Categorías y combinatoria racional

(1)

Pontificia Universidad Javeriana.

Facultad de Ciencias.

Departamento de Matem´aticas.

Categor´ıas y Combinatoria Racional

Juan Sebasti´an Castro Rodr´ıguez

Directora: Eddy Parigu´an

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´Indice general

1. Categor´ıas 13

1.1. Definici´on de categor´ıas. . . 13

1.2. Definici´on de subcategor´ıas. . . 21

1.3. Functores. . . 26

2. Categorizaci´on 37 2.1. Categor´ıas monoidales . . . 37

2.2. Categor´ıas sim´etricas monoidales . . . 51

2.3. Categorizaci´on . . . 59

3. Combinatoria Racional 63 3.1. Especies . . . 63

3.2. Construcci´on expl´ıcita de especies . . . 66

3.3. Series asociadas a una especieF. . . 67

3.4. Operaciones con series y especies . . . 70

3.5. Especies Conmutativas C-valuadas . . . 75

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Agradecimientos

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Rese˜

na historica

Fue en el año de 1945 cuando Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane, mientras hac´ıan una investigación en topolog´ıa algebraica donde buscaban la transición de la homolog´ıa que es un concepto geométrico intuitivo a la teor´ıa de la homolog´ıa una materia axiomáti-ca. En este encontraron las relaciones que hay entre conjuntos, es decir, la idea de clarifi-car ciertas transformaciones naturales en topolog´ıa algebraica fue lo que llevo a definir los functores y las categor´ıas. Estos resultados los publicaron por primera vez en su trabajo “General theory of natural equivalences”[18], donde se mencionan por primera vez termi-nos como categor´ıa, functor y además son definidos formalmente. Gracias a este trabajo es que se les adjudica a Eilenberg y a Mac Lane ser los padres de la teor´ıa de categor´ıas, aunque existen reclamos de la escuela polaca de los años 30 porque ellos insisten que ten´ıan ideas muy similares.

Entre 1950 y 1960 esta nueva teor´ıa se dió a conocer en el medio matemático y fue aplicada en álgebra homológica y en geometr´ıa algebraica; ahora es usada en diversas ramas de la matemática, la f´ısica y la filosof´ıa. Gracias a esta nueva teor´ıa, se pudo unificar inicialmente el álgebra [35] y posteriormente se unificó de alguna manera, las matemáticas que estaban muy dispersas hasta ese momento, ya que no hab´ıa nada que relacionara los conceptos matemáticos en general. Por eso este es uno de los grandes logros de esta teor´ıa ya que en terminos de esta se puede expresar la matemática en general.

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categor´ıas como John C. Baéz [3, 4, 5, 6] que está a la vanguardia de la categorización, esto se ve reflejado en su gran cantidad de art´ıculos de los cuales se van a tomar algunos como referencia para la elaboración de este proyecto. De la misma manera hay filósofos como Alain Badiou en Francia [2] o Corfield [10, 11] en Inglaterra que se han visto obligados a poner sus “indagaciones”bajo las condiciones de la matemática contemporánea. Una idea sobre lo que está pasando se ve evidenciado en algunos libros de texto clásicos en el mundo anglosajón: el “abstract algebra”de Birkhoff- Mac Lane que después pasa a ser el mismo “abstract algebra”[35] pero de Mac Lane-Birkhoff.

Una de las aplicaciones de la teor´ıa de categor´ıas es la “categorización”, este termino fue introducido por Louis Crane en [13, 15], la categorización ha sido trabajada por varios matemáticos y cada uno de estos con un proceso distinto, los matemáticos expertos en el tema son John Baez sus trabajos mas importantes en categorización son [3, 4, 5, 6], “Louis Crane”, [12, 13, 14, 15, 16] y el último matemático destacado en el tema es Rafael Diaz [9, 17] del cual vamos a tomar sus ideas y las desarrollaremos en este proyecto.

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varias leyes como la conmutatividad, la asociatividad y la distributiva, la unión disjunta y el producto cartesiano satisfacen estas leyes sólo con los isomorfismos. Resumiendo, al decategorizar la categor´ıa de los conjuntos finitos, fue inventado el conjunto de los números naturales.

Teor´ıa de conjuntos Teor´ıa de categor´ıas elementos objetos

ecuaciones entre elementos isomorfismos entre objetos conjuntos categor´ıas

funciones functores

ecuaciones entre funciones isomorfismos entre functores

As´ı como los conjuntos tienen elementos, las categor´ıas tienen objetos, as´ı como hay funciones entre conjuntos, hay functores entre categor´ıas. De modo interesante, el análogo apropiado de una ecuación entre elementos no es una ecuación entre objetos, pero si un isomorfismo. En general, el análogo de una ecuación entre funciones es un isomorfismo natural entre functores.

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Introducci´

on

La matemática como ciencia estuvo muy dispersa desde sus inicios. No se pod´ıa rela-cionar fácilmente las distintas áreas de esta, sin embargo gracias a Mac Lane y Eilenberg que desarrollaron la “teor´ıa de categor´ıas” [33] en el año de 1945, ya se pueden buscar relaciones entre ellas. Actualmente con las categor´ıas se puede relacionar de forma abs-tracta la mayor´ıa de las ideas matemáticas. En este trabajo nos concentraremos en la parte algebraica de las categor´ıas.

En la elaboración de este proyecto inicialmente se introducen los conceptos básicos de la teor´ıa de categor´ıas tales como categor´ıa, morfismo, functor, transformación natural, entre otros, los cuales serán explicados con detalle y también se darán ejemplos de estos entes matemáticos para un mejor entendimiento del lector.

En el proyecto se introducen varias definiciones, pero unas de las más importantes son las de trasformación natural y grupoide ya que muchas ideas giran en torno a estas. A continuación se define transformación natural y se presenta un ejemplo. Se hará lo mismo con grupoide.

Definici´on 1. Dados dos functores S, T :C → D, una transformaci´on natural

τ :S →T, es una aplicaci´on que asigna a cada objeto A∈ob(C) un morfismo

τA : S(A) → T(A) en D, de modo tal que todo morfismo f : A → B se le asocia el

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A

f

B

S(A) τA _/

/

S(f)

T(A)

T(f)

S(B) τB

/

/_T₍_B₎

Ejemplo 2. En un grupoG, el subgrupo generado por los elementos de la formaaba−1_b−1

(llamado el conmutador de a con b) se llama el subgrupo conmutador o subgrupo

derivado de G y se simboliza con [G, G]. Esto significa que si x ∈ [G, G], entonces se escribe como una combinaci´on de conmutadores.

x=a1b1a−11b−11a2b2a2−1b−21...anbna−n1b−n1.

Se puede ver que [G, G] es un subgrupo normal de G yG/[G, G] es abeliano. La cons-trucci´on G/[G, G] recibe el nombre deabelianizaci´on de G.

En la categor´ıa Group de los grupos, existe una transformaci´on natural del functor

identidad en el functor “abelianizador”, este asigna a todo grupoGla “proyecci´on natural”

G→G/[G, G].

Definici´on 3. Un grupoide G es una categor´ıa en la cual todos los morfismos son

in-vertibles. Denotaremos Gpd a la subcategor´ıa total de cat cuyos objetos son grupoides.

Ejemplo 4. Toda categor´ıa C tiene impl´ıcito un grupoide, cuyos objetos son los mismos de C y sus morfismos son los mismos isomorfismos de C.

Ya teniendo claros estos conceptos se puede trabajar con herramientas más fuertes como las categor´ıas monoidales, el axioma de asociatividad también conocido como el pentágono de Mac Lane, categor´ıas simétricas monoidales, las cuales van a ser funda-mentales en el desarrollo de este proyecto cuyo objetivo es mostrar la importancia de la categorización, mostar algunos ejemplos donde se presente claramente este proceso y mostrar algunas de sus las aplicaciones.

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ecuaciones entre funciones por isomorfismos entre functores, y adem´as deben satisfacer las ciertas ecuaciones propias llamadas “leyes de coherencia”

Por ejemplo en la categor´ıa de conjuntos finitosSet, cuyos objetos son conjuntos finitos y los morfismos son las funciones entre estos conjuntos, es una categorizaci´on del conjunto

Nde los números naturales. La unión disjunta y el producto cartesiano de conjuntos finitos corresponde a la suma y el producto enN, respectivamente. Note que mientras la adición y la multiplicación en N satisfacen varias leyes como la conmutatividad, asociatividad y la distributividad, la unión disjunta y el producto cartesiano satisfacen estas leyes solo para isomorfismos [4].

En general nos vamos a concentrar en la categorización de conjuntos que tengan una estructura algebraica o geométrica, por ejemplo se va a determinar cual es el análogo categórico de un anillo.

