Relación entre las potencias y las raíces

(1)

Potencias y Raíces. 100 Ejercicios para practicar con soluciones

1 ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide 4 cm? Expresa el resultado en forma de potencia. Solución:

El área de un cuadrado es: A=l2 Por tanto, el área es 42 =

( )

22 2 =24cm2

2 Expresa los números como multiplicación de factores iguales y luego en forma de potencia:

( ) ( ) ( )

625 1 d) 128 -c) 5 5 5 1 b) 5 3 5 3 5 3 a) − ⋅ − ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Solución:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

4 4 7 3 -3 3 5 5 1 625 1 d) 2 -128 -c) 5 -5 -1 5 5 5 1 b) 5 3 5 3 5 3 5 3 a) − = = = = = − ⋅ − ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−

3 Expresa como potencia única:

( ) ( )

( )

[ ]

-4

c) 5 : 5 b) 3 3 3 a) 3 2 2 7 3 5 − ⋅ ⋅ Solución:

( ) ( )

( )

(2)

4 Expresa en forma de una potencia que tenga como base un número primo: 5 · 5 · 5 · 5

a)

( )( )( )

−3·−3·−3 b)

2 · 2 · 2 · 2 · 2

1 c)

81 d)

−27 e)

25 1 f)

Solución:

5 · 5 · 5 · 5 = 54 a)

( )( )( ) ( )

3

3 3 · 3 ·

3 − − = −

−

b)

5

2 1 2 · 2 · 2 · 2 · 2

1

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

c)

81 = 34

d)

( )

3

3 27= −

−

e)

2

5 1 25

1

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

f)

5 Escribe en notación científica los siguientes números. 0,000 2

a)

0, 000 000 1 b)

c) 0,03 Solución:

4

10 2 0002 ,

0 = ⋅ −

a)

7

10 1 0000001 ,

0 = ⋅ −

b)

2

10 3 03 ,

0 = ⋅ −

c)

6 Expresa las siguientes potencias como producto de factores:

( )

4 c)

3 2 b)

7

a)

3

-2 5

3

(3)

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4 4 1 4 c) 3 3 2 2 2 2 2 3 2 b) 7 -7 7 7 a) 3 -2 5 3 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ − =

7 Expresa el resultado como potencia única:

( )

[

]

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 3 -0 5 3 2 3 2 6 c) 2 -2 -2 -2 b) 7 a) ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − Solución:

( )

[ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

[

( )

]

2

(

)

2 2 3 3 -0 5 6 3 2 36 3 2 6 3 2 6 c) 2 -2 -2 -2 -2 b) 7 7 a) − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = − −

(4)

9 Escribe en forma radical: 9 1 4 e) 4 1 6 f) 2 3 5 g) 5 4 3 h) Solución: 9₄ e) 4₆ f) 3 5 g)

5₃4

h)

10 Expresa como potencia única:

( ) ( )

( )

[ ]

-4

c) 5 : 5 b) 3 3 3 a) 3 2 2 7 3 5 − ⋅ ⋅ Solución:

( ) ( ) ( )

( )

[ ]

2 3

( )

6 5 2 7 9 3 5 4 -4 -c) 5 5 : 5 b) 3 3 3 3 a) = − = − − = ⋅ ⋅

(5)

Solución:

( ) ( )

3 4

( )

3 ( )4

_{( )}

7 3 5 -2 24 4 3 2 6 6 6 : 6 -c) 7 2 7 2 7 2 b) 4 3 4 3 a) − = − = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − −

12 Escribe en notación científica los siguientes números. 3 000

a)

b) 20 000 c) 5 000 000 Solución:

3

10 3 3000= ⋅ d)

4

10 2 20000= ⋅ e)

6

10 5 5000000= ⋅ f)

13 Escribe en notación científica los siguientes números. 25 millones de pesetas

a)

Trescientos mil dólares b)

Cuatrocientos treinta y dos mil metros c)

Treinta milímetros (en metros) d)

Solución:

25 millones de pesetas → 2,5⋅107 ptas. a)

Trescientos mil dólares → 3⋅105dólares b)

Cuatrocientos treinta y dos mil metros → 4,32⋅105 metros c)

d) Treinta milímetros (en metros) → 3⋅10−2 metros

14 Una fábrica produce 3 toneladas de hierro al día. ¿Cuántos kilos de hierro fabricará en 5 días? Expresa el resultado en notación científica.

