

es equivalente a

β= dE(y/X) dX

en el modelo de regresión lineal y =Xβ+ε,donde E(ε/X) =0.

Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación Piensa en el AR(1)

yt =w+φ₁yt 1+et

¿qué representaw +φ₁yt 1?

si asumes queet RB(0,σ2)entonces w+φ₁yt 1 representa el mejor

predictor lineal deyt dado yt 1

si asumes queet MDS entonces w+φ₁yt 1 representa la esperanza

condicional de yt dadozt 1

Recuerda que si quieres interpretar fácil y correctamente tienes que

asumir queet MDS y en este caso

Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación

asumiendo

et MDS con D(0,σ2)

entonces si

yt =w+φ₁yt 1+et

yt jzt 1 D(w +φ₁yt 1,σ2)

yt hereda la distribución de et

nota el supuesto de homocedasticidad que luego relajaremos

Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación

asumiendo

et MDS con D(0,σ2)

entonces si

yt =w+φ₁yt 1+et

yt jzt 1 D(w +φ₁yt 1,σ2)

yt hereda la distribución de et

Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación

asumiendo

et MDS con D(0,σ2)

entonces si

yt =w+φ₁yt 1+et

yt jzt 1 D(w +φ₁yt 1,σ2)

yt hereda la distribución de et

nota el supuesto de homocedasticidad que luego relajaremos

Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación

asumiendo

et MDS con D(0,σ2)

entonces si

yt =w+φ₁yt 1+et

yt jzt 1 D(w+φ₁yt 1,σ2)

yt hereda la distribución de et

Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación

asumiendo

et MDS con D(0,σ2)

entonces si

yt =w+φ₁yt 1+et

yt jzt 1 D(w+φ₁yt 1,σ2)

yt hereda la distribución de et

nota el supuesto de homocedasticidad que luego relajaremos

Modelos ARMA. Interpretación AR(1)

Interpretación

asumiendo

et MDS con D(0,σ2)

entonces si

yt =w+φ₁yt 1+et

yt jzt 1 D(w+φ₁yt 1,σ2)

yt hereda la distribución de et

Teorema de Descomposición de Wold

Def: Un proceso es regularsi no se puede predecir perfectamente su futuro usando su información pasada,

un proceso essingular cuando sí se puede

o sea si llamas_bxt,_bzt a estos predictores, tienes que

E(_bzt zt)2 = 0, E(_bxt xt)2 > 0

Teorema de Descomposición de Wold

Def: Un proceso es regularsi no se puede predecir perfectamente su

futuro usando su información pasada,

un proceso essingular cuando sí se puede

o sea si llamas_bxt,_bzt a estos predictores, tienes que

Teorema de Descomposición de Wold

Def: Un proceso es regularsi no se puede predecir perfectamente su

futuro usando su información pasada,

un proceso essingular cuando sí se puede

o sea si llamas_bxt,bzt a estos predictores, tienes que E(_bzt zt)2 = 0, E(_bxt xt)2 > 0

Teorema de Descomposición de Wold

Cualquier proceso estocástico (P.E.) estacionario débilmente yt se

puede escribir como

yt =xt+zt

en donde xt es un P.E. estacionario regular, y dondezt es un P.E.

estacionario singular.

y además el componente regular se puede escribir como un MA(∞)

xt = ∞

∑

j=0 ajet j

dondeet es ruido blanco (RB) y

∞

∑

j=0

Teorema de Descomposición de Wold

Cualquier proceso estocástico (P.E.) estacionario débilmente yt se

puede escribir como

yt =xt+zt

en donde xt es un P.E. estacionario regular, y dondezt es un P.E.

estacionario singular.

y además el componente regular se puede escribir como un MA(∞)

xt = ∞

∑

j=0 ajet j

dondeet es ruido blanco (RB) y

∞

∑

j=0

a2_j <∞

Teorema de Descomposición de Wold

Cualquier proceso estocástico (P.E.) estacionario débilmente yt se

puede escribir como

yt =xt+zt

en donde xt es un P.E. estacionario regular, y dondezt es un P.E.