Definición 5. Una categorización de un anillo R es una tripleta (C,N,| |), donde C es una categor´ıa simétrica monoidal, N : C → C es un functor, llamado functor negativo y

| |: ob(C)→R es una aplicación, llamada valuación de ob(C)sobre R. Estos datos están sujetos a los siguientes axiomas:

1. La categor´ıa C es una categor´ıa distributiva, es decir, C esta dotada de bifunctores

⊕ : C × C → C y ⊗ : C × C → C, llamados suma y producto respectivamente. Los functores ⊕ y⊗ cumplen:

a) Se distinguen los objetos 0 y 1 en C.

b) La tripleta (C,⊕,0) es una categor´ıa sim´etrica monoidal con unidad 0.

c) La tripleta (C,⊗,1) es una categor´ıa monoidal con unidad 1.

d) Se satisface la ley distributiva. Sean x, y, z ∈ ob(C), existe un isomorfismo natutal

(10)

En [24, 25] los trabajos de Laplaza, se encuentra la definici´on completa, incluyendo

los teoremas de coherencia de categor´ıas con dos estructuras monoidales que satisface

la propiedad distributiva.

2. El functor N : C → C se debe definir tal que para x, y ∈ ob(C) las siguientes identidades se satisfacen:

a) N(x⊕y) =N(x)⊕N(y).

b) N(0) = 0, y N2 es el functor identidad.

3. La aplicaci´on | |:C →R esta definido de modo que si x, y ∈ob(C) entonces:

a) |x|=|y| six e y son isomorfos.

b) |x⊕y|=|x|+|y|, |x⊗y|=|x||y|, |1|= 1, y |0|= 0.

c) |N(x)|=−|x|.

A continuación se presentan algunos ejemplos de categorización que serán explicados en detalle en el proyecto. Estos ejemplos de encuentran en [17].

Ejemplo 6. Sea Set la categor´ıa de conjuntos finitos cuyas aplicaci´ones son morfismos.

La estructura distributiva en Set esta dado por la union disjunta x ⊔ y y el producto Cartesiano x × y. La aplicaci´on | |: ob(B)→N manda a cadaxen su cardinal|x|define una valuaci´on en Set.

Ejemplo 7. Sea Vect la categor´ıa de los espacios vectoriales de dimensi´on finita. Esta

es una categor´ıa distributiva con ⊕ y⊗ definidos como las suma directa y el producto tensorial de espacios vectoriales. La aplicaci´on| | : ob(Vect)→N dado por|V|=dim(V)

define una valuaci´on en Vect.

Ejemplo 8. Sea Z2-Vect la categor´ıa de los espacios vectoriales Z2-graduados de

dimen-si´on finita. Sean V, W ∈ Z₂-Vect dados por V = V0 ⊕V1 y W = W0 ⊕W1. La suma

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y por V ⊗W = [(V0 ⊗ W0) ⊕(V1 ⊗ W1)]⊕ [(V0 ⊗W1)⊕(V1 ⊗W0)] respectivamente.

La aplicaci´on | | : ob(Z2-Vect) → Z dado por |V0 ⊕V1| = dim(V0)-dim(V1) define una

valuaci´on en Z2-Vect.

Ejemplo 9. Sea gpd la categor´ıa de grupoides finitos. Recuerde que los grupoides

fini-tos forman una categor´ıa donde los objefini-tos de gpd forman un conjunto finito es decir,

gpd(x, y) es un conjunto finito para todo x, y ∈gpd, y todos los morfismos en gpd son invertibles. La suma y producto de functores en gpd son la uni´on disjunta y producto

cartesiano de categor´ıas respectivamente. La aplicaci´on de valuaci´on | | : ob(gpd) → Q

est´a dado por:

|G|:=X

x∈G

1 |G(x, x)|

donde G = Ob(G)/IsoG. Entonces G es el conjunto de clases de isomorfismos de los objetos de G.

Ya teniendo claro el concepto de categorización y que proceso se hace para llevar a cabo esta, es pertinente definir su proceso inverso la “decategorización”. La decategorización es hacer lo contrario que en la categorización, en este proceso se cambian las categor´ıas por conjuntos y los isomorfimsos se reemplazan por ecuaciones.

La decategorización es un proceso que destruye la información sobre el contexto que se conoce. La categorización, puede ser una alternativa para recuperar esta información perdida, pero inevitablemente al llevar a cabo este proceso se pueden encontrar algunas dificultades. Una causa de dificultades puede ser cuando se este haciendo el proceso de categorizar, simplemente no se pueden sustituir ecuaciones por isomorfismos. También se exige que estos isomorfismos cumplas con las “leyes de coherencia” que no siempre se pueden obtener trivialmente, y en la búsqueda del cumplimiento de estas leyes puede estar definido el proceso de categorización.

(12)

Finalmente llegamos al problema central de este proyecto: encontrar una categoriza-ción de Q, el anillo de números racionales. En los primeros cap´ıtulos del proyecto nos concentramos en el problema del categorización deQ>0, para esto se hará uso de la teor´ıa

de especies que fue introducida en los aos 80’s, por A. Joyal, el cual desarrolló la teor´ıa de “especies combinatorias” como una forma de sistematizar la conexión entre las operaciones sobre estructuras combinatorias y las operaciones anal´ıticas sobre funciones generatrices, estas ideas fueron plasmadas originalmente en “Une théorie combinatoire des séries for-melles” [22], actualmente Francois Bergeron es la persona que más trabaja en especies, se tomarán las ideas de especies de “Combinatorial species and tree like-estructures” [7]. Con la teor´ıa de especies la suma, producto, composición, derivación, etc, de funciones anal´ıti-cas se interpretan como “sombras” de ciertas operaciones sobre objetos combinatorios con estructuras más ricas, la teor´ıa de especies ofrece una interpretación combinatoria de las funciones generatrices y de las operaciones entre ellas. La teor´ıa de especies ha surgido como una teor´ıa útil para explicar técnicas algebráicas y darle sentido a éstas en el ámbito de la combinatoria.

Definici´on 10. Una especie de estructuras es una regla F tal que produce:

1. Para cada conjunto finito U, un conjunto finito F[U].

2. Para cada biyecci´on σ : U → V, una biyecci´on F[σ] : F[U] → F[V], donde F[σ]

satisface las siguientes propiedades functoriales:

a) Para cada biyecci´onσ :U →V y τ :V →W, F[τ ◦σ] =F[τ]◦F[σ].

b) Dada idU :U →U se tiene F[idU] =idF[U].

(13)

Cap´ıtulo 1

Categor´ıas

El objetivo de este cap´ıtulo es dar las definiciones b´asicas que usaremos de teor´ıa de categor´ıas para familiarizarnos con ellas, mostrar algunos ejemplos de estas definiciones para as´ı lograr un buen entendimiento de las siguientes partes del proyecto.

1.1. Definici´

on de categor´ıas.

Definici´on 11. Una categor´ıa C consiste en lo siguiente:

1. La clase |C| de objetos A, B, C que denotaremos ob(C) .

2. Para cada par de objetos A, B ∈ ob(C) (se permite vac´ıo), se tiene el conjunto

C(A, B) llamado el conjunto de morfismos de A a B en la categor´ıa C.

3. Para cada tripleta ordenada (A, B, C)∈ob(C) la aplicaci´on

C(B, C)× C(A, B)→ C(A, C)

(14)

Si f ∈ C(A, B) usualmente es indicado por f : A → B, donde A es el dominio y

B el codominio de f.

La composición asigna a cada par de morfismos f ∈ C(A, B) , g ∈ C(B, C) donde dom(g)=cod (f) la aplicación g◦f, donde g◦f: dom(f)→ cod(g). Está operación puede ser expresada en el siguiente diagrama.

A g◦f //

f

@ @ @ @ @ @

@ C

B

g

?

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Sig ∈ C(B, C), f ∈ C(A, B) entonces la imagen de la pareja (g, f) es designada por gf, ocasionalmente escrita g◦f. Estos datos est´an sujetos a los siguientes axiomas:

1. Los conjuntos C(A, B) son disjuntos dos a dos.

2. Asociatividad de la composici´on. Sihg y gf est´an ambas definidas, entonces:

(hg)f =h(gf)

y como las operaciones son cerradas, entonces los par´entesis no son necesarios.

3. Identidad.

Para cada B ∈ob(C), existe un morfismo identidad 1B ∈ C(B, B) tal que

1Bf =f, g1B =g

siempre y cuando el lado izquierdo de las igualdades este bi´en definido.

