Fracciones 4.1 Fracci´ on Algebraicas

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(1)

CAP´

ITULO

4

Fracciones

4.1 Fracci´

on Algebraicas

Una fracci´on algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por P

QdondeQ6= 0.

Por ejemplo, 3 4,

x+ 2

x−2,

−2

x2+ 3, x2

−3x+ 4 5 ,

x2

+ 2xy3y2 x3+

y3 son fracciones algebraicas,

mientras que

x2

+ 3 3 ,

−2

x+ 1,

x13 −2

x no lo son.

4.2 Simplificaci´

on de fracciones Algebraicas

Si P, Q, Rson polinomios, entonces P Q

RQ = P

R, dondeR6= 0 yQ6= 0. Asi que, simplificar

una fracci´on algebraica significa dividir el numerador y el denominador por un polinomio que sea factor com´un de ambos. La fracci´on resultante debe estar reducida a su m´ınima expresi´on, es decir el numerador y denominador no deben tener factores comunes diferentes de 1 ´o−1.

Ejemplo 4.1.Reducir a su m´ınima expresi´on

1. 54 48 =

1 1 ✁ 2✁3 3 3 ✁ 2 2 2 2✁3 1 1

= 9 8

2. 4 8 =

2·2 2·2·2 =

1 2

3. 10x 2 =

5x

1 = 5x

(2)

2 4 Fracciones

4. 45xy

−27x =

5y

−3

5. 7a

5 b4

21a2 b8 =

a3

3b4

Ejercicio 1.

1. Responder Verdadero ´o Falso

a. 3 +✁3 ✁ 3

b. a✁+✁b ✁

a+✁b = 0

c. a

2

+b2 a2+

c2 = b2 c2

d. 3a+ 1 1 + 3a = 1

e. 5 15 =

✁ 5 3·✁5 =

0 3

f. ✁5a+ 7 ✁

5a+ 3 =

a+ 7

a+ 3

g. −a

b =

−a

−b

h. 3 (x+b) 2 (x+b) =

3 2

2. a. 12ab

2

14ab

b. 26xy 39x2y3

c. −50x

2

35y2

d. 45xy

−27x

e. 9x

2 y3

24a2 x3

y4

f. 12a

2 b3

60a3 b5

x6

g. a

5 b7

3a8 b9

c

h. 75a

7 m5

100a3 m10

n6

Ejemplo 4.2.Simplificar:

1. 3ab 2a2

x+ 2a3 =

3✁ab

2a2✄(x+a) =

3b

2a(x+a)

2. x

2

−2x3

x−3 =

(x3) (x+ 1)

x−3 =

x+ 1

1 =x+ 1

3. x

2

−4

x2+ 5

x+ 6 =

✘✘✘(x+ 2) (✘ x−2) (x+ 3)✘✘✘(x+ 2)✘=

x−2

x+ 3

4. 8x

3

+ 27 4x2+ 12

x+ 9 =

(2x+ 3) 4x2

−6x+ 9

(2x+ 3)2 = 4x2

−6x+ 9 2x+ 3

5. a

3

−25a

2a3+ 8 a2

−10a= a a2

−25

2a(a2+ 4

−5) =

a(a+ 5) (a−5) 2a(a+ 5) (a−1) =

a−5 2 (a−1)

6. 2xy−2x+ 3−3y 18x3+ 15

x2

−63x=

y−1 3x(3x+ 7)

7. 3x

3

−12x−x2 y+ 4y x4

−5x3

−14x2 =

(a−2) (3x−y)

x2(x

−7)

8. a

2

−1 a2

+ 2a−3

(a2

(3)

4.2 Simplificaci´on de fracciones Algebraicas 3

Ejercicio 2.

