Tema 3. Interpolaci´on.
Polinomios interpoladores; diferencias divididas y operadores de diferencias sucesivas.
Aproximaci´
on de derivadas con diferencias.
Interpolar a trozos y otras formas de aproximar una funci´on.
Notaciones y sobreentendidos:
P ol
n=
{
polinomios de grado
≤
n
}
.
Llamaremos
p
nal polinomio de Taylor “de grado
n” de
f
en
x0
(que puede tener grado
< n).
En cada momento supondremos que
f
tiene derivadas continuas hasta el orden que requieran
los argumentos usados, si no se especifica otra cosa.
Venimos usando la notaci´on
a
(
x
)
≈
b
(
x
)
como abreviatura de
a
(
x
)
/b
(
x
)
→
1
.
Para abreviar la afirmaci´on
a
(
x
)
/b
(
x
)
→
0
usaremos la notaci´
on
a
(
x
) =
o
(
b
(
x
) )
.
Naturalmente, ambas se afirman
“ para
x
→
. . .
”
, pero eso queda a veces sobreentendido;
por ejemplo si decimos:
“
n
k=
o
(
e
n) ,
∀
k
”
, est´a claro que queremos decir “cuando
n
→ ∞
”;
y cuando sucede, como en
ii)
a continuaci´on, que
b
(
x
)
→
0
cuando
x
→
x0
, cabe poca duda
de que nos referimos a eso: estamos diciendo que
a
(
x
)
→
0 a´un m´as deprisa.
El polinomio de Taylor.
PROPOSICION:
Dada
f
con derivadas continuas hasta orden
n
, y un punto
x0
∈
IR
, hay un ´
unico polinomio
p
∈
P ol
nque cumple
i)
p
k)(
x0
) =
f
k)(
x0
) , para
k
= 0
, . . . , n
ii)
f
(
x
)
−
p
(
x
) =
o
(
|
x
−
x0
|
n) , cuando
x
→
x0
Probemos primero:
LEMA 1:
Todo
p
∈
P ol
nse puede escribir en la forma
p
(
x
) =
!
kn=0a
k(
x
−
x0
)
k, con ciertos
a
k.
Prueba del LEMA 1
:
Si
n
= 0 ,
p
(
x
) =
a0
.
Si
n >
0 , usamos la idea clave de este Tema: la divisi´on con resto del polinomio
p
(
x
) por (
x
−
x0
) :
p
(
x
) =
p
(
x0
) +
q
(
x
)(
x
−
x0
) , con
q
∈
P ol
n−1;
por recurrencia sobre
n
,
q
se puede escribir en la forma del enunciado, luego
p
tambi´en.
!
Prueba de la PROPOSICION
:
La igualdad del LEMA 1
⇒
p
k)(
x0
) =
a
k
k
! , luego los coeficientes
a
k=
f
k)(
x0
)
/k
! , y s´olo ellos, dan
el polinomio que cumple
i)
, y al que llamamos el
polinomio de Taylor de
f
en
x0
:
p
n(
x
) =
n"
k=0f
k)(
x0
)
(
x
−
x0
)
kk
!
Si hubiese dos polinomios
p, p
+
d
∈
P ol
nque cumplen
ii)
, su diferencia ser´ıa
d
(
x
) =
o
(
|
x
−
x0
|
n) , por
ser
d
= (
p
+
d
−
f
)
−
(
p
−
f
) ; pero tambi´en
d
(
x
) =
!
nk=0a
k(
x
−
x0
)
k≈
a
m(
x
−
x0
)
msi
m
es el primer coeficiente no nulo de esa suma, lo que contradice lo anterior, e implica que
d
(
x
)
≡
0 .
S´olo falta probar que el
p
n(
x
) dado arriba cumple
ii)
, pero eso es lo que afirma el siguiente Lema.
!
LEMA 2
(Resto integral de Taylor): El polinomio
p
ndado arriba cumple
f
(
x
)
−
p
n(
x
) =
#
x x0f
n+1)(
s
)
(
x
−
s
)
nn
!
ds
=
o
(
|
x
−
x0
|
n)
Prueba del LEMA 2
:
n
= 0 : Como
p0
(
x
) es la constante
f
(
x0
) , la afirmaci´on es:
f
(
x
)
−
f
(
x0
) =
$
x0xf
"(
s
)
ds
.
n >
0 : Integrando por partes la integral
I
ndel enunciado, y usando recurrencia para
I
n−1,
I
n=
−
f
n)(
x0
)
(
x
−
x0
)
nn
!