(15)

1. Todo conjunto es una clase, pero su inversa no.

2. Otras notaciones usadas para C(A, B) son [A, B]C, Hom(A, B), M or(A, B), BA.

3. La clase de todos los morfismos de C se denota como Mor(C), est´a definida como

Mor C = S

(A,B)∈ ob(C)×ob(C)

C(A, B).

4. Para una pareja (f, g) de morfismos .Dos morfismos pueden ser compuestos si y solo si el dominio de f y el codominio de g coinciden y la composici´on de

A f //_B g //_C

es denotada por:

A g◦f //_C.

5. El morfismo identidad 1A est´a univocamente determinado por el objeto A.

Sean 1A y 1

′

A, morfismos identidad de A por el axioma 2 de la definici´on 11

1A= 1A◦1

′

A= 1

′

A. La inversa deA es determinada por 1A porque los conjuntos de

morfismos son conjuntos disjuntos.

6. Un morfismo para el cual el dominio y el codominio son el mismo objeto, es decir C(A, A) se llama endomorfismo, note que 1A∈ C(A, A) es un endomorfismo.

Ejemplo 12. Sean A, B y C conjuntos que estan definidos as´ı:

A={Daniel, Phillip, Juliana, George, Carolina}

B ={Bogot´a, Madrid, Paris, Los Angeles, Quito}

C ={Colombia, Francia, Per´u, USA, Ecuador, Espa˜na}

f y g morfismos tales que:

Sea f un morfismo tal que asigna a cada persona deA su ciudad de nacimiento en B,

(16)

f(Daniel) =Bogot´a f(P hillip) =Paris

f(Juliana) =Lima f(George) =Los Angeles

[image:16.612.178.413.89.357.2]

f(Carolina) =Quito

Figura 1.1: Morfismo f.

Sea g un morfismo tal que asigna a cada ciudad su respectivo pa´ıs en C, as´ı tememos

g :B →C, donde:

g(Bogot´a) =Colombia g(P aris) =Francia

g(Lima) =Per´u g(LosAngeles) =U.S.A

[image:16.612.211.386.176.355.2]

g(Quito) =Ecuador g(M adrid) =Espa˜na

(17)

Por lo tanto podemos definir g ◦f : A → C, que cada persona (elemento de A) le asigna su pa´ıs de nacimiento (elemento de C). Tenemos que:

g◦f(Daniel) =Colombia g◦f(P hillip) =Francia

g◦f(Juliana) =Per´u g◦f(George) =U.S.A

[image:17.612.150.449.150.413.2]

g◦f(Carolina) =Ecuador

Figura 1.3: Morfismos f y g.

As´ı como el codominio de f es el dominio de g, podemos componer las dos funciones.

[image:17.612.211.386.467.640.2]

(18)

Definici´on 13. Un morfismo f : X →Y se dice que es un epimorfismo, si para todo objeto Z y todo par de morfismos h, g :Y →Z se cumple:

g◦f =h◦f ⇒g =h

En otras palabras, f es un epimorfismo si es cancelable a derecha. El morfismos f

se dice monomorfismo si es cancelable a izquierda. Finalmente, se dice que f es un

bimorfismo si es epimorfismo y monomorfismo simult´aneamente.

De las definiciones anteriores se tiene lo siguiente:

1. La composici´on de monomorfismos es un monomorfismo. Sig◦f es un monomorfismo entonces f es un monomorfismo.

2. La composici´on de epimorfismos es un epimorfismo. Si g ◦f es un epimorfismo entonces g es un epimorfismo.

3. El morfismo identidad es un bimorfismo.

Definición 14. Un par (A,∗)donde A es un conjunto no vac´ıo dotado de una operación o ley de composición interna ∗, cerrada en A se denomina monoide

Observe que:

1. (N,+), (Z,+), (Q,+), son monoides.

2. (N,−), no es un monoide porque la sustracci´on no es cerrada en N.

A continuación se daran algunos ejemplos de categor´ıas las cuales son las mas impor-tantes y conocidas, donde los morfismos son aplicaciones y la composición está definida de la forma usual.

(19)

2. FinSet: Los objetos son conjuntos finitos y los morfismos son las funciones entre estos conjuntos.

3. Set: Los objetos son conjuntos y los morfismos son las funciones.

4. Setn = (Set×· · ·×Set) : Los objetos son parejas (x, f) dondexes un conjunto finito yf :x7→ {1,· · · , n}es una aplicaci´on y los morfismos van de (x, f) a (y, g) son

apli-cacionesα :x7→y tal que g◦f =α. Tambien se puede definir Setn as´ı, los objetos son n-uplas (x1, .., xn) de conjuntos finitos. Los morfismos van de (x1,· · · , xn) a (y1,· · · , yn)

esto nos da origen a unan − upla de aplicaciones (α1,· · · , αn) tal queαi : xi 7→

yi para 1≤i≤n.

5. B: Los objetos son conjuntos finitos y los morfismos son las funciones biyectivas entre estos.

6. Cat: Los objetos son todas la peque˜nas categor´ıas y los morfismos son todos los functores.

7. VectK: Los objetos son los espacios vectoriales sobre el cuerpo K y los morfismos son las transformaciones lineales.

8. Mon: Los objetos son todos los monoides y los morfimos son aplicaciones entre ellos. Por ejemplo:

Todo semigrupo (M,•) con elemento neutro,e, da or´ıgen a una categor´ıa (M,•, e) = (O, hom,1, o), solo con un objeto, como sigue:

O ={M}, hom(M, M) = M, 1M =e, y•x=x•y.

9. Group: Los objetos son grupos y los morfismos son homomorfismos de grupos.

10. Ab: Los objetos son grupos abelianos y los morfismos son homomorfismos entre ellos.

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12. CRing: Los objetos son anillos conmutativos y los morfismos homomorfismos entre ellos.

13. Top: Los objetos son espacios topol´ogicos y los morfismos son aplicaciones cont´ınuas.

14. HTop: Los objetos son espacios topol´ogicos y los morfismos son clases de homotop´ıa.

15. Top∗: Los objetos son espacios topol´ogicos no vac´ıos especificando sus puntos base

y los morfismos son aplicaciones cont´ınuas que preservan los puntos base.

16. Rel: La categor´ıa de los conjuntos y relaciones. Los objetos son conjuntos, los mor-fismos de A a B son los subconjuntos de A× B. Con la composici´on usual de relaciones. Por ejemplo:

si f ⊂A×B, g⊂B ×C, entonces

gf = (a, c) : existe b ∈B tal que (a, b)∈f,(b, c)∈g

similarmente para grupos: Las relaciones multiplicativas de A a B son subgrupos del producto directoA×B.

Evidentemente esta lista se podr´ıa hacer mas larga, y que cada categor´ıa lleva en s´ı su propia noci´on de morfismo inversible y de objetos equivalentes. Por ejemplo en Top los morfismos inversibles son los homeomorfismos, enGroup,Aby VectK los isomorfismos.

En cada categor´ıa debe tenerse un criterio de igualdad de objetos y morfismos. As´ı, en las categor´ıas descritas anteriormente la igualdad de objetos est´a caracterizada por la igualdad de conjuntos y la igualdad de operaciones definidas entre ellos. La igualdad de morfismos se define mediante la igualdad de funciones. N´otese que por medio del anillo producto ZN

y Z[[x]] son objetos iguales en la categor´ıaRing.

Definici´on 15. Una categor´ıa con exactamente un objeto se llama monoide.

Proposici´on 16. La composici´on de dos morfismos fn◦fm es el morfismos que da en un

(21)

Demostraci´on. (fn◦fm)(x) =fn(fm(x)) =n×(m×x) = (n×m)×x= (nm)×x=fnm(x)

As´ı podemos concluir que fn◦fm =fnm(x).

Ejemplo 17. Sea

fn: N → N

x 7→ fn(x) =nx

De modo que f3(x) = 3x, f5(x) = 5x y as´ı sucesivamente.

Observe que la identidad es f1(x) = 1N.

Observe que todos los morfismos en la categor´ıa de los monoides son endomorfismos (de este ´unico objeto). Sin embargo puede haber muchos morfismos en esta categor´ıa.

1.2. Definici´

on de subcategor´ıas.

Definici´on 18. SeaC una categor´ıa,C′ _{es una subcategor´ıa de}_C _{si satisface las siguientes}

condiciones:

1. ob(C′₎_⊂_ob(C₎_.

2. C′₍_{A, B}₎ _{⊂ C(}_{A, B}₎_.

3. La composici´on de morfismos en C′ _{esta inducida por la composici´on de morfismos} en C.

4. El morfismo identidad en C′ _{es el morfismo identidad en} _C_.

Una subcategor´ıa C′ _{es llamada} _total _{si para cada dos elementos} _A _y _B _en _C′ _todos los C-morfismos de A a B tambi´en pertenecen a C es decir, C(A, B) = C′₍_{A, B}₎_.