Solución:

1 tonelada son 1000 kg. 3 toneladas son 3000 kg. En cinco días fabricará:

10 5 , 1 000 15 5

(6)

15 Escribe en notación ordinaria los siguientes números.

4

10 · 3 a)

7

10 · 2 , 1 b)

5

10 · 2 − c)

3

10 · 25 ,

0 −

d)

Solución:

30000 10

3⋅ 4 = a)

12000000 10

2 ,

1 ⋅ 7 = b)

00002 , 0 10 2⋅ −5= c)

00025 , 0 10 25 ,

0 ⋅ −3 = d)

16 ¿Cuál es el cubo del cociente que resulta de dividir 128 entre 32? Expresa las operaciones y el resultado en forma de potencia.

Solución:

2 5 7

5 7

2 2 : 2

2 32

2 128

= =

=

El cubo del cociente es:

( )

23 6

2

2 =

17 Una persona haciendo un recorrido andando emplea 30 días y 5 horas. ¿Cuántos segundos habrá tardado en hacer el recorrido? Expresa el resultado en notación científica.

Solución:

1 hora son 3600 segundos 30 días y 5 horas son 725 horas Por tanto, habrá tardado:

10 61 , 2 000 610 2 3600

725⋅ = = ⋅ 6 segundos.

18 Expresa las siguientes raíces como potencias:

3₅4

a)

3

12 b)

4 2

7 c)

7 21

(7)

Solución:

3 4 3₅4 ₌₅

a) 2 3 3 ₁₂ 12 = b) 2 1 4 2 4₇2 ₌₇ ₌₇

c)

3 7 21 7₃21 ₌₃ ₌₃

d)

19 En las siguientes operaciones, aplica las propiedades correspondientes y expresa el resultado como potencia única:

( )

[ ]

( ) ( )

(

₃ ₂

) ( )

2 ₄ 2 4 5 3 2 6 : 6 6 b) 5 -: 5 -5 -a) − ⋅ ⋅ Solución:

( )

[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

(

3 2

) ( ) ( )

2 4 2 5 2 8 10 8 10 ( )8 18

7 4 5 6 4 5 6 4 5 3 2 6 6 6 : 6 6 : 6 6 : 6 6 b) 5 5 5 : 5 5 5 -: 5 -5 -a) = = = = ⋅ − = − = − − ⋅ − = ⋅ − − − − − − +

20 La masa de la tierra es 5,98·1024_{kg, y la masa de la Luna, 7,34·10}22_{. ¿Cuántas Lunas se podrían formar con} la masa de la Tierra?

Solución: 5 , 81 10 · 815 , 0 10 · 34 , 7 10 · 98 , 5 2 22 24 =

= Lunas

21 Escribe en forma de raíz las siguientes potencias de exponente fraccionario:

(8)

Solución: 5 3 5 3 4 4 = a) 5 2 5 3 3 = b) 4 4 1 9 9 = c) 6 5 6 5 2 2 = d)

22 _{España tiene una población de} 6

10 · 6 ,

36 habitantes y una superficie de 50,4·104 km2_{. ¿Cuál será la} densidad de la población española? (Densidad=hab/ km2₎

Solución:

La densidad de la población española es :

(

6

) (

4

)

(

)

(

6 4

)

2 2

km / h 10 26 , 7 10 726 , 0 10 : 10 4 , 50 : 6 , 36 10 4 , 50 : 10 6 ,

36 ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

23 _{El área de un terreno cuadrado es 625}_m2

. ¿Cuál será el área de otro terreno cuyo lado es el triple del primero? Expresa el resultado en forma de potencia.

Solución:

Si les el lado del primer terreno, entonces l2=625. El lado del segundo terreno es: 3⋅l metros.

Y por tanto, el área es:

( )

3⋅l2 =32⋅l2 =32⋅625=32⋅54m2.

(9)

25 Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:

3 2

12 7 5 4

4 ) d

3 ) c

2 ) b

7 ) a

−

Solución:

2 1

7 7 = a)

5 4 5 4

2 2 = b)

12 7 12 7

3 3 = c)

3 2 3₄ 2 ₄

− − ₌

d)

26 Escribe en notación científica los siguientes números e indica su orden de magnitud. 210 000 000 000

a)

Dos billones y medio b)

58 400 millones c)

Solución:

11

10 1 , 2 000 000 000

210 = ⋅ Orden de magnitud: 11 a)

2 billones y medio = 2,5⋅1012 Orden de magnitud: 12 b)

(10)

27 Expresa el resultado como potencia única: 125

· 5 · 25−3 −6 a)

7 2

3 · 81− − b)

2 2_·₂

8 · 16 − c)

Solución:

( )

2 3 6 3 9

6

3_·₅ _·₁₂₅ ₅ _·₅ _·₅ ₅

25− − = − − = −

a)

( )

4 2 7

7 2 3 · 3 3 ·

81− − = − − b)

( )

3 3 2 3

4 2

2_·₂ ₂ _·₂ _·₂ ₂

8 ·

16 − = − = −

c)

