APUNTES DE ENERGIA EN CUARTO

APUNTES DE ENERGIA EN CUARTO

Alvaro Polidura Allende

19 de marzo de 2010

Definicion de trabajo en una dimension

Una Fuerza act´ua sobre un cuerpo; El cuerpo recorre un espacio ∆x en una direcci´on que con la fuerza (Que al ser un vector , tambi´en tiene direcci´on) forma un ´angulo α, entonces definimos el trabajo para recorrer la distancia ∆xcomo

W =F.∆x.cosα (1)

y si el punto de partida es A y el de llegada B , realmente lo escribimos as´ı:

WAB =F.∆x.cosα (2)

Aqui nos vamos a limitar a fuerzas que existen “EN CADA PUNTO”

De modo que el cuerpo al ir pasando por los puntos que hay entre A y B sufre la Fuerza que hay en ellos.Tal

como lo hemos definido Solo hay una fuerza (un unico valor) entre A y B , la F; si luego se va de B a C y en

esos puntos hay otra fuerza F1 ,usaremos ´esa y sumaremos su trabajo al anterior para hallar el Trabajo total entre A y C

Al hacer la operaci´on del c´alculo del trabajo, hemos obtenido un escalar a partir de dos vectores

Definicion de Fuerza Conservativa

El valor que tiene la Fuerza en cada punto tiene alg´un tipo de relaci´on con los valores en sus puntos vecinos de modo que no importa por qu´e trayectoria o colecci´on de puntos voy para llegar desde un punto A hasta otro B( Y tampoco para cualquier otro par de puntos si quiero calcular el trabajo entre ellos): EL TRABAJO siempre ser´a el mismo sin importar por donde vaya para llegar desde A hasta B

Por tanto debo poder escoger caminos : debo hablar del plano; Si estudio un problema unidimensional no hay posibilidad de elegir camino y no se ve claro si la fuerza lo es o no

Definici´on de Energia Potencial

Ahora vamos a definir la Energ´ıa potencial: es un Trabajo y es tambi´en un valor que se asigna a cada punto. Pero ahora cuando el cuerpo est´a en el punto A tienela Energ´ıa potencial del punto A ( antes, no ; antes, si pasaba por A , La F actuaba sobre el cuerpo pero el cuerpo no ten´ıa Fuerza.La Fuerza se sufre . La Energ´ıa se tiene .

Para estar en el punto A es condici´on imprescindible tener la Energ´ıa potencial de A : si no se ha conseguido (como sea ) esa energ´ıa previamante, no se ha podido llegar al punto A.

La definici´on es ´esta: LA ENERG´IA POTENCIAL DEL PUNTO A ES EL TRABAJO NECESARIO HACER CON UNA FUERZA OPUESTA A LA QUE ME VOY ENCONTRANDO CUANDO VOY DE UN PUNTO ESPECIAL (El punto origen de Energ´ıa Potencial) hasta el punto A.

En la Definici´on se supone que la Fuerza asignada a cada punto cumple la condici´on deSER CONSERVATIVA

si no no existe esa Energ´ıa potencial ni se puede asignar a cada punto

Justificaci´on de la Definici´on

La raz´on de esa definici´on es la siguiente: Cuando se hace trabajo sobre un cuerpo que ten´ıa una velocidadvoy termina con otra velocidadv1, se comprueba que

W1 o =

1 2.m.v

2 1−

1 2.m.v

2

o (3)

Esa expresi´on de masa por velocidad al cuadrado dividido por 2 se llamaEnerg´ıa Cin´etica y la lleva el cuerpo con ´el si se mueve

As´ı que si hacemos una fuerza positiva hay m´as velocidad al final o ,si es negativa, (Como ,por ejemplo ,en un rozamiento)al final hay menos. La necesidad de inventar otra forma de energ´ıa (La Potencial) distinta de 1

2.m.v 2

Esa forma de energ´ıa nueva es necesario inventarla porque no se pierde como en el rozamiento, si no que despu´es, el cuerpo vuelve a convertirla en cin´etica al pasar por los puntos iniciales.