Una subcategor´ıa total esta completamente determinada por sus objetos, los cuales pueden

(22)

A continuaci´on daremos algunos ejemplos de subcategor´ıas de las categor´ıas que ya mencionamos, diciendo cuales son sus objetos y sus respectivos morfismos.

1. Los grupos conmutativos Ab determ´ınan una subcategor´ıa total de la categor´ıa de todos los grupos Group.

Como los grupos conmutativos son una subclase de todos los grupos y los morfismos son aquellos que relacionan los grupos conmutativos entre ellos.

2. Los anillos conmutativos CRing forman una subcategor´ıa de los anillosRing. Por la misma razon que Ab es una subcategor´ıa de Group.

3. Al restringir los objetos de los espacios topol´ogicos y adicionarle ciertas propieda-des como compacidad, conexidad, que sea de Hausdorff, etc, se puede obtener una subcategor´ıa total deTop.

4. HTop es una subcategor´ıa de Top. Puesto que en HTop y en Top los objetos son espacios topol´ogicos, pero en HTop los morfismos son clases de homotop´ıa , aplicaciones continuas.

5. Uno obtiene subcategor´ıas de C si se toma un elemento A ∈ (C) y permite como morfismos

a) Solo a 1A.

b) Todos los automorfismos deA.

c) Todos los endomorfismos deA.

6. Sea f :A →B un morfismo en C tal que A6=B. Entonces A y B son los objetos y 1A, 1B y f son los morfismos de una subcategor´ıa de C.

Definici´on 19. Un morfismo f :A → B es llamado isomorfismo si existe g :B →A

tal que gf = 1A y f g = 1B. Como gf = 1A, f g

′

= 1B esto implica g =g

′

; As´ıg es ´unico

(23)

Se dice que A y B son isomorfos si existe un isomorfismo f :A →B.

Si un endomorfismo es tambi´en un isomorfismo se llama automorfismo.

Observe que:

1. La composici´on e inversos de isomorfismos tambi´en son isomorfismos.

2. Los automorfismos de un objeto forman un grupo bajo la composici´on.

Proposici´on 20. Si f tiene inverso, entonces se satisface las dos leyes de cancelaci´on:

1. si f◦h = f ◦g, entonces h=g.

2. si h◦f = g◦f, entonces h=g.

Demostraci´on. Supongamos quef tiene inverso, luego

1. f◦h=f ◦g

f−1_◦₍_f _◦_h_{) =}_f−1_◦₍_f_◦_g₎

(f−1_◦_f₎_◦_h_{= (}_f−1_◦_f₎_◦_g

1A◦h= 1A◦g

h=g.

2. h◦f =g◦f

(h◦f)◦f−1 _{= (}_g_◦_f₎_◦_f−1₎

h◦f(◦f−1_{) =}_g_◦₍_f _◦_f−1₎

h◦1A=g◦1A

h=g.

(24)

Proposici´on 21. Si hay un isomorfismo A → B, entonces hay el mismo n´umero de

isomorfismos que de automorfismos de A.

Demostraci´on. Si Aut(A) denota el conjunto de todos los automorfismos deAe Iso(A, B) denota el conjunto de todos los isomorfismos de A a B, entonces por definicion s´olo necesitamos construir un isomorfismo entre estos dos conjuntos.

Sabemos que Aut(A) es siempre no vac´ıo ya que 1A es un ejemplo de un automorfismo

A→A. Sea f :A→B, un isomorfismo, considere

Aut(A) F //_Iso(_{A, B}₎

dado por F(α) =f ◦α, para cualquier automorfismoα deA.

A F(α)=f◦α /_/

α @ @ @ @ @ @ @ B A f ? ? ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

F(α) es en efecto un elemento de Iso(A, B) debido a que toda composici´on de isomorfismos es un isomorfismo, en particular f ◦α es un isomorfismo.

Para probar que F es un isomorfismo tenemos que construir un inverso

Iso(A,B) S //_Aut(A)

Para esto podemos hacer lo siguiente, usando la misma f que hab´ıamos elegido:

S(g) =f−1_◦_g

para todos los isomorfismos g ∈Iso(A,B)

A f

−1_◦_g

/ / g @ @ @ @ @ @ @ B A

f−1

? ? ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Esta f−1 _◦_g _{es un automorfismo de} _A_{. Finalmente, tenemos que demostrar que} _S _es

(25)

(F ◦S)(g) =F(S(g)) = F(f−1_◦_g_{) =}_f _◦₍_f−1_◦_g_{) = (}_f _◦_f−1₎_◦_g ₌_I_◦_g ₌_g

para todag, de tal forma que

F ◦S =IIso(A,B)

y tambi´en

(S◦F)(α) = S(F(α)) =S(f ◦α) = f−1_◦₍_f _◦_α_{) = (}_f _◦_f−1₎_◦_α

=I◦α =α

para toda α, lo cual demuestra que

S◦F =IAut(A)

Ejemplo 22. Toda identidad 1A es un ismorfismo y 1A = 1−A1

Ejemplo 23. En un monoide, considerado como categor´ıa, todo morfismo es un

isomor-fismo si y solo si el monoide es un grupo.

Definici´on 24. Un endomorfismo E se llama idempotente siE◦E =E

Proposici´on 25. Un endomorfismo puede ser al mismo tiempo un automorfismo y un

idempotente.

Demostraci´on. Obviamente 1A es ambos, pero veamos que hay mas, supongamos:

α◦α=α α◦β = 1A

β◦α= 1A

es decir, que α es idempotente y tambi´en que tiene un inverso (bilateral) β. Entonces

(26)

en otras palabras, el único automorfismo idempotente es la identidad. De la demostración vemos que el único idempotente que tiene una sección es 1A.

Ejemplo 26. Una categor´ıa es llamada discreta si todo morfismo es el morfismo

iden-tidad.

Observe que:

1. Cada clase puede ser pensada como una categor´ıa discreta.

2. Toda categor´ıa C contiene la subcategor´ıa discreta contenida en todos los objetos de

C.

1.3. Functores.

Definici´on 27. Sean C y D categor´ıas. Un functor T : C → D es una aplicaci´on de objetos y morfismos. T consiste en:

1. Una aplicaci´on que asigna a cada A∈ob(C) un objeto T(A)∈ob(D).

2. Una familia de aplicaciones

f ∈ C(A, B)→T(f)∈ D(T(A), T(B)), para todo A, B ∈ob(C).

T es llamado functor covariante si T cumple los siguientes axiomas:

1. T(1A) = 1T(A).

2. T(gf) = T(g)T(f)para todof ∈ C(A, B), g ∈ C(B, C)y para todoA, B, C ∈ob(C).

Sean C y D categor´ıas. T consiste en

(27)

2. Una familia de aplicaciones

f ∈ C(A, B)→F(f)∈ D(T(B), T(A)), para todo A, B ∈ob(C).

T es llamado functor contravariante si T cumple los siguientes axiomas:

1. T(1A) = 1T(A).

2. T(gf) = T(f)T(g)para todof ∈ C(A, B), g ∈ C(B, C)y para todoA, B, C ∈ob(C).

Un functor covariante va a ser llamando simplemente ”functor”, cuando sea un functor

contravariante se especificar´a previamente.

Propiedades de los functores.

1. Sean C, D y E categor´ıas, sean T : C → D y U : D → E functores, entonces

U T :C → E el functor resultante al componer los functores T y U, as´ı tenemos

U T(1A) =U(1T(A)) = 1U T(A)

y

U T(f g) =U(T(f)T(g)) = U T(f)U T(g)

Observe que cambia el orden de los morfismos si uno de los dos functores es contra-variante; As´ıU T es covariante si los dos functores son simultan´eamente covariantes o contravariantes. Si uno de los functores es covariante y el otro covariante, entonces

U T es contravariante.

2. Sigf está definida enC, un functorT :C → Dpreserva la identidad y la composición de morfismos; Esto implica que también conserva los isomorfismos.

3. La acci´on del functor en objetos e isomorfismos es usualmente notada por ”7→” as´ı

(28)

Observaciones

1. Dados dos functores F :C → D y G:D → E hay una composici´on evidente que da lugar al functorGF

C GF //

F

? ? ? ? ? ?

? E

D

G

?

2. Podemos decir que hay functores inversibles y categor´ıas equivalentes.

A continuaci´on mostraremos como ejemplos algunos de los functores mas importantes y algunos que se usaran en el desarrollo del presente texto.

