Fx es una función que cumple  

Texto completo

(1)

1

Integración

Concepto de Anti derivada.

En el estudio de los operadores matemáticos es común encontrar el concepto de operador inverso, de esta forma se tiene que la operación inversa de multiplicar es dividir, la de sumar es restar. De este modo, entiendo la derivada como o un operador, resultaría lógico pensar en la operación inversa de derivar, es decir encontrar la anti derivada de una función.

Por ejemplo, la función:

F x

 

x

2

5

x

, es derivable y su derivada es una nueva función

f x

 

que cumple que:

g x

 

F x

 

2

x

5

. Ahora, supóngase que se tiene la función:

 

2

5

g x

x

y se desea determinar cual función derivada la generó. Es lógico pensar que

 

2

5

F x

x

x

es su anti derivada, no obstante, puede observarse que

G x

 

x

2

5

x

3

también tiene por derivada a

g x

 

2

x

5

.

Todo lo anterior, muestra que la primitiva de la función,

g x

 

2

x

5

, es una función de la forma:

G x

 

x

2

5

x c

, con

c

IR

. Recordando que la derivada de una constante es igual a cero.

Si

F x

 

es una función que cumple

F x

 

f x

 

entonces se denotará a la anti derivada más general de una función

f x

 

como:

 

 

f x dx F x c

Observe que:

 

 

d

f x dx f x

dx  

 

 

d

f x dx f x

dx

 

(2)

2 En adelante la atención se centrará en formas para determinar la anti derivada de una función, al seguimiento de estas técnicas se les llama integración. No obstante, antes de iniciar se observa la linealidad del operador integración, con las siguientes propiedades fundamentales:

 

 

c f x dx cf x dx

Si la primitiva de la función

c f x

 

es de la forma, c

f x dx

 

, entonces al derivar esta última expresión se debe obtener la función:

c f x

 

, nótelo:

 

 

 

0

 

 

c

f x dx

c

f x dx c

f x dx

c f x

c f x

 

Usando un razonamiento similar al anterior, muestre que:

 

 

 

 

f xg x dxf x dxg x dx

 

 

Las propiedades anteriores permiten en la práctica dos operaciones, estas son:

 Extraer el escalar

 Separar en dos integrales.

(3)

3

Técnicas de Integración

En adelante se tratarán varias técnicas de integración que van desde, la integración básica y sustitución, hasta la integración por sustitución trigonométrica.

Integración Básica

Corresponde a las integrales directas, las que resultan de observar una tabla de derivación, algunos ejemplos son:

Derivación Integración

 

c 0, cIR

0dxc c, IR

 

x 1

dx x c

2

2

x

x

  

 

2

2xdxxc

x x

e

e

  

 

x x

e dxec

 

ln

x x

a

a

a

  

 

ln

 

x x

a a dxac

 

ln

x x

a

a

a

  

 

ln

 

x x

a a dxac

 

ln

x x

a

a

a

**** ln

 

x

x a

a dx c

a

 

****

 

1

ln x x

 

 

  1dx ln

 

x c

x  

 

cos

 

sen x

 

x

cos

 

x dxsen x

 

c

 

 

cos

x

  

s

en x

sen x dx

 

 cos

 

xc

 

2

 

tan

x

 

sec

x

 

 

2

sec x dxtan xc

 

 

 

sec

x

 

sec

x

tan

x

sec

 

x tan

 

x dxsec

 

xc

 

2

1 arctan 1 x x    

  2

 

1

arctan

1dx x c

x   

 

1 2

1 arcsen x x      

 2

 

1 1

dx arcsen x c

x

 

 

12

arc sec 1 x x x    

  2

 

1

arc sec 1

dx x c

x x

 

(4)

4 Integración Polinómica.

Una de las integrales más simple es la integración de una potencia. Observe que:

1

n n

x

nx

  

 

.

Si se desea integrar, se tendría que: 1

n n

nxdxx

.

