Fórmulas y funciones trigonométricas

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(1)

1

Fórmulas trigonométricas

Página 131

1 Demuestra la fórmula II.2 a partir de la fórmula:

cos (

cos (

cos α + β) = cosαcosβ – senαsenβ

cos ( cos (

cos α – β) = cos (cos (cos α + (–β)) = cosαcos (–cos (–cos β) – senαsen (–β) = = cosαcosβ – senα (–senβ) = cosαcosβ + senαsenβ

2 Demuestra II.3 a partir de tg (tgtg (α + β) = a a bb tg tga ba btg

tg aa tgtgbb

1 –

a+ b

a b

.

tg ( tg (

tg α – β) = tg (tg (tg α + (–β)) = 1–tgatg tg+atg( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )bbbb =(*) 11111111111111tgtgatgtg (tgtgtgtg+aaaaaaa(((((((((((((((((((–––––––((((((((((((((((((tgtgtgtgtgtgtgtgbbbbbbbbbb)))))))))))))))))))))))))))))))))))))) = 11111111111111tgtgtg+tg tgaaa–––––––atgbb

(*) Como sencosnnnnnnnnnnnnnnnnnsssssss( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )––––––aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ===cccccccc––––––osssssssssssssssssssenaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa4 → tg (–tg (–tg α) = –tgα

3 Demuestra la fórmula II.3 a partir de las siguientes: sen (αβ) = senαcosβ – cosαsenβ

cos (

cos (

cos αβ) = cosαcosβ + senαsenβ

tg ( tg (

tg α – β) = sencosssss((((((((((((((((((((((((((a ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba b––––––––– ))))))))))))))))))))))) se)))= sesencccccosnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaacococococococosssssssssssssbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb+––––––––––sen sccccccccccccososn saaaaaaaaaassssssssssssssssssssssenenbbbbbbbbbb =(*) – +

a b

a b

a b

a b

aa bb aa bb

a b

a b

cos cs caaaa osbbbb

cos cs caaaa osbbbb

cos cs caaaa osbbbb

cos cs caaaa osbbbb cos cs caaaa osbbbb

sen sn saaaa enbbbb

sennnnnnnaaaaaaaaaacocossbbbbbbbbbb cocossaaaasssssssenbbbb

tg tga ba btg tgaa tgtgbb

1

a– b

a b

= +

(*) Dividimos numerador y denominador por cosαcosβ.

4 Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla cos 12°, coscos 12°, tgtgtg 12°, 12°, coscoscos 37° y  37° y tgtgtg 37°. Calcula, a partir de ellas, 37°. Calcula, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49° y de 25°, usando las fórmulas (I) y (II).

• sen 12° = 0,2 cos 12° = cos 12° =

cos 11111111111–––––sensensesesesensenn 2n 2n2211111111111 =2222222222222222222222222222°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°=========== 111111111111111111111111111111––––––0 00 00 00 00 00 00 00 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 0 98,,,,, 4 0============ ,

tg 12° = tg 12° =

tg 0 90 90 20 2,, 8,,,, =0 20 2,,,

• sen 37° = 0,6 cos 37° = cos 37° =

cos 11111111111––––sesensesensesenn 7nn 7223333 =33333337777777777777777777777777°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°=========== 111111111111111111111111111–––––0 30 30 30 30 30 3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 6 0 8, 6 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 6 0============ ,

tg 37° = tg 37° =

tg 0 80 60 60 8,,,,,, =0 70 7,,, 5

• 49° = 12° + 37°, luego:

sen 49° = sen (12° + 37°) = sen 12° cos 37° + cos 37° + cos cos 12° cos 12° cos sen 37° = 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748 cos 49° =

cos 49° =

cos cos (12° + 37°) = cos (12° + 37°) = cos cos 12° cos 12° cos cos 37° – cos 37° – cos sen 12° sen 37° = 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664

tg 49° = tg 49° =

tg tg (12° + 37°) = tgtg (12° + 37°) = 111111tg12tg 2tgtgtgtg 2tgtg111111°°°°°222222+°°°°°°°°°tgtgtgtgtgtgtgtgtgtg 7tg373733333333777°°°°°°°°°°°°°° =1 01 0 2 01 00 20 2,,,,,,, , · 75, · ,, ·++2 00 70 7,,, 5,,,, =1 11 1,,, 2

c ° m

c ° °m

c °°m

c co °m

c cos m

c tg s m

c tg se m

c sen m

c 49 n m

c 49 49 m

c 4949 m

cPodría 49 m

cPodría calcularse m

c calcularse = m

c = m

(2)

• 25° = 37° – 12°, luego:

sen 25° = sen (37° – 12°) = sen 37° cos 12° – cos 12° – cos cos 37° cos 37° cos sen 12° = 0,6 · 0,98 – 0,8 · 0,2 = 0,428 cos 25° =

cos 25° =

cos cos (37° – 12°) = cos (37° – 12°) = cos cos 37° cos 37° cos cos 12° + cos 12° + cos sen 37° sen 12° = 0,8 · 0,98 + 0,6 · 0,2 = 0,904

tg 25° = tg 25° =

tg tgtg (37° – 12°) = tg (37° – 12°) = 1111tg+tg 7tgtg373°3°°°3°3777°°°°°°°°°tgtgtgtgtgtgtg1212111122°°°°°°°°°°°°°° =1 01 0 751 00 70 7+,,,,, , · 0 2, ·, · ,5 05 05 05 0750 2,,2,,,,, =0 478,

