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Tema 2. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. 2.1 Introducción y definiciones. Definición 2.1. Una ecuación diferencial lineal de primer orden, en forma impĺıcita, es una ecuación del tipo. (2.1) a0(t)x !(t) + a1(t)x(t) + a2(t) = 0,. donde las funciones a0, a1 y a2 son conocidas y están definidas en un intervalo I de R.. Véase que (2.1) es una ecuación del tipo F(t, x(t), x!(t)) = 0, que es la forma general de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden impĺıcita. La ecuación diferencial. tx!(t) ! x(t) + sen t = 0. es un ejemplo de (2.1), en el que las tres funciones: a0, a1 y a2 están definidas en R.. Si la función a0 no se anula en el intervalo I está claro que podremos despejar la primera derivada x!(t) en (2.1) y escribir la ecuación en la forma expĺıcita o normal x!(t) = a(t)x(t) + b(t).. Definición 2.2. Una ecuación diferencial lineal de primer orden, en forma expĺıcita, es una ecuación del tipo. (2.2) x!(t) = a(t)x(t) + b(t),. donde las funciones a y b son conocidas y están definidas en un intervalo I de R.. La ecuación (2.2) es del tipo x!(t) = f(t, x(t)) (forma general de una EDO de primer orden expĺıcita), donde f : I " R # R, (t, x) $# f(t, x) = a(t)x + b(t). De forma reducida (abreviada) escribiremos la ecuación como x! = a(t)x + b(t). Tres ejemplos de (2.2) son. x! = tx + 1, x! = 3tx ! cos tt , x ! = 1t x ! log t.. 15. 16 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En el primer ejemplo las funciones a y b están definidas en R, en el segundo, los intervalos maximales donde a y b están definidas son I = (%, 0) e I = (0, %) y, en el tercero, el intervalo maximal donde a y b están definidas es I = (0, %). Obsérvese que el ejemplo dado en el caso impĺıcito no se podŕıa escribir expĺıcitamente en un intervalo que contenga a t = 0. Ahora bien, si únicamente estamos interesados en soluciones definidas en I = (0, %), la ecuación śı seŕıa equivalente a la ecuación expĺıcita:. x! = 1t x ! sen t t .. La ecuaciones lineales en forma expĺıcita son las que vamos a estudiar en este tema. A partir de ese estudio se podrá, a veces, obtener conclusiones sobre ciertas ecuaciones impĺıcitas (como la del ejemplo anterior).. Definición 2.3. Cuando en la ecuación (2.2) la función b es idénticamente nula en el intervalo I, se dice que la ecuación diferencial lineal es homogénea, pero cuando b no es la función nula se dice que la ecuación no es homogénea o es completa.. Las ecuaciones lineales son muy útiles (poseen interesantes aplicaciones) y vienen a dar, como modelo matemático, una primera aproximación de ciertos problemas reales (f́ısicos).. El estudio de estas ecuaciones es muy instructivo pues sirve de referencia para el estudio de ecuaciones lineales de orden superior y de sistemas diferenciales ordinarios de primer orden.. Sin más que suponer que las funciones a y b son continuas en I, vamos a ver lo siguiente:. • Podremos resolver la ecuación (2.2) en el sentido de que podremos dar una fórmula, dependien- te de un parámetro C, que nos proporcione las expresiones expĺıcitas de todas las soluciones. En la práctica, el único problema con el que nos podremos encontrar será con el cálculo de primitivas.. • Probaremos además que todas las soluciones están definidas en el intervalo I donde a y b son continuas. Esto es algo casi privativo de las lineales pues veremos que no sucede aśı en la mayoŕıa de las ecuaciones diferenciales de primer orden (recuérdese el caso x! = 2tx2, visto en el tema anterior).. • Por otra parte, podremos probar que cualquier problema de valor inicial (problema de Cauchy) asociado posee una única solución en el intervalo I (existencia y unicidad).. Obsérvese que la única suposición que hacemos: a, b & C(I, R) implica que la función de dos variables f : I " R # R, (t, x) $# f(t, x) = a(t)x + b(t), es continua en I " R.. A través de este tema, veremos diversos motivos para llamar “lineales” a estas ecuaciones (con- sideraciones de tipo algebraicos), aunque, para ser más riguroso, las que verdaderamente debeŕıan llamarse lineales son las ecuaciones homogéneas.. Por diversas razones vamos a empezar nuestro estudio con las ecuaciones homogéneas. Por una parte la resolución de una ecuación homogénea es muy simple. Por otra parte, a la hora de resolver la no homogénea daremos dos métodos y ambos se basan en el conocimiento que se tiene sobre la ecuaciones homogéneas.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 2.2. La ecuación diferencial lineal homogénea 17. 2.2 La ecuación diferencial lineal homogénea: x'(t) = a(t)x(t). Una ventaja inicial que plantea una ecuación diferencial lineal homogénea respecto de una completa, es que la homogénea siempre tiene una solución trivial: la función nula x(t) = 0, válida en cualquier intervalo I donde la función a esté definida; por ejemplo, la ecuación x!(t) = (log t) x(t) tiene a la función nula como solución en el uintervalo I = (0, %). Esto no sucede con la ecuación no homogénea. En esta sección supondremos únicamente que la función a: I # R es continua en el intervalo I.. El caso visto en la introducción de la asignatura, el del modelo malthusiano x!(t) = rx(t), donde r & R, es un caso particular de ecuación lineal homogénea donde la función a es constante y este caso nos debe servir de referencia. Vimos alĺı que todas las soluciones de la ecuación, definidas en R, son las funciones de la forma: x. C (t) = Cert, donde C es cualquier número real. Obsérvese que. la función que aparece en la exponencial es una primitiva de la función constante a(t) = r.. Al ser a una función continua en I posee primitivas en este intervalo. Notemos por ! a(t) dt una. primitiva (enfatizamos que, en adelante, y en contra del uso tradicional, con el śımbolo anterior estamos notando una primitiva y no el conjunto de todas las primitivas de la función a). Es evidente, por simple comprobación, que para cada constante C & R, la función definida por. x C (t) = Ce. ! a(t) dt. es solución de la ecuación lineal homogénea (entre ellas está considerada la solución nula para el caso C = 0), pues. x! C (t) = Ce. ! a(t) dt d. dt( ! a(t) dt) = e. ! a(t) dta(t) = a(t)x. C (t).. Veamos que las funciones anteriores son las únicas soluciones de la ecuación homogénea. Para esto procederemos como en el caso del modelo malthusiano. Supongamos que x: I # R es cualquier solución y consideramos la función derivable y : I # R, definida por. y(t) = x(t)e" ! a(t) dt.. Sin más que derivar esta función tenemos:. y!(t) = x!(t)e" ! a(t) dt ! x(t)a(t)e". ! a(t) dt =. " x!(t) ! a(t)x(t). # e". ! a(t) dt = 0, para cada t & I,. por lo que, al ser I un intervalo, la función y es constante en I y aśı existe C & R tal que x(t) = Ce. ! a(t) dt. para cada t & I. De esta forma hemos concluido el siguiente resultado:. Proposición 2.1. Si I es un intervalo en R y a: I # R una función continua en I, la ecuación diferencial lineal homogénea x!(t) = a(t)x(t) posee infinitas soluciones definidas en el intervalo I. Concretamente, si. ! a(t) dt es una primitiva de la función a en I, las soluciones de la ecuación. son todas las funciones x C : I # R definidas por. (2.3) x C (t) = Ce. ! a(t) dt donde C & R.. En muchos textos clásicos se dice que (2.3) es la solución general de la ecuación diferencial y es usual escribir x(t) en lugar de x. C (t), simplemente por comodidad; es decir, se escribiŕıa la solución. general como x(t) = Ce ! a(t) dt. Véase que para C = 0 se obtiene la solución trivial (la función nula).. 18 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Por otra parte, obsérvese que, si en lugar de tomar la primitiva t $# ! a(t) dt, tomamos otra,. que será de la forma: t $# ! a(t) dt + k, con k constante, el conjunto de funciones que apareceŕıa. en (2.3) seŕıa el mismo.. En muchos textos (donde el rigor matemático brilla por su ausencia) llevan a cabo el siguiente procedimiento para resolver la ecuación homogénea:. x!(t) = a(t)x(t) =( (1). x!(t). x(t) = a(t) =(. (2). $ x!(t). x(t) dt =. $ a(t) dt + k =(. (3) log | x(t) | =. $ a(t) dt + k. =( | x(t) | = e ! a(t) dt+k =( x(t) = ±eke. ! a(t) dt = Ce. ! a(t) dt.. El paso incorrecto es el (1) pues se está suponiendo que no hay un punto de I donde la solución de la ecuación se anula. Sabemos por la proposición anterior, que salvo la función nula, esto es cierto, pero a priori no se puede suponer. De hecho, la constante C que sale al final del proceso anterior no es nula, por lo que la solución nula ha sido excluida. La aparición de la constante k, que aparece en el paso (2), no queda muy clara aunque esto se podŕıa solventar de otra forma. A veces, ni siquiera ponen valor absoluto dentro del logaritmo en el paso (3), lo que es un error pues sólo tiene sentido logaritmos de números positivos. De todas formas, el proceso anterior no está mal tenerlo en cuenta como regla mnemotécnica por si se nos olvida la expresión (2.3).. Afrontamos ahora el estudio de un problema de valor inicial, también llamado problema de Cauchy:. (P) :. % x!