Luego: 1

1

n

n

x

x dx

n

Estudie la última regla y trate de generar su propia explicación a tal caso. Integre las siguientes funciones:

3 2

5 7

xxdx

7 3 3

1

5 x dx

x

 

 

(5)

5 Integración por Sustitución

La técnica ayuda a transformar la función a integrar por otra función más simple, el razonamiento es el siguiente, si se tiene una integral donde el integrando se compone del producto de una función por su derivada, entonces cabe la posibilidad de desarrollar una sustitución de la forma:

 

 

 

    u g x du g x dx

f g x

g x dx

f u du

  

Un análisis se puede realizar con un ejercicio:

2 3

21

x

cos 7

x

2

dx

En primera instancia debe observarse una composición de funciones de la forma:

f g x

 

, para este caso particular, se tiene que la función interna

g x

 

viene dada por, luego debe encontrarse como factor a

g x

 

. Dadas estas condiciones se puede aplicar la técnica.

La sustitución viene dada por: 3

2

7

2

21

u

x

du

x dx

Luego:

 

 

2 3 3

21 cos 7 2 cos 7 2

du u

x x dx u du sen u c sen x c

  

      

  

 

En algunos casos se deben realizar algunas adaptaciones para lograr obtener el

du

. Aplique la técnica en los siguientes ejercicios:

3 2 3 2

6 3

xx

x

3

xx

dx

(6)

6

3 4

5

x sen x

dx

3 2

1

x

x dx

5

cos x senx dx

(7)

7

 

2 2

tan

x x

e

e

dx

3 6

1

x

x

e

dx

e

Existen algunas formas que se pueden generalizar aplicando una determinada técnica:

1

, con ,

dx a b IR

ax b 

. Se toma: u ax b du adx du dx

a

      .

De este modo:

 

1 1 1 1 1 1

ln ln

du

dx du u c ax b c

ax b  u aa ua  a  

Así las cosas:

5

5

ln

3

2

3

x

2

dx

3

x

 

c

(8)

8 Integre las siguientes funciones:

1 3 2 xdx

1 5 3 xdx

Debe observarse que esta generalización solo se aplica cuando el numerador es un número real y el denominador es una expresión lineal, en otros casos el procedimiento cambia, por ejemplo, integre la siguiente expresión:

2

1 2x 8dx

Intente realizar una generalización para las integrales de la forma: 21 dx, con ,a b IR

ax b

 

.

(9)

9 Integración por Partes

Es una de las técnicas más comunes de integración, lo que se busca es facilitar la función a integrar haciéndose valer de la regla del producto de derivación. Recuerde que:

   

   

   

f x g x

f

x g x

f x g x

Luego, integrando a ambas partes se obtiene que:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

f x g x dx f x g x f x g x dx

f x g x f x g x dx f x g x dx

f x g x f x g x dx f x g x dx

g x f x dx f x g x f x g x dx

                   

En este nuevo caso se tiene un producto de funciones, una función gy la derivad de una función

f , si la idea básica es que la integral:

f x g x dx

   

 , sea más sencilla de resolver que la integral:

g x

   

fx dx. Normalmente a la función gse le llama

u

y a la función fse le denomina

dv

, de manera tal que el resultado queda enunciado de la siguiente forma:

u dvu vv du

Se analiza un caso: 2x

x e dx

Si se toma a

u

x

y a dve dx2x , entonces:

u

x

du

dx

2 2 2 x x

dv e dx

e v

De este modo:

2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

4

u d

v v

x x x x x x

x

u

e

e

xe

e

xe

e

x e dx

x

dx

dx

c

El ejercicio anterior sugiere que se determine una generalización para las integrales de la forma:

ax b

e

dx

(10)

10 Para la escogencia de la función

u

es recomendable utilizar la técnica ILATE, esta técnica indica una forma de escoger la función

u

del producto siguiendo este orden: Inversas, logarítmicas, algebraicas, trigonométricas y por último exponenciales.

Al desarrollar los siguientes ejemplos se logra obtener un mejor dominio de la técnica.

 

3

x sen x dx

 

ln

x x dx

(11)

11 2 1 3x

x edx

Existe un caso particular de las integrales, refieren a expresiones que al intentar integrarlas vuelven a la función de origen, un ejemplo básico es el siguiente:

 

x

e sen x dx

:

Tomando:

 

 

cos

x

x

u sen x dv e dx

du x dx v e

 

 

Se tiene que:

 

 

cos

 

x x x

e sen x dxe sen xe x dx

Ahora, tomando:

 

 

cos

x

x

u x dv e dx

du sen x dx v e

 

  

Se tiene que:

 

 

 

 

 

 

 

 

cos cos

x x x x

x x

x x

e sen x dx e sen x e x e sen x dx

e

e sen x dx sen x e x e sen x dx

        

