CAP´
ITULO
4
Fracciones
4.1 Fracci´
on Algebraicas
Una fracci´on algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por P
QdondeQ6= 0.
Por ejemplo, 3 4,
x+ 2
x−2,
−2
x2+ 3, x2
−3x+ 4 5 ,
x2
+ 2xy−3y2 x3+
y3 son fracciones algebraicas,
mientras que
√
x2
+ 3 3 ,
−2
√
x+ 1,
x13 −2
x no lo son.
4.2 Simplificaci´
on de fracciones Algebraicas
Si P, Q, Rson polinomios, entonces P Q
RQ = P
R, dondeR6= 0 yQ6= 0. Asi que, simplificar
una fracci´on algebraica significa dividir el numerador y el denominador por un polinomio que sea factor com´un de ambos. La fracci´on resultante debe estar reducida a su m´ınima expresi´on, es decir el numerador y denominador no deben tener factores comunes diferentes de 1 ´o−1.
Ejemplo 4.1.Reducir a su m´ınima expresi´on
1. 54 48 =
1 1 ✁ 2✁3 3 3 ✁ 2 2 2 2✁3 1 1
= 9 8
2. 4 8 =
2·2 2·2·2 =
1 2
3. 10x 2 =
5x
1 = 5x
2 4 Fracciones
4. 45xy
−27x =
5y
−3
5. 7a
5 b4
21a2 b8 =
a3
3b4
Ejercicio 1.
1. Responder Verdadero ´o Falso
a. 3 +✁3 ✁ 3
b. a✁+✁b ✁
a+✁b = 0
c. a
2
+b2 a2+
c2 = b2 c2
d. 3a+ 1 1 + 3a = 1
e. 5 15 =
✁ 5 3·✁5 =
0 3
f. ✁5a+ 7 ✁
5a+ 3 =
a+ 7
a+ 3
g. −a
b =
−a
−b
h. 3 (x+b) 2 (x+b) =
3 2
2. a. 12ab
2
14ab
b. 26xy 39x2y3
c. −50x
2
35y2
d. 45xy
−27x
e. 9x
2 y3
24a2 x3
y4
f. 12a
2 b3
60a3 b5
x6
g. a
5 b7
3a8 b9
c
h. 75a
7 m5
100a3 m10
n6
Ejemplo 4.2.Simplificar:
1. 3ab 2a2
x+ 2a3 =
3✁ab
2a2✄(x+a) =
3b
2a(x+a)
2. x
2
−2x−3
x−3 =
(x−3) (x+ 1)
x−3 =
x+ 1
1 =x+ 1
3. x
2
−4
x2+ 5
x+ 6 =
✘✘✘(x+ 2) (✘ x−2) (x+ 3)✘✘✘(x+ 2)✘=
x−2
x+ 3
4. 8x
3
+ 27 4x2+ 12
x+ 9 =
(2x+ 3) 4x2
−6x+ 9
(2x+ 3)2 = 4x2
−6x+ 9 2x+ 3
5. a
3
−25a
2a3+ 8 a2
−10a= a a2
−25
2a(a2+ 4
−5) =
a(a+ 5) (a−5) 2a(a+ 5) (a−1) =
a−5 2 (a−1)
6. 2xy−2x+ 3−3y 18x3+ 15
x2
−63x=
y−1 3x(3x+ 7)
7. 3x
3
−12x−x2 y+ 4y x4
−5x3
−14x2 =
(a−2) (3x−y)
x2(x
−7)
8. a
2
−1 a2
+ 2a−3
(a2
4.2 Simplificaci´on de fracciones Algebraicas 3
Ejercicio 2.