+
I
n−1=
f
(
x
)
−
p
n−1(
x
)
−
f
n)
(
x0
)
(
x
−
x0
)
nPor otro lado,
−
#
x x0n
(
x
−
s
)
n−1ds
= (
x
−
x0
)
n⇒
I
n=
#
x x0f
n)(
s
)
−
f
n)(
x0
)
n
!
n
(
x
−
s
)
n−1ds
y dado
ε >
0 , por ser
f
n)continua, hay alg´un
δ
tal que
|
x
−
x0
|
< δ
⇒
%
%
%
%
f
n)(
s
)
−
f
n)(
x0
)
n
!
%
%
%
%
< ε ,
luego acotando por
ε
ese factor en la integral,
|
I
n|
< ε
|
x
−
x0
|
n. Es decir,
I
n=
o
(
|
x
−
x0
|
n) .
Un detalle t´ecnico: Si s´olo suponemos, como en el enunciado de la PROPOSICION, que
f
es
C
n, no podemos llegar con el LEMA hasta la
I
n
, que utiliza la siguiente derivada.
Pero si usamos en ese caso
I
nsimplemente como
el nombre de la expresi´on
I
n=
−
f
n)(
x0
)(
x
−
x0
)
n/n
! +
I
n−1con
I
n−1definido como antes, todo el argumento que acabamos de hacer sigue en pie.
•
Usar el algoritmo de Horner para dividir reiteradamente
f
(
x
) = 1
−
x
−
x
2+
x
3por
x
−
1
.
Hallar de ese modo el desarrollo de
f
en potencias de
x
−
1
, y observar lo siguiente:
Para cada
k >
0 , el polinomio
p
k(
x
) de
f
en
x0
= 1 es el resto de dividir
f
(
x
) por (
x
−
x0
)
k+1.
Probar que eso se cumple para cada polinomio
f
y cada punto
x0
.
•
El siguiente es un ejemplo de c´omo la caracterizaci´on
f
(
x
)
−
p
n(
x
) =
o
(
|
x
−
x0
|
n)
de los
polinomios de Taylor ayuda a calcularlos:
Si
p
n, q
nson los polinomios de Taylor en
x0
= 0
de dos funciones
f, g
, probar
1que
f g
−
p
nq
n=
o
(
|
x
|
n)
En consecuencia, el polinomio
r
nque queda al suprimir en
p
nq
nlos t´erminos de grado mayor
que
n
es el de Taylor (de grado
n) de
f g
. Aplicar la idea por ejemplo a
f
(
x
) = sen(
x
) cos(
x
)
con
n
= 4
, y verificar el resultado
2. Probar tambi´en que
F
(
x
)
−
F
(0)
−
$
0xp
n(
s
)
ds
=
o
(
|
x
|
n+1)
, si
F
"(
x
) =
f
(
x
)
Deducir la relaci´on que hay entre los desarrollos de Taylor de
f
y de
F
, y usarla para calcular
el de
F
(
x
) = log(1 +
x
)
, partiendo de
f
(
x
) = 1
/
(1 +
x
) = 1 +
x
+
x
2+
. . .
.
E 3.1
EJ EMP LO PARA TRABAJAR HAST A LA CLASE SIGUIE NT E 1[
•
∗] Para otras funciones derivables, probar el siguiente an´alogo de lo dicho arriba para los polinomios:
La igualdad
f
(
x
) =
q
(
x
) (
x
−
x0
)
k+1+
r
(
x
)
, con
r
∈
P ol
k
=
{
polinomios de grado
≤
k
}
y
q
(
x
)
continua,
se cumple para
r
=
al polinomio de Taylor
p
kde
f
en
x0
, y s´
olo para ´el.
1Indicaci´on: f g−p
nqn= (f−pn)g+ (g−qn)pn.
2El mismo tipo de argumento permitecomponer desarrollos para hallar el deg◦f , etc. VerSanz-Serna, Cap.2, en particular los Problemas 2.1.1, .3, .7, .8.
Polinomios interpoladores.
PROPOSICION:
+
DEFINICION:
Dados puntos
x0, . . . , x
ndistintos
, y valores
f
i, hay un ´unico
p
∈
P ol
nque cumple
∀
i, p
(
x
i) =
f
i.
Si
f
i=
f
(
x
i) , llamamos a
p
el
polinomio interpolador
P
n=
P[
x0,...,xn]de
f
en esos puntos.
Prueba:
Si llamamos
p
(
x
) =
a0
+
a1x
+
. . .
+
a
nx
nal polinomio buscado, las ecuaciones
p
(
x
i) =
f
ison un SEL
en los coeficientes
a
j; dicho de otro modo, buscamos
p
∈
P ol
nque la funci´on
φ
:
p
∈
P ol
n→
φ
(
p
) = (
p
(
x
i) )
∈
IR
n+1aplique en el (
f
i) dado. Como el SEL tiene matriz cuadrada (los espacios dominio e imagen de
φ
tienen
igual dimensi´on), la existencia de soluci´on equivale a la unicidad, y a que s´olo el 0
∈
P ol
nresuelva el
problema para (
f
i) = 0 ; pero eso es cierto, por el LEMA que sigue:
!