Simplificar:

1. xy 3x2

y−3xy2

2. 10a

2 b3

c

80 (a3

−a2 b)

3. x

2

−4 5ax+ 10a

4. 3x

2

y+ 15xy x2

−25

5. x

3

+ 4x2

−21x x3

−9x

6. a

3

+ 1

a4

−a3+ a−1

7. m

2

+n2 m4

−n4

8. (m−n)

2

m2

−n2

9. a

4 b2

−a2 b4 a4

−b4

10. n

3

−n n2

−5n−6

11. 3x

3

+ 9x2 x2+ 6x+ 9

12. 2x

2

+ 11x+ 15 2x2+ 19

x+ 35

13. x

3

−6x2 x2

−12x+ 36

14. a

4

+ 6a2

−7

a4+ 8 a2

−9

15. x

4

+x−x3 y−y x3

−xx2y+y

16. 6 +x−x

2

15 + 2x−x2

17. x

3

−3x x3

−1

(x4+ x3+

x2) ( x2

−1)

18. x

6

+x3

−2

x4

−x3

yx+y

19. 6y

2

+ 5y+ 1 6y2

−5y+ 1

20. m

2

+m−12

m2

−m12

En el proceso de simplificaci´on, aveces se usan las siguientes propiedades:

a. pq=−(qp)

b. −p

q =

p

−q =− p q

c. −(p+q) =−pq

d. −p

−q = p q

Ejemplo 4.3.Simplificar:

1. x

2

−5x6 36−x2 =

(x6) (x+ 1) (6−x) (6 +x) =

(x6) (x+ 1)

−(x−6) (6 +x) =−

x+ 1 6 +x

2. 2−x

x2

−4 =

2−x

(x+ 2) (x2) =

−(x−2) (x+ 2) (x2) =

−1

x+ 2 =− 1

x+ 2

3. (a−b)

3

(ba)2 =

(ab) (ab) (ab) (b−a) (b−a)

=[−(b−a)] [−(b−a)] (a−b) (ba) (ba)

(4)

4 4 Fracciones

4. (n+ 1)−n

3

−n2 n3

−n2n2

+ 2 =

(n+ 1)− n3

+n2 n(n2

−1)−2 (n2

−1)

= (n+ 1)−n

2

(n+ 1) (n2

−1) (n−2)

= (n+ 1) 1−n

2

(n2

−1) (n2)

= (n+ 1) 1−n

2

−(1−n2) ( n−2)

=−n+ 1

n−2

Ejercicio 3.

Simplificar:

1. 4−4x 6x−6

2. a

2

−b2 b2

−a2

3. m

2

−n2

(n−m)2

4. x

2

−x−12 16−x2

5. 2x

2

−9x−5 10 + 3xx2

6. 8−a

3

a2+ 2 a−8

7. a

2

+a−2

nanm+am

8. a

2

−b2 b3

−a3

9. 3bx−6x 8−b3

10. (x−5)

3

125−x3

11. (x−2)

2 x2

−x12

(2−x) (3−x)2

12. x

2

−1 x2

−8x+ 16

(x2

−4x) (1−x2)

4.3 Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones P

Q y R

S son equivalentes y se escribe P

Q =

R

S si se verifica que

P·S =Q·R.

Por ejemplo, x+ 2

x2

−4 y 1

x−2 son fracciones equivalentes porque

(x+ 2) (x−2) =x2−4.

Ejemplo 4.4.Hallar el interrogante en:

1. 2a 3b =

6a2

? ⇒(2a)(?) = (6a

2

)(3b)

? = (6a

2

)(3b)

(5)

4.4 Conversi´on de una fracci´on a expresi´on entera o mixta 5

2. 5 4y2 =

? 20a2

y4 ⇒(5)(20a 2

y4

) = (4y2

)(?)⇒ (5)(✚20✚a

2 y4✄

) ✁

4y2✄ =?⇒25a 2

y2

=?

3. x−2

x3 = ?

x2

−x6 ⇒(x−2)(x

2

−x−6) = (?)(x−3)

⇒ (x−2)(x

2

−x−6)

x−3 = (?)

⇒(?) = (x−2)✘✘✘ ✘ (x−3) (x+ 2) ✘✘✘(x−✘3) =x

2

−4

Ejercicio 4.

Hallar el (?) en:

1. 3 2a=

? 4a2

2. 5 9x2 =

20a

?

3. ? 2a2

b2 = m ab2

4. 9x

2 y2

? = 3x

8y

5. 2x

x−1 = ?

x2

−x

6. x−5

a =

3x2

−15x

?

