NOTAS DE MICROECONOMÍA

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Notas de Teoría Económica

Irán Apolinar Peredo Cortes

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Índice general

Índice general 3

1. Matemáticas Preliminares 5

1.1. Topología Conjuntista . . . 5

1.1.1. Propiedades de los Conjuntos . . . 6

1.1.2. Sucesiones . . . 8

2. Comportamiento del Consumidor 9 2.1. Relaciones de Preferencia . . . 9

2.1.1. Relaciones Binarias . . . 9

2.1.2. Preferencias . . . 10

2.2. Continuidad, convexidad y monotonía de las preferencias . . . 10

2.3. La Función de Utilidad . . . 12

2.3.1. Existencia . . . 12

2.3.2. Unicidad . . . 14

2.4. Comportamiento del Consumidor . . . 15

2.4.1. Mercancías y Conjunto de Consumo . . . 15

2.4.2. Conjunto Presupuestario Competitivo . . . 15

2.4.3. Estática comparativa y función de demanda . . . 16

2.5. Axioma Débil de preferencia revelada . . . 19

2.5.1. Implicaciones de AD . . . 19

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Capítulo 1

Matemáticas Preliminares

E

Lpropósito de este capítulo preliminar es que el lector no especializado obtenga un conocimiento no solo en la teoría de conjuntos necesaria para el firme avance en capítulos subsecuentes sino además brindarle elementos de análisis necesarios a lo largo de su estadía en la ciencia económica. En la sección 1 se ofrecen algunas notas de topología básica para el lector no especializado lo cual será necesario para capítulos subsecuentes. No se aborda en las presentes notas los temas relacionados a espacios vectoriales ya que el autor supone que dichas nociones son básicas para cualquier estudiante de Economía de Pregrado.

DEFINICIÓN1. Un conjunto deBes un subconjunto deAsi todo elemento deBpertenece aA: B⊂A={∀x∈B :x∈A}

COROLARIO1. Un conjunto deBes un subconjunto deAsi la intersección entreAyBes el conjunto B.

B ⊂A→B∩A=B

DEFINICIÓN2. Dados dos conjuntosAyB, se dice queB es un subconjunto propio deA, si todo elemento deBpertenece aA, siendoAyBconjuntos distintos.

B⊆A={∀x∈B:x∈A∧ ∃y∈A:y /∈B}

A lo largo de las presentes notas utilizaremos varias operaciones aparte de las ya conocidas Unión e intersección (∪,∩) entre ellas la Diferencia y el producto cartesiano. Diferencia: (símbolo\) La diferencia del conjuntoAconBes el conjuntoA\Bque resulta de eliminar deAcualquier elemento que esté enB. Denotemos ahora a dos conjuntosXyY. El conjunto de pares ordenados{(x, y) :x∈ X∧y∈Y}es llamado Producto cartesiano deX yY denotado porX×Y. El producto cartesiano de nconjuntosX1...Xnesta definido inductivamente por

∏n i=1Xi=

∏n−1

i=1 Xi×Xn≡X1× × ×Xn.

1.1. Topología Conjuntista

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1.1. Topología Conjuntista

1.1.1. Propiedades de los Conjuntos

Iniciamos desarrollando algunos conceptos básicos de topología enRn_{. Recordamos algunas} pro-piedades de los números reales. Los Números Reales son un campo ordenado con las operaciones de suma y producto; además poseen la propiedad de sercompletos, es decir, dadoX yY dos conjuntos no vacíos de reales se tiene la siguiente propiedad:

∀x∈X∧ ∀y∈Y ⇒x≤y

Entonces existe unr∈Rtal que

x≤r≤y

DEFINICIÓN3. DadoX ⊂R, X ̸=∅, se dice questiene unaCota SuperiordeXsis≥xpara todo x∈X. De manera análoga se define lacota inferior. SiXtiene una cota superior (inferior) se dice queXestaacotado superiormente (inferiormente)oacotado por arriba (por abajo).

DEFINICIÓN4. DadoX⊂R, se define elsupremodeXy se denota porsupXcomo la mínima cota superior del conjunto:

supX ≥x ∀x∈X∧c≥x ∀x∈X⇒supX ≥c (1.1)

de manera análoga se define elínfimodeX denotado por´ınfX.

En economía la noción de distancia es muy importante para poder discernir entre cestas de bienes cuando esta la diferencia de estas no es tan clara. Supongamos que tenemos dos cestas de bienes, llamemos ax1yx2tal quex2∼=x1, es decir, ¿ qué tan cerca o que tan lejos esta una cesta de otra? Es

precisamente la Métrica la que te da esa noción de distancia en un conjunto. Definamos a un conjuntoX y una funciónda la que llamaremosMétricao distancia, al par(X, d)le llamaremos Espacio Métrico. DEFINICIÓN5. UnEspacio Métricoes un par(X, d)dondeX es un conjunto cualquiera no vacío y des una función reald:X×X →Rque cumple las siguientes propiedades:

(1) d(x1,x2)≥0 ∀x1,x2∈X

(2) d(x1,x2) = 0 ⇔ x1=x2

(3) d(x1,x2) =d(x2,x1) ∀x1,x2∈X

(4) d(x1,x3)≥d(x1,x2) +d(x2,x3) ∀x1,x2,x3∈X.

PROPOSICIÓN1. SeaX=Rn_{. Para}_x

2,x1∈X se define

d(x1,x2) =||x1−x2||

entoncesdes una distancia enX.

DEFINICIÓN6. La Bola abierta con centro enx0y de radioδes el conjunto

Bδ(x0) ={z∈Rn:d(z,x0)< δ}

es decir, el conjunto de puntos que distan dex0en menosδ.

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1. Matemáticas Preliminares

DEFINICIÓN8. Un conjuntoG⊂Rn_es_abierto_si

G⊂Rn Es Abierto⇔ {∀h∈G,∃δ >0 :Bδ(h)⊂G}

Es decir, todos los puntos deGson interiores y no existen puntos fronterizos.

DEFINICIÓN9. Un conjuntoG⊂Rn_es_Cerrado_{si su complemento}_Gc_{es abierto.} DEFINICIÓN10. Un conjuntoG⊂Rn_es_Acotado_{si se cumple la siguiente propiedad}

G⊂Rn Es acotado⇔ {∀x∈G,∃δ∈R:||x||< δ} DEFINICIÓN11. Un conjuntoGescompactosi es cerrado y es acotado.

