y sus Propiedades B´
asicas
T´
erminos de uso
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Soto Apolinar, Efra´ın.
Los N´umeros y sus Propiedades B´asicas.
Primera edici´on. Incluye ´ındice.
1. Ense˜nanza de las ciencias, 2. Matem´aticas b´asicas, 3. Divulgaci´on de las ciencias.
Versi´on Electr´onica de distribuci´on gratuita.
Cr´
editos:
Efra´ın Soto Apolinar
Matem´
aticas Educativas y de Divulgaci´
on
1 Introducci´on 1
1.1 Teor´ıa de conjuntos . . . 1
2 N´umeros naturales 5 2.1 Definici´on . . . 5
2.2 Relaciones de equivalencia . . . 6
2.3 Ley distributiva . . . 7
2.4 Pares e impares . . . 9
2.5 M´ultiplos y divisores . . . 10
2.6 Cerradura de pares e impares . . . 11
2.7 Criterios de divisibilidad . . . 12
2.8 Divisibilidad . . . 15
2.9 Primos y compuestos . . . 16
2.10 Descomposici´on en factores primos . . . 18
2.11 M´aximo Com´un Divisor y M´ınimo Com´un M´ultiplo . . . 20
2.12 ¿Cu´antos N´umeros Primos Hay? . . . 22
3 N´umeros enteros 23 3.1 Definici´on . . . 23
3.2 Propiedades de la suma y la multiplicaci´on . . . 24
vi
3.4 Leyes de los signos . . . 27
3.5 1ra demostraci´on: − · −= + . . . 30
3.6 2da demostraci´on: − · −= + . . . 31
3.7 3ra demostraci´on: − · −= + . . . 31
3.8 Nueva criba de Erat´ostenes . . . 33
3.8.1 La nueva criba . . . 38
3.8.2 Construcci´on de la nueva criba . . . 39
3.8.3 Conclusiones . . . 39
4 N´umeros racionales 41 4.1 Definici´on . . . 41
4.2 Operaciones con fracciones . . . 42
4.3 Fracciones equivalentes . . . 44
4.4 Suma de fracciones . . . 45
4.5 Divisi´on por cero . . . 45
4.6 Orden de los racionales . . . 46
4.7 N´umeros decimales . . . 48
4.8 Operaciones con decimales . . . 48
4.9 Periodicidad . . . 49
4.10 Periodos finitos e infinitos . . . 51
4.11 Conversi´on de decimal peri´odico a fracci´on . . . 52
4.12 10/11 y 11/12 . . . 53
5 N´umeros irracionales 55 5.1 Definici´on . . . 55
5.2 Dilema de Pit´agoras . . . 55
5.3 Irracionalidad del n´umero√2 . . . 56
5.4 Irracionalidad del n´umero√3 . . . 57
5.5 Irracionalidad del n´umero√6 . . . 58
5.6 Irracionalidad del n´umero√2 +√3 . . . 59
5.7 Aproximaci´on a n´umeros irracionales por medio de n´umeros racionales . . . 60
6 N´umeros complejos 65
6.1 Definici´on . . . 65
6.2 Operaciones b´asicas con n´umeros complejos . . . 65
6.3 Ejemplos de aplicaci´on . . . 68
7 Leyes de los exponentes 69
7.1 Definiciones b´asicas y notaci´on . . . 69
7.2 Enunciaci´on de las leyes . . . 70
7.3 Problemas de aplicaci´on . . . 71
8 Logaritmos 73
8.1 Definiciones b´asicas . . . 73
8.2 Propiedades de los logaritmos . . . 73
8.3 Problemas de aplicaci´on . . . 75
9 Sistemas de numeraci´on posicional 77
9.1 Sistema de numeraci´on en base 10 . . . 77
Uno
Introducci´
on
1.1
Teor´ıa de conjuntos
Casi todos estamos familiarizados con el uso de los n´umeros naturales, enteros, racionales, irracionales y finalmente, los n´umeros reales, tal vez sin conocer sus nombres como conjuntos de n´umeros. Todos ellos surgieron, estrictamente hablando, por la necesidad del hombre mismo de resolver problemas aritm´eticos (que tiene que ver con los n´umeros), que bien pueden verse como problemas algebraicos.
Para comenzar a ver que la necesidad llev´o al hombre a construir formas de contar (sistemas num´ericos, en t´erminos m´as formales), imaginemos a una persona que empieza a recolectar frutas para su familia. Sabe que su familia est´a formada por su pareja y su cr´ıa (hijo, en palabras m´as civilizadas). Entonces, el colector de frutas hace una correspondencia entre las frutas y los miembros de su familia, es decir, piensa que a cada miembro de su familia (incluy´endose ´
el) le corresponder´a una fruta. De esta forma reconoce que debe cortar tres frutas, una para cada uno de ellos. N´otese que no fue el colector de frutas quien dijo “tres”, puesto que ´el todav´ıa no conoc´ıa lo que significa esa palabra. (Muy probablemente para su tiempo, todav´ıa el lenguaje estaba basado en se˜nas). Lo importante que se quiere hacer notar es que ya hab´ıa, probablemente de manera innata, la noci´on de cantidad en el ser humano.
Seguramente este hecho le sugiri´o a nuestro personaje que, cuando tuviera necesidad de contar, digamos conejos, hiciera una correspondencia entre conejos y alg´un otro objeto, por ejemplo piedras, una piedra por cada conejo. Sin embargo, si imaginamos que los conejos se van repro-duciendo con el paso del tiempo, vemos que en unos meses tendr´a que coleccionar una buena cantidad de piedras por la cantidad de conejos que poseer´a. De aqu´ı surge la necesidad de crear otra forma de contar que sea m´as c´omoda.
que podemos contar as´ı hasta sesenta, que es igual a cinco docenas) y as´ı, poco a poco el hombre fue creando formas cada vez m´as c´omodas de contar.
Los Griegos usaron un sistema de numeraci´on decimal (Al decir decimal nos referimos al hecho de que se cuenta de diez en diez). Para cada n´umero asignaron un s´ımbolo. El n´umero uno estaba representado por I, el dos por II , el tres por III, el cuatro por IV, el cinco por V, el seis por VI, el siete por VII, el ocho por VIII, el nueve por IX y el diez por X. Tambi´en asignaron s´ımbolos al cincuenta L, al cien C, al quinientos D y al mil M.
Con estos s´ımbolos pod´ıan formar n´umeros bastante grandes, para lo cual establecieron ciertas reglas. Los mayas, a diferencia de los griegos, usaron un sistema vigesimal. En otras palabras, ellos contaban de veinte en veinte. Esto se atribuye al hecho de que en nuestro cuerpo tenemos veinte dedos (diez en las manos y otros diez en los pies). Un hecho interesante es que, entre los aztecas, el n´umero veinte se dec´ıa Tzontle (en N´ahuatl). Tambi´en, de manera descriptiva a un buen comerciante le llamaban Tzontle, queriendo indicar que usaba sus veinte dedos para hacer c´alculos.
N´otese que si tratamos de hacer una suma en alguno de estos sistemas de numeraci´on es m´as dif´ıcil que en el sistema de numeraci´on que usamos actualmente. Evidentemente la multipli-caci´on es a´un m´as dif´ıcil. Esto se debe a que estos sistemas no toman en cuenta la posici´on que tiene cada s´ımbolo para asignarles alg´un valor, es decir no son posicionales. En el cap´ıtulo 7 nos encargaremos de estudiar c´omo formar n´umeros en distintos sistemas de numeraci´on y de averiguar la forma de realizar operaciones con estos n´umeros.
Adem´as de contar, con el paso del tiempo aparecieron otras necesidades num´ericas. Por ejemplo, supongamos que un fil´osofo griego le pregunta a su disc´ıpulo: “¿Cu´anto es cinco menos cinco?”. Si consideramos que para entonces ellos todav´ıa no conoc´ıan el cero, entonces el disc´ıpulo debi´o haber respondido “... pues cinco menos cinco no es nada”. Para esa misma ´epoca, consideremos a un matem´atico maya haciendo la misma pregunta a otro. Ellos, que entonces ya conoc´ıan el cero pueden responder: “Cinco menos cinco es cero.”
Parece que no hay diferencia, pero en realidad, poder conceptualizar resultados (es decir, dar interpretaciones con s´ımbolos a los fen´omenos que vemos), es el gran paso que se dio en la invenci´on del cero, pues de esta forma surgieron otras preguntas como “¿Qu´e n´umero debo sumar a 5 para obtener cero?”, lo cual dio origen a los n´umeros negativos.
De una forma similar surgieron seguramente tambi´en los n´umeros racionales, por ejemplo, imag-inemos que alguien se pregunt´o: “¿Por qu´e n´umero debo multiplicar al n´umero dos para obtener como resultado el n´umero uno?”. Evidentemente, el n´umero buscado no es ni natural, ni entero, sino racional (El n´umero buscado es 1
2). En el Capitulo 3 se da un peque˜no estudio de estos n´umeros.
1.1 Teor´ıa de conjuntos 3
Para terminar esta introducci´on, se da una peque˜na noci´on de la teor´ıa de conjuntos. Deci-mos que un conjunto es una colecci´on de objetos. No es necesario que esos objetos sean todos definidos de manera individual. Algunas veces bastar´a con mencionar alg´un patr´on que satis-facen los objetos que pertenecen al conjunto considerado. Otras veces la cantidad de objetos que existe es tan peque˜na que es posible listarlos uno a uno. No obstante, la mayor´ıa de las veces que se presentar´an a lo largo del libro, usaremos conjuntos con un n´umero infinito de objetos. A los objetos que pertenecen a esos conjuntos los llamaremos elementos (del conjunto). En general, los objetos con los que trabajaremos en este libro ser´an n´umeros.