5 Demuestra esta igualdad:

( ) ( )

( ) cos( ) cos

sen an a((((((((((((((((((a ba ba ba b+ ++ ++ ++ ++ ++ +b sb sb sb sb sb s)))))))))))) en a b)))))) ((((((((((((a ba ba ba ba ba ba b–– ))))))))))))=tg a1

( ) ( )

( ) ( )

coss(( )) oscc

cos c cos c

cos c cos c

sen an assssssssss((((((((((((((((((((((((((((a ba ba ba ba b+ ++ ++ ++ ++ ++ +b sb sb sb sb sb s)))))))))) en a b)))))))))))))))))) cccccccccc ((((((((((((a ba ba ba ba ba ba b–– )))))))))))) = sen as cs cosaaa osssssssbbbbbbbbbbbb+–+++++ccccoscoscsen a sen bosos seosos sen b sen aaaaaaaaaasen bn b++++++++++++cocos cs coss cs cs cs cs coss cs cs cosaaaaaaaaaaaa osososososssssssbbbbbbbbbbbbbbbbb++++++–sen a sen bcccccoscos sen baaaaa =

cos cos c cos

sen as cs cosaaa osbbbb sen aa tg a 2222222222cocos cs coss cs cs cs caaaaaa osososbbbbbb cocossaa 111111111

= = =

= =

6 Demuestra las fórmulas (III.1) y (III.3) haciendo α = β en las fórmulas (I).

sen 2α = sen (α + α) = senαcosα + cosαsenα = 2 senαcosα

tg 2 tg 2

tg α = tg (tg (tg α + α) = tgtg tgaaa a aa aa atgtgtgaaa aa tg tg

1 1

2

– – 2

a+ a

a a

=

7 Halla las razones trigonométricas de 60° usando las de 30°.

sen 60° = sen (2 · 30°) = 2 sen 30° cos 30° = cos 30° = cos 2· ·· ·21 23 = 23

cos 60° = cos 60° =

cos cos (2 · 30°) = cos (2 · 30°) = cos cos cos cos2 30° – sen 2 30° =

23 – 21 43 – 41 42 21

2 2

= =

– = – =

– – =

e o –––––––cc mm === ––––––– ===

tg 60° = tg 60° =

tg tg (2 · 30°) = tg (2 · 30°) = tg °

( / )/ // / / tg

tg 1 tg 3 1 tg 03

2 3tg 2 3tg 0

1 ( 3

12 32 3(·· 3/ )/ )//////////333333 2 32 32 32 32 32 31 3 9··· //////////33333 2 32 3··2 32 3// 3 3

– –

1– 3 –

1 tg 3

1–tgtg 3 –

1––tg 0222230°° 11––( / )( 33/ )2222 1 31 3–

1 23 2

1 222222300 = 1111111112 32 32 3(( / )(( 333333333/ )/ )/ )/////////////33333333 222222=== 2 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 3/////////////333333=== 2 32 32 3 ===

8 Halla las razones trigonométricas de 90° usando las de 45°.

sen 90° = sen (2 · 45°) = 2 sen 45° cos 45° = cos 45° = cos 2·· 22 ·· 22 1=

cos 90° = cos 90° =

cos cos (2 · 45°) = cos (2 · 45°) = cos cos cos cos2 45° – sen 2 45° = e 2 e 2=0 2

e e

22 e 2 e

e e

e e

e o e o 2

o o

2

2 2

o2 2o2 o 2o

o o

o2 o2 o2 o2

o o

e o e o e –e e o ––e o e 2–e 2 e o22 e o22 e 2 e 2 e o e o

tg 90° = tg 90° =

tg tg (2 · 45°) = tg (2 · 45°) = tg tg tg 1 tg 4 1 tg 54

2 4tg 2 4tg 5

1 12 1

– °

1– 4 ° 1 tg 4 1–tgtg 4 ° 1–tg 545° °

1 1– 1 12 12 1· 2

1 24

1 4

1– 4 ° 1 24 1– 4 ° 1 tg 4 1–tgtg 4 ° 1 tgtg24 1–tgtg 4 °

1 tg 4 = → No existe.