Se observa que el desarrollo del ejercicio volvió a la integral de origen, por lo tanto, se procede de la siguiente forma:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos cos cos 2 2 x x x x x x x x x x

e sen x dx e sen x dx

e sen x dx

e sen x dx

e sen x e x

e sen x e x

e sen x e x

(12)

12 Practique con los siguientes ejercicios:

 

3

cos

x

e x dx

 

2

x

e sen x dx

Otro caso interesante se encuentra en las integrales recurrentes, son integrales donde se puede recurrir a integrales ya conocidas para resolver, véase el siguiente ejemplo:

 

n

sen x dx

Tomando:

 

 

   

 

1 2

1 cos cos

n

n

u sen x dv sen x dx

du n sen x x dx v x

 

   

Se tiene que:

 

1 2

1 2 2

1 2 2

1 2

cos 1 cos cos

cos 1 cos

cos 1 1 1 cos 1 n n n n n n n n n n

sen x x n sen x x xdx

sen x x n sen x xdx

sen x x n sen

sen x dx

n sen

x sen x dx

sen x x n sen xdx xdx

                            

(13)

13

 

 

1 2

2 1

cos 1

1 1

cos

n n

n

n n n

n sen x dx

s

sen x x n sen xdx

n

sen xdx sen x x

e

n

n

n

x dx

 

 

    

 

Aplique estos razonamientos para determinar:

 

3

sen x dx

(14)

14 Sustituciones Especiales

El abordaje del tema de sustitución y partes permite desarrollar algunas integrales donde la sustitución demanda algún trabajo adicional.

Se inicia con integrales donde existe un sub radical en forma de suma, lo deseable sería evitar dicha suma.

3

5

x xdx

2

x dx x

En el caso que sigue debe tenerse un cuidado especial, recordar siempre cual fue la escogencia del

u

.

x

e dx

(15)

15 Integración Trigonométrica

El tema a abordar es un caso particular de sustitución, se trabaja de forma separa por que hace uso de diversos resultados propios de trigonometría, estas fórmulas se exponen como preámbulo. Pitagóricas.

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

cos 1 1 cos cos 1

1 cot csc cot csc 1 csc cot 1

1 tan sec tan sec 1 sec tan 1

sen x x sen x x x sen x

x x x x x x

x x x x x x

       

       

       

Identidades producto suma:

1

cos

2

1

cos

2

1

cos

cos

cos

cos

2

1

cos

cos

2

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen sen

 

 

 

 

 

 

 

 

Dos identidades básicas

 

 

 

 

2 2

1 cos 2

2

1 cos 2

cos

2

sen

(16)

16 Con este conjunto de fórmulas se logra un buen inicio del tema, la idea es escoger una de las funciones trigonométricas para el

u

, de forma tal que se reserve el

du

como factor.

Un buen inicio es comenzar con combinaciones de

sen x

 

y

cos

 

x

.

 

 

5 2

cos

sen x x dx

 

3

cos x dx

 

 

5 7

cos

sen

x

dx

x

(17)

17 Cuando tanto la función

sen x

 

como

cos

 

x

tienen multiplicidad algebraica par se recomienda usar las siguientes fórmulas:

 

 

 

 

2 2

1 cos 2

2

1 cos 2

cos

2

sen

Un ejemplo práctico puede ser:

 

 

2 2

cos

sen x x dx

Note que es imposible dejar un

cos

 

x

o un

sen x

 

para

du

, en estos casos las fórmulas anteriores resultan de gran conveniencia, observe:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

2 2

1 cos 2

1 cos 2

1

cos

1 cos 2

1 cos 2

2

2

4

1 cos 4

1

1

1

1

1

1 cos

2

cos

2

4

4

4

4

4

2

4

1

1

1

1

1

1

1

1 cos 4

4

4

8

4

8

8

4

8

32

x

x

sen

x

x dx

dx

x

x dx

x

x dx

dx

x dx

dx

dx

sen

x

dx

x dx

x

x

c

x

sen

x

c

 

Aborde los siguientes ejemplos:

 

4

(18)

18 Las ideas aplicadas a las integrales anteriores también pueden ser usadas para integrales con otras funciones trigonométricas. En un primer momento debe recordarse por integración básica:

   

 

sec x tan x dxsec xc

 

 

2

sec x dxtan xc

Ahora, la técnica exige separar el

du

para ello es inminente recordar que:

 

sec

x

 

sec

x

tan

x

2

tanx  sec x

Luego, se puede proceder con un primer ejemplo:

 

 

2 5

sec x tan x dx

Si se usa

u

tan

 

x

entonces al ser

2

tanx  sec x, el ejercicio queda resuelto:

 

 

6 6

 

2 5 5

tan

sec

tan

6

6

x

u

x

x dx

u du

 

c

c

 

 

4 3

sec x tan x dx

En este ejemplo, se podría extraer

sec

   

x

tan

x

para

du

y usar las fórmulas trigonométricas para reacomodar el integrando.