Simplificar:
1. xy 3x2
y−3xy2
2. 10a
2 b3
c
80 (a3
−a2 b)
3. x
2
−4 5ax+ 10a
4. 3x
2
y+ 15xy x2
−25
5. x
3
+ 4x2
−21x x3
−9x
6. a
3
+ 1
a4
−a3+ a−1
7. m
2
+n2 m4
−n4
8. (m−n)
2
m2
−n2
9. a
4 b2
−a2 b4 a4
−b4
10. n
3
−n n2
−5n−6
11. 3x
3
+ 9x2 x2+ 6x+ 9
12. 2x
2
+ 11x+ 15 2x2+ 19
x+ 35
13. x
3
−6x2 x2
−12x+ 36
14. a
4
+ 6a2
−7
a4+ 8 a2
−9
15. x
4
+x−x3 y−y x3
−x−x2y+y
16. 6 +x−x
2
15 + 2x−x2
17. x
3
−3x x3
−1
(x4+ x3+
x2) ( x2
−1)
18. x
6
+x3
−2
x4
−x3
y−x+y
19. 6y
2
+ 5y+ 1 6y2
−5y+ 1
20. m
2
+m−12
m2
−m−12
En el proceso de simplificaci´on, aveces se usan las siguientes propiedades:
a. p−q=−(q−p)
b. −p
q =
p
−q =− p q
c. −(p+q) =−p−q
d. −p
−q = p q
Ejemplo 4.3.Simplificar:
1. x
2
−5x−6 36−x2 =
(x−6) (x+ 1) (6−x) (6 +x) =
(x−6) (x+ 1)
−(x−6) (6 +x) =−
x+ 1 6 +x
2. 2−x
x2
−4 =
2−x
(x+ 2) (x−2) =
−(x−2) (x+ 2) (x−2) =
−1
x+ 2 =− 1
x+ 2
3. (a−b)
3
(b−a)2 =
(a−b) (a−b) (a−b) (b−a) (b−a)
=[−(b−a)] [−(b−a)] (a−b) (b−a) (b−a)
4 4 Fracciones
4. (n+ 1)−n
3
−n2 n3
−n−2n2
+ 2 =
(n+ 1)− n3
+n2 n(n2
−1)−2 (n2
−1)
= (n+ 1)−n
2
(n+ 1) (n2
−1) (n−2)
= (n+ 1) 1−n
2
(n2
−1) (n−2)
= (n+ 1) 1−n
2
−(1−n2) ( n−2)
=−n+ 1
n−2
Ejercicio 3.
Simplificar:
1. 4−4x 6x−6
2. a
2
−b2 b2
−a2
3. m
2
−n2
(n−m)2
4. x
2
−x−12 16−x2
5. 2x
2
−9x−5 10 + 3x−x2
6. 8−a
3
a2+ 2 a−8
7. a
2
+a−2
n−an−m+am
8. a
2
−b2 b3
−a3
9. 3bx−6x 8−b3
10. (x−5)
3
125−x3
11. (x−2)
2 x2
−x−12
(2−x) (3−x)2
12. x
2
−1 x2
−8x+ 16
(x2
−4x) (1−x2)
4.3 Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones P
Q y R
S son equivalentes y se escribe P
Q =
R
S si se verifica que
P·S =Q·R.
Por ejemplo, x+ 2
x2
−4 y 1
x−2 son fracciones equivalentes porque
(x+ 2) (x−2) =x2−4.
Ejemplo 4.4.Hallar el interrogante en:
1. 2a 3b =
6a2
? ⇒(2a)(?) = (6a
2
)(3b)
? = (6a
2
)(3b)
4.4 Conversi´on de una fracci´on a expresi´on entera o mixta 5
2. 5 4y2 =
? 20a2
y4 ⇒(5)(20a 2
y4
) = (4y2
)(?)⇒ (5)(✚20✚a
2 y4✄
) ✁
4y2✄ =?⇒25a 2
y2
=?
3. x−2
x−3 = ?
x2
−x−6 ⇒(x−2)(x
2
−x−6) = (?)(x−3)
⇒ (x−2)(x
2
−x−6)
x−3 = (?)
⇒(?) = (x−2)✘✘✘ ✘ (x−3) (x+ 2) ✘✘✘(x−✘3) =x
2
−4
Ejercicio 4.
Hallar el (?) en:
1. 3 2a=
? 4a2
2. 5 9x2 =
20a
?
3. ? 2a2
b2 = m ab2
4. 9x
2 y2
? = 3x
8y
5. 2x
x−1 = ?
x2
−x
6. x−5
a =
3x2
−15x
?
7. ?
a3+ 1 =
2
a+ 1
8. x
2
−1 ? =
x−1
x+ 1
4.4 Conversi´
on de una fracci´
on a expresi´
on entera o
mixta
Se presentan 2 casos
• caso 1: Se usa P+Q
R =
P R+
Q R.