9 Demuestra que: aa aa aa coscos sennaaaa ssen aaaa

sennaaaa ssen aaaa 2 a 2a 2se a 2a 2sen s 2 2 nnaa ss 2aa 2 naaaa sen2aaaa 2 aa en2aa 2 a 2a 2se a 2a 2sen s 2 2 nnaa ss 2aa 2 naaaa sen2aaaa 2 aa en2aa

1 1

a a

a a

a a

2 aa 2aa 2 naaa s 2aaa 2 nnaaaass 2aaaa 2 naaaa sen2aaaa 2 aaaa enen2aaaa 2 aa en2aa 11–

a a

na s a

2 nnaaaa+ss 2aaaa 2 naa s 2aa = +

= = (( )) =

a a

a a

a a a

a a a

a( a)

a( a)

a( a)

a( a)

aa

coscos aaaaaaaa(((((((((((((((( cocossaaaaaaaa)))))))))))))))) coscos sennaaaa ssen aaaa

sennaaaa ssen aaaa

sennaaaa ssenaaaa

sennaaaa ssenaaaa

sen sen

2 a 2a

2se a 2a

2sen s 2 2 nnaa ss 2aa

2 naaaa sen2aaaa

2 aaaa en222aaaa 22222222222sesensesennnnnnnaaaaaaaaaaaa 22222222222ssssssss aaaaaaaaaaaa 222222222222sesensensennaaaaaaaa((((((((((((111111111111 aaaaaaaa)))))))))))) 11

2 a– a

2se a– a

2sens 2 nnaa–ss aa

2 naa–s aa 22 nnnnaaaaaaaa–22ssss aaaaaaaa aa(((( – aa)))) –

+ +

a+ a +

a a

a a

2 aa+ 2aa + 2 naaa s 2aaa

2 nnaaaa+ss 2aaaa + 2 naaaa sen2aaaa

2 aaaa+ enen2aaaa +

2 aa++++ en2aa = 22222222sesesensennnnnnnaaaaaaaa++++22222222ssssssss aaaaaaaa = aaaaaaaaaa(((((((((((((((((((((( ++++++cocossaaaaaaaaaa)))))))))))))))))))))) 11++++++

Página 132

Hazlo tú. Halla cos 15° y coscos 15° y tgtgtg 15°. 15°.

cos 15° = cos 15° =

cos cos 302°°°°° = 1111111+cocos2s 033 = 1 33333300°°°°° 1 31 3 = 2 31 31 3 21 3+2 / 2 32 32 32 32 3+4

tg 15° = tg 15° =

tg °°

// 1 co 3

1 cos3 1 s 03 1 co 3 1 cos3 1 s 03

1 3 2 1 3 2

2 3

2 3 2 3

1– 3

1 3 11––––– 3 23//2 22––––– 33 2 32 3 1+ 3

(3)

• cosα = cossssssssssssssssbbbbbbb2222···· aaaaaaaaaaaaa222lllllll=ccccccccccccccosccososos2222 aaaaaaaaaaaaa222sesensenn2222 a2

2 2

b 2l 2

s 2 c 2 sb l c s 2 c 2

s c

sb l c

s c

Por la igualdad fundamental:

a a a a

cossssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss222222222222222222 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2222 +++++++++++sesesesesesesesesesesesesesesennnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn222222222222222222 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2222 ===========111111 8888 111111======ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccosccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccososososos2222222222 aaaaaaaaaaaaaaaaaa222 ++++++sssssssssssssssssssssssssssssssssssensssssssssssssssssenenenenenen2222222222 aaaaaaaaaaaaaaaaaa222

De aquí:

a) Sumando ambas igualdades:

±

a a a a a a

cossaa ccos cosaaaa cocoss aaaa cos

1 a 2

1 co a 2 1 cos 2c 1 ssaa 2cc 1 saa 2c

2 8 2 1 2 8 2 1 2

a 8 a 8

a 88888 cocoss a cocossaa 88888 aa

2 8 2 8

2 co 2

2 8 coco 2 8

2 cos 2

2 8 ss 2 8

2 88 s 2 11 22 88

2 a 2 a

2 a 8 2 a 8

2 aa 88 2 aa 88

2 aa 88 coco 2 aa 88 2 aaaa 88 cocococo 2 aaaa 88 2 aaaa 88 cocoss2 aaaa 88 2 aaaa 88 ssss2 aaaa 88 2 aaaa 8 ss2 aaaa 8 1+ =2

1 co 2 1+coco =2 1 cos 2c 1+ ss =2cc 1 ssaa 2cc 1+ ssaaaa=2cc

1 saa 2c 888888 = ++ 888888 222 = +222 b) Restando las igualdades (2.ª – 1.ª):

±

a a a a 8 aa ±± aa

cos senn 88 ssen aaaa cosssssssssaaa 8a 8 sesenn aaaaaa ±±±± cccccccccosaaaaaa

1 a 2

1 co a 2 1 cos 2

1 s 2 2 8 2

2 8 2

n 2 s 2 n 8 s n 8 s

2 8 2

n 2 8 senen aa2 11 2ssaa aaaaaa2 111 c2c aaaaaa

1– 2

1 =====2sesennnnnnnnnn2222222 a 8aaaaa 888888888 ssssssssssenenenen2222222 aaaaaaaaaa ===== –––––––cocossssssssssssaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaa 11–––––––cccccccccccc aaaaaaaaaaaaaaaa

1 =2 =

1 ==2 nn ss == – ssss aaaaaaaaaa222 = –22ccc2c aaaaaaaaaa • Por último:

± ± //

a

a a

a a

aa

cos cos cos

coscos tg 22222 sencoscosaa//222222

2 1 2 1

1 1 –

= = + = +

= =

11 Sabiendo que cos 78° = 0,2, calcula coscos 78° = 0,2, calcula sen 78° y tg 78°. Averigua las razones trigonométricas de tgtg 78°. Averigua las razones trigonométricas de 39° aplicando las fórmulas del ángulo mitad.

