UNIDAD : SISTEMAS DE ECUACIONES.
1. SISTEMAS DE ECUACIONES.2. METODO DE GAUS
3. DISCUSIÓN DE UN SISTEMA CON UN PARAMETRO. 4. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
5. REGLA DE CRAMER 6. SISTEMAS HOMÓGENEOS 7. EJEMPLOS
1.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
DISCUTIR: Cuando hablamos de Discusión de S.E.L. queremos clasificar los sistemas dependiendo del número de soluciones.
Número de soluciones Nombre
Una solución Sistema Compatible Determinado (S.C.D.) Infinitas
soluciones
Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.)
Sin solución Sistema Incompatible (S.I.) RESOLVER: Es hallar la solución.
CONCEPTOS.
Ecuación lineal: Ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas.
Una solución es un conjunto de valores (uno para cada incógnita) que verifican la igualdad.
Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones: Para obtener ecuaciones equivalentes podemos sumar y restar expresiones, y multiplicar o dividir por números.
Sistemas de ecuaciones lineales: Conjunto de ecuaciones lineales. Los aij son los coeficientes Las xi son las incógnitas
Las bi son los términos independientes.
Forma matricial de un sistema de ecuaciones
Todo sistema de ecuaciones lleva asociada tres matrices: la de coeficientes, la de incógnitas y la de términos independientes:
C
X
A
·
; Si A es cuadrada y existe A-1Se podría resolver calculando la inversa de la matriz: X=A-1·CSe llama Matriz Ampliada A*=A|B a la matriz A añadiéndole la matriz de términos independientes B.
Sistemas equivalentes: Son aquellos que tiene las mismas soluciones. Obtención de sistemas equivalentes:
Permutar dos ecuaciones entre si.
Multiplicar una ecuación por un número distintos de 0. Añadir una ecuación que sea combinación lineal de las otras.
m n mn m
m
n n
n n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
2 12 1
1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
m n
mn m
m
n n
b
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2 1 2
1
2 1
2 22
21
1 12
Sustituir una ecuación por otra que sea combinación lineal de las ecuaciones (esa ecuación debe intervenir). (ejemplo: Sustituir la 2ª ecuación por la c.l. 3·1ª+3·2ª-3ª)
Eliminar las ecuaciones que sean del tipo:
0
x
1
0
x
2
0
x
n
0
Eliminar ecuaciones repetidas. Eliminar una ecuación que sea combinación lineal de las otras.
2. MÉTODO DE GAUSS
Un sistema se dice que es escalonado o triangular si al observar el sistema vemos que se van perdiendo incógnitas en cada ecuación. Ejemplos:
12 3
6 5
7 2 3
z z y
z y x
11 3
8
5 2
t z
z y
t y x
14 4 2
11 5 3
z y x
y y x
3 0
1 2 z y
z y x
Resolución de sistemas escalonados: Cogemos la ecuación con menos incógnitas y despejamos. Así con todas.
Transformación en sistemas escalonados: Debemos hacer operaciones con las ecuaciones (sustituir una ecuación por otra es combinación lineal de ella y alguna más del sistema) para ir eliminando incógnitas en cada ecuación. Ejemplos:
Muchas veces conviene cambiar las incógnitas de lugar o las ecuaciones de sitio para que las operaciones sean más sencillas.
Pero puede abreviarse si nos olvidamos de las incógnitas y nos limitamos a trabajar con números. Tenemos que hacer ceros por debajo del primer elemento de la 1ª fila, una vez hecho debemos hacer ceros por debajo del segundo elemento de la segunda fila, y así sucesivamente. Ejemplo 1:
15 11
6 4
3
5 7 ) 10 ( 1 5 5
2 3 ) 4 ( 5 2 2
1 2
1
ª 1 · 5 ª 3
ª 1 · 2 ª 2
ª 1
11 4 3
7 1 5
3 5 2
1 2 1
3ª 1ª 2ª
2 y 1 filas cambiamos
operar para
elemento como
1
el cogemos
11 3 4
7 1 5
1 2 1
3 5 2
11 7 5
3 2
4 3 5
2 x y z x y z x y z
z y x
z y x
z y x
5 3
2 0
0 2
2
2 ;
26 13
ª 1
ª 2
ª 3
26 2 3
13 0 0
1 1 0
1 2 1
) 22 ( 4
2 3
11 2 ) 11 ( 11 0
1 1
0
1 2
1
ª 2 · 11 ª 3
ª 2
ª 1
4 2 3
2 11 0
1 1 0
1 2 1
x x
y y
z z
z y x z
y x
z y x
Si tenemos dos filas iguales las podemos quitar. Si tenemos una fila de ceros la podemos quitar. El objetivo es hacer 0 por debajo de la diagonal.
Después de todo el proceso de hacer ceros podemos llegar a tres situaciones diferentes:
I.
0 0 0
0 0 0
Nº Filas=Nº Incógnitas
En este caso el sistema es Compatible Determinado
(S.C.D.)
(Ejemplo 1 anterior)II.
0 0
0
Nº Filas< Nº incógnitas.