Usaremos letras min´usculas cursivas para denotar n´umeros. Los conjuntos se denotar´an por medio de letras may´usculas. As´ı, podremos escribir a para denotar alg´un n´umero cualquiera. Si alg´un elemento x (x representa alg´un objeto) se encuentra en un conjunto A, entonces, escribiremos x∈Apara indicarlo. Para leerlo diremos: “El elementox est´a en el conjuntoA”, o tambi´en, “x es un elemento del conjunto A”, o m´as concisamente “x est´a en A”.
Cuando el elemento x no se encuentre en el conjunto A se escribir´ax 6∈A. De manera similar esto se leer´a “El elemento x no est´a en el conjunto A”, o tambi´en, “x no es un elemento del conjunto A”, o m´as concisamente “x no est´a en A”.
Para indicar de una manera expl´ıcita la condici´on que deben satisfacer los elementos de un conjunto, escribiremos lo siguiente:
A={x|x cumple con tal propiedad}
Esto se lee: “el conjunto A est´a formado por todos los valores (de) x tales que x cumpla con tal propiedad”.
Por ejemplo, para denotar a los n´umeros pares escribimos:
P={x|x es un n´umero par}
y lo leemos “El conjunto Pes el formado por todos los valores de x tales que x sea un n´umero par”.
Cuando se tengan dos conjuntos A y B, y se cumpla que todos los elementos del conjunto A sean tambi´en elementos del conjunto B, diremos que el conjunto A est´a incluido en el conjunto
B. Esto se denotar´a por A⊂B
Si no est´a incluido el conjuntoAen el conjunto B, escribiremos A6⊂B. Existe un conjunto que no contiene ning´un elemento, al cual se denomina conjunto vac´ıo y se denota por ∅.
Adem´as a estas operaciones se definen otras, que en este texto no se consideran por no haber necesidad de trabajar con ellas. Solamente se hace menci´on de las que se consideran necesarias para la compresi´on del material expuesto en el texto.
A B
Fig. 1. Uni´on de conjuntos.
A B A∩B
Fig. 2. Intersecci´on de conjuntos
Finalmente se hace menci´on que a lo largo del texto aparecer´an algunas demostraciones. La mayor´ıa de ellas no son muy dif´ıciles de entender, sin embargo al leer cada una de ellas se debe tener en cuenta que, para entender la demostraci´on en s´ı, es requisito indispensable que se entiendan todos y cada uno de los argumentos y pasos que se siguen en la demostraci´on.
Dos
N´
umeros naturales
Podemos empezar diciendo que los n´umeros naturales tienen su nombre gracias al hecho de que el hombre, de manera intuitiva tuvo desde el principio de su historia, la noci´on de cantidad. De hecho, en la introducci´on se trat´o de justificar esto por medio de ejemplos que, si bien pueden no ser ciertos, deben estar muy cercanos a la realidad.
Nota: En este y el siguiente cap´ıtulo trabajaremos con n´umeros naturales y enteros respecti-vamente, a menos que se indique otra cosa.
2.1
Definici´
on
Se define al conjunto de los n´umeros naturales como todos aquellos n´umeros que usamos para contar. De manera natural, el hombre los acogi´o para poder tener control sobre las cosas que pose´ıa. N´otese que el cero queda excluido de este conjunto, puesto que cuando un hombre no posee ning´un objeto, no siente la necesidad de contar. Por tanto, los n´umeros naturales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... donde los puntos suspensivos indican que la lista sigue infinitamente.
En lo que sigue, denotaremos a los n´umeros naturales por el s´ımbolo N. Entonces, en notaci´on de conjuntos podemos escribir:
N={1,2,3,4,5,6,· · · }
2.2
Relaciones de equivalencia
Todos los n´umeros, cumplen ciertas propiedades con respecto a la igualdad. Las mencionamos enseguida, que a pesar de no ser indispensables, sirven de muestra que hemos aprendido matem´aticas a´un antes de haber ido a la escuela.
Reflexiva: a =a
Sim´etrica: Sia = b, entonces b = a
Transitiva: Si a =b y tambi´en b =c, entonces a =c
En palabras, la primera nos dice que un n´umero siempre es igual a s´ı mismo. Imag´ınese a Aar´on, ´el siempre tendr´a su propia edad. La segunda est´a diciendo que si un n´umero es igual a otro, entonces el segundo debe ser igual al primero. En otros t´erminos dir´ıamos que, si Aar´on tiene la misma edad que Benjam´ın, entonces Benjam´ın debe tener la misma edad que Aar´on. La tercera dice que si tenemos tres n´umeros tales que el primero es igual al segundo, y adem´as, el segundo es igual a otro tercero, entonces el primero y el tercero son iguales. En t´erminos de edades nos dicen que, si Aar´on y Benjam´ın tienen la misma edad y, adem´as Benjam´ın y Carlos tienen tambi´en la misma edad, entonces necesariamente Aar´on y Carlos deben tener la misma edad (es decir, todos tienen la misma edad).
Ahora ve´amoslo desde otro punto de vista: Supongamos que (solamente para este apartado) a,
b y cya no son n´umeros, sino l´ıneas rectas, y que el s´ımbolo “=” no indica la igualdad, sino el paralelismo entre l´ıneas rectas. Entonces, las tres condiciones que imponen estos argumentos tambi´en se cumplen. Es decir, una recta siempre es paralela a s´ı misma. Tambi´en se cumple que si la recta a es paralela a la recta b, entonces la segunda recta b debe ser paralela a la primer recta a. Y finalmente, si las rectas a y b son paralelas y tambi´en se cumple que las rectas b y c son paralelas, entonces, las rectas a y c son paralelas. N´otese que para el caso de perpendicularidad, en lugar de paralelismo las condiciones no se cumplen.
Ahora, si nos volvemos a cambiar de l´ıneas rectas a n´umeros naturales otra vez, y aplicamos estas condiciones, ahora usando el s´ımbolo “=” como criterio de divisibilidad, veremos que tambi´en se cumplen, haciendo una peque˜na modificaci´on a la segunda condici´on. M´as adelante se estudian algunas propiedades de la divisibilidad. Ahora, v´amonos a la teor´ıa de conjuntos, junto con estas condiciones. Si consideramos ahora el s´ımbolo “=” como inclusi´on de conjuntos, podemos notar que se cumplen las tres condiciones haciendo una peque˜na modificaci´on a la segunda condici´on, en la cual es necesario que los conjuntos a y b sean iguales.
2.3 Ley distributiva 7
Las propiedades que se han mencionado que cumplen los n´umeros con respecto a la igualdad no son las ´unicas. Como muestra de que existen m´as, mencionamos las dos siguientes:
• Si a=b, entonces a c=b c.
• Si a=b, y tambi´en c=d, entonces a+c=b+d.
La primera nos dice que si dos n´umeros son iguales, la igualdad se sigue cumpliendo si ambos n´umeros son multiplicados por otro n´umero cualquiera. En t´erminos de edades dir´ıamos que si Benjam´ın y Aar´on tienen la misma edad, entonces, si multiplicamos la edad de cada uno de ellos por el mismo n´umero, los resultados de esas multiplicaciones deben ser iguales. La segunda dice en palabras que si conocemos cuatro n´umeros que son iguales dos a dos, y que si los sumamos por pares (como se indica), entonces, las sumas resultan siempre ser iguales. En t´erminos de edades dir´ıamos que si Aar´on y Benjam´ın tienen la misma edad y adem´as, Carlos y Daniel tienen tambi´en la misma edad (no necesariamente iguales a las edades de Aar´on y Benjam´ın), entonces, si sumamos las edades de Aar´on y de Carlos y, por separado las edades de Benjam´ın y de Daniel, los resultados deben ser iguales.
Las propiedades de los n´umeros son tan importantes en el estudio de la matem´atica porque a partir de ellas se deducen todo tipo de leyes y teoremas que nos ayudan a entender y resolver problemas que a primera vista parecen dif´ıciles, y que de otra forma ser´ıan casi imposibles de resolver.
2.3
Ley distributiva
Existe un conjunto de propiedades que todos los n´umeros naturales satisfacen. Por ejemplo, al sumar dos n´umeros naturales el resultado es siempre otro n´umero natural, independientemente de los n´umeros naturales que hayamos elegido como sumandos. Igualmente pasa con la mul-tiplicaci´on. Otra propiedad que cumplen es que si se van a sumar dos n´umeros, no importa por quien empezamos a sumar, siempre obtendremos el mismo resultado. Igualmente pasa con la multiplicaci´on. Para poder hacer m´as claro el material de los siguientes art´ıculos se hace necesaria la indicaci´on de la ley distributiva de los n´umeros. Esta ley est´a dada por la siguiente expresi´on1:
a(b+c) = a b+a c
Para hacer evidente esta ley se muestra el siguiente argumento por medio del c´alculo del ´area de un rect´angulo:
1Recu´erdese que las letras min´usculas cursivas representan n´umeros naturales en este cap´ıtulo. Adem´as, se usar´an par´entesis
para indicar la multiplicaci´on de n´umeros. No se utiliza el s´ımbolo ”×” para evitar confusi´on, pues aqu´ı las letras que representan n´umeros. Omitiremos el par´entesis en los casos que no se preste a confusi´on y se sobreentender´a que se indica multiplicaci´on. As´ı,
a
b c
b+c
De la figura se observa que el rect´angulo original (el m´as grande) se ha dividido en dos rect´angulos, uno mediano, a la izquierda, cuya base mideb unidades y altura mide a unidades, y el otro m´as peque˜no, a la derecha, cuya base mide cunidades y tieneaunidades de altura. De tal forma que la base del rect´angulo original mide (b+c) unidades y su altura midea unidades. Entonces, de la figura se deduce que el ´area del rect´angulo es a(b+c) unidades cuadradas2.