• cos 78° = 0,2cos 78° = 0,2cos

sen 78° = 11111111111––––cocoscocoscocoss 8ss 8222222222777778777777888888888888888888888888888888°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°=========== 111111111111111111111111111111111–––––0 20 20 20 20 20 20 20 20 20 2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 222222222===========0 90 9,,, 8 tg 78° =

tg 78° =

tg 0 90 90 20 2,,, 8 4 9,,,, =4 9,,

• sen 39° = sen 782°°°°°° === 111111–cocos2s 87777778°°°°°° === 1 01 01 0 2 0 6,–2, =0 6,, 3

cos 39° = cos 39° =

cos cos 782°= 11111+cocos2s 87 = 1 07777 ° 1 0 2 0 7,1 0 =+2, 0 7, 7,

tg 39° = tg 39° =

tg tg 782° = 1111111111+coscocoscos 8s 87777777777 °° = 1 01 01 0 2 0 8,1 01 0 21 0+ ,, =0 8,, 2

12 Halla las razones trigonométricas de 30° a partir de cos 60° = 0,5.coscos 60° = 0,5. • cos 60° = 0,5cos 60° = 0,5cos

• sen 30° = sen 602° ==== 1 01 01 0 5 0 5,–2, ====0 5,,

cos 30° = cos 30° =

cos cos 602°= 1 01 0 5 0 8661 0 =+2, ,

tg 30° = tg 30° =

tg tg 602° = 1 01 01 0 5 0 5771 0 51 01 0+ ,, = ,

13 Halla las razones trigonométricas de 45° a partir de cos 90° = 0.coscos 90° = 0. • cos 90° = 0cos 90° = 0cos

• sen 45° = sen 902° === 1 01 01 02– === 12 = 22

cos 45° = cos 45° =

cos cos 902°= 1 01 01 0 =+2 22

tg 45° = tg 45° =

(4)

14 Demuestra esta igualdad: 2 tgα · sen 2 a

2 + senα = tgα

· ·

a·· a aa aa·· cosa a

tg ···sesennn aa sssenaaaa tgtgtgaaaa··· sen

2 ···················· nnnnnnnnn22 22 ++++++++sssssssssenenenenaaaaaaaa========222 aaaaaaaa····················1–2 ++++sensenaa==== (((((((1–cos )))))))+s =sen =

a

a (((((( ssssssssaaaaaaaa))))) en)++++++ssssenssssenenenenaaaaaaaa====== a

cos

sen c m

a

c aa m c co a m c cos m c cos m c cos m c1 s m c1 1m c – 1m c – + m c + m

c m

a a a aa a

cossaaaa ccosaaaa

sennnnnaa 1111 ssensenssenaa 1111 sen tg = nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn cccccccccccccccccccccccccc111111111111111111111111111111111111––cocococococoscoscocococococoscocococoscosssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaasaa++++ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccososososososososososososososososaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaammmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm=======sensssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssenaa·· 111111111111111111111111111111111111 ======= =

15 Demuestra la siguiente igualdad:

a a

a a

sennaaaa ssen aaaa

sennaaaa ssen aaaa 2 a 2a 2se a 2a 2sen s 2 2 nnaa ss 2aa 2 naaaa sen2aaaa 2 aa en2aa 2 a 2a 2se a 2a 2sen s 2 2 nnaa ss 2aa 2 naaaa sen2aaaa 2 naaaa sen2aaaa 2 nnaaaass 2aaaa 2 naa s 2aa

a a

na s a

2 nnaaaa+ss 2aaaa

2 naa s 2aa = tg 2 a2

( )

( )

a a

a a

a a a

a a a

a( a)

a( a)

a( a)

a( a)

aa a

coscos aaaaaaaa(((((((((((((((( cocossaaaaaaaa)))))))))))))))) coscos sennaaaa ssen aaaa

sennaaaa ssen aaaa

sennaaaa ssenaaaa

sennaaaa ssenaaaa

sen

sen aa tgtg aa

2 a 2a

2se a 2a

2sen s 2 2 nnaa ss 2aa

2 naaaa sen2aaaa

2 aa en2aa

2 a 2a

2se a 2a

2sen s 2 2 nnaa ss 2aa

2 naaaa sen2aaaa

2 aa en2aa

2 a 2 a

2se a 2 a

2sen 2s 2 nnaa 2ss aa

2 naa 2s aa

2 a 2 a

2 a 2 a

2se 2 2sen 2s 2 nnaa 2ss aa

2 naa 2s aa

2 (1 )