 

 

 

 

   

 

 

   

4 3 3 2 3 2

sec x tan x dx sec x tan x sec x tan x dx sec x sec x 1 sec x tan x dx

Usando

u

sec

 

x

, entonces

du

sec

   

x

tan

x dx

y con ello:

 

 

   

 

 

6 4

3 2 3 2 5 3

6 4

sec

sec

1 sec

tan

1

6

4

sec

sec

6

4

u

u

x

x

x

x dx

u u

du

u

u du

c

x

x

c

 

(19)

19 Desarrolle la siguiente integral:

 

 

3 6

tan

sec

x

dx

x

Al abordar las integrales trigonométricas usualmente aparece un integral muy peculiar, la integral de

sec

 

x

. Su característica distinguible radica en el método usado para integrar, detalle:

 

   

tan

 

sec

 

 

sec

   

tan

 

sec

 

2

 

sec

sec

tan

sec

tan

sec

x

x

x

x

x

x dx

x

dx

dx

x

x

x

x

Si se usa

u

sec

 

x

tan

 

x

entonces

du

sec

   

x

tan

x

sec

2

 

x

, luego:

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

2

tan sec sec tan sec

sec sec ln

tan sec tan sec

ln sec tan

x x x x x du

x dx x dx dx u c

x x x x u

x x c

 

     

 

 

Use una idea similar a la anterior para determinar:

 

(20)

20 Diviértase integrando:

 

2

 

(21)

21

 

5

sec x dx

 

 

tan

sec

x

dx

x

(22)

22 Para finalizar esta técnica se presentan algunos casos donde es necesario aplicar las fórmulas trigonométricas de identidad producto suma, esto con el objeto de trabajar con estas funciones en un mismo ángulo, escoja la identidad adecuada e integre los siguientes ejercicios:

1

cos

2

1

cos

2

1

cos

cos

cos

cos

2

1

cos

cos

2

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen sen

 

 

 

 

 

 

 

 

   

3 cos 2

sen x x dx

   

(23)

23 Integración completando cuadrados

La técnica de completar cuadrados que resulta útil al calcular límites puede servir para integrar algunas funciones, la idea es transformar el integrando hasta que se pueda integrar como una función

arctan

 

x

.

2

1

dx x  x

2

2

2

2 2

2

1

1

1

1

2

1

1

3

2

1

1

2

4

2

2

4

1

2

x

x

x b

x x

x

x

x

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

Luego, tomando 1

2

u  x dudx

2 2 2

2

2

1

4

3

3

1

1

3

1

3

2

1

3

4

4

2

4

3

4

dx

dx

du

du

du

u

x

x

u

u

x

 

Usando

2

3

2

3

m

u

dm

du

se tiene que:

 

2

 

4 3 2 2 2 2 2 1

arctan arctan arctan

3 2 1 3 3 3 3 3 2

dm

m c u c x c

m                   

(24)

24 Desarrolle la siguiente integral:

2

3 4

dx x  x

Integración por División Polinomial

Se aborda este método cuando se tiene una fracción algebraica en el integrando y el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Lo que se aconseja es realizar la división para separar el integrando en varias fracciones, ejemplo:

3 2

4

4

1

2

1

x

x

x

dx

x

 

Se procede con la división:

3 2

3 2 2

2 2

4

4

1 2

1

4

2

2

3

2

6

1

6

3

4

1

-4

2

-3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

3 2 3 2

2

4

4

1

3

2

3

3

2

3

2

2

ln 2

1

2

1

2

1

3

2

2

x

x

x

x

x

dx

x

x

dx

x

x

c

x

x

 

 

 

(25)

25 Ejemplo:

4 2

2

1

3

x

x

x

dx

x

 

Integración por Fracciones Parciales

Si se sugiere al lector que desarrolle la siguiente integral: 28 1

2

x

dx

x x

  

. Es probable que con los conocimientos desarrollados hasta este momento no posea las suficientes herramientas que le permitan un abordaje rápido del ejercicio.