7. ?

a3+ 1 =

2

a+ 1

8. x

2

−1 ? =

x−1

x+ 1

4.4 Conversi´

on de una fracci´

on a expresi´

on entera o

mixta

Se presentan 2 casos

• caso 1: Se usa P+Q

R =

P R+

Q R.

Ejemplo 4.5.

1. 6a

3

−10a2

2a =

6a3

2a −

10a2

2a = 3a 2

−5a; expresi´on entera.

2. 10a

2

+ 15a2 5a =

10a2

5a +

15a

5a −

2

5a = 2a+ 3−

2

5a; expresi´on mixta.

Ejercicio 5.

(6)

6 4 Fracciones

1. 4x

3

−2x2

2x

2. 9x

3 y−6x2

y2

+ 3xy2

3xy

3. x

2

+ 3

x

4. 9x

3

−6x2

+ 3x5 3x

5. 2a

3

−4a2

−2a

6. −3m

2

+ 4m

−2m

7. 3x

2 y3

−5a2 x4

−3x2

8. 6m

3

−8m2

n+ 20mn

−2m

• caso 2: Se realiza la divisi´on entre el numerador y el denominador.

Ejemplo 4.6. Convertir en expresi´on entera o mixta

1. 6x

3

−3x2

−5x+ 3 3x2

−2

Realizamos la divisi´on

6x3

−3x2

−5x+ 3 3x2

−2

−6x3 +4x

+3x2

−2

−x+ 1

2x−1

−3x2 x

luego 6x

3

−3x2

−5x+ 3 3x2

−2 = 2x−1 +

−x+ 1 3x2

−2

2. a

2

+ 2a−3

a+ 3

Al realizar la divisi´on

a2

+ 2a−3 a+ 3

a−1

+a+ 3

0

−a2

−3a

−a3

luego a

2

+ 2a−3

(7)

4.5 Conversi´on de una expresi´on mixta a fraccionaria 7

Ejercicio 6.

Convertir a expresi´on entera o mixta

1. x

2

5x−16 x+ 2

2. 12x

2

6x−2 4x−1

3. a

3

+ 3b3

a+ 2b

4. x

3

−x2

−6x+ 1 x2

3

5. 3x

3

+ 4x2

y+ 2xy2

6y3

3x−2y

6. x

2

20 +x x+ 5

7. 6x

2

−xy−2y2

y+ 2x

8. 2x

3

−7x2

+ 6x−8 2x2x

+ 1

9. 2a

4

3a3

+a2

a2a+ 1

10. a

4

−a2

+ 2a−1 a2

+a+ 1

11. x

5

+ 12x2

5x x2

2x+ 5

12. 8x

4

4x2

+ 5x+ 6

4.5 Conversi´

on de una expresi´

on mixta a fraccionaria

Se usa la expresi´on:P±Q

R =

P R+Q

R .

Ejemplo 4.7.Convertir en una fracci´on algebraica

1.a+ 4a

a+ 2 =

a(a+ 2) + 4a

a+ 2 =

a2

+ 2a+ 4a

a+ 2 =

a2

+ 6a a+ 2 =

a(a+ 6)

a+ 2

2.x+ 5− 3

x−2 =

(x+ 5)(x−2)−3

x−2 =

x2−2x+ 5x−10−3

x−2 =

x2+ 3x−13

x−2

3. 1−a

2

a +a−3 =

(1−a2

) +a(a−3)

a =

1−a2

+a2

−3a

a =

1−3a a

4. 2a+x

a+x −1 =

2a+x−1(a+x)

a+x =

2a+x−a−x

a+x =

a a+x

5.a+ba 2

+b2 a−b =

(a+b)(ab)−(a2

+b2

)

a−b =

a2

−b2

−a2

−b2

a−b =

−2b2 a−b

Ejercicio 7.

Reducir a fracci´on:

1. mnn 2

m

2. a+ ab

a+b

3. 1−a+x

a−x

4. 3mn

m−n+m−2n

5. x+ 2− 3

x−1

6. x2

−3xx 2

−6x x+ 2

7. m2

−2m+ 4− m

3

m+ 2

8. x+ 3−x

3

−2x2

+ 1

x2

(8)

8 4 Fracciones

4.6 Operaciones con Fracciones

4.6.1 Multiplicaci´on y Divisi´on de expresiones racionales

Nos basamos en los siguientes resultados:

• P

Q· R S =

P·R

Q·S siQ6= 0 yS6= 0 • P Q÷

R S =

P Q·

S

R =

P·S Q·R

Ejemplo 4.8.

