Prueba del LEMA 2: Si n = 0, p(x) = a 0. Si n > 0, usamos la idea clave de este Tema: la división con resto del polinomio p(x) por (x x 0 ) :

Texto completo

(1)

Tema 3. Interpolaci´on.

Polinomios interpoladores; diferencias divididas y operadores de diferencias sucesivas.

Aproximaci´

on de derivadas con diferencias.

Interpolar a trozos y otras formas de aproximar una funci´on.

Notaciones y sobreentendidos:

P ol

n

=

{

polinomios de grado

n

}

.

Llamaremos

p

n

al polinomio de Taylor “de grado

n” de

f

en

x0

(que puede tener grado

< n).

En cada momento supondremos que

f

tiene derivadas continuas hasta el orden que requieran

los argumentos usados, si no se especifica otra cosa.

Venimos usando la notaci´on

a

(

x

)

b

(

x

)

como abreviatura de

a

(

x

)

/b

(

x

)

1

.

Para abreviar la afirmaci´on

a

(

x

)

/b

(

x

)

0

usaremos la notaci´

on

a

(

x

) =

o

(

b

(

x

) )

.

Naturalmente, ambas se afirman

“ para

x

. . .

, pero eso queda a veces sobreentendido;

por ejemplo si decimos:

n

k

=

o

(

e

n

) ,

k

, est´a claro que queremos decir “cuando

n

→ ∞

”;

y cuando sucede, como en

ii)

a continuaci´on, que

b

(

x

)

0

cuando

x

x0

, cabe poca duda

de que nos referimos a eso: estamos diciendo que

a

(

x

)

0 a´un m´as deprisa.

El polinomio de Taylor.

PROPOSICION:

Dada

f

con derivadas continuas hasta orden

n

, y un punto

x0

IR

, hay un ´

unico polinomio

p

P ol

n

que cumple

i)

p

k)

(

x0

) =

f

k)

(

x0

) , para

k

= 0

, . . . , n

ii)

f

(

x

)

p

(

x

) =

o

(

|

x

x0

|

n

) , cuando

x

x0

Probemos primero:

LEMA 1:

Todo

p

P ol

n

se puede escribir en la forma

p

(

x

) =

!

kn=0

a

k

(

x

x0

)

k

, con ciertos

a

k

.

Prueba del LEMA 1

:

Si

n

= 0 ,

p

(

x

) =

a0

.

Si

n >

0 , usamos la idea clave de este Tema: la divisi´on con resto del polinomio

p

(

x

) por (

x

x0

) :

p

(

x

) =

p

(

x0

) +

q

(

x

)(

x

x0

) , con

q

P ol

n−1

;

por recurrencia sobre

n

,

q

se puede escribir en la forma del enunciado, luego

p

tambi´en.

!

Prueba de la PROPOSICION

:

La igualdad del LEMA 1

p

k)

(

x0

) =

a

k

k

! , luego los coeficientes

a

k

=

f

k)

(

x0

)

/k

! , y s´olo ellos, dan

el polinomio que cumple

i)

, y al que llamamos el

polinomio de Taylor de

f

en

x0

:

p

n

(

x

) =

n

"

k=0

f

k)

(

x0

)

(

x

x0

)

k

k

!

Si hubiese dos polinomios

p, p

+

d

P ol

n

que cumplen

ii)

, su diferencia ser´ıa

d

(

x

) =

o

(

|

x

x0

|

n

) , por

ser

d

= (

p

+

d

f

)

(

p

f

) ; pero tambi´en

d

(

x

) =

!

nk=0

a

k

(

x

x0

)

k

a

m

(

x

x0

)

m

si

m

es el primer coeficiente no nulo de esa suma, lo que contradice lo anterior, e implica que

d

(

x

)

0 .

S´olo falta probar que el

p

n

(

x

) dado arriba cumple

ii)

, pero eso es lo que afirma el siguiente Lema.

!