LEMA 3:
Un polinomio
p
∈
P ol
ns´olo puede anularse en
n
+ 1 puntos distintos
x0
< x1
< . . . < x
nsi es
≡
0 .
Dos Pruebas
3:
1. Por el TVM hay entre cada dos
x
iun
ξ
donde
p
"(
ξ
) = 0 , luego
p
"∈
P ol
n−1se anula en
n
puntos
distintos. Por recurrencia,
p
"≡
0 , lo que junto con
p
(
x0
) = 0 implica
p
≡
0 .
2. La igualdad
p
(
x
) =
p
(
x0
) + (
x
−
x0
)
q
(
x
) , junto con
p
(
x
i) = 0 implica que el cociente
q
∈
P ol
n−1se
anula en los
n
puntos
x
i,
i >
0 . Por recurrencia,
q
≡
0 , luego
p
≡
0 .
Pero ¿qu´e significar´a
hallar
ese polinomio? Varias respuestas son posibles, por ejemplo:
•
Dados
valores
f
i=
f
(
x
i)
,
calcular los valores
a
ide los coeficientes; o sea, resolver el SEL.
La matriz de este SEL, con entradas
v
ij=
x
ji−1, se llama de
Vandermonde
, y lo que hemos probado
implica que es regular.
•
Dar una
expresi´on
de
P
n(
x
)
, con los
x
i, f
icomo par´
ametros.
Por ejemplo la de
Lagrange
, que se obtiene as´ı: el polinomio
W
(
x
) = (
x
−
x0
)
· · ·
(
x
−
x
n)
tiene en cada
x
kdesarrollo de Taylor
W
(
x
) =
W
"(
x
k)(
x
−
x
k) +
o
(
|
x
−
x
k|
), luego el polinomio
W
k(
x
) =
W
(
x
)
/
(
x
−
x
k) toma en
x
kel valor
W
"(
x
k) y se anula en los dem´as
x
i. En consecuencia,
el
polinomio de Lagrange
L
k(
x
) =
W
k(
x
)
/W
"(
x
k)
toma valores
L
k(
x
i) =
δ
ik, y la suma
P
n(
x
) =
!
if
iL
i(
x
)
resuelve el problema para los datos
f
i. Resulta inmediatamente de su definici´on, y de la igualdad
φ
(
L
k) =
e
k(el vector unidad de
IR
n+1) , que los
L
kson de grado =
n
y forman una base de
P ol
n.
•
Dar un
algoritmo que use los valores
x, x
i, f
i=
f
(
x
i)
para producir
P
n(
x
) .
Las dos versiones anteriores se pueden traducir en algoritmos, pero veamos otro mejor:
De la igualdad
p
(
x
) =
f
(
x0
) + (
x
−
x0
)
q
(
x
) , junto con las otras
p
(
x
i) =
f
(
x
i) , se deduce que
f
(
x
i) =
f
(
x0
) + (
x
i−
x0
)
q
(
x
i) , es decir
q
(
x
i) = (
f
(
x
i)
−
f
(
x0
) )
/
(
x
i−
x0
) , para
i
= 1
, . . . , n
que es un problema como el inicial, para
q
∈
P ol
n−1. Esto se traduce en el siguiente algoritmo
recursivo, que usa los valores
x
i, f
i=
f
(
x
i) :
Para
k
= 0
, . . . , n
:
b
k=
f
k,
f
i:= (
f
i−
b
k)
/
(
x
i−
x
k)
para
i > k
y produce los coeficientes
b
kdel polinomio
P
nen su
forma de Newton:
P
n(
x
) =
b0
+ (
x
−
x0
)
b1
+ (
x
−
x0
)(
x
−
x1
)
b2
+
. . .
en la que cada suma parcial
b0
+ (
x
−
x0
)
b1
+
. . .
+ (
x
−
x0
)
· · ·
(
x
−
x
k−1)
b
kresuelve el mismo problema para los puntos
x0, . . . , x
k, y coincide por lo tanto con el
P
k=
P[
x0,...,xk].
Llamamos a
b
k, que es el coeficiente de
x
ken
P
k, la
diferencia dividida
f[
x0,...,xk].
3La Prueba 2. vale tambi´en si losn+ 1 ceros son complejosz
Observaciones:
•
La definici´on de la Diferencia Dividida
f[
x0,...,xk]implica que ser´a la misma si cambiamos el orden
de los puntos
x0, . . . , x
ken la formulaci´on del problema.