DEFINICIÓN12. SeanG ⊂ Rn_y_h _∈ _Rn_{decimos que} _h_{es un}_{Punto Frontera}_de_G_{si para todo} δ >0se cumplen

f rt(h)⇔ {Bδ(h)∩G≠ ∅∧Bδ(h)∩Gc̸=∅}

PROPOSICIÓN2. El conjuntoG⊂Rn_{es cerrado si y solo si contiene puntos frontera.}

Demostración. La demostración puede realizarse expresando las condiciones necesarias y suficientes:

• NecesidadSupongamos primero que Ges cerrado, es decirGc es abierto y sea hun punto frontera arbitrario deG,ahora siGces abierto implica que existeδ >0tal queBδ(h)⊂Gc. Se tiene entonces queBδ(h)∩G=∅lo cual es imposible dada la definición del punto frontera. De tal manera es necesario tenerh∈Gy comohes abiertoGcontiene a todos sus puntos frontera.

• SuficienciaSupongamos ahora queGcontiene a todos sus puntos frontera. Seah∈Gc. Como

Gcontiene a todos sus puntos fronterahno es punto frontera deG, es decir existeδ >0tal que Bδ(h)∩G= ∅oBδ(h)∩Gc ̸= ∅. Comoh∈ Bδ(h)∩Gc ̸= ∅debe cumplirse entonces queBδ(h)∩G = ∅lo cual implica queBδ(h) ⊂ Gc. Concluimos queGc es cerrado y en consecuenciaGes abierto.

PROPOSICIÓN3. Las siguientes propiedades se cumplen:

(a) La unión arbitraria de conjuntos abiertos es abierta y la intersección de un número finito de abiertos es abierta.

(b) La intersección arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada y la unión de un número finito de cerrados es cerrada.

DEFINICIÓN13. Las propiedades de Interior y cerradura puede definirse como:

(a) ElinteriordeGes el conjuntoGo _≡ ∪

i∈IGi en donde{G}i∈I es el conjunto de todos los abiertosGitales queG⊂i. El interior deGde puede interpretar como el abierto más grande

contenido enG. Otra notación usada esGo₌_int_G_.

(b) LacerraduradeGes el conjuntoG¯ = ∩_i_∈_IGien donde{G}i_∈I es el conjunto de todos los cerradosGitales queG⊂i.La cerradura deGde puede interpretar como el abierto más grande

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1.1. Topología Conjuntista

1.1.2. Sucesiones

DEFINICIÓN 14. Una sucesiónde puntos en Rm_{es una función} _f _: _N _→ _Rm_{. Normalmente los} elementos del contradominio def es escrito comof(n) =xn, de igual manera se puede expresar solo como un conjunto de elementos{xn}n_∈_No simplemente{xn}.

DEFINICIÓN15. Sea{xn} ⊂ Runa sucesión correspondiente a la funciónf : N→Rdecimos que la sucesión {xn} ⊂ Res creciente (decreciente) sif es creciente (decreciente). Si una sucesión es creciente (decreciente) decimos que esmonótona.

DEFINICIÓN16. Decimos queG⊂Rmyh⊂Rm. Decimos que plim(h)punto de acumulaciónde

Gsi

h es un punto límite⇔ {∀δ >0,∃h∈G∧q≠ h:q∈Bδ(h)∩G}

DEFINICIÓN17. Decimos que la sucesión{xn}convergeax∈Rmsi

{xn} →x⇔ {∀ε >0∧ ∃N ∈N:n > N ⇒d(xn,x)< ε} (1.2) En este caso decimos quexes ellímite de la sucesiónlo que se denota porl´ımn_→∞xn=x

PROPOSICIÓN4. SeaG⊂Rm_._h_{es un punto límite de}_G_{si y solo si existe una sucesión}_{_hn_{} ⊂}_G tal que ell´ımn_→∞hn =h.

Demostración. • Necesidad. Supongamos primero quehes un punto límite deG. Ahora cons-truyamos una sucesión que converja a h. Dadon ∈ N, existe hn ∈ G,hn ̸= h, tal que hn ∈B1/n(h). La sucesión{hn}es una sucesión de puntos deGque satisfacel´ımn→∞hn =h.

• Suficiencia.Ahora consideremos la sucesión{hn} ⊂Gtal quel´ımn→∞hn = h. Seaδ > 0, entoncesl´ımn→∞hn =himplica queN ∈Ntal que, sin > N entonceshn ∈Bδ(h). Como hn ∈Gse tiene quehes un punto límite deG.

PROPOSICIÓN5. El conjuntoGes cerrado syss

∀{xn} ⊂G⇒ l´ım

n_→∞xn=x⇒x∈G

PROPOSICIÓN6. Sea{xn} ⊂Runa sucesión creciente (decreciente)y acotada por arriba (por aba-jo)entoncesl´ımn→∞= sup{xn}(l´ımn→∞= ´ınf{xn})

DEFINICIÓN18. Sea la sucesiónf :N→Rm_{y sea}_g _:_N_→_N_{una función estrictamente creciente,} es decirn1< n2⇒g(n1)< g(n2)lacomposiciónf◦g:N→Rmse conoce como unasubsucesión

def.Con la notación usual, la sucesiónf está dada por{xn}

PROPOSICIÓN7. Toda sucesión{xn} ⊂Rposee una subsucesión monótona.

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Capítulo 2

Comportamiento del Consumidor

El presente capitulo aborda la teoría clásica de la demanda, su contenido se basa al igual que la ma-yoría de las notas de microeconomía en el texto ya clásico de Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston y Jerry R. Green (1995). Así como en el texto de Geoffrey A. Jehle , Philip J. Reny (2000). A diferencia de la introducción se intentara que sea altamente amable este capitulo ya que el objetivo es que el lector comprenda en la medida de lo posible la importancia y los alcances de la Teoría clásica de la demanda.