LEMA 2

(Resto integral de Taylor): El polinomio

p

n

dado arriba cumple

f

(

x

)

p

n

(

x

) =

#

x x0

f

n+1)

(

s

)

(

x

s

)

n

n

!

ds

=

o

(

|

x

x0

|

n

)

Prueba del LEMA 2

:

n

= 0 : Como

p0

(

x

) es la constante

f

(

x0

) , la afirmaci´on es:

f

(

x

)

f

(

x0

) =

$

x0x

f

"

(

s

)

ds

.

n >

0 : Integrando por partes la integral

I

n

del enunciado, y usando recurrencia para

I

n−1

,

I

n

=

f

n)

(

x0

)

(

x

x0

)

n

n

!

+

I

n−1

=

f

(

x

)

p

n−1

(

x

)

f

n)

(

x0

)

(

x

x0

)

n

(2)

Por otro lado,

#

x x0

n

(

x

s

)

n−1

ds

= (

x

x0

)

n

I

n

=

#

x x0

f

n)

(

s

)

f

n)

(

x0

)

n

!

n

(

x

s

)

n−1

ds

y dado

ε >

0 , por ser

f

n)

continua, hay alg´un

δ

tal que

|

x

x0

|

< δ

%

%

%

%

f

n)

(

s

)

f

n)

(

x0

)

n

!

%

%

%

%

< ε ,

luego acotando por

ε

ese factor en la integral,

|

I

n

|

< ε

|

x

x0

|

n

. Es decir,

I

n

=

o

(

|

x

x0

|

n

) .

Un detalle t´ecnico: Si s´olo suponemos, como en el enunciado de la PROPOSICION, que

f

es

C

n

, no podemos llegar con el LEMA hasta la

I

n

, que utiliza la siguiente derivada.

Pero si usamos en ese caso

I

n

simplemente como

el nombre de la expresi´on

I

n

=

f

n)

(

x0

)(

x

x0

)

n

/n

! +

I

n−1

con

I

n−1

definido como antes, todo el argumento que acabamos de hacer sigue en pie.

Usar el algoritmo de Horner para dividir reiteradamente

f

(

x

) = 1

x

x

2

+

x

3

por

x

1

.

Hallar de ese modo el desarrollo de

f

en potencias de

x

1

, y observar lo siguiente:

Para cada

k >

0 , el polinomio

p

k

(

x

) de

f

en

x0

= 1 es el resto de dividir

f

(

x

) por (

x

x0

)

k+1

.

Probar que eso se cumple para cada polinomio

f

y cada punto

x0

.

El siguiente es un ejemplo de c´omo la caracterizaci´on

f

(

x

)

p

n

(

x

) =

o

(

|

x

x0

|

n

)

de los

polinomios de Taylor ayuda a calcularlos:

Si

p

n

, q

n

son los polinomios de Taylor en

x0

= 0

de dos funciones

f, g

, probar

1

que

f g

p

n

q

n

=

o

(

|

x

|

n

)

En consecuencia, el polinomio

r

n

que queda al suprimir en

p

n

q

n

los t´erminos de grado mayor

que

n

es el de Taylor (de grado

n) de

f g

. Aplicar la idea por ejemplo a

f

(

x

) = sen(

x

) cos(

x

)

con

n

= 4

, y verificar el resultado

2

. Probar tambi´en que

F

(

x

)

F

(0)

$

0x

p

n

(

s

)

ds

=

o

(

|

x

|

n+1

)

, si

F

"

(

x

) =

f

(

x

)

Deducir la relaci´on que hay entre los desarrollos de Taylor de

f

y de

F

, y usarla para calcular

el de

F

(

x

) = log(1 +

x

)

, partiendo de

f

(

x

) = 1

/

(1 +

x

) = 1 +

x

+

x

2

+

. . .

.