2 a(1 a) 2 aa((1 aa)) 2se a((1 a)) 2sen 1 2 n 1

2 (1 )

2 a(1 a) 2 aa((1 aa)) 2se a((1 a)) 2sen 1 2 n 1

1 1

2

– –

a– a –

a a

a a

2 aa– 2aa – 2 naaa s 2aaa

2 nnaaaa–ss 2aaaa – 2 naaaa sen2aaaa

2 aaaa– enen2aaaa –

2 aa–––– en2aa 22222222sesesesennnnnnnnaaaaaaaa––––22222222ssssssss aaaaaaaa aa(((( – aa)))) – aa 22 aa

a a

na s a

2 nnaaaa+ss 2aaaa

2 naa s 2aa = 22 nnnnaaaaaaaa+22ssss aaaaaaaa = aa(((( + aa)))) = + =

Página 133

16 Para demostrar las fórmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos: • Expresa en función de α y β:

cos (

cos (

cos α + β) = … coscoscos ( (αβ) = …

• Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones. • Sustituye en las expresiones anteriores:

a b a b AB

a b a b+ = a b+ = a b

= 4

cos (cos (cos α + β) = cosαcosβ – senαsenβ

cos (cos (cos α – β) = cosαcosβ + senαsenβ

Sumando → cos (cos (cos α + β) + cos (cos (cos α – β) = 2 cosαcosβ (1) Restando → cos (cos (cos α + β) – cos (cos (cos α – β) = –2 senαsenβ (2)

• Llamando aa bb AB a A B, b A B

2 , 2

2 , b 2

2 b 2

8

A BA B

+ =b

+ =b

= 4 = A BA B+ = (al resolver el sistema) • Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene:

(1) → cos A + cos B = cos B = cos B 2cossssssssss A BA BA BA BA BA B222++ cccoscccccoscc A Bos A BA B222 (2) → cos A – cos B = cos B = cos B –2sen A B sen A BA BA B222+ sesenn A BA B222

17 Transforma en producto y calcula.

a) sen 75° – sen 15° b) sen 75° + sen 15° c) cos 75° – coscos 75° – coscoscos 15° 15° a) sen 75° – sen 15° = 2cossssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss 7575°°°22++151515°°° sennnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 7575°°°22–151515°°° ==========2222222222222cccccccccccosccccccccccccccoscccccccccccccoscccccccccoscos 5osos 5ososososososososososos444444444444455555555555°°°°°ssssensssssssssssensssssssenssssssssssssssssssssssssenenen 0 2enen 0 233333333333330 20 2°°°°°========== ·· 22··12 = 22

b) sen 75° + sen 15° = 2sennnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 7575°°+2+215151515°° coscossssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss 7575° – °221515 ==========2222222222sssssssssssssssssssssssssssenenenenenenen444444444455555555555°°°cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccosccccccccosccososos 0 2os 0 233330 233333330 20 2 ·°°°========== · 22·· 23= 26

c) cos 75° – coscos 75° – cos 15° = cos 15° = cos –2sennnnnnnnnn 7575°°°22++151515°°° ssssssssenss 75 15°°°2–15°°°======================–––––––––––––––––222222222222222222222222222222sensesesensesesesesesesesesesensensesesesensensennn 5nnnn 5n 5nnnnnnn4444444444444444444444444444445555555555555555555555555555°°°°°coscococococococococoscoscoscococococoscococos 0ssss 0ssssssssss 033333333333333333333333333333330000000°°°°°======================–––––––––––––––––2222222222·· 22·· 23 =– 26

18 Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta fracción y simplifi ca el resultado:

4a s 2 4a s 2 4 en2 4 en2 4 2a cosss aaa cccosos aaa sen

4 2

s4 c 2

s4aa c 2aa

s a c a

s4 c 2

s a c a

s4aa cosososos2aa

s a c a

s4 c 2

s a c a

s +c

s a c a

s4 c 2

s a c a

s4444a sa s+c 2222

cos cos 2

cos sen

2 cosss aaa cccosos aaa sen a sen a

a a s a a c

s c

a a a a a a a

a n a tg a

4 2

s4 c 2 s4aa c 2aa s a c a s4 c 2 s a c a s44aa cosososos22aa n a4 2 n a se44 sen an a22

2 4 2 s 4 2 c s 4aa 2aa c s a a c s 4 2 c s a a c

s c 44aa 22aa 2

4a 2a 4a 2a

2 4a 2a 4a 2a

2co 3 2cos3 2 s3 2se 3 2sen a3 2 n a3 3 a a

4aa–2aa 4a 2a a a 4aa–2aa 4a 2a s a c a

s4 c 2 s a c a s +c s a c a s4 c 2 s a c a

s44 +c 22 = ssssssss 4444aaaaaaaa++2222aaaaaaaa cccccccc a a 4aa+2aa 4a 2a

= =

(5)

2

Ecuaciones trigonométricas

Página 134

Hazlo tú. Resuelve sen (α + 30°) = 2 cosα.