2.1. Relaciones de Preferencia

2.1.1. Relaciones Binarias

Con objeto de definir en un conjunto cualquiera una relación de orden, introduciremos el concepto de relación binaria. En definitiva un conjunto ordenado no es más que un conjunto en el que hay definida una relación binaria que cumple las propiedades que a continuación detallaremos.

DEFINICIÓN19. Una Relación Binaria en el producto cartesianoX×Y es cualquier subconjunto de X×Y

DEFINICIÓN20. Una relación binaria≽enX×Xes unPreordenenXsi ella es:

(1) Reflexiva,(a, a)∈≽ ∀a∈X.

(2) Transitiva, si(a, b)∈≽ ∧(b, c)∈≽→(a, c)∈≽ ∀a, b, c,∈X.

Si además la relación es dePreorden Completo, esto es, si se verifica que los pares ordenados conte-nidos en la relación binaria pueden ser comparados, es decir∀(a, b)∈≽ ∨(b, a)∈≽ ∀a, b,∈X.

DEFINICIÓN21. Una relación binaria≡se define como unarelación de equivalenciasyss satisface las siguientes propiedades:

(1) Reflexiva.(a, a)∈≡ ∀a∈X

(2) Transitiva. Si{(a, b)∧(b, c)} ∈≡→(a, c)∈≡.

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2.2. Continuidad, convexidad y monotonía de las preferencias

2.1.2. Preferencias

Como es bien sabido, todo agente económico se enfrenta al problema de la elección, dicho problema se da en unEspacio de ConsumoX. En dicho espacio las preferencias del agente son representadas por un Preorden completo≽es decir:

DEFINICIÓN22. Las Relaciones de Preferenciasson relaciones binarias sobre el producto cartesiano X×Xque son Reflexivas, Transitivas y Completas.

En donde el espacio de consumo1 _{es un subconjunto el ortante no negativo}_RL

+, es decir X ⊂

RL

+.UnaCesta de Bienes se denotara por el vector x = [x1, x2, ..., xn]t, en donde cada xi es un

número real no negativo. Supondremos en general para cualquierXi⊂RL₊las siguientes propiedades. (1) Xi es un subconjunto no vacío y cerrado en RL. Esto es, dada una sucesión infinita{xi}∞} de cestas de bienes que convergen a la cesta x0_i, entonces x0_i es un plan de consumo para el consumidori.

(2) Xies un conjunto convexo, es decir, dados dos planes de consumox1_i yx2_i , si estos son posibles para el consumidori, también lo será el promedio ponderado formado por estos, es decirλx1_i + (1−λ)x2

i ∀λ∈[0,1].

Una vez establecido lo anterior notaremos la afirmaciónxes al menos tan bueno cuantox2

i como x1

i ≽x2i o de igual manera(x1i,x2i)∈≽.

2.2. Continuidad, convexidad y monotonía de las preferencias

Lo Anterior no es suficiente para entender y derivar la teoría del consumidor, necesitamos enunciar una estructura analítica que permita asociar cada clase de indiferencia a un número Real, en otras pala-bras que una clase de indiferencia sea preferida a otra si su número real asociado es mayor que el otro. Para comenzar enunciaremos la continuidad de las preferencias, la idea detrás de dicha enunciación es clara. Para empezar imaginemos dos cestas de consumox1 yx2 y una secuencia de consumo{xj}

la cual es tan buena o preferible como x2 y que además converge ax1, luego la continuidad de las

preferencias nos dice quex2es casi tan bueno o preferible comox1, luego entonces todos los planes

de consumo cercanos (dada la Métrica utilizada) serán tan buenos comox1.

Axioma 1 (Continuidad)∀(xi,xj)∈X,los conjuntos

M≡ {xi∈X:xi≻xj}

P≡ {xi∈X :xj≻xi}

Son abiertos.

Donde el conjuntoMrepresenta todas las opciones que son mejores quexjy el conjuntoPrepresenta todas las cestas de consumo que son peores a xj. Alternativamente Podemos definir los siguientes conjuntos

MI≡ {xi∈X:xi%xj}

PI≡ {xi∈X :xj %xi} 1_{este espacio de consumo puede ser entendido dado que es un subconjunto de}_RL

+se dice que es el conjunto de mínima

subsistencia, es decir es el espacio más pequeño o donde se alojan las opciones de consumo, sin perdida de generalidad de igual manera se puede establecer queX⊆RL

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2. Comportamiento del Consumidor

I≡ {xi∈X :xj∼xi}

Donde el conjuntoMImuestra las cestas no peores quexj, el conjuntoPIlas cestas de consumo no mejores quexjy el conjuntoIlas cestas de consumo equivalentes axj. Los conjuntos son cerrados ya que%es completa y continua. Es fácil ver que

MI∩PI=I MI∪PI=X

La convexidad de las preferencias puede formularse con diferentes grados de generalidad. La con-vexidad débil es la definición más general de concon-vexidad, mientras que la concon-vexidad estricta es la definición que contiene el menor grado de generalidad. En medio encontraremos la definición de con-vexidad. La noción general de convexidad es que un consumidor con preferencias convexas prefiere un plan de consumo que contenga un poco de cada bien a un plan de consumo con una gran cantidad de un bien y nada (o muy poco) de los demás bienes. Es decir, la convexidad captura la idea de lapreferencia por la variedad.Notemos que la convexidad conlleva implícito el supuesto de la perfecta divisibilidad de los bienes. Veamos las definiciones alternativas de convexidad.

Axioma 2 (Convexidad Débil)∀(xi,xj)∈Xy∀λ∈[0,1]se cumple xi%xi⇒[λxi+ (1−λ)xj]%xj

Axioma 3 (Convexidad)∀(xi,xj)∈Xy∀λ∈[0,1]se cumple xi≻xi⇒[λxi+ (1−λ)xj]≻xj

Axioma 4 (Convexidad Estricta)∀(xi,xj)∈X y∀λ∈[0,1]se cumple xi%xi⇒[λxi+ (1−λ)xj]≻xj

El axioma 2, dada la transitividad, reflexividad y completitud de las preferencias equivale a suponer que los conjuntosM(xi)yMI(xj)son convexos. Además, junto con la continuidad de las preferencias, implica que para todo xj ∈ X, el conjunto M(xj)es abierto y convexo y tiene como frontera el conjuntoI(xj)el cual es cerrado y convexo. Este axioma permite que el conjuntoI(xi)tenga puntos interiores. El axioma 3 junto con el axioma 1 implica que sixjno es un punto máximo de la relación

%El conjuntoI(xj)no tiene puntos interiores. El axioma 4 garantiza que cualquier tangencia con un hiperplano con una clase de indiferencia solo puede ocurrir en un punto. Sin embargo este axioma no garantiza queI(xj)seadiferenciable en todos sus puntos.