No obstante, si se le solicita que desarrolle la integral que sigue es de esperar que su solución sea inmediata:

5 3

2 1 dx

x x

 

Lo que puede sorprende aquí es que:

 



2

5 1 3 2

5 3 8 1

2 1 2 1 2

x x x

x x x x x x

   

  

     

Con ello:

2

8 1 5 3

5ln 2 3ln 1

2 2 1

x

dx dx x x c

x x x x

   

 

     

(26)

26 Es muy importante recordar que esta técnica solo debe ser aplicada cuando el grado del denominador es mayor que el grado dl numerador, en caso contrario, se sugiere hacer primero la división polinomial.

 Denominadores compuestos de expresiones lineales no repetidas.

Son casos similares al anterior, donde una vez factorizado el denominador aparece un conjunto de factores lineales no repetidos, esto sugiere que cada factor proviene de una fracción distinta y se buscan números reales para el denominador de cada una de estas fracciones de modo tal que la suma de estas fracciones parciales de cómo resultado la fracción original.

Observe el caso anterior:



2

8

1

8

1

2

2

1

x

x

x

x

x

x

 

Luego buscamos valores de A y Btales que:



 

 

 











 



1

2

8

1

8

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

8

1

2

8

1

2

1

2

1

2

1

2

1

8

2

1

A x

B x

x

A

B

x

x

x

x

x

x

x

x

x

A

B x

A

B

x

Ax

A

Bx

B

x

x

x

x

x

x

x

x

x

A

B

A

B

 

  

 

 

 

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que

A

5

y

B

3

, luego el ejercicio se resuelve de forma inmediata:

2

8 1 5 3

5ln 2 3ln 1

2 2 1 2 1

x A B

dx dx dx x x c

x x x x x x

   

   

         

(27)

27 2

3 2

2

x

dx

x x

  

2

5 3

2 5 3

x

dx

x x

 

(28)

28 2

3 2

6

1

2

9

18

x

x

dx

x

x

x

2

2 6

x dx

x  x

(29)

29

 La multiplicidad algebraica de alguno de los factores lineales es mayor o igual que dos. Un ejemplo de este tipo de ejercicio es el siguiente:

3

2 3 x dx x  

En estos casos, podría pensarse en distintas separaciones en fracciones parciales, un ejemplo de ellas sería:

 

3

 

3

2

3

3 3

x A B

x

x x

 

Este tipo de separación es incorrecta porque deja de lado varias posibilidades para el numerador, detalle:

 

2 2 2

3 3 3 3

3

6

9

6

9

3

3

3

3

3

A x

B

A

B

Ax

Ax

A B

Ax

Ax

A B

x

x

x

x

x

Esta separación condiciona a los coeficientes de

x

y 2

x respectivamente, dejando de lado una amplia variedad de posibilidades para el numerador de la fracción original, por ejemplo, sería inadmisible un numerador de la forma: x22x5.

La forma correcta de hacer la separación es colocar una cantidad de fracciones igual al exponente del factor lineal repetido de forma tal que dicho exponente vaya aumentando de fracción en fracción y luego colocar las fracciones restantes del ejercicio. En el caso en estudio, se trabaja de la siguiente forma:

 

 

 

2

3 2 3 3

2 2 3 3 3 3 2 3

3 3 3 3

6 9 3

6 9 3

3 3

A x B x C

x A B C

x

x x x x

Ax A B x A B C

Ax Ax A Bx B C

x x                       

Resultando el siguiente sistema de ecuaciones:

0

6 1 1, 5

9 3 2

A

A B B C

A B C

 

    

(30)

30 Luego:

3

 

 

2

3

 

2

3

2

2 1 5 1 5 1

3 3 2

3 3 3 3 3 3

x A B C

dx dx dx c

x x

x x x x x x

 

 

     

Realice las sustituciones que fueron necesarias para integrar el ejercicio anterior.

Resuelva la siguiente integral: 2

3 2

4

5

2

x

x

dx

x

x

x

(31)

31



2 2

7

1

1

2

x

dx

x

x

(32)

32

 Presencia de factores cuadráticos irreductibles.