sen (α + 30°) = 2 cosα

senαcos 30° + cos 30° + cos cosαsen 30° = 2 cosα

a a a

a co a

a sa c

a sa c

a a os

sen 2 1

2

a a

2

a 3 a

a 3 a

a ssa 22cc

a+ a=

a a

a co a

a+ a=

a co a

a+ ssa= cc

a sa c

a+ a=

a sa c

a a

a a

a a

a a

a+ a=

a a

a+ a=

a a

Dividimos los dos miembros entre cosα:

a 8 a 8 a

tg tg tg

2 1

2

a 8

2

a 3 8

a 3 8

a 2 8 3

a 2 8 3

a 22 8 tgtgaaaa 33 4444 8888 tgtgaa 4444– 3

a+ = 8

a 2222 8 aaaaaaaaaa+++ 3333===44 8888888888 =44

a 8

a 8

a 8

a+ = 8

a 22222222222222 8 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa+++ 33333333333333=== 88888888888888888888

a+ = 8

a 8

Soluciones: aa1 66 12246 12° ' ''° '° ' 2212° ' ''° '° ' 2212 2

= = *

Hazlo tú. Resuelve cosα = sen 2α.

cosα = sen 2α

cosα = 2 senαcosα → cosα – 2 senαcosα = 0 → cosα (1 – 2 senα) = 0

Posibles soluciones: cos1 2aaasennnn00aaaaaaaaa 000aaa 99ssss0°,aaaaaaaaaa 270°aa °,°,°, aa ° 2

1 aa 3030 aa 150

0 8 9

0 9

a 0 a 9

a 8 a

a 0 a 9

a a

8 8

a 8 a 8

a a

a a

naa 8 s aa 8

naaaaa 8 senenaaaaa 8

2

8 8

2 1

8 1 8

1 2– 1 2

1 °, 2

1 °, a2

1 a2

0 1 9 2

0 1 900 2

3 °, 4

3 °, 4

a3 a4 a °, a a3 °,°, a4 a3 3030°, a4 a 30 a a3 a4 a 30 a

a a

0 9

=0 =9

a 0 a 9

a= a =

a 0 a 9

a a

a= a =

a a

a 0 a 9

a= a =

a 0 a 9

a a

a 0 a 9

a 8 a

a 0 a 9

a= a =

a 0 a 9

a 8 a

a 0 a 9

a=0000 a11=9999 22=

a a

naa= s aa= naa s aa

naa 0 s aa

naa= s aa= naa 0 s aa

naaaaaa== 8888 s aaaaaa== 8888

naa 8 s aa 8

naa= s aa= naa 8 s aa 8

naaaaaaaaa= 88 senenenenaaaaaaaaa= 88 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa3333333333==========303030303030°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°, aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa4444444444==========

*

8 8

Al comprobarlas sobre la ecuación inicial, vemos que las cuatro soluciones son válidas.

Página 135

Hazlo tú. Resuelve sen 3α – senα = 0.

sen 3α – senα = 0

a a a a a a a a

cossssssss a aa a senn a aa aa aa a cccccccc ss cos

2 sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss 33a aa aa aa aa aa a22++ nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 33a aa a22– ===========000000000000 8888888888888888888888888888888888 222222222222cccccccccccccoscccccccc 2cccccccccccccccccccc 2ccccccccoscoscc 2cccccccccccccccccccccososososososososososososos2222222222222222222222222222aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaasssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssenenenenenenenenenenenenaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa===========0000000000000000000000000000000 8888888888888888888888888888888888 222222aaaaaaaaaasesennaaaaaaaaaa=000000

Si cos 2cos 2cos α = 0 →

° °

° °

° ° ° °

° ° ° °

a a

a ° 8 °

a °°° 8 aa °°°

a ° ° 8

a ° ° ° 8 °

a °°° 8 aa °°°

a ° ° ° 8

a ° ° ° 8 a

2a 9 a

2aaaaa 90000°°°°°°°° aaaaa 444455°°°°°°°° 2aaaa 270270270270°° 8888 135135°°

2a 9 8

2aaaaaaaaaaa 900°°°°°° 360360360360° 450°°°°° 450450450°° 88888888888 225225°° 2aaaaaaaaaaaaaa 270270270270°°°°°°°°°°°° 360360360360°°°°°°°°°°°° 630630630630630630°°°°°°°°°°°° 88888888888888 315

° °

0°° 8 4 °°

0° 4 °

a 0 a 4

a 8 a

a 0 a 4

a ° a °

a 0°° a 4 °°

a °° 8 a °°

a 0°° a 4 °°

a ° a °

a 8 a

a a

a 0 a 4

a 8 a

a 0 a 4

a 00 a11 44 2

3 4

0 4

= 0 =4

a 0 a 4

a= a =

a 0 a 4

a a

a= a =

a a

a a

2aa=9 aa = 2aaaaaaaaaaaaa===90000000000 88 aaaaaaaaaaaaa11===4444444444

= =

a= 8 =

a= 8 aa =

a= 8 =

a 8

a 270 8

a= 8 =

a 270 8 a= 8 22=

a= + 8

a 8

a 8

2aa=9 + 88

2aaaaaaaaaaaaa=900 + ======450450 8 a888888888888 a33======

a= + 8

a 8

a 270 8

a= + 8

a 270 8

a = 8 =

a = 8 =

a = 8 aa =

a = 8 =

a 8

a 630 8

a = 8 =

a 630 8

a = 8 44=

Z

[

\ ] Z ] Z ] [ ] [ ] ] ]

