TEORÍA DE CONJUNTOS Y SU CLASIFICACIÓN

Profesor:

LIC. LUIS GONZALO PULGARÍN r

Conjunto es una lista, colección o

agrupación bien definidas de objetos de

cualquier clase.

Los objetos (números, letras, personas, ríos,

etc.) que constituyen un conjunto se les

llama

miembros

o

elementos

del conjunto.

Ejemplo:

En las figuras

siguientes tienes

un Conjunto de Personas

NOTACIÓN Y REPRESENTACIÓN

Todo conjunto se escribe entre llaves { }

Normalmente se utilizan letras MAYÚSCULAS A, B, X, Y …. para nombrar los Conjuntos.

Los elementos se escriben con letras minúsculas(a, b, c, d, h…) y se separan con comas (,)

Ejemplo:

El conjunto de las letras del alfabeto: a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así:

L={ a, b, c, ..., x, y, z}En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir elementos por ejemplo:

El conjunto {x, x, x, y, y, z } incorrecto

DIAGRAMA DE VENN

Los Diagramas de Venn son una manera

esquemática de representar los conjuntos y los conceptos de la teoría de conjuntos.

Constituyen una ayuda didáctica muy valiosa para visualizar las relaciones de: Pertenencia, Subconjunto y las Operaciones con conjuntos..

U

A B

C

El Rectángulo representa conjunto Universal

Los círculos se han utilizado para

Los diagramas de Venn sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada

.

A M T 7 2 3 6 9 a e i o u

1 3

7 6 9

2

4

5 8

8 4

1 5

INDICE

Los diagramas de Venn se deben al filósofo

inglés John Venn Euler

POR EXTENSIÓN

POR EXTENSIÓN

POR COMPRENSIÓN

POR COMPRENSIÓN

:

Hay dos

formas de

determinar un

conjunto

DETERMINACION DE CONJUNTOS

1) POR EXTENSIÓN

Es aquella forma mediante la cual se

nombran cada uno de los elementos del

conjunto. Es decir

escribiendo cada uno de

los elementos que componen el conjunto

dentro de llaves y separados por una coma

Ejemplos:

El conjunto de los números pares mayores

que 5 y menores que 20. (

Comprensión

)

A = { 6,8,10,12,14,16,18 } (

Extensión

)

VEAMOS OTROS EJEMPLOS POR EXTENSIÓN

1.

Expresar por extensión el conjunto de días de la

semana.

Por Extensión

: D = { lunes, martes, miércoles,

jueves, viernes, sábado, domingo }

.

Sea A el conjunto de las vocales (

Comprensión

)

A= { a, e, i, o, u } (

Extensión

)

2. Sea B el conjunto de los números pares menores

que 30 (

Comprensión

)

B={ 2, 4, 6, 8, 10,12,14,16,18,20,22,24,26,28}

2) POR COMPRENSIÓN

Es aquella forma mediante la cual se da una

propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, escribiendo dentro de las llaves las

características de los elementos que pertenecen al conjunto.

Expresar por comprensión el conjunto de días de la semana.

Por Comprensión: D ={ x / x es un día de la semana }

Ejemplo:

P= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.}

Veamos otro ejemplo por comprensión y extensión.

A = { es un número primo menor que 50}

Actividad

1.Determina los siguientes conjuntos, listando sus elementos. o sea (Por Extensión)

A = { las cinco primeras letras el alfabeto }

A = { ……….. }

B = { los nombres de los meses del año que comienza con M } B = {……… }

C = { el nombre de la ciudad y el país donde vives }

C = { ………} D = { nombre de tus profesores }

D = { ……… } E = { nombre de los miembros de la sagrada familia } E = { ………. } F = {Números naturales mayores que 12 pero menores que 20}

F = { }

2. Determinar los siguientes conjuntos, escribiendo una propiedad

característica para todos los elementos. O sea (Por comprensión)

Q = { enero, febrero, marzo}

Q = { ………. } R = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}

R = { ………. } S = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }

S = {………. } T = { perro, gato, vaca, ballena }

T = { ……… } P = { La Niña, la Pinta, La Santa María }

TAREA

1.Determinar los siguientes conjuntos, (Por extensión) listando todos sus elementos.