•
Todos los
f
i:= (
f
i−
b
k)
/
(
x
i−
x
k) ,
i > k
producidos en la etapa
k
del algoritmo son tambi´en
Diferencias Divididas, porque cualquiera de ellos ser´ıa
b
k+1si el punto
x
ihubiese aparecido tras el
x
ken la lista. Es decir, su valor es
f[
x0,...,xk,xi].
•
En vez de seguir la recursi´on “de fuera hacia dentro” con la que hemos llegado a ´el, el algoritmo
se puede reordenar de modo que refleje el car´acter de
desarrollo
de la forma de Newton; basta con
introducir los datos
x
k, f
ken el esquema
tras haber completado el c´alculo de los
b
ianteriores:
Para cada
k
,
b
k=
f
k, y para
i
= 0
, . . . , k
−
1
,
b
k:= (
b
k−
b
i)
/
(
x
k−
x
i)
.
Es decir:
b0
=
f0
;
b1
=
f1
−
b0
x1
−
x0
;
b2
=
f2−b0 x2−x0−
b1
x2
−
x1
;
b3
=
f3−b0 x3−x0−b1 x3−x1−
b2
x3
−
x2
;
. . .
lo que da
b
kcomo una “divisi´on anidada” por los factores
x
k−
x
i, con coeficientes
b
i,
i < k
.
PROPOSICION:
Se tienen las identidades
(1)
P
k(
x
)
−
P
k−1(
x
) =
f
[
x0, . . . , x
k] (
x
−
x0
)
· · ·
(
x
−
x
k−1)
(2)
(
x
k−
x0
)
P
k(
x
) = (
x
k−
x
)
P
k−1(
x
) + (
x
−
x0
)
P[
x1,...,xk]Prueba:
(1) es la observaci´on ya hecha sobre la forma de Newton, pero puede probarse directamente as´ı: ambos
lados son de grado
k
, nulos en
x0, . . . , x
k−1, y con igual coeficiente de
x
k.
(2) es cierto porque ambos lados son de grado
k
, y con iguales valores en
x0, . . . , x
k.
De (2) sale una nueva recurrencia para las
diferencias divididas
f
[
x0, . . . , x
k] , que ser´a muy ´util en
el caso de puntos equiespaciados
x
k=
x0
+
kh
, y que es la que se encuentra normalmente en los libros:
(DD)
(
x
k−
x0
)
f
[
x0, . . . , x
k] =
f
[
x1, . . . , x
k]
−
f
[
x0, . . . , x
k−1]
•
El determinante de
Vandermonde
con entradas
v
ij=
x
ji−1vale
d
n=
&
i<k≤n(
x
k−
x
i)
.
Probarlo de este modo: desarrollando por la ´
ultima columna y mirando
x
ncomo variable,
d
nes un polinomio en
x
n, nulo si
x
n=
x0, . . . , x
n−1, y con t´ermino principal
d
n−1x
nn; razonar
todo eso y reducir por recurrencia la afirmaci´
on al caso
d1
=
x1
−
x0
.
•
Para los puntos
x0
,1,2= 0
,
1
,
−
1
, y cada una de las funciones
f
(
x
) =
x,
x
2,
x
3,
1
/
(2
x
+ 1)
,
1
/
(1 + 9
x
2)
hallar
4polinomios interpoladores
P[0
,1]
,
P[0
,1,−1], y comparar sus gr´
aficas con la de
f
.
Razonar por qu´e
P
nno depende del orden en que se dan
los puntos
x
i, y por qu´e
P
n≡
f
si
f
es un polinomio de grado
≤
n
.
Para esos mismos puntos, hallar los polinomios de
Lagrange
L
i. Hacerlo primero a ojo, con
las condiciones
L
i(
x
j) =
δ
ij; luego, utilizando la funci´
on
W
(
x
) = (
x
−
x0
)
· · ·
(
x
−
x2
)
.
E 3.2
EJ EMP LO PARA TRABAJAR HAST A LA CLASE SIGUIE NT E 1[
•
∗] Adaptar al siguiente problema el argumento usado para probar la existencia y unicidad de
P
n
: se
trata de probar que cada ecuaci´on de recurrencia
f
(
n
)
−
f
(
n
−
1) =
q
(
n
) ,
f
(0) =
c
, con
q
∈
P ol
dtiene un polinomio
p
∈
P ol
d+1como soluci´on.
Idea: la funci´
on lineal
p
→
(
q, c
)
, con
q
(
x
) =
p
(
x
)
−
p
(
x
−
1)
,
c
=
p
(0)
.
•
Deducir de lo anterior que
S
(
n
) =
!
n1k
des un polinomio, explicar qu´e problema de interpolaci´on
resuelve, y usar la idea para hallar, en la forma de Newton, la suma
S2
(
n
) =
n
"
1k
2Se puede simplificar este c´alculo, porque sabemos cu´al debe ser el t´ermino principal de
S2
. ¿Cu´al es y
c´omo probarlo?
