APUNTES DE ENERGIA EN
CUARTO
Alvaro Polidura Allende
26 de marzo de 2010
Definicion de trabajo en una dimension
Una Fuerza act´ua sobre un cuerpo; El cuerpo recorre un
espacio ∆xen una direcci´on que con la fuerza (Que al ser
un vector , tambi´en tiene direcci´on) forma un ´angulo α
, entonces definimos el trabajo para recorrer la distancia
∆xcomo
W =F.∆x.cosα (1)
y si el punto de partida es A y el de llegada B , realmente lo escribimos as´ı:
WB
A =F.∆x.cosα (2)
Aqui nos vamos a limitar a fuerzas que existen “EN CA-DA PUNTO”
De modo que el cuerpo al ir pasando por los puntos que
hay entre A y B sufre la Fuerza que hay en ellos.Tal como
lo hemos definido Solo hay una fuerza (un unico valor) entre A y B , la F; si luego se va de B a C y en esos
puntos hay otra fuerzaF1,usaremos ´esa y sumaremos su
trabajo al anterior para hallar el Trabajo total entre A y C Al hacer la operaci´on del c´alculo del trabajo, hemos obtenido un escalar a partir de dos vectores
Definicion de Fuerza Conservativa
El valor que tiene la Fuerza en cada punto tiene alg´un
tipo de relaci´on con los valores en sus puntos vecinos de modo que no importa por qu´e trayectoria o colecci´on de puntos voy para llegar desde un punto A hasta otro B( Y tampoco para cualquier otro par de puntos si quiero calcular el trabajo entre ellos): EL TRABAJO siempre ser´a el mismo sin importar por donde vaya para llegar desde A hasta B
Por tanto debo poder escoger caminos : debo hablar del plano; Si estudio un problema unidimensional no hay posi-bilidad de elegir camino y no se ve claro si la fuerza lo es o no
Definici´on de Energia Potencial
Ahora vamos a definir la Energ´ıa potencial: es un Trabajo y es tambi´en un valor que se asigna a cada punto. Pero
ahora cuando el cuerpo est´a en el punto Atiene la
En-erg´ıa potencial del punto A ( antes, no ; antes, si pasaba por A , La F actuaba sobre el cuerpo pero el cuerpo no ten´ıa Fuerza.La Fuerza se sufre . La Energ´ıa se tiene . Para estar en el punto A es condici´on imprescindible tener la Energ´ıa potencial de A : si no se ha conseguido (como sea ) esa energ´ıa previamante, no se ha podido llegar al punto A.
ESPE-CIAL (El punto origen de Energ´ıa Potencial) hasta el pun-to A.
En la Definici´on se supone que la Fuerza asignada a cada
punto cumple la condici´on de SER CONSERVATIVAsi
no no existe esa Energ´ıa potencial ni se puede asignar a cada punto
Justificaci´on de la Definici´on
La raz´on de esa definici´on es la siguiente: Cuando se hace
trabajo sobre un cuerpo que ten´ıa una velocidad vo y
termina con otra velocidadv1, se comprueba que
Wo1= 1
2.m.v
2 1−
1
2.m.v
2
o (3)
Esa expresi´on de masa por velocidad al cuadrado dividido
por 2 se llamaEnerg´ıa Cin´etica y la lleva el cuerpo con
´el si se mueve
As´ı que si hacemos una fuerza positiva hay m´as veloci-dad al final o ,si es negativa, (Como ,por ejemplo ,en un rozamiento)al final hay menos. La necesidad de inventar
otra forma de energ´ıa (La Potencial) distinta de 1
2.m.v
2
( o sea la cin´etica)surge de casos en los que , sin haber rozamiento , parece que la Energ´ıa se esfuma y nosotros diremos a partir de ahora que se ha convertido en poten-cial.
Esa forma de energ´ıa nueva es necesario inventarla porque no se pierde como en el rozamiento, si no que despu´es, el cuerpo vuelve a convertirla en cin´etica al pasar por los puntos iniciales.