1. Si C es una categor´ıa vac´ıa, entonces existe exactamente un functor C → D , el “functor vac´ıo”.

2. Functor identidad: IdC : C → C, es la aplicaci´on de objetos y morfismos de una

categor´ıa arbitraria C de modo identico en ella.

3. Inclusi´on de una subcategor´ıa D de C en C: Es denotado por ⊂: D → C, o, D ⊂ C

4. Fuctores constantes: Sean C y Dcategor´ıas arbitarias y seax∈ob(D). Entonces el functor constante del valor x est´a dado por T(A) = x para todo A ∈ ob(C) y

T(f) =Ix para todos los morfismos f ⊂ob(C). Este functor se denota por XC.

5. Functor de abelianizaci´on: Apartir de un grupo G se puede obtener un grupo conmutativo G1 ” abelianizando”G. Se puede considerar a G1 como el grupo

cons-truido sobre G agregando las relaciones: gh = hg, para cuales quiera g y h de G, o, de manera equivalente, por el paso al cociente G1 =G/G′ deG por el subgrupo

conmutador (o derivado) G′_{. Entonces, todo homomorfismo} _τ _:_G_→ _H _en _Group

aplica G′ _en_H′ _{y, por tanto induce un homomorfismo} _τ

1 :G1 →H1. As´ı, poniendo

(29)

Ab:Group→Group

6. Functor olvidadizo: Sean los objetos de C con una estructuta (grupos, espacios topol´ogicos, etc) y los morfismos las aplicaciones que preservan la estructura (Ho-momorfismos, funciones continuas). Los functores olvidadizos son functores que tan solo olvidan parte de la estructura de los objetos de C.

Entonces el functor olvidadizo (F orget)

a) F orget : Group → Set asigna a cada grupo G del conjunto U(G) de estos elementos (olvid´andose de la multiplicaci´on y por ende de las estructura de grupo) y asigna a cada morfismof :G→G′ _{de grupos asigna la misma}_f _pero

esta vez considerada como funci´on.

b) F orget : Ring → Ab asigna a cada anillo R un grupo abeliano aditivo y a cada morfismo f : R → R la misma función, considerandolo sólo como un morfismo con adición.

c) F orget : Top → Set todo espacio topológico tiene un conjunto base: el con-junto sobre el cual está definido, este functor simplemente deja de lado su estructura topológica.

Los functores olvidadizos juegan un papel primordial, no solamente en las formu-laciones functoriales, si no tambi´en en los desarrollos realmente elaborados de la teor´ıa de categor´ıas.

7. Composici´on de functores: Sea S : C → D y T : D → E functores, definimos el functor T S como A→T(S(A));f →T(S(f)).

Recuerde que el functor T : C → D define las aplicaciones del conjunto de los morfimos

(30)

por regla f →T(f) que produce una aplicaci´on de las clases de morfismos

T : Mor(C)→Mor(D) (1.2)

El functor puede ser considerado como una aplicaci´on T de las clases de morfismo que como las ecuaciones (1.1) y (1.2) satisface lo siguiente:

a) La aplicaci´on T manda el morfismo identidad en el morfismo identidad.

b) Si gf est´a definida en C siT(g)T(f) en D y T(gf) =T(g)T(f) es cerrado.

El insisoa) determina la acción de T sobre los objetos. La composición de functores es simplemente la composición de aplicaciones

Ahora daremos algunos ejemplos functores contravariantes

1. Todo functor constante es tambi´en un functor contravariante.

2. Cofunctor asociado a Y Sea HX : C → Set, definimos HY(X) = C(X, Y) para

todoX ∈ C; sif ∈ C(X, X′_{) entonces} _H

Y(f) :C(X′, Y)→ C(X, Y) es la aplicaci´on

HY(f)(g) = gf.

3. Sea P : Set→Set un functor contravariante definido as´ı: P(X) es la potencia del conjunto X, para todo X ∈Set. Si f :X →Y es una aplicaci´on, entonces

P(f) :P(Y)→P(X) es una aplicaci´on definida por

P(f)(Y′_{) =}_f∗₍_Y′₎_{, Y}′ _∈_P₍_Y_{) (donde} _f∗₍_Y′_{) =}_{_x_∈_X _:_F₍_x₎_∈_Y′_}).

Definici´on 28. Para cada categor´ıa C definimos la categor´ıa dual C∗ _{(tambi´en escrita}

C◦_{) asi:}

Ob(C∗_{) = Ob(C)} _y _C∗_(B_,_{A) =}_C_(A_,_B)_.

Es decir C y C∗ _{tienen los mismos objetos y excepto por la direcci´on tienen los mismos}

morfismos.

(31)

flechas e intercambien el orden de los composiciones).

Observe que C∗₍_{A, A}₎ _{tambi´en es invertible.}

Obviamente C∗∗ ₌ _C_{. Para toda categor´ıa} _C _{el functor contravariante} _{Op :} _{C → C}∗ _la aplicaci´on de objetos y morfismos de modo identico en si mismo, es decir Op(X) = X∗ _y

Op(f) = f∗ _{(note que el dominio y el codominio pueden ser intercambiados)}_{Op Op}₌_Op_.

Ejemplo 29. Si C = (M,•, e) es un monoide, considerado como categor´ıa, entonces

C∗ _{= (}_M,_◦_{, e}₎_{, donde:} _∀_{a, b} _∈_ob(C_{); a}_◦_{b = b}_•_a

Ejemplo 30. Si C es un, grupo o anillo, entoncesC∗ _{es el grupo o anillo opuesto; Si}_C _es abeliano o un anillo conmutativo, entonces C y C∗ _{son lo mismo, tambi´en toda categor´ıa}

discreta coincide con su dual.

Para evitar mal entendidos vamos a escribir:

A∗ ₌_Op₍_A₎

f∗ ₌_Op₍_f₎

Si escribimos A∗ _y _f∗ _{pensando como objetos de} _A _{o un morfismo} _f _de _C _como

perteneciendo a C∗ _entonces:

f :A→B ⇔f∗ _:_B∗ _→_A∗

(gf)∗ ₌_f∗_g∗

Note que ob(C) = ob(C∗_), _Op _: _{C → C}∗ _{es la aplicaci´on identidad, sin embargo la}

composici´on de morfismos es diferente (hay excepciones).

Definici´on 31. ElproductoC ×Dde categor´ıasC y Dque tiene como objetos las parejas ordenadas (C, D), donde C ∈ob(C) yD ∈ob(D). El conjunto de morfismos esta definido asi:

[(C, D),(C′_{, D}′_)]

(32)

(f′_{, g}′₎₍_{f, g}_{) = (}_f′_{f, g}′_g₎_.

Se puede verificar que se cumplen las siguientes propiedades:

1. 1(C,D) = (1C,1D).

2. La composici´on es asociativa.

3. (C × D)∗ ₌_C∗ _{× D}∗

Un (doblemente covariante) bifunctor es un functor cuyo dominio es el producto

de dos categor´ıas. Si T : C × D → E es un bifunctor, denotaremos a la imagen de

(C, D), o a (f, g), en E por T(C, D) o F(f, g) respectivamente. Si f, f′ _{estan definidas} en C y g, g′ _en _D_{, entonces}

T(f′_{f, g}′_g_{) =}_T₍_f′_{, g}′₎_T₍_{f, g}₎_.

Ejemplo 32. Si R : C → A y S :D → B son functores, entonces (f, g) 7→ (R(f), S(g))

determina el bifunctor R×S :C × D → A × B

Ejemplo 33. Sea T : C∗ _{× D → E} _{un bifunctor. Este asigna a cada pareja ordenada}

(C, D) de objetos C ∈ob(C), D ∈ ob(D) un objeto T(C∗_{, D}₎_{∈ E} _{y para cada pareja} or-denada (f, g) de morfismos f :C →C′ _en _C _y _g _:_D _→_D′ _en _D _{un morifismo} _T₍_f∗_{, g}_{) :}

T(C′∗_{, D}₎ _→ _T₍_C∗_{, D}′₎_{. Si definimos} _S₍_{C, D}_{) =}_T₍_C∗_{, D}₎_{, S}₍_{f, g}_{) =} _T₍_f∗_{, g}₎_{, entonces}

S es llamado un functor de dos variables que es contravariante en la primera y covariante

en la segunda; a este tipo de bifunctores lo llamaremos functor contra-co-variante.

Note que en general S no es un functor con dominio C × D,pero con otra descripci´on del bifunctor T con dominio C∗ _{× D. Si} _f′_f _{esta definido en} _C _y _g′_g _en_{D, entonces}

(33)

Primer criterio de bifunctor. Sean C, D, E categor´ıas no vac´ıas.