La idea es que , al estar en zonas donde cada punto tiene una fuerza, si quiero moverme sin perder velocidad , debo hacer una fuerza opuesta a la que hay all´ı esperando que yo pase para compensar y ese trabajo que me veo obligado a hacer queda almacenado en forma de energ´ıa potencial. Hay dos casos : a) Al moverme hago esa fuerza ,la Cin´etica no cambia , la zona saca energ´ıa que almacena en potencial del trabajo que hago yo b) El cuerpo tiene cin´etica y lo dejo solo: la zona coge parte de la cin´etica y con ella la convierte en potencial el cuerpo pierde velocidad.

Dada esta definici´on como fuerza que hacemos nosotros, despu´es , en general , cuando hablemos de fuerzas , ser´an las que est´an asignadas a cada punto las que act´uen y ya nos olvidaremos de la que hac´ıa yo: estaremos siempre en casos como b)

A

B

A

A

A

B

B Camino 4 _B

Camino de retorno Camino 1

Camino 2

Camino 3

x y

x

x

x y

y y

Figura 1: Ejemplos de diferentes Trayectorias entre A y B

Dibujo en el plano con diferentes caminos

En la primera figura (Figura 1) se ilustran situaciones como las que acabamos de describir

Evidentemente el espacio total recorrido no siempre es el mismo , luego las F de los puntos por los que se pasa en cada caso deben ir compensando esos cambios teniendo otros valores para que el trabajo siempre sea el mismo ( o el coseno del ´angulo). En la cuarta subfigura adem´as se ilustra el caso en que , despu´es de ir a B se vuelve por otro camino a A (incluso haciendo un bucle, el trabajo debe ser el mismo solo que con signo opuesto , luego adem´as se deduce en el acto que si voy de A a A por un camino , que ser´a cerrado, el trabajo total es cero.

La energ´ıa Potencial como escalar atribuible a cada punto

Si el trabajo entre dos puntos cualesquiera no depende del camino entre ellos , debe depender de algo de los propios puntos.Podemos pues calcular el trabajo como la diferencia de Algo que es propio de A y de algo que es propio de B , eso es de las energ´ıas potenciales de cada uno como diferencia entre ellas (Por la definici´on de Energ´ıa potencial como un trabajo:

EpA=−WoA; EpB =−WoB

(Definicion de E potencial en A y en B, o es el punto origen; el menos es porque se debe ir haciendo F opuesta a la de cada punto)

El trabajo entre dos puntos como diferencia de energia potencial entre ellos

Usando las dos anteriores se pueden combinar para hallar el Trabajo entre dos puntos A y B como diferencia entre las Energ´ıas potenciales que hay en cada uno(Asi que para hacer un trabajo solo hay que hacer una resta y no una suma de muchos sumandos( los trabajos de cada fuerza en cada punto y que ser´ıa productosF.∆x.cos(α)

WB

A =WAo+WoB=−WoA+WoB =EpA−EpB

La fuerza deducida a partir de la Energia Potencial

Si me dan la Fuerza se puede calcular la Energ´ıa Potencial como un trabajo.

Ahora, si lo que me dan es la Energ´ıa potencial , ¿c´omo puedo calcular la fuerza en cada punto? Podemos usar un punto cercano al A, que est´e separado de ´el una distancia peque˜na ∆xy cuya diferencia de potencial respecto a la de A sea tambi´en peque˜na ∆Ep. El Trabajo entre A y ese punto es por definici´on la diferencia de Energia potencial entre ambos puntos y por otro lado es F.∆x.cos(α) ; Si escogemos que el punto pr´oximo sea en una direcci´on igual a la que va a tener la fuerza ( ver los 2 apartados siguientes para saber cual es) queda solo F.∆x.cos(0) =F.∆xde modo que tenemos, igualando ambos trabajos

WAP untocercano= ∆Ep =F.∆x despejandoF= ∆Ep

∆x (4)

La lineas equipotenciales

En un plano (Coordenadas XY) establecemos , pues , en cada punto ,un valor de la Energ´ıa Potencial .Es como un mapa.Se pueden ir buscando en cada punto alg´un vecino que tenga el mismo valor deEp que ´el. Al ir uniendo todos los puntos que tienen el mismo valor deEp sale como una curva de nivel en un mapa 2D: se llamal´ınea

equipotencial.