Ejemplo 4.5.
1. 6a
3
−10a2
2a =
6a3
2a −
10a2
2a = 3a 2
−5a; expresi´on entera.
2. 10a
2
+ 15a−2 5a =
10a2
5a +
15a
5a −
2
5a = 2a+ 3−
2
5a; expresi´on mixta.
Ejercicio 5.
6 4 Fracciones
1. 4x
3
−2x2
2x
2. 9x
3 y−6x2
y2
+ 3xy2
3xy
3. x
2
+ 3
x
4. 9x
3
−6x2
+ 3x−5 3x
5. 2a
3
−4a2
−2a
6. −3m
2
+ 4m
−2m
7. 3x
2 y3
−5a2 x4
−3x2
8. 6m
3
−8m2
n+ 20mn
−2m
• caso 2: Se realiza la divisi´on entre el numerador y el denominador.
Ejemplo 4.6. Convertir en expresi´on entera o mixta
1. 6x
3
−3x2
−5x+ 3 3x2
−2
Realizamos la divisi´on
6x3
−3x2
−5x+ 3 3x2
−2
−6x3 +4x
+3x2
−2
−x+ 1
2x−1
−3x2 − x
luego 6x
3
−3x2
−5x+ 3 3x2
−2 = 2x−1 +
−x+ 1 3x2
−2
2. a
2
+ 2a−3
a+ 3
Al realizar la divisi´on
a2
+ 2a−3 a+ 3
a−1
+a+ 3
0
−a2
−3a
−a−3
luego a
2
+ 2a−3
4.5 Conversi´on de una expresi´on mixta a fraccionaria 7
Ejercicio 6.
Convertir a expresi´on entera o mixta
1. x
2−
5x−16 x+ 2
2. 12x
2
−6x−2 4x−1
3. a
3
+ 3b3
a+ 2b
4. x
3
−x2
−6x+ 1 x2−
3
5. 3x
3
+ 4x2
y+ 2xy2−
6y3
3x−2y
6. x
2
−20 +x x+ 5
7. 6x
2
−xy−2y2
y+ 2x
8. 2x
3
−7x2
+ 6x−8 2x2−x
+ 1
9. 2a
4−
3a3
+a2
a2−a+ 1
10. a
4
−a2
+ 2a−1 a2
+a+ 1
11. x
5
+ 12x2
−5x x2−
2x+ 5
12. 8x
4
4x2
+ 5x+ 6
4.5 Conversi´
on de una expresi´
on mixta a fraccionaria
Se usa la expresi´on:P±Q
R =
P R+Q
R .
Ejemplo 4.7.Convertir en una fracci´on algebraica
1.a+ 4a
a+ 2 =
a(a+ 2) + 4a
a+ 2 =
a2
+ 2a+ 4a
a+ 2 =
a2
+ 6a a+ 2 =
a(a+ 6)
a+ 2
2.x+ 5− 3
x−2 =
(x+ 5)(x−2)−3
x−2 =
x2−2x+ 5x−10−3
x−2 =
x2+ 3x−13
x−2
3. 1−a
2
a +a−3 =
(1−a2
) +a(a−3)
a =
1−a2
+a2
−3a
a =
1−3a a
4. 2a+x
a+x −1 =
2a+x−1(a+x)
a+x =
2a+x−a−x
a+x =
a a+x
5.a+b−a 2
+b2 a−b =
(a+b)(a−b)−(a2
+b2
)
a−b =
a2
−b2
−a2
−b2
a−b =
−2b2 a−b
Ejercicio 7.
Reducir a fracci´on:
1. m−n−n 2
m
2. a+ ab
a+b
3. 1−a+x
a−x
4. 3mn
m−n+m−2n
5. x+ 2− 3
x−1
6. x2
−3x−x 2
−6x x+ 2
7. m2
−2m+ 4− m
3
m+ 2
8. x+ 3−x
3
−2x2
+ 1
x2
8 4 Fracciones
4.6 Operaciones con Fracciones
4.6.1 Multiplicaci´on y Divisi´on de expresiones racionales
Nos basamos en los siguientes resultados:
• P
Q· R S =
P·R
Q·S siQ6= 0 yS6= 0 • P Q÷
R S =
P Q·
S
R =
P·S Q·R
Ejemplo 4.8.