Para todo A ∈ob(C) definimos el functor PA :D → E, y para todo X ∈ob(D) y

defini-mos el functor

QX :C → E. si

PA(X) =QX(A) para todo A∈ob(C), X ∈ob(D), y si

PA(X) = QX(A)

QX(f)

/

PA(u)

QX(B) = PB(X) PB(u)

PA(Y) =QY(A)

QY(f)

/

/_Q_Y₍_B_{) =}_P_B₍_Y₎

es conmutativo para todo par de morfismos (f, u), donde f :A→B, f ∈ C, y

u:X →Y, y ∈ D, entonces el bifunctor T :C × D → E esta definido asi:

T(A, X) =PA(X), T(f, u) =QY(f)PA(u).

Definici´on 34. Dados dos functores S, T :C → D, una transformaci´on natural

τ :S →T, es una aplicaci´on que asigna a cada objeto A∈ob(C) un morfismo

τA : S(A) → T(A) en D, de modo tal que todo morfismo f : A → B se le asocia el

siguiente diagrama conmutativo.

A

f

S(A) τA

/

S(f)

T(A)

T(f)

B S(B) τB

/

/_T₍_B₎

Cuando esto se cumple, decimos que τc : S(c) → T(c) es natural en c. Si pensamos

(34)

A h f @ @ @ @ @ @ @ B g ~~~~ ~~~ C

S(A)

Sh τA / /

S(B)

# # G G G G G G G G

G T(A)

T(h)

T(f)

# # G G G G G G G G G

S(B) τB _/

/

S(g)

{

wwww wwww

w

T(B)

T(g)

{

wwww wwww

w

S(C) _τ_C //_T₍_C₎

Llamaremos aτA, τB, τC, · · ·, a los componentes de la transformaci´on naturalτ. Una

transformación natural también es llamadamorfismos de functores; Una trasformación naturalτ, en la cual toda componente τ(c) sea invertible en B es llamada equivalencia naturalo también isomorfismo natural; en s´ımbolos,τ :S ∼=T. En este caso el inverso (τ(c))−1 _en _B _{son los componentes del isomorfismo natural} _τ−1 _:_T _→_S_.

Notas

1. T(f)τA = τBS(f) para toda f :A →B enC. Una transformaci´on natural τ : S →

T de functores covariantesS, T :C → D es una transformaci´on natural de functores covariantes S Op, T Op :C∗ _{→ D.}

2. Si C es vacia, entonces solo existe el functor vacio C → D y este es el trivial, asi solo puede estar la transformaci´on natural vacia.

Ejemplo 35. Sea T :C × D → E un bifunctor. Para f :A→B en C yu:X →Y en D, por definici´on de bifunctor

(35)

o usando el primer criterio de bifunctor

T(A, X) T(A,u) //

T(f,X)

T(f,u)

(

R R R R R R R R R R R R

R T(A, Y)

T(f,Y)

T(B, X) T(B,U) //_T₍_{B, Y}₎

Ac´a podemos ver que f :A →B en C y u: X →Y en D induce una transformaci´on natural de functores parciales

T(f,?) :T(A,?)→T(B,?); T(?, u) :T(?, X)→T(?, Y).

En T(f,?), T(?, u) s´olo ser´an consideradas las operaciones en todos los objetos

X ∈ob(D), A∈ob(C).

Ejemplo 36. En la categor´ıa de los grupos, una transformaci´on natural del functor

identi-dad en el functor “abelianizador”. Este asigna a todo grupoGla “proyecci´on natural”G→

G/[G, G]

Definici´on 37. Un grupoide G es una categor´ıa en la cual todos los morfismos son

invertibles. Denotaremos Gpd a la subcategor´ıa total de cat cuyos objetos son grupoides.

Ejemplo 38. Toda categor´ıaC tiene impl´ıcito un grupoide, cuyos objetos son los mismos objetos de C y sus morfismos son los mismos isomorfismos de C.

Ejemplo 39. El grupoide que tiene por objetos los conjuntos finitos y sus morfismos

son las biyecciones entre los conjuntos, lo llamaremos B, observe que B es un grupoide

contenido en Set.

Ejemplo 40. Llamaremos Bn _{el grupoide cuyos objetos son las parejas} ₍_{x, f}₎_{, donde} _x

es un conjunto finito y f : x → [n] es una aplicaci´on; los morfismos en Bn _de ₍_{x, f}₎ _en

(y, g) son biyecciones α:x→y tal que g×α =f. Bn _{es un grupoide contenido en} _Setn_.

Ejemplo 41. Un grupo G puede ser considerado como el grupoide G¯ con un objeto 1 y

¯

(36)

Definici´on 42. Un grupoide G es finito su conjunto de objetos es finito, y G(x, y) es el conjunto finito de objetos x, y de G. Llamaremos gpd a la subcategor´ıa total de Gpd que tiene como objetos a los grupoides finitos.

La uni´on disjunta y el producto cartesiano se san en gpd como restricciones de sus correspondientes functores en cat. La uni´on disjunta C ⊔ D, de categor´ıas C y D, es la categor´ıa cuyos objetos ob(C) ⊔ob(D), y morfismos de x a dados por

C ⊔ D(x, y) =         

C(x, y) si (x, y)∈ob(C) D(x, y) si (x, y)∈ob(D) ∅ en otro caso.

El producto cartesiano C × D, de categor´ıas C y D, es la categoria tal que

ob(C × D) = ob(C)×ob(D)

y para (x1, y1),(x2, y2)∈ob(C × D) tenemos:

C × D((x1, y1),(x2, y2)) = C(x1, x2)× D(y1, y2)

(37)

Cap´ıtulo 2

Categorizaci´

on

El propósito de este cap´ıtulo es dar a conocer el concepto de categorización y su proceso inverso llamado la decategorización, para esto primero se tienen que introducir algunos conceptos necesarios, tales como categor´ıas monoidales, categor´ıas simétricas monoidales, y as´ı llegar la categorización de anillos en primera instancia.

2.1. Categor´ıas monoidales

Las categor´ıas monoidales fueron introducidas por Saunders Mac Lane en su libro “Categories for the working mathematician”[33] en el cap´ıtulo VII monoides.

Definici´on 43. Una categor´ıa monoidal es una categor´ıa C, junto con los siguientes

datos:

1. Un bifunctor ⊗:C × C → C. Es decir dados x1, x2, y1, y2 ∈ob(C), α∈ C(x1, y1) y

φ∈ C(x2, y2) tenemos aplicaciones.

(38)

⊗ :C(x1, y1)× C(x2, y2) → C(x1⊗x2, y1⊗y2)

(α, φ) 7→ α⊗φ.

2. Para cada terna de objetos x, y, z ∈ ob(C) tenemos un isomorfismo natural que denotaremos α(x, y, z) tal que:

α≡α(x, y, z) :x⊗(y⊗z)→(x⊗y)⊗z.

3. Un objeto distinguido 1C ∈ob(C), e isomorfismos naturales tales que ∀x∈ob(C)

γ : 1C⊗x→x y β :x⊗1C →x.

Estos datos est´an sujetos a los siguientes axiomas:

1. Axioma de asociatividad (Pent´agono de McLane). Para x, y, z, w∈ob(C) tenemos:

(αx,y,z ⊗idw)◦αx,y⊗z,w◦(idx⊗αy,z,w) = αx⊗y,z,w◦αx,y,z⊗w. (2.1)

La ecuaci´on (2.1) es equivalente a la conmutatividad del siguiente diagrama:

x⊗(y⊗(z⊗w))

idx⊗αy,z,w

u

jjjjjj jjjjjj

jjj αx,y,z⊗w

)

T T T T T T T T T T T T T T T

x⊗((y⊗z)⊗w)

αx,y⊗z,w

(x⊗y)⊗(z⊗w)

αx⊗y,z,w

(x⊗(y⊗z))⊗w _α

x,y,z⊗idw

/

(39)

2. Axiomas de unidad:

idx⊗γ = (β⊗idy)◦αx,1,y (2.2)

idx⊗β =β◦αx,y,1 (2.3)

γ = (γ⊗idy)◦α1,x,y (2.4)

x⊗(1⊗y) αx,1,y //

idx⊗γ

& & M M M M M M M M M

M (x⊗1)⊗y

β⊗idy

x

qqqq qqqq

qq

x⊗y

x⊗(y⊗1) αx,y,1 //

idx⊗β

& & M M M M M M M M M

M (x⊗y)⊗1

β x x qqqq qqqq qq

x⊗y

1⊗(x⊗y) α1,x,y /_/

γ & & M M M M M M M M M

M (1⊗x)⊗y

γ⊗idy

x

qqqq qqqq

qq

x⊗y

Si no hay lugar a confusi´on para simplificar la notaci´on denotaremos como 1 a 1C.