1. 2a 3b3·

3b2

4x · x2

2a2 =

✁ 6ab2

x2

24a2 b3

x= x

4ab

2. 2x

2

+x

6 · 8 4x+ 2 =

x✘✘✘(2x+ 1)✘ ✁ 6 3

·

2 ✁ 4 ✁ 8 ✁

2✘✘✘(2x+ 1)✘= 2x

3

3. 2x

2

+ 2x

2x2 · x2

−3x x2

−2x3 =

2✁x✘✘✘(x+ 1)✘ 2✚x✚2 ·

x✘✘✘(x−✘3) ✘✘✘(x✘3)✘✘✘x+ 1 = 1

4. a

2

−81 2a2+ 10

a· a+ 11

a2

−36·

2a−12 2a+ 18·

a3

+ 5a2

2a+ 22 =

✘✘✘(a+ 9)(✘a−9) 2a✁✘✘✘(a+ 5)✘ ·

✘✘✘a+ 11 (a+ 6)✘✘✘(a−✘6)·

2✘✘✘(a−✘6) ✁

2✘✘✘(a+ 9)✘·

a

a2✘✘✘

(a+ 5) 2✘✘✘(a+ 11)✘

= a(a−9) 4(a+ 6)

5.a+a

b

a− a

b+ 1

=ab+a

b ·

a(b+ 1)−a

b+ 1 =

a✘✘✘(b+ 1)✘ ✁

b ·

a✁b

✘✘b+ 1✘=a2

6. 1 + a

b

a− b

a a+

b2 a2

−b2

= b+a

b · a−b

b · a2

−b2

+b2 a2

−b2

=✘✘ ✘

a+b b ·

a−b b ·

a2

(a+b)(ab)

= a

2

b2

7. x

2

3y2 ÷

2x y3 =

✚x✚2

3y2· y3

2✁x= xy

6

8. x−1 3 ÷

2x2 6 =

x1 3 ·

6 2x−2 =

✘✘✘x1 3 ·

6

(9)

4.6 Operaciones con Fracciones 9

9. a

2

−6a+ 5

a2

−15a+ 56÷

a2

+ 2a−35

a2

−5a24 =

a2

−6a+ 5

a2

−15a+ 56 ·

a2

−5a−24

a2

+ 2a35

=✘✘✘ ✘ (a−5)(a−1) ✭✭✭✭(a8)(a✭✭✭7)·

✭✭✭✭(a−8)(a✭✭+ 3)✭ (a+ 7)✘✘✘(a✘5)

=(a−1)(a+ 3) (a+ 7)(a−3)

=a

2

+ 2a−3

a2

−49

10.

1 + a

a+b

÷

1 + 2a

b

=a+b+a

a+b ÷ b+ 2a

b

=2a+b

a+b · b

2a+b

= b

a+b

Ejercicio 8.

Factorizar:

1. 2a

2

3b · 6b2

4a

2. 5x

2

7y2 ·

4y2

7m2 ·

14m 5x4

3. 7a 6m2·

3m 10n3 ·

5n4

14ax

4. 5x+ 25 14 ·

7 10x+ 50

5. 3x+ 15 7 ·

28x+ 28 6x+ 30

6. x

2

+ 2x x216·

x2

2x−8 x3+x2 ·

x2

+ 4x x2+ 4x+ 4

7. (x−y)

3

x31 ·

x2

+x+ 1 (x−y)2

8. x

3

−27 a3

1 · a2

+a+ 1 x2

+ 3x+ 9

9. x

4

+ 27x x3x2

+x· x4

+x x4

3x3

+ 9x2 ·

1 x(x+ 3)2

10.

1− x a+x

1 +x a

11.

x−x

3

6x x2−25

x+ 1− 8 x+ 3

12.