1. 2a 3b3·
3b2
4x · x2
2a2 =
✁ 6ab2
x2
✚24✚a2 b3
x= x
4ab
2. 2x
2
+x
6 · 8 4x+ 2 =
x✘✘✘(2x+ 1)✘ ✁ 6 3
·
2 ✁ 4 ✁ 8 ✁
2✘✘✘(2x+ 1)✘= 2x
3
3. 2x
2
+ 2x
2x2 · x2
−3x x2
−2x−3 =
2✁x✘✘✘(x+ 1)✘ 2✚x✚2 ·
✁
x✘✘✘(x−✘3) ✘✘✘(x−✘3)✘✘✘x+ 1 = 1
4. a
2
−81 2a2+ 10
a· a+ 11
a2
−36·
2a−12 2a+ 18·
a3
+ 5a2
2a+ 22 =
✘✘✘(a+ 9)(✘a−9) 2a✁✘✘✘(a+ 5)✘ ·
✘✘✘a+ 11 (a+ 6)✘✘✘(a−✘6)·
2✘✘✘(a−✘6) ✁
2✘✘✘(a+ 9)✘·
a
a2✘✘✘✘
(a+ 5) 2✘✘✘(a+ 11)✘
= a(a−9) 4(a+ 6)
5.a+a
b
a− a
b+ 1
=ab+a
b ·
a(b+ 1)−a
b+ 1 =
a✘✘✘(b+ 1)✘ ✁
b ·
a✁b
✘✘b+ 1✘=a2
6. 1 + a
b
a− b
a a+
b2 a2
−b2
= b+a
b · a−b
b · a2
−b2
+b2 a2
−b2
=✘✘ ✘
a+b b ·
a−b b ·
a2
(a+b)(a−b)
= a
2
b2
7. x
2
3y2 ÷
2x y3 =
✚x✚2
3y2· y3
2✁x= xy
6
8. x−1 3 ÷
2x−2 6 =
x−1 3 ·
6 2x−2 =
✘✘✘x−1 3 ·
6
4.6 Operaciones con Fracciones 9
9. a
2
−6a+ 5
a2
−15a+ 56÷
a2
+ 2a−35
a2
−5a−24 =
a2
−6a+ 5
a2
−15a+ 56 ·
a2
−5a−24
a2
+ 2a−35
=✘✘✘ ✘ (a−5)(a−1) ✭✭✭✭(a−8)(a✭✭−✭7)·
✭✭✭✭(a−8)(a✭✭+ 3)✭ (a+ 7)✘✘✘(a−✘5)
=(a−1)(a+ 3) (a+ 7)(a−3)
=a
2
+ 2a−3
a2
−49
10.
1 + a
a+b
÷
1 + 2a
b
=a+b+a
a+b ÷ b+ 2a
b
=2a+b
a+b · b
2a+b
= b
a+b
Ejercicio 8.
Factorizar:
1. 2a
2
3b · 6b2
4a
2. 5x
2
7y2 ·
4y2
7m2 ·
14m 5x4
3. 7a 6m2·
3m 10n3 ·
5n4
14ax
4. 5x+ 25 14 ·
7 10x+ 50
5. 3x+ 15 7 ·
28x+ 28 6x+ 30
6. x
2
+ 2x x2−16·
x2−
2x−8 x3+x2 ·
x2
+ 4x x2+ 4x+ 4
7. (x−y)
3
x3−1 ·
x2
+x+ 1 (x−y)2
8. x
3
−27 a3−
1 · a2
+a+ 1 x2
+ 3x+ 9
9. x
4
+ 27x x3−x2
+x· x4
+x x4−
3x3
+ 9x2 ·
1 x(x+ 3)2
10.
1− x a+x
1 +x a
11.
x−x
3
−6x x2−25
x+ 1− 8 x+ 3
12.