] [ ] [ ] \ ] \ ]]]

Si senα = 0 → α5 = 0°, α6 = 180°

1 Resuelve.

a) tgα = – 3 b) senα = cosα c) sen 2α = 1 d) sen α = tg α a) x = 120° + x = 120° + x k · 360° o bien k · 360° o bien k x = 300° + x = 300° + x k · 360°k · 360°k

Las dos soluciones quedan recogidas en: x = 120° +

x = 120° +

x k · 180° = k · 180° = k 2 + k π rad = 3π k π rad = k x con x con x k

b) x = x = x π4 + k π rad con k π rad con k k

c) π π

π π

8 8

sen x xx ππ kk sen x xx ππ kk

1 xxxx 22 2kkkk 1 xxxxxx 3322 2kkkkkk

Si rad

Si –––––––––––11 88 xxxxxxxxxxxxxx 33ππππ 22kkkkkkkkkkkkk adkππrrrrrrrrrrr = 8 =

= 8 x= k =1 x= k =1 xx= + kk

=– = r

=–– 88 = rr =–– 88 xx= kk rr =–– xx= kk rr =––11 = rr =–––11 xxxx= + kkkk rrr

4

x k

x k

(6)

d) En ese caso debe ocurrir que: π

π

8 8

cossen xxx 1108888 xxx k22k O biennnnnnn sesen xn x 00 88 x kx kππrrrrrrrad O biennnnnnnnnnnncocoss xxxxxxxxxx =11111111 888888888888 xxxxxxxxxx =22222222kkππrrrrrrrrrrrrad

8

n = 88 = r

n 8 x k r

n = x kx k= r

n 0 x k r

n =00 = r

n 0 r

x x

n xx= xx= r

n x 1 x 2 r

n =11 =22 r n xx 11 xx 22 r n xxxx=11 xxxx=22 r n xxxx 11 8888 xxxx 22 r n xxxx=11 88888888 xxxx=22 r

n xx 1 8888 xx 2 r 3 → x = x = x k π rad con k π rad con k k

2 Resuelve estas ecuaciones: a) 2 cos 2α + cosα – 1 = 0 b) 2 sen 2α – 1 = 0 c) tg 2α – tgα = 0 d) 2 sen 2α + 3 cosα = 3

a) cosa== – ±– ±1 11 1 81 11 11 11 14 + == – ±– ±1 31 31 34 = 1 21 2///////////1////////////// 88aaaaaaaaaaaaaaaa1111111806060606060°°°°°,°°°°°°°°°°,°°°,°°°°°°°,°,,,,,,, aaaaaaaaaaaaaaa222222 300°°°°°°°°°°° 3

, °

= , = °

a = a =

a a

/ a ° a

/ = ° =

/ a ° a

/ aa = °,,,, aa = °°°°

/ a ° a

/ 60°

/ a ° a

/ = ° =

/ a ° a

/ 60°

/ a ° a

/ aaaa1111== °,,,, aaaa2222== °°°°

/ a ° a

/ 1 ° 2

/ a ° a

/ = ° =

/ a ° a

/ 1 ° 2

/ a ° a

/ aaaa11= °,,,,,,,, aaaa22= °°°°°°°°

/ a ° a

/ 60°

/ a ° a

/ 1 ° 2

/ a ° a

/ 60°

/ a ° a

/ = ° =

/ a ° a

/ 60°

/ a ° a

/ 1 ° 2

/ a ° a

/ 60°

/ a ° a

/ °

=

Las tres soluciones son válidas (se comprueba en la ecuación inicial).

b) 2222sesensennnnnnn aaaaaaaaaaa 1111 0 ssssssss aaaaaaaaaaa sena ± ± 2

1

2 1 ± 1 ± ± ± 22

8 8

a 8 a 8

a a

a a

n aa 8 s aa 8

n aaaaa 8 senen aaaaa 8

2

8 8

2 1

8 1 8

a a

n a s a

2 nn aaaa–1 ss aaaa

2 nnn222aaaaaaaa 1 sss 222aaaaaaaa

2 2 1 2

2 a 1 a

2 2aa 1 2aa

2 n a 1 s a

2 nn2 1 ss 2 2 nn aa 1 ss aa

2 nn2aaaa 1 ss 2aaaa

2 nnnnnnnnnnnnnnnnnnn2222222aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1======00000000 88888888888888888 sssssssssssssssssssenenenenenenenen2222222aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa====== 88888888888888888 ===±±±±± ===±±±±±