Igual que el polinomio de Taylor, los polinomios interpoladores
P
npretenden
aproximar
la
funci´on
f
de la que toman sus datos. Procede por lo tanto estudiar el “resto”
f
(
x
)
−
P
n(
x
)
.
Esa diferencia se anula en los puntos
x
i, luego su gr´afica ser´
a “como una onda”, . . . y eso
explica que se llame
nodos
5de la interpolaci´on a los puntos
x
i
.
Relaci´on con las derivadas de
f
.
PROPOSICION:
(1)
f
(
x
)
−
P
n(
x
) =
f
[
x0, . . . , x
n, x
]
W
(
x
) , con
W
(
x
) = (
x
−
x0
)
· · ·
(
x
−
x
n) .
(2) En el menor intervalo
J
que contenga a
x0, . . . , x
n, hay alg´un
ξ
para el que se tiene
f
n)(
ξ
) =
n
!
f
[
x0, . . . , x
n
] .
Prueba:
(1) Coincide con el (1) de la PROPOSICION anterior, si tomamos ese punto
x
como siguiente nodo.
(2) Como
f
−
P
nse anula
n
+ 1 veces en
J
, el TVM implica por inducci´on sobre
k
que (
f
−
P
n)
k)se
anula al menos
n
+ 1
−
k
veces en
J
; pero
P
nn)es la constante
n
!
f
[
x0, . . . , x
n] .
La afirmaci´on (2) es la que hace que (1) sea algo m´as que una tautolog´ıa:
si tenemos informaci´on sobre
f
n+1): cotas, valor aproximado en
J
, signo, . . . , la igualdad
(1)+(2):
f
(
x
)
−
P
n(
x
) =
f
n+1)(
ξ
)
W
(
x
)
/
(
n
+ 1)! , para alg´un
ξ
∈
J
traslada esa informaci´on al resto
f
(
x
)
−
P
n(
x
) .
Pero tambi´en podemos ver (2) como una estimaci´on de
f
n)en
J
, ´util si esa derivada no
cambia mucho en ese intervalo
(veremos m´as sobre esto m´
as adelante).
El caso de nodos equiespaciados
x
k=
x0
+
kh
, y los operadores de diferencias sucesivas.
Si en ese caso redefinimos el operador diferencia que ya usamos anteriormente como
∆
f
(
x
) =
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
) ,
y sus potencias: ∆
kf
= ∆(∆
k−1f
) ,
tenemos la identidad siguiente:
f
[
x0, . . . , x
k] =
∆
kf
(
x0
)
k
!
h
kque resulta por recurrencia de la igualdad (DD), si observamos que
x
k−
x0
=
kh
:
kh f
[
x0, . . . , x
k] =
f
[
x1, . . . , x
k]
−
f
[
x0, . . . , x
k−1] =
∆
k−1f
(
x1
)
−
∆
k−1f
(
x0
)
(
k
−
1)!
h
k−1Si tomamos adem´as la nueva variable
s
dada por
x
=
x0
+
sh
, y observamos que
(
x
−
x0
)
· · ·
(
x
−
x
k−1) =
h
ks
(
s
−
1)
· · ·
(
s
−
k
+ 1) ,
la forma de Newton de
P
nse convierte en:
P
n(
x0
+
sh
) =
n"
k=0∆
kf
(
x0
)
k
!
s
(
s
−
1)
· · ·
(
s
−
k
+ 1) =
n"
k=0'
s
k
(
∆
kf
(
x0
)
donde hemos usado adem´as esta notaci´on, que extiende
∀
s
∈
IR
la del coeficiente binomial:
'
s
k
(
=
s
(
s
−
1)
· · ·
(
s
−
k
+ 1)
k
!
Comentarios:
•
Esta f´ormula para
P
n(
x0
+
sh
) , en la que no aparecen expl´ıcitamente
h
ni los
x
i,
i >
0 , refleja el hecho
de que el cambio de variable
x
=
x0
+
sh
reduce el problema de interpolaci´on con nodos equiespaciados
al caso
x
i= 0
, . . . , n
.