estacionario singular.

y además el componente regular se puede escribir como un MA(∞)

xt =

∞

∑

ajet j

dondeet es ruido blanco (RB) y

∞

∑

j=0

Teorema de Descomposición de Wold

Cualquier proceso estocástico (P.E.) estacionario débilmente yt se

puede escribir como

yt =xt+zt

en donde xt es un P.E. estacionario regular, y dondezt es un P.E.

estacionario singular.

y además el componente regular se puede escribir como un MA(∞)

xt = ∞

∑

j=0 ajet j

dondeet es ruido blanco (RB) y

∞

∑

a2_j <∞

Teorema de Descomposición de Wold

El Teorema de descomposición de Wold se ha usado para tratar de justi…car el uso generalizado de modelos ARMA para series de tiempo estacionarias.

Sin embargo, en el fondo el teorema no es muy informativo en el

sentido de que et es ruido blanco (RB), no MDS.

Teorema de Descomposición de Wold

El Teorema de descomposición de Wold se ha usado para tratar de justi…car el uso generalizado de modelos ARMA para series de tiempo estacionarias.

Sin embargo, en el fondo el teorema no es muy informativo en el sentido de que et es ruido blanco (RB), no MDS.

Por tanto es como escribir un predictor lineal óptimo.

Teorema de Descomposición de Wold

El Teorema de descomposición de Wold se ha usado para tratar de justi…car el uso generalizado de modelos ARMA para series de tiempo estacionarias.

Sin embargo, en el fondo el teorema no es muy informativo en el

sentido de que et es ruido blanco (RB), no MDS.

Teorema de Descomposición de Wold

Además:

* Hay procesos estacionarios de fuerte dependencia, que sí son

MA(∞),pero no pueden aproximarse por modelos ARMA

(la razón es que en estos modelos con fuerte dependencia, las γ_u se

van hacia cero de forma muy lenta, hiperbólica, mientras que en los

ARMA las γ_u se van hacia cero de forma muy rápida, exponencial,

como luego comentaremos)

*En modelos no lineales, ej ARCH, que luego veremos, aj =0 para

j 1.O sea el P.E. es RB. La dependencia no aparece re‡ejada en

las aj sino en otros aspectos.

Teorema de Descomposición de Wold

Además:

* Hay procesos estacionarios de fuerte dependencia, que sí son MA(∞),pero no pueden aproximarse por modelos ARMA

(la razón es que en estos modelos con fuerte dependencia, las γ_u se

van hacia cero de forma muy lenta, hiperbólica, mientras que en los

ARMA las γ_u se van hacia cero de forma muy rápida, exponencial,

como luego comentaremos)

*En modelos no lineales, ej ARCH, que luego veremos, aj =0 para

j 1.O sea el P.E. es RB. La dependencia no aparece re‡ejada en

Teorema de Descomposición de Wold

Además:

* Hay procesos estacionarios de fuerte dependencia, que sí son

MA(∞),pero no pueden aproximarse por modelos ARMA

(la razón es que en estos modelos con fuerte dependencia, las γu se

van hacia cero de forma muy lenta, hiperbólica, mientras que en los ARMA las γ_u se van hacia cero de forma muy rápida, exponencial,

como luego comentaremos)

*En modelos no lineales, ej ARCH, que luego veremos, aj =0 para

j 1.O sea el P.E. es RB. La dependencia no aparece re‡ejada en

las aj sino en otros aspectos.

Teorema de Descomposición de Wold

Además:

* Hay procesos estacionarios de fuerte dependencia, que sí son

MA(∞),pero no pueden aproximarse por modelos ARMA

(la razón es que en estos modelos con fuerte dependencia, las γu se

van hacia cero de forma muy lenta, hiperbólica, mientras que en los

ARMA las γ_u se van hacia cero de forma muy rápida, exponencial,

como luego comentaremos)

Estacionariedad de modelos ARMA

Considera un P.E. yt que sigue un modelo ARMA(p,q) yt = w +φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+

+et +θ1et 1+θ2et 2+...+θqet q

donde (w,φ₁, ...,φ_p, θ1, ...θq)son constantes y et RB(0,σ2)

la pregunta es ¿qué condiciones tienen que cumplir las constantes

w,φ₁, ...,φ_p,θ1, ...θq para que la varianza deyt sea …nita?