Tambi´en podemos hacer el c´alculo de la siguiente manera: calculamos el ´area del rect´angulo azul y el ´area del rect´angulo amarillo por separado. Sumamos ambas ´areas y el resultado es el ´area del rect´angulo original. Sabemos que el ´area del rect´angulo azul es a b, y el ´area del rect´angulo amarillo esa c. La suma de estas dos ´areas es a b+a c. Y como ambos m´etodos son correctos, debimos haber tenido el mismo resultado. En t´erminos matem´aticos:
a(b+c) =a b+a c
que es en s´ı la ley distributiva para los n´umeros. Esta ley nos permitir´a llegar a conclusiones bastante productivas en el resto de la lectura. Un ejemplo de su aplicaci´on diaria es en el de las multiplicaciones. Por ejemplo, encontremos el resultado de multiplicar 7 por 12 usando la ley distributiva para los n´umeros.
Gracias a la ley distributiva podemos escribir3: (7)(12) = (7)(10 + 2) = (7)(10) + (7)(2) =
70 + 14 = 84.
Los c´alculos se simplifican bastante y, en caso de no tener calculadora pueden hacerse mental-mente de una manera r´apida.
Otra forma de justificar esta ley, ahora por medio de la aritm´etica, es considerar que la multi-plicaci´on no es sino una forma de hacer sumas de una manera r´apida y compacta. Por ejemplo, la multiplicaci´on (7)(12) es la forma compacta de escribir 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12, o tambi´en 7 + 7 +· · ·+ 7 + 7 (doce veces). N´otese que multiplicar 7 por 10 es la forma compacta de sumar 7 veces 10, y que multiplicar 7 por 2 es igual a sumar el n´umero 7 dos veces. Si sumamos los resultados as´ı obtenidos, estamos encontrando el equivalente a sumar, primero diez veces el n´umero 7 y luego otras dos veces. Es decir, en total sumamos el n´umero 7 doce veces. Es claro
2.4 Pares e impares 9
que esto es igual a multiplicar 7 por 12. Si se observa, se realizaron las mismas operaciones que las indicadas en la ley distributiva de los n´umeros y se lleg´o, necesariamente a la misma conclusi´on, ahora desde el punto de vista aritm´etico.
2.4
Pares e impares
Existe una familia de n´umeros que es bastante conocida por todas las personas, los cuales son de uso frecuente. En particular, los n´umeros pares y los n´umeros impares. Podemos definir los n´umeros pares como aquellos que terminan (a la derecha) en alguno de los siguientes d´ıgitos: 0, 2, 4, 6 y 8. De manera semejante diremos que los n´umeros impares son aquellos que terminan en los d´ıgitos 1, 3, 5, 7 y 9, en otras palabras, todos los que no son pares.
Aqu´ı podemos mencionar algunas de las propiedades de estos n´umeros. En primer lugar, con respecto a la suma, si se eligen dos n´umeros pares y se suman, el resultado es otro n´umero par. Debido a esto vamos a decir que los n´umeros pares son cerrados bajo la suma. Lo mismo ocurre cuando se multiplican dos n´umeros pares. Es decir, si elegimos dos n´umeros pares, y se multiplican, el resultado es otro n´umero par. Entonces, los n´umeros pares tambi´en son cerrados bajo la multiplicaci´on.
Consideremos los siguientes ejemplos.
2 + 12 = 14 Par + Par = Par (4)(8) = 32 (Par)(Par) = Par
Esto que hemos mostrado no es m´as que evidencia de que lo que hemos dicho parece ser verdad. La demostraci´on de estos dos hechos se llevar´a a cabo en el m´as adelante, cuando tengamos m´as herramientas para convencernos de este hecho.
Ahora volvamos la mirada a los n´umeros impares y averig¨uemos si en ellos ocurre lo mismo. Ahora iremos en sentido opuesto y consideraremos primero dos ejemplos:
3 + 5 = 8 Impar + Impar = Par (5)(7) = 35 (Impar)(Impar) = Impar
Parece que los n´umeros impares no son cerrados bajo la suma, pero s´ı lo son bajo la multipli-caci´on. Consideremos otro par de casos.
13 + 21 = 34 Impar + Impar = Par 51 + 75 = 126 Impar + Impar = Par (3)(21) = 63 (Impar)(Impar) = Impar (19)(19) = 361 (Impar)(Impar) = Impar
impar, sino par. Por otra parte, la multiplicaci´on parece ser cerrada para los n´umeros im-pares. Sin embargo, no podemos todav´ıa dar una regla general (o ley) que indique que eso es cierto, puesto que solamente hemos visto que eso ocurre as´ı en los casos estudiados; pero nadie puede asegurar, hasta aqu´ı, que los casos que hemos tomado sean (o no sean) en cierto aspecto especiales, de tal forma que si tomamos otro caso que no tenga esa caracter´ıstica especial, el resultado sea tal que nos sugiera otra conclusi´on. Para eliminar cualquier duda, los matem´aticos recurren a la demostraci´on de la conjetura usando solamente argumentos y operaciones que son v´alidos para los objetos con los que est´an trabajando.
2.5
M´
ultiplo y divisor de un n´
umero
Definimos como m´ultiplo de un n´umero dado x, a todos aquellos que resultan de multiplicar el n´umero x considerado por alg´un otro n´umero natural cualquiera4.
Para entender mejor la definici´on, se dan algunos ejemplos:
M´ultiplos del n´umero 2: M2 ={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,· · · }
M´ultiplos del n´umero 3: M3 ={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,· · · }
M´ultiplos del n´umero 11: M11={11,22,33,44,55,66,77,88,99,110,· · · }
Se ve inmediatamente que para saber si un n´umero dado y es m´ultiplo de otro x entonces es necesario encontrar un n´umero a tal que y = ax. En palabras, esta igualdad nos dice que el n´umero y es el resultado de multiplicar al n´umero x por alg´un otro n´umero a, lo que coincide con la definici´on de m´ultiplo que acabamos de dar.
La definici´on de divisor de un n´umero viene dada de una forma parecida. Si nos apoyamos en la igualdad que escribimos en el ´ultimo p´arrafo, decir que un n´umero q divide a otro p, es equivalente a decir que existe un n´umero r tal que el n´umero q sea igual al producto de p por
r. Matem´aticamente esto se puede escribir:
p=q r
Entonces, bas´andonos en la definici´on de m´ultiplo de un n´umero, podemos decir que el n´umero
q divide a otro n´umero p, siempre que el n´umero presulte ser m´ultiplo del n´umeroq.
Tomando en cuenta los ejemplos que dimos para la definici´on de m´ultiplo de un n´umero, podemos ver que el n´umero 2 es divisor de todos sus m´ultiplos, es decir, el 2 es divisor de los elementos del siguiente conjunto:
M2 ={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,· · · }
4Aqu´ı es bastante conveniente evadir cierta falta de claridad en las definiciones y conclusiones que obtenemos con ellas. Para
2.6 Cerradura de pares e impares 11
De manera similar, todos los m´ultiplos del n´umero 3 tienen al n´umero 3 por divisor: M3 =
{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,· · · }
Espec´ıficamente podemos ver lo que significa que un n´umero q divide a otrop con varios ejem-plos:
27 3 = 9
Aqu´ı se puede ver que el n´umero 3 divide al n´umero 27, porque el resultado de esa operaci´on es un n´umero entero (el nueve). En este caso en particular tenemos p= 27, q= 3 y r = 9 (p=qr
se aplica como 27 = (3)(9)). Otro ejemplo es:
14 2 = 7
Aqu´ı tenemos p= 14, q= 2 y r= 7.
Algo importante de mencionar: los m´ultiplos de un n´umero nunca ser´an menores que el n´umero considerado. Por ejemplo, el n´umero 3 tiene muchos m´ultiplos. De todos ellos, el menor es el n´umero 3 mismo. Todos los dem´as n´umeros son mayores que ´el. Ninguno es menor que el 3. De hecho, el 3 no es menor que el 3, es igual al 3, pero no menor.
Otro punto importante similar, pero en este caso para los divisores de un n´umero consiste en que ninguno de los divisores de un n´umero ser´a mayor que el n´umero considerado. Por ejemplo, consideremos el caso del n´umero 8. Sus divisores son: 1, 2, 4 y 8. Se ve inmediatamente que ninguno de ellos es mayor que el 8. El mayor de todos es el 8 mismo y ´este no es mayor que 8; es igual a 8, pero no mayor que ´el.
Esta informaci´on nos ayuda a encontrar resultados que no tienen sentido cuando tratamos de encontrar un m´ultiplo de un n´umero y vemos que el resultado es menor que el n´umero mismo, o cuando necesitamos los divisores de otro n´umero y el resultado es mayor que el n´umero mismo.
