ALCULO II Grados en Ingenier´ıa

(1)

Grados en Ingenier´ıa

Domingo Pestana Galv´an Jos´e Manuel Rodr´ıguez Garc´ıa

—————

(2)

1.1 Funciones. L´ımites y continuidad 1.2 Derivadas.

(3)

Conceptos b´asicos de topolog´ıa

Lanormade un vector x= (x1,x2, . . . ,xn) deRn es

kxk=

q

x₁2+x₂2+· · ·+x2

n.

Ladistancia entre dos puntos x,y deRn es la norma de su

diferencia, es decir, dist(x,y) =kx−yk.

La norma en Rnverifica propiedades similares al valor

absoluto en R(coincide con ´el si n= 1):

kxk ≥0, kλxk=|λ| kxk, kx+yk ≤ kxk+kyk.

Bola abierta B(x0,r) =

x∈_Rn_: _k_x₋_x

(4)

Lanormade un vector x= (x1,x2, . . . ,xn) deRn es

kxk=

q

x₁2+x₂2+· · ·+x2

n.

Ladistancia entre dos puntos x,y deRn es la norma de su

diferencia, es decir, dist(x,y) =kx−yk.

La norma en Rnverifica propiedades similares al valor

absoluto en R(coincide con ´el si n= 1):

kxk ≥0, kλxk=|λ| kxk, kx+yk ≤ kxk+kyk.

Bola abierta B(x0,r) =

x∈_Rn_: _kx₋_x

0k<r .

(5)

Un conjunto U ⊆_Rn _es_abierto _{si para todo}_x_∈_U _{existe un}

r >0 tal que B(x,r)⊆U.

Un conjunto F ⊆_Rn _es_cerrado _{si su complemento}

Fc =Rn\F es abierto.

Lafrontera ∂E de un conjuntoE ⊆_Rn _{es el conjunto de}

puntosx deRn (no tienen por qu´e estar en E) tales que toda

bola centrada en x contiene alg´un punto deE y alg´un punto deEc.

(6)

Un conjunto U ⊆_Rn _es_abierto _{si para todo}_x_∈_U _{existe un}

r >0 tal que B(x,r)⊆U.

Un conjunto F ⊆_Rn _es_cerrado _{si su complemento}

Fc =Rn\F es abierto.

Lafrontera ∂E de un conjuntoE ⊆_Rn _{es el conjunto de} puntosx deRn (no tienen por qu´e estar en E) tales que toda

bola centrada en x contiene alg´un punto deE y alg´un punto deEc.

(7)

Elinterior de un conjuntoE ⊆Rn es el subconjunto de

puntosx deE para los que existe un r >0 tal que

B(x,r)⊆E. O tambi´en: E\∂E.

Laclausura E de un conjuntoE ⊆_Rn _es_E ₌_E_∪_∂_E_.

Un conjunto E ⊆_Rn_es_acotado _{si existe un} _r_>_{0 tal que}

E ⊆B(0,r).

(8)

Elinterior de un conjuntoE ⊆Rn es el subconjunto de

puntosx deE para los que existe un r >0 tal que

B(x,r)⊆E. O tambi´en: E\∂E.

Laclausura E de un conjuntoE ⊆_Rn _es_E ₌_E_∪_∂_E_.

Un conjunto E ⊆_Rn_es_acotado _{si existe un} _r_>_{0 tal que}

E ⊆B(0,r).

(9)

Es f´acil ver que una bola abierta es un conjunto abierto y que una bola cerrada es un conjunto compacto.

(10)

Es f´acil ver que una bola abierta es un conjunto abierto y que una bola cerrada es un conjunto compacto.

(11)

Conceptos b´asicos

Unafunci´on es una regla que hace corresponder un punto deRm y

s´olo uno a cada punto de un cierto conjuntoA⊆Rn. Se escribe

f : A⊆_Rn _−→

Rm

x 7→ f(x)

Eldominio def es el conjunto de puntos para los que est´a definida,A en este caso, y se denota por Dom(f).