(t) = a(t)x(t). x(t0) = x0 t0 & I, x0 & R, a: I # R continua en I,. es decir, estudiar cuantas soluciones x: I # R de la ecuación diferencial, si existen, verifican la condición inicial x(t0) = x0 y, en tal caso, determinarlas. Para esto es conveniente, no elegir cualquier primitiva de la función a, sino la primitiva definida por P(t) =. ! t t0 a(s) ds, que tiene. la particularidad de que verifica P(t0) = 0. Según (2.3) las soluciones de la ecuación diferencial. estaŕıan dadas por las funciones x C (t) = Ce. ! t t0. a(s) ds , donde C & R, pero obsérvese que sólo hay. una de ellas que verifica la condición inicial, que es la que corresponde a la constante C = x0. De esta forma concluimos el siguiente resultado de existencia y unicidad.. Proposición 2.2. Sean I un intervalo en R, t0 & I, x0 & R y a: I # R una función continua en I. El problema de valor inicial. (P) :. % x!(t) = a(t)x(t). x(t0) = x0. posee una única solución en el intervalo I, que es la función x: I # R definida por. (2.4) x(t) = x0e ! t t0. a(s) ds .. En la práctica, salvo en casos excepcionales, no es necesario recordar la expresión (2.4). Basta con recordar (es fácil y de comprobación inmediata) que la solución general de la ecuación es de la forma x(t) = Ce. ! a(t) dt y se determina la constante C imponiendo que se verifique la condición. x(t0) = x0.. En este caso los ejemplos que podemos poner para ilustrar la teoŕıa son de resolución prácticamen- te trivial, salvo cálculos de primiticas. Veamos a continuación cuatro ejemplos, los dos últimos enfocados a establecer unas situaciones muy peculiares.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 2.2. La ecuación diferencial lineal homogénea 19. Ejemplo 2.1. Soluciones de la ecuación diferencial x!(t) = tx(t).. La ecuación escrita en forma abreviada es x! = tx.. En este caso I = R y la función a: R # R, a(t) = t es continua en R. Por tanto, la ecuación diferencial posee infinitas soluciones definidas en R. Para cada C & R tenemos la solución definida. por x C (t) = Ce. ! t dt, es decir, x. C (t) = Ce. t2. 2 . Estas son las únicas soluciones.. Ejemplo 2.2. Solución del problema de valor inicial (P) :. % x!(t) + 1t x(t) = 0. x(1) = 13. En este caso a(t) = !1t y el intervalo maximal I al que pertenece t0 = 1 y donde la función a está definida y es continua es I = (0, %). Por tanto, el problema (P) tiene solución y solamente una definida en ese intervalo. Para encontrar la solución lo hacemos primeramente usando la fórmula (2.4) y obtenemos que la solución de (P) es la función definida por. x(t) = 13e ! t 1 " 1. s ds = 13e(" log t+log 1) =. 13. t .. Si no queremos recordar la fórmula (generalmente eso es lo más conveniente), determinamos todas las soluciones de la ecuación diferencial definidas en el intervalo I = (0, %), que son las funciones de la forma x(t) = Ce. ! ("1/t) dt = e" log t = Ct y, ahora, basta con determinar la constante C imponiendo. la condición x(1) = 13, de lo que resulta trivialmente C = 13. De cualquier forma se obtiene la. solución x(t) = 13/t.. Ejemplo 2.3. Solución del problema de valor inicial (P) :. % x!(t) = !1t x(t) x(1) = 0. Planteamos la solución de este problema con el único objetivo de hacer ver que en este caso no es necesario hacer cálculos ya que vemos que la función nula es solución y, teniendo en cuenta el resultado de la proposición 2.2, esta es la única solución. Esto mismo saldŕıa de aplicar directamente la expresión (2.4).. Ejemplo 2.4. Solución del problema de valor inicial (P) :. % x!(t) = et. 2 x(t). x(3) = 0. En este ejemplo, el único objetivo es hacer ver que en este caso no podŕıamos dar expĺıcitamente las soluciones de la ecuación diferencial por el problema de cálculo que tenemos con la primitiva! et. 2 dt pero, de la misma forma que en el caso anterior, no es necesario pues vemos que la función. nula es la única solución en R del problema. Es un caso donde hubiera sido más rentable usar directamente la expresión (2.4), pues al ser x0 = 0, nos habŕıamos dado cuenta, sin necesidad de calcular la integral, que la solución es la nula.. 20 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. 2.3 La ecuación diferencial lineal no homogénea (completa). Nos planteamos ahora el estudio de la ecuación diferencial. x!(t) = a(t)x(t) + b(t) .. Suponemos que las funciones a y b son conocidas y continuas en un intervalo I y que la función b no es la función nula. Obsérvese que ahora la función nula x(t) = 0 no es solución de la ecuación. Vamos a dar aqúı dos métodos para su estudio. El primero es más elemental y más técnico y es un adelanto de algo que veremos en el tema 5 sobre el método de los factores integrantes. El segundo método es más algebraico, más fácil de recordar y llevar a la práctica, con la ventaja adicional de que posteriormente se generalizará a ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y a sistemas diferenciales lineales. Este segundo método se basa fundamentalmente en el conocimiento que ya tenemos sobre la ecuación homogénea asociada. El primero también usa (en menor medida) lo ya visto para ecuaciones homogéneas.. Aprovecharemos el primer método para estudiar un problema de valor inicial asociado a una ecuación diferencial lineal completa.. 2.3.1 Primer método: Uso de un “factor integrante”. En este método no exclúımos el caso en que b sea la función nula, aunque este caso de lugar a una ecuación homogénea, ya estudiada. De hecho los resultados que obtendremos generalizarán los vistos en la sección anterior.. En primer lugar sscribimos la ecuación diferencial aśı:. (2.5) x!(t) ! a(t)x(t) = b(t).. Si µ es una función definida en I tal que µ(t) )= 0 para cada t & I, la ecuación anterior se puede escribir de forma equivalente como. (2.6) µ(t)[x!(t) ! a(t)x(t)] = µ(t)b(t).. La idea es encontrar (veremos que existe) una función µ derivable (y que no se anule) en I tal que. (2.7) d. dt [µ(t)x(t)] = µ(t)[x!(t) ! a(t)x(t)] para cada t & I y cada función x,. pues, en tal caso, tendŕıamos que la ecuación (2.5) podŕıamos escribirla de forma equivalente aśı:. (2.8) d. dt [µ(t)x(t)] = µ(t)b(t).. La ventaja de (2.8) respecto de (2.5) es que de (2.8) es muy fácil deducir la expresión de x. En efecto, (2.8) nos dice que la función producto µx es una primitiva de la función µb en el intervalo I. Por tanto, si. ! µ(t)b(t) dt denota una primitiva de tal función (la que sea), existirá una constante. C tal que µ(t)x(t) =. $ µ(t)b(t) dt + C. y, por tanto, cualquier solución x de la ecuación (2.5) seŕıa de la forma:. (2.9) x(t) = 1. µ(t). & $ µ(t)b(t) dt + C. ' .. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 2.3. La ecuación diferencial lineal no homogénea 21. (Obsérvese que se necesita que sea b continua en I para que tenga sentido la expresión ! µ(t)b(t) dt).. Rećıprocamente, si x es una función definida por la expresión anterior, donde C & R, entonces obviamente x es derivable y verifica la condición (2.8) y, por tanto, x seŕıa solución de (2.5). Es decir, que en tal caso, (2.9) nos daŕıa la expresión de cualquier solución de la ecuación completa.. Veamos que efectivamente existe una función µ que no se anula y es derivable en I, que verifica la condición (2.7) y, al mismo tiempo, obtendremos una expresión de µ. Obsérvese que. (2.7) *( µ!(t)x(t) + µ(t)x!(t) = µ(t)x!(t) ! µ(t)a(t)x(t) *( µ!(t)x(t) = !µ(t)a(t)x(t),. por lo que seŕıa suficiente con determinar una µ que no se anule en I y verifique la condición. µ!(t) = !a(t)µ(t) para cada t & I. Lo anterior es una ecuación diferencial lineal homogénea en la función incógnita µ, cuyas soluciones vienen dadas por µ(t) = Ce". ! a(t) dt, con C cualquiera en R. A nosotros nos basta con una solución. que no se anule en I y está claro que una adecuada es la función definida por µ(t) = e" ! a(t) dt.. Usando esta µ en la expresión obtenida en (2.9), concluimos que las soluciones de la ecuación lineal completa son las funciones definidas por. (2.10) x C (t) = e. ! a(t) dt. & C +. $ b(t)e". ! a(t) dt dt. ' .. Cuando b es la función nula en I, la expresión que se obtiene de (2.10) es la ya conocida para la solución general de la ecuación homogénea. En conclusión, hemos obtenido el siguiente resultado:. Teorema 2.1. Si I es un intervalo en R y a, b: I # R son dos funciones continuas en I, la ecuación diferencial lineal completa x!(t) = a(t)x(t) + b(t) posee infinitas soluciones definidas en el intervalo I. Las soluciones de la ecuación son las funciones x. C : I # R definidas por (2.10),. donde C & R.. Una vez visto cómo son todas las soluciones de la ecuación diferencial, abordamos un problema de valor inicial. (P) :. % x!