Estacionariedad de modelos ARMA

Considera un P.E. yt que sigue un modelo ARMA(p,q)

yt = w +φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+ +et +θ1et 1+θ2et 2+...+θqet q

donde (w,φ₁, ...,φ_p, θ1, ...θq)son constantes y et RB(0,σ2)

la pregunta es ¿qué condiciones tienen que cumplir las constantes

Estacionariedad de modelos ARMA

Considera un P.E. yt que sigue un modelo ARMA(p,q)

yt = w +φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+ +et +θ1et 1+θ2et 2+...+θqet q

donde (w,φ₁, ...,φ_p, θ1, ...θq)son constantes y et RB(0,σ2)

la pregunta es ¿qué condiciones tienen que cumplir las constantes

w,φ₁, ...,φ_p,θ1, ...θq para que la varianza deyt sea …nita?

Estacionariedad de modelos ARMA

Lo primero a notar es quew, θ1, ...θq no juegan ningún papel a la

hora de ver si la varianza deyt es …nita

w es un intercepto que afecta al nivel deyt pero no a su varianza

θ1, ...θq son los coe…cientes de la parteMA(q)y, comoq es …nito,

tampoco juegan ningún papel a la hora de ver si la varianza deyt es

…nita

Estacionariedad de modelos ARMA

Lo primero a notar es quew, θ1, ...θq no juegan ningún papel a la

hora de ver si la varianza deyt es …nita

w es un intercepto que afecta al nivel de yt pero no a su varianza

θ1, ...θq son los coe…cientes de la parteMA(q)y, comoq es …nito,

tampoco juegan ningún papel a la hora de ver si la varianza deyt es

…nita

Lo importante: φ₁, ...,φ_p

Estacionariedad de modelos ARMA

Lo primero a notar es quew, θ1, ...θq no juegan ningún papel a la

hora de ver si la varianza deyt es …nita

w es un intercepto que afecta al nivel de yt pero no a su varianza

θ1, ...θq son los coe…cientes de la parteMA(q)y, comoq es …nito,

tampoco juegan ningún papel a la hora de ver si la varianza deyt es

…nita

Estacionariedad de modelos ARMA

Lo primero a notar es quew, θ1, ...θq no juegan ningún papel a la

hora de ver si la varianza deyt es …nita

w es un intercepto que afecta al nivel de yt pero no a su varianza

θ1, ...θq son los coe…cientes de la parteMA(q)y, comoq es …nito,

tampoco juegan ningún papel a la hora de ver si la varianza deyt es

…nita

Lo importante: φ₁, ...,φ_p

Estacionariedad de modelos ARMA

Piensa en un AR(1)

yt =φyt 1+et

conet RB(0,σ2)

Es una ecuación en diferencias estocástica de orden 1

Una solución es

yt = ∞

∑

k=0 φket k

Verifícalo remplazado esta solución en la ecuación inicial

Estacionariedad de modelos ARMA

Piensa en un AR(1)

yt =φyt 1+et

conet RB(0,σ2)

Es una ecuación en diferencias estocástica de orden 1

Una solución es

yt = ∞

∑

k=0 φket k

Verifícalo remplazado esta solución en la ecuación inicial

Para que la varianza sea …nita hace falta que _jφj<1

Estacionariedad de modelos ARMA

Piensa en un AR(1)

yt =φyt 1+et

conet RB(0,σ2)

Es una ecuación en diferencias estocástica de orden 1

Una solución es

yt =

∞

∑

φket k

Verifícalo remplazado esta solución en la ecuación inicial

Estacionariedad de modelos ARMA

Piensa en un AR(1)

yt =φyt 1+et

conet RB(0,σ2)