Laimagende una función es el conjunto de los puntosy tales que existe un punto xcon f(x) =y, y se denota por Img(f). Lagráficade una función es el conjunto de puntos:

(12)

Conceptos b´asicos

Unafunci´on es una regla que hace corresponder un punto deRm y

s´olo uno a cada punto de un cierto conjuntoA⊆Rn. Se escribe

f : A⊆_Rn _−→

Rm

x 7→ f(x)

Eldominio def es el conjunto de puntos para los que est´a definida,A en este caso, y se denota por Dom(f).

Laimagende una función es el conjunto de los puntosy tales que existe un punto xcon f(x) =y, y se denota por Img(f). Lagráficade una función es el conjunto de puntos:

(13)

Conjuntos de nivel

Dada una funci´onf :A⊆_Rn_−→

Rm, elconjunto de nivel

(14)

Conjuntos de nivel

Dada una funci´onf :A⊆_Rn_−→

Rm, elconjunto de nivel

de valor c es el conjunto de puntos{x∈A:f(x) =c} ⊆Rn.

(15)

(16)

L´ımites

Sea una funci´onf : A⊆_Rn_−→

Rm. Se dice que `∈Rm es el

l´ımitedef(x) cuando x tiende ax0, y lo escribimos lim x→x0

f(x) =`,

si para todoε >0 existe un δ >0 tal que

kf(x)−`k< ε si 0<kx−x0k< δ.

Si f(x) = (f1(x), . . . ,fm(x)), dondefi : A−→R,

i = 1,2, . . . ,m, son las funciones componentes def, entonces lim

x→x0

f(x) =`= (`1, `2, . . . , `m) si y s´olo si lim

x→x0

fi(x) =`i

para cada i = 1,2, . . . ,m.

(17)

L´ımites

f(x) =`,

x→x0

f(x) =`= (`1, `2, . . . , `m) si y s´olo si lim x→x0

fi(x) =`i

para cada i = 1,2, . . . ,m.

(18)

L´ımites

f(x) =`,

x→x0

f(x) =`= (`1, `2, . . . , `m) si y s´olo si lim x→x0

fi(x) =`i

para cada i = 1,2, . . . ,m.

(19)

Propiedades de l´ımites

Seanf,g : A⊆_Rn_−→

Rm. Si existen lim

x→x0

f(x) y lim x→x0

g(x), entonces:

(1) lim

x→x0

cf(x)=c lim x→x0

f(x).

(2) lim

x→x0

f(x) +g(x)

= lim x→x0

f(x) + lim x→x0

g(x).

(3) lim

x→x0

f(x)g(x)

= lim

x→x0

f(x)

lim x→x0

g(x)

, si m= 1.

(4) lim

x→x0

f(x)

g(x) = lim x→x0

f(x)

lim x→x0

g(x) , si m= 1, y xlim→x0

g(x)6= 0.

(5) lim

x→x0

f(x)g(x)

= lim

x→x0

f(x)xlim→_x0g(x)_,

(20)

L´ımites

Dos t´ecnicas para estudiar l´ımites.

Cason = 2 y m= 1. Si los l´ımites lim

r→0f(rcosθ,rsenθ)

dependen deθ, entoncesno existeel l´ımite lim

(x,y)→(0,0)f(x,y).

Si los l´ımites lim

r→0f(rcosθ,rsenθ) no dependen de θ, entonces no se puede afirmar nada sobre la existencia del l´ımite. De manera equivalente estudiar el l´ımite a lo largo de rectas,

y =λx.

Si el punto en el queremos estudiar el l´ımite es x0= (x0,y0),

entonces se tiene un resultado similar, pero lo más fácil es realizar una traslación (un cambio de variables y=x−x0).

Si lim x→x0

f(x) = 0 y g est´a acotada en un entorno dex0,

entonces lim x→x0

(21)

L´ımites

Dos t´ecnicas para estudiar l´ımites.