2 + 2

x+ 1 3− 6

x+ 2 1 + 1 x

13. 3a

2

b 5x2 ÷a

2

b3

14. 5m

2

7n3 ÷

10m 14n

15. 6a2

x3

÷a

2

x 5

16. 11x

2

y3

7m2 ÷22y 4

17. x−1 3 ÷

4x−4 12

18. 1

a2a

30÷ 2 a2

+a−42

19. x

3

−121x x249 ÷

x2

−11x x+ 7

20. a

2

−6a a2

+ 3a2 ÷

a2

+ 3a−54 a2

+ 9a

21.

x− 2 x+ 1

÷

x− x x+ 1

22.

x+ 1 x+ 2

÷

1 + 3 x24

23. 3x 4y·

8y 9x÷

z2

3x2

24. 5a b

÷

2a b2 ·

5x 4a2

25. a+ 1 a−1

·3a −3 2a+ 2÷

a2

(10)

10 4 Fracciones

26. x

4

27x x2+ 7x30·

x2

+ 20x+ 100 x3 + 3x2+ 9x ÷

x2

100 x−3

27. a b−a·

a2

+b2

a+b ÷ a2

−b2

a22ab+b2

28. c

4

9a2b2 ·

27a3

−b3

ac+bc ÷ ac3

−bc3

36a2

2ab−b2

29. 21y y2

9· y2

6y+ 9 7y+ 21 ÷

3y−9 y2

+ 6y+ 9

30. y x2 ÷

x2

+ 3x 2x25x3·

x3

y−x2y 2x23x+ 1

4.6.2 Adici´on y Sustracci´on

Se presentan dos casos

Caso 1: Fracciones con igual denominador

Se usan las expresiones

P Q+

R Q=

P+R

Q y

P Q−

R Q=

PR Q

Ejemplo 4.9.Realizar las operaciones y simplificar:

1. x−2 4 +

3x+ 2 4 −

x+ 1 4 =

(x2) + (3x+ 2)−(x+ 1) 4

= x−2 + 3x+ 2−x−1

4 =

3x−1 4

2. a+b 3a2

b − ab

3a2 b −

2 3a2

b =

(a+b)−(ab)−2 3a2

b =

a+ba+b2 3a2

b =

2b2 3a2

b =

2(b1) 3a2

b

3. 8a+ 17

a+ 17 + 3a−4

a+ 17 =

(8a+ 17) + (3a−4)

a+ 17 =

8a+ 17 + 3a−4

a+ 17 =

11a+ 13

a+ 17

4. 5x

2

−3x+ 4

x+ 1 −

4x2

−3x+ 5

x+ 1 =

(5x2

−3x+ 4)−(4x2

−3x+ 5)

x+ 1

=5x

2

−3x+ 4−4x2

+ 3x−5

x+ 1

=x

2

−1

x+ 1 =

(x+ 1)(x−1)

(11)

4.6 Operaciones con Fracciones 11

5. 8y−3 4y−5 −

11y16 4y−5 +

7−3y

4y−5 =

(8y3)−(11y16) + (7−3y) 4y−5

=8y−3−11y+ 16 + 7−3y 4y−5 =

−6y+ 20 4y−5

6. 6

x−2 + 7 2−x=

6

x−2 + 7

−(x−2) = 6

x−2− 7

x−2 = 6−7

x−2 =

−1

x−2

Ejercicio 9.

Factorizar:

1. x+ 1 2 −

x−1 2 +

2x−3 2

2. x+ 2 2a +

2−x

2a +

6 2a

3. 5x

2

−4x+ 7 7x2 −

13x2

−8x−13 7x2

4. 8c

2

−3c+ 11 3c2 −

5c2

−6c+ 11 3c2

5. 18b

2

−11b+ 31 7b2 −

11b2

+ 3b+ 31 7b2

6. 11x

2

+ 5x−23

x2+

x+ 11 − 9x2

+ 7x−18

x2+ x+ 11

7. 7x−5 2x+ 3 +

4x6 2x+ 3 −

5x20 2x+ 3

8. 14y+ 3 4y7 −

3y−5 4y7 +

9y−43 4y7

9. 2x−3 3x+ 2 +

5x+ 1 3x+ 2−

8−5x

3x+ 2

10. 5

x−y +

6

y−x

11. x

y−7 −

y

7−y

12. x

2

x−y + y2 y−x

13. b

2

b−4+ 16 4−b

14. 1

a−1 + 2

a−1 − 3 1−a

15. a

a−b − b b−a+

2a a−b

Caso 1: Fracciones con distinto denominador

Para sumar o restar fracciones que contienen distinto denominador lo usual es buscar frac-ciones equivalentes que tengan el mismo denominador y se procede como en elcaso 1.