Es una ecuación en diferencias estocástica de orden 1

Una solución es

yt = ∞

∑

k=0 φket k

Verifícalo remplazado esta solución en la ecuación inicial

Para que la varianza sea …nita hace falta que _jφj<1

Estacionariedad de modelos ARMA

Piensa en un AR(1)

yt =φyt 1+et

conet RB(0,σ2)

Es una ecuación en diferencias estocástica de orden 1

Una solución es

yt = ∞

∑

k=0 φket k

Verifícalo remplazado esta solución en la ecuación inicial

Estacionariedad de modelos ARMA

Seguimos con el AR(1)

yt =φyt 1+et

que podemos escribir usando el operadorL

(1 φL)yt =et

y ahora considera (1 φL)que es un polinomio en Lde orden 1,

su raíz se obtiene igualando a cero y despejando

(1 φL) =0

L = 1 φ

entonces la condición de estacionariedad_jφj<1 también puede

expresarse como que la raíz del polinomio (1 φL) es mayor que 1

(en valor absoluto).

Estacionariedad de modelos ARMA

Seguimos con el AR(1)

yt =φyt 1+et

que podemos escribir usando el operadorL

(1 φL)yt =et

y ahora considera (1 φL)que es un polinomio en Lde orden 1,

su raíz se obtiene igualando a cero y despejando

(1 φL) =0

L = 1 φ

entonces la condición de estacionariedad_jφj<1 también puede

expresarse como que la raíz del polinomio (1 φL) es mayor que 1

Estacionariedad de modelos ARMA

Seguimos con el AR(1)

yt =φyt 1+et

que podemos escribir usando el operadorL

(1 φL)yt =et

y ahora considera (1 φL)que es un polinomio en Lde orden 1,

su raíz se obtiene igualando a cero y despejando

(1 φL) =0

L = 1 φ

entonces la condición de estacionariedad_jφj<1 también puede

expresarse como que la raíz del polinomio (1 φL) es mayor que 1

(en valor absoluto).

Estacionariedad de modelos ARMA

Seguimos con el AR(1)

yt =φyt 1+et

que podemos escribir usando el operadorL

(1 φL)yt =et

y ahora considera (1 φL)que es un polinomio en Lde orden 1,

su raíz se obtiene igualando a cero y despejando

(1 φL) =0

L = 1 φ

entonces la condición de estacionariedad_jφj<1 también puede

expresarse como que la raíz del polinomio (1 φL) es mayor que 1

Estacionariedad de modelos ARMA

Seguimos con el AR(1)

yt =φyt 1+et

que podemos escribir usando el operadorL

(1 φL)yt =et

y ahora considera (1 φL)que es un polinomio en Lde orden 1,

su raíz se obtiene igualando a cero y despejando

(1 φL) =0

L = 1 φ

entonces la condición de estacionariedad_jφj<1 también puede

expresarse como que la raíz del polinomio (1 φL) es mayor que 1

(en valor absoluto).

Estacionariedad de modelos ARMA

Seguimos con el AR(1)

yt =φyt 1+et

que podemos escribir usando el operadorL

(1 φL)yt =et

y ahora considera (1 φL)que es un polinomio en Lde orden 1,

su raíz se obtiene igualando a cero y despejando

(1 φL) =0

Estacionariedad de modelos ARMA

Ahora considera un AR(p)

yt =φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et

que podemos escribir

(1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)yt =et

o sea

φ(L)yt =et

en donde

φ(L) = (1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)

se le llama el polinomio autorregresivo deyt

Como cualquier polinomio se puede escribir (teorema fundamental del álgebra) en función de sus raícesλi

φ(L) = (1 λ₁1L)(1 λ₂1L)...(1 λp1L)

obviamente

φ(λj) =0

Estacionariedad de modelos ARMA

Ahora considera un AR(p)

yt =φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et

que podemos escribir

(1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)yt =et

o sea

φ(L)yt =et

en donde

φ(L) = (1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)

se le llama el polinomio autorregresivo deyt

Como cualquier polinomio se puede escribir (teorema fundamental del álgebra) en función de sus raícesλi