2 + 2
x+ 1 3− 6
x+ 2 1 + 1 x
13. 3a
2
b 5x2 ÷a
2
b3
14. 5m
2
7n3 ÷
10m 14n
15. 6a2
x3
÷a
2
x 5
16. 11x
2
y3
7m2 ÷22y 4
17. x−1 3 ÷
4x−4 12
18. 1
a2−a−
30÷ 2 a2
+a−42
19. x
3
−121x x2−49 ÷
x2
−11x x+ 7
20. a
2
−6a a2
+ 3a2 ÷
a2
+ 3a−54 a2
+ 9a
21.
x− 2 x+ 1
÷
x− x x+ 1
22.
x+ 1 x+ 2
÷
1 + 3 x2−4
23. 3x 4y·
8y 9x÷
z2
3x2
24. 5a b
÷
2a b2 ·
5x 4a2
25. a+ 1 a−1
·3a −3 2a+ 2÷
a2
10 4 Fracciones
26. x
4−
27x x2+ 7x−30·
x2
+ 20x+ 100 x3 + 3x2+ 9x ÷
x2−
100 x−3
27. a b−a·
a2
+b2
a+b ÷ a2
−b2
a2−2ab+b2
28. c
4
9a2−b2 ·
27a3
−b3
ac+bc ÷ ac3
−bc3
36a2−
2ab−b2
29. 21y y2−
9· y2
−6y+ 9 7y+ 21 ÷
3y−9 y2
+ 6y+ 9
30. y x2 ÷
x2
+ 3x 2x2−5x−3·
x3
y−x2y 2x2−3x+ 1
4.6.2 Adici´on y Sustracci´on
Se presentan dos casos
Caso 1: Fracciones con igual denominador
Se usan las expresiones
P Q+
R Q=
P+R
Q y
P Q−
R Q=
P−R Q
Ejemplo 4.9.Realizar las operaciones y simplificar:
1. x−2 4 +
3x+ 2 4 −
x+ 1 4 =
(x−2) + (3x+ 2)−(x+ 1) 4
= x−2 + 3x+ 2−x−1
4 =
3x−1 4
2. a+b 3a2
b − a−b
3a2 b −
2 3a2
b =
(a+b)−(a−b)−2 3a2
b =
a+b−a+b−2 3a2
b =
2b−2 3a2
b =
2(b−1) 3a2
b
3. 8a+ 17
a+ 17 + 3a−4
a+ 17 =
(8a+ 17) + (3a−4)
a+ 17 =
8a+ 17 + 3a−4
a+ 17 =
11a+ 13
a+ 17
4. 5x
2
−3x+ 4
x+ 1 −
4x2
−3x+ 5
x+ 1 =
(5x2
−3x+ 4)−(4x2
−3x+ 5)
x+ 1
=5x
2
−3x+ 4−4x2
+ 3x−5
x+ 1
=x
2
−1
x+ 1 =
(x+ 1)(x−1)
4.6 Operaciones con Fracciones 11
5. 8y−3 4y−5 −
11y−16 4y−5 +
7−3y
4y−5 =
(8y−3)−(11y−16) + (7−3y) 4y−5
=8y−3−11y+ 16 + 7−3y 4y−5 =
−6y+ 20 4y−5
6. 6
x−2 + 7 2−x=
6
x−2 + 7
−(x−2) = 6
x−2− 7
x−2 = 6−7
x−2 =
−1
x−2
Ejercicio 9.
Factorizar:
1. x+ 1 2 −
x−1 2 +
2x−3 2
2. x+ 2 2a +
2−x
2a +
6 2a
3. 5x
2
−4x+ 7 7x2 −
13x2
−8x−13 7x2
4. 8c
2
−3c+ 11 3c2 −
5c2
−6c+ 11 3c2
5. 18b
2
−11b+ 31 7b2 −
11b2
+ 3b+ 31 7b2
6. 11x
2
+ 5x−23
x2+
x+ 11 − 9x2
+ 7x−18
x2+ x+ 11
7. 7x−5 2x+ 3 +
4x−6 2x+ 3 −
5x−20 2x+ 3
8. 14y+ 3 4y−7 −
3y−5 4y−7 +
9y−43 4y−7
9. 2x−3 3x+ 2 +
5x+ 1 3x+ 2−
8−5x
3x+ 2
10. 5
x−y +
6
y−x
11. x
y−7 −
y
7−y
12. x
2
x−y + y2 y−x
13. b
2
b−4+ 16 4−b
14. 1
a−1 + 2
a−1 − 3 1−a
15. a
a−b − b b−a+
2a a−b
Caso 1: Fracciones con distinto denominador
Para sumar o restar fracciones que contienen distinto denominador lo usual es buscar frac-ciones equivalentes que tengan el mismo denominador y se procede como en elcaso 1.