(t) = a(t)x(t) + b(t). x(t0) = x0. Suponemos lógicamente que el punto inicial t0 se encuentra en el intervalo I, donde las funciones a y b son continuas. Buscamos, si es que existe, una solución de la ecuación diferencial lineal que verifica la condición inicial x(t0) = x0. En (2.10) tenemos las expresiones de todas las soluciones de la ecuación, pero en este caso, de la misma forma que vimos en el caso homogéneo, no es conveniente tomar primitivas cualesquiera en tal expresión. Por ejemplo, para la función a seŕıa conveniente elegir la primitiva definida por P(t) =. ! t t0 a(s) ds, que tiene la particularidad de que. verifica P(t0) = 0. Esto mismo hacemos con el resto de las primitivas, es decir, tomar t0 como ĺımite inferior de cada integral que aparece en (2.10). De esta forma, el conjunto de soluciones de la ecuación lineal podemos escribirlo aśı:. (2.11) x C (t) = e. ! t t0. a(s) ds & C +. $ t. t0. b(s)e ". ! s t0. a(r) dr ds ' .. Observemos, que la ventaja de la expresión (2.11) es que la evaluación de x C. en el punto t0 es trivial, concretamente x. C (t0) = C. Esto nos confirma que existe una y solamente una solución para. el problema (P), que es la dada por la expresión (2.11), donde en lugar de C ponemos x0. De esta forma concluimos el siguiente resultado:. 22 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Teorema 2.2. Sean I un intervalo en R, t0 & I, x0 & R y a, b: I # R dos funciones continuas en I. El problema de valor inicial. (P) :. % x!(t) = a(t)x(t) + b(t). x(t0) = x0. posee una única solución en el intervalo I, que es la función definida por. (2.12) x(t) = e ! t t0. a(s) ds & x0 +. $ t. t0. b(s)e ". ! s t0. a(r) dr ds ' .. Véase que la expresión obtenida para la solución de (P) generaliza la obtenida en (2.4) para el caso homogéneo. En la práctica no es aconsejable, salvo en casos excepcionales, usar las fórmulas (2.10) y (2.12), pues la memorización de estas es dif́ıcil y es fácil equivocarse. Para conseguir las soluciones de la completa, lo mejor es recordar el razonamiento seguido en la prueba del teorema 2.1 y para la resolución de un problema de Cauchy, al igual que en el caso homogéneo, en general aconsejo que se resuelva la ecuación diferencial y después se calcule el valor de la con- stante C que hace que se verifique la condición inicial x(t0) = x0. Ponemos en práctica estas ideas en el siguiente ejemplo.. Ejemplo 2.5. Soluciones de la ecuación diferencial: x!(t) = 2tx(t) + t y la solución, definida. en R, del problema de valor inicial (P) : % x!(t) = 2tx(t) + t. x(0) = 0. Observemos que las funciones dadas por a(t) = 2t y b(t) = t están definidas y son continuas en R. Por tanto, la ecuación diferencial posee infinitas soluciones definidas en R, cuyas expresiones difieren en un parámetro C & R. Por otra parte, el teorema 2.2 nos asegura que el problema de Cauchy planteado posee una única solución definida en R.. Si µ es una función definida en R tal que µ(t) )= 0 para cada t & R, la ecuación diferencial se puede escribir de forma equivalente como. µ(t) " x!(t) ! 2tx(t). # = tµ(t).. La idea es determinar una función µ, derivable y que no se anule en R, que verifique. (2.13) d. dt [µ(t)x(t)] = µ(t). " x!(t) ! 2tx(t). #. para que nuestra ecuación diferencial sea equivalente a la ecuación. (2.14) d. dt [µ(t)x(t)] = tµ(t).. Derivando y desarollando la expresión (2.13) resulta. µ!(t)x(t) = !2tµ(t)x(t),. para lo cual será suficiente con que µ no se anule y sea solución de la ecuación lineal homogénea. µ!(t) = !2tµ(t),. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 2.3. La ecuación diferencial lineal no homogénea 23. lo que nos lleva a elegir µ(t) = e. ! "2t dt = e"t. 2 .. Llevando esta expresión a la ecuación (2.14) obtenemos. d. dt [e"t. 2 x(t)] = te"t. 2. y aśı x debe verificar que existe c & R tal que. e"t 2 x(t) =. $ te"t. 2 + C para cada t & I. y, por tanto,. x(t) = et 2 $ te"t. 2 dt + Cet. 2 = et. 2" ! 12e. "t2# + Cet 2. para cada t & I.. En definitiva, las soluciones de la ecuación diferencial son las funciones x C : R # R definidas por. x C (t) = Cet. 2 ! 12 donde C & R.. Se suele decir que x(t) = Cet 2 ! 12 es la solución general de la ecuación. Obsérvese que, si en. lugar de la función b(t) = t tuviésemos la función nula, la ecuación resultante x!(t) = 2tx(t) seŕıa homogénea y sus soluciones vendŕıan dadas por x. C (t) = Cet. 2 , expresión que únicamente difiere de. la nuestra en el sumando !12.. Para determinar la solución del problema (P) sólo tenemos que calcular el único valor de C tal que x. C (0) = 0, lo que nos lleva trivialmente al valor C = 1/2 y, aśı, la solución de (P) en el. intervalo R es la función definida por x(t) = 12(e t2 ! 1) . Siempre es aconsejable comprobar los. resultados obtenidos.. Observación: De pedir directamente la solución de (P) (sin pedir las demás soluciones de la ecuación), lo conveniente es llevar a cabo el procedimiento anterior; es decir, determinar todas las soluciones de la ecuación y, posteriormente, calcular la constante C imponiendo la condición inicial.. Una vez resuelta la ecuación x! = 2tx + t se plantea otra muy parecida, aparentemente más fácil que la anterior, pues cambiamos la función b(t) = t por la función constante b(t) = 1.. Ejemplo 2.6. Resolver la ecuación diferencial: x!(t) = 2tx(t) + 1.. Vamos a ver que, a veces, las apariencias engañan (y esto es algo que sucede con asiduidad con las ecuaciones diferenciales). De entrada tenemos asegurado que la ecuación posee infinitas soluciones definidas en R, cuyas expresiones difieren en un parámetro C & R. En este caso, procediendo de la misma forma que en el ejemplo anterior escribimos. µ(t) " x!(t) ! 2tx(t). # = µ(t). y necesitamos encontrar una función µ, derivable y que no se anule, que verifique la misma condición (2.13) del ejemplo anterior. d. dt [µ(t)x(t)] = µ(t). " x!(t) ! 2tx(t). #. 24 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. y, por tanto, µ(t) = e"t 2 , pero, al llevar esta expresión a la ecuación (equivalente a la inicial). d. dt [µ(t)x(t)] = µ(t). y al despejar x(t) nos encontramos con la desagradable sorpresa. (2.15) x(t) = et 2 $ e"t. 2 dt + Cet. 2 ,. es decir, con el cálculo de una primitiva, ! e"t. 2 dt, que no se conoce. Este problema no se dió en el. caso anterior donde nos encontramos con la primitiva trivial ! te"t. 2 dt. En este caso, no hay más. remedio que dejar la expresión de la solución general como aparece en (2.15).. Obsérvese el problema que ha surgido con unos coeficientes tan simples como a(t) = 2t y b(t) = 1. Incluso en los casos en que las correspondientes primitivas pueden explicitarse, el trabajo de cálculo puede ser bastante laborioso. Interesa entonces disponer de métodos alternativos que permitan, eventualmente, llegar a las soluciones por caminos más cortos, aunque eso no siempre será posible.. 2.3.2 Segundo método. Vamos a ver un segundo método de resolución más fácil de recordar en la práctica y generaliza- ble a ecuaciones lineales de orden superior y sistemas lineales de primer orden. Este método se basa fundamentalmente en el conocimiento de las soluciones de una ecuación lineal homogénea. Aunque no es estrictamente necesario, vamos a enfocarlo bajo ciertas consideraciones algebraicas, aprovechando que ya se conocen conceptos como espacios vectoriales, subespacios vectoriales y aplicaciones lineales. De hecho, estas consideraciones son las que realmente justifican que a tales ecuaciones diferenciales se les llamen lineales y, por otra parte, sus generalizaciones al caso de ecuaciones lineales de orden superior serán fundamentales en el estudio de éstas.. Dada una ecuación diferencial lineal de primer orden (E): x!(t) = a(t)x(t) + b(t) diremos que. (H): x!(t) = a(t)x(t) es la ecuación homogénea asociada a la ecuación (E). En lo que sigue en. esta sección suponemos siempre que a y b son continuas en un intervalo I y, por tanto, las soluciones de ambas ecuaciones están definidas en el intervalo I.. Consideraciones algebraicas sobre la ecuación homogénea y la ecuación completa.. La ecuación homogénea (H) tiene la siguiente propiedad, trivial pero importante, que no posee la ecuación completa (E) ni otro tipo de ecuación diferencial.. Proposición 2.3. Si x e y son soluciones de la ecuación homogénea y ! & R, las funciones x+y y !x también son soluciones de la ecuación homogénea.. Véase que lo afirmado en el resultado anterior no sucede con la simple ecuación lineal no homogénea: x! = x + 1.. Observemos que las soluciones de la ecuación (E) y las soluciones de la ecuación (H) son funciones derivables en I que, además, tienen derivadas continuas en I (ya que suponemos que a y b son continuas en I); es decir, son funciones de C. 1 (I, R). Tanto C(I, R) como C1(I, R) son. espacios vectoriales infinito-dimensionales, con las operaciones usuales: suma x + y y producto por un escalar !x (! & R). En estos espacios el elemento nulo es la función nula.