28 _{La masa de la Tierra es}₅_,₉₈_·₁₀24_{kg. ¿Cuál sería la masa equivalente a 3 planetas iguales a la Tierra?}

Solución:

3 planetas equivalentes a la Tierra tendrían una masa de:

(

5,98 10

)

17,94 10 1,794 10 kg

3⋅ ⋅ 24 = ⋅ 24 = ⋅ 25

5 5 4 3 · 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a) 3 7 4 5 · 2 · 2− b) 2 2 10 3 : 5

6 − −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ c) Solución: 5 5 5 5 2 1 4 3 · 3 2 4 3 · 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ a) 3 3 3 3 7

4_·₂ _·₅ ₂ _·₅ ₁₀

2− = =

b) 2 2 2 2 2 4 15 60 10 3 : 5 6 10 3 : 5

6 − − − _⎟− ₌ −

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ c)

30 Un lavavajillas dispone de 8 bandejas y en cada una de ellas caben 32 vasos. ¿Cuántos vasos se podrán lavar de una sola vez? Expresa el resultado en forma de potencia.

Solución:

La capacidad del lavavajillas es: vasos 2

2 2 32

(11)

31 Escribe como potencia única:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

-3 : -3 c) 2 -8 b) 7 -7 -7 -a) 3 2 -3 3 0 3 -2 ⋅ ⋅ ⋅ Solución:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

[

( )

]

(

)

( ) ( ) ( )

-2 3 2 3

( )

5

3 3 3 3 0 3 2 0 3 -2 3 3 3 -: 3 -c) 16 2 8 2 -8 b) 7 7 7 -7 -7 -a) − − − + + − − = − = − = − ⋅ = ⋅ − = − = ⋅ ⋅

32 La edad de Marcos es 14 años. ¿Cuál es el cuadrado del doble de su edad dentro de 2 años? Expresa el resultado en forma de potencia.

Solución:

La edad de Marcos dentro de 2 años será: 14+2=16=24 años. El doble de la edad dentro de 2 años será: 2⋅24=25 años. Y el cuadrado de dicha edad es:

( )

252=210 años.

33 Reduce a índice común los siguientes radicales:

15 2₃ , 5 3₇ , 3 5 b) 6 4 , 4 6 a) Solución: 15 ,15) m.c.m.(3,5

15 2₃ , 15 9₇ , 15 5₅ 15 2₃

, 5 3₇ , 3 5 b) 12 ) m.c.m.(4,6 12 2 4 , 12 3 6 6 4 , 4 6 a) = → = →

34 Simplifica los siguientes radicales:

(12)

Solución:

2

4 ₂

2 = a)

5 3₃15 ₌₃

b)

3 4₅6 ₌ ₅

c)

3 2 12 8

7 7 = d)

35 Introduce en el radical los números que están fuera:

3 25 5 1

3 3 3 c)

6 2₂ 2 b)

3 3 2 a)

) d

Solución:

3 3 3

3₃ ₂ ₃ ₂₄

2 = ⋅ =

a)

6 6 8

6 6 2

6₂2 ₂ ₂ ₂ ₂₅₆

2 = ⋅ = =

b)

3 3 4 3 3

3₃ ₃ ₃ ₃ ₈₁

3 = ⋅ = =

c)

3 3

3 2 3

5 1 5 5 25 5 1

= = d)

4₂6

a)

6₄9

b)

30₂12

c)

Solución:

3 2 3 4 6

4₂6 ₌₂ ₌₂ ₌ ₂

a)

3 2 3 6 9

6₄9 ₌₄ ₌₄ ₌ ₄

b)

5 2 5 2 30 12

30₂12 ₌₂ ₌₂ ₌ ₂

c)

(13)

Solución:

4 cm

h

3 cm

Aplicando el Teorema de Pitágoras: h2 =a2 +b2 5

25 4

3

h= 2+ 2 = = (La raíz negativa no es solución valida) La hipotenusa mide 5 cm

38 Calcula las siguientes raíces:

6 64

4 81

3 27

25

) d

) c

b) ) a

Solución:

5 5

25= 2 = y 25= (−5)2 =−5 a)

3 ) 3 (

27 3 3

3₋ ₌ ₋ ₌₋

b)

3 3 81 4 4

4 ₌ ₌ _y4₈₁₌4₍₋₃₎4 ₌₋₃

c)

2 2 64 6 6

6 ₌ ₌ _y6₆₄₌6₍₋₂₎6 ₌₋₂

d)

39 Introduce en la raíz todos los factores: 3

5

a)

4₃

2

b)

6 3

c)

3

2 4

(14)

Solución:

75 3 · 5 3

5 = 2 =

a)

4 4 4

4₃ ₂ _·₃ ₄₈

2 = =

b)