φ(L) = (1 λ₁1L)(1 λ₂1L)...(1 λp1L)

obviamente

Estacionariedad de modelos ARMA

Ahora considera un AR(p)

yt =φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et

que podemos escribir

(1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)yt =et

o sea

φ(L)yt =et

en donde

φ(L) = (1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)

se le llama el polinomio autorregresivo deyt

Como cualquier polinomio se puede escribir (teorema fundamental del álgebra) en función de sus raícesλi

φ(L) = (1 λ₁1L)(1 λ₂1L)...(1 λp1L)

obviamente

φ(λj) =0

Estacionariedad de modelos ARMA

Ahora considera un AR(p)

yt =φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et

que podemos escribir

(1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)yt =et

o sea

φ(L)yt =et

en donde

φ(L) = (1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)

se le llama el polinomio autorregresivo deyt

Como cualquier polinomio se puede escribir (teorema fundamental del álgebra) en función de sus raícesλi

φ(L) = (1 λ₁1L)(1 λ₂1L)...(1 λp1L)

obviamente

Estacionariedad de modelos ARMA

Ahora considera un AR(p)

yt =φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et

que podemos escribir

(1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)yt =et

o sea

φ(L)yt =et

en donde

φ(L) = (1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)

se le llama el polinomio autorregresivo deyt

Como cualquier polinomio se puede escribir (teorema fundamental del álgebra) en función de sus raícesλi

φ(L) = (1 λ₁1L)(1 λ₂1L)...(1 λp1L)

obviamente

φ(λj) =0

Estacionariedad de modelos ARMA

Ahora considera un AR(p)

yt =φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et

que podemos escribir

(1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)yt =et

o sea

φ(L)yt =et

en donde

φ(L) = (1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)

se le llama el polinomio autorregresivo deyt

Como cualquier polinomio se puede escribir (teorema fundamental del álgebra) en función de sus raícesλi

obviamente

Estacionariedad de modelos ARMA

Ahora considera un AR(p)

yt =φ₁yt 1+φ₂yt 2+...+φ_pyt p+et

que podemos escribir

(1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)yt =et

o sea

φ(L)yt =et

en donde

φ(L) = (1 φ₁L φ₂L2 ... φ_pLp)

se le llama el polinomio autorregresivo deyt

Como cualquier polinomio se puede escribir (teorema fundamental del álgebra) en función de sus raícesλi

φ(L) = (1 λ₁1L)(1 λ₂1L)...(1 λp1L)

obviamente

φ(λj) =0

Estacionariedad de modelos ARMA

de la misma forma que la condición de estacionariedad de un AR(1) era que la raíz del polinomioφ(L) fuera mayor que 1 (en valor

absoluto)

la condición de estacionariedad de un AR(p) es que lasp raíces del

polinomioφ(L) sean mayores que 1 (en valor absoluto)

si tienes raíces complejas tienes que exigir que el módulo sea mayor que uno

Esto se suele expresar diciendo que "Un modelo ARMA es estacionario si todas las raíces del polinomio autorregresivo están fuera del círculo unitario"

Estacionariedad de modelos ARMA

de la misma forma que la condición de estacionariedad de un AR(1)

era que la raíz del polinomioφ(L) fuera mayor que 1 (en valor

absoluto)

la condición de estacionariedad de un AR(p) es que lasp raíces del polinomioφ(L) sean mayores que 1 (en valor absoluto)

si tienes raíces complejas tienes que exigir que el módulo sea mayor que uno

Esto se suele expresar diciendo que "Un modelo ARMA es estacionario si todas las raíces del polinomio autorregresivo están fuera del círculo unitario"

Si alguna raíz es igual a 1 entonces tenemos una raíz unitaria. Es un caso especial de no estacionariedad de gran interés.