Ejemplo 4.10.Realizar la operaci´on indicada y simplificar:
x x2
−1+ 1
x2+ 3x+ 2
Como las fracciones tienen distintos denominadores, se buscan fracciones equivalente que tenga el mismo denominador (un com´un denominador). Para ello se siguen los siguientes pasos
12 4 Fracciones
x2
−1 = (x+ 1)(x−1)
x2
+ 3x+ 2 = (x+ 2)(x+ 1)
=⇒ m.c.m{x2
−1, x2
+ 3x+ 2}= (x+ 1)(x−1)(x+ 2)
2. Dividimos el com´un denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y multiplicamos el resultado por el numerador correspondiente, por lo tanto.
x x2
−1 =
x
(x+ 1)(x−1) =
x(x+ 2) (x+ 1)(x−1)(x+ 2)
1
x2+ 3
x+ 2 =
1
(x+ 2)(x+ 1) =
1(x−1)
(x+ 2)(x+ 1)(x−1) =
x−1
(x+ 2)(x+ 1)(x−1)
3. Se realizan las operaciones indicadas:
x x2
−1 + 1
x2
+ 3x+ 2 =
x(x+ 2)
(x+ 1)(x−1)(x+ 2)+
1(x−1) (x+ 1)(x−1)(x+ 2)
= x(x+ 2) + (x−1) (x+ 1)(x−1)(x+ 2)
= x
2
+ 2x+x−1
x3+ 2 x2
−x−2
= x
2
+ 3x−1
x3
+ 22
−x−2
En la practica se procede como se muestra a continuaci´on, en los siguientes ejemplos
Ejemplo 4.11.
1. 5 6+
3 4 −
7 9 =
30 + 27−28 36 =
29 36
6 4 9 2 3 2 9 2 3 1 9 3 1 1 3 3 1 1 1
m.c.m(6,4,9) = 2·2·3·3 = 36
2. x−2 4 +
3x+ 2 6 =
3(x−2) + 2(3x+ 2)
12 =
3x−6 + 6x+ 4 12 =
4.6 Operaciones con Fracciones 13
3. a−1 3 +
2a
6 +
3a+ 14 12 =
4(a−1) + 2(2a) + (1)(3a+ 14) 12
= 4a−4 + 4a+ 3a+ 14 12
= 11a+ 10 12
4. x−3 4 −
x+ 2 8 =
2(x−3)−(x+ 2)
8 =
2x−6−x−2
8 =
x−8 8
5. x−1 3 −
x−2 4 −
x+ 3 6 =
4(x−1)−3(x−2)−2(x+ 3) 12
= 4x−4−3x+ 6−2x 12
= −x−4 12
6. 3 2a+
a−2 6a2 =
(3a)(3) + (1)(a−2) 6a2 =
9a+a−2 6a2 =
10a−2 6a2 =
2(5a−1) 6a2 =
5a−1 3a2
7. 1
ab+ b2
−a2 ab3 +
ab+b2 a2
b2 = ab2
+a(b2
−a2
) +b(ab+b2
)
a2 b3
8. a+ 5b
a2 − b−3
ab =
b(a+ 5b)−a(b−3)
a2
b =
ab+ 5b2
−ab+ 3a a2
b =
5b2
+ 3a a2
b
Ejercicio 10.
Realizar las operaciones indicadas y simplificar:
1. x−7 15 +
x−9 25 −
x+ 3 45
2. a−1 3 −
a−2 5 −
a
7
3. a−2b 15a +
b−2a
20b
4. a+ 3b 3ab +
a2
b−4ab2
5a2 b2
5. n
m2 +
3
mn+
2
m
6. m−n
mn +
n−a
na +
2a−m am
7. 2a−3 3a +
3x−2 10x +
x−a
5ax
8. a+ 5b
a2 − b−3
ab
9. 2a+ 3 4a −
a−2 8a
10. 2 3mn2 −
1 2m2
n
11. 3 5x−
x−1 3x2 −
x2
+ 2x
15
12. 1 2a−
2 +b
3ab −
5 6a2
14 4 Fracciones
Veamos ahora algunos ejemplos de sumas y restas de fracciones cuyo denominador son polinomios
Ejemplo 4.12.