54 6 · 3 6

3 = 2 =

c)

3 3 3

3₂ ₄ _·₂ ₁₂₈

4 = =

d)

40 Expresa en forma de raíz las siguientes potencias de exponente fraccionario: a) 5

3

2 b) 2

1

7 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

c) 5 4

9

Solución: a) 5 5 3

3

2 2 =

b)

7 2 7

2 2 1

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

c) 5 5 4 4

9

9 =

41 Reduce a índice común los siguientes radicales: 3, 5₂

a)

4₅_,6₄

b)

Solución:

10 5

3

3 = , 52 =1022

a)

12 3

4₅ ₌ ₅ _,6₄_?12₄2

b)

42 Expresa como producto de un número entero y un radical los siguientes radicales: 12

a) 45 b)

3₅₄

(15)

Solución:

3 2 3 · 2 12 = 2 = a)

5 3 5 · 3 45 = 2 = b)

3

3 3

3₅₄ ₌ ₂_·₃ ₌₃ ₂

c)

43 Extrae todos los factores posibles de las siguientes raíces: 27

a)

3₃₂

b)

4₁₆₂

c)

192

d)

Solución:

3 3 3 · 3 27 = 2 =

a)

3 3 3 2 2

3₃₂ ₌ ₂ _·₂ _·₂ ₌₂_·₂ ₂ ₌₄ ₂

b)

4

4 4

4₁₆₂ ₌ ₂_·₃ ₌₃ ₂

c)

( )

2 ·3 2 · 3

192 = 3 2 = 3

d)

44 _{El área de un terreno de forma cuadrada es 169}_m2

. ¿Cuánto medirá el perímetro del terreno?

Solución:

El lado del terreno mide 169 =13m (La raíz negativa no es solución válida) El perímetro es: 4⋅13=52 m.

45 Simplifica los siguientes radicales expresándolos previamente en forma de potencia:

6₁₆

a)

12 3

3 b)

10₂₄₃

c)

4 8

(16)

Solución:

2 7 4 8 7 4 8₇ d)

3 2 1 3 10 5 3 10 5₃ 10 243

c)

4 3 4 1 3 12 3 3 12 3₃ b)

3 2₂ 3 2 2 6 4 2 6 4₂ 6 16 a)

= =

= = =

=

= = =

= = = =

46 El número 46 656 es igual al cubo de 36. Calcula la raíz sexta de dicho número y explica cómo lo haces. Solución:

( )

2 3 6

3

6 6 36

46656= = =

( )

6 6 46656 6 6

6 ₌

47 Escribe 3 radicales equivalentes a: 7

a)

5₂3

b)

12₆4

c)

15₃10

d)

Solución:

6 3 12 6 4 2

7 7 7

7 = = =

a)

30 18 15 9

10 6 5 3

2 2

2

2 = = =

b)

18 6 3

6 2 12 4

6 6 6

6 = = =

c)

d) 15310 =332 =936 =1238

48 El volumen de un cubo es 1 000 m3_{. ¿Cuál es el área de una de sus caras?}

Solución:

(17)

49 Escribe 3 radicales equivalentes a:

6₃4

a)

24 6

2 b)

9 6

5 c)

5 3

4 d)

Solución:

18 12 12 8

3 2

6₃4 ₌ ₃ ₌ ₃ ₌ ₃

a)

4 8 2 48 12

24₂6 ₌ ₂ ₌ ₂ ₌ ₂

b)

27 18 18 6

3 2

9₅6 ₌ ₅ ₌ ₅ ₌ ₅

c)

20 12 15 9

10 6

5₄3 ₌ ₄ ₌ ₄ ₌ ₄

d)

15 2 5₂3_, ₇

, 5 a)

15 6

4₉_, ₁₁_, ₁₃

b)

Solución:

0 6 ,15) m.c.m.(4,6

30 ,15) m.c.m.(2,5

60₁₃4 , 60₁₁10 , 60 30₃ 15 13

, 6 11 , 4 9 b)

30 4₇ , 30 18₂ , 30 15₅ 15 2₇

, 5 3₂ , 5 a)

= =

→ →

24₁₁36

a)

18₃12

b)

6₆₂₅

c)

15₂18_·₃12

(18)

Solución:

3 24₁₁36 ₌ ₁₁

a)

3 2 18₃12 ₌ ₃

b)

3 2 6 4 6₆₂₅ ₌ ₅ ₌ ₅

c)

5 6 4

15 18 12

3 2 3

2 ⋅ = ⋅

d)

52 ¿Cuál es la máxima distancia, en línea recta, que podrá recorrer un jugador en un campo de fútbol de 20 m de largo y 15 m de ancho?