Cason = 2 y m= 1. Si los l´ımites lim

r→0f(rcosθ,rsenθ)

dependen deθ, entoncesno existeel l´ımite lim

(x,y)→(0,0)f(x,y).

Si los l´ımites lim

r→0f(rcosθ,rsenθ) no dependen de θ, entonces no se puede afirmar nada sobre la existencia del l´ımite. De manera equivalente estudiar el l´ımite a lo largo de rectas,

y =λx.

Si el punto en el queremos estudiar el l´ımite es x0= (x0,y0),

entonces se tiene un resultado similar, pero lo más fácil es realizar una traslación (un cambio de variables y=x−x0). Si lim

x→x0

f(x) = 0 y g est´a acotada en un entorno dex0,

entonces lim x→x0

(22)

Continuidad

Seaf : A⊆_Rn_−→

Rm y sea x0∈A. Se dice que f escontinua en el puntox0 si lim

x→x0

f(x) =f(x0).

(23)

Continuidad

Rm y sea x0∈A. Se dice que f escontinua en el puntox0 si lim

x→x0

f(x) =f(x0).

(24)

Continuidad

Teorema

Seanf : A⊆Rn−→Rm yg : B ⊆Rm −→Rk, y sea x0∈A, con

f(x0∈B. Sif es continua en x0 yg es continua enf(x0), entonces la composici´on (g◦f)(x) =g(f(x)) es continua enx0.

Teorema

Rm. Si Aes compacto y f es continua enA,

(25)

Continuidad

Teorema

Seanf : A⊆Rn−→Rm yg : B ⊆Rm −→Rk, y sea x0∈A, con

f(x0∈B. Sif es continua en x0 yg es continua enf(x0), entonces la composici´on (g◦f)(x) =g(f(x)) es continua enx0.

Teorema

Rm. Si Aes compacto y f es continua enA,

(26)

Derivadas

SeanU ⊆Rn un conjunto abierto y f : U −→R. Laderivada

parcial∂f/∂xj de f con respecto a la variablexj es

∂f

∂xj

(x1, . . . ,xn) = lim h→0

f(x1,x2, . . . ,xj+h, . . . ,xn)−f(x1, . . . ,xn)

h

= lim h→0

f(x+hej)−f(x)

h ,

donde 1≤j ≤n yej es elj-´esimo vector de la base can´onica;

(27)

Derivadas

Si f : U −→_Rm_{, entonces} _f₍_x_{) = (}_f1₍_x₎_{, . . . ,}_f

m(x)), y podemos hablar de la derivada parcial∂fi/∂xj de la componente i-´esima de f con respecto a la variablexj.

Definici´on.

SeanU ⊆Rn un conjunto abierto yf : U −→Rtal que existan las

derivadas parciales con respecto a todas las variablesxj. El vector

∇f(x) = gradf(x) =∂f(x) ∂x1

,· · · ,∂f(x) ∂xn

,

(28)

Derivadas

El plano tangente a la gr´afica de la funci´onf : U ⊆_R2 _−→

R

en el punto (x0,y0)∈U se define como

z =f(x0,y0) + ∂f

∂x(x0,y0)(x−x0) +

∂f

∂y(x0,y0)(y−y0).

Es decir, es el plano que pasa por el punto (x0,y0,f(x0,y0)) de la gr´afica de f y tiene por vector caracter´ıstico el vector

v=∂f

∂x(x0,y0),

∂f

∂y(x0,y0),−1

(29)

Derivadas

El plano tangente a la gr´afica de la funci´onf : U ⊆_R2 _−→

R

en el punto (x0,y0)∈U se define como

z =f(x0,y0) + ∂f

∂x(x0,y0)(x−x0) +

∂f

∂y(x0,y0)(y−y0).

Es decir, es el plano que pasa por el punto (x0,y0,f(x0,y0))

de la gr´afica de f y tiene por vector caracter´ıstico el vector

v=∂f

∂x(x0,y0),

∂f

∂y(x0,y0),−1

(30)

Derivadas

SeanU ⊆R2 un conjunto abierto, (x0,y0)∈U yf : U −→R.