• Si senaa 2 aa °,,, a °°° 2

a 2 a

a 2 a

a 8 a 45,, 135135°°

a 8 a

a= a1111=4545,,,,,, aa2222 °°°°°°

a= a =

a a

a 8 a

a= a =

a 8 a

a= a11= ,, 22= °°

a a

a a

a a

a= a =

a a

• Si senaa 2 8 a8 a

2

a 2 8

a 2 8

a=–– 8 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa333333333=––454545454545°°°°°° 315315315315315315315315315315°°°°°°,,,,,, aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa444444444 225°

a= 8 =

a==–– 8 aa ==–– aa

a – 8 –

a= 8 =

a – 8 –

a===–––––– 8 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa333333333333===–––––– =======315315315315315315,,,,,,,, aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa444444444444=======

a 8

a 8

a 8

a= 8 =

a 8

a – 8 –

a= 8 =

a – 8 –

a 8

Todas las soluciones son válidas.

c) tgtg tg2α – tgα = 0 tgα (tgα – 1) = 0 °

°, °

a 8 a a

a 8 aaa °,°, aaa

tg

tgaa 0000000 88 aaaaaaaaaa 00000000000°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°, aaaaaaaaaa 1111111800000000000

1 4

a 1 8 4

a 1 8 aaaa1 455 aaaa2 225 °,

1 °, 2

a1 a2 a °, a a1 °,°, a2 a °, a

a a

0 aa1 aa2 1

0 a 0 a 1 0

0 1 00 2 1 00 0 aa 00 aa 1 00 0 aaaa1 00 aaaa2 1 00 0 aaaa 00°,°,°,°, aaaa 1 00 0 aaaa1 00°,°,°,°,°,°,°,°, aaaa2 1 00 0 aa 0°,°,°,°, aa 1 0

3 °, 4

3 °, 4

a3 a4 a °, a a3 °,°, a4 a °, a a3 a4

a a

a a

1 aa3 4 aa4

1000000000000000000000000 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa3311111111========40000000000000000000000000000000000005555°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°,°, aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2222222244========111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000

a= 8 =

a=11 8 =44

a 1 8 4

a= 8 =

a 1 8 4

a==111111 8 aaaaaaaaaaaa33==444444 aaaaaaaaaaaa44 a= 8

a 8

=

Todas las soluciones son válidas.

d) 2 sen 2α + 3 cosα = 3 (*) 2(1 – 2(1 – cos cos cos2α) + 3 cosα = 3 (*) Como sen 2α + cos cos cos2α = 1 sen 2α = 1 – cos cos cos2α 2 – 2 cos cos cos2α + 3 cosα = 3 2 cos cos cos2α – 3 cosα + 1 = 0

cosα = 3 93 93 93 93 9±± 4 – =8 3 13 14±± = 11 21 2///

Entonces:

• Si cosα = 1 → α1 = 0°

• Si cosα = 21 → α2 = 60°, α3 = –60° = 300°

Las tres soluciones son válidas.

3 Transforma en producto sen 5α – sen 3α y resuelve después la ecuación sen 5α – sen 3α = 0.

sen 5α – sen 3α = 0 → 2cossssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss 5555aaaaaaaaa223333aaaaaaaaa sennnnnnnnnnnnnnnnnnn 5555aaaaaaaaaaaaaaa223333aaaaaaaaaaaaaaa 000000 8888888888888888888 222222ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccosos aaaaa sssssssssssssssssssenen aaaaa 8

2

n 2 s

n 8 s

n 8 s

n 55aaaa–33aaaa aa s 222aa 0

a a

5aa+3aa

5aa 3aa

s 5aa 3aa c s aa+ aa c s 5aa 3aa c

s a a nn == c ss ==

s n c s

s = c =

s n c s

s nn == cosososos ssenen ==

s n c s

s = c =

s n c s

s c

s n c s

s 0 2c

s n c s

s = c =

s n c s

s 0 2c

s n c s

s 8 c

s n 88 c s

s 0 88 2c

s n 88 c s

s = 88 c =

s n 88 c s

s 0 88 2c

s n 88 c s

s 8 c

s c

s n c s

s nn == c ss ==

8 a a 8 aa

8 co a

8 a

8 s a

8 2 4asen cossen

8 2 4a

8 a

8 co a 8 2 4a 8 co a

8 a

8 s a

8 2 4a

8 s a

8 a aa 00 88 44aa 00

0

a= 8

a 8 44 =00

= )

• Si cos 4cos 4cos α = 0 →

° ' ° ' ° ' ° '

a a a a

8 8 8 8

a a a a

90 270 90 36 270 360

22 30° '° '30 4

4 4 4

67 30° '° '30 112 30° '° '30 157 30° '° '30 °

° ° 36° ° 36°

° 360° ° 360°

1 2 3 4 =

= =90 + =90 + =270 + =270 +

= = = = Z

[

\ ] Z ] Z ] [ ] [ ] ] ]

] [ ] [ ] \ ] \ ]]]

• Si senα = 0 → α5 = 0°, α6 = 180°

Figure

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Referencias

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