Proposici´on 44. La categor´ıa de los conjuntos finitos Set es una categor´ıa monoidal

con bifunctor ⊗ := × el producto cartesiano de conjuntos, y 1 := un conjunto con un elemento.

Veamos que Set es una categor´ıa monoidal. Definamos el bifunctor

(40)

Sean A, B, C, D ∈ ob(Set), α ∈ C(A,B), β ∈ C(C,D), y sean a ∈ A, b ∈ B, c ∈

C, d∈D asi:

1. a) ⊗=× Producto cartesiano de conjuntos. Es decir:

ob(Set)×ob(Set) −→ ob(Set)

A×B 7−→ A×B = (A, B).

b)

C(A, B)× C(C, D) −→ C(A×C, B×D) (α, β) 7−→ (α×β).

Donde:

α:A→B;∀a∈A ∃b∈B tal que:

a7−→α(a) =b

β:C →D;∀c∈C ∃d∈D tal que:

c7−→α(c) =d

Por lo tanto:

α×β : A×C −→ B×D

(a, c) 7−→ (α(a), β(c)) = (b, d).

2. ∀A, B, C, D ∈ob(Set) hay un isomorfismo natural α(A, B, C)

α≡α(A, B, C) :A×(B×C)→(A×B)×C.

3. Un objeto distinguido 1Set ∈ob(Set), e isomorfismos naturales

γ : 1Set×A→A β :A×1Set→A.

Donde 1Set es el conjunto cuyo ´unico elemento es el conjunto vac´ıo.

a) Busquemos una funci´on biyectiva β :A× {a} →A, donde a∈A

(41)

1) Veamos que β es inyectiva.

Tenemos que probar que β(b, a) =β(c, a)⇒(b, a) = (c, a)

β(b, a) =β(c, a)⇒b =c b× {a}=c× {a}

(b, a) = (c, a).

2) Veamos que β es sobreyectiva,

∀b ∈A→ ∃(b, a)∈A× {a}

β−1₍_b_{) = (}_{b, a}₎_, _∀_b _∈_A

⇒(b, a)∈A× {a},∀b ∈A.

As´ıβ es una funci´on biyectiva.

b) Busquemos una funci´on biyectiva γ :{a} ×A→A, donde a∈A

Sea γ(a, b) = b

La prueba sigue de manera an´aloga a la anterior.

4. Verificamos que se cumple el axioma de asociatividad (Pentagono de MacLane).

Ahora veamos la conmutatividad del diagrama

A×(B×(C×D))

idA×αB,C,D

t

iiiiii iiiiii

iiii αA,B,C×D

*

U U U U U U U U U U U U U U U U

A×((B×C)×D)

αA,B×C,D

(A×B)×(C×D)

αA×B,C,D

(A×(B×C))×D _α

A,B,C×idD

/

/₍₍_A_×_B₎_×_C₎_×_D

Lo que equivale a la ecuaci´on

(42)

5. Veamos que se cumplen los axiomas de unidad (2.2), (2.3) y (2.4)

Sean A, B ∈ob(Set), y adem´as a∈A y b ∈B.

a) (idA×γ) = (φ×idB)◦(αA,1,B)

Lo que es lo equivale a la conmutatividad del siguiente diagrama.

A×(1×B) αA,1,B //

idA×γ _'

' N N N N N N N N N N

N (A×1)×B

φ×idB

w

pppp pppp

ppp

A×B

b) (idA×φ) = (φ)◦(αA,B,1)

A×(B×1) αA,B,1 //

idA×φ _'

' N N N N N N N N N N

N (A×B)×1

φ w w pppp pppp ppp

A×B

c) γ = (γ×idB)◦(α1,A,B)

1×(A×B) α1,A,B //

γ ' ' N N N N N N N N N N

N (1×A)×B

γ×idB

w

pppp pppp

ppp

A×B

Asi Set es una categor´ıa monoidal.

Corolario 45. La categor´ıa de los conjuntos finitos y biyeciones B es una categor´ıa

(43)

Ejemplo 46. La categor´ıa de espacios topol´ogicos Topes una categor´ıa monoidal tal que

⊗ :=× el producto cartesiano de espacios topol´ogicos, y 1 := conjunto con un elemento dotado de la topolog´ıa discreta.

Proposici´on 47. La categor´ıa de espacios vectoriales Vect es una categor´ıa monoidal

⊗:=⊗ el producto tensorial de espacios vectoriales.

Definamos el bifunctor ⊗:Vect⊗Vect→Vect. Sean U, V, W, X ∈ob(Vect), α∈ C(U,V), β∈ C(W,X).

Sean {ei}ni=1,{fi}ni=1,{gi}ni=1, {hi}ni=1, conjuntos de generadores para U, V, W, X

res-pectivamente.

1. ⊗=⊗ producto tensorial de espacios vectoriales.

Es decir:

ob(Vect)⊗ob(Vect) −→ ob(Vect) (U, V) 7−→ U⊗V

2.

C(U, V)⊗ C(W, X) −→ C(U ⊗W, V ⊗X) (α, β) 7−→ (α⊗β).

Por lo tanto:

α⊗β :U ⊗W →V ⊗X

3. ∀ U, V, W, X ∈ob(Vect) hay un isomorfismo natural α(U, V, W)

α≡αU,V,W :U ⊗(V ⊗W)→(U ⊗V)⊗W

Definimos V ⊗W =Paijfi⊗gj;∀aij ∈K, donde K es el cuerpo en el cual se esta

(44)

U⊗(V ⊗W) = Xbkek⊗(

X

aijfi⊗gj)

= Xbkaijek⊗(fi⊗gj)

= Xbkaij(ek⊗fi)⊗gj

= Xcik(ek⊗fi)⊗

X

bjgj

= (U ⊗V)⊗W

Donde bk, aij, cik, bj ∈K

4. Un objeto distinguido 1Vect ∈ob(Vect), e isomorfismos naturales

γ : 1Vect⊗V →V φ:V ⊗1Vect→V.

Donde 1Vect en el espacio vectorial cuyos unicos elementos son 0 y 1.

a) Busquemos una transformaci´on lineal T :V ⊗Z →V

Tenemos que verT(Pαaifi⊗1+Pbjgj⊗1) =αT(Paifi⊗1)+T(Pbjgj⊗1)

T(Pαaifi⊗1 +Pbjgj ⊗1) = αT(Paifi⊗1 +Pbjgj ⊗1)

=αT(Paifi⊗1) +T(Pbjgj ⊗1)

As´ı T es una transformaci´on lineal. Busquemos una transformaci´on lineal T :

Z⊗V →V

La prueba que es una transformaci´on lineal es an´aloga a la anterior

(45)

U ⊗(V ⊗(W ⊗X))

idU⊗αV,W,X

t

iiiiiiiii

iiiiiiii αU,V,W×X

* * U U U U U U U U U U U U U U U U U

U ⊗((V ⊗W)⊗X)

αU,V⊗W,X

(U ⊗V)⊗(W ⊗X)

αU⊗V,W,X

(U ⊗(V ⊗W))⊗X _α

U,V,W⊗idX

/

/₍₍_U_⊗_V₎_⊗_W₎_⊗_X

6. Veamos que se cumplen los axiomas de unidad.

Sean U, V ∈ob(Vect), y adem´as a∈U y b ∈V.

a) idU⊗γ = (φ⊗idV)◦αU,1,V

U ⊗(1⊗V) αU,1,V //

idU⊗γ

' ' N N N N N N N N N N

N (U ⊗1)⊗V

φ⊗idV

w

pppp pppp

ppp

U ⊗V

b) idU×φ =φ◦αU,V,1

U ⊗(V ⊗1) αU,V,1 /_/

idU⊗φ

N (U ⊗V)⊗1

U ⊗V

(46)

1⊗(U ⊗V) α1,U,V //

γ

'

N N N N N N N N N N

N (1⊗U)⊗V

γ⊗idV

w

pppp pppp

ppp

U ⊗V

Asi Vect es una categor´ıa monoidal.

Para el siguiente ejemplo primero tenemos que definir un espacio vectorial graduado.

Definici´on 48. Un espacio vectorial graduado en un espacio vectorial con una estructura

adicional la graduaci´on, esta consiste en la descomposici´on del espacio vectorial en suma

directa de subespacios vectoriales.