Decimos quef esdiferenciable en (x0,y0) si existen ∂f/∂x y ∂f/∂y en (x0,y0) y si

lim

(x,y)→(x0,y0)

f(x,y)−f(x0,y0)−∂f

∂x(x0,y0)(x−x0)− ∂f

∂y(x0,y0)(y−y0)

k(x,y)−(x0,y0)k

(31)

Derivadas

SeanU ⊆Rn un conjunto abierto,x0 ∈U yf : U −→Rm.

Decimos que f esdiferenciable enx0 si las derivadas parciales de f existen enx0 y si

lim x→x0

kf(x)−f(x0)−T(x−x0)k kx−x0k = 0,

dondeT=Df(x0) es la matrizm×n cuyo elemento en la fila i y columna j es∂fi/∂xj evaluada en x0 yT(x−x0) es el

producto deTconx−x0 (considerado como matriz columna).

(32)

Derivadas

SeanU ⊆Rn un conjunto abierto,x0 ∈U yf : U −→Rm.

Decimos que f esdiferenciable enx0 si las derivadas parciales de f existen enx0 y si

lim x→x0

kf(x)−f(x0)−T(x−x0)k kx−x0k = 0,

dondeT=Df(x0) es la matrizm×n cuyo elemento en la fila i y columna j es∂fi/∂xj evaluada en x0 yT(x−x0) es el

producto deTconx−x0 (considerado como matriz columna).

Llamamos a Tla derivadao diferencialo matriz jacobiana

(33)

Derivadas

Propiedades de la diferenciabilidad:

SeanU ⊆_Rn _{un conjunto abierto,}_x

0 ∈U,c ∈Ry

f,g : U −→Rm. Sif yg son diferenciables en x0, entonces:

cf(x) es diferenciable enx0, yD(cf)(x0) =cDf(x0).

f(x) +g(x) es diferenciable enx0, y

D(f +g)(x0) =Df(x0) +Dg(x0).

f(x)g(x) es diferenciable enx0 si m= 1, y

D(fg)(x0) =g(x0)Df(x0) +f(x0)Dg(x0).

f(x)/g(x) es diferenciable enx0 si m= 1 y g(x0)6= 0, y

Df g

(x0) =

g(x0)Df(x0)−f(x0)Dg(x0) g(x0)2

(34)

Derivadas

Teorema

SeanU ⊆_Rn_{un conjunto abierto,} _x

0 ∈U yf : U −→Rm. Sif es

diferenciable enx0, entonces f es continua enx0.

¡ATENCION!

Puede ocurrir que existan las derivadas parciales de una función en x0, y que la función no sea continua enx0. Esto demuestra que la definición que hemos dado de función diferenciable es la “correcta”.

Teorema

SeanU ⊆Rn un conjunto abierto,x0 ∈U yf : U −→Rm. Si

existen todas las derivadas parciales∂fi/∂xj de f y son continuas

(35)

Derivadas

Teorema

¡ATENCION!

Puede ocurrir que existan las derivadas parciales de una funci´on en

x0, y que la función no sea continua enx0. Esto demuestra que la definición que hemos dado de función diferenciable es la “correcta”.

Teorema

existen todas las derivadas parciales∂fi/∂xj de f y son continuas

(36)

Derivadas

Teorema

¡ATENCION!

Puede ocurrir que existan las derivadas parciales de una funci´on en

x0, y que la función no sea continua enx0. Esto demuestra que la definición que hemos dado de función diferenciable es la “correcta”.

Teorema

(37)

Matriz derivada

Dada una funci´on vectorial F : Rn→Rm, llamamos matriz

derivada, omatriz jacobiana, a la matrizDF ∈ Mm×n _{tal que el} elementoaij es la derivadaj−´esima de la componente i−´esima de

F,aij = ∂Fi ∂xj . DF =     

∂F1/∂x1 ∂F1/∂x2 · · · ∂F1/∂xn ∂F2/∂x1 ∂F2/∂x2 · · · ∂F2/∂xn

..