El sistema será compatible indeterminado (
S.C.I
)III. 0 0 0 0 0 0 0
La última ecuación quedará 0=nº distinto de cero ¡¡IMPOSIBLE¡¡ El sistema será Incompatible
(S.I)
Ejemplo 3. Ejemplo 2: 11 10 4 8 5 10 7 3 z y x z y x z y x 21 42 10 17 7 0 34 1 0 7 3 1 10 11 50 8 10 7 10 ) 3 ( 4 1 1 35 1 ) 15 ( 1 5 5 7 3 1 ª 1 ª 3 ª 1 · 5 ª 2 ª 1 11 8 10 10 4 1 1 1 5 7 3 1 z y x z y x z y x 9 7 51 7 10 10 7 3 7 17 · 3 3 7 17 14 42 34 42 34 14 0 42 10 0 0 0 34 14 0 7 3 1 ) 42 ( 42 42 10 ) 34 ( 34 14 14 0 34 14 0 7 3 1 ª 2 ª 3 · 2 ª 2 ª 1 x x y y y z z y x z y x
Solución: x y ; z 7 17 3 ; 7 2
1 S.C.I.
Ejemplo 3: 11 21 8 3 15 2 7 2 3 z y x z y x z y x
7
11
14
3
7
)
2
(
21
)
3
(
8
1
1
)
4
(
15
)
6
(
1
2
2
2
3
1
ª
1
ª
3
ª
1
·
2
ª
2
ª
1
11
3
7
21
8
1
15
1
2
2
3
1
z
y
x
z
y
x
7
11
7
0
0
0
19
5
0
2
3
1
11
4
11
7
19
19
5
5
0
19
5
0
2
3
1
ª
2
ª
3
ª
2
ª
1
4
11
7
19
5
0
19
5
0
2
3
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
07 ¡¡IMPOSIBLE¡¡ S.I.
3. DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DEPENDIENTES DE UN PARÁMETRO.
Cuando los sistemas dependan de algún parámetro (k, m,a, ..) la soluciones normalmente dependen del parámetro, por lo tanto para discutirlo y resolverlo utilizamos el método de GAUSS.
Ejemplos: k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k z y x k z y k kx kz y x 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ª 1 ª 3 ª 1 · ª 2 ª 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 2 2
Problema lo tendremos cuando en la 3ª fila esté llena de ceros: es decir cuando 1-k=0 k=1 Si k=1 El sistema es Incompatible (S.I.) (la última fila es
0 0 0 1
Si
k
1
El Sistema es Compatible Determinado (S.C.D.)k -1 k z ; k k y ; 1 1 2 2 2 3 k k k k x
k k z k z k 1 ;1 ;- 2
21 · 0 1 ) 1
( y k k y k k k
k k
2 0 2
3 0 1
2 1 2
1 1
2 3
0 2
2
2 m
z x
z y x
z my x
Cambiamos las columnas 2ª y 3ª, y las filas 1ª y 3ª
0 4 2
1 0
0
1 4 0
0 3 1
ª 2 ª 3
ª 2
ª 1
4 4 2
4 0
1 4 0
0 3 1
2 2
4 0
2
0 3
1 1 1
0 1 6 2 2 2
0 3 1
ª 1 ª 3
ª 1 · 2 ª 2
ª 1
2 0 2
1 1
1 2 2
0 3 1
m m
m m
Problema: La última fila será de 0 cuando m10m1
Si
m
=1 el sistema es compatible indeterminado Última filas es de 0
0 0 0 0
. El sistema se resolvería:; 4 4 4
4
z y z y Otra ecuación: x32x23 Si
m
1
el sistema será compatible determinado (S.C.D.). La solución será:
m1
y 0y04z04z 1x32x1 RESUMEN: Si
m
=1 S.C.I. Solución
x23; y44; z Sim
1
S.C.D. Solución x1; y0; z 14.
TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
El teorema de Rouché-Fröbenius nos va a relacionar el rango de la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones y de su ampliada con los términos independientes con el número de soluciones del sistema:
Sea el sistema de ecuaciones AX B. La matriz de coeficientes es A, y la de términos independientes es AB, entonces el Teorema de Rouché-Fröbenius nos dice:
Si Rango(A)≠Rango(A|B) El sistema es Incompatible (S.I.)
Si Rango(A)=Rango(A|B)=nº de incógnitas El sistema es Compatible Determinado(S.C.D.) Si Rango(A)≠Rango(A|B)<nº de incógnitas El sistema es Compatible Indeterminado(S.C.I.)
Ejemplo:
52 3
5 2
18 3
1
z y x
z x
z y x
3 ) ( 0
1 3 15 5 6
2 ) ( 0
1 0 1
1 1
1 ) ( 0
1
3 5 2
3 0 1
1 1 1
A
A Ran A
A Ran A
Ran
Ran(A|B)=3 (Tª Rouché) El sistema es Compatible Determinado (S.C.D.)