1. 1
a+ 1 + 1
a−1 =
(a−1) + (a+ 1) (a+ 1)(a−1) =
a−1 +a+ 1
a2
−1 = 2a a2
−1
2. 1
x−4 − 1
x−3 =
(x−3)−(x−4) (x−4)(x−3) =
x−3−x+ 4
x2
−7x+ 12 = 1
x2
−7x+ 12
3. 3 1
a+ 3 + 1 2a−2 +
1
a2
−1 = 1 3(a+ 1)+
1 2(a−1)+
1 (a+ 1)(a−1)
= 2(a−1) + 3(a+ 1) + 2·3 2·3·(a+ 1)(a−1) =
2a−2 + 3a+ 3 + 6 6(a2
−1)
= 5a+ 7 6(a2
−1)
4. x+ 5
x2+
x−12+
x+ 4
x2+ 2
x−15+
x−3
x2+ 9
x+ 20 =
x+ 5 (x+ 4)(x−3)+
x+ 4 (x+ 5)(x−3)+
x−3 (x+ 5)(x+ 4)
= (x+ 5)(x+ 5) + (x+ 4)(x+ 4) + (x−3)(x−3) (x+ 4)(x−3)(x+ 5)
= (x
2
+ 10x+ 25) + (x2
+ 8x+ 16) + (x2
−6x+ 9) (x+ 4)(x−3)(x+ 5)
= 3x
2
+ 12x+ 50 (x+ 4)(x−3)(x+ 5)
5. x+y
xy −
x+ 2y xy+y2 −
y x2+
xy = x+y
xy −
x+ 2y y(x+y)−
y x(y+x)
= (x+y)(x+y)−x(x+ 2y)−y
2
xy(x+y) =?
6. 2
x+ 1+ 3
x−1−
x+ 5 1−x2 =
2
x+ 1 + 3
x−1−
x+ 5
−(x2
−1)
= 2
x+ 1 + 3
x−1+
x+ 5
x2
4.6 Operaciones con Fracciones 15
7. x2 x
−5x+ 6− 1 2−x−
2x
(3−x)(1−x) =
x
(x−3)(x−2)− 1 2−x−
2x
(3−x)(1−x)
= x
(x+ 3)(x−2)− 1
−(x−2) −
2x
[−(x−3)] [−(x−1)]
= x
(x−3)(x−2)+ 1
x−2−
2x
(x−3)(x−1)
=x(x−2) + (1)(x−3)(x−1)−2x(x−2) (x−3)(x−2)(x−1)
8. x
x2+ 2
x−3+
x−3 (1−x)(x+ 2) +
1
x+ 2 =
x
(x+ 3)(x−1)+
x−3
−(x−1)(x+ 2) + 1
x+ 2
= x
(x+ 3)(x−1)−
x−3 (x−1)(x+ 2)+
1
x+ 2
=x(x+ 2)−(x−3)(x+ 3) + (x−1)(x+ 3) (x−1)(x+ 2)(x+ 3)
=x
2
+ 2x−(x2
−9) + (x2
+ 2x−3) (x−1)(x+ 2)(x+ 3)
=x
2
+ 2x−x2+ 9−x2−2x+ 3 (x−1)(x+ 2)(x+ 3)
= −x
2
+ 12 (x−1)(x+ 2)(x+ 3)
Ejercicio 11.