Para terminar con los supuestos que introducimos sobre las preferencias, formularemos diferentes axiomas de insaciabilidad. Como en el caso de la convexidad, pueden definirse con diferentes grados de generalidad. La no-saciabilidad es la definición más general, mientras que la monotonía es la definición que contiene el menor grado de generalidad. En medio encontraremos la definición de no saciabilidad local y la de semimonotonía. El axioma 5 recoge la idea de que un individuo, dado un plan de consumo, siempre puede encontrar otro mejor; el axioma 6 matiza la afirmación anterior para planes de consumo arbitrariamente cerca, es decir, dado un plan de consumo, siempre existe otro arbitrariamente cerca que es mejor. Este axioma implica que las curvas de indiferencia no pueden ser anchas. El axioma 7 dice que dado un plan de consumo, siempre podemosconstruiruno mejor aumentando la cantidad de alguno de los bienes. Estos axiomas evitan que el consumidor pueda saciarse de todos los bienes simultáneamente. Sin embargo no impiden la posibilidad de que el consumidor sí pueda saciarse de algún bien concreto en X. Finalmente, el axioma 8 dice que cuanto más mejor.

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2.3. La Función de Utilidad

Axioma 6 (No-Saciabilidad Local)SeaHθ(xi)un entorno de centroxiy de radioθ. Para todoxi∈X y para todo escalarθ >0existe unxjenHθ(xi)∩Xtal quexj≻xi.

Axioma 7 (Semimonotonía)Para todoxi∈Xexiste algúnh, dondeh= 1,2...L(que puede depender dexi) tal que(xi+λeh)≻xi, para todoλ >0y dondeeh∈RLrepresenta un vector de ceros excepto en la posición h-ésima donde hay un uno.

Axioma 8 (Monotonía)Sean(xi,xj)∈X tales quexi≫xj. Entoncesxi≻xj.

Este es un axioma muy restrictivo. Exige que el individuo mejore consumiendo cantidades adicio-nales de mercancías.

Axioma 9 (Monotonía débil)Sean(xi,xj)∈Xtales quexi≥xj. Entoncesxi%xj.

Este axioma nos dice que un plan de consumoxi que contenga al menos la misma cantidad de mercancías que otro,xjes por lo menos igual de bueno que éste.

Axioma 10 (Monotonía Fuerte)Sean(xi,xj)∈Xtales quexi>xj. Entoncesxi≻xj.

La monotonicidad fuerte nos dice que un plan de consumoxique contenga por lo menos la misma cantidad de todos los bienes que otro plan de consumoxj y más de alguno de ellos es estrictamente mejor que éste. Notemos que este axioma implica, a su vez, que todos los bienes son deseables para el consumidor.En particular, si el plan de consumo contiene algún bien no deseable (unmal) no satisfaría la monotonicidad fuerte.

2.3. La Función de Utilidad

En economía es muy común referirse al termino utilidad como una representación de la Felicidad o Satisfactores de de uno o más individuos, esta representación le asignamos comúnmente una forma funcional bien comportada. ¿De dónde surge esta concepción de utilidad? Debreu (1959) Se pregunta si dado un pre-orden de preferencias similares a las vistas en la introducción es posible encontrar una función creciente en dicho espacio. En otras palabras, si dada la posibilidad de poder ordenar y decernir entre cestas de consumo sería posible encontrar una función que describa las preferencias de un consumidor individual vista como un continuo dentro del espacio de preferencias. Cuando dicha función existe se le denomina Función de Utilidad.

DEFINICIÓN23(Función de Utilidad). Una funciónu:X →Rrepresenta el pre-orden de preferen-cias%si y solamente si para todo(x1,x2)∈Xse cumple:

u(x1)≥u(x2)⇔x1%x2

A la funciónu(·)se le denomina función de utilidad del consumidor.

2.3.1. Existencia

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TEOREMA2.3.1(Debreu 1959). Sea%una relación de preferencia definida sobre un subconjunto co-nexo enRL_{. La relación de preferencia puede representarse mediante una función de utilidad continua} si y solamente sisuccsimes reflexiva, completa, transitiva y continua.

Este Teorema expresado por Debreu permite entender el problema del consumidor como un proble-ma deidentificaciónde la función de utilidadu(·), de igual forma el teorema de Weierstrass permite demostrar la existencia de un Máximo de la función de cualquier subconjunto compacto deX. Poste-riormente a dicho teorema surgen refinamientos del mismo donde además satisfacían monotonía fuerte y dado nuestro interés en demostrar la existencia de la función de utilidad enunciamos y demostramos el siguiente teorema:

TEOREMA2.3.2(Existencia de una función de Utilidad). Supongamos que la relación de preferencia

%definida sobreX ⊂ RL _{es reflexiva, transitiva, completa, continua y satisface monotonía fuerte.} Entonces existe una función de utilidad continuau:RL_→_R_{que representa dichas preferencias.} Demostración. La demostración puede realizarse en tres pasos:

(1) Seaiun vector unitario (todos sus elementos son unos) tal quei∈ RL+. Dado cualquier vector

xtenemos que demostrar que existe un único númerou(x)tal que x v u(x)i.Para cualquier x∈Xyα∈R+definimos los siguientes conjuntos

A≡ {α:α≥0, αi%x} B≡ {α:α≥0,x%αi}

Dada la monotonía fuerte ambos conjuntos son no vacíos. El conjuntoAparaαsuficientemente grandeαi%xen el caso del conjuntoBporque contiene al menos el 0. El supuesto de continui-dad asegura que ambos conjuntos son cerrados. Dado que las preferencias son completas cada α≥0pertenece a uno de estos conjuntos. Por tanto, es necesario que exista un punto en común, por ejemploαxpara queαxivx, la monotonía fuerte asegura que este punto es único.Ahora,

identificandoαxconu(x), lo cual implica queαxivu(x)iy aplicando transitividad obtenemos

u(x)ivx. En otras palabras, para cada plan de consumox∈Xhemos demostrado que existe un número realu(x)tal queu(x)ivx.