. ... . .. ...

∂Fm/∂x1 ∂Fm/∂x2 · · · ∂Fm/∂xn



(38)

Matriz derivada

F,aij = ∂Fi ∂xj . DF =     

∂F1/∂x1 ∂F1/∂x2 · · · ∂F1/∂xn ∂F2/∂x1 ∂F2/∂x2 · · · ∂F2/∂xn

..

. ... . .. ...

∂Fm/∂x1 ∂Fm/∂x2 · · · ∂Fm/∂xn



(39)

Matriz derivada

F,aij = ∂Fi ∂xj .

Sim= 1 la matriz se reduce a un vector, de n coordenadas, llamado tambi´en gradiente.

(40)

Trayectorias

UnatrayectoriaenRn es una aplicaci´on c : [a,b]−→Rn. Si

n= 2 es una trayectoria en el plano, y sin = 3 es una trayectoria en el espacio. Llamamoscurvaa la imagen de c enRn.

Sic(t) = (x1(t), . . . ,xn(t)), definimos la velocidadde c como

c0(t) = (x₁0(t), . . . ,x_n0(t)), y laaceleraci´on dec como

(41)

Trayectorias

UnatrayectoriaenRn es una aplicaci´on c : [a,b]−→Rn. Si

n= 2 es una trayectoria en el plano, y sin = 3 es una trayectoria en el espacio. Llamamoscurvaa la imagen de c enRn.

Sic(t) = (x1(t), . . . ,xn(t)), definimos la velocidadde c como

c0(t) = (x₁0(t), . . . ,x_n0(t)), y laaceleraci´on dec como

(42)

Coordenadas cil´ındricas

x =rcosθ, y =rsenθ, z =z,

r ≥0, θ∈[0,2π), z ∈_R.

(coordenadas polares en las variablesx e y, mientras la variablez

(43)

Coordenadas esf´ericas

x =ρcosθsenφ, y =ρsenθsenφ, z =ρcosφ, ρ≥0, θ∈[0,2π), φ∈[0, π].

(coordenadas polaresr yθ en las variablesx e y, conr =ρsenφ,

(44)

Coordenadas esf´ericas

Otras coordenadas esf´ericas

Si el ´angulo vertical se mide desde el plano horizontal, las coordenadas esf´ericas son

x =ρcosθcosφ, y =ρsenθ cosφ, z =ρsenφ, ρ≥0, θ∈[0,2π), φ∈[−π/2, π/2].

(45)

Derivadas de orden superior

Para una funci´onF :Rn−→R, escribimos

∂2F

∂xi∂xj

= ∂

∂xi

∂F

∂xj

∂2F

∂x2

i

= ∂

∂xi

∂F

∂xi

Teorema

Para una funci´on con derivadas segundas continuas, las derivadas segundas cruzadas son iguales. Es decir _∂∂_x2F

i∂xj =

∂2_F

(46)

Derivadas de orden superior

Para una funci´onF :Rn−→R, escribimos

∂2F

∂xi∂xj

= ∂

∂xi

∂F

∂xj

∂2F

∂x2

i

= ∂

∂xi

∂F

∂xi

Teorema

Para una funci´on con derivadas segundas continuas, las derivadas segundas cruzadas son iguales. Es decir _∂x∂2F

i∂xj =

∂2_F

(47)

Operadores diferenciales

Definimos la divergenciade F :Rn−→Rn (es decir,

F = (F1,F2, . . . ,Fn)) como

divF =∇ ·F = ∂F1 ∂x1 +

∂F2

∂x2 +· · ·+

∂Fn ∂xn .