La idea es que , al estar en zonas donde cada punto tiene una fuerza, si quiero moverme sin perder velocidad , de-bo hacer una fuerza opuesta a la que hay all´ı esperando que yo pase para compensar y ese trabajo que me veo obligado a hacer queda almacenado en forma de energ´ıa potencial. Hay dos casos : a) Al moverme hago esa fuerza ,la Cin´etica no cambia , la zona saca energ´ıa que almacena en potencial del trabajo que hago yo b) El cuerpo tiene cin´etica y lo dejo solo: la zona coge parte de la cin´etica y con ella la convierte en potencial el cuerpo pierde veloci-dad.
Dada esta definici´on como fuerza que hacemos nosotros, despu´es , en general , cuando hablemos de fuerzas , ser´an
las que est´an asignadas a cada punto las que act´uen y ya
nos olvidaremos de la que hac´ıa yo: estaremos siempre en casos como b)
A
B
A
A
A
B
B Camino 4 B
Camino de retorno Camino 1
Camino 2
Camino 3
x y
x
x
x y
y y
Figu-ra 1.Ejemplos de diferentes TFigu-rayectorias entre A y B
Dibujo en el plano con diferentes caminos
En la primera figura (Figura 1) se ilustran situaciones co-mo las que acabaco-mos de describir
que ser´a cerrado, el trabajo total es cero.
La energ´ıa Potencial como escalar atribuible a cada punto Si el trabajo entre dos puntos cualesquiera no depende del camino entre ellos , debe depender de algo de los propios puntos.Podemos pues calcular el trabajo como la diferen-cia de Algo que es propio de A y de algo que es propio de B , eso es de las energ´ıas potenciales de cada uno como diferencia entre ellas (Por la definici´on de Energ´ıa poten-cial como un trabajo:
EpA=−WoA; EpB=−WoB
(Definicion de E potencial en A y en B, o es el punto origen; el menos es porque se debe ir haciendo F opuesta a la de cada punto)
El trabajo entre dos puntos como diferencia de energia potencial entre ellos
Usando las dos anteriores se pueden combinar para hal-lar el Trabajo entre dos puntos A y B como diferencia entre las Energ´ıas potenciales que hay en cada uno(Asi que para hacer un trabajo solo hay que hacer una resta y no una suma de muchos sumandos( los trabajos de cada
fuerza en cada punto y que ser´ıa productosF.∆x.cos(α)
WB
A =WAo+WoB =−WoA+WoB=EpA−EpB
Siempre Energ´ıa en el punto de partida menos Energ´ıa en el punto de llegada
La fuerza deducida a partir de la Energia Potencial Si me dan la Fuerza se puede calcular la Energ´ıa Poten-cial como un trabajo.
Ahora, si lo que me dan es la Energ´ıa potencial , ¿c´omo puedo calcular la fuerza en cada punto? Podemos usar un punto cercano al A, que est´e separado de ´el una distancia
peque˜na ∆xy cuya diferencia de potencial respecto a la
de A sea tambi´en peque˜na ∆Ep. El Trabajo entre A y ese
punto es por definici´on la diferencia de Energia potencial
entre ambos puntos y por otro lado esF.∆x.cos(α) ; Si
es-cogemos que el punto pr´oximo sea en una direcci´on igual a la que va a tener la fuerza ( ver los 2 apartados
sigu-ientes para saber cual es) queda soloF.∆x.cos(0) =F.∆x
de modo que tenemos, igualando ambos trabajos
WP untocercano
A = ∆Ep=F.∆x despejando F =∆Ep
∆x
(4)
La lineas equipotenciales
En un plano (Coordenadas XY) establecemos , pues , en
Punto donde quiero calcular la Fuerza
A
Puntos vecinos a su alrededor
Puntos vecinos a
su alrededor A
Miraríamos la Ep de A y después la de cada vecino
3 A
y la distancia de cada uno Dx al punto A
Calcularíamos los co-cientes DEp Dx
Habrá uno que valga más
Sea DEp la diferencia de Ep entre A y cada vecino
que los otros , por ejemplo el del 3
3 A
El valor del cociente del punto 3 y la direción de A a él definen la fuerza F en A
Figura 2.Calculo
de la Fuerza aproximado cada punto ,un valor de la Energ´ıa Potencial .Es como un
mapa.Se pueden ir buscando en cada punto alg´un vecino
que tenga el mismo valor deEpque ´el. Al ir uniendo todos
los puntos que tienen el mismo valor deEpsale como una
curva de nivel en un mapa 2D: se llamal´ınea
equipo-tencial.