2.6
Cerradura de los n´
umeros pares y los n´
umeros impares
Entonces, podemos escribir de una forma muy compacta la familia de n´umeros que resultan ser m´ultiplos de otro:
mq =q r
Por ejemplo, tomemos el caso del n´umero 2. Sus m´ultiplos ser´an de la forma:
En esta igualdad, r puede tomar valores desde 1,2,3,· · · hasta el infinito (es decir, n´umeros naturales), que en t´erminos de notaci´on de conjuntos se escribe: r ∈ N. Entonces, vemos que todos los n´umeros pares tienen la forma p= 2r, donde r∈N.
Ahora, supongamos que tenemos dos n´umeros pares distintos:p1 = 2s y p2 = 2t, donde
s,t ∈N. Si sumamos estos dos n´umeros obtenemos el siguiente resultado5:
p1+p2 = 2s+ 2t= 2 (s+t)
que tambi´en resulta ser par.
Este resultado se puede generalizar de la manera siguiente: considere todos los m´ultiplos del n´umero q, ´estos tienen la siguiente forma: p = q r. Tomemos dos de esos n´umeros, digamos
p1 = (q)(r1) y p2 = (q)(r2). La suma de estos dos n´umeros es p1 +p2 = (q)(r1) + (q)(r2) =
(q)(r1+r2). De aqu´ı se ve inmediatamente que la suma de dos n´umeros que sean m´ultiplos de
q, es otro n´umero que tambi´en es m´ultiplo del n´umero q.
En el caso de los impares, un n´umero impar tiene la forma: 2k+1, es decir, a un par le sumamos el n´umero 1 y obtenemos un n´umero impar. ¿De acuerdo? Entonces continuamos. Si sumamos dos n´umeros impares q1 = 2s+ 1 yq2 = 2t+ 1 tenemos:
q1+q2 = (2s+ 1) + (2t+ 1) = 2s+ 2t+ 2 = 2 (s+t+ 1)
resultando ser un n´umero par, puesto que tiene la forma6 p= 2r.
Sin embargo, si consideramos el producto de dos n´umeros impares vemos que7:
(q1)(q2) = (2s+ 1)(2t+ 1) = (2t)(2s+ 1) + 1 (2s+ 1) =
= 4st+ 2s+ 2t+ 1 = [4st+ 2s+ 2t] + 1 = = 2 (2st+s+t) + 1
que en palabras nos dice que el resultado de multiplicar dos n´umeros impares es otro n´umero impar, puesto que al n´umero par 2 (2st+s+t) le sumamos el n´umero 1, lo cual nos resulta ser impar.
2.7
Criterios de divisibilidad
Se han encontrado criterios de divisibilidad que nos ayudan a saber de una manera r´apida cu´ando un n´umero dado q es o no es divisor de alg´un otro n´umero p. Cada uno tiene su justificaci´on. Mencionamos solamente las justificaciones de los m´as sencillos.
5Aqu´ı se ha recurrido a la ley distributiva de los n´umeros.
6Aqu´ır=s+t+ 1, y es un entero, porque es la suma de tres n´umeros enteros.
2.7 Criterios de divisibilidad 13
Criterio de Divisibilidad para el 2: Si el n´umero termina en n´umero par (0,2,4,6,8), en-tonces es divisible por 2. Es bastante evidente de las definiciones de n´umero par y divisor de un n´umero.
Criterio de Divisibilidad para el 3: Si la suma de los d´ıgitos que forman el n´umero es m´ultiplo de tres, entonces el n´umero es divisible por 3.
Este no es para nada evidente. Mostramos un argumento que justifica el criterio para n´umeros de tres cifras y que puede f´acilmente generalizarse a n´umeros m´as grandes.
Considere el n´umero formado por tres cifrasabc. Por ejemplo, si el n´umero es 237, entonces
a = 2, b= 3 y c= 7. Este n´umero puede escribirse como sigue:
100a+ 10b+c = (99a+a) + (9b+b) +c= = (99a+ 9b) + (a+b+c) = = 3(33a+ 3b) + (a+b+c)
(Para el ejemplo anterior 100a+ 10b+c = (100)(2) + (10)(3) + (7) = 237) Ya se hab´ıa mencionado que cuando sumamos dos m´ultiplos de un n´umero dadok, el resultado tambi´en es un m´ultiplo dek. Esto es, para que el n´umero formado por las cifrasabcsea un m´ultiplo de 3, es necesario que (a+b+c) sea m´ultiplo de 3, puesto que 3(33a+ 3b) ya es m´ultiplo de 3.
Criterio de Divisibilidad para el 4: Si el n´umero formado por las dos ´ultimas cifras de la derecha del n´umero dado es m´ultiplo de 4, entonces el n´umero dado se divide entre 4.
Sabemos que la suma de dos m´ultiplos de 4 es tambi´en un m´ultiplo de 4. Bas´andonos en este hecho, podemos buscar cu´al de los n´umeros 10, 100, 1000, 10000, etc., es m´ultiplo de 4, pues, si 1000 es el menor (por ejemplo), entonces, 10,000 tambi´en lo ser´a, puesto que resulta ser igual a sumar el n´umero 1000 diez veces, o dicho de otra forma, multiplicar 1000 por 10, y as´ı sucesivamente el 100,000 tambi´en ser´a m´ultiplo de 4 por ser igual a la multiplicaci´on del n´umero 10,000 por 10, etc.
¿Porqu´e buscamos este tipo de n´umeros? Pues sencillamente porque, como en el caso del criterio de divisibilidad del n´umero tres, podemos expresar cualquier n´umero como sumas en la forma ya expuesta. Por ejemplo, el n´umero 5812, puede expresarse como: (5)(1000) + (8)(100) + (1)(10) + 2. Entonces, bas´andonos en el hecho de que si sumamos m´ultiplos del n´umero 4, el resultado es otro m´ultiplo de 4, entonces habr´a unos t´erminos que ya son m´ultiplos de 4, sin embargo, probablemente no todos sean y as´ı sabremos cu´antos n´umeros se necesita verificar que sean m´ultiplos de 4 (similarmente al caso del n´umero 3).
Podemos verificar que el 1000 es m´ultiplo de 4, puesto que (4)(250) = 1000. El 100 tambi´en es m´ultiplo de 4, puesto que (4)(25) = 100. Ahora surge la pregunta: ¿Es el 100 el n´umero m´as peque˜no? La respuesta es s´ı, puesto que no hay ning´un n´umero natural x que haga 4x= 10. Entonces, si el n´umero 100 es m´ultiplo de 4, tambi´en lo ser´an sus m´ultiplos, y no hay necesidad de verificar si el 500, por ejemplo, es un m´ultiplo de 4. ¡Por supuesto que lo es!, dado que el 100 es un m´ultiplo de 4 y el 500 es igual a (5)(100). ¿De acuerdo?
forman un m´ultiplo de 4 porque de ser as´ı, entonces todo el n´umero ser´a un m´ultiplo de 4, pues estaremos sumando dos m´ultiplos de 4 y el resultado tambi´en lo ser´a.
En cambio, si el n´umero formado por las dos ´ultimas cifras de la derecha no es un m´ultiplo de 4, entonces el n´umero original no ser´a m´ultiplo de 4, porque estaremos sumando a un n´umero que ya es m´ultiplo de 4 otro que no es, y por tanto la suma no ser´a m´ultiplo de 4.
Criterio de Divisibilidad para el 5: Si el n´umero termina a la derecha en 0 ´o en 5, entonces se puede dividir entre 5.
Bastante evidente, puesto que los m´ultiplos de 5 solamente terminan en la cifra de las unidades (por la derecha), o en cero, o en cinco.
Criterio de Divisibilidad para el 6: Si el n´umero es divisible simult´aneamente tanto por el dos como por el tres, entonces es divisible por el n´umero seis.
Esto se puede justificar usando la definici´on de divisor de un n´umero.
La definici´on de divisor de un n´umero dice que si un n´umeroq divide a otro p, entonces se puede escribir: p=qr.
Supongamos que el n´umero pse divide entre 6. Entonces, por ser divisible por 6 podemos escribir: p = 6r = (2)(3)r, lo que nos indica que el n´umero p es m´ultiplo de dos y tres simult´aneamente, y por tantop es divisible tanto por dos como por tres.
Criterio de Divisibilidad para el 7: Se explica el algoritmo que se desarrolla cuando se de-sea verificar si un n´umero dado es m´ultiplo de 7 sin dar su justificaci´on.
Se toma la cifra de la derecha (unidades) del n´umero dado. A esta cifra la multiplicamos por dos. El resultado de la multiplicaci´on se resta del n´umero que queda al quitarle (al n´umero dado) la cifra de las unidades (que es precisamente el n´umero que multiplicamos por dos). Al resultado se aplica el mismo m´etodo de separar la cifra de la derecha, multiplicar esta cifra por dos, etc. hasta que tengamos un n´umero de dos o una cifra. Si el n´umero resultante es m´ultiplo de 7 o es el n´umero cero, entonces el n´umero dado (al principio) es m´ultiplo de siete. De lo contrario, el n´umero dado no es m´ultiplo de 7.
La justificaci´on no se da por requerir de conceptos que no se estudian aqu´ı8.
Criterio de Divisibilidad para el 8: Si el n´umero formado por las tres ´ultimas cifras de la derecha del n´umero dado es m´ultiplo de 8, entonces el n´umero dado es divisible por 8. La justificaci´on es similar a la del criterio de divisibilidad del n´umero 4. N´otese que el n´umero 100 no es m´ultiplo de 8, pero el n´umero 1000 s´ı lo es, pues 1000 = (8)(125), y por tanto es necesario verificar si las tres cifras de la derecha forman un m´ultiplo de 8.