Ejemplo 4.10.Realizar la operaci´on indicada y simplificar:

x x2

−1+ 1

x2+ 3x+ 2

Como las fracciones tienen distintos denominadores, se buscan fracciones equivalente que tenga el mismo denominador (un com´un denominador). Para ello se siguen los siguientes pasos

(12)

12 4 Fracciones

x2

−1 = (x+ 1)(x1)

x2

+ 3x+ 2 = (x+ 2)(x+ 1)

 

=⇒ m.c.m{x2

−1, x2

+ 3x+ 2}= (x+ 1)(x1)(x+ 2)

2. Dividimos el com´un denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y multiplicamos el resultado por el numerador correspondiente, por lo tanto.

x x2

−1 =

x

(x+ 1)(x−1) =

x(x+ 2) (x+ 1)(x−1)(x+ 2)

1

x2+ 3

x+ 2 =

1

(x+ 2)(x+ 1) =

1(x−1)

(x+ 2)(x+ 1)(x−1) =

x−1

(x+ 2)(x+ 1)(x−1)

3. Se realizan las operaciones indicadas:

x x2

−1 + 1

x2

+ 3x+ 2 =

x(x+ 2)

(x+ 1)(x1)(x+ 2)+

1(x−1) (x+ 1)(x1)(x+ 2)

= x(x+ 2) + (x−1) (x+ 1)(x1)(x+ 2)

= x

2

+ 2x+x1

x3+ 2 x2

−x−2

= x

2

+ 3x−1

x3

+ 22

−x2

En la practica se procede como se muestra a continuaci´on, en los siguientes ejemplos

Ejemplo 4.11.

1. 5 6+

3 4 −

7 9 =

30 + 27−28 36 =

29 36

6 4 9 2 3 2 9 2 3 1 9 3 1 1 3 3 1 1 1

m.c.m(6,4,9) = 2·2·3·3 = 36

2. x−2 4 +

3x+ 2 6 =

3(x−2) + 2(3x+ 2)

12 =

3x−6 + 6x+ 4 12 =

(13)

4.6 Operaciones con Fracciones 13

3. a−1 3 +

2a

6 +

3a+ 14 12 =

4(a−1) + 2(2a) + (1)(3a+ 14) 12

= 4a−4 + 4a+ 3a+ 14 12

= 11a+ 10 12

4. x−3 4 −

x+ 2 8 =

2(x−3)−(x+ 2)

8 =

2x−6−x−2

8 =

x−8 8

5. x−1 3 −

x2 4 −

x+ 3 6 =

4(x1)−3(x2)−2(x+ 3) 12

= 4x−4−3x+ 6−2x 12

= −x−4 12

6. 3 2a+

a−2 6a2 =

(3a)(3) + (1)(a−2) 6a2 =

9a+a−2 6a2 =

10a−2 6a2 =

2(5a−1) 6a2 =

5a−1 3a2

7. 1

ab+ b2

−a2 ab3 +

ab+b2 a2

b2 = ab2

+a(b2

−a2

) +b(ab+b2

)

a2 b3

8. a+ 5b

a2 − b−3

ab =

b(a+ 5b)−a(b−3)

a2

b =

ab+ 5b2

−ab+ 3a a2

b =

5b2

+ 3a a2

b

Ejercicio 10.

Realizar las operaciones indicadas y simplificar:

1. x−7 15 +

x−9 25 −

x+ 3 45

2. a−1 3 −

a−2 5 −

a

7

3. a−2b 15a +

b−2a

20b

4. a+ 3b 3ab +

a2

b4ab2

5a2 b2

5. n

m2 +

3

mn+

2

m

6. m−n

mn +

n−a

na +

2a−m am

7. 2a−3 3a +

3x−2 10x +

x−a

5ax

8. a+ 5b

a2 − b3

ab

9. 2a+ 3 4a −

a−2 8a

10. 2 3mn2 −

1 2m2

n

11. 3 5x−

x−1 3x2 −

x2

+ 2x

15

12. 1 2a−

2 +b

3ab −

5 6a2

(14)

14 4 Fracciones

Veamos ahora algunos ejemplos de sumas y restas de fracciones cuyo denominador son polinomios

Ejemplo 4.12.