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 2.3. La ecuación diferencial lineal no homogénea 25. El conjunto de soluciones de la ecuación (H) tiene la siguiente particularidad:. Proposición 2.4. El conjunto de soluciones de la ecuación homogénea es un subespacio vectorial de C. 1 (I, R) de dimensión igual a 1.. Prueba. El que el conjunto de soluciones de (H) sea un subespacio vectorial de C 1 (I, R) se sigue. inmediatamente del resultado de la proposición 2.3. El que este espacio sea unidimensional es consecuencia inmediata del resultado de la proposición 2.1, pues éste nos confirma que el espacio de soluciones está generado por el elemento x1, donde x1 es la función definida por x1(t) = e. ! a(t) dt.. Observación: La solución nula (solución trivial) de la ecuación homogénea es el elemento nulo del subespacio de soluciones.. En las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior veremos que los conjuntos de soluciones de las ecuaciones homogéneas asociadas también tienen estructuras de espacios vectoriales, de dimensión finita, donde la dimensión, en cada caso, coincide con el orden de la ecuación diferencial.. Resulta útil y cómodo usar el siguiente operador (aplicación). L: C 1 (I, R) # C(I, R), x $# Lx = x! ! ax.. Es trivial comprobar que L es lineal. En efecto, si x, y & C 1 (I, R), ", µ & R, se verifica:. L("x + µy) = ("x + µy)! ! a("x + µy) = "x! + µy! ! a"x ! aµy = "(x! ! ax) + µ(y! ! ay) = "Lx + µLy.. En términos de este operador podemos escribir de una forma muy simple cuándo una función es solución de (H) o de (E). Concretamente:. 1. x es solución de la homogénea si, y sólo si, Lx = #, donde # representa la función nula. (elemento nulo del espacio vectorial ). Dicho de otra forma, el conjunto de soluciones de la homogénea es el núcleo del operador lineal L.. 2. x es solución de la ecuación completa si, y sólo si, Lx = b.. Teniendo en cuenta lo anterior y que L es lineal es muy fácil comprobar el siguiente resultado, que es la clave de nuestro segundo método.. Proposición 2.5. Si xp es una solución (particular) de la ecuación completa (E), se verifica que x es solución de (E) si, y sólo si, x es de la forma x = xh + xp , donde xh es solución de la. homogénea (H).. Prueba. En efecto, si x = xh + xp se tiene que Lx = Lxh + Lxp = # + b = b y aśı x es solución de (E). Rećıprocamente, si x es solución de (E), podemos escribir x = xh + xp, donde xh = x ! xp y resulta que xh es solución de (H) pues Lxh = Lx ! Lxp = b ! b = #.. Conclusión: Si conocemos las soluciones xh de la ecuación homogénea asociada y una solución particular xp de la ecuación completa, conocemos todas las soluciones de la completa. Este conjunto de soluciones es. {x = xh + xp, donde xh es solución de la homogénea}.. 26 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En el lenguaje del Algebra Lineal podemos decir que el espacio de soluciones de la ecuación completa es un espacio af́ın asociado al espacio vectorial de las soluciones de la homogénea.. Lo visto anteriormente se puede contrastar con lo que obtuvimos en el primer método. Vimos en el teorema 2.1 que las soluciones de la ecuación completa son de la forma. x(t) = e ! a(t) dt. & C +. $ b(t)e". ! a(t) dt dt. ' ,. lo que se puede escribir como x(t) = Ce. ! a(t) dt + xp(t),. donde. (2.16) xp(t) = e ! a(t) dt. $ b(t)e". ! a(t) dt dt.. Obsérvese que xp es solución de la completa (caso C = 0) y xh(t) = Ce ! a(t) dt representa la solución. general de la ecuación homogénea.. Ejemplo 2.7. Soluciones de la ecuación diferencial x!(t) = x(t) ! t + 1.. Esta ecuación posee infinitas soluciones definidas en R. Se ve a ojo una solución particular de la completa, que es xp(t) = t, por lo que la resolución de la ecuación es casi inmediata. Las soluciones de la ecuación homogénea asociada x! = x son las definidas por x. C (t) = Cet, con C & R. Por tanto,. las soluciones de ecuación completa son las funciones de la forma x C (t) = Cet + t , donde C & R.. 2.3.3 Métodos para determinar una solución particular de la completa. En pocos casos se puede determinar a ojo una solución particular por lo que se hace necesario un método general para conseguir esto. Por suerte, hay uno muy fácil de recordar y de llevar a la práctica (salvo eventuales cálculos de primitivas), que fue propuesto por el matemático J.L. Lagrange y se conoce de la siguiente forma:. A): Conjetura de Lagrange o método de variación de las constantes (parámetros).. Observemos que las soluciones de la ecuación homogénea asociada a una ecuación completa son las definidas por x. C (t) = Ce. ! a(t) dt, siendo C cualquier constante (real). Por tanto, es muy fácil. acordarse del siguiente resultado, pues en él se conjetura que hay soluciones de la ecuación completa que son como las anteriores pero cambiando la constante C por una función t $# k(t) derivable y con derivada continua (de ah́ı el discutido nombre del método de variación de las constantes).. Proposición 2.6. Hay soluciones de la ecuación completa x!(t) = a(t)x(t) + b(t) del tipo. (2.17) xp(t) = k(t)e ! a(t) dt,. donde k & C 1 (I, R).. Prueba. Realmente la solución particular (2.16), obtenida por el primer método, confirma esta con- jetura, ya que alĺı obtuvimos una solución particular como la propuesta, donde k(t) =. ! b(t)e". ! a(t) dt. define efectivamente una función de C 1 (I, R). No obstante, vamos olvidarnos de lo visto con el. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 2.3. La ecuación diferencial lineal no homogénea 27. primer método y vamos a llevar a cabo un simple razonamiento, que es el que hay que seguir en la práctica, para obtener la función k sin necesidad de recordar fórmulas. Consiste en suponer que, fijada una primitiva. ! a(t) dt de la función a en el intervalo I, la función dada por (2.17) es solución. de la ecuación y llegar fácilmente a una expresión de k(t). Finalmente la expresión que se obtiene de xp es la misma que en (2.16).. En efecto, si suponemos que la función definida por xp(t) = k(t)e ! a(t) dt, donde k es derivable, es. solución de la ecuación completa, derivando tal expresión e imponiendo que sea solución, obtenemos:. x!p(t) = k !(t)e. ! a(t) dt + k(t)a(t)e. ! a(t) dt,. k!(t)e ! a(t) dt + k(t)a(t)e. ! a(t) dt = a(t)k(t)e. ! a(t) dt + b(t). y, por tanto,. k!(t)e ! a(t) dt = b(t), es decir, k!(t) = b(t)e". ! a(t) dt.. De esta forma, la obtención de la función k se reduce a un cálculo de primitiva:. k(t) = ! b(t)e". ! a(t) dt dt.. (Obsérvese que la función k obtenida tiene derivada continua en I.) Una vez obtenida una de estas primitivas (la que sea) obtenemos la expresión de una solución particular aśı:. xp(t) = & !. b(t)e" ! a(t) dt dt. '& e ! a(t) dt. ' ,. que es exactamente, la misma expresión que se obtuvo en (2.16). Por tanto, de existir tal solución particular debe tener la expresión descrita anteriormente. Ahora, lo único que habŕıa que hacer es derivar y comprobar que, efectivamente, la función obtenida es solución de la ecuación diferencial, lo que nos podŕıamos ahorrar por tenerlo asegurado por el primer método, pero la comprobación es aśı de simple. x!p(t) = b(t)e ". ! a(t) dt e. ! a(t) dt +. & ! b(t)e". ! a(t) dt dt. ' a(t)e. ! a(t) dt = b(t) + a(t)xp(t).. Ponemos en práctica el método anterior con cuatro ejemplos, donde cada uno de ellos presenta una peculiaridad distinta.. En el primer ejemplo resolvemos la misma ecuación que se vio con el primer método para poder comparar ambos métodos.. Ejemplo 2.8. Soluciones de ecuación diferencial x!(t) = 2tx(t) + t.. .. La ecuación homogénea (H) asociada a nuestra ecuación completa es x! = 2tx, cuyas soluciones son las funciones, definidas en R, por xh(t) = Cet. 2 , siendo C cualquier constante real. Según la. conjetura de Lagrange, hay soluciones particulares del tipo xp(t) = k(t)e t2, donde k & C. 1 (R, R).. Para obtener una función k adecuada procedemos como en la prueba del resultado anterior; es decir, imponemos que tal función xp es solución de la ecuación diferencial completa y, si no nos equivocamos, tendremos asegurado que k se puede obtener sin más que realizar un cálculo de primitivas (hay un sumando, donde aparece expĺıcitamente k(t), que se simplifica y desaparece).. 28 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En efecto, derivando xp obtenemos: x ! p(t) = k. !(t)et 2 + 2tk(t)et. 2 y ahora imponemos que sea. solución:. k!(t)et 2 + 2tk(t)et. 2 = 2tk(t)et. 2 + t.. Por tanto, queda k!(t)et 2 = t y, de esta forma, k!(t) = te"t. 2 . Determinamos k mediante el cálculo. de la primitiva trivial k(t) = ! te"t. 2 = !12e. "t2. Llevando esta expresión de la función k a la de xp,. se obtiene finalmente xp(t) = !1/2.. Las soluciones de la ecuación completa son las funciones de la forma x = xh + xp, donde xh son las soluciones de la homénea (H) asociada. Por tanto, las soluciones de la ecuación dada son las funciones x. C : R # R dadas por las expresiones. x C (t) = Cet. 2 !. 1. 