Criterio de Divisibilidad para el 9: Si la suma de los d´ıgitos que forman el n´umero es m´ultiplo de nueve, entonces el n´umero es divisible por 9.
Este criterio es similar al dado para el n´umero 3. N´otese que el n´umero formado por las tres cifras abc puede escribirse como sigue:
100a+ 10b+c = (99a+a) + (9b+b) +c= = (99a+ 9b) + (a+b+c) = = 9 (11a+b) + (a+b+c)
2.8 Divisibilidad 15
Ya se hab´ıa mencionado que cuando sumamos dos m´ultiplos de un n´umero dado k, el resultado tambi´en es m´ultiplo de k. Entonces, para que el n´umero formado por las cifras
abcsea un m´ultiplo de 9, es necesario que (a+b+c) sea m´ultiplo de 9, puesto que 9 (11a+b) ya es m´ultiplo de 9.
Criterio de Divisibilidad para el 10: Si el n´umero termina a la derecha en 0, entonces se puede dividir entre 10.
Este criterio es evidente por el hecho de que al multiplicar un n´umero por diez, el resultado es el mismo n´umero agregando un cero a la derecha. Entonces, si el n´umero dado tiene al menos un cero a la derecha, podemos imaginar que lo hab´ıamos multiplicado por diez, siendo entonces m´ultiplo de diez y, por tanto, divisible entre diez.
Existen todav´ıa m´as criterios de divisibilidad, pero por el momento estos son suficientes.
2.8
Propiedades de la divisibilidad
Aqu´ı se muestran las propiedades m´as importantes de la divisibilidad entre n´umeros naturales. Se enlistan en orden de dificultad. Todas son relativamente f´aciles de entender. Esperamos que se tenga una buena noci´on de las consecuencias que de ellas se deducen.
En este apartado usaremos la siguiente notaci´on: para indicar que un n´umero a divide a otro n´umero b escribiremos a|b, y lo leeremos el n´umero a divide al n´umero b. Recu´erdese que esto implica que el n´umero b es m´ultiplo del n´umero a, es decir, b =a r.
• a|a ⇒ Propiedad sim´etrica.
• Si a|b, y tambi´enb|a, entoncesa =b ⇒ Propiedad reflexiva.
• Si a|b, y tambi´enb|c, entonces a|c ⇒ Propiedad transitiva.
Para ver que las tres propiedades se cumplen se puede razonar como sigue: la primera condici´on es bastante evidente de la definici´on de divisor de un n´umero. Sabemos que a = (1)(a), de donde se nota que es verdadera esta condici´on. N´otese que el n´umero 1 es divisor de todos los n´umeros naturales, pues el n´umeroa es arbitrario.
Antes de justificar la segunda propiedad indicamos otra propiedad que cumple la divisibilidad:
• Si a|b, entoncesb ≥a.
Con el argumento anterior podemos probar la segunda condici´on: si a|b, entonces b = a m, tambi´en si b|a, entonces a = b r. Entonces se cumple simult´aneamente b ≥ a, porque a|b, y
a≥b porque b|a. Sin embargo, para que ambas condiciones se cumplan es necesario que a=b, pues de otra forma la simultaneidad de ambas condiciones no tendr´ıa sentido.
Para ver que la tercera es verdadera podemos proceder como sigue: dado que a|b, b = a m. Tambi´en c = b r porque b|c. Pero como ya dijimos que b = a m, esto nos permite escribir
c=b r = (a m)r =a(m r). De aqu´ı es claro que a|c.
Todav´ıa hay m´as propiedades que se pueden f´acilmente probar y que, de hecho hemos usado algunas ya sin recurrir a este apartado. Aqu´ı damos otro acercamiento a los mismos resultados.
• Sia|b, entoncesa|(b k)
Esto es claro de la definici´on de divisor de un n´umero. En palabras esta condici´on dice: Si a
divide al n´umerob, entonces el n´umero atambi´en debe dividir a cualquier m´ultiplo del n´umero
b. Esto se sigue del hecho de que si a|b, entonces el n´umero b es m´ultiplo de a. Adem´as, ya sabemos que un m´ultiplo de a multiplicado por cualquier n´umero resulta ser tambi´en m´ultiplo de a. Luego, cuando multiplicamos el n´umero b (que es m´ultiplo de a) debemos obtener otro m´ultiplo de a, de donde se puede asegurar que a divide ese n´umero.
• Sia|b, y tambi´ena|c, entonces a|(b+c)
Tambi´en podemos ver que esto es cierto bas´andonos en la ley distributiva y en la definici´on de divisor de un n´umero. Puesto que a|b, se tiene que: b =am. Tambi´en, puesto que a|c, se sigue que: c = an. Por otra parte tenemos b+c = am+an = a(m+n). Esto nos indica que el n´umero a divide al n´umerob+c.
Combinando las dos ´ultimas propiedades podemos encontrar que:
• Sia|b, y tambi´ena|c, entonces a|(b m+c n)
La demostraci´on de esta propiedad se deja como ejercicio.
2.9
N´
umeros Primos y N´
umeros Compuestos
Primero damos las definiciones de n´umero primo y de n´umero compuesto. Despu´es se explica un m´etodo para enlistar los n´umeros primos.
Un n´umero primo es aquel que tiene exactamente dos divisores9 , los cuales son el n´umero 1 y
´
el mismo. Un n´umero es compuesto si tiene al menos tres divisores.
9Recu´erdese que aqu´ı estamos trabajando solamente con n´umeros naturales. Si estuvi´eramos trabajando con n´umeros enteros,
2.9 Primos y compuestos 17
Las definiciones de n´umero primo como de n´umero compuesto se dieron de forma tal que el n´umero 1 quedara excluido de ambos conjuntos. En primer lugar se debe notar que el n´umero 1 solamente tiene un divisor: ´el mismo. La raz´on de excluir al n´umero 1 es por razones practicas que m´as adelante se justificar´an.
Los primeros diez n´umeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Evidentemente existen m´as n´umeros primos. De hecho, m´as adelante probaremos que la lista de los n´umeros primos es infinita. Con respecto a este tipo de n´umeros se han hecho un sinn´umero de conjeturas. Por ejemplo se ha tratado de encontrar una f´ormula que encuentre los n´umeros primos, uno tras otro. Tal f´ormula todav´ıa no se ha encontrado y probablemente nunca se encuentre. Es lo que hace m´as fascinante las matem´aticas: conoces objetos y quieres encontrar la f´ormula que los enlista uno tras otro en orden. El esp´ıritu cient´ıfico de los matem´aticos les dice que existe una, sin embargo, nuestras mentes no han tenido la suerte de encontrar la soluci´on (que no necesariamente debe ser ´unica o quiz´as no exista).
Ahora se da el m´etodo para enlistar, “a pie” los primeros n´umeros primos. Existi´o en Alejandr´ıa un hombre que se llam´o Erat´ostenes (275 - 195). A ´el se le atribuye la primera medici´on del per´ımetro de la tierra. Sin embargo aqu´ı nos ocuparemos de otra de sus contribuciones, la cual llamaremos Criba de Erat´ostenes. La Criba de Erat´ostenes consiste en hacer la lista del n´umero 1 hasta el que queramos. Aqu´ı consideraremos hasta el n´umero 200.
La forma de encontrar los n´umeros primos que ide´o Erat´ostenes es como sigue: Erat´ostenes sab´ıa que los n´umeros compuestos tienen al menos tres divisores. De hecho, todos los n´umeros tienen al menos dos divisores, el n´umero 1 y ellos mismos. Entonces, si un n´umero es m´ultiplo de dos n´umeros (no necesariamente distintos y excluyendo al n´umero 1) no puede ser primo, puesto que se puede dividir por 1 y por esos dos n´umeros. Por ejemplo, consideremos el n´umero 6. Sabemos que 6 = (2)(3). Entonces, sus divisores son 1, 2, 3 y 6. Consideramos ahora el n´umero 4. Sabemos que 4 = (2)(2). Vemos que el n´umero 4 tiene tres divisores: 1, 2 y 4 y, por tanto, no es primo, sino compuesto.
Entonces, Erat´ostenes, bas´andose en esto sugiri´o escribir la lista de los n´umeros del 1 hasta el n´umero deseado (nosotros usaremos hasta el 200), empezar a tachar los m´ultiplos del n´umero 2, excepto el dos mismo, dado que ´el tiene el privilegio de ser primero de la lista de los m´ultiplos de 2 (de la palabra Primero viene el adjetivo Primo de los n´umeros primos). Se procede de igual manera con los m´ultiplos de 3, 5, etc.
Como sugerencia se propone empezar, si se est´an tachando los m´ultiplos del n´umero m, del n´umero (m)(m). Esto es porque no hay necesidad de tachar el n´umero 2m; ya se tach´o cuando eliminamos los m´ultiplos del n´umero 2. Igualmente no hay necesidad de tachar el n´umero 3m, pues se tach´o cuando tachamos los m´ultiplos del n´umero 3. Y as´ı sucesivamente hasta el n´umero primo que se encuentre antes del n´umero m.