H = {letras de la palabra compañerismo}

H = {………. } J = {nombre de las niñas de tu aula}

J= {………. } K = {nombre del presidente del Colombia y }

K = {………. }

L = {animales domésticos } L= { ……….. ………} A = {números naturales mayores que 9 pero menores que 18} A=

2. Determinar los siguientes conjuntos, (por comprensión) escribiendo una propiedad común para todos los elementos.

M = {manzana, plátano, naranja}

M= {………. } N = {índice, pulgar, cordial, anular, meñique}

N = {………. } Ñ = {do, re, mi, fa, sol, la, si}

Ñ= {………. } P = {norte, sur, este, oeste}

P= {………. } Q = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j,…}

RELACIONES DE LOS

CONJUNTOS

Relaciones

Entre

Conjuntos

Relaciones

Entre

Conjuntos

SubConjuntos

SubConjuntos

Conjuntos

Especiales

Conjuntos

Especiales

Conjunto Finito e Infinito Conjunto Finito e Infinito

Pertenencia

Pertenencia

Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B, sí

todos los elementos de A son también elementos de B.

Se lee : A está incluido en B. A es subconjunto de B. A está contenido en B. A es parte de B

Se simboliza así:

A no es un subconjunto de B, es decir si por lo menos un elemento de A no pertenece a B

Se simboliza así:

SUBCONJUNTO, INCLUIDO O CONTENIDO

A

B

B

A

_B

A

_A

B

A

B

A

B

SUBCONJUNTOS

Si

A= { 1, 2, 3,}

B= { 1 }

C={ 8,9 } D={ 8}

U

A

B

C

D

A U _{C U}

B U

D U

B A D C 1

2 3

Veamos más Ejemplos:SUBCONJUNTOS

Considere los siguientes conjuntos:

A ={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 }

B ={ 1, 2, 3, 5, 7 }

C ={ 1, 5 }

Podemos decir que:

C A y C B

Ya que 1 y 5 los elementos de

C

B A

Ya que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a A

RELACION DE

RELACION DE

PERTENENCIA

PERTENENCIA

Un elemento pertenece a un conjunto si forma

parte de su lista de elementos. Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo:

12

Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo: y se lee No pertene

5 T Se lee 5 NO pertenece al conjunto T…

Ejemplo:

Sea M = {2,4,6,8,10}

se lee 2 pertenece al conjunto M









2 M



Se indica que la letra z “no pertenece al conjunto de las vocales”.

RELACION DE

RELACION DE

PERTENENCIA

PERTENENCIA





se lee z

no pertenece al conjunto

V

Al escribir z {vocales},

Representación gráfica:

Conjunto de las vocales

Relación de pertenencia

• Ejemplo

•

a A

(a pertenece a A)

Realicemos actividades

1. Dado el diagrama completa con el símbolo de pertenece o no pertenece: ∈ ∉

1....C 2...C 1...B 2...B 7...B 3...B 6...C 7...C 4....B 4....C 5.. C 6....B

2. Según el diagrama completa con el símbolo pertenece o no pertenece : ∈ ∉

A= { } B= { } C= { }

Conjuntos Especiales

CONJUNTO VACIO

Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo.

Generalmente se le representa por los símbolos: { }

o por Ø .

A = Ø o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “

Ejemplos:

M = { números mayores que 9 y menores que 5 } P = { } 0 P=

Ejemplo de conjunto Vacío:

El conjunto de los hombres que viven actualmente con más 500 años de edad.

CONJUNTO UNITARIO

F ={número que es primo y par a la vez} F= { 2 } G = {primera letra del alfabeto} G={a }

CONJUNTO FINITO

Es el conjunto con limitado número de elementos.

Ejemplos:

E = { es un número impar menor que 10 } E= {1, 3, 5, 7,9 }

N = { es un número par menor que 20 N= { 2,4,6, 8,10,12,14,16,18}

Ejemplo de conjunto Vacio:

Es el conjunto que tiene un solo elemento.

CONJUNTO INFINITO

S = {es un número par } S = { 2,4,6, 8,10,12,14.. } R = { Es mayor que < 6 } R= { 7, 8, 9,10, 11, 12, 13,… }

T= { El conjunto de las estrellas del cielo}

Es el conjunto con ilimitado número de elementos.

.

CONJUNTO UNIVERSAL

Es un conjunto

que contiene a todos

los elementos de una situación

particular.