2 ) ( 0
6 1 4 3
2 ) ( 0
1 1 1
2 1
1 ) ( 0
1
3 4 1
0 1 1
1 2 1
2 3 4
1 0 2
A Ran A
A Ran A Ran
A
z y x
y x
z y x
3 ) | ( 0
2 8 4 2 4 4 4 1
1 1 1
0 2 1
4 3 4 1
1 0 1 1
0 1 2 1
|
Ran A B
B
5.
REGLA DE CRAMER
La regla de Cramer nos ayudará a resolver los sistemas de ecuaciones con ayuda de los determinantes. REGLA DE CRAMER: La solución de todo sistema compatible determinado viene dado por:
𝑥 = |𝐴𝑥|
|𝐴| ; 𝑦 = |𝐴𝑦|
|𝐴| ; 𝑧 = |𝐴𝑧|
|𝐴| ; … … …
Donde |A| es el determinante de la matriz de coeficientes y |Ax| es el determinante de la matriz de coeficientes pero cambiando la columna de los coeficientes de la x por la columna de los términos independientes, |Ay| cambiando la columna de la y, etc.
Ejemplo: Resolver el sistema:
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 4 𝑥 + 𝑦 = 6 𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 = 5
}
|𝐴| = |
2 −3 1
1 1 0
1 6 2
| = 4 + 6 − 1 + 6 = 15; |𝐴𝑥| = |
4 −3 1
6 1 0
5 6 2
| = 8 + 36 − 5 + 36 = 75
|𝐴𝑦| = |
2 4 1 1 6 0 1 5 2
| = 24 + 5 − 6 − 8 = 15; |𝐴𝑧| = |
2 −3 4
1 1 6
1 6 5
| = 10 + 24 − 18 − 4 − 72 + 15 = −45 𝑥 =75
15= 5; 𝑦 = 15
15= 1; 𝑧 = −45
15 = −3
Regla de Cramer para Sistemas Compatibles Indeterminados: Se resolverían de la misma manera pero pasando las incógnitas que no intervienen en el rango a la columna de términos independientes. Ejemplo: Resolver el sistema
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 = 15
11𝑥 − 𝑦 = 21 }
𝐴 = (
3 −2 1
2 5 −3
11 −1 0
) → {
3 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛(𝐴) ≥ 1 |3 −2
2 5 | = 19 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛(𝐴) ≥ 2 |𝐴| = 66 − 2 − 55 − 9 = 0 → 𝑅𝑎𝑛(𝐴) = 2
}
𝐴|𝐵 = (
3 −2 1 2
2 5 −3 15
11 −1 0 21 ) → |
3 −2 2
2 5 15
11 −1 21
| = 315 − 330 − 4 − 110 + 45 + 84 = 0 → 𝑅𝑎𝑛(𝐴|𝐵) = 2 Quitamos la última ecuación y pasamos la incógnita z con los términos independientes.
3𝑥 − 2𝑦 = 2 − 𝑧
2𝑥 + 5𝑦 = 15 + 3𝑧} → |𝐴| = 19; |𝐴𝑋| = |15 + 3𝑧2 − 𝑧 −25 | = 10 − 5𝑧 + 30 + 6𝑧 = 40 + 𝑧 |𝐴𝑌| = |32 15 + 3𝑧2 − 𝑧 | = 45 + 9𝑧 − 4 + 2𝑧 = 31 + 11𝑧 Si 𝑧 = 𝜆
𝑥 = 40 + 𝜆
19 ; 𝑦 =
31 + 11𝜆
19 ; 𝑧 = 𝜆
6.
SISTEMAS HOMOGÉNEOS
Son aquellos en los que todos los términos independientes son cero.
Todos los sistemas homogéneos son compatibles (tiene una solución trivial: x=0; y=0; z=0;……). Sólo faltaría comprobar si son compatibles determinados (Rango(A)= nº incógnitas) o compatibles indeterminados (Rango(A)< nº incógnitas).
7.
EJEMPLOS DE DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETROS
A.
0 4 ) 3 ( 2
0 2
0 2 3
z y m x
z my
x
z y
x
S.C.I 2 ) ( 3
S.C.I 1 ) ( 3
0 2 6 12 4 2 6 12 4
3 si 0 3 1
3 1
1 ) ( 0
1
4 3
2
2 1
2 3 1
A Ran m
A Ran m
m m
m m
A
m m
m
A Ran
m m A
Si m=3. El sistema queda x3y2z 0 Solución: x32; y; z Si m≠3. El sistema queda:
z my x
z y x
2 2 3
) 3 ( 2 6 2 2
3 2
;
3
zm z z m
m z z A
m
A x
0 2 1
2 1
z z
Ay Solución:
z y z
m m z
x 2 2 ; 0; 3
) 3 ( 2
B.
1 1 1
z x
z ay x
az y
x
0 2 1
1
2 ) ( 0
1 0 1
1 1
1 ) ( 0
1
1 0 1
1 1
1 1
2 2
a a a
a A
A Ran A Ran
a a
A
solución tiene
no 0 2
ecuación la
porque ;
3 ) (
2
a a
A Ran