Otra sugerencia bastante ´util, que de hecho, por la metodolog´ıa dada, se utiliza, es observar que cuando tachamos los m´ultiplos de 2, tambi´en tachamos los m´ultiplos del n´umero cuatro (4, 8, 12, 16, etc.). Esto se debe a que los m´ultiplos de 4 tambi´en son m´ultiplos de 2. Para ver que esto es as´ı, simplemente escribimos un m´ultiplo de 4; ´este tiene la forma m4 = 4k = (2)(2)k.
tambi´en son m´ultiplos de 2 procedemos de manera semejante: Los m´ultiplos de 6, tienen la forma m6 = 6k = (2)(3)k. Ciertamente, tambi´en es m´ultiplo de 2. Evidentemente con los
m´ultiplos de 3 (6, 9, 12, 15, etc.) ocurre lo mismo. La criba de Erat´ostenes se deja como ejercicio.
2.10
Descomposici´
on de un N´
umero Compuesto en sus Factores
Pri-mos
Ahora que conocemos a los n´umeros primos menores que 200, podemos expresar a los n´umeros compuestos como producto de n´umeros primos solamente. Por ejemplo el n´umero 54 puede escribirse: 54 = (2)(27) = (2)(9)(3) = (2)(3)(3)(3), el n´umero 120 se puede expresar como 120 = (2)(60) = (2)(2)(30) = (2)(2)(2)(15) = (2)(2)(2)(3)(5).
El procedimiento consiste en verificar si el n´umero se puede dividir por 2, luego por 3, luego por 5, despu´es por 7, y as´ı sucesivamente. N´otese que no hay necesidad de verificar si el n´umero se puede dividir por 4, puesto que si se divide por 4 necesariamente se debe dividir entre 2, lo cual se verific´o antes (porque, si un n´umero es m´ultiplo de 4 necesariamente debe ser m´ultiplo de 2, como ya se indic´o). Igual pasa con el 6, pues si el n´umero dado se divide entre seis se debi´o haber dividido entre 2 primero y despu´es entre 3.
Consideremos ahora el n´umero 1210. Para empezar tiene mitad, 1210 = (2)(605). Ahora, el n´umero 2 ya no se puede descomponer en factores puesto que ´el es un n´umero primo, pero el n´umero 605 seguramente s´ı (al menos sabemos que es divisible por 5 porque termina en 5 a la derecha). Verifiquemos si se puede dividir por tres. Para esto, sumamos las cifras de las cuales est´a formado: 6 + 0 + 5 = 11.
El n´umero 11 no es m´ultiplo de 3, entonces el n´umero 605 no es divisible por 3 (verif´ıquese por medio de la divisi´on). Recuerde que no hay necesidad de verificar si es divisible por 4, puesto que no es divisible entre 2. Ahora pasamos al 5 (que es el siguiente n´umero primo despu´es de 3). 605 = (5)(121).
Entonces: 1210 = (2)(605) = (2)(5)(121).
Ahora, ni el n´umero 2 ni el n´umero 5 pueden descomponerse en factores puesto que ´estos son primos, veamos si el n´umero 121 se puede descomponer en factores primos:
¿Es divisible por 2? No, pues no termina en cifra par.
¿Es divisible por 3? Para verificarlo sumamos sus cifras: 1 + 2 + 1 = 4, el cual no es m´ultiplo de 3, lo que indica que 121 tampoco es divisible por 310.
¿Es divisible por 5? No, pues no termina ni en cero ni en cinco.
¿Es divisible por 7? Ve´amoslo: Tomamos la ´ultima cifra de la derecha (1) y la multiplicamos por 2. Este resultado (2) se lo restamos al n´umero que se forma quitando el 1 de la derecha al n´umero 121.
2.10 Descomposici´on en factores primos 19
12−2 = 10. Ya no hay necesidad de ir m´as lejos. Es evidente que el n´umero 10 no es m´ultiplo de 7, y por tanto el n´umero 121 no se divide entre 7.
Ahora veamos si se puede dividir por 11, que es el siguiente primo: en efecto, se puede dividir, puesto que (11)(11) = 121.
Entonces, 1210 = (2)(5)(121) = (2)(5)(11)(11) es la descomposici´on del n´umero 1210 en sus factores primos.
Como sugerencia, se recalca que no hay necesidad de verificar la divisibilidad de un n´umero m´as all´a de su ra´ız cuadrada para saber si es un n´umero primo11. En otras palabras, si queremos
saber si un n´umero dado p es primo o no lo es, no hay necesidad de verificar si se divide por cada n´umero primo hasta uno antes a ´el.
Para ver que esto es as´ı, supongamos que queremos averiguar si p es un n´umero compuesto y que ya hemos verificado hasta el n´umero√p(o, en caso de no ser natural, el inmediato superior a ´el), y que no se puede dividir por ninguno de ellos. Entonces el n´umero p debe ser primo. Porque si fuera compuesto, deber´ıa existir una descomposici´on en factores p = mn, donde al menos uno de m ´o n debe ser primo. Evidentemente al menos uno de m o n, debe ser menor al n´umero √p (o, en caso de no ser natural, el inmediato superior a ´el). Porque si no es as´ı, si tanto m como n son mayores a √p, entonces el producto no puede ser igual a p, sino que debe ser mayor a ´el. Esto es evidente por el hecho de que √p√p=p, y que mientras mayores sean los factores mayor ser´a el producto.
La descomposici´on de n´umeros primos es bastante ´util para resolver varios tipos de problemas e inclusive para realizar operaciones. Por ejemplo, considere la multiplicaci´on de 25 por 54. Para realizarla de manera m´as r´apida y sencilla descomponemos el 54 como 54 = (2)(27), entonces, multiplicar 25 por 54 es igual a multiplicar (2)(27) por 25, pero (2)(25) = 50, entonces (2)(27)(25) = (50)(27). Ahora aplicamos la ley distributiva.
(50)(27) = (50)(20 + 7) = (50)(20) + (50)(7) = 1000 + 350 = 1350.
Al primer vistazo este c´alculo parece involucrar mucha “talacha”. Sin embargo, si se pone en pr´actica, al poco tiempo su uso se hace natural y se incrementa bastante la agilidad para realizar c´alculos mentalmente.
Como ejercicio se sugiere que elija varios n´umeros y los vaya descomponiendo en sus factores primos para que se vaya familiarizando con este procedimiento que ser´a ´util en el siguiente art´ıculo.
El teorema fundamental de la aritm´eticaestablece que todo n´umero compuesto puede expresarse como producto de los factores primos del n´umero de una sola forma, salvo el orden de los factores. Aqu´ı es donde se justifica la excepci´on del n´umero 1 de entre la lista de los n´umeros primos. Pues si el n´umero 1 estuviera en esa lista, entonces tendr´ıamos m´as de una forma de descomponer a cada n´umero compuesto, por ejemplo el n´umero 54 se descompondr´ıa 54 = (2)(27), en su primera forma, y para otra segunda tendr´ıamos: 54 = (1)(2)(27). Pero gracias a que el n´umero
1 no est´a entre los n´umeros primos solamente tenemos una descomposici´on de cada n´umero en sus factores primos.
En este texto se omite la demostraci´on del teorema fundamental de la aritm´etica. Para aquellos “filomatem´aticos” se sugiere que recurran a la lectura de un libro de ´algebra superior para revisarla. En realidad no es muy dif´ıcil de entender y, de hecho parece evidente.
2.11
M´
aximo Com´
un Divisor y M´ınimo Com´
un M´
ultiplo
Ahora volvemos la mirada a dos conceptos bastante sencillos y de gran aplicaci´on en la vida diaria. Ya hemos definido tanto divisor como m´ultiplo de n´umeros. Para poder definir divisores comunes y m´ultiplos comunes es necesario contar con al menos dos n´umeros distintos, para que los divisores o m´ultiplos sean comunes a ambos n´umeros.
Primero damos un ejemplo de introducci´on para despertar el inter´es por el concepto de m´aximo com´un divisor, y despu´es daremos la definici´on junto con una metodolog´ıa m´as sencilla a la dada en el ejemplo.
Considere a los n´umeros 12 y 40. Los divisores del 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Por su parte los divisores del 40 son 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40. Los divisores que son comunes tanto a 12 como a 40 son 1, 2, y 4. Aqu´ı la palabra “com´un” indica que aparecen en la lista de divisores de ambos n´umeros. El mayor de todos los divisores que son comunes tanto a 12 como a 40 es el 4. Entonces, el 4 es el m´aximo com´un divisor de los n´umeros 12 y 40. Esto se denotar´a como
m.c.d (12, 40) = 4.
Entonces, elm´aximo com´un divisor de dos n´umeros cualesquiera es el mayor n´umero que divide a ambos n´umeros, o en otras palabras, el mayor de todos los divisores comunes a ambos n´umeros.
Un m´etodo m´as f´acil y pr´actico de encontrar el m´aximo com´un divisor de dos n´umeros es como sigue: descomp´onganse los n´umeros en sus factores primos. Ahora, dado que queremos que el n´umero que buscamos divida a ambos n´umeros y sea el mayor de todos sus divisores, seleccionamos los factores que aparecen en las descomposiciones de ambos n´umeros, porque precisamente esos factores dividen a ambos n´umeros simult´aneamente.
Por ejemplo tomemos los n´umeros 60 y 100. Sus descomposiciones en factores primos son 60 = (2)(2)(3)(5) y 100 = (2)(2)(5)(5). Los factores que son comunes a ambas descomposiciones son el n´umero 2 dos veces y el n´umero 5 solamente una vez. Entonces el m.c.d.(60, 100) =
(2)(2)(5) = 20.