E 3.1

EJ EMP LO PARA TRABAJAR HAST A LA CLASE SIGUIE NT E 1

[

] Para otras funciones derivables, probar el siguiente an´alogo de lo dicho arriba para los polinomios:

La igualdad

f

(

x

) =

q

(

x

) (

x

x0

)

k+1

+

r

(

x

)

, con

r

P ol

k

=

{

polinomios de grado

k

}

y

q

(

x

)

continua,

se cumple para

r

=

al polinomio de Taylor

p

k

de

f

en

x0

, y s´

olo para ´el.

1Indicaci´on: f gp

nqn= (f−pn)g+ (g−qn)pn.

2El mismo tipo de argumento permitecomponer desarrollos para hallar el degf , etc. VerSanz-Serna, Cap.2, en particular los Problemas 2.1.1, .3, .7, .8.

(3)

Polinomios interpoladores.

PROPOSICION:

+

DEFINICION:

Dados puntos

x0, . . . , x

n

distintos

, y valores

f

i

, hay un ´unico

p

P ol

n

que cumple

i, p

(

x

i

) =

f

i

.

Si

f

i

=

f

(

x

i

) , llamamos a

p

el

polinomio interpolador

P

n

=

P[

x0,...,xn]

de

f

en esos puntos.

Prueba:

Si llamamos

p

(

x

) =

a0

+

a1x

+

. . .

+

a

n

x

n

al polinomio buscado, las ecuaciones

p

(

x

i

) =

f

i

son un SEL

en los coeficientes

a

j

; dicho de otro modo, buscamos

p

P ol

n

que la funci´on

φ

:

p

P ol

n

φ

(

p

) = (

p

(

x

i

) )

IR

n+1

aplique en el (

f

i

) dado. Como el SEL tiene matriz cuadrada (los espacios dominio e imagen de

φ

tienen

igual dimensi´on), la existencia de soluci´on equivale a la unicidad, y a que s´olo el 0

P ol

n

resuelva el

problema para (

f

i

) = 0 ; pero eso es cierto, por el LEMA que sigue:

!

LEMA 3:

Un polinomio

p

P ol

n

s´olo puede anularse en

n

+ 1 puntos distintos

x0

< x1

< . . . < x

n

si es

0 .

Dos Pruebas

3

:

1. Por el TVM hay entre cada dos

x

i

un

ξ

donde

p

"

(

ξ

) = 0 , luego

p

"

P ol

n−1

se anula en

n

puntos

distintos. Por recurrencia,

p

"

0 , lo que junto con

p

(

x0

) = 0 implica

p

0 .

2. La igualdad

p

(

x

) =

p

(

x0

) + (

x

x0

)

q

(

x

) , junto con

p

(

x

i

) = 0 implica que el cociente

q

P ol

n−1

se

anula en los

n

puntos

x

i

,

i >

0 . Por recurrencia,

q

0 , luego

p

0 .

Pero ¿qu´e significar´a

hallar

ese polinomio? Varias respuestas son posibles, por ejemplo:

Dados

valores

f

i

=

f

(

x

i

)

,

calcular los valores

a

i

de los coeficientes; o sea, resolver el SEL.

La matriz de este SEL, con entradas

v

ij

=

x

ji−1

, se llama de

Vandermonde

, y lo que hemos probado

implica que es regular.

Dar una

expresi´on

de

P

n

(

x

)

, con los

x

i

, f

i

como par´

ametros.

Por ejemplo la de

Lagrange

, que se obtiene as´ı: el polinomio

W

(

x

) = (

x

x0

)

· · ·

(

x

x

n

)

tiene en cada

x

k

desarrollo de Taylor

W

(

x

) =

W

"

(

x

k

)(

x

x

k

) +

o

(

|

x

x

k

|

), luego el polinomio

W

k

(

x

) =

W

(

x

)

/

(

x

x

k

) toma en

x

k

el valor

W

"

(

x

k

) y se anula en los dem´as

x

i

. En consecuencia,

el

polinomio de Lagrange

L

k

(

x

) =

W

k

(

x

)

/W

"

(

x

k

)

toma valores

L

k

(

x

i

) =

δ

ik

, y la suma

P

n

(

x

) =

!

i

f

i

L

i

(

x

)

resuelve el problema para los datos

f

i

. Resulta inmediatamente de su definici´on, y de la igualdad

φ

(

L

k

) =

e

k

(el vector unidad de

IR

n+1

) , que los

L

k

son de grado =

n

y forman una base de

P ol

n

.