Es evidente que , una vez dibujadas todas, si me pongo en un punto y me muevo alrededor de ´el por el mapa hay dos posibilidades extremas: a ) moverse a un punto vecino de
la misma l´ınea(El cambio deEpser´a cero) ( Trabajo cero)
a “ambas”. El cambio ser´a el m´aximo posible. De ah´ı el razonamiento de la Segunda Figura cuando hablamos de
conseguir cambio m´aximo de Ep y l a manera definitiva
y m´as r´apida como se explica en la Tercera Figura
El gradiente en una y dos dimensiones
Se explica en lasfiguras 2 y 3Representa el cambio deEp
por unidad de distancia(x) medido en la direcci´on en la que el cambio es m´aximo (Linea de m´axima pendiente de
Ep)(EN UNA DIMENSI ´ON SOLO ES EL CAMBIO EN
LA ´UNICA DIRECCI ´ON QUE HAY LA X)
Solo miro la Ep de la que pasa por A y la de la siguiente Resto sus Ep.=Ep1-Ep2=DEp Tomo la dirección
perpendicular Ep1 Ep2 a las dos
isolineas...
Punto donde quiero calcular la Fuerza
A
No uso los puntos vecinos
A
A cambio tengo las líneas Equipotenciales
A
Ep3
A
Aquí antes estaba el 3
...mido la distancia Dx entre ellas
y hallo el cociente
DEp
Dx
Dx Como antes ese es el valor de F y la dirección esa y el sentido hacia la linea de Ep mayor de las dos
Figura 3.
Calculo de la Fuerza Definitivo
Como sale un escalar de un vector al definir trabajo Como se dijo al principio, o se multiplican las longitudes
de F, ∆x y el coseno que forman los vectores (aspecto
gr´afico) o se hace lo equivalente de forma operativa : EL
PRODUCTO ESCALAR del vector F~ = (Fx, Fy)con el
vector~x= (∆x,∆y), es decir obtenemos un ´unico n´umero
(El Trabajo) as´ı =Fx.∆x+Fy.∆y
Como sale un vector de un escalar usando el gradiente Gr´aficamente se ha explicado en la Figura 3 . Operativa-mente se puede hacer el c´alculo de cada componente del vector fuerza por separado as´ı:En la direcci´on del eje x se calcula
Fx= ∆Ep
∆x (En una gr´afica movi´endonos en direcci´on x)
y Fy = ∆Ep
∆y (En una gr´afica movi´endonos en direcci´on
y)
La curva unidimensional de energia potencial
En una dimensi´on (x) puedo representar la funci´onEp(x)
si la conozco , con x en el eje de abscisas y en general habr´a zonas de curva creciente , otras de decreciente y en entre ellas puntos como A y B (Figura 4).Donde la curva
crece la pendiente que es , precisamente ∆Ep
∆x es positiva
pero la fuerza lleva un menos respecto a ese cociente y ser´a negativa , o sea hacia atr´as. Lo contrario (Hacia ade-lante) donde la curva decrece .
B1
B2
A
X E
P
Acercandose a A Alejandose de B Alejandose de B
Figura 4.
Curva de Energ´ıa Potencial y Equilibrio Los puntos de equilibrio y el sentido de las fuerzas
En los puntos como A y B que son frontera entre las dos zonas deber´a ser la pendiente cero luego en ellos F es cero y es donde en el cap´ıtulo 3 digimos que era la condici´on de equilibrio.O sea A y B son los valores de x donde va a haber equilibrio.
Por otro lado, en puntos como A las fuerzas de los puntos vecinos apuntan a ´el luego es de EQUILIBRIO ESTABLE y en los puntos como B, sus vecinos tienen fuerzas que apuntan alej´andose de B luego B es de equilibrio PERO INESTABLE.