(2) Consideremos ahora dos cestas de consumox1,x2 ∈ X, por definiciónx1 vu(x1)iyx2 v

u(x2)i. Siu(x1)>u(x2)la monotonía fuerte implica queu(x1)i≻u(x2)i, de igual manera

por transitividad

x2vu(x1)i≻u(x2)ivx2⇒x1≻x2

El mismo razonamiento nos lleva a demostrar que siu(x1) =u(x2)implica quex1vx2, y así

de manera sucesiva faltando solo por demostrar continuidad.

(3) Pensemos ahora que existe un{xj}el cual es una secuencia convergente ax, es decir{xj} →x. Ahora pasaremos a demostrar queu(xj) → u(x). Para empezar vamos a suponer que no es convergente, es decir, que existe unγ > 0y un número infinito dej′stal quexj v u(xj) ≻

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2.3. La Función de Utilidad

2.3.2. Unicidad

Es importante señalar que la función de utilidad que acabamos de construir es ordinal. Es decir, el valor numérico deu(·)no contiene ningún significado, solo el signo de la diferencia entre los valores deu(·)en dos puntos distintos es significativo. Notemos también que el enunciado de la proposición que acabamos de demostrar no dice nada sobre la unicidad de la función de utilidad que representa las preferencias del consumidor. La proposición siguiente aborda precisamente esta cuestión. En par-ticular, podemos demostrar que la función de utilidad que hemos identificado es única excepto para transformaciones estrictamente crecientes.

PROPOSICIÓN8(Unicidad de la Función de Utilidad). La unicidad de la función de Utilidad implica que es invariable ante transformaciones monótonas.

(1) Supongamos que la relación de preferencia%de un consumidor es representada mediante la función de utilidadu: RL → REntonces cualquier funciónυ(x) =f[u(x)]dondef es una función estrictamente creciente, también es una función de utilidad que representa la misma relación de preferencias, además siuyf son continuas entoncesυtambién lo es.

(2) Todas las funciones de utilidad que representan las preferencias%de un consumidor pueden ser representadas porυ(x) =f[u(x)]

Demostración. (1) Six1 ≻x2, entoncesu(x1)> u(x2)sif es estrictamente creciente podemos

afirmar quef[u(x1)]> f[u(x2)]por tantoυ(x1)> υ(x2)y de la misma manera dicha

cons-trucción se puede mostrar de forma inversa, es decirυ(x1)> υ(x2)six1≻x2. Además de esto

dado que la composición de dos funciones continuas es una función continua,υes continua sif yu(·)lo son.

(2) Sea υ una función de utilidad arbitraria que representa la misma relación de preferencia que u(·). Es claro queu(x1) = u(x2)si y solo siυ(x1) = υ(x2)ya que en ambos casos implica

quex1≻x2. También debe ser claro queu(x1)>u(x2)si y solamente siυ(x1)> υ(x2). Por

tanto podemos escribirυ(x) =f[u(x)].

La representación de las preferencias mediante una función de utilidad hace que las propiedades de la relación de preferencias se reflejen en las propiedades de la función de utilidad que las representa. Monotonía y continuidad de las preferencias se traducen en monotonía y continuidad de la función de utilidad. La convexidad de las preferencias se traduce en la concavidad de la función de utilidad. En par-ticular, la convexidad débil de las preferencias implica la cuasi-concavidad de la función de utilidad; la convexidad de las preferencias implica que la función de utilidad es semi-estrictamente cuasi-cóncava; finalmente, la convexidad fuerte de las preferencias se traduce en una función es estrictamente cuasi-cóncava.

DEFINICIÓN24(Cuasi-Concavidad). Seau:RL_→_R_{, decimos que}_u_{es cuasi-cóncava si para todo} x1,x2∈RLy para todaλ∈[0,1]se cumple

u(x1)≥u(x2)⇒u[λx1+ (1−λ)x2]≥u(x2)

DEFINICIÓN25(Cuasi-Concavidad Semi-Estricta). Seau:RL_→_R_{, decimos que}_u_{es Semi} estricta-mente cuasi-cóncava si para todox1,x2∈RLy para todaλ∈[0,1]se cumple

u(x1)>u(x2)⇒u[λx1+ (1−λ)x2]>u(x2)

DEFINICIÓN 26(Cuasi-Concavidad Estricta). Seau : RL → R, decimos queues cuasi-cóncava Estricta si para todox1,x2∈RLy para todaλ∈[0,1]se cumple

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2.4. Comportamiento del Consumidor

Una ves demostrada la existencia de una función de utilidad y de probar que es invariante ante transformaciones monótonas pasamos a analizar el comportamiento del consumidor. Es menester es-tablecer que las decisiones de consumo de nuestro agente representativo se desarrollan en mercado competitivopor mercado competitivo podemos entenderlo de manera coloquial como un momento en la evolución de una economía donde el número de Empresas y el número de consumidores es tan gran-de que un consumidor individual le es imposible influir en el fijamiento gran-de los precios en el mercado, es decir, sontomadores de precio o precio aceptantescomo veremos más adelante. Iniciamos definiendo lasMercancíasy elConjunto Presupuestario Walrasiano, posteriormente realizamos un desarrollo de las propiedades de estática comparativay finalizamos enunciando elAxioma Fuerte de Preferencia Revelada.

2.4.1. Mercancías y Conjunto de Consumo

Denominaremos Mercancías al conjunto de satisfactores de un consumidor individual, para fines prácticos llamaremos de manera indistinta Mercancías al conjunto de bienes y servicios que elaboran o desarrollan un conjunto de individuos con el fin de satisfacer las necesidades de un consumidor individual. Asumiremos que el número de Mercancías es finito igual aLtal queℓ= 1,2,3...L. Ahora, denominaremos cesta de consumo, a un vector de mercancías

x=      x1 x2 .. . xL     

Donde cadaxies una mercancía. El vectorxes un punto enRL_{. Las elecciones de consumo son por} razones obvias no negativas, es decir, no existen cantidades negativas que queramos consumir de alguna mercancía o producto. Formalmente denotamos al espacio de consumo comoX ⊂ RL. En algunos textos y sin perdida de generalidad enuncian al espacio de consumo como el cual se encuentra en el ortante no negativo.