Realizar las operaciones y simplificar:
1. 2
x+ 4+ 1
x−3
2. x
x−y + x x+y
3. m+ 3
m−3+
m+ 2
m−2
4. 1−x 1 +x−
1 +x
1−x
5. 2
x−4 −
−2
x−3
6. −3
x−1 − 4
x−2
7. 2
x−5 + 3
x2
−25
8. x
a2
−ax + a+x
ax +
16 4 Fracciones
9. 3
a+
2 5a−3 +
1−85a
25a2
−9
10. a−2
a−1 +
a+ 3
a+ 2+
a+ 1
a−3
11. b
a2
−b2 − b a2+
ab
12. y
x2
−xy−
1
x−
1
x−y
13. x
2
x2
−xy−
2x y−x
14. 1 2x−x2 +
x x2
−4
15. 1
a2
−ab+
1
ab − a2
+b2 a3
b−ab3
16. a−b
a2
+ab+ a+b
ab − a ab+b2
17. a−1 3a+ 3−
a−2 6a−6+
a2
+ 2a−6 9a2
−9
18. a
3
a3+ 1 +
a+ 3
a2
−a+ 1 −
a−1
a+ 1
19. x−4
x2
−2x−3−
x
6−2x
20. 1 2x+ 2 +
2 1−x+
7 4x−4
21. x+ 3y
y+x +
3y2 x2
−y2− x y−x
22. 1
a−3+
a+ 1 (3−a)(a−2)+
2 (2−a)(1−a)
23. 1−x
2
9−x2 −
6x x2
−6x+ 9−
6x x2
−6x+ 9
24. 3x+ 2
x2
+ 3x−10 −
5x+ 1
x2
+ 4x−5 + 4x−1
x2
−3x+ 2
25. x
x2+
x−2− 3
x2+ 2 x−3−
x x2+ 5
x+ 6
4.6.3 Fraciones Complejas
Una fracci´on compleja es una fracci´on cuyo numerador o denominador es a su vez una fracci´on. Por ejemplo, son fracciones complejas
• 1
1 + x
x+ 1
• x+ 1
3 + x
2
−1
x2+ 2 x+ 1
•
3 + 5 1 + x
x−1 2 +x−1
4.6 Operaciones con Fracciones 17
Ejemplo 4.13.Realizar las operaciones indicadas y simplificar
1.
a−a
b
b−1
b
=
ab−a b b2
−1
b
= b(ab−a)
b(b2
−1) =
a(b−1) (b+ 1)(b−1) =
a b+ 1
2. 1
m +
1
n
1
m −
1
n
=
n+m mn n−m
mn
=mn(n+m)
mn(n−m) =
n+m n−m
3.
a−4 + 4
a
1−2
a
=
a(a−4) + 4
a a−2
a
=
a2
−4a+ 4
a a−2
a
= a(a
2
−4a+ 4)
a(a−2)
= a
2
−4a+ 4
a−2
= (a−2)
2
a−2 =a−2
4.
1 + 1 1−1
y
1− 3
1−1
y
=
1 + 1
y−1
y
1− y−3 1
y
=
1 + y
y−1 1− 3y
y−1
=
y−1 +y y−1
y−1−3y y−1
=
2y−1
y−1
−2y−1
y−1
= (y−1)(2y−1) (y−1)(−2y−1)
= 2y−1
18 4 Fracciones
5. 2− 2
2− 1
1−1
x
= 2− 2
2− x−1 1
x
= 2− 2
2− x
x−1
= 2− 2( 2
x−1)−x x−1
= 2− 2(x−1)
2(x−1)−x
= 2− 2 2x−2
x−2−x = 2−
2x−2
x−2
= 2(x−2)−(2x−2)
x−2 =
2x−4−2x+ 2
x−2 = −2
x−2
Ejercicio 12.
Realizar las operaciones indicadas y simplificar
1.
x2
−x1
1−1
x
2.
a b −
b a
1 + b
a
3.
2 + 3a 5b
a+ 10b 3
4.
1 + 1
x−1 1 + 1
x2
−1
5.
1 + x+ 1
x−1 1
x−1 − 1
x+ 1
6.
a2 b3 +
1
a a
b − b−a a−b
7.
1− 7
x +
12
x2
x− 16
x
8.
a2
b −
b2 a
1
b +
1
a +
b a2
9. 1 1 + 1
x
10. 1
1 + 1 1− 1
x
11. 2 1 + 2
1 + 2
4.6 Operaciones con Fracciones 19
12. x−1
x+ 2− x
2
+ 2
x− x−2
x+ 1
13.
1 + 1 5
a + 2
1− 11
a + 2
14. x− 1
1− 1
1− 1
1−x
15. 1− 1
1− 1
2− 1
