INECUACIÓN
CPR. JORGE JUAN Xuvia-NarónSe denomina inecuación a dos expresiones algebraicas separadas por los símbolos, <, >, , ó, .
(x+y)2< x2+y2+2xy
Cada una de las expresiones algebraicas separadas por los signos de desigualdad anteriores se llama miembro de la inecuación.
Los monomios no semejantes de cada miembro, que están separados por los signos, +, -, se llaman términos de la inecuación.
x+2y< 3z
x+2y primer miembro de la inecuación
x primer término del primer miembro de la inecuación 2y segundo término del primer miembro de la inecuación
3z segundo miembro de la inecuación
3z primer término del segundo miembro de la inecuación
Se puede entonces decir que una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
< menor que menor ó igual que > mayor que mayor ó igual que
Se llama solución de una inecuación a aquellos valores numéricos de las variables que satisfacen la desigualdad que define dicha inecuación. Se verifica:
Una inecuación tiene infinitas soluciones.
Las soluciones se pueden expresar mediante un intervalo o una representación gráfica.
2x – 1 < 7 2x < 7 + 1 2x< 8 x< 8
2
x< 4 ( -∞ , 4 )
Dos inecuaciones se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Al sumar o restar a los miembros de una inecuación la misma expresión algebraica resulta otra inecuación equivalente.
3x + 4< 5 3x + 4 – 4< 5 – 4
Al multiplicar o dividir a los miembros de una inecuación por una misma expresión algebraica resulta otra inecuación equivalente.
2x< 6 2x : 2< 6 : 2
x< 3
Si los dos miembros de una inecuación se multiplican o dividen por el mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y resulta ser una inecuación equivalente.
-x < 5
-x . (-1)> 5 . (-1)
x> -5
Se llama grado de una inecuación al mayor grado de los monomios que constituyen los términos de la inecuación.
Existen distintos tipos de inecuaciones. Cada uno de ellos requiere un procedimiento concreto para su resolución. Entre otros éstas son:
Inecuación lineal
Se llama inecuación lineal de n-incógnitas o variables a una expresión algebraica del tipo:
a1x1+a2x2+...+anxn (<, >, , ) b
aiℝ
xi incógnita ó variable
Las inecuaciones lineales que se estudian son:
Inecuación lineal de una incógnita
Una de las formas más sencillas que puede tener su expresión es
ax+b (<, >, , ) c
a,b,cℝ
Para resolver la inecuación lineal de una incógnita dada por la expresión anterior:
2x – 8 < 6
Se deja en un miembro de la inecuación el término que contiene la incógnita o variable.
2x< 6 + 8
Se suman los monomios semejantes existentes en ambos miembros de la inecuación.
2x< 14
Si el primer miembro es negativo, se cambia el signo de los dos miembros cambiando el sentido de la desigualdad.
14
2
x
x< 7 (-,7)
7
Si una inecuación lineal tiene coeficientes racionales, es decir, si tiene fracciones, para resolverla se han de eliminar estas fracciones. Para lograr esto sea cual sea el tipo de ecuación se han de seguir en general los siguientes pasos:
Eliminar los denominadores numéricos de las fracciones que puedan existir. Para ello se escriben con denominador común siendo éste el, m.c.m., de los denominadores de las fracciones existentes en la inecuación a resolver.
1 5 3 3
1 4 10 8
x x x
m.c.m.(1,4,10,8)= 23.5.1= 40
40.1 10.( 5) 4.( 3) 5.( 3)
40 40 40 40
x x x
Sumar en ambos miembros las fracciones que ahora tienen igual denominador, resultando dos fracciones, una en cada miembro, que tienen las dos el mismo denominador.
40.1 10.(
5)
4.(
3)
5.(
3)
40
40
x
x
x
Igualar los numeradores de las fracciones que han quedado en ambos miembros de la inecuación, pues al tener igual denominador si han de ser iguales han de tener igual los numeradores.
40.1 – 10.(x-5) – 4.(x-3)< -5.(x+3)
Eliminar los paréntesis que queden en ambos miembros de la inecuación una vez eliminados los denominadores.
40 – 10x + 50 – 4x + 12< -5x – 15
Pasar al primer miembro de la inecuación todos los términos que contengan la variable, x, y al segundo miembro de la inecuación todos los términos que no contengan la variable, x.
-10x – 4x + 5x< -15 – 40 – 50 – 12
Sumar en ambos miembros los términos semejantes.