X =RL+={x∈RL:xℓ≥0 ∀ℓ= 1, ..., L}

Como es sabido el ortante no negativo RL+ es convexo ya que para todo x1,x2 ∈ RL+ se tiene que

x3=αx1+ (1−α)x2tal quex3∈RL+para todoα∈[0,1].

2.4.2. Conjunto Presupuestario Competitivo

También llamado restricción presupuestaria en la jerga del economista, definimos ahora al vector de preciosptal que

p=      p1 p2 .. . pL     ∈RL+

(16)

2.4. Comportamiento del Consumidor

Figura 2.1:Izquierda:Restricción presupuestaria competitiva o walrasiana enR2₊. Derecha: Efecto precio ante una variación dep2.

dotado de una riqueza o presupuestowel cual será utilizado para comprar alguna cesta de consumox de preciop. La restricción presupuestaria debe satisfacer

p·x=p1x1+...+pLxL≤w

Es decir, cada consumidor selecciona la combinación de precios y mercancías tales que no sobrepase el presupuestow. Es decir, decimos que las cestas de bienes sonconsumos factibles.

DEFINICIÓN27. Una restricción presupuestaria competitiva es el conjuntoBp,w ={x∈RL+:px≤

w}es el conjunto que muestra todas las opciones de consumo posibles dados un vector de preciospy un presupuestow.

El conjunto{x ∈ RL

+ : px =w} es llamado hiperplano presupuestario que no es otra cosa más

que la frontera deBp,w. ParaL = 2, la restricciónBp,wqueda reducida ap1x1+p2x2 =wlo cual

es una recta con pendiente−(p1/p2)la cual es una tasa de cambio entre dos mercancías la cual como

veremos más adelante mide el costo de oportunidad. Una de las propiedades geométricas que serán útiles es la ortogonalidad de los precios. Para observar esto supongamos que existen dos dos cestas x,¯x∈Rℓ+. Para un vector de preciospse debe cumplir, dado que el consumidor no puede exceder su

presupuesto quepx=p¯x=wde donde se deduce quep∆x= 0tal que∆x= (x−¯x)y por endep es ortogonal. Por ultimo hablaremos de la convexidad deBp,w, dadas dos cestasx1,x∈Bp,w, la cesta

x3=αx1+ (1−α)x2también lo es tal quex3∈RL+. Después dadospx1≤wypx2≤wnosotros

tenemos quepx3=αpx+ (1−α)px2 ≤wlo cual implica quex3∈Bp,w ={x∈RL+:px≤w}

y por endeBp,wes convexo. Además de esto dados los supuestos sobreXpodemos afirmar queBp,w es cerrado y dado quepℓ>0(ignoraremos el caso depℓ= 0) es compacto.

2.4.3. Estática comparativa y función de demanda

Cada consumidor walrasiano (o ordinario o competitivo) puede a partir de sus preferencias y su conjunto presupuestario calcularuna cantidad demandada de bienes lo cual dependerá integramente del vector py del presupuesto w. La correspondencia de demanda del consumidor (ordinaria o walrasiana) se denota porx(p, w)y asigna un conjunto de cestas de consumo a cada par precio-riqueza

(p, w). Cuando la correspondencia consta de solo un elemento se le denomina función de demanda µ(p, w). Asumiremos que la correspondencia de demanda es homogénea de grado cero y satisface la Ley de Walras.

(17)

La homogeneidad de grado cero quiere decir que sí los precios y la riqueza cambian en la misma proporción, la elección de consumo del individuo no cambia,sólo importan los precios y renta relativos y no los absolutos.Para entender la homogeneidad de grado cero, nótese que un cambio de renta y precios de(p, w)a(αp, αw), no produce ningún cambio en el conjunto de consumos factibles,es decirBp,w=Bαp,αw.

DEFINICIÓN 29. La correspondencia de demanda walrasianax(p, w)satisface la ley de walras si para todop≫0yw >0, se cumplepx=wpara todox∈x(p, w).

La Ley de Walras significa que el individuo consume totalmente su riqueza. Este supuesto es ra-zonable siempre que exista algún bien deseable.En contextos dinámicos intertemporales, la Ley de Walras significa que el consumidor gasta enteramente su presupuesto a lo largo de su vida. El análisis de un cambio en el resultado como respuesta a cambios en los parámetros económicos subyacentes se le conoce como Análisis de Estática Comparativa. Este análisis es por demás interesante ya que nos muestra como cambian la elección de un consumidor cuando se modifican el precio o la riqueza de un consumidor

Efecto Riqueza Mantengamos fijop, la correspondencia¯ x(¯p, w)se le conoce como función de En-gel del consumidor La cual tiene su imagen en RL+.Ep¯ = {x(¯p, w) : w > 0}se le conoce como

patrón de expansión de la riqueza. Para cualquier(p, w)la derivada∂xℓ(p, w)/∂wse le conoce como electo riqueza para elℓ-ésimo bien. Un bien se denominanormalsi para cualquier(p, w)se tiene que ∂xℓ(p, w)/∂w≥0es decir, la demanda no decrece ante aumentos en la riqueza. Si∂xℓ(p, w)/∂w <0 para cualquier (p, w)se le denominabien inferior . El supuesto de normalidad en la demanda tiene sentido cuando los bienes son agregaciones (alojamiento, comida, etc. ). Si se encuentran muy desagre-gados (por ejemplo, una clase particular de zapatos), entonces dada la sustitución de bienes de mejor calidad cuando w se incrementa, los bienes pueden convertirse en inferiores a partir de un nivel de renta. Dado el vector de preciospel efecto riqueza puede ser expresado mediante

Dwx(p, w) =

     

∂x1(p,w)

∂w ∂x2(p,w)

∂w .. . ∂xL(p,w)

