Tema 2 Aplicaciones lineales Diagonalizacion de endomorfismos

Tema 2. Aplicaciones lineales.

Diagonalizaci´

on de endomorfismos.

´

Algebra Lineal

Escuela Polit´ecnica Superior Universidad de M´alaga

Emilio Mu˜noz-Velasco

2.1 Aplicaciones Lineales

Si V y W son dos e.v. sobre un mismo cuerpo _K, llamamos aplicaci´on lineal (a.l.) de V en W a una funci´on f : V → W que verifica:

f(~u + ~v) = f(~u) + f(~v) ∀u,~ ∀~v ∈ V

f(λ~v) = λf(~v) ∀λ ∈ _K, ∀~v ∈ V

Si V = W entonces la aplicaci´on lineal se llama endomorfismo.

Ejemplo 1. Estudia si las siguientes funciones son aplicaciones lineales:

1. f : _R2 → _R3, f(x, y) = (x − y, 0, 2x + 5y)

Propiedades

Si f : V → W es una aplicaci´on lineal, se verifica: 1. f(~u − ~v) = f(u~) − f(~v)

2. f(~0V ) = ~0W

Caracterizaci´on de una aplicaci´on lineal

f : V → W es una aplicaci´on lineal si y s´olo si, ∀~u, ~v ∈

V ∀λ, µ ∈ _K

N´

ucleo e Imagen de una aplic. lineal

Definici´on 1. Sea f : V → W una aplicaci´on lineal. Llamamos N´ucleo de f (Kerf) al conjunto de vectores de

V cuya imagen es el elemento neutro de W.

Kerf = {~v ∈ V | f(~v) = ~0W}

Definici´on 2. Llamamos Imagen de f (Imf) al conjunto de vectores de W que son im´agenes bajo f de vectores de V .

Imf = {w~ ∈ W | ∃~v ∈ V t.q. f(~v) = w~}

Teorema 1. Si f : V → W es una aplicaci´on lineal entre dos e.v. sobre un cuerpo _K, se tiene que:

1. Kerf es un subespacio vectorial de V

Ejemplo 2. Calcular n´ucleo e imagen de las siguientes aplicaciones lineales.

1. f : _R3 → _R3, f(x, y, z) = (z, x + y, −z)

2. f : _R3 → _R2, f(x, y, z) = (x + y, 0)

3. f : _R2 → _R2, f(x, y) = (y, x)

4. f : _R3 → _R2, f(x, y, z) = (y, z)

Teorema 2. Dada una a.l. f : V → W y un sistema

generador de V , {~v1, ~v2, . . . , ~vp}, se tiene que los vectores {f(~v1), f(~v2), . . . , f(~vp)} forman un sistema generador de

Imf.

Teorema 3. Sea f : V → W una a.l. donde V es un e.v. de dimensi´on finita. Entonces se verifica

Teorema 4. Sea f : V → W una aplicaci´on lineal. Entonces:

1. f es inyectiva si y s´olo si Kerf = {~0V } si y s´olo si

dim Kerf = 0

2. f es sobreyectiva si y s´olo si Imf = W

En en caso de que W sea de dimensi´on finita, f es sobreyectiva si y s´olo si dim Imf = dim W

Ejemplo 3. Analizar, usando los n´ucleos e im´agenes ya calculados en el ejemplo anterior, si las siguientes a.l. son inyectivas o sobreyectivas.

1. f : _R3 → _R3, f(x, y, z) = (z, x + y, −z)

2. f : _R3 → _R2_{, f(x, y, z) = (x + y, 0)}

3. f : _R2 → _R2, f(x, y) = (y, x)

Matriz de una aplicaci´

on lineal

Sea f : V → W una a.l. sobre un mismo cuerpo _K. Sea B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} una base de V en las que las coordenadas de ~x ∈ V son (x₁, x₂ . . . , xn). Sea B0 = {w~1, ~w2, . . . , ~wm} una base de W y sea f(~x) = ~y ∈ W de coordenadas (y₁, y₂ . . . , y_m) en B0.

Supongamos conocidas las coordenadas de las im´agenes de los vectores de la base B expresadas en la base B0.

f(~v1) = a11w~1 + a21w~2+ · · · am1w~m

f(~v2) = a12w~1 + a22w~2+ · · · am2w~m ... ... . . . ...

f(~vn) = a1nw~1 + a2nw~2+ · · · amnw~m

Tenemos entonces:

f(~x) = y1w~1 + y2w~2 + · · · + ymw~m

Igualando las dos expresiones previas y utilizando f(~v1) . . . f(~vn):

y1w~1 + y2w~2 + · · · + ynw~m =

= (x1a11 + x2a12 + · · · + xna1n)w~1+ + (x1a21 + x2a22 + · · · + xna2n)w~2+

...

+ (x₁am1 + x2am2 + · · · + xnamn)w~m por tanto:     y1 y₂ ... ym     =    

a11 a12 · · · a1n

a₂₁ a₂₂ · · · a2n ... ... . . . ...

am1 am2 · · · amn         x1 x₂ ... xn    

que se expresa Y = AX donde A es una matriz m × n que se denomina matriz asociada a la aplicaci´on lineal f respecto de las bases B y B0 y la denotamos por M(f, B, B0), o simplemente

Ejemplos

1. Calcular la matriz asociada a la a.l. f : _R3 → _R2, f(a, b, c) = (a + b, a − c) en los siguientes casos:

(a) Cuando las bases de los e.v. son can´onicas.