N´otese que no tomamos al n´umero 3 como factor delm.c.d.(60, 100), puesto que el 3 solamente
divide al 60, pero no al 100. Igualmente, el n´umero 5 solamente se tom´o una vez como factor porque as´ı divide a ambos n´umeros. Si se hubiera tomado dos veces, entonces tendr´ıamos que elm.c.d.(60, 100) ser´ıa un m´ultiplo de 25. Luego ser´ıa necesario que tanto el 60 como el 100 se
dividieran por 25. Evidentemente eso no es cierto (el 100 s´ı es divisible por 25, pero el 60 no).
2.11 M´aximo Com´un Divisor y M´ınimo Com´un M´ultiplo 21
4 = (2)(2), 5, 6 = (2)(3), 10 = (2)(5), 12 = (2)(2)(3), 15 = (3)(5), 20 = (2)(2)(5), 30 = (2)(3)(5) y el 60. Como ejercicio encuentre todos los divisores del n´umero 100 del mismo modo12.
El m´ınimo com´un m´ultiplo tambi´en se puede encontrar enlistando, primero los m´ultiplos de ambos n´umeros, localizando los m´ultiplos que son comunes a ambos n´umeros y, finalmente escogiendo el menor de todos ellos. Para el ejemplo tomamos los n´umeros 12 y 20.
Los m´ultiplos del 12 son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120,... Por su parte, los m´ultiplos del 20 son: 20, 40, 60, 80, 100, 120,...
Tenemos, hasta donde formamos la lista, dos m´ultiplos comunes a 12 y 20, los cuales son 60 y 120. Evidentemente el menor de ellos es el 60. Esto lo denotaremos comom.c.m. (12, 20) = 60
Ahora, podemos definir el m´ınimo com´un m´ultiplo de dos n´umeros como el menor n´umero natural que es m´ultiplo de ambos n´umeros a la vez.
Otro m´etodo que podemos usar para encontrarel m´ınimo com´un m´ultiplo de dos n´umeros por medio de la descomposici´on de los n´umeros en sus factores primos es como sigue: una vez hecha la descomposici´on de los n´umeros en sus factores primos elegimos los factores de los n´umeros de tal forma que no nos falte ning´un factor de ambas listas. Por ejemplo, retomando el ejemplo anterior, tenemos:
• 12 = (2)(2)(3)
• 20 = (2)(2)(5)
Vemos que el m´ınimo com´un m´ultiplo de 12 y 20 debe ser m´ultiplo de 3, 4 y 5 a la vez. El menor n´umero que es m´ultiplo de esos n´umeros es el 60 = (2)(2)(3)(5).
Aqu´ı se muestra que el 60 es m´ultiplo com´un tanto a 12 como a 20: dado que podemos ex-presar al n´umero 20 como 20 = (2)(2)(5) y al n´umero 60 = (3)[(2)(2)(5)], es evidente que los factores encerrados entre corchetes son en realidad el n´umero 20. Luego 60 es m´ultiplo de 20. Similarmente, el n´umero 12 = (2)(2)(3), y el n´umero 60 = [(3)(2)(2)](5). Se encerraron entre corchetes la descomposici´on del n´umero 12 en sus factores primos. Esto indica que el n´umero 60 es, tambi´en m´ultiplo del n´umero 12.
Para convencernos de que es el “m´ınimo” com´un m´ultiplo simplemente basta mencionar que no se tomaron m´as n´umeros como factores de los que son necesarios. Pues mientras m´as pongamos, mayor producto obtendremos.
12Si necesitas saber cu´antos divisores tiene un n´umero, primero descomp´on el n´umero en sus factores primos. Si es un n´umero
2.12
¿Cu´
antos N´
umeros Primos Hay?
Aqu´ı se da la demostraci´on de que la lista de los n´umeros primos en infinita.
Para empezar supongamos que la lista de los n´umeros primos es finita, es decir, que existe un n´umero primop que es el mayor de todos (los n´umeros primos).
Ahora formemos el n´umeron = (2)(3)(5)(7)(11)...(p) + 1, que es igual al producto de todos los n´umeros primos13, y a ese n´umero le hemos sumado el n´umero 1. Es evidente que el n´umeron
no se divide por alguno de los n´umeros primos, puesto que al hacer la divisi´on siempre queda de residuo 1. Entonces, este n´umero no tiene m´as divisores que el n´umero 1 y ´el mismo, de donde se deduce que n es primo. Pero inicialmente supusimos que la lista era finita, teniendo al n´umero p como el mayor de todos los n´umeros primos, y ahora vemos que el n´umero n es mayor que p, y tambi´en es primo.
Como hemos llegado a una contradicci´on, la suposici´on inicial es falsa. En otras palabras, no es verdad que exista un n´umero primo que sea el mayor de todos.
Por tanto, si hacemos la lista de los n´umeros primos hasta alguno en particular y queremos formar otro n´umero primo mayor a todos los de la lista, simplemente usamos la f´ormula dada para el n´umeron. En otras palabras, la lista de los n´umeros primos no es finita, sino infinita.
Tres
N´
umeros enteros
Desde la introducci´on se trat´o de dar una forma intuitiva de crear los n´umeros naturales. Por ejemplo, considere ahora la pregunta: ¿Qu´e n´umero debemos sumar al n´umero 7 para obtener 2? Evidentemente la respuesta a esta pregunta no es un n´umero natural, porque cuando sumamos dos n´umeros naturales la suma es siempre mayor a cualquiera de los sumandos. En este cap´ıtulo se hace menci´on de algunas propiedades de los n´umeros enteros.
3.1
Definici´
on
Los n´umeros enteros se definen compuestos de los n´umeros naturales, el cero y los n´umeros naturales provistos del signo negativo. Denotaremos al conjunto de los n´umeros enteros por el s´ımbolo Z
Z={· · · −3,−2,−1,0,1,2,3,· · · }
¿De d´onde vino el signo negativo? Al parecer fue de la necesidad de resolver preguntas como la mencionada en la introducci´on de este cap´ıtulo. Parece ser m´as claro el concepto colocamos los n´umeros enteros sobre una l´ınea recta, a la cual llamaremos recta num´erica.
Dispongamos un punto sobre esta recta, a la cual llamaremos origen, o cero de nuestra recta. Ahora tomemos una unidad de medida que elijamos a nuestro gusto e indiquemos a la derecha del origen un punto a esa distancia. A partir del origen tomaremos medidas de la misma longitud, una detr´as de la otra y asignaremos a cada punto as´ı encontrado uno de los n´umeros naturales, dejando el cero en el origen.
x
−3 −2 −1 0 1 2 3
Origen
La lista de los n´umeros enteros es infinita tanto a la derecha como a la izquierda del origen. De aqu´ı se deduce que el conjunto de los n´umeros naturales est´a incluido en el conjunto de los n´umeros enteros. En notaci´on de conjuntos esto se denota como: N⊂Z. En palabras, podemos decir que todos los n´umeros naturales son tambi´en n´umeros enteros. Sin embargo lo opuesto no es cierto. Es decir, no todos los n´umeros enteros son n´umeros naturales. Por ejemplo, el n´umero -2 es un n´umero entero, pero no es n´umero natural. Esto es similar a decir que todos los gatos son animales, pero no todos los animales son gatos. ¿Tiene sentido?
3.2
Propiedades de la suma y la multiplicaci´
on
Las propiedades de los n´umeros enteros respecto a la suma y a la multiplicaci´on son, pr´acticamente las mismas que se mencionaron en el caso de los n´umeros naturales. Adem´as se mencionan otras propiedades que aparecen en los enteros por el hecho de tener n´umeros negativos y el cero.
Primero es interesante (y muy conocido por todos) que existe un n´umero entero que tiene la propiedad de que siempre que se suma a otro n´umero, el resultado es igual al segundo n´umero. Estamos hablando del n´umero cero. Matem´aticamente, el p´arrafo anterior se expresa como sigue:
a+ 0 =a
Tambi´en este mismo n´umero cumple con la condici´on de que cuando se multiplica por cualquier n´umero a el resultado siempre es igual a cero. En t´erminos matem´aticos esto se escribe como sigue:
(a)(0) = 0
Podemos mencionar que el cero es el ´unico n´umero que cumple con estas condiciones. Debido a la primera propiedad se dice que el cero es el elemento neutro con respecto a la suma. Esto significa que cuando se suma el n´umero cero a cualquier n´umero entero, el n´umero no se modifica o cambia, de aqu´ı viene el nombre “neutro aditivo”. Con respecto a la multiplicaci´on tambi´en existe un elemento neutro, es decir, un n´umero que tiene la propiedad que, cuando lo multipli-camos por otro, el resultado es igual al segundo n´umero. En particular, estamos hablando del n´umero 1. Matem´aticamente lo anterior se expresa como:
3.2 Propiedades de la suma y la multiplicaci´on 25
La propiedad anterior evidentemente tambi´en se cumple en los n´umeros naturales. Sin embargo, la siguiente es caracter´ıstica de los n´umeros enteros.
Para cada n´umero entero a existe otro n´umero entero con la caracter´ıstica que cuando se suman ambos, el resultado es igual a cero. El otro n´umero es −a. Matem´aticamente esto se expresa de la siguiente manera:
a+ (−a) = 0
En palabras esto dice: “si a un n´umero entero sumamos el mismo n´umero, pero con signo negativo, el resultado es cero”. En la recta num´erica esto significa que, partiendo del origen, primero nos hemos movidoaunidades hacia la derecha y despu´es ese mismo n´umero de unidades hacia la izquierda1. Evidentemente, al final estaremos en el origen, pues nos movimos primero
en una direcci´on y despu´es la misma distancia en sentido contrario, tray´endonos de regreso a nuestro punto de partida.