Dar un

algoritmo que use los valores

x, x

i

, f

i

=

f

(

x

i

)

para producir

P

n

(

x

) .

Las dos versiones anteriores se pueden traducir en algoritmos, pero veamos otro mejor:

De la igualdad

p

(

x

) =

f

(

x0

) + (

x

x0

)

q

(

x

) , junto con las otras

p

(

x

i

) =

f

(

x

i

) , se deduce que

f

(

x

i

) =

f

(

x0

) + (

x

i

x0

)

q

(

x

i

) , es decir

q

(

x

i

) = (

f

(

x

i

)

f

(

x0

) )

/

(

x

i

x0

) , para

i

= 1

, . . . , n

que es un problema como el inicial, para

q

P ol

n−1

. Esto se traduce en el siguiente algoritmo

recursivo, que usa los valores

x

i

, f

i

=

f

(

x

i

) :

Para

k

= 0

, . . . , n

:

b

k

=

f

k

,

f

i

:= (

f

i

b

k

)

/

(

x

i

x

k

)

para

i > k

y produce los coeficientes

b

k

del polinomio

P

n

en su

forma de Newton:

P

n

(

x

) =

b0

+ (

x

x0

)

b1

+ (

x

x0

)(

x

x1

)

b2

+

. . .

en la que cada suma parcial

b0

+ (

x

x0

)

b1

+

. . .

+ (

x

x0

)

· · ·

(

x

x

k−1

)

b

k

resuelve el mismo problema para los puntos

x0, . . . , x

k

, y coincide por lo tanto con el

P

k

=

P[

x0,...,xk]

.

Llamamos a

b

k

, que es el coeficiente de

x

k

en

P

k

, la

diferencia dividida

f[

x0,...,xk]

.

3La Prueba 2. vale tambi´en si losn+ 1 ceros son complejosz

(4)

Observaciones:

La definici´on de la Diferencia Dividida

f[

x0,...,xk]

implica que ser´a la misma si cambiamos el orden

de los puntos

x0, . . . , x

k

en la formulaci´on del problema.

Todos los

f

i

:= (

f

i

b

k

)

/

(

x

i

x

k

) ,

i > k

producidos en la etapa

k

del algoritmo son tambi´en

Diferencias Divididas, porque cualquiera de ellos ser´ıa

b

k+1

si el punto

x

i

hubiese aparecido tras el

x

k

en la lista. Es decir, su valor es

f[

x0,...,xk,xi]

.

En vez de seguir la recursi´on “de fuera hacia dentro” con la que hemos llegado a ´el, el algoritmo

se puede reordenar de modo que refleje el car´acter de

desarrollo

de la forma de Newton; basta con

introducir los datos

x

k

, f

k

en el esquema

tras haber completado el c´alculo de los

b

i

anteriores:

Para cada

k

,

b

k

=

f

k

, y para

i

= 0

, . . . , k

1

,

b

k

:= (

b

k

b

i

)

/

(

x

k

x

i

)

.

Es decir:

b0

=

f0

;

b1

=

f1

b0

x1

x0

;

b2

=

f2−b0 x2−x0

b1

x2

x1

;

b3

=

f3−b0 x3−x0−b1 x3−x1

b2

x3

x2

;

. . .

lo que da

b

k

como una “divisi´on anidada” por los factores

x

k

x

i

, con coeficientes

b

i

,

i < k

.