Es evidente que , una vez dibujadas todas, si me pongo en un punto y me muevo alrededor de ´el por el mapa hay dos posibilidades extremas: a ) moverse a un punto vecino de la misma l´ınea(El cambio deEp ser´a cero) ( Trabajo cero) y b )moverme a la l´ınea m´as cercana perpendicularmente a “ambas”. El cambio ser´a el m´aximo posible. De ah´ı el razonamiento de la Segunda Figura cuando hablamos de conseguir cambio m´aximo deEp y l a manera definitiva y m´as r´apida como se explica en la Tercera Figura

Punto donde quiero calcular la Fuerza

A

Puntos vecinos a su alrededor

Puntos vecinos a

su alrededor A

Miraríamos la Ep de A y después la de cada vecino

3 A

y la distancia de cada uno Dx al punto A

Calcularíamos los co-cientes DEp

Dx

Habrá uno que valga más

Sea DEp la diferencia de Ep entre A y cada vecino

que los otros , por ejemplo el del 3

3 A

El valor del cociente del punto 3 y la direción de A a él definen la fuerza F en A

Figura 2: Calculo de la Fuerza aproximado

El gradiente en una y dos dimensiones

Se explica en lasfiguras 2 y 3Representa el cambio deEppor unidad de distancia(x) medido en la direcci´on en la que el cambio es m´aximo (Linea de m´axima pendiente deEp)(EN UNA DIMENSI ´ON SOLO ES EL CAMBIO EN LA ´UNICA DIRECCI ´ON QUE HAY LA X)

Como sale un escalar de un vector al definir trabajo

Como se dijo al principio, o se multiplican las longitudes de F, ∆xy el coseno que forman los vectores (aspecto gr´afico) o se hace lo equivalente de forma operativa : EL PRODUCTO ESCALAR del vectorF~ = (Fx, Fy)con el vector~x= (∆x,∆y), es decir obtenemos un ´unico n´umero (El Trabajo) as´ı =Fx.∆x+Fy.∆y

Como sale un vector de un escalar usando el gradiente

Gr´aficamente se ha explicado en la Figura 3 . Operativamente se puede hacer el c´alculo de cada componente del vector fuerza por separado as´ı:En la direcci´on del eje x se calcula

Fx= ∆Ep

∆x (En una gr´afica movi´endonos en direcci´on x) yFy = ∆Ep

∆y (En una gr´afica movi´endonos en direcci´on y)

La curva unidimensional de energia potencial

Solo miro la Ep de la que pasa por A y la de la siguiente Resto sus Ep.=Ep1-Ep2=DEp Tomo la dirección

perpendicular Ep1 Ep2 a las dos

isolineas...

Punto donde quiero calcular la Fuerza

A

No uso los puntos vecinos

A

A cambio tengo las líneas Equipotenciales

A

Ep3

A

Aquí antes estaba el 3

...mido la distancia Dx entre ellas

y hallo el cociente

DEp

Dx

Dx _{Como antes}

ese es el valor de F y la dirección esa y el sentido hacia la linea de Ep mayor de las dos

Figura 3: Calculo de la Fuerza Definitivo

B1

B2

A

X E

P

Acercandose a A

Alejandose de B Alejandose de B

Figura 4: Curva de Energ´ıa Potencial y Equilibrio

habr´a zonas de curva creciente , otras de decreciente y en entre ellas puntos como A y B (Figura 4) Donde la curva crece la pendiente que es , precisamente ∆Ep

∆x es positiva pero la fuerza lleva un menos respecto a ese cociente y ser´a negativa , o sea hacia atr´as. Lo contrario (Hacia adelante) donde la curva decrece .

Los puntos de equilibrio y el sentido de las fuerzas

En los puntos como A y B que son frontera entre las dos zonas deber´a ser la pendiente cero luego en ellos F es cero y es donde en el cap´ıtulo 3 digimos que era la condici´on de equilibrio.O sea A y B son los valores de x donde va a haber equilibrio.

Por otro lado, en puntos como A las fuerzas de los puntos vecinos apuntan a ´el luego es de EQUILIBRIO ES-TABLE y en los puntos como B, sus vecinos tienen fuerzas que apuntan alej´andose de B luego B es de equilibrio PERO INESTABLE.