∂w     

∈R

L

Efecto Precio Ahora manteniendo fijow, la variación de la correspondencia de demanda ante varia-ciones en los precios se le denomina efecto precio, más generalmente para todo(p, w)el efecto precio depktal quek= 1,2, ..., Lse expresa como∂xℓ(p, w)/∂pk, luego entonces∂xℓ(p, w)/∂pℓmuestra la curva deprecio-ofertadel consumidor. Decimos que el bienℓes unBien Giffensi∂xℓ(p, w)/∂pℓ>

0, es interesante notar que los bienes de baja calidad pueden ser bienes Giffen para consumidores de rentas bajas. El efecto precio se puede mostrar mediante la siguiente matriz

Dpx(p, w) =    

∂x1(p,w)

∂p1 · · ·

∂x1(p,w)

∂pL

. ._. ∂xL(p,w)

∂p1 · · ·

∂xL(p,w)

∂pL

   

(18)

2.4. Comportamiento del Consumidor

PROPOSICIÓN9. Si la función de demanda walrasianax(p, w)es homogénea de cero se cumple, para todopyw

L

∑

k=1

∂xℓ(p, w)

∂pk pk+

∂xℓ(p, w)

∂w w= 0 ∀ℓ= 1, ..., ℓ. (2.1)

En notación matricial

Dpx(p, w)p+Dwx(p, w)w=0 (2.2)

La homogeneidad de grado cero implica que las derivadas con respecto a precios y renta, de la demanda de cualquier bienℓ, cuando se ponderan por estos precios y renta deben sumar cero. La pon-deración se da, porque cuando se incrementan todos los precios y la riqueza en la misma proporción, cada variable cambia en proporción a su nivel inicial.LA expresión (2.1) puede ser expresada en térmi-nos de suselasticidadesde la demanda con respecto al precio y la riqueza de la siguiente manera.

εℓk(p, w) =

∂xℓ(p, w)

∂pk

· pk

xℓ(p, w)

(2.3)

y de igual manera

εℓw(p, w) = ∂xℓ(p, w)

∂w ·

w xℓ(p, w)

(2.4)

La Elasticidad muestra las variaciones porcentuales de la demanda del bienℓante variaciones de alguno de sus parámetros como puede ser el precio o la riqueza.La expresión (2.1) puede ser reescrita como

L

∑

k=1

εℓk(p, w) +εℓw(p, w) = 0 ∀ℓ= 1, ..., L (2.5)

Esta formula expresa directamente, las implicaciones de estática comparativa de la homogeneidad de grado cero: un mismo porcentaje de cambio en todos los precios y renta no produce cambios en la demanda. La ley de Walras tiene dos implicaciones sobre el efecto riqueza y el efecto precio. Por la ley de Walras sabemos quepx(p, w) =wpara todopyw.

PROPOSICIÓN10. Si la función de demanda Walrasianax(p, w)satisface la ley de Walras para todo pyw

L

∑

ℓ=1

pℓ

∂xℓ(p, w)

∂pk

+xk(p, w) = 0 (2.6)

y de manera matricial

pDpx(p, w) +x(p, w) =0 (2.7)

Esta preposición es conocida como laAgregación de Cournotque dice que el gasto total no puede cambiar ante variaciones en el precio del bienk.

PROPOSICIÓN11. Si la función de demanda Walrasianax(p, w)satisface la ley de Walras para todo pyw

L

∑

ℓ=1

pℓ∂xℓ(p, w)

∂w = 1 (2.8)

y de manera matricial

pDwx(p, w) =i (2.9)

(19)

2.5. Axioma Débil de preferencia revelada

Como el lector notará el instrumental mostrado parece suficiente para realizar una teoría consistente del comportamiento de un consumidor representativo sin embargo aun queda una laguna la cual versa en la necesidad de una teoría que establezca un mecanismo a través del cual el consumidor mantenga unhábito de compra el cual permita a los oferentes ofrecer bienes y servicios al consumidor, esta teoría se le conoce como laTeoría de la Preferencia Revelada(a partir de ahora abreviado AD). A grandes rasgos esta teoría establece lo siguiente: cuando un consumidor se enfrenta a una colección de cestas

(xi,xj)∈RL₊si el consumidor seleccionaxicuando podía seleccionarxjdecimos quexise revela a xj lo cual nos permite deducir quexi ≻xj. Luego, una función de demanda walrasianax(p, w)que es homogénea de grado cero y satisface la ley de walras en el contexto de AD cumple lo siguiente:

DEFINICIÓN30. Una función de demanda walrasianax(p, w)satisface AD si la siguiente propiedad se satisface para cualquier par(pi, wi)y(pj, wj)con la demandax(pi, wi)dependiendo de(pi, wi)

yx(pj, wj)dependiendo de(pj, wj):

{∃pi,∃x(pj, wj) :pix(pj, wj)≤wi}∧{∃x(pi, wi) :x(pj, wj)̸=x(pi, wi)} ⇒pjx(pi, wi)≥wj

La explicación es muy clara,pix(pjwj)wi ≤0yx(pjwj)̸=x(pi, wi)significa que cuando los precios y el presupuesto son(piwi)el consumidor eligex(pi, wi)aun cuandox(pj, wj)era factible. Se puede decir que el consumidor revela su preferencia ax(pi, wi)sobrex(pj, wj). Que la demanda sea consistente significa que que el consumidor prefiere siempre x(pi, wi)sobre x(pj, wj)cuando ambas son disponibles. De igual manera se cumple quex(pi, wi)no debe ser disponible con los precios y el presupuesto(pj, wj).

2.5.1. Implicaciones de AD

Sabemos que un cambio en los precios afecta al consumidor de dos maneras, por una parte altera los costos relativos de diferentes bienes y de igual manera altera la riqueza (o presupuesto) real. Una manera de llevar a cabo el análisis es imaginar una situación en la que un cambio en precios se acompaña de un cambio en la riqueza del consumidor que haga que su consumo inicial sea factible a los nuevos precios. Sean pi y wi los precios y la riqueza inicial y sea x(pi, wi) la demanda del consumidor. Supongamos que los precios cambian apjy que la renta del consumidor se ajustawj =pjx(pi, wi). Luego el ajuste del ingreso esta dado por∆w = ∆px(pi, wi), con∆p = (pj −pi). A este ajuste se le conoce comola compensación de la riqueza de Slutsky. La Figura 2.2 muestra lo anterior para

R2

2. EnBpi,wi,pi= [p1, p2], con pendiente−(p1/p2)y demandax(piwi). Supongamos ahora quep1

disminuye y el nuevo vector espj= [¯p1, p2]conp¯1< p2y por endep¯1/p2disminuye. Luego la nueva

restricción seráBpj,wi. La compensación de Slutsky será la siguiente:wi =p1x1+p2x2y sabemos

quewj = ¯p1x1+p2x2, luego entonces la variación total de la riqueza es igual a∆wi= (¯p1−p1)x1

y dado quep¯1 < p1entonces∆wies negativa.A estos cambios de precios que se acompañan de tales

cambios compensatorios en la renta se les denominacambios compensados de precios. La siguiente Proposición establece que el AD puede enunciarse equivalentemente en términos de la respuesta de la demanda a tales cambios compensados en precios.