Aqu´ı es importante hacer menci´on de otras propiedades que se cumplen tanto para los n´umeros naturales como para los enteros.
Primero, ya se hab´ıa mencionado que si sumamos dos n´umeros naturales, el resultado siempre es igual, independientemente del orden que se le d´e a los sumandos. Podemos imaginar a Aar´on y a Carlos. Cada uno de ellos tiene una cantidad de manzanas que van a colocar en el canasto de la casa. En realidad no importa qui´en coloque primero las manzanas, al final habr´a el mismo mont´on, supuesto que ninguno de ellos se come ninguna manzana.
Otra propiedad parecida que se cumple tanto para los n´umeros naturales como para los n´umeros enteros es la siguiente: Si se van a multiplicar dos n´umeros, entonces el resultado de la multi-plicaci´on es independiente del orden de los factores. Aqu´ı usaremos el argumento de la multi-plicaci´on usado en el primer cap´ıtulo.
Se sabe que multiplicar, por ejemplo, siete por doce es igual a sumar el n´umero siete, doce veces. Tambi´en es el equivalente a sumar siete veces el n´umero doce. Pues si en el primer caso, tomamos (7)(12) esto lo podemos imaginar como siete filas de doce cajas cada una. Tambi´en podemos verlo en el otro orden, (12)(7) nos indica siete filas de siete cajas cada una. Con las cajas formar´ıamos un rect´angulo de doce cajas de base y 12 cajas de altura para el primer caso, y siete cajas de base por doce de altura en el segundo caso. Evidentemente, ambos rect´angulos guardan la misma cantidad de cajas. Por tanto (7)(12) = (12)(7).
En ambos casos podemos representar las multiplicaciones con arreglos rectangulares como los que se han explicado. Para cada caso el arreglo rectangular es id´entico en forma, salvo por la forma como se acomoda, en uno parece que est´a “acostado” y en el otro parece que est´a “parado”, esto es, en el primero la base es m´as larga que la altura del rect´angulo y en el segundo, la base es m´as corta que la altura.
Aqu´ı se muestra el arreglo de las cajas de acuerdo a la primera multiplicaci´on.
7×12
Enseguida se muestra el rect´angulo que se forma debido al segundo arreglo de las cajas, o mejor dicho, a la segunda multiplicaci´on.
12×7
Algo que debemos agregar aqu´ı es el hecho de que la primera propiedad de las enlistadas para la divisibilidad debe recibir una peque˜na modificaci´on cuando estemos trabajando con los n´umeros enteros. Si a ahora representa un n´umero entero, entonces,
• a|a Siempre que a6= 0 Propiedad sim´etrica.
La justificaci´on de esta nueva condici´on se dar´a en el siguiente cap´ıtulo.
3.3
Recta num´
erica y valor absoluto de un n´
umero
3.4 Leyes de los signos 27
Si queremos medir la distancia (con unidad de medida igual a la distancia entre el origen y el n´umero uno) que hay desde el origen hasta alg´un n´umero arbitrario, digamos el 12, simplemente le asignamos como distancia ese n´umero (el 12). Es bastante evidente de la observaci´on de la recta num´erica que si medimos la distancia desde el n´umero−12 hasta el origen la distancia es igual a la que hay entre el origen y el n´umero 12. Sin embargo, un n´umero est´a a la derecha (el 12 positivo) y el otro est´a a la izquierda (el 12 negativo).
Vamos a dar un nuevo concepto para indicar esta distancia, al cual llamaremos valor absoluto
del n´umero. Entonces el valor absoluto del n´umero a ser´a la distancia (con unidad de medida igual a la distancia entre el punto que corresponde al origen y el punto que corresponde al n´umero uno) que existe desde el origen hasta ese n´umero. El valor absoluto de un n´umero se denota por |a|. N´otese que el valor absoluto de un n´umero es siempre un n´umero no negativo (es decir, puede ser cero o cualquier n´umero positivo), pues representa una distancia.
Entonces, el valor absoluto del n´umero -12 es igual a 12, y se representa como | −12|= 12. De igual manera, | −145|= 145, y |457|= 457.
3.4
Leyes de los signos
En matem´aticas cada ley tiene un porqu´e. En otras palabras, si existe una ley matem´atica, ´esta est´a plenamente justificada. Esto quiere decir que no es arbitraria, sino que se dedujo de las propiedades m´as b´asicas que cumplen los objetos con los que ´esta ley tiene relaci´on.
Ahora hablaremos de las leyes de los signos. Estas leyes se aplican a la multiplicaci´on2. La forma de exponer las leyes de los signos ser´an primero de una forma informal, luego lo haremos de una forma medianamente formal para no espantar a aquellos que le temen a la simbolog´ıa matem´atica.
Hay 4 leyes de los signos. La primera dice que cuando multiplicamos dos n´umeros positivos, el resultado es tambi´en un n´umero positivo. La justificaci´on de esta ley se dio desde el primer cap´ıtulo, cuando mencionamos la cerradura de los n´umeros naturales bajo la multiplicaci´on. Es claro que cuando se multiplican dos n´umeros naturales el resultado es siempre otro n´umero natural. Y como los n´umeros naturales son todos mayores que cero (es decir, positivos todos), el resultado de multiplicar dos n´umeros naturales (que tambi´en son necesariamente positivos) es siempre otro n´umero natural (que es, como ya dijimos, positivo).
Vamos a resumir la primera ley de los signos diciendo: “m´as por m´as es igual a m´as”.
La segunda ley dice que cuando multiplicamos un n´umero positivo por un n´umero negativo el resultado es negativo. La justificaci´on podemos verla de la manera siguiente. Recu´erdese que multiplicar es una forma r´apida y compacta de hacer sumas. Si nos basamos en la recta num´erica, debemos recordar que los n´umeros negativos est´an a la izquierda del origen. Entonces, multiplicar un n´umero positivo a por un n´umero negativo−bpuede verse como sumar a veces el n´umero−b. Pero cuando a un n´umero negativo le sumamos otro n´umero negativo, el resultado
2Las leyes de la multiplicaci´on se aplican tambi´en a la divisi´on, pero nosotros todav´ıa no hablaremos de ello, sino hasta el siguiente
es indiscutiblemente negativo, puesto que cada vez nos alejamos m´as del origen de la recta num´erica viajando hacia la izquierda. Pero sumar a veces el n´umero −b es lo mismo que multiplicar (a)(−b), y el resultado es, como ya vimos un n´umero negativo. Es decir, el resultado de multiplicar un n´umero positivo por un n´umero negativo es siempre negativo.
Vamos a resumir la segunda ley de los signos diciendo: “m´as por menos es igual a menos”.
La tercera ley de los signos se justifica exactamente igual que la segunda, solamente que ahora debemos tomar en cuenta que cuando multiplicamos dos n´umeros enteros, digamos (a)(b), el resultado es el mismo que si multiplicamos los mismos n´umeros en orden inverso. Es decir, (a)(b) = (b)(a). Entonces, el resultado de multiplicar un n´umero negativo (−b) por un n´umero positivo (a) debe ser igual al resultado de multiplicar un n´umero positivo (a) por un n´umero negativo (−b). En t´erminos matem´aticos esto se escribe: (a)(−b) = (−b)(a).
Entonces la tercera ley, es semejante a la segunda pero con los factores en orden inverso, la cual puede resumirse en: “menos por m´as es igual a menos”.
La cuarta ley es la menos obvia de todas. Se trata ahora de multiplicar dos n´umeros negativos y encontrar su resultado. Pudi´eramos decir que como “m´as por m´as es igual a m´as”, entonces “menos por menos debe ser igual a menos”, pero eso ser´ıa establecer una ley sin haber tomado en cuenta las propiedades de los n´umeros. De hecho, aunque parezca no tener sentido, en realidad la cuarta ley de los signos dice que cuando multiplicamos dos n´umeros negativos el resultado es positivo! Es decir, “menos por menos es igual a m´as”.
Ahora vamos a dar una justificaci´on bas´andonos en el estudio de una secuencia de n´umeros y conforme avancemos en el estudio de otros tipos de n´umeros daremos cada vez argumentos m´as fuertes, hasta que al final quedemos convencidos de que “menos por menos es igual a m´as”.
Para la justificaci´on considere los m´ultiplos del n´umero 5.
M5 ={5,10,15,20,25,30,35,40,45,· · · }
Con este conjunto haremos un juego. El juego consiste en encontrar una “regla” que nos diga el n´umero (elemento del conjunto) que sigue si se conoce el anterior. Existen dos respuestas a esta pregunta. La primera es que a cada n´umero le sumamos el n´umero 5 y obtenemos el siguiente. Sin embargo, otra respuesta m´as ´util para nuestra tarea, ser´ıa considerar que cada n´umero de la lista es m´ultiplo de 5, en forma consecutiva. “En forma consecutiva” se refiere a que entre dos t´erminos consecutivos de la lista, la diferencia siempre es cinco. Entonces, para encontrar el n´umero siguiente (aunque es un poquito m´as laborioso, nos ayudar´a m´as), expresamos el n´umero como un m´ultiplo del n´umero cinco. Entonces, el n´umero aparecer´a como sigue:
m = 5k
Al n´umero k le sumamos el n´umero uno, y despu´es lo multiplicamos por cinco. As´ı obtenemos el siguiente n´umero de la lista.