-9x< -107
Si la suma en el primer miembro, miembro que contiene a la variable, x, es negativa, entonces se cambia el signo del resultado obtenido en ambos miembros en el apartado anterior y se cambia el sentido de la desigualdad.
9x> 107
107
9
x
(107
9
,)Inecuación lineal de dos incógnitas
Tiene la forma general
ax+by(<, >, , ) c
a,b,cℝ
Para resolver la inecuación lineal de dos incógnitas dada por la expresión anterior:
2x + y 3
Se despeja la variable, y, en la expresión de la inecuación.
y -2x +3
Se transforma esta desigualdad en una igualdad.
y= -2x + 3
Se obtiene así la ecuación de una recta en forma explícita. Se hace una tabla dando dos valores arbitrarios a la variable, x. Se calcula el valor que le corresponde por la igualdad anterior a la variable, y. Cada par de valores así obtenido es un punto por donde pasa la gráfica de la de la recta explícita.
y= -2x + 3
x y (x,y) 0 3 (0,3) 1 1 (1,1)
La solución gráfica de la inecuación es el semiplano que queda por encima o por debajo de dicha recta, dependiendo del tipo de desigualdad < , ó, >. Dicha recta podrá pertenecer al semiplano solución dependiendo de si aparece o no la igualdad en el signo de desigualdad de la inecuación.
Si en la expresión de la inecuación en la que se ha despejado la variable, y, la desigualdad es, <, entonces la solución de la inecuación es la porción del plano que está debajo de la gráfica de la recta.
Si en la expresión de la inecuación en la que se ha despejado la variable, y, la desigualdad es, >, entonces la solución de la inecuación es la porción del plano que está encima de la gráfica de la recta.
En cualquier caso los puntos de la recta pertenecen al conjunto solución si en el signo de desigualdad aparece también el de igualdad.
y -2x +3
Inecuación lineal de tres incógnitas
Tiene la forma general
ax+by+cz(<, >, , ) d
a,b,c,dℝ
Para resolver la inecuación lineal de tres incógnitas dada por la expresión anterior:
2x + y - z 3
Se despeja una de las variables, y, en la expresión de la inecuación.
y -2x + z + 3
Se transforma esta desigualdad en una igualdad.
y= -2x + z + 3
Se obtiene así la ecuación de un plano en el especio tridimensional. Se hace una tabla dando tres valores arbitrarios a las otras dos variables, x, z. Se calcula el valor que le corresponde por la igualdad anterior a la variable despejada, y. Cada terna de valores así obtenido es un punto por del plano
La solución gráfica de la inecuación es la región del espacio que queda por encima o por debajo de dicho plano dependiendo del tipo de desigualdad < , ó, >. Este plano podrá pertenecer al semiespacio solución dependiendo de si aparece o no la igualdad en el signo de desigualdad de la inecuación.
Inecuación de segundo grado
Una inecuación de segundo grado tiene por expresión general
ax2+bx+c(<, >, , ) 0
a,b,cℝ
Para obtener sus soluciones:
Se obtienen las soluciones de la ecuación de segundo grado definida por la expresión.
ax2+bx+c= 0
cuyas soluciones vienen dadas por la expresión
2
1, 2
4
2
b
b
ac
x
a
-6x - 3 + 3x2 < -7x+1
Se pasan todos los términos al primer miembro de la ecuación
sumando los términos semejantes se obtiene la ecuación de segundo grado reducida
3x2 + x – 4= 0;
1
1
1 48
1 7
4
6
6
3
x
Las soluciones de esta ecuación de segundo grado se representan sobre la recta real, a la cual dividen en tantos intervalos como soluciones distintas tenga la ecuación.
n1 x1 n2 x2 n3
De cada una de estos intervalos en que quedo dividida la recta real, se escoge un punto cualquiera y su valor se sustituye en la expresión de la inecuación para evaluar el signo del intervalo. Todos los puntos de un mismo intervalo tienen en común el signo que en ellos toma el valor de la inecuación.
+ - +
-2
4
3
0 1 2
La solución de la inecuación serán las zonas de la recta real anterior cuyo signo coincida con el indicado por la desigualdad de la inecuación.
Solución: -4 1
3
Inecuaciones algebraicas
Es una inecuación en la que aparece la incógnita, x, en el denominador de una fracción.
5
0
2
x
x
Se ha de observar el sentido de la desigualdad, >, ó, <, pues el razonamiento a seguir para hallar sus soluciones depende de ello.