2 donde C & R.. Obsérvese que hemos tenido el mismo resultado que el que vimos con el primer método y las primitivas que han aparecido son las mismas que aparecieron alĺı. Sin embargo, esta forma de proceder es más fácil de recordar.. Indicamos a continuación la resolución de la ecuación diferencial usando el programa Mathe- matica. En principio vamos a indicar la entrada y salida con la versión 5.0 del programa y anteriores. En la primera ĺınea aparece lo forma en que se introduce la expresión de la ecuación diferencial en este programa. En la segunda aparece la respuesta que da Mathematica.. DSolve[x’[t] == 2 t x[t] + t, x[t], t]. {{x[t] -> -(1/2) + E^t^2 C[1]}}. La forma de introducir la ecuación es bastante natural. Dentro del corchete donde actúa la ins - trucción DSolve escribimos la ecuación diferencial x’[t] == 2 t x[t] + t y después, separados por comas, indicamos quién es la función incógnita, en este caso x[t], y quién es la variable independiente, en este caso t. Nótese que usamos el doble igual == , que se usa en general para ecuaciones para distinguirlo del = de asignaciones. La solución que da el programa tiene un aspecto algo raro: aparece C[1], que indica simplemente el parámetro C de la solución general (está pensado para que en ecuaciones de orden superior, donde aparecen varios parámetros, aparezcan estos numerados). El śımbolo ^ se usa para las potencias y E indica la función exponencial; aśı E^t^2 indica et. 2 . Algo más raro son las dos llaves que rodean la expresión de la solución general.. Esto tiene su explicación, que no vamos a comentar aqúı.. En las versiones 6.0 y posteriores de este programa (actualmente tenemos la versión 8.0) las expresiones de las soluciones aparecen con mejores aspectos, análogos al que utilizamos en estos apuntes. Aśı, en nuestro ejemplo, una versión posterior a la 5.0 daŕıa la solución aśı:. (( x[t] # !. 1. 2 + et. 2 C[1]. )) .. Por otra parte, tenemos la posibilidad de introducir las expresiones de las ecuaciones mediante una paleta de caracteres, lo que nos facilita la tarea y, al mismo tiempo, en muchos casos, expresa la ecuación de una forma más agradable.. En los próximos ejemplos escribiremos los resultados que da Mathematica usando versiones posteriores a la 5.0.. En el siguiente ejemplo se plantea un problema de valor inicial.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 2.3. La ecuación diferencial lineal no homogénea 29. Ejemplo 2.9. Estudiar y resolver el problema (P) :. % x!(t) = cos t ! 1t x(t) x($) = 1. En primer lugar, podemos afirmar que (P) tiene solución única en el intervalo I = (0, %) ya que las funciones definidas por a(t) = !1/t y b(t) = cos t son continuas en ese intervalo (el mayor intervalo donde a y b son continuas y que contiene al punto t = $). En segundo lugar, vamos a determinar todas las soluciones xc de la ecuación diferencial definidas en el intervalo I = (0, %) y, por último, determinamos la solución de (P) buscando una constante C para la que se verifica que xc($) = 1.. La ecuación homogénea asociada (H) es x! = !1t x, cuyas soluciones son las funciones definidas en el intervalo I = (0, %) por xh(t) = Ce. ! " 1. t dt = C/t, siendo C & R. Por tanto, hay soluciones. particulares del tipo xp(t) = k(t)/t, donde k & C 1 (I, R). Determinamos la función k imponiendo. que xp sea solución de la ecuación completa. Esto nos lleva a la igualdad. k!(t) t !. k(t) t2. = !k(t) t2. + cos t,. de donde se sigue que k!(t) = t cos t. Llevando a cabo una integración por partes, obtenemos k(t) =. ! t cos t dt = t sen t + cos t y, finalmente, xp(t) = sen t +. cos t t .. Por tanto, las soluciones de la ecuación diferencial son las funciones x C definidas en el intervalo. I = (0, %) por x. C (t) = Ct + sen t +. cos t t , donde C & R.. Resolución de la ecuación diferencial con Mathematica:. DSolve[x’[t] == Cos[t] - (1/t) x[t], x[t], t]. ** x[t] # C[1]t +. Cos[t]+tSin[t] t. ++. Determinamos la solución del problema (P) entre las funciones anteriores sin más que imponer la condición inicial x. C ($) = 1, lo que nos lleva a C = 1 + $. Por tanto, la solución del problema. (P) es la función x: (0, %) # R definida por. x(t) = $ + 1 + cos t. t + sen t.. !!, 1" !. 2 !. 3!. 2 3! 4! 5!. 1. Figura 2.1: Gráfica de la solución x(t) = !+1+cos tt + sen t.. Para la resolución del problema de valor inicial con Mathematica introducimos después de la ecuación diferencial, separado por una coma y todo entre llaves, la condición inicial, tal como se indica en la primera ĺınea.. 30 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. DSolve[{ x’[t] == Cos[t]-x[t]/t, x[Pi]==1}, x[t], t]. ** x[t] # 1+!+Cos[t]+tSin[t]t. ++. En el siguiente ejemplo proponemos una EDO lineal de primer orden no expĺıcita (impĺıcita), muy especial, con el fin de hacer ver que los resultados vistos para las ecuaciones expĺıcitas no son válidos para las impĺıcitas. De paso veremos que cierto tipo de ecuaciones propiamente impĺıcitas se pueden resolver usando ecuaciones expĺıcitas.. Ejemplo 2.10. Soluciones de ecuación diferencial tx!(t) + 2x(t) ! 4t2 = 0 y soluciones de los problemas de Cauchy. (P) :. % tx!(t) + 2x(t) ! 4t2 = 0 x(0) = 0. y (Q) :. % tx!(t) + 2x(t) ! 4t2 = 0 x(0) = 1. En principio tendŕıa sentido que una solución de esta ecuación diferencial estuviese definida en un intervalo I tal que 0 & I, pero para poder estudiarla tenemos que escribir de forma equivalente esta ecuación como una ecuación expĺıcita, en este caso:. x!(t) = !2t x(t) + 4t. y esto solo sucede si consideramos soluciones definidas en los intervalos I = (!%, 0) e I = (0, %) (o intervalos contenidos en estos). Vamos a determinar las soluciones de la expĺıcita por el segundo método para intentar, a partir de éstas, estudiar lo que sucede con la impĺıcita.. Las ecuación homogénea asociada es (H) : x! = !2t x, cuyas soluciones vienen definidas por. xh(t) = Ce ! ("2/t) dt = Ce"2 log | t | =. C. t2 , donde C & R.. Existen soluciones particulares de la ecuación completa de la forma xp(t) = k(t) t2. , siendo k de clase uno en I. Determinamos k imponiendo que xp sea solución de la completa aśı:. k!(t). t2 ! 2. k(t). t3 = !. 2. t. k(t). t2 + 4t,. lo que nos lleva a k!(t) = 4t3 y, por tanto, k(t) = t4. Por tanto, una solución particular de la completa es la dada por xp(t) = t. 2. Se concluye que las soluciones de la ecuación diferencial expĺıcita son todas las funciones definidas en los intervalos I por. x C (t) = t2 +. C. t2 , donde C & R.. Resolución de la ecuación diferencial x! = !2t x + 4t con Mathematica:. DSolve[x’[t] == -(2/t) x[t] + 4 t, x[t], t] **. x[t] # t2 + C[1] t2. ++. En principio, las soluciones obtenidas son soluciones de la ecuación diferencial impĺıcita en los intervalos I = (!%, 0) e I = (0, %). Curiosamente sólo una de éstas, concretamente la solución particular x(t) = t2, tiene sentido como función en todo R. Las otras, las definidas por xc(t) = t2 + C. t2 , siendo C )= 0, no se pueden extender de forma continua a funciones definidas en R pues no. poseen ĺımites finitos para t # 0.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 2.3. La ecuación diferencial lineal no homogénea 31. Si x: R # R fuese solución de la ecuación impĺıcita, distinta de x(t) = t2, entonces x: I # R, siendo I = (!%, 0) o I = (0, %), seŕıa solución de la expĺıcita y, por tanto, x vendŕıa definida por xc(t) = t. 2 + C t2 , para t )= 0. Pero esta situación es imposible, pues x debe ser derivable y, por tanto,. continua en t = 0, lo cual no sucede pues x no posee ĺımite finito en ese punto. Un razonamiento análogo se puede usar para ver, que salvo la dada por x(t) = t2, no puede haber otra solución de la ecuación impĺıcita definida en un intervalo I que contenga a t = 0.. Comprobamos que efectivamente la función definida por x(t) = t2 es solución de la impĺıcita. en R y el razonamiento anterior nos lleva a que es la única solución de la ecuación impĺıcita válida en R. Esto tiene como consecuencia que el problema de Cauchy (P) tendŕıa solución válida en R, que es la función definida por x(t) = t2 (parece ser que es la única) pero el problema (Q) no tiene solución. Esto supone un comportamiento muy distinto al caso de ecuaciones expĺıcitas pues véase que nuestra ecuación lineal impĺıcita es de la forma general a0(t)x. !(t)+a1(t)x(t)+a2(t) = 0, donde las funciones a0(t) = t, a1(t) = 2 y a3(t) = !4t2 están definidas y son continuas en R.. C ! 0C ! 0. C " 0C " 0. !0, 0" !0, 1". #4 #2 2 4. #20. #10. 10. 20. 30. 40. Figura 2.2: Gráficas de las soluciones x C para C = 1, 3, 0, !3, !1.. Si le damos a Mathematica la ecuación lineal impĺıcita nos da las mismas soluciones de la expĺıcita asociada; es decir, las que hemos obtenido anteriormente:. DSolve[t x’[t] + 2 x[t] - 4 t^2 == 0, x[t], t] **. x[t] # t2 + C[1] t2. ++. y si le pedimos la solución del problema (Q) no nos sabe responder.. Por último planteamos la resolución de una ecuación diferencial con el fin de hacer ver que a veces, aún siendo posible el cálculo de primitivas, la determinación de una solución particular mediante el método de Lagrange y análogamente a la resolución por el primer método, puede ser muy laboriosa y esto justificaŕıa la necesidad de buscar otro método para ciertos casos.. 