Solución:

La máxima distancia corresponde a la diagonal del terreno rectangular.

d 15 m

20 m

Por el teorema de Pitágoras: d= 202+152 = 625 =25 m. La distancia máxima es 25 m

53 Simplifica las siguientes potencias expresándolas previamente en forma radical:

30 15

2 a)

24 6

8 b)

12 8

3

−

c)

18 2

(19)

Solución:

2 2 230 30 15

15 = = a) 4 3 24 18 24 6 24 6 2 2 8

8 = = =

b) 3 2 3 2 12 8 12 8 3 1 3 3

3 = − = − =

− c) 3 18 6 18 2 18 2 3 3 27

27 = = =

d)

54 Extrae factores de las siguientes raíces: 36000 a) 5 7 4 c · b · a b) Solución: 10 60 10 10 · 6 10 · 10 · 6

36000 = 2 2 = =

a) bc c · b · a c · b c · c · b · b · b · a · a c · c · c · b · b · b · a · a c · b ·

a4 7 5 = 2 2 2 2 2 2 = = 2 3 2

b)

55 Introduce todos los factores en las raíces:

3₆ 3 a) 5 3 2 b) 2 1 4 3 c) Solución: 3 3 3

3₆ ₃ _·₆ ₁₆₂

3 = =

a) 5 12 5 3 · 2 5 3 2 2 = = b) 32 9 2 · 4 1 · 3 2 1 4 3 2 2 = = c)

(20)

Solución:

Si la mitad del cuadrado de la distancia es 162, el cuadrado de la distancia es: 2⋅162=324 km. Por tanto la distancia que recorre el ciclista en media hora es: 324 =18km.

En dos horas recorrerá: 18⋅4=72 km.

6 2 4

5 · 3 a)

12 6 9

2 5 b)

Solución:

3 2

6₃2_·₅4 ₌ ₃_·₅

a)

4 2 3 12

6 9

2 5 2 5 ₌

b)

58 Se quiere construir un tablero cuadrado que tenga una superficie de 225 cm2_{y que a su vez contenga 144} casillas iguales. ¿Cuánto medirá el lado de cada casilla?

Solución:

El lado del tablero medirá: 225 =15cm

El número de filas y columnas que tendrá el tablero será: 144 =12 Por tanto el lado de cada casilla medirá: 15:12=1,25 cm.

59 ¿Cómo se puede extraer la raíz séptima de 1 280 000 000?

Solución:

20 5 · 2 · 2 5 · 2 · 2 5 · 2

1280000000 7 14 7 5 7 7 7

7 ₌ ₌ ₌ ₌

60 Extrae de la raíz todos los factores posibles:

3₆₂₅

a)

4₂₈₈

b)

3₄₃₂

(21)

Solución:

3 3 3

3₆₂₅ ₌ ₅ _·₅ ₌₅ ₅

a)

4 4 2 4 4 2

4₂₈₈ ₌ ₂ _·₃ _·₂ ₌₂ ₃ _·₂ ₌₂ ₁₈

b)

3 3 3 3 3

3₄₃₂ ₌ ₂ _·₃ _·₂ ₌₂_·₃ ₂ ₌₆ ₂

c)

4 3 6 3₆_, ₂_, ₅

a)

5 4 4 3

2 , 3 , 2 b)

Solución:

( )

12 3 2 4 3

12 2 6

12 4

3₆ ₌ ₆ _, ₂ ₌ ₂ _, ₅ ₌ ₅

a)

( )

20 16

20 4 4 5 4

20 5 4

20 10 3

2 2

2 , 3 3 , 2

2 = = = =

b)

62 El área de un cuadrado es 4096 cm2_{. ¿Cuánto medirá el perímetro de otro cuadrado cuyo lado es la raíz} cúbica del lado del primero?

Solución:

El lado del primer cuadrado mide: 4096 =64cm. El lado del segundo cuadrado es: 364 =4 cm Por tanto, su perímetro medirá: 4⋅4=16cm.

63 Extrae factores de los siguientes radicales: 300

a)

8 125 b)

3

(22)

Solución: 3 10 3 5 · 2 3 · 5 · 2

300 = 2 2 = =

a) 2 5 2 5 2 · 2 5 · 5 8 125 2 2 = = b) 3 3 3 3 3 3 3 ₂ 4 3 2 2 · 2 3 2 · 2 2 · 3 64

54 ₌ ₌ ₌

c)