Estacionariedad de modelos ARMA

de la misma forma que la condición de estacionariedad de un AR(1)

era que la raíz del polinomioφ(L) fuera mayor que 1 (en valor

absoluto)

la condición de estacionariedad de un AR(p) es que lasp raíces del

polinomioφ(L) sean mayores que 1 (en valor absoluto)

si tienes raíces complejas tienes que exigir que el módulo sea mayor que uno

Esto se suele expresar diciendo que "Un modelo ARMA es estacionario si todas las raíces del polinomio autorregresivo están fuera del círculo unitario"

Estacionariedad de modelos ARMA

de la misma forma que la condición de estacionariedad de un AR(1)

era que la raíz del polinomioφ(L) fuera mayor que 1 (en valor

absoluto)

la condición de estacionariedad de un AR(p) es que lasp raíces del

polinomioφ(L) sean mayores que 1 (en valor absoluto)

si tienes raíces complejas tienes que exigir que el módulo sea mayor que uno

Esto se suele expresar diciendo que "Un modelo ARMA es estacionario si todas las raíces del polinomio autorregresivo están fuera del círculo unitario"

Si alguna raíz es igual a 1 entonces tenemos una raíz unitaria. Es un caso especial de no estacionariedad de gran interés.

Estacionariedad de modelos ARMA

de la misma forma que la condición de estacionariedad de un AR(1)

era que la raíz del polinomioφ(L) fuera mayor que 1 (en valor

absoluto)

la condición de estacionariedad de un AR(p) es que lasp raíces del

polinomioφ(L) sean mayores que 1 (en valor absoluto)

si tienes raíces complejas tienes que exigir que el módulo sea mayor que uno

Esto se suele expresar diciendo que "Un modelo ARMA es estacionario si todas las raíces del polinomio autorregresivo están fuera del círculo unitario"

Estacionariedad de modelos ARMA

La condición de que todas las raíces del polinomio autorregresivo estén fuera del círculo unitario se corresponde con restricciones en los

φ0s

por ejemplo para el ARMA(2,q) estas condiciones son:

φ₂+φ₁ < 1

φ₂ φ₁ < 1 jφ₂j < 1

pero no merece la pena aprenderse esto, en cada caso en particular es mas fácil calcular las raíces

Estacionariedad de modelos ARMA

La condición de que todas las raíces del polinomio autorregresivo estén fuera del círculo unitario se corresponde con restricciones en los

φ0s

por ejemplo para el ARMA(2,q) estas condiciones son:

φ₂+φ₁ < 1

φ₂ φ₁ < 1 jφ₂j < 1

Estacionariedad de modelos ARMA

La condición de que todas las raíces del polinomio autorregresivo estén fuera del círculo unitario se corresponde con restricciones en los

φ0s

por ejemplo para el ARMA(2,q) estas condiciones son:

φ₂+φ₁ < 1 φ₂ φ₁ < 1

jφ₂j < 1

pero no merece la pena aprenderse esto, en cada caso en particular es mas fácil calcular las raíces

Estacionariedad de modelos ARMA

La condición de que todas las raíces del polinomio autorregresivo estén fuera del círculo unitario se corresponde con restricciones en los

φ0s

por ejemplo para el ARMA(2,q) estas condiciones son:

φ₂+φ₁ < 1

φ₂ φ₁ < 1 jφ₂j < 1

Momentos de un AR(1)

Ahora vamos a calcular la media, varianza y autocovarianzas de un AR(1) estacionario

yt =w+φ₁yt 1+et (1)

llamaµ a la media, entonces tomando esperanzas en la ecuación

anterior nos queda

µ=w+φ₁µ

por tanto

µ= w

1 φ₁

tomando varianzas en la ecuación (1) nos queda

γ₀ =φ2₁γ₀+σ2

usando que E(yt 1et) =0,por tanto

γ₀ = σ 2

1 φ2₁

Momentos de un AR(1)