PROPOSICIÓN12. Supongamos que función de demanda walrasianax(p, w)es homogénea de grado cero y satisface la ley de walras. Entonces la función de demandax(p, w)cumple AD syss satisface la siguiente propiedad: Para cualquier cambio compensado de precios desde el par inicial(pi, wi)hasta

(pj, wj) = [pj, pjx(pi, wi)]se tiene que

(pj−pi)[x(pj, wj)−x(pi, wi)]≤0 (2.10)

(20)

2.6. Matriz de Sustitución de Slutsky

Figura 2.2:Efecto compensación de la Riqueza de Slutsky enR2₊

Demostración. (i)El AD implica que(pj−pi)[x(pj, wj)−x(pi, wi)]≤0se cumple con con la de-sigualdad estrictax(pi, wi)̸=x(pj, wj). Six(pi, wi) =x(pj, wj)implica que(pj−pi)[x(pj, wj)−

x(pi, wi)] = 0, por lo tanto supongamos quex(pi, wi)̸=x(pj, wj). Podemos reescribir

(pj−pi)[x(pj, wj)−x(pi, wi)] =pj[x(pj, wj)−x(pi, wi)]−pi[x(pj, wj)−x(pi, wi)]

Como el cambio es depiapjes compensado:pjx(piwi) =wj, por la ley de walraspjx(pjwj) =wj, luego pj[x(pj, wj)−x(pi, wi)] = 0. ahora dado quepjx(piwi) = wj,x(piwi)es factible bajo

(pjwj). el AD implica quex(pjwj)no debe ser factible bajo(piwi)y por endepix(pjwj)> wiy por la ley de walraspix(piwi) =wiy por tantopi[x(pj, wj)−x(pi, wi)]>0.

Ahora, (2.10) puede ser reescrita como∆pi∆x≤0Se puede interpretar como una expresión de la Ley de la Demanda: La demanda y el precio se mueven en la dirección opuesta. La Proposición anterior establece que la Ley de la Demanda se satisface para cambios compensados en los precios. Se denominala ley de la Demanda Compensada.

2.6. Matriz de Sustitución de Slutsky

Ahora para el siguiente análisis supongamos que la demandax(p, w)de consumo es unafunción diferenciablede los precios y de la riqueza. Consideremos ahora que para un vector de precios dado y un presupuesto(p, w)se da un cambio en los precios, es decir, el diferencial de precios puede expresarse como ∂p, sin embargo dicho cambio en los precios esta compensado por un ajuste en la riqueza o presupuesto tal que∂w=x(p, w)∂p, después la Proposición 12 se resume en

∂p·∂x≤0 (2.11)

ahora por regla de l cadena la variación total de la demanda esta expresada como

∂x=Dpx(p, w)∂p+Dwx(p, w)∂w (2.12)

luego

∂x=Dpx(p, w)∂p+Dwx(p, w)[x(p, w)∂p] (2.13) o de manera equivalente

(21)

ahora sustituyendo (2.14) en (2.11) tenemos

∂p·[Dpx(p, w) +Dwx(p, w)x(p, w)]∂p≤0 (2.15)

La expresión (2.15) es una matriz deL×Ldenotada porS(p, w). Formalmente

S(p, w) =

  

s11(p, w) · · · s1L(p, w) ..

. . .. ... sL1(p, w) · · · sLL(p, w)

  

Donde la (ℓ,k)ésima entrada esta dada por

sℓk(p, w) =

δxℓ(p, w)

∂pk +

xℓ(p, w)

∂w ·xk(p, w) (2.16)

La matrizS(p, wes conocida como la matriz de sustitución de Slutsky y sus elementos se le conocen como efecto sustitución.sℓk(p, w)mide el cambio diferencial en el consumo del bien ℓ(es decir, la sustitución a otro bien) debido a un cambio diferencial en el precio del bienk, cuando la renta se ajusta tal que el consumidor pueda todavía adquirir a los nuevos precios su cesta inicial (debido solamente a un cambio en los precios). Nótese que el cambio en la demanda del bienℓ, si la renta no cambiase, sería

δxℓ(p, w)

∂pk ∂pk

Ahora, para que el consumidor pudiera simplemente adquirir su cesta de consumo inicial, su riqueza debería variar en la cantidadxk(p, w)∂pk. El efecto de cambio de renta en su demanda del bienℓ, es

δxℓ(p, w)

∂pk

[xk(p, w)∂pk]

La suma de estos dos efectos es exactamentesℓ,k(p, w)∂p.

PROPOSICIÓN13. Si una función de demanda Walrasiana diferenciablex(p, w), satisface la ley de walras, es homogénea de grado cero y cumple el axioma débil de preferencia revelada, entonces para cualquier par (p, w) la matriz de sustitución de SlutskyS(p, w)satisface VS(p, w)V ≤ 0 para cualquierV∈RL.

Si una matriz de sustitución cumple esta propiedad se dice que essemidefinida-negativaUna im-plicación importante desℓℓ≤0(el efecto sustitución del bienℓcon respecto a su propio precio (efecto sustitución propio))es que un bien puede ser Giffen en(p, w), solamente si es inferior. En particular como:

sℓℓ(p, w) =

δxℓ(p, w)

∂pℓ +

xℓ(p, w)

∂w ·xℓ(p, w) (2.17)

Si δxℓ(p,w)

∂pℓ >0se tiene que dar

xℓ(p,w)