Como puede ser una fuerza conservativa
Este apartado es m´as dif´ıcil.En la figura (Figura 5)con-sideramos un circuito cerrado rectangular en el plano XY para calcular el trabajo si voy de A hacia B por el camino 1 y tambi´en por el camino 2.En el camino 1 hay dos partes : Una horizontal y otra vertical y en el 2 otras dos partes una vertical primero y luego la horizontal.
y
x (2)
(1) A
B Dx
Dy
Solo
cuenta Fy Solocuenta Fy
Solo cuenta Fx
Solo cuenta Fx
Dx
Dy
W=Fy.Dy
W=Fx.Dx W=Fx1.Dx
W=Fy1.Dy
(pero otro valor ,Fx1,por estar más arriba que cuando el camino era para (1) , o sea la Fx)
(pero otro valor ,Fy1,por estar más a la dcha que cuando el camino era para (3) , o sea la Fy)
(4) (3)
Figura5.
Condici´on de fuerza conservativa
Seg´un hemos dicho al principio, aunque hay longitudes
por puntos donde la fuerza el ´angulo no son iguales por
cada una aunque ∆x1 = ∆x2 de cada camino porque F
puede ser distinta (Por Ejemplo)en el punto (1) que en (2).La figura explica el planteamiento .Problemas que se plantean o cuidado que hay que tener.
Seg´un lo que all´ı se ve vamos a expresarFx1como un
au-mento respecto al valor Fx que ser´a tanto mayor cuanto
m´as lejos hacia arriba est´e la linea horizontal del recorri-do del segunrecorri-do camino respecto de la del primero, o sea
que expresamos el aumento como proporcional a ∆yas´ı (
y lo mismo para el aumento de Fy como proporcional al
desplazamiento horizontal ∆x) :
Fy1=Fy+C1.∆x Fx1=Fx+C2.∆y
n´otese c´omo en la componente de Fx lo que aparece es
∆y y rec´ıprocamente enFy aparece ∆x.
En la siguiente figura(Figura 6) s´olo hemos representado la parte del recorrido 1 . Calculando sus dos trabajos y
usando la f´ormula de arriba deFy1 =Fy+C1.∆x,
ten-emos que el trabajo total es:
y
x (1)
A
B
Dy
Dx
Dy
W=Fx.Dx
W=Fy1.Dy
(4)
Figura6.
Condici´on de fuerza conservativa-1
W(Camino1) =Fx∆x+Fy1∆y=Fx∆x+(Fy+C1.∆x).∆y=
Fx∆x+Fy.∆y+C1.∆x.∆y
Y en la siguiente figura (Figura 7) an´alogamente, s´olo hemos representado la parte del recorrido 2 . Calculan-do sus Calculan-dos trabajos y usanCalculan-do la f´ormula de arriba de
Fx1=Fx+C2.∆y , tenemos que el trabajo total es:
W(Camino2) =Fy∆y+Fx1∆x=Fy∆y+(Fx+C2.∆y).∆x=
Fx∆x+Fy.∆y+C2.∆y.∆x
Por tanto ambos trabajos de los respectivos caminos son
casi id´enticos salvo las expresiones deC1.∆x.∆yyC2.∆y.∆x
Para que lo sean totalmente basta queC1=C2.Se puede
razonar facilmente aunque solo sea por An´alisis de
Di-mensiones queC1= ∆Fx
∆y y queC2=
∆Fy
∆x luego lo que
la igualdad de las C’s dice es que
y
x A
B Dx
Dy
Dx
Dy
W=Fy.Dy W=Fx1.Dx
Figura7.Condici´on de fuerza conservativa 2
∆Fx
∆y =
∆Fy
∆x
CONDICION DE FUERZA CONSERVATIVA- NO
PODE-MOS PROFUNDIZAR M ´AS EN COMO SE
COMPRUE-BA ESA CONDICI ´ON
Concepto de Vorticidad o Rotacional
Cuando la Fuerza no sea conservativa, lasC1yC2 no son
iguales. Si me pongo a calcular todo el trabajo por un unico camino cerrado desde A hasta B por (1) y luego , volviendo de B a A por el camino (2) Se cancelar´an todos los t´erminos menos ´esto:
C1.∆x.∆y−C2.∆y.∆x= (C1−C2).∆x.∆y.