Al igual que en los casos anteriores, existe una forma adecuada de descomponer parcialmente la fracción original, en este caso, debe colocarse en el numerador de la fracción irreductible la expresión

Ax

B

y respetar los resultados anteriores en caso de que el factor irreductible tenga multiplicidad algebraica mayor o igual que dos.

Un ejemplo ilustra la técnica. 2

3

2

x

2

x

1

dx

x

x

Al factorizar el denominador se obtiene una expresión cuadrática irreductible.

3 2

1

x  x x x

De este modo, la separación correcta es:

2

2 2

3 2 2 2

2

2 2

2 2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

1

1

1

A x

x Bx C

x

x

x

x

A

Bx C

x

x

x x

x

x

x x

A B x

Cx

A

Ax

A Bx

Cx

x x

x x

 

 

 

2

2 1, 1, 2

1

A B

C A B C

A           Con ello:

 

2

3 2 2 2 2

2

2

2

1

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

1

ln

ln

1

2 arctan

2

x

x

A

Bx C

x

x

dx

dx

dx

dx

dx

dx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

c

 

(33)

33 Resuelva las siguientes integrales:

2



2

2

2 4

x

dx

xx  

(34)

34

3 2

4 3 2

4

3

1

2

2

2

3

x

x

dx

x

x

x

x

(35)

35 4

5 3 2

2

3 3 5 7

3 2

x x x x x

dx

x x

    

 

(36)

36 Sustitución Trigonométrica

En algunas ocasiones se encuentran integrales donde el integrando está formado por expresiones de la forma:

ax

2

bdx

, en estos casos, la raíz cuadrada puede generar dificultades para integrar. Una sustitución adecuada puede corregir la problemática señala evitando la raíz cuadrada. Para estos casos y en también en otros contextos resulta conveniente realizar una sustitución trigonométrica.

Para el desarrollo de esta técnica se deben tener claras las siguientes identidades trigonométricas:

 2

 

2

 

cos x  1 sen x

En un caso como 1x2 , si se realiza la sustitución xsen

 

entonces la identidad pitagórica convierte al sub radical en

cos

2

 

x

que evidentemente acabaría con el radical.

 2

 

2

 

sec x  1 tan x

En un caso como 2

1

x  , si se realiza la sustitución xtan

 

entonces la identidad pitagórica convierte al sub radical en

sec

2

 

x

nuevamente acabaría con el radical.

 2

 

2

 

tan x sec x 1

El último caso realiza el mismo trabajo, pero en expresiones de la forma 2

1

x  . Observaciones:

Debe saber diferenciar cual de las sustituciones debe aplicar en cada ejercicio.

Puede usar el método de completar cuadrados y luego aplicar sustitución trigonométrica. La técnica puede aplicarse incluso a otros contextos donde no aparecen radicales.

Una vez integrado debe volver a la variable original.

Los siguientes ejemplos ayudarán a comprender la aplicación de la técnica: 2

1 x

dx x

(37)

37 Si se toma xsen

 

entonces dxcos

 

 

d luego:

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 2

2 1 cos

cos 1

cos cos

sen x

dx d d d

x sen sen sen

 

 

    

En este momento, el radical de la integral ha desaparecido y el trabajo se focalizará en integrar.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

cos 1

csc ln csc cot cos

sen

d d sen d c

sen sen

         

Una vez superado el problema de integrar, se debe volver a la variable original, para ello recuerde cual fue la sustitución que usted eligió y preséntela en un triangulo rectángulo.

 

 

1

x

xsen

 sen

Se aplica el teorema de Pitágoras y luego:

 

1

csc

x

 

1

2

cot

x

x

 

1

2 2

cot

1

1

x

x

Así que:

 

 

 

1

1

2 2

ln csc

cot

cos

c

ln

x

1

x

c

x

x

 

.

Se finaliza concluyendo que:

2 2

2

1

1

1

ln

1

x

x

dx

x

c

x

x

x

(38)

38 2

9x 4

dx x

En primera instancia se buscara cambiar el 1 por un 4 y con ello formar la identidad trigonométrica buscada. 2 2 2 3 9 1 2 1 2

9 4 4

2

x x

x

dx dx dx

x x x

 

  

 

Ahora se toma:

Si se toma 3 sec

 

2

x

 entonces 3 sec

   

tan 2sec

   

tan

2dx

 

ddx 3

 

d

luego:

 

 

   

 

 

 

2 2 2 2 2 9

2 1 sec 1

9 4 4 2 4

2 sec tan tan

sec 3 3

4 4

sec 1 tan

3 3

x x

dx dx d d

x x d c

 

 

        

Se debe volver a la variable original, para ello, recuerde cual fue la sustitución que usted eligió y preséntela en un triángulo rectángulo.