El conjunto Universal se representa con:

U

También se le llama

CONJUNTO

UNIVERSAL

o

CONJUNTO

REFERENCIAL

Ejemplo:

={ letras del alfabeto }

= { Números naturales }

CONJUNTO UNIVERSAL

Ejemplo

Si

U

=N, el conjunto de los números naturales

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

B ={es un numero primo }

C = { es un numero natural par }

A, B y C son subconjuntos de

U

NOTA: Los números primos menores que cien son los siguientes:

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Operaciones

con

Conjuntos

Operaciones

con

Conjuntos

UNIÓN

UNIÓN

INTERSECCIÓN

INTERSECCIÓN

Conjuntos DISYUNTOS

Conjuntos DISYUNTOS

Diferencia Simétrica

Diferencia Simétrica

COMPLEMENTO

COMPLEMENTO

DIFERENCIA

N

Z

Q

I

R

UNIÓN DE CONJUNTOS

U

A B En los diagramas de Venn, las regiónes sombreadas

corresponden al conjunto A U B

A U B

A U B

Representamos la unión de A y B por

UNIÓN DE CONJUNTOS

La región

sombreada de

color amarillo

corresponde al

conjunto

A U

A U

Gráficamente

Podemos interpretar

la unión de dos conjuntos

A y B por el área sombreada .

1 5 4

2 7 3

6

U

A U B

Sean dos conjuntos A y B.

Sean definidos de la siguiente manera:

A = { j, u, g, o, d, e}

B = { m, a, n, g, o}

1) Sean A = {

1

, 2,

3

, 4,

5

}

B = {

1

,

3

,

5

, 7, 9}

A U B

= {

1,

2

, 3

,

4

,

5

,

7, 9

}

En un diagrama de Venn quedaría:

.

1

.3

.5

.5

.3

A

B

.

9

.

7

.1

.4

.

2

U

2) Sean A = {1, 2,

3

,

4,

5}

B = {

3, 4

, 5, 6}

C = {

3, 4

, 7, 8}

A U B U C

= {1, 2,

3, 4

, 5, 6, 7, 8}

“Tú puedes aprender,

simplemente

necesitas: dedicación,

constancia y muchas

En un diagrama de venn

.

5

.3

.4

.4

.3

A

B

.

6

.5

.2

.

1

U

3

.7

C

.8

4

UNION DE CONJUNTOS

Ejemplo

A U B ={

a, b, c, d, e, f}

A B

Si

A={ a, b, c, d }

B= { c, d, e, f }

Entonces:

a

b

c

d e

f

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA

UNIÓN DE CONJUNTOS

AUB

En este caso A y B son conjuntos disyuntos

U

U

U

A

A

A _B

B

B

Diagrama de Venn

La INTERSECCION estará representada por el área rellenada de color amarillo.

Se denomina

intersección

conjuntos al conjunto formado por los elementos comunes o repetidos pertenecientes a todos los conjuntos.

La intersección del conjunto

ENTRE CONJUNTOS

La intersección se simboliza por

A ∩ B

Y se lee

“

A intersección B”

Gráficamente

En este diagrama

de Venn

el área o

región sombreada

corresponde al

conjunto A∩B

.

U

A

B

A ∩ B

Sean dos conjuntos A y B.

Sean definidos de la siguiente manera:

A = { j, u,

g, o

, d, e}

B = { m, a, n,

g, o

}

La intersección se representa así:

Los elementos que se repiten en los dos

1) Sean

M= {a, e, i, o, u}

F = {a, b, c, d, e}

M∩ F

= {a, e}

.

a

_.e

.d

.o

.e

M

F

.

c

.b

.a

.

u

.i

U

M ∩ F=

{a, e}

a e

a e

2) Sean A = {1, 2,

3, 4

, 5}

B = {

3, 4

, 5, 6}

C = {

3, 4

, 7, 8}

A ∩ B ∩ C = {3, 4}

“No debes tomar las cosas que no te

pertenecen, respetar lo ajeno es un valor que se llama Honradez, si te encuentras algo

En un diagrama de venn

.

5

.3

.4

.4

.3

A

B

.

6

.

5

.2

.

1

U

3

.7

C

.8

4

INTERSECCION DE CONJUNTOS

Si

A={ a, b, c, d }

B= { c, d }

A ∩ B = { c, d }

U

U

A

B

Si

A={ a, b, c, d }

B= { m, p, q }

A ∩ B = Ø

A ∩ B = Ø, A y B son disyuntos

A ∩ B =B porque B A

Dos conjuntos que no tienen nada en común se llaman DISYUNTOS

a _b

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

En este caso A y B son conjuntos disyuntos

U

U

U

A

A

A _B

B

A B A B= B

B

A B = Φ

U U

CONJUNTOS DISYUNTOS

Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA :

A B 1 7 5 3 9 2 4 8 6







conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son

CONJUNTOS DISYUNTOS

•

_{C = {1, 3, 5} D = {2, 4}}

CONJUNTOS DISYUNTOS

U

A B

AUB son conjuntos

disyuntos

A B = Φ

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia

entre A y B al conjunto formado por loselementos del primer conjunto que

no

segundo conjuntose simboliza así

A ̶ B

Gráficamente

podemos interpretar la

diferencia de dos conjuntos A y B por el área

sombreada.