Ahora vamos a calcular la media, varianza y autocovarianzas de un AR(1) estacionario

yt =w+φ₁yt 1+et (1)

llamaµ a la media, entonces tomando esperanzas en la ecuación

anterior nos queda

µ=w+φ₁µ

por tanto

µ= w

1 φ₁

tomando varianzas en la ecuación (1) nos queda

γ₀ =φ2₁γ₀+σ2

usando que E(yt 1et) =0,por tanto

γ₀ = σ 2

Momentos de un AR(1)

Ahora vamos a calcular la media, varianza y autocovarianzas de un AR(1) estacionario

yt =w+φ₁yt 1+et (1)

llamaµa la media, entonces tomando esperanzas en la ecuación

anterior nos queda

µ=w+φ₁µ

por tanto

µ= w

1 φ₁

tomando varianzas en la ecuación (1) nos queda

γ₀ =φ2₁γ₀+σ2

usando que E(yt 1et) =0,por tanto

γ₀ = σ 2

1 φ2₁

Momentos de un AR(1)

Ahora vamos a calcular la media, varianza y autocovarianzas de un AR(1) estacionario

yt =w+φ₁yt 1+et (1)

llamaµa la media, entonces tomando esperanzas en la ecuación

anterior nos queda

µ=w+φ₁µ

por tanto

µ= w

1 φ₁

tomando varianzas en la ecuación (1) nos queda

γ₀ =φ2₁γ₀+σ2

usando que E(yt 1et) =0,por tanto

γ₀ = σ 2

Momentos de un AR(1)

Ahora vamos a calcular la media, varianza y autocovarianzas de un AR(1) estacionario

yt =w+φ₁yt 1+et (1)

llamaµa la media, entonces tomando esperanzas en la ecuación

anterior nos queda

µ=w+φ₁µ

por tanto

µ= w

1 φ₁

tomando varianzas en la ecuación (1) nos queda

γ₀ =φ2₁γ₀+σ2

usando que E(yt 1et) =0,por tanto

γ₀ = σ 2

1 φ2₁

Momentos de un AR(1)

Ahora vamos a calcular la media, varianza y autocovarianzas de un AR(1) estacionario

yt =w+φ₁yt 1+et (1)

llamaµa la media, entonces tomando esperanzas en la ecuación

anterior nos queda

µ=w+φ₁µ

por tanto

µ= w

1 φ₁

tomando varianzas en la ecuación (1) nos queda

FACV y FAC

Def. a la colección de γ_s se le llama la función de autocovarianzas

(FACV)

y a la colección de ρ_s se le llama lafunción de autocorrelación

(FAC)

FACV y FAC

Def. a la colección de γ_s se le llama la función de autocovarianzas

(FACV)

y a la colección de ρ_s se le llama lafunción de autocorrelación

Momentos de un AR(1)

¿Cuál es la FAC de un AR(1)?

De la ecuación (1) podemos calcular γ₁

γ₁ =cov(yt,yt 1) =cov(w+φ₁yt 1+et,yt 1) =φ₁γ₀

y sucesivamente

γ₂ =cov(yt,yt 2) =cov(w +φ₁yt 1+et,yt 2) =φ₁γ₁ =φ2₁γ₀

y, en general,

ρ_k =φk₁

la FAC decae exponencialmente

lo mismo pasa para un ARMA(p,q), la FAC se comporta eventualmente como la parte AR(p) o sea como la suma de exponenciales

Momentos de un AR(1)

¿Cuál es la FAC de un AR(1)?

De la ecuación (1) podemos calcular γ₁

γ₁ =cov(yt,yt 1) =cov(w+φ₁yt 1+et,yt 1) =φ₁γ₀

y sucesivamente

γ₂ =cov(yt,yt 2) =cov(w +φ₁yt 1+et,yt 2) =φ₁γ₁ =φ2₁γ₀

y, en general,

ρ_k =φk₁

la FAC decae exponencialmente

Momentos de un AR(1)

¿Cuál es la FAC de un AR(1)?