Como puede ser una fuerza conservativa

Este apartado es m´as dif´ıcil.En la figura (Figura 5)consideramos un circuito cerrado rectangular en el plano XY para calcular el trabajo si voy de A hacia B por el camino 1 y tambi´en por el camino 2 En el camino 1 hay dos partes : Una horizontal y otra vertical y en el 2 otras dos partes una vertical primero y luego la horizontal. Seg´un hemos dicho al principio, aunque hay longitudes iguales dos a dos en cada camino , en general pasamos por puntos donde la fuerza el ´angulo no son iguales por cada una aunque ∆x1= ∆x2 de cada camino porque F puede ser distinta (Por Ejemplo)en el punto (1) que en (2).La figura explica el planteamiento .Problemas que se plantean o cuidado que hay que tener.

y

x (2)

(1) A

B Dx

Dy

Solo

cuenta Fy Solo_{cuenta Fy}

Solo cuenta Fx

Solo cuenta Fx

Dx

Dy

W=Fy.Dy

W=Fx.Dx W=Fx1.Dx

W=Fy1.Dy

(pero otro valor ,Fx1,por estar más arriba que cuando el camino era para (1) , o sea la Fx)

(pero otro valor ,Fy1,por estar más a la dcha que cuando el camino era para (3) , o sea la Fy)

(4) (3)

Figura 5: Condici´on de fuerza conservativa

que expresamos el aumento como proporcional a ∆yas´ı ( y lo mismo para el aumento deFy como proporcional al desplazamiento horizontal ∆x) :

Fy1=Fy+C1.∆x Fx1=Fx+C2.∆y

n´otese c´omo en la componente deFxlo que aparece es ∆y y rec´ıprocamente enFy aparece ∆x.

y

x (1)

A

B

Dy

Dx

Dy

W=Fx.Dx

W=Fy1.Dy (4)

Figura 6: Condici´on de fuerza conservativa-1

En la siguiente figura(Figura 6) s´olo hemos representado la parte del recorrido 1 . Calculando sus dos trabajos y usando la f´ormula de arriba deFy1=Fy+C1.∆x, tenemos que el trabajo total es:

W(Camino1) =Fx∆x+Fy1∆y=Fx∆x+ (Fy+C1.∆x).∆y=Fx∆x+Fy.∆y+C1.∆x.∆y

Y en la siguiente figura (Figura 7) an´alogamente, s´olo hemos representado la parte del recorrido 2 . Calculando sus dos trabajos y usando la f´ormula de arriba deFx1=Fx+C2.∆y , tenemos que el trabajo total es:

W(Camino2) =Fy∆y+Fx1∆x=Fy∆y+ (Fx+C2.∆y).∆x=Fx∆x+Fy.∆y+C2.∆y.∆x

Por tanto ambos trabajos de los respectivos caminos son casi id´enticos salvo las expresiones de C1.∆x.∆y y

C2.∆y.∆xPara que lo sean totalmente basta que C1 = C2.Se puede razonar facilmente aunque solo sea por An´alisis de Dimensiones queC1=∆Fx

∆y y queC2= ∆Fy

∆x luego lo que la igualdad de las C’s dice es que

∆Fx ∆y =

∆Fy ∆x

y

x A

B Dx

Dy

Dx

Dy

W=Fy.Dy W=Fx1.Dx

Figura 7: Condici´on de fuerza conservativa 2

Concepto de vorticidad

Cuando la Fuerza no sea conservativa, lasC1yC2 no son iguales. Si me pongo a calcular todo el trabajo por un unico camino cerrado desde A hasta B por (1) y luego , volviendo de B a A por el camino (2) Se cancelar´an todos los t´erminos menos ´esto:

C1.∆x.∆y−C2.∆y.∆x= (C1−C2).∆x.∆y.

Vemos que este t´ermino es el producto del area del rect´angulo:∆x.∆y. por una cantidad que se llama

ROTA-CIONAL DE F Y DA UNA IDEA cuando no es cero de lo que se van retorciendo en la regi´on del plano XY

los vectores fuerza al pasar de unos puntos a otros , es decir, de como se van arremolinando como lo har´ıan las flechas que indicasen velocidad de viento o de agua en el mundo real en un mapa de la atm´osfera o de una corriente de agua.En la siguiente figura (Figura 8) se ilustra esta idea.

Lineas de fuerza de una región no conservativa No existe Ep ni se pueden dibujar sus lineas

equipotencialesl

Hay remolinos. El trabajo a traves

de un rectángulo cerrado no es cero . es (C1-C2).Area del rectangulo o sea se llama FLUJO de (C1-C2)(rotacional) a través de ese area

Dx

Dy

Dx

Dy

Figura 8: Ejemplo de fuerza Noconservativa . Remolinos