64 Ordena de menor a mayor los siguientes radicales: 7 , 6 , 5 4 3 a) 30 15

12₃_, ₂₇_, ₈₁

b) Solución: 60 15,30) m.c.m.(12, 12 ) 2 , 4 , 3 .( m . c . m 15 27 30 81 12 3

60 12₃ 60 8₃

60 5₃

60 8₃ , 60 12₃ , 60 5₃ 30 4₃

, 15 3₃ , 12 3 30 81 , 15 27 , 12 3 b) 7 3 5 4 6 12 6₇ 12 4₅

12 3₆ 12 6₇

, 12 3₆ , 12 4₅ 7 , 4 6 , 3 5 a) = = < < → < < → → → → < < → < < → →

65 Extrae factores de los siguientes radicales: 36000 a) 3₂₇₀₀₀₀ b) 4_8100000 c) Solución: 10 60 10 10 · 6 10 · 10 · 6

36000 = 2 2 = =

a)

3

3 3 3

3₂₇₀₀₀₀ ₌ ₃ _·₁₀ _·₁₀ ₌₃_·₁₀ ₁₀

b)

4

4 4 4

4_8100000 ₌ ₃ _·₁₀ _·₁₀ ₌₃_·₁₀ ₁₀

c)

(23)

Solución:

La edad de Pedro es: 327=3 años Dentro de 9 años, Juan tendrá 27+9=36. Por tanto, María tendrá 36 =6 años

Las edades de María y de Pedro son 6 y 3 años respectivamente

67 Expresa en forma de raíz las siguientes potencias: a) 4

1

3−

b) 5

2

8 3 −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

Solución:

a) 4 4 1 4

1

3 1 3

3− = − =

b) 5

2 5

2

3 8 3

8 8

3 _⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ −

68 Reduce a índice común y luego realiza las siguientes multiplicaciones:

6 4₃_· ₆_· ₂

a)

3 4 12₉_· ₃_· ₂

b)

Solución:

48 8 · 6 8 ·

6 = =

a)

3 3 3

3₄_· ₅ ₌ ₄_·₅ ₌ ₂₀

b)

3 3

3

3₁₆_: ₈ ₌ ₁₆_:₈ ₌ ₂

c)

3 3

3

3₁₈_: ₆ ₌ ₁₈_:₆ ₌ ₃

d)

69 Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales:

6 : 10 d

3 5 : 3 625 c

3 12 3 9 b

2 8 a

)

(24)

Solución:

3

5

6

10

6 :

10 d)

5 3 125

3

5

625 3 5

:

3 625

c)

3 108

3 ₉

₁₂

3 12

3 9

b)

4

16

2

8

2

8 a)

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

70 Realiza las siguientes divisiones de radicales reduciendo previamente a índice común:

6₂₇

: 3 a)

3 9₃₂_: ₂

b)

6 4₃₆_: ₆

c)

Solución:

1 27 : 27 27 : 3 27 :

3 6 = 6 3 6 =6 =

a)

9 9

9 3 9

3

9₃₂_: ₂ ₌ ₃₂_: ₂ ₌ ₃₂_:₈ ₌ ₄

b)

( )

12 4 3

12 2 3 2 12 2

12 3 6

4₃₆_: ₆ ₌ ₃₆ _: ₆ ₌ ₆ _:₆ ₌ ₆ ₌ ₆

c)

71 Realiza las siguientes sumas y restas de radicales:

3 2 3

3₄ ₊₆ ₄ ₋₇ ₂

a)

50 4 2 8− + b)

Solución:

(

1 6 7

)

4 0 4 0 2

7 4 6

4 3 3 2 3 3

3 ₊ ₋ ₌ ₊ ₋ ₌ ₌

a)

(

2 1 20

)

2 21 2 2

5 · 4 2 2 2 2 · 5 4 2 2 · 2 50 4 2

8− + = 2 − + 2 = − + = − + =

b)

72 Calcula:

(

2 +3 2

)

· 6

a)

3 3

3₅_· ₂ ₋₂ ₁₀

(25)

Solución:

(

2+3 2

)

· 6 =4 2· 6 =4 12=4 22·3 =4·2 3 =8 3 a) 3 3 3 3 3

3₅_· ₂₋₂ ₁₀ ₌ ₁₀₋₂ ₁₀₌₋ ₁₀

b)

73 Expresa primero en forma radical y luego calcula:

4 1 4 1 2 · 9 a) 3 1 3 2 4 · 5 b) 5 3 5 2 4 : 16 c) 4 1 4 3 5 : 10 d) Solución: 4 4 4 4 1 4 1 18 2 · 9 2 ·

9 = =

a) 3 3 3 2 3 1 3 2 100 4 · 5 4 ·

5 = =

b)

( )

5

5 2 2 3

5 3 5 2 5 3 5 2 4 4 : 4 4 : 16 4 :

16 = = =

c)

4 4 3 2 4 3 3

4 4 3 4 1 4 3 200 5 · 2 5 : 5 · 2 5 : 10 5 :

10 = = = =

d)

74 Realiza las siguientes sumas de radicales: 2 2 16 2 5 2

8 + − −

a)