•
Cuando
s
=
n
, la f´ormula parece decir “(1 + ∆)
nf
(
x0
)” . Para entender por qu´e, definir (con
h
fijado) el siguiente
operador
E
, que traslada una funci´on:
Ef
(
x
) =
f
(
x
+
h
) =
f
(
x
) + ∆
f
(
x
) ,
de modo que
E
=
Id
+ ∆ , con
Id f
=
f
,
y observar que la identidad algebr´aica que da por recurrencia el
desarrollo binomial:
(1 +
X
)
m"
−1 k=0'
m
−
1
k
(
X
k=
m"
k=0'
m
k
(
X
ks´olo usa las propiedades del producto: asociativa y distributiva respecto de la suma, que tambi´en tienen
nuestros operadores de diferencias sucesivas, luego produce el mismo desarrollo en este caso:
E
m= (
Id
+ ∆)
m= (
Id
+ ∆)
m"
−1 k=0'
m
−
1
k
(
∆
k=
m"
k=0'
m
k
(
∆
kes decir,
f
(
x
+
mh
) =
E
mf
(
x
) = (
Id
+ ∆)
mf
(
x
) =
m"
k=0'
m
k
(
∆
kf
(
x
)
que coincide con la expresi´on anterior si
s
=
m
≤
n
,
x
=
x0
; es decir, con la afirmaci´on de que
para
m
= 0
, . . . , n
, se tiene
f
(
x0
+
mh
) =
P
n(
x0
+
mh
)
.
•
En una tabla de la
distribuci´on Normal
, que dar´a los valores
6de la
F
(
x
) =
c
$
0xexp(
−
s
2/
2)
ds
, con
c
= 1
/
√
2
π
= 0
.
4
,
encontraremos los valores siguientes:
)
para
x
= 0 0
.
1 0
.
2 0
.
3
F
(
x
) = 0 0
.
0398 0
.
0793 0
.
1179
Suponer que la tabla no diese m´
as valores intermedios, y que necesitamos
F
(0
.
17)
.
Se trata de comparar los errores de estas tres opciones: 1) usar el valor
x
m´
as cercano; 2)
interpolaci´on lineal sobre los 2 valores cercanos; 3) interpolaci´
on c´
ubica sobre esos 4 valores.
Escribir las f´
ormulas de
P[0
.2,0.1](
x
)
,
P[0
.2,0.1,0,0.3](
x
)
, y del error
f
(
x
)
−
P
n(
x
)
en
x
= 0
.
17
.
Estudiar el tama˜
no de las derivadas relevantes en el intervalo en cuesti´on, y deducir el tama˜
no
aproximado del error en cada caso; usarlo para juzgar lo siguiente:
en vista de la precisi´on de
los datos, ¿merece la pena el esfuerzo extra de la interpolaci´on c´ubica?
E 3.3
EJ EMP LO PARA TRABAJAR HAST A LA CLASE SIGUIE NT E 1[
•
∗] Generalizar el estudio anterior para responder esta pregunta:
cu´al ser´ıa la relaci´on entre el paso
h
de la tabla y el n´umero de d´ıgitos de precisi´on de sus datos que
puede hacer razonable el usar
7interpolaci´on c´ubica en lugar de lineal.
La respuesta depender´a naturalmente de la “zona” de valores
x
, tratar de darla en esa forma.
6F(x) es el valor de laP(0< X < x) siXes una variable aleatoria Normal(0,1).
Interpolando con grado creciente.
Si vemos
P
ncomo un intento de reconstruir
f
a partir de
n
valores suyos, es natural esperar
que en alg´
un sentido los errores
|
f
−
P
n| →
0
al crecer
n
, al menos en el intervalo
J
que
ocupan los nodos. Para ver si es as´ı, examinemos la funci´
on
W
(
x
)
que entra en la f´
ormula del
error, empezando por el caso de los nodos
x
k=
x0
+
kh
con un
h
fijado.
Va a ser m´as simple hablar del caso
|
f
(
x
)
−
P
n−1(
x
)
|
, con
n
nodos.
Para un
x
∈
(
x
k−1, xk) , y mirando cada vez la peor posici´on posible
8de
x
en ese intervalo,
|
W
(
x
)
|
< h
nk
!(
n
−
k
)! ,
y ese valor es lo peor posible (es decir, m´aximo) cuando
k
= 1 , luego
|
W
(
x
)
|
< h
n(
n
−
1)! para
x
∈
J
= [
x0, x
n−1] .
Eso da la siguiente cota para el resto, si
|
f
n)(
x
)
| ≤
M
nen
J
:
|
f
(
x
)
−
P
n−1(
x
)
|
<
M
nn
!
h
n(
n
−
1)! =
M
nn
h
ny la pregunta es:
para qu´e funciones tender´a a 0 esa expresi´on, garantizando la convergencia de los
P
n.
•
Parece que va bien
:
Por supuesto, para
f
= un polinomio, el error es =0 al llegar a su grado.
Para los siguientes ejemplos del C´alculo, como
sen
(
cx
) , exp(
cx
) , las cotas
M
nsobre el intervalo
J
= [
x0, x0
+
h
(
n
−
1)] no crecen m´as que geom´etricamente:
M
n≤
a
n, con lo que basta tomar
paso
h
= 1
/a
para compensarlas.