(b) Respecto a las bases B = {(1, 1, 1),(0, 2, 1), (1, 3, 0)} y B0 = {(0,1), (−1, 2)}

2. Hallar el n´ucleo y la imagen de la a.l. f : _R4 → _R3 tal que:

f(1, 0,0, 0) = (1, −1, 2) ; f(0, 0, 1,0) = (4, −1, 5)

f(0, 1,0, 0) = (2, 1, 1) ; f(0, 0, 0,1) = (−1, −5, 4)

3. Calcular la matriz asociada a la siguiente a.l.:

f : P2(R) → P1(R), f(a2x2 + a1x + a0) = 2a2x + a1

respecto de las bases B = {1, x, x2} y B0 = {1, x} de P2(R) y

Cambio de base para ap. lineales

Teorema 5. Sea f : V → W una a.l.. Consideremos B_V y B_V0

dos bases de V , y B_W y B_W0 dos bases de W, la matriz P de cambio de base de B_V0 a B_V y la matriz Q de B_W0 a B_W.

Entonces, A0 = Q−1AP, siendo A0 = M(f, B_V0 , B0_W) y A =

M(f, BV ,BW).

hB_V i −→A hB_Wi

↑_P ↑_Q

hB_V0 i A

0_=Q−1_AP

Ejemplo 4. Dada la aplicaci´on lineal f : _R3 → _R2_,

f(x, y, z) = (x + 2y − z, 2x − y + 3z)

la base can´onica de _R3, B₃, la base can´onica de _R2, B₂ y las bases:

B0₃ = {(1, 0,1), (1,1, 0), (0, 1, 1)}; B₂0 = {(1, 3), (2, −1)}

Calcular M(f, B₃0,B0₂) a partir de la matriz M(f, B₃, B₂).

Corolario 1. Dado un endomorfismo f : V → V , dos bases de

V , B_V y B0_V , y P , la matriz de cambio de base de B_V0 a B_V , se tiene que

A0 = P −1AP

2.2. Diagonalizaci´

on de

endomorfismos

Definici´on 3. Dado un e.v. V sobre un cuerpo _K diremos que el endomorfismo f : V → V es diagonalizable si existe una base de V tal que la representaci´on de f en la base sea una matriz diagonal D. Si la matriz A ∈ Mn(K) es la representaci´on de

f en la base, diremos que A es diagonalizable en _K si f es diagonalizable.

Definici´on 4. Sea f : V → V un endomorfismo. Un vector

~v 6= ~0 de un e.v. V sobre un cuerpo _K se llama autovector o vector propio de un endomorfismo si ∃λ ∈ _K tal que f(~v) =

λ~v. A este valor λ ∈ _K se le llama autovalor o valor propio del endomorfismo f asociado al autovector ~v.

A es diagonalizable en _K si ∃P ∈ Mn(K) inversible tal que

Definici´on 5. Sea f : V → V un endomorfismo. Al conjunto

Eλ = {~v ∈ V | f(~v) = λ~v} de los autovectores asociados al

autovalor λ, se le llama subespacio propio del endomorfismo f

asociado al autovalor λ.

C´alculo de Autovalores

Teorema 6. Sea A ∈ M_n(_K). Entonces

λ ∈ _K es un autovalor de A ⇔ el determinante de la matriz

(A − λI) es nulo.

λ ser´a autovalor de A si y s´olo si el sistema homog´eneo

(A − λI)X = 0 tiene soluci´on no trivial. Esto ocurre si y s´olo si (A −λI) es una matriz singular, es decir su determinante es nulo.

Definici´on 6. Sea A ∈ M_n(_K). Llamamos polinomio caracter´ıstico de la matriz A al determinante de la matriz

(A − λI).

Ejemplo 5. De los siguientes endomorfismos reales, hallar los autovalores y sus subespacios propios asociados:

(a) f(x, y) = (3x + 2y, 2x)

(b) f(x, y, z) = (2x + y, −x + z, x + 3y + z)

(c) f(x, y, z) = (x, −8x + 4y − 6z, 8x + y + 9z)

Teorema 7. Sea V un e.v. de dimensi´on n sobre _K y f : V →

V un endomorfismo. Si f tiene n autovalores λ1, λ2, . . . , λn ∈ K distintos, entonces f es diagonalizable en K

Teorema de caracterizaci´

on de los

endomorfismos diagonalizables

Definici´on 7. Sea f : V → V un endomorfismo en un e.v. V

definido sobre _K. Si λ ∈ _K es un autovalor de f, llamamos:

1. Multiplicidad algebraica de λ, ma(λ) al orden de

multiplicidad de λ como ra´ız del polinomio caracter´ıstico de f.

Teorema 8. Sea V un e.v. de dimensi´on n definido sobre un cuerpo _K y f : V → V un endomorfismo. Si los autovalores distintos de f son: λ1, λ2, . . . , λp ∈ K entonces

f es diagonalizable si y s´olo si se verifican las dos siguientes condiciones:

1. ma(λ1) + ma(λ2) + . . . + ma(λp) = n

2. ma(λi) = mg(λi) i = 1, . . . , p

Observaciones:

• Si _K = _C entonces, 1. siempre se verifica. • Si λ es un autovalor de f, entonces