1. 1

a+ 1 + 1

a1 =

(a−1) + (a+ 1) (a+ 1)(a1) =

a−1 +a+ 1

a2

−1 = 2a a2

−1

2. 1

x−4 − 1

x−3 =

(x−3)−(x−4) (x−4)(x−3) =

x−3−x+ 4

x2

−7x+ 12 = 1

x2

−7x+ 12

3. 3 1

a+ 3 + 1 2a−2 +

1

a2

−1 = 1 3(a+ 1)+

1 2(a−1)+

1 (a+ 1)(a−1)

= 2(a−1) + 3(a+ 1) + 2·3 2·3·(a+ 1)(a−1) =

2a2 + 3a+ 3 + 6 6(a2

−1)

= 5a+ 7 6(a2

−1)

4. x+ 5

x2+

x−12+

x+ 4

x2+ 2

x−15+

x−3

x2+ 9

x+ 20 =

x+ 5 (x+ 4)(x−3)+

x+ 4 (x+ 5)(x−3)+

x−3 (x+ 5)(x+ 4)

= (x+ 5)(x+ 5) + (x+ 4)(x+ 4) + (x−3)(x−3) (x+ 4)(x−3)(x+ 5)

= (x

2

+ 10x+ 25) + (x2

+ 8x+ 16) + (x2

−6x+ 9) (x+ 4)(x−3)(x+ 5)

= 3x

2

+ 12x+ 50 (x+ 4)(x−3)(x+ 5)

5. x+y

xy −

x+ 2y xy+y2 −

y x2+

xy = x+y

xy −

x+ 2y y(x+y)−

y x(y+x)

= (x+y)(x+y)−x(x+ 2y)−y

2

xy(x+y) =?

6. 2

x+ 1+ 3

x−1−

x+ 5 1−x2 =

2

x+ 1 + 3

x−1−

x+ 5

−(x2

−1)

= 2

x+ 1 + 3

x1+

x+ 5

x2

(15)

4.6 Operaciones con Fracciones 15

7. x2 x

−5x+ 6− 1 2−x−

2x

(3−x)(1−x) =

x

(x−3)(x−2)− 1 2−x−

2x

(3−x)(1−x)

= x

(x+ 3)(x−2)− 1

−(x−2) −

2x

[−(x−3)] [−(x−1)]

= x

(x−3)(x−2)+ 1

x−2−

2x

(x−3)(x−1)

=x(x−2) + (1)(x−3)(x−1)−2x(x−2) (x−3)(x−2)(x−1)

8. x

x2+ 2

x−3+

x3 (1−x)(x+ 2) +

1

x+ 2 =

x

(x+ 3)(x−1)+

x3

−(x−1)(x+ 2) + 1

x+ 2

= x

(x+ 3)(x1)−

x−3 (x1)(x+ 2)+

1

x+ 2

=x(x+ 2)−(x−3)(x+ 3) + (x−1)(x+ 3) (x−1)(x+ 2)(x+ 3)

=x

2

+ 2x(x2

−9) + (x2

+ 2x3) (x−1)(x+ 2)(x+ 3)

=x

2

+ 2x−x2+ 9−x2−2x+ 3 (x−1)(x+ 2)(x+ 3)

= −x

2

+ 12 (x−1)(x+ 2)(x+ 3)

Ejercicio 11.