Mejor a´un: hemos tomado un intervalo
J
creciente con
h
constante, pero la pregunta natural ser´ıa:
si habr´a convergencia en un
J
= [
a, a
+
c
]
fijado, al tomar en ´el nodos
x
k=
a
+
c k/n
, con
n
→ ∞
.
En ese caso, el factor
h
nse convierte en (
c/n
)
n, dando convergencia para cualquier
c
.
•
Pero puede ir mal
:
La inocente funci´on
f
(
x
) = 1
/
(1 +
x
2) = 1
−
x
2+
x
4−
. . .
tiene derivadas
f
2m)(0) =
±
(2
m
)! , luego
M
ncrece al menos como
n
! si 0
∈
J
. Eso obliga a los
h
n= (
c/n
)
na compensar el
n
! , lo que s´olo
se consigue
9si la longitud
c
del intervalo
J
es
< e
.
Claro que s´olo estamos hablando de
cotas
:
|
f
n)(
x
)
| ≤
M
n, y a su vez
M
npodr´ıa ser mucho mayor
que
f
n(0) , de modo que habr´ıa que refinar mucho este argumento, o si no, experimentar.
•
En realidad,
tiene que ir mal
:
Los experimentos
10confirman el problema, que en realidad
deber´ıa ser general,
por el motivo
siguiente: si comparamos las cotas halladas para
W
(
x
) en los subintervalos (
x
k−1, xk) ,
entre la peor
(
k
= 1)
y las mejores
(
k
≈
n/
2)
, hay un factor aproximado
*
n/n2+
=
O
(2
n/
√
n
)
.
Eso da una indicaci´on del valor aproximado, si
k
≈
n/
2 , del polinomio de Lagrange
L
k(
x
) =
W
(
x
)
/W
"(
x
k)(
x
−
x
k)
en los subintervalos extremos
11(ver figura a la vuelta), y ¡de esos sumandos est´a hecho
P
n
!
El problema es por lo tanto explicar por qu´e funciones como sen(
x
) o exp(
x
) funcionan tan bien;
la respuesta es que sus valores
f
k=
f
(
x
k) realizan un prodigioso equilibrio de cancelaciones para
que la suma
!
kf
kL
kno oscile como sus sumandos.
¿Y por qu´e los valores de
f
(
x
) = 1
/
(1 +
x
2) no consiguen lo mismo?
La respuesta es m´as profunda, y tiene que ver con lo siguiente: mientras que las otras dos son
anal´ıticas en todo el plano complejo
, esta funci´on tiene singularidades en
±
i
, y eso se refleja en el
crecimiento de sus cotas
M
n.
Pero la mala noticia es que todo esto ocurrir´ıa
calculando exactamente;
en la pr´actica, los redondeos
de los datos
f
k=
f
(
x
k) rompen el equilibrio incluso en los casos buenos, dando cada vez m´as
oscilaciones
12cuando
n
crece.
8Es f´acil razonar con m´as cuidado para ganar un factor 4, pero eso va a ser irrelevante en lo que sigue. 9Esto sale con facilidad de laf´ormula de Stirling:n!≈√2πn(n/e)n
10Que haremos en el Laboratorio.
11Un c´alculo m´as ajustado daO(2n/n2) para el m´aximo en esos intervalos. 12Para valores peque˜nos den, los redondeos del tama˜no de nuestroε
!2 !1 0 1 2 !0.03 !0.02 !0.01 0 0.01 W(x) , 8 nodos !2 !1 0 1 2 !1.5 !1 !0.5 0 0.5 1 1.5 2 L 3(x) !2 !1 0 1 2 !1.5 !1 !0.5 0 0.5 1 1.5x 10 !3 W(x) , 16 nodos !2 !1 0 1 2 !100 !50 0 50 100 L 7(x)
Estudiemos el caso de
n
nodos
x
k=
x0
+
kh
,
k
= 0
, . . . , n
.
•
Razonar por qu´e (y c´omo) depende de
h
el tama˜
no de
W
(
x
) =
&
k(
x
−
x
k)
, pero no el
tama˜
no
13de los polinomios de Lagrange
L
k
(
x
)
.
•
Tomando, en vista de lo anterior,
x0
= 0
,
h
= 1
, escribir una f´ormula exacta para el valor
de
|
L
m(1
/
2)
|
si
n
= 2
m
.
Luego simplificarla usando la
f´
ormula de Stirling:
n
!
≈
√
2
πn
(
n/e
)
n.
Habr´a que empezar por deducir de ´esta una aproximaci´on para el
semifactorial
, definido por
(2
n
)!! = 2
·
4
· · ·
2
n
,
y de ambas, otra para el semifactorial
(2
n
−
1)!! = 1
·
3
· · ·
(2
n
−
1) = (2
n
)!
/
(2
n
)!!