De la ecuación (1) podemos calcular γ₁

γ₁ =cov(yt,yt 1) =cov(w+φ₁yt 1+et,yt 1) =φ₁γ₀

y sucesivamente

γ₂ =cov(yt,yt 2) =cov(w +φ₁yt 1+et,yt 2) =φ₁γ₁ =φ2₁γ₀

y, en general,

ρ_k =φk₁

la FAC decae exponencialmente

lo mismo pasa para un ARMA(p,q), la FAC se comporta eventualmente como la parte AR(p) o sea como la suma de exponenciales

Momentos de un AR(1)

¿Cuál es la FAC de un AR(1)?

De la ecuación (1) podemos calcular γ₁

γ₁ =cov(yt,yt 1) =cov(w+φ₁yt 1+et,yt 1) =φ₁γ₀

y sucesivamente

γ₂ =cov(yt,yt 2) =cov(w +φ₁yt 1+et,yt 2) =φ₁γ₁ =φ2₁γ₀

y, en general,

ρ_k =φk₁

la FAC decae exponencialmente

Momentos de un AR(1)

¿Cuál es la FAC de un AR(1)?

De la ecuación (1) podemos calcular γ₁

γ₁ =cov(yt,yt 1) =cov(w+φ₁yt 1+et,yt 1) =φ₁γ₀

y sucesivamente

γ₂ =cov(yt,yt 2) =cov(w +φ₁yt 1+et,yt 2) =φ₁γ₁ =φ2₁γ₀

y, en general,

ρ_k =φk₁

la FAC decae exponencialmente

lo mismo pasa para un ARMA(p,q), la FAC se comporta eventualmente como la parte AR(p) o sea como la suma de exponenciales

Momentos de un AR(1)

¿Cuál es la FAC de un AR(1)?

De la ecuación (1) podemos calcular γ₁

γ₁ =cov(yt,yt 1) =cov(w+φ₁yt 1+et,yt 1) =φ₁γ₀

y sucesivamente

γ₂ =cov(yt,yt 2) =cov(w +φ₁yt 1+et,yt 2) =φ₁γ₁ =φ2₁γ₀

y, en general,

ρ_k =φk₁

FAC de un AR(2)

yt =w +φ₁yt 1+φ₂yt 2+et

usando que para s 1

cov(yt s,et) =0

entonces

γ_s =cov(yt,yt s) =cov(w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+et,yt s)

γ_s =φ₁γ_{s 1}+φ₂γ_{s 2}

dividiendo por γ0

ρ_s =φ₁ρ_{s 1}+φ₂ρ_{s 2}

la FAC sigue la misma ecuación en diferencias de orden 2 que sigue el proceso

FAC de un AR(2)

yt =w +φ₁yt 1+φ₂yt 2+et

usando que para s 1

cov(yt s,et) =0

entonces

γ_s =cov(yt,yt s) =cov(w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+et,yt s)

γ_s =φ₁γ_{s 1}+φ₂γ_{s 2}

dividiendo por γ0

ρ_s =φ₁ρ_{s 1}+φ₂ρ_{s 2}

FAC de un AR(2)

yt =w +φ₁yt 1+φ₂yt 2+et

usando que para s 1

cov(yt s,et) =0

entonces

γ_s =cov(yt,yt s) =cov(w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+et,yt s)

γ_s =φ₁γ_{s 1}+φ₂γ_{s 2}

dividiendo por γ0

ρ_s =φ₁ρ_{s 1}+φ₂ρ_{s 2}

la FAC sigue la misma ecuación en diferencias de orden 2 que sigue el proceso

FAC de un AR(2)

yt =w +φ₁yt 1+φ₂yt 2+et

usando que para s 1

cov(yt s,et) =0

entonces

γ_s =cov(yt,yt s) =cov(w+φ₁yt 1+φ₂yt 2+et,yt s)

γ_s =φ₁γ_{s 1}+φ₂γ_{s 2}

dividiendo por γ0

ρ_s =φ₁ρ_{s 1}+φ₂ρ_{s 2}