 

3

sec 2

x

Se aplica el teorema de Pitágoras y luego:

 

9

2

4

tan

2

x

3 sec 2 x arc

    Así que:

 

2

4

4

9

4

3

tan

sec

3

3

2

2

x

x

c

arc

c

 

 

(39)

39 Se finaliza concluyendo que:

2 2

9

4

4

9

4

3

sec

3

2

2

x

x

x

dx

arc

c

x

Los ejemplos anteriores ilustraron la técnica, enfréntese usted a algunos ejercicios: 2

121

x

dx

(40)

40 2

1 121

x

dx x

 

(41)

41

Integral Definida

Suponga que se requiere determinar el área de un círculo de radio r, pero se desconoce la fórmula convencional del área de dicha figura.

Una forma, de lograr una aproximación a dicha área es inscribiendo un cuadrado en dicho círculo y calculando su área del cuadrado, se tendría una primera aproximación.

Si se desea mejorar la aproximación puede emplearse un polígono regular inscrito con un número mayor de lados, en este caso, entre más cantidad de lados, mejor será la aproximación. Para un polígono de seis lados calcule nuevamente la aproximación obtenida.

Ahora, si se piensa en un polígono de

n

lados, entonces se tendrían los siguientes datos: 1. Angulo Central en radianes es:

2

n

(42)

42 2. Luego el polígono se divide en

n

triángulos isósceles cuyo ángulo dispar corresponde a al

ángulo central y el área puede calcularse por la fórmula del área de un triángulo isósceles la cual se muestra a continuación.

Se observa que:

cos 2 cos 2 2 cos 2 BD r r BD r BC

                       Luego: 2 2 AD sen r rsen AD

               Así que:

 

2 2

2 cos 2 cos

2 2 2 2

2 2 2 2

r rsen r sen

r sen b h A

                           

Recuerde que: sen

 

2

2cos

 

sen

 

3. Usando el resultado anterior, se podría decir que el área de cada uno de los

n

triángulos isósceles que conforman el polígono viene dada por :

 

2

2

2

2 2

r sen

r sen n

A

 

 

4. Luego el área del polígono es:

2 2 2 r sen n A n

       .

5. Ahora si se hace que

n

 

, entonces nuestra aproximación al área dl circulo será precisa, calculando el límite se tiene:

2 2 2

2

2 2 2

lim lim lim

2 2

2

n n n

r sen r sen r sen

n n n

n r n n

                     .

(43)

43 El procedimiento anterior permitió demostrar la fórmula clásica del área de un círculo. Este tipo de razonamiento conlleva la suma de un conjunto infinito de áreas que aproximan a un área

específica. Por ejemplo, el área bajo la curva de una función y sobre el eje x y comprendida entre las abscisas

x

a

y xbse puede aproximar usando sumas de áreas de rectángulos como se muestra a continuación.

Sea f x

 

una función y considere las abscisas

x

a

y xb , entonces el área entre la curva de la función el eje x y las abscisas se puede aproximar usando un rectángulo de aproximación, tal y como se muestra en la siguiente figura:

En este caso la aproximación del área se puede usar usando como base al segmento ab, cuya longitud es bay como altura la imagen derecha, es decir la imagen de xb.

Obteniendo que:

  

Ab af b

No obstante, si en lugar de usar un rectángulo se usan cuatro se lograría una aproximación más precisa al área buscada. Para ello se debe partir el segmento ab en cuatro segmentos que conforman las bases de los nuevos rectángulos, todas las bases tendrán asi la misma dimencion y esta viene dada por:

4

b a

x

(44)

44 Luego, si se trabaja la altura por derecha se tendría cuatro alturas distintas una para cada

rectángulo que en orden de izquierda a derecha serían las siguientes: (E) f x

 

1  f a

 x

(F)f x

 

2  f a

 2 x

(G)f x

 

3  f a

 3 x

(H) f x

 

4  f a

 4 x

La representación gráfica sería la siguiente:

Ahora la aproximación nueva será:

 

1

 

2

 

3

 

4 4

 

1 i i

A f x x f x x f x x f x x x f x

         

Figure

figura adjunta.

figura adjunta.

p.64