50 18

8− +

b)

Solución:

(

8 5 18 1

)

2 6 2 2 2 16 2 5 2

8 + − − = + − − =−

a)

(

2 3 5

)

2 4 2 2 5 2 3 2 2 2 · 5 2 · 3 2 · 2 50 18

8− + = 2 − 2 + 2 = − + = − + =

b)

75 Realiza las siguientes divisiones con radicales:

3 1 3₆_:₂

(26)

Solución: 3 3 3 3 3 1

3₆ _:₂ ₌ ₆_: ₂ ₌ ₆_:₂ ₌ ₃

a) 2 2 32 2 : 64 2 : 4 2 : 4 2 :

45 5 5 3 5 5 3 5 5 5 5

3 = = = = = = b)

76 _{¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuya área es 32}_cm2_{? Realiza las operaciones utilizando potencias}

de exponente fraccionario.

Solución:

El lado de cuadrado es: ₃₂= ₂5 =₂52_cm

El perímetro del cuadrado es: 2 92 5 2 2 5 2 2 5 2 2 2 2 2

4⋅ = ⋅ = + = cm

77 Reduce a índice común y luego realiza las siguientes multiplicaciones:

6 4₃_· ₆_· ₂

c)

3 4 12₉_· ₃_· ₂

d)

Solución:

( )

12 9 8

12 3 6 2

12 3 6 2 12 2

12 6 12 3 6

4₃_· ₆_· ₂ ₌ ₃ _· ₆ _· ₂ ₌ ₃ _·₆ _·₂ ₌ ₃ _·₂_·₃ _·₂ ₌ ₃ _·₂

a)

12 5 6 12 2 3 6

12 6 12 3 12 2 3

4

12₉_· ₃_· ₂ ₌ ₃ _· ₃ _· ₂ ₌ ₃ _·₃ _·₂ ₌ ₃ _·₂

b)

78 Expresa primero en forma radical y luego divide:

3 2 3 1 3 : 36 a) 4 1 4 3 9 : 9 b) 5 2 5 3 10 : 10 c) Solución: 3 3 3 2 3 3 2 3 1 4 9 : 36 3 : 36 3 :

36 = = =

a) 4 4 2 4 3 4 4 3 4 1 4 3 81 9 9 : 9 9 : 9 9 :

9 = = = =

b)

5

5 3 2

5 2 5 3 5 2 5 3 10 10 : 10 10 : 10 10 :

10 = = =

(27)

79 Reduce primero a índice común y luego multiplica:

4₃

· 5 a)

4 3₆_· ₂

b)

2 · 3

6

c)

Solución:

4 4 2 4

4 2

4₃ ₅ _· ₃ ₅ _·₃ ₇₅

·

5 = = =

a)

12 12 4 3 12 3

12 4 4

3₆_· ₂ ₌ ₆ _· ₂ ₌ ₆ _·₂ ₌ ₁₀₃₆₈

b)

6

6 3

6 3 6

6₃_· ₂ ₌ ₃_· ₂ ₌ ₃_·₂ ₌ ₂₄

c)

80 Calcula las siguientes sumas y restas, convirtiendo previamente los radicales en semejantes:

75 27 3 12 4 ) b

7 5 7 10 7 3 )

a 3 3 3

+ −

− +

Solución:

(

)

(

8 9 5

)

3 4 3

3 5 3 9 3 8 3 2 5 3 2 3 3 3 2 2 4 75 27 3 -12 4 b)

3 7 8 3 7 5 -10 3 3 7 5 -3 7 10 3 7 3 a)

= ⋅ + − =

= + − = ⋅ + ⋅ − ⋅ =

+

= ⋅ + = +

81 En una habitación se quieren colocar 3 mesas cuadradas de 2 m2_{cada una y 2 mesas, también cuadradas,} de 8 m2_{cada una. Puestas una a continuación de otra, ¿qué longitud ocuparán todas las mesas?}

Solución:

El lado de cada mesa de 2 m2_es:_l= ₂_m

El lado de cada mesa de 8 m2_es:_l= ₈_m

Por tanto, la longitud de todas las mesas es: 3⋅ 2 +2⋅ 8=3⋅ 2 +2⋅ 22⋅2=3⋅ 2 +4⋅ 2 =7⋅ 2 m

82 Un abuelo tiene el cuadrado del cubo de la edad de su nieto. ¿Cuál será la edad de su nieto si tiene 64 años?

Solución:

(28)

83 Calcula:

El cuadrado de la raíz cúbica de 27. a)

La raíz cuadrada de la raíz cuarta de 256. b)

El cubo de la raíz cuadrada de 15. c)

La raíz cúbica de la raíz cuadrada de 12. d)