(48)

Definimos el rotacional deF :R3 −→R3 (es decir,

F = (F1,F2,F3)) como

rotF =∇ ×F = det



   

i j k

∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z F1 F2 F3



   

=∂F3 ∂y −

∂F2

∂z ,

∂F1

∂z −

∂F3

∂x ,

∂F2

∂x −

∂F1

∂y

(49)

Definimos la matriz hessianadeF :Rn−→Rcomo la matriz

de derivadas segundas (sim´etrica, si ´estas son continuas)

HF =           

∂2F

∂x₁2

∂2F

∂x1∂x2

· · · ∂ 2_F

∂x1∂xn ∂2F

∂x2∂x1

∂2F

∂x₂2 · · ·

∂2F

∂x2∂xn ..

. ... . .. ...

∂2F

∂xn∂x1

∂2F

∂xn∂x2

· · · ∂ 2_F

∂x2

(50)

Definimos el laplacianodeF :Rn−→R como

∆F = div gradF =∇2_F ₌ ∂2F

∂x₁2 +

∂2F

∂x₂2 +· · ·+

∂2F

∂x2

n .

(51)

Regla de la cadena

Teorema (Regla de la cadena)

Seanf : Rn−→Rm yg : Rm−→Rk, y sea x0 ∈Rn. Sif es

diferenciable enx0 yg es diferenciable enf(x0), entonces la composici´on (g◦f) es diferenciable enx0, y

D g ◦f(x0) = (Dg)(f(x0))·Df(x0).

Ejemplo 1. Sig :R−→R3,f :R3−→R, podemos escribir

g(t) = (x(t),y(t),z(t)). Si definimos h:R−→Rpor

h(t) =f(g(t)), entonces

(52)

Regla de la cadena

Teorema (Regla de la cadena)

Seanf : Rn−→Rm yg : Rm−→Rk, y sea x0 ∈Rn. Sif es

diferenciable enx0 yg es diferenciable enf(x0), entonces la composici´on (g◦f) es diferenciable enx0, y

D g ◦f(x0) = (Dg)(f(x0))·Df(x0).

Ejemplo 1. Sig :R−→R3,f :R3−→R, podemos escribir

g(t) = (x(t),y(t),z(t)). Si definimos h:R−→Rpor

h(t) =f(g(t)), entonces

(53)

Regla de la cadena

Ejemplo 2. Sig :R3 −→R3,f :R3 −→R, podemos escribir

g(x,y,z) = (u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)).

Si definimosh :R3−→R por

h(x,y,z) =f(g(x,y,z)) =f(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)), entonces

∂h

∂x =

∂f

∂u

∂x +

∂f

∂v

∂x +

∂f

∂w

∂x ,

∂h

∂y =

∂f

∂u

∂y +

∂f

∂v

∂y +

∂f

∂w

∂y ,

∂h

∂z =

∂f

∂u

∂z +

∂f

∂v

∂z +

∂f

∂w

(54)

Derivadas direccionales

Sea x0 ∈Rn,v∈Rn yf : Rn −→R. Laderivada

direccional def enx0 a lo largo del vectorv se define como

d

dtf(x0+tv)

t=0= limt→0

f(x0+tv)−f(x0)

t .

Habitualmente se elige el vectorv unitario (con norma 1). En este caso se habla de laderivada direccional def en x0 en la

(55)

Teorema

Seanx0∈Rn yf : Rn−→R. Sif es diferenciable enx0 entonces

existen todas las derivadas direccionales def enx0. Adem´as, la derivada direccional def enx0 en la direcci´onv es

(56)

Teorema

Seanx0∈Rn yf : Rn−→R. Sif es diferenciable enx0 y

∇f(x0)6= 0, entonces ∇f(x0) es perpendicular al conjunto de nivel

def de valorf(x0).

Teorema

(57)

Teorema

∇f(x0)6= 0, entonces ∇f(x0) es perpendicular al conjunto de nivel

def de valorf(x0).

Teorema

Seanx0∈Rn yf : Rn−→R. Sif es diferenciable enx0 y ∇f(x0)6= 0, entonces∇f(x0) es la dirección en la que la derivada direccional enx0 def es máxima y −∇f(x0) es la dirección en la que la derivada direccional enx0 def es m´ınima (f crece más