32 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Ejemplo 2.11. Soluciones de la ecuación diferencial x!(t) + 5x(t) = t3et.. Escribimos la ecuación como x!(t) = !5x(t)+t3et. En este caso una de las funciones coeficientes es constante (a(t) = !5) y la otra es la definida por b(t) = t3et. Ambas son continuas en R y, por tanto, las soluciones de la ecuación diferencial están definidas en R.. La ecuación homogénea (H) asociada a nuestra ecuación completa es x! = !5x, cuyas solu- ciones son las funciones definidas por xh(t) = Ce. "5t, siendo C cualquier constante real. Según la conjetura de Lagrange, hay soluciones particulares del tipo xp(t) = k(t)e. "5t, donde k & C 1 (R, R).. Para obtener una función k adecuada imponemos que tal función xp sea solución de la ecuación diferencial completa y obtenemos k!(t) = t3e6t. El problema con el que nos encontramos aqúı es la determinación de la primitiva k(t) =. ! t3e6t dt, lo cual exige tres integraciones por partes. En la. primera integración por partes tomamos u(t) = t3 y v!(t) = e6t y de forma análoga v!(t) = e6t en las otras dos integraciones por partes. Con un poco de paciencia obtenemos:. ! t3,-./ u(t). e6t,-./ v!(t). dt = 16t 3e6t ! 12. ! t2e6t dt = 16t. 3e6t ! 12 0 1 6t. 2e6t ! 13 ! te6t dt. 1. = 16t 3e6t ! 112t. 2e6t + 16 ! te6t dt = 16t. 3e6t ! 112t 2e6t + 16. 0 1 6te. 6t ! 16 ! e6t dt. 1. = e6t 2 1 6t. 3 ! 112t 2 + 136t !. 1 216. 3 ,. obteniendo finalmente la solución particular. (2.18) xp(t) = e t & 1 6t. 3 ! 112t 2 + 136t !. 1 216. ' = 1216 e. t (36t3 ! 18t2 + 6t ! 1).. En definitiva, las soluciones de la ecuación vienen dadas por. x C (t) = Ce"5t + 1216 e. t (36t3 ! 18t2 + 6t ! 1), donde C & R.. A la vista de la dificultad de cálculo que se ha tenido para obtener la solución particular (2.18), nos planteamos si la resolución de esta ecuación es más cómoda por el primer método (el del factor integrante). La respuesta es negativa, tanto en este ejemplo como en cualquier otro, si tenemos en cuenta la expresión (2.16); es decir, usando el primer método nos vamos a topar con las mismas primitivas y, por lo tanto, con la misma dificultad. Para ratificar esto (por si alguien no queda convencido), vamos a intentar resolver la ecuación de este ejemplo con ese método y, de paso, vemos un ejemplo más.. Si µ: R # R no se anula en ningún punto de R, la ecuación diferencial es equivalente a. µ(t) " x!(t) + 5x(t). # = µ(t)t3et.. La idea es determinar una función µ, derivable y que no se anule en R, que verifique. (*) d. dt [µ(t)x(t)] = µ(t). " x!(t) + 5x(t). #. para que nuestra ecuación diferencial sea equivalente a la ecuación. d. dt [µ(t)x(t)] = µ(t)t3et,. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 2.3. La ecuación diferencial lineal no homogénea 33. de donde es trivial “despejar” x aśı:. x(t) = 1. µ(t). 0 C +. ! µ(t)t3et. 1 .. Derivando y desarollando la expresión (*) resulta. µ!(t)x(t) = 5µ(t)x(t),. para lo cual será suficiente con que µ no se anule y verifique µ!(t) = 5µ(t), lo que nos lleva a elegir µ(t) = e5t, para finalmente obtener. x(t) = Ce"5t, -. / xh(t). + e"5t ! t3e6t dt. , -. / xp(t). .. Como era de esperar, en el primer sumando de la expresión anterior aparece xh(t), expresión de la solución general de la ecuación homogénea y, en el segundo, la misma solución particular xp(t) que surgió con el método de variación de los parámetros y, por tanto, con el mismo problema de cálculo de la primitiva. ! t3e6t dt.. Resolución de la ecuación diferencial con Mathematica:. DSolve[x’[t] + 5 x[t] == t^3 Exp[t], x[t], t]] 44. x[t] # 1216e t " !1 + 6t ! 18t2 + 36t3. # + e"5tC[1]. 55. El ejemplo anterior es una buena excusa para explicar el siguiente método para determinar una solución particular.. (B): Método de los coeficientes indeterminados. Este es un método que se usa para determinar una solución particular de una ecuación lineal completa, pero que sólo se puede aplicar en ciertos casos; concretamente, cuando la función a es constante, es decir, la ecuación es de la forma. x!(t) = ax(t) + b(t). y, además, la función b es de unos tipos especiales. Cuando este método se puede llevar a cabo, la ventaja que tiene respecto al anterior (método de Lagrange) es la simplicidad de cálculos; de hecho, no requiere cálculos de primitivas.. El método de los coeficientes indeterminados se desarrollará con todo detalle cuando veamos las EDO lineales de segundo orden; aqúı sólo vamos a considerar, con poco formalismo, el caso especial en que la función b es de la forma:. b(t) = Pm(t)e "t, donde Pm(t) es un polinomio de grado m )= 0 en t y ! & R.. El ejemplo visto anteriormente es un caso particular de esta situación. Al ser a constante, como queremos una función xp que verifique x. ! p(t) ! axp(t) = b(t), parece factible buscar xp aśı:. xp(t) = Qm(t)e "t, donde Qm(t) es otro polinomio de grado m en t.. ¿Es esto posible? En principio podŕıa serlo si ! )= a ya que. x!p(t) ! axp(t) = " Q!m(t) + (! ! a)Qm(t). # e"t. 34 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. y el factor que acompaña a e"t en la expresión anterior es un polinomio de grado m siempre que ! ! a )= 0 (se puede probar que, en este caso, efectivamente existe tal solución particular).. Ponemos en práctica esta idea con la ecuación ya vista anteriormente: x!(t) + 5x(t) = t3et .. Observemos que aqúı ! = 1 )= a = !5, por lo que puede existir una solución particular de la forma. xp(t) = Q3(t)e t = (At3 + Bt2 + Ct + D)et, donde A, B, C, D & R.. Veamos si existen coeficientes A, B, C, D que verifiquen que xp es realmente solución y, en tal caso, los determinaremos; de ah́ı que el método reciba el nombre de método de los coeficientes indeterminados.. La función xp será solución de la ecuación si y sólo si, al imponer esa condición el sistema de ecuaciones que resulta en las incógnitas A, B, C y D es compatible. De hecho, vamos a comprobar que al imponer que tal función xp sea solución llegamos a un sistema lineal de ecuaciones con solución única y de resolución inmediata, pues sale un sistema triangular donde se obtiene inmedia- tamente el coeficiente A; a partir del valor de A se obtiene el valor de B y aśı sucesivamente. Finalmente veremos que sale la misma solución particular que se obtuvo mediante el método de variación de las constantes.. En efecto, derivando la expresión de xp y escribiendo adecuadamente x ! p + 5xp obtenemos. x!p(t) = & At3 + (3A + B)t2 + (2B + C)t + C + D. ' et. 5xp(t) = & 5At3 + 5Bt2 + 5Ct + 5D. ' et. x!p(t) + 5xp(t) = & 6At3 + (3A + 6B)t2 + (2B + 6C)t + C + 6D. ' et.. Puesto que se debe verificar que x!p(t) + 5xp(t) = t 3et para cada t & R, resulta que, xp es solución. de la ecuación diferencial si y sólo si, los coeficientes verifican 6 777778. 777779. 6A = 1. 6B + 3A = 0. 6C + 2B = 0. 6D + C = 0.. Lo anterior es un sistema lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, compatible determinado y de resolución trivial. De la primera ecuación se obtiene A = 1/6. Llevando este valor a la segunda ecuación se obtiene B = !1/12. Sustituyendo el valor de B en la tercera se tiene C = 1/36 y, por último, de la cuarta ecuación se sigue D = !1/216, obteniendo aśı la misma solución particular (2.18) que obtuvimos con el método de variación de las constantes, pero de una forma más simple.. Obsérvese que cuando ! = 0 tenemos el caso particular en el que la función b es polinómica y en este caso se busca una solución particular que también sea polinómica y del mismo grado (! = a sólo se daŕıa en el caso en el que ecuación fuese de la forma x!(t) = Pm(t), ecuación que es. trivial). Se propone como ejercicio la resolución de la ecuación x! + x = t4 . Otro caso particular de b(t) = Pm(t)e. "t es b(t) = "e"t (caso m = 0), pero éste no da problemas de cálculo con el método de Lagrange.. Se concluye la teoŕıa de este tema con algunas advertencias, destacando ciertos aspectos so- bresalientes de la ecuaciones diferenciales lineales, que a van ser casi exclusivos de este tipo de. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 2.4. Algunos modelos matemáticos 35. ecuaciones. Una de las propiedades más significativas de las ecuaciones lineales x! = a(t)x + b(t) es que poseen soluciones (infinitas) en cualquier intervalo I donde las funciones a y b sean continuas. Por otra parte, un problema de Cauchy posee solución única en un intervalo I donde las funciones a y b sean continuas y t0 & I. Aśı por ejemplo, el problema lineal. (P) :. % x!(t) = x(t). x(0) = 1. posee solución única válida en todo R. Otra cuestión a destacar es que las expresiones de las soluciones se han obtenido de una forma expĺıcita.. A partir de ahora, en el tratamiento del resto de las ecuaciones, a priori no podremos conocer los intervalos de existencia de la soluciones. Por ejemplo, un problema tan parecido a (P) como. % x!