>
Para que la fracción sea, >0, es decir, positiva se ha reverificar una de estas:
+ el numerador es positivo
+ el denominador es positivo
- el numerador es negativo
- el denominador es negativo
<
Para que la fracción sea, <0, es decir, negativa se ha reverificar una de estas:
4
,1
3
+ el numerador es positivo
- el denominador es negativo
- el numerador es negativo
+ el denominador es positivo
Para obtener sus soluciones
5
0
2
x
x
Se resuelve la inecuación que conforma su numerador, observando en ella los signos numéricos de su expresión.
x+5= 0 - +
x= -5
-6 -5 0
Se resuelve la inecuación que conforma su denominador, observando en ella los signos numéricos de su expresión
x-2= 0 - + x= 2
-1
2 3
Se estudia donde se dan las condiciones anteriores dependiendo de que le inecuación tenga en su expresión la desigualdad, >, ó <.
+ - +
-5 2 Solución: (-5,2)
Inecuación con valor absoluto
Es una inecuación en la que aparece en su expresión el valor absoluto.
Por la definición del valor absoluto, se tiene
x si x0 x =
-x si x<0
Si se aplica esta definición a distintas expresiones de ecuaciones se tiene:
ax+b
x+5
5
5
0
5
5
(
5)
5
0
5
x
x
x
x
x
x
x
Para efectos de lograr mayor claridad podemos resumir esta información en la tabla:
-(x+5) x+5 -5
Sistema de inecuaciones lineales
Un sistema de inecuaciones está formado por un conjunto de inecuaciones independientes. Su solución tiene que satisfacer a cada una de las inecuaciones que constituyen el sistema.
a1x1+a2x2+...+anxn (<, >, , ) b1 c1x1+c2x2+...+cnxn (<, >, , ) b2 ………. n1x1+n2x2+...+nnxn (<, >, , ) bn
ai, ci, ni, biℝ
Los sistemas de inecuaciones lineales pueden ser:
Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita
a1x+a2 (<, >, , ) b1 c1x+c2 (<, >, , ) b2 ………. n1x+n2 (<, >, , ) bn
ai, ci, ni, biℝ
Para obtener su solución:
Se resuelve cada inecuación por separado.
El conjunto solución del sistema de inecuaciones es la intersección de los conjuntos solución de cada una de las inecuaciones del sistema.
(x -1) (x 3)= [-1,3]
Sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas
a1x+a2y (<, >, , ) b1 c1x+c2y (<, >, , ) b2 ………. n1x+n2y (<, >, , ) bn
ai, ci, ni, biℝ
La solución a este sistema de inecuaciones lineales es la intersección de las regiones que corresponden a la solución de cada una de las inecuaciones lineales.
Para obtener su solución:
Se representa la región solución de la primera inecuación lineal del sistema.
2x + y 3
Se despeja la variable, y, en la primera inecuación del sistema.
y -2x + 3
Se transforma la desigualdad anterior en igualdad.
y= -2x + 3
Dado que se corresponde con la ecuación de una recta en forma explícita, se le dan a la variable, x, dos valores arbitrarios con lo que se obtienen otros dos valores para la variable, y. Se tienen así dos puntos que situados en un sistema de coordenadas cartesiano permiten representar la gráfica de dicha recta.
x y (x,y)
0 3 (0,3) y= -2.0 + 3= 0 + 3= 3 1 1 (1,1) y= -2.1 + 3= -2 + 3= 1
La región del plano solución a esta primera inecuación es la que queda por debajo de la gráfica de la recta, incluyendo a ésta, pues cuando se ha despejado en ella la variable, y, la desigualdad tenía el símbolo, .
Se representa la región solución de la segunda inecuación lineal del sistema.
x + y 1
Se despeja la variable, y, en la segunda inecuación del sistema.
y -x + 1
Se transforma la desigualdad anterior en igualdad.
Dado que se corresponde con la ecuación de una recta en forma explícita, se le dan a la variable, x, dos valores arbitrarios con lo que se obtienen otros dos valores para la variable, y. Se tienen así dos puntos que situados en un sistema de coordenadas cartesiano permiten representar la gráfica de dicha recta.
x y (x,y)
0 1 (0,1) y= -0 + 1= 1 1 0 (1,0) y= -1 + 1= 0
La región del plano solución a esta segunda inecuación es la que queda por encima de la gráfica de la recta, incluyendo a ésta, pues cuando se ha despejado en ella la variable, y, la desigualdad tenía el símbolo, .
La región solución del sistema de inecuaciones lineales es la intersección de las dos regiones obtenidas anteriormente.