U

A ̶ B

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, su DIFERENCIA estará representada por el área rellenada de color: amarillo

La diferencia A - B

Gráficamente esta área cubre la superficie que

A NO COMPARTE CON B.

La diferencia B - A

Gráficamente esta área cubre la superficie que

B NO COMPARTE CON A.

A - B

Sean dos conjuntos A y B.

Establezcamos la Diferencia entre los dos

K = { j, u, g, o, d, e} N = { m, a, n, g, o}

Solución:

K – N

= { j, u, d, e }

1) Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {1, 3, 5, 7, 9}

A ̶ B

_{= { } B}

_̶

_{A =}

A

̶

B

≠

B

̶

A

En un diagrama de venn

.

1

.3

.5

.5

.3

A

B

.

9

.

7

.1

.4

.

2

U

A ̶ B=

{ 2, 4 }

2,

4

2) Sean P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

L = {1, 3, 5}

L ̶ P =

Ø

_{Es decir L}

_{⊆ P}

En un diagrama de venn

.

1

.3

.5

.5

.3

P

L

.1

.4

.

2

U

.

6

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Ejemplo 1:

Ejemplo 1:

Si

A={ a, b, c }

B= { c, d}

A-B={ a, b }

Ejemplo 2:

Ejemplo 2:

Si

A={ 3, 4, 5, 6 }

B= { 4, 5 }

A-B={ 3, 6}

Ejemplo 3:

Ejemplo 3:

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Si A y B son

conjuntos disyuntos

U

U

U

A

A

A _B

B

A - B A - B

B

A - B=A

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Simbólicamente:

_{A - B ={ }}

U

A

B

U

El complemento de un conjunto se toma con

base en el conjunto

universal: U

; decimos que el

complemento de un conjunto

A

, es el conjunto de

elementos que

pertenecen a

U

y

No pertenecen

a A.

También es el conjunto de elementos que le

faltan a

A para ser igual a U

. se simboliza por:

A

’

Y se lee

“ complemento de A”

1 3 5 7 9 U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A ={1,3, 5, 7, 9}

En resumen:“

conjunto A, es el

conjunto de elementos que No pertenecen a A.

Sean

U = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

A = {2, 3, 4}

A

’

= {

5, 6, 7

}

5, 6, 7

A

U

.2

.3

.4

.6

.7

.5

Dados los conjuntos:

A = { 1, 4 ,7 ,10 , ... ,34}

B = { 2 ,4,6,...,26}

C = { 3, 7,11,15,...,31}

a)Expresar A, B y C por comprensión

A = {1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34}

B = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26}

C = {3,7,11,15,19,23,27,31}

b) Hallar: A B C A, B

U

C

A B = { }

C A = { }

B U C = { }

2. Realiza las gráficas de cada una de las

operaciones anteriores entre conjuntos

Sabemos que A B esta formado por los elementos comunes o repetidos de A y B,

entonces:

U

U

U

U

62

Ejercicios

•

_{Dados los conjuntos}

A = { 1, 2, 3} , B = {1, 2, 4, 5} y C = { 2, 3, 4, 6, 7}

Calcular

A  B = A  B = A – B = B – A =

A  B  C = A  B  C =

{

1,2 }

{

1, 2, 3, 4, 5

}

{ 3 }

{

4, 5 }

{ 2

}

63

Ejercicio

Colorear la parte que representa el conjunto

teniendo en cuenta los conjuntos anteriores

IGUAL

SíMBOLOS UTILIZADOS EN CONJUNTOS

ELEMENTO PERTENECE

ES SUBCONJUNTO

є

є

NO ES SUBCONJUNTO

ELEMENTO NO PERTENECE

=

CONJUNTO VACIO

{ } o Ø

U

Llaves

_{{ }}

UNION

INTERSECCION

∩

El producto Cartesiano

El producto Cartesiano: Es el conjunto formado por todos los pares ordenados posibles

emparejando un elemento del primer conjunto con otro del segundo conjunto.

Se escribe: A x BA x B..

Ejemplo:

Dados los siguientes conjuntos:

A = {a, e, i, o, u} y B = {1, 2} Su producto cartesiano sería:

A x B

A x B = { (a,1), (a, 2), (e, 1), (e, 2), (i, 1), (i, 2), (o, 1), (o,

Profesor:LUIS GONZALO PULGARÍN R