(t) = x2(t). x(0) = 1. no posee solución válida en R. La solución de este problema, que es x(t) = 11"t, sólo es válida en el intervalo I = (!%, 1). La ecuación no es lineal; es de un tipo que estudiaremos en el próximo tema. En muchas de las ecuaciones diferenciales, que trataremos en este curso, las expresiones de las soluciones se obtendrán, en principio, de una forma impĺıcita y, en muchos casos, no se podrán obtener expresiones expĺıcitas.. 2.4 Algunos modelos matemáticos usando ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Este tema se acaba con la exposición de algunos modelos matemáticos en el que aparecen ecuaciones lineales de primer orden. Uno de ellos ya se vio en la introducción de la asignatura (tema 1), que es el modelo de población malthusiano, que dio lugar a una simple ecuación diferencial lineal homogénea: x!(t) = rx(t). Exponemos a continuación otros dos ejemplos muy interesantes.. 2.4.1 La ley de desintegración radioactiva. Hay ciertos átomos cuyos núcleos poseen un número excesivo de neutrones y esto los hace inesta- bles. Los átomos tienden entonces a desintegrarse, liberando part́ıculas que les sobran y adquiriendo configuraciones más estables. Las sustancias con este tipo de átomos se llaman radioactivas (o ra- diactivas). Se suele suponer que todos los átomos de una sustancia radiactiva tienen la misma probabilidad de desintegrarse en la unidad de tiempo y que esa probabilidad no depende del mo- mento en que tiene lugar la desintegración.. Experimentalmente se ha establecido que la velocidad de desintegración de una sustancia radiac- tiva es directamente proporcional a la cantidad de sustancia existente. Esto se conoce como ley de desintegración radioactiva y fue formulada por E. Rutherford y F. Soddy en 1902 (premios Nobel de qúımica en 1908 y 1921 respectivamente).. La ley de desintegración anterior se puede expresar en términos de una simpĺısima ecuación diferencial lineal homogénea (análoga a la del modelo malthusiano). Si para cada instante de tiem- po t, x(t) denota la cantidad de materia radioactiva existente en ese instante, lo que nos dice la ley de desintegración es que existe una constante K > 0 tal que. (2.19) x!(t) = !Kx(t).. 36 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. La constante K > 0 es la llamada constante de desintegración de la materia. Lo del signo negativo delante de K en la ecuación (2.19) se explica por el hecho de que la materia tiende a decrecer con el paso del tiempo y, por tanto, la derivada x!(t) debe ser negativa en cada instante t.. Las soluciones de (2.19) son las funciones definidas por. x C (t) = Ce"Kt donde C & R.. Si conocemos la cantidad x0 de sustancia radiactiva en un instante t0, damos lugar a un problema de valor inicial asociado a la ecuación (2.19) cuya única solución es. (2.20) x(t) = x0e "K(t"t0).. La expresión de la evolución de la masa en función del tiempo, dada por (2.20), nos confirma que la masa de la sustancia radioactiva decrece exponencialmente con el tiempo y tiende a extinguirse, es decir, lim. t#$ x(t) = 0. Posiblemente, esta fue la hipótesis formulada por E. Rutherford y F. Soddy,. según algunos textos.. Un importante concepto relacionado con las sustancias radiactivas es la llamada semivida. La semivida de una sustancia radiactiva es el tiempo (se suele notar por t. 1/2 ) que tarda ésta en reducir. su masa a la mitad. Este valor es muy útil para ciertos objetivos y puede calcularse fácilmente en función de de la constante de desintegración K.. En efecto, por definición, si t0 indica el instante inicial de la desintegración, la semivida t1/2 es. el valor que verifica x(t0 + t1/2) = 1 2x(t0). Teniendo en cuenta la expresiónr (2.20), tenemos. x0e "Kt. 1/2 = 12x0. y aunque desconozcamos el valor de la masa en el instante inicial x0 = x(t0), al ser ésta no nula, podemos deducir de la expresión anterior que. t 1/2. = log 2K .. Se deja como un simple ejercicio el comprobar que la constante de desintegración y, por tanto, la semivida se puede calcular conociendo las cantidades de sustancias radiactivas en dos instantes de tiempo (no es necesario conocer la masa en el instante inicial).. La semivida de algunas materias radiactivas es de pocos segundos o minutos, pero la de otras, como el carbono-14, es de much́ısimos años, la cual está estimada en aproximadamente 5.730 años. Esto hace que el carbono-14 sea muy adecuado para fechar restos orgánicos de hasta hace 50.000 años. Resulta sorprendente que este modelo matemático tan simple sea la única base matemática en la que se apoya el muy famoso método del carbono-14 para datar fechas de restos arqueológicos, método que ideó el qúımico estadounidense Libby, en la década 1940-50 y que le reportó el Premio Nobel de Qúımica en 1960.. La estimación de edades de restos arqueológicos por el método del carbono-14 se basa en lo siguiente. El isótopo radiactivo natural del carbono es el carbono-14 (6 protones y 8 neutrones). Se acepta que la razón entre carbono-14 y carbono-12 (el isótopo estable del carbono, que contiene 6 protones y 6 neutrones) del CO2 atmosférico ha permanecido constante a lo largo de, al menos, los últimos 50.000 años. Esa misma razón existirá en los organismos vivos al ser incorporado CO2 por las plantas mediante la fotośıntesis y, a partir de ellas, por todos los animales de la cadena alimenticia. Cuando muere una planta o un animal, la cantidad de C14 decrece debido a la desintegración radiactiva, mientras que la cantidad de C12, estable, permanece constante. Esto. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 2.4. Algunos modelos matemáticos 37. significa, por ejemplo, que la radiactividad (velocidad de desintegración del carbono-14) en una muestra actual de madera recién cortada (o en general de cualquier tipo de materia orgánica), debe coincidir con la que teńıa una muestra similar hace 3.000 años. De esta forma, midiendo la radioactividad de un resto arqueológico de origen orgánico (madera, huesos, etc.) y la de una muestra similar actual, podrá determinarse la edad aproximada de dicho resto.. La cuestión que planteamos es la siguiente. Compruébese mediante el modelo (2.20) lo dicho anteriormente; más concretamente, que podemos datar un resto arquelógico (de no más de 50.000 años) conociendo la proporción entre la radiactividad del resto hallado y la de una muestra similar actual. En particular, determı́nese la edad de unos restos arqueológicos si la radiactividad de estos es el 25 por 100 de la radiactividad de una muestra viva.. 2.4.2 La ley de Newton sobre la variación de la temperatura. Denotemos por T(t) la temperatura superficial en el instante t de un objeto (que no posea fuentes ni sumideros internos de calor) y por Ta la temperatura ambiente, la cual suponemos que permanece constante en un cierto periodo de tiempo. No estaŕıa mal hacerse unas ideas de lo que sucede con una bebida caliente (café), que se enfŕıa rápidamente tendiendo a la temperatura ambiente (el enfriamiento es cada vez más lento), o lo que sucede con una bebida muy fŕıa, que se va calentando (cada vez más lentamente) tendiendo también a la temperatura ambiente. La modelización más simple de las observaciones anteriores consiste en suponer que la velocidad con que vaŕıa la tem- peratura superficial de un objeto es directamente proporcional a la diferencia entre la temperatura ambiente y la del objeto. Esta es la conocida ley de Newton sobre la variación de la temperatura (conocida más usualmente como ley de enfriamiento de Newton). Matemáticamente esto se puede formular diciendo que existe una constante K > 0 tal que. (2.21) T !(t) = K " Ta ! T(t). # para cada t + t0,. donde t0 es un instante inicial. La constante K depende de la naturaleza del objeto. El motivo de que K sea positiva es el siguiente. Si en un instante t0 es T(t0) > Ta (situación que se da con el café), por ser la función temperatura continua, en un intervalo del tipo J = [t0, t0 + %) debe verificarse que T(t) > Ta para cada t & J y, por tanto, T !(t) = K. " Ta ! T(t). # < 0, por lo que la. temperatura decrece estrictamente en J. Análogamente, si T(t0) < Ta (situación que se da con la bebida fŕıa) seŕıa T !(t) > 0 para cada t & J y aśı la temperatura crece estrictamente en J. Ambas situaciones son las esperadas. Escribimos, para una mejor visualización, la ecuación diferencial aśı:. T !(t) = !KT(t) + KTa.. De esta forma apreciamos que es una ecuación lineal completa (únicamente es homogénea cuando Ta = 0), es decir del tipo T. !