.
•
Verificar tambi´en lo dicho antes: que el producto
n
! (
c/n
)
ntiende a 0 si
c < e
.
E 3.4
EJ EMP LO PARA TRABAJAR HAST A LA CLASE SIGUIE NT E 1Soluciones al problema.
Hay varias posibilidades para evitar o reducir el mal comportamiento de los
P
n, y cu´al elegir depende
en buena parte de
para qu´e quer´ıamos ese polinomio interpolador.
•
En vez de aumentar el grado, subdividir.
Por ejemplo, duplicar el n´umero de subintervalos [
x
i−1, xi] y mantener el grado
n
, usando para
ello dos polinomios diferentes para los nodos
k
= 0
, . . . , n
y
k
=
n, . . . ,
2
n
.
La forma m´as simple de esta idea es usar la interpolaci´on lineal en cada
J
i= [
x
i−1, xi] , como hace
por defecto la funci´on
plot
de
Matlab
.
Seg´un para qu´e, puede interesarnos evitar los
picos
(saltos de la derivada
p
") que van a quedar de
este modo en cada extremo com´un de intervalos contiguos; para ello basta
aumentar el grado de
las piezas
, y usar los grados de libertad conseguidos as´ı. Si por ejemplo interpolamos
f
en cada
intervalo
J
icon un
p
i∈
P ol2
en vez de un
p
ilineal, podemos pedir que cumplan adem´as
p
"i(
x
i) =
p
"i+1(
x
i) , para 0
< i < n
y nos sobra en total 1 grado de libertad (que no est´a claro c´omo usar mejor). A este tipo de
aproximaci´on se le llama
spline
, el nombre ingl´es de una
regla flexible
que uno puede doblar para
que pase por los puntos deseados.
La regla se resiste a doblarse (por eso no forma esquinas), y algo parecido a la energ´ıa potencial
que acumula si le damos la forma
y
=
g
(
x
) es la integral
E
=
$
I|
g
""(
x
)
|
2dx
.
Se puede probar que
la funci´on
g
que minimiza
E
bajo las condiciones siguientes
)
g
""existe y es continua en cada
J
iy tanto
g
como
g
"son continuas en cada
x
i
, con
g
(
x
i) =
f
(
x
i)
es en cada
J
iun polinomio
p
i∈
P ol3
, y los
p
icumplen:
para
0
< i < n
,
p
""i(
x
i)
−
p
""i+1(
x
i) = 0 =
p
""1(
x0
) =
p
""n(
x
n)
Por lo tanto tambi´en
g
""es continua en cada punto. A esto se le llama el
spline c´
ubico natural
.
•
Reducir el grado sin quitar datos
f
k, convirtiendo el problema en sobredeterminado.
Esta era una de las ideas clave del Algebra Lineal vistas en el
Tema 2
, y aplicada a nuestro caso
da resultados sorprendentes
14.
•
Usar mejores nodos para evitar que los
L
ise comporten tan mal.
Para eso hay que juntar m´as los nodos en los extremos que en el centro
15. Por razones que trataremos
de ver m´as adelante, una opci´on muy buena en el intervalo [
−
1
,
1] son los puntos
x
k= cos(
kπ/n
)
(o sus im´agenes por transformaci´on af´ın
y
=
a
+
cx
, si interesa otro intervalo), que son los ceros
del polinomio de Chebychev definido por la igualdad
T
n(cos(
θ
)) = cos(
nθ
)
y que dan por lo tanto una funci´on
W
(
x
) igual a ese polinomio.
El gr´afico muestra los primeros de ellos, y
permite observar la clave de su ventaja sobre
nuestros nodos
x
k=
x0
+
hk
: las enormes
diferencias entre los m´aximos de
|
W
(
x
)
|
han
desaparecido por completo, sea cual sea
n
.
Relation to trigonometric functions.
The signal property of Chebyshev polynomials is the trigonometric representation on [-1,1].
Consider the following expansion using the
Mathematica
command "FunctionExpand."
Exploration 2.
These celebrated
Chebyshev polynomials
are readily available in
Mathematica
and called under the reserved name
"ChebyshevT[n,x]."
Roots of the
Chebyshev polynomials
The roots of
are
. These will be the nodes for polynomial approximation
of degree n.
Exploration 3.
14Como se puede ver con el c´odigo usado en el LAB esta semana, ver link de LAB, materiales Tema 3. Por ejemplo, las oscilaciones del polinomioP23que interpolaf(x) = 1/(1 +x2) en 24 nodos entre−3 y 3 , casi desaparecen al bajar a grado 13, y los erroresf(xk)−P13(xk) son apenas visibles en el gr´afico.
15Esta idea, que tiene muchas ramificaciones, reaparecer´a en otra forma en el Tema 4.