Lineas de fuerza de una región no conservativa No existe Ep ni se pueden dibujar sus lineas equipotencialesl
Hay remolinos. El trabajo a traves
de un rectángulo cerrado no es cero . es (C1-C2).Area del rectangulo o sea se llama FLUJO de (C1-C2)(rotacional) a través de ese area
Dx
Dy
Dx
Dy
Figura8.Ejemplo de fuerza No Conservativa . Remolinos Vemos que este t´ermino es el producto del area del
rect´an-gulo:∆x.∆y.por una cantidad que se llama
viento o de agua en el mundo real en un mapa de la atm´osfera o de una corriente de agua.En la siguiente figura (Figura 8) se ilustra esta idea.
La curva de Energ´ıa Potencial
En una dimensi´on la Curva de la Energ´ıa Potencial en ca-da punto (Funci´on de x) Tiene importantes informaciones que proporcionarnos: Sabiendo la Posible Energ´ıa total de una masa m , podemos trazar sobre la gr´afica una l´ınea horizontal pues ,como es constante, aunque cambien entre s´ı cin´etica y potencial la suma siempre es la misma. En los puntos en los que la energ´ıa potencial es mayor que la Total resultar´ıa una cin´etica negativa ( la suma no va a ser menor que uno de los sumandos .Como en la cin´etica la velocidad va al cuadrado, y m es positiva no puede haber cin´etica negativa.
A esas regiones de x dondeEp > Etotalno llega la
part´ıcu-la ; se para antes (DondeEp=Et);estando pues en
gen-eral acotado el margen de movimiento donde la part´ıcula puede estar (Pozo de Potencial)
Supongamos una gr´afica como la de la figura 9: B1
B2
A
X E
P
2 4 6 4 6
2 E total
Figura9.Una Energ´ıa Potencial unidimensional
La Energ´ıa total se puede ver que es 20,3 Julios , lugar por donde se ha trazado una recta roja horizontal. Las consecuencias que eso tiene se ven inmediatamente en la gr´afica , por la derecha no hay intersecci´on de esa
recta con la curva de Ep, que siempre queda por debajo
, luego por ahi el movimiento es libre , no hay limitaci´on de hasta donde la masa puede llegar.
Por la izquierda es otra historia.La recta roja corta a la
curva en x=12 , ah´ı la velocidad es cero pues Et =Ep
y no queda sumando para la Energ´ıa cin´etica.De ah´ı no pasa la part´ıcula.
Un c´alculo aplicando los valores de la curva
Se puede usar la curva para hallar la velocidad que ten-dr´a la part´ıcula en cualquier punto. Por ejemplo , si la masa es 0,5 Kg, y me piden la velocidad en x=26 , vemos
queEp= 12,5 luego tenemos
1
2.m.v
2+E
p(26) =Et⇒ 1
2,0,5.v
2+ 12,5 = 20,3 (5)
se puede despejar v de esa ecuaci´on y hallar el valor en el punto pedido, resultando v=5,58m/s
Aplicaciones
Ejemplos en los que se aplica esto es 1) para escapar un sat´elite de la atracci´on de la Tierra, y calcular la veloci-dad necesaria de impulso;La teor´ıa de los electrones en un metal que est´an atrapados en un pozo de potencial necesi-tando energ´ıa exterior (por ejemplo por efecto fotoel´ectri-co)para poder ser emitidos.Otro ejemplo es en Mec´anica Cu´antica que permite en ciertas condiciones en el mun-do at´omico que sin embargo una part´ıcula pueda salir del pozo sin tener energ´ıa suficiente “por debajo” llamando
el fen´omeno EFECTO T ¨UNEL y que ha tenido
conse-cuencias inesperadas y muy importantes en aplicaciones como el Microscopio del mismo nombre y que ha derivado a todo un mundo nuevo en el que se pueden ver y
manip-ular cosas casi tan peque˜nas como los ´atomos