Realizar las operaciones y simplificar:

1. 2

x+ 4+ 1

x3

2. x

x−y + x x+y

3. m+ 3

m3+

m+ 2

m2

4. 1−x 1 +x−

1 +x

1−x

5. 2

x4 −

−2

x3

6. −3

x−1 − 4

x−2

7. 2

x−5 + 3

x2

−25

8. x

a2

−ax + a+x

ax +

(16)

16 4 Fracciones

9. 3

a+

2 5a−3 +

1−85a

25a2

−9

10. a−2

a1 +

a+ 3

a+ 2+

a+ 1

a3

11. b

a2

−b2 − b a2+

ab

12. y

x2

−xy−

1

x−

1

x−y

13. x

2

x2

−xy−

2x y−x

14. 1 2x−x2 +

x x2

−4

15. 1

a2

−ab+

1

ab − a2

+b2 a3

b−ab3

16. a−b

a2

+ab+ a+b

ab − a ab+b2

17. a−1 3a+ 3−

a2 6a−6+

a2

+ 2a6 9a2

−9

18. a

3

a3+ 1 +

a+ 3

a2

−a+ 1 −

a1

a+ 1

19. x−4

x2

−2x−3−

x

6−2x

20. 1 2x+ 2 +

2 1−x+

7 4x−4

21. x+ 3y

y+x +

3y2 x2

−y2− x y−x

22. 1

a−3+

a+ 1 (3−a)(a−2)+

2 (2−a)(1−a)

23. 1−x

2

9−x2 −

6x x2

−6x+ 9−

6x x2

−6x+ 9

24. 3x+ 2

x2

+ 3x10 −

5x+ 1

x2

+ 4x5 + 4x−1

x2

−3x+ 2

25. x

x2+

x−2− 3

x2+ 2 x−3−

x x2+ 5

x+ 6

4.6.3 Fraciones Complejas

Una fracci´on compleja es una fracci´on cuyo numerador o denominador es a su vez una fracci´on. Por ejemplo, son fracciones complejas

• 1

1 + x

x+ 1

• x+ 1

3 + x

2

−1

x2+ 2 x+ 1

3 + 5 1 + x

x−1 2 +x−1

(17)

4.6 Operaciones con Fracciones 17

Ejemplo 4.13.Realizar las operaciones indicadas y simplificar

1.

a−a

b

b−1

b

=

ab−a b b2

−1

b

= b(ab−a)

b(b2

−1) =

a(b−1) (b+ 1)(b−1) =

a b+ 1

2. 1

m +

1

n

1

m −

1

n

=

n+m mn n−m

mn

=mn(n+m)

mn(n−m) =

n+m n−m

3.

a−4 + 4

a

1−2

a

=

a(a−4) + 4

a a−2

a

=

a2

−4a+ 4

a a−2

a

= a(a

2

−4a+ 4)

a(a2)

= a

2

−4a+ 4

a−2

= (a−2)

2

a−2 =a−2

4.

1 + 1 1−1

y

1− 3

1−1

y

=

1 + 1

y−1

y

1− y3 1

y

=

1 + y

y1 1− 3y

y1

=

y−1 +y y1

y−1−3y y1

=

2y−1

y1

−2y−1

y1

= (y−1)(2y−1) (y−1)(−2y−1)

= 2y−1

(18)

18 4 Fracciones

5. 2− 2

2− 1

1−1

x

= 2− 2

2− x1 1

x

= 2− 2

2− x

x−1

= 2− 2( 2

x−1)−x x−1

= 2− 2(x−1)

2(x1)−x

= 2− 2 2x−2

x−2−x = 2−

2x−2

x−2

= 2(x−2)−(2x−2)

x−2 =

2x4−2x+ 2

x−2 = −2

x−2

Ejercicio 12.

Realizar las operaciones indicadas y simplificar

1.

x2

x1

1−1

x

2.

a b −

b a

1 + b

a

3.

2 + 3a 5b

a+ 10b 3

4.

1 + 1

x1 1 + 1

x2

−1

5.

1 + x+ 1

x−1 1

x1 − 1

x+ 1

6.

a2 b3 +

1

a a

b − b−a a−b

7.

1− 7

x +

12

x2

x− 16

x

8.

a2

b −

b2 a

1

b +

1

a +

b a2

9. 1 1 + 1

x

10. 1

1 + 1 1− 1

x

11. 2 1 + 2

1 + 2

(19)

4.6 Operaciones con Fracciones 19

12. x−1

x+ 2− x

2

+ 2

x− x−2

x+ 1

13.

1 + 1 5

a + 2

1− 11

a + 2

14. x− 1

1− 1

1− 1

1−x

15. 1− 1

1− 1

2− 1

Figure

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Referencias

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