(t) = a(t)T(t)+b(t), donde las funciones coeficientes a y b son constantes. Las soluciones de la homogénea se obtienen de forma casi inmediata y lo bueno es que a ojo se ve una solución particular de la completa, que es una solución trivial y lógica desde el punto de vista f́ısico: la solución constante Tp(t) = Ta. Esta solución se corresponde a una situación real en la que el objeto tiene la misma temperatura que la temperatura ambiente y, entonces, a lo largo del tiempo su temperatura permanece constante. De esta forma tan simple, podemos deducir que las soluciones de la ecuación diferencial (2.21) son las funciones definidas por. T C (t) = Ta + Ce. "Kt, donde C & R.. Generalmente podemos conocer la temperatura del objeto en un instante T0 = T(t0) (no nece- sariamente el instante inicial del proceso f́ısico) y esto nos lleva a un problema de valor inicial de. 38 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. solución única:. (2.22) T(t) = Ta + (T0 ! Ta)e "K(t"t0),. expresión que engloba el caso de la solución constante T(t) = Ta cuando T0 = Ta. De esta forma, salvo el cálculo de la constante de proporcionalidad K conocemos perfectamente la evolución de la temperatura del cuerpo.. Observando la expresión de la primera derivada T !(t) = !K(T0 ! Ta)e"K(t"t0) se confirma que, según sea T0 > Ta o T0 < Ta, tenemos una función estrictamente decreciente o estrictamente creciente, que en cualquier caso verifica que. lim t#$. T(t) = Ta.. Por otra parte, la expresión de la segunda derivada: T !!(t) = K2(T0 ! Ta)e"K(t"t0) nos confirma que en el primer caso la función es convexa y, en el segundo, es cóncava.. Como ejemplo, véase el comportamiento de cada una de las gráficas que aparecen en la siguiente figura, en la que hemos supuesto Ta = 3, t0 = 1, K = 1 y T0 en las tres situaciones posibles, ratificando aśı lo que sucede con los ejemplos citados sobre las bebidas.. 1 2 3 4. 2. 3. 4. 5. T. t. Figura 2.3: Gráficas de los tres casos supuestos sobre la variación de la temperatura.. El valor de la constante K, a priori desconocida, se puede calcular si conocemos la temperatura del cuerpo en dos instantes de tiempo t0 < t1. Suponiendo conocidos T0 = T(t0) y T1 = T(t1) y usando la expresión (2.22), concluimos (suponiendo sin pérdida de generalidad que T0 )= Ta) que. (2.23) K = 1. t0 ! t1 log. &T1 ! Ta T0 ! Ta. ' =. 1. t1 ! t0 log. &T0 ! Ta T1 ! Ta. ' .. Compruébese que, en cualquier situación, se verifica que 0 < T1"Ta T0"Ta. < 1. De esta forma, conociendo. la temperatura en dos instantes de tiempo conocemos perfectamente la evolución de la temperatura.. Lo anterior tiene una interesante aplicación en Medicina Legal pues nos da una forma de deter- minar la hora de fallecimiento de una persona cuyo cuerpo se ha encontrado después de esta hora, lo cual es de vital importancia en la investigación de un homicidio o una muerte accidental. Hay que suponer que el cadáver se encuentra en un lugar donde la temperatura ambiente ha sido constante (no sirve que el cuerpo esté a la intemperie y haya viento o haya llovido, etc). Se busca el instante tm de la muerte y se supone que la temperatura del cuerpo de una persona (temperatura anal) es de 37% cent́ıgrados (en este caso, si la temperatura ambiente es inferior a 37 grados, que es lo usual, habrá un descenso de la temperatura del cuerpo con el tiempo). De esta forma T(tm) = 37. El cuerpo se encuentra en el instante t0 y se toma su temperatura anal T0 = T(t0). Según lo visto. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. Ejercicios propuestos 39. anteriormente, será suficiente con realizar una segunda medida de la temperatura del cuerpo en un instante posterior t1 > t0 y aśı con los valores T0 = T(t0) y T1 = T(t1) y la temperatura ambiente Ta conocemos el valor de T(t) en cualquier instante t. Teniendo en cuenta que T(tm) = 37 podemos calcular el valor de tm, haciendo uso de la expresión (2.22), aśı:. tm = t0 ! 1. K log. &37 ! Ta T0 ! Ta. ' .. (Obsérvese que tm < t0). El valor de la constante K se obtendŕıa a partir de (2.23). Si uno no tiene a mano todas estas fórmulas, lo mejor es seguir el razonamiento llevado a cabo aqúı a partir de la ecuación diferencial lineal que modela la ley de Newton (véase el ejercicio 13).. Ejercicios propuestos :. 1. Determina todas las soluciones (solución general) de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales (las ecuaciones se escriben en forma reducida), indicando los intervalos donde son válidas .. (a) x! = 1 t x + 1+t. t (b) x! + 1. t x = log t (c) x! + 2x = e!t, " & R. (d) x! = x + cos t (e) x! = 2tx + t3 (f) (1 + t2)y! + 4ty = (1 + t2)"2.. 2. Determina todas las soluciones de las dos siguientes ecuaciones diferenciales, propiamente impĺıcitas, (las ecuaciones se escriben en forma reducida) y estudia si poseen soluciones válidas en R . (a) tx! ! x ! t3 = 0 (b) tx! + x ! 3t2 = 0. 3. Comprueba que cada uno de los siguientes problemas de condiciones iniciales (problemas de Cauchy) posee solución única en un determinado intervalo y resuelve el problema. En cada caso, determina el intervalo maximal en el que la solución es válida y estudia su comportamiento en los extremos de dicho intervalo.. (a). % x! + tx = t. x(0) = 2 (b). % x! + 3x = te"2t. x(1) = 1. (c). % tx! + 2x = sen t. x($) = 1 ". (d). % t(2 + t)x! + 2(1 + t)x = 1 + 3t2. x(!1) = 1.. 4. Determina una solución particular de la ecuación diferencial lineal x! + x = t4 mediante el método de los coeficientes indeterminados y, con la ayuda de ésta, determina todas las soluciones de la ecuación. [Intenta hallar, en este caso, una solución particular mediante el método de variación de las constantes y compara la dificultad de cálculo con la obtenida por el otro método].. 5. Halla todas las soluciones de la ecuación diferencial x! = x + t3e2t.. 6. Encuentra el valor de x 0 para el que la solución del problema de Cauchy. % x! ! x = 1 + 3 sen t x(0) = x. 0. es. acotada en R. 7. Prueba que, si " y ! son dos números positivos y & es un número real cualquiera, todas la soluciones. de la ecuación diferencial x! + !x = &e"!t verifican lim t#$. x(t) = 0.. 8. Prueba que la función nula es la única función continua x: R # R que verifica x(t) = ! t 0 x(s) ds para. cada t & R. 9. Principio de superposición. Comprueba que si b = b. 1 + b. 2 + · · · bm y, para cada k & {1, 2, . . . m },. es xk solución de la ecuación x !(t) = a(t)x(t) + bk(t), entonces x = x1 + x2 + · · · xm es solución de. x!(t) = a(t)x(t) + b(t).. 10. Sean a, b: I # R dos funciones continuas en un intervalo I. Comprueba que para obtener todas las soluciones de la ecuación diferencial x!(t) = a(t)x(t) + b(t) en el intervalo I, es suficiente con conocer dos soluciones x. 1 , x. 2 distintas en I. Determina una expresión de la solución general de la ecuación en. términos de x 1 y x. 2 .. 40 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. 11. Una función derivable y : (0, %) # R, x $# y(x) tiene una gráfica con la propiedad de que en cada punto (x, y) de ésta la recta tangente corta a los dos ejes de coordenadas en puntos cuyo punto medio es el punto de contacto (x, y). Determı́nese tal función sabiendo que su gráfica pasa por el punto (2, 3). ¿Hay más funciones derivables con la misma propiedad?.. 12. Sustancias radiactivas Admitiendo como hipótesis la ley de desintegración radioactiva vista en la sección 2.4.1,. (a) Comprueba que la semivida de una sustancia radiactiva, es decir, el tiempo que tarda en reducirse la masa a la mitad, puede calcularse conociendo las cantidades de tal sustancia en dos instantes de tiempo.. (b) Determina la semivida de una sustancia radiactiva que mantiene al cabo de 5 horas el 95 por 100 de su masa inicial (de hecho, aśı se procede experimentalmente para determinar la semivida).. 13. En cada uno de los siguientes problemas se supone que se verifica la ley de Newton sobre la variación de la temperatura vista en la sección 2.4.2.. • Un cuerpo a 70 %C se coloca en un medio que está a 40 %C. A los tres minutos la temperatura del cuerpo resultó ser de 60 %C. ¿Cuando tiempo tardará en estar a 50 %C? ¿Cuál será su temperatura a los cinco minutos?. • Estimación de la hora de un fallecimiento.- Por razones obvias, la sala de disección de un forense se mantiene fŕıa a una temperatura constante de 5 %C. Mientras se encontraba realizando la autopsia de la v́ıctima de un asesinato, el propio forense es asesinado y el cuerpo de la v́ıctima robado. A las 10 de la mañana el ayudante del forense descubre su cadáver a una temperatura de 23%C. A mediod́ıa, su temperatura es de 18’5%C. Supuesto que el forense teńıa en vida la temperatura normal de 37%C, ¿a qué hora fue asesinado?. !. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Introducción y definiciones La ecuación diferencial lineal homogénea La ecuación diferencial lineal no homogénea Primer método: Uso de un “factor integrante” Segundo método Métodos para determinar una solución particular de la completa. Algunos modelos matemáticos La ley de desintegración radioactiva La ley de Newton sobre la variación de la temperatura. Ejercicios propuestos

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