Solución:

( )

27 3 32 9

2 3 3 2

3 _⎟ ₌ ₌

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a)

2 2 256

256 8 8 8

4 ₌ ₌ ₌

b)

( )

15 3 = 153 = 3375 c)

6 3

12 12 = d)

84 Halla en la forma más simplificada posible el resultado de las siguientes divisiones:

8₂₅

: 5 a)

10 4 2

6 : 6 b)

Solución:

4 8 2

8 4 2

8 2 8 4

8₂₅ ₅ _: ₅ ₅ _:₅ ₅ ₅

:

5 = = = =

a)

( )

20 2 20 10 2 20 8 5 2 5

20 2 5 10

4₆2 _: ₆ ₌ ₆ _: ₆ ₌ ₆ _:₆ ₌ ₆ ₌ ₆ ₌ ₃₆

b)

85 _Calcula: ₂_·3₂ ₊6₄_·3₂

Solución:

6 6

6

6 2

6 3 2 6 2

6 6 2 6 3 3

6

3₂ ₄_· ₂ ₂ _· ₂ ₄_· ₂ ₂ _·₂ ₄_·₂ ₃₂ ₃₂ ₂ ₃₂

·

2 + = + = + = + =

86 Calcula:

(

14 : 7

)

· 28

4

a)

(

3₉_·3₃

)

: 9 b)

Solución:

(

)

4 4 4 2 2 4 4

4₂₈_· ₁₄_: ₇ ₌ ₂₈_· ₁₄_:₇ ₌ ₂₈_· ₂ ₌ ₂₈_· ₂ ₌ ₂₈_·₄ ₌ ₁₁₂

a)

(

9· 3

)

9: 9·3 9 : 27 729: 729 1

:

9 3 3 = 3 =6 3 6 2 =6 6 =

(29)

87 Calcula las siguientes sumas y restas, convirtiendo previamente los radicales en semejantes: 180

80 45

5+ − +

a) 49 75 48+ b) Solución:

(

)

3 7 33 3 7 5 4 3 7 5 3 4 2 7 3 2 5 3 4 2 5 6 5 6 4 3 1 5 6 5 4 5 3 5 5 2 3 2 2 5 4 2 5 2 3 = ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = ⋅ + ⋅ = + = ⋅ + − + = + − + = = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + = + + 49 75 48 b) 5 180 80 -45 5 a) 88 Calcula: ( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

a)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

b)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

c)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

d)

Solución: ( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3

a)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3

b)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3

c)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3

d)

89 Calcula las siguientes multiplicaciones de radicales simplificando el resultado cuando sea posible: ( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

a)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

(30)

Solución: ( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3

a)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3

b)

90 Realiza las siguientes sumas de radicales: ( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

a)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

b)

Solución:a) 4:9( )832=4:9823=829:823=892:32=8:819=89=923=43

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3

b)

91 Estudia si la siguiente expresión da como resultado un número entero:4:9( )832=48:932=892:832=8923:2=8:819=89=932=43

Solución:4:9( )832=4:9823=892:823=892:32=8189:=89=392=43

Sí es un número entero.

92 La medida de los lados de un rectángulo es 3 y 5. Calcula: La medida de la diagonal.

a)

La suma y la diferencia de las dos diagonales. b)

El producto y el cociente de las dos diagonales. c)

Solución:a) 4:9( )832=4:9823=829:823=892:32=8:819=89=923=43

Suma de las diagonales: 4:9( )832=4:9823=892:823=892:32=8189:=89=392=43

b)

Diferencia: 4:9( )832=4:9823=892:823=8923:2=8819:=98=932=43

Producto: 4:9( )832=48:932=892:832=8923:2=8:819=89=932=43

c)

Cociente: 4:9( )832=48:932=892:832=8:9232=8:819=89=932=43

(31)

Solución: ( )2482828282288924

8

(32)

94 Calcula: ( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

a)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

(33)

Solución: ( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3

a)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3

b)

(34)

Solución: ( )2482828282288924

8

(35)

96 Realiza las siguientes operaciones: ( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

a)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

(36)

Solución: ( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3

a)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3

b)

(37)

Solución:

La diagonal de un cuadrado de lado 1 cm es 4:9( )832=4:9382=892:823=8923:2=8819:=98=932=43 .

(38)

98 Realiza las siguientes sumas de radicales: ( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

a)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

(39)

Solución: ( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3

a)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3

(40)

(41)

Solución: ( )2482828282288924

8

(42)

10 0

Halla el resultado de las siguientes operaciones con radicales: ( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

a)

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=819:=9=3=3

b)

Solución:a) 4:9( )832=4:9823=829:823=892:32=8:819=89=923=43

( )2482828282288924

8

4:93=:93=9:3=9:3=:819=9=3=3