Definici´on 49. Sea Z el conjunto de los enteros no negativos. Un espacio vectorial V, es

un espacio vectorial Z graduado si se descompone en suma directa as´ı:

V := L

n∈Z

Vn

donde cada Vn es un espacio vectorial. Para un n dado, cada elemento Vn es llamado

los elemento homog´eneo de grado n. Por ejemplo el conjunto de todos los polinomios en

una variable un espacio de vectorial graduado, donde los elementos homog´eneos de grado

n son las combinaciones lineales dede monomios del grado n.

Ejemplo 50. El caso donde n = 2 es particularmente importante en f´ısica, Z2-V ect es

conocido como s´uper espacio vectorial sobre un cuerpoK, con la siguiente descomposici´on:

V =V0⊕V1

Los vectores que son elementos de V0 o de V1 se dice que son homog´eneos. La paridad

de un elemento homog’eneo distinto de cero, denotada por |x|, es 0 o 1 seg´un si est´a en

V0 que es la parte par o V1 que es la parte impar. La suma directa y el producto tensorial

(47)

V ⊕W = (V0⊕W0)⊕(V1⊕W1). (2.5)

V ⊗W = [(V0⊗W0)⊕(V1⊗W1)]⊕[(V0⊗W1)⊕(V1 ⊗W0)]. (2.6)

Estos objetos encuentran su aplicaci´on principalmente en la f´ısica te´orica donde se

utilizan para describir los diversos aspectos algebraicos de las supersimetr´ıas, tambi´en

conocido como SUSY, por su nombre en ingl´es, se puede ver esta aplicaci´on en [19].

Proposici´on 51. La categor´ıa de espacios vectoriales Z2 graduados Z2-V ect es una

ca-tegor´ıa monoidal ⊗:=⊗ el producto tensorial de espacios vectoriales.

Definamos el bifunctor ⊗:Z2-V ect⊗Z2-V ect→Z2-V ect.

Sean U, V, W, X ∈ob(Z2-V ect), α∈ C(U, V), β ∈ C(W, X), donde:

U =U0⊗U1, V =V0⊗V1, W =W0⊗W1, X =X0⊗X1.

1. ⊗=⊗ producto tensorial de espacios vectorialesZ2 graduados.

Es decir:

⊗: ob(Z2-V ect)⊗ob(Z2-V ect) −→ ob(Z2-V ect)

(U, V) 7−→ U⊗V

donde U ⊗V esta dado por (2.6) .

2.

C(U, V)⊗ C(W, X) −→ C(U ⊗W, V ⊗X) (α, β) 7−→ (α⊗β)

Por lo tanto:

α⊗β :U ⊗W →V ⊗X

3. ∀ U, V, W, X ∈ob(Z2-V ect) hay un isomorfismo natural αU,V,W

α≡αU,V,W :U ⊗(V ⊗W)→(U ⊗V)⊗W

(48)

V ⊗W = [(V0⊗W0)⊕(V1⊗W1)]⊕[(V0⊗W1)⊕(V1⊗W0)].

U ⊗(V ⊗W) = (U0⊕U1)⊗[(V0⊗W0)⊕(V1⊗W1)]⊕[(V0⊗W1)⊕(V1⊗W0)]

= [(U0⊗V0⊗W0)⊕(V1⊗V1⊗W1)]⊕[(U1 ⊗V0⊗W1)⊕(U0⊗V1⊗W0)]

= [(U0⊗V0)⊕(U1⊗V1)]⊕[(U0⊗V1)⊕(U1⊗V0)]⊗(W0⊕W1)

= (U ⊗V)⊗W

4. Un objeto distinguido 1Z₂-_{V ect}∈ob(Z₂-V ect), e isomorfismos naturales.

γ : 1Z₂-_{V ect}⊗V →V φ :V ⊗1Z₂-_{V ect} →V.

Donde 1Z₂-_{V ect} en el espacio vectorial cuyos ´unicos elementos son 0 y 1.

5. Verifiquemos el axioma de conmutatividad (Pentagono de MacLane).

U ⊗(V ⊗(W ⊗X))

idU⊗αV,W,X

t

iiiiii

iiiiiiiii

ii αU,V,W⊗X

*

U U U U U U U U U U U U U U U U U

U ⊗((V ⊗W)⊗X)

αU,V⊗W,X

(U ⊗V)×(W ⊗X)

αU⊗V,W,X

(U ⊗(V ⊗W))⊗X _α

U,V,W⊗idX

/

/₍₍_U⊗V)⊗W)⊗X

6. Veamos que se cumplen los axiomas de unidad.

Sean U, V ∈ob(Z₂-V ect), y sea a∈U y b∈V.

a) (idU ⊗γ) = (φ⊗idV)◦αU,1,V

(49)

U ⊗(1⊗V) αU,1,V //

idU⊗γ

N (U ⊗1)⊗V

φ⊗idV

w

pppp pppppp

p

U ⊗V

b) (idU ⊗φ) = φ◦(αU,V,1)

U ⊗(V ×1) αU,V,1 /_/

idU⊗φ

N (U ⊗V)×1

U ⊗V

c) γ = (γ⊗idV)◦α1,U,V

1⊗(U ⊗V) α1,U,V //

γ ' ' N N N N N N N N N N

N (1⊗U)⊗V

γ⊗idV

w

pppp pppp

ppp

U ⊗V

Asi Z2-V ect es una categor´ıa monoidal.

Proposici´on 52. La categor´ıa de producto de conjuntos finitos Setn es una categoria

monoidal, ⊗=× producto cartesiano de conjuntos y identidad {1}={{1},· · · ,{1}}.

Veamos que Setn es una categor´ıa monoidal.

Definamos el bifunctor ×:Setn×Setn7−→Setn

Sean(x, f) , (y, g) , (z, h) , (w, i)∈obSetn, seanα∈ C((x, f),(y, g)) y β ∈ C((z, h),(w, i))

(50)

ob(Setn)×ob(Setn) −→ ob(Setn)

(x1,· · · , xn)×(y1,· · · , yn) 7−→ (x1×x2,· · · , xn×yn).

b)

C((x, f),(y, g))× C((z, h),(w, i)) −→ C((z×w, h×i))

α×β 7−→ (α×β) :x×y7→z×w.

2. ∀(x, f), (y, g) (z, h) ∈ob(Setn) hay un isomorfismo natural α((x,f), (y,g) (z,h))

α=α((x, f),(y, g),(z, h)) : (x, f),×((y, g)×(z, h))→((x, f),×(y, g))×(z, h)

3. Un objeto distinguido 1Setn ∈ob(Setn), e isomorfismos naturales

γ : 1Setn ×(x, f)→(x, f) β : (x, f)×1_Setn →(x, f).

Donde 1Setn ={{1},· · · ,{1}}

La prueba es similar a la de set hecha en la proposici´on 44, se hace lo mismo en

cada uno de los xi

4. Verificamos que se cumple el axioma de asociatividad (Pentagono de MacLane).

Ahora veamos la conmutatividad del diagrama

U ⊗(V ⊗(W ⊗X))

idU⊗αV,W,X

t

iiiiii

iiiiiiiii

ii αU,V,W⊗X

*

U U U U U U U U U U U U U U U U U

U ⊗((V ⊗W)⊗X)

αU,V⊗W,X

(U ⊗V)⊗(W ⊗X)

αU⊗V,W,X

(U ⊗(V ⊗W))⊗X _α

U,V,W⊗idX

/

(51)

5. Veamos que se cumplen los axiomas de unidad (2.2), (2.3) y (2.4)

Sean (x, f),(y, g)∈ob(Setn).

a) (id(x,f)×γ) = (φ×id(y,g))◦(α(x,f),1,(y,g))

(x, f)×(1×(y, g)) α(x,f),1,(y,g) //

id₍x,f)×SSγSSSS_S₎₎ S S S S S S

S ((x, f)×1)×(y, g)

φ×id₍y,g)

u

kkkkkk kkkkkk

kk

(x, f)×(y, g) b) (id(x,f))×φ) = (φ)◦(α(x,f),(y,g),1)

(x, f)×((y, g)×1) α(x,f),(y,g),1 //

id₍x,f)×SSφSSSS_S₎₎ S S S S S S

S ((x, f)×(y, g))×1

φ u u kkkkkk kkkkkk kk

(x, f)×(y, g) c) γ = (γ×id(y,g))◦(α1,(x,f),(y,g))

1×((x, f)×(y, g)) α1,(x,f),(y,g) /_/

γ ) ) S S S S S S S S S S S S S

S (1×(x, f))×(y, g)

γ×id(y,g)

u

kkkkkk kkkkkk

kk

(x, f)×(y, g)

Asi Setn es una categor´ıa monoidal.

2.2. Categor´ıas sim´

etricas monoidales

Definici´on 53. Una Categor´ıa sim´etrica monoidal es una categor´ıa monoidal C