PROPOSICION:

Se tienen las identidades

(1)

P

k

(

x

)

P

k−1

(

x

) =

f

[

x0, . . . , x

k

] (

x

x0

)

· · ·

(

x

x

k−1

)

(2)

(

x

k

x0

)

P

k

(

x

) = (

x

k

x

)

P

k−1

(

x

) + (

x

x0

)

P[

x1,...,xk]

Prueba:

(1) es la observaci´on ya hecha sobre la forma de Newton, pero puede probarse directamente as´ı: ambos

lados son de grado

k

, nulos en

x0, . . . , x

k−1

, y con igual coeficiente de

x

k

.

(2) es cierto porque ambos lados son de grado

k

, y con iguales valores en

x0, . . . , x

k

.

De (2) sale una nueva recurrencia para las

diferencias divididas

f

[

x0, . . . , x

k

] , que ser´a muy ´util en

el caso de puntos equiespaciados

x

k

=

x0

+

kh

, y que es la que se encuentra normalmente en los libros:

(DD)

(

x

k

x0

)

f

[

x0, . . . , x

k

] =

f

[

x1, . . . , x

k

]

f

[

x0, . . . , x

k−1

]

El determinante de

Vandermonde

con entradas

v

ij

=

x

ji−1

vale

d

n

=

&

i<k≤n

(

x

k

x

i

)

.

Probarlo de este modo: desarrollando por la ´

ultima columna y mirando

x

n

como variable,

d

n

es un polinomio en

x

n

, nulo si

x

n

=

x0, . . . , x

n−1

, y con t´ermino principal

d

n−1

x

nn

; razonar

todo eso y reducir por recurrencia la afirmaci´

on al caso

d1

=

x1

x0

.

Para los puntos

x0

,1,2

= 0

,

1

,

1

, y cada una de las funciones

f

(

x

) =

x,

x

2

,

x

3

,

1

/

(2

x

+ 1)

,

1

/

(1 + 9

x

2

)

hallar

4

polinomios interpoladores

P[0

,1]

,

P[0

,1,−1]

, y comparar sus gr´

aficas con la de

f

.

Razonar por qu´e

P

n

no depende del orden en que se dan

los puntos

x

i

, y por qu´e

P

n

f

si

f

es un polinomio de grado

n

.

Para esos mismos puntos, hallar los polinomios de

Lagrange

L

i

. Hacerlo primero a ojo, con

las condiciones

L

i

(

x

j

) =

δ

ij

; luego, utilizando la funci´

on

W

(

x

) = (

x

x0

)

· · ·

(

x

x2

)

.

E 3.2

EJ EMP LO PARA TRABAJAR HAST A LA CLASE SIGUIE NT E 1

[

] Adaptar al siguiente problema el argumento usado para probar la existencia y unicidad de

P

n

: se

trata de probar que cada ecuaci´on de recurrencia

f

(

n

)

f

(

n

1) =

q

(

n

) ,

f

(0) =

c

, con

q

P ol

d

tiene un polinomio

p

P ol

d+1

como soluci´on.

Idea: la funci´

on lineal

p

(

q, c

)

, con

q

(

x

) =

p

(

x

)

p

(

x

1)

,

c

=

p

(0)

.

Deducir de lo anterior que

S

(

n

) =

!

n1

k

d

es un polinomio, explicar qu´e problema de interpolaci´on

resuelve, y usar la idea para hallar, en la forma de Newton, la suma

S2

(

n

) =

n

"

1

k

2

Se puede simplificar este c´alculo, porque sabemos cu´al debe ser el t´ermino principal de

S2

. ¿Cu´al es y

c´omo probarlo?

(5)

Igual que el polinomio de Taylor, los polinomios interpoladores

P

n

pretenden

aproximar

la

funci´on

f

de la que toman sus datos. Procede por lo tanto estudiar el “resto”

f

(

x

)

P

n

(

x

)

.

Esa diferencia se anula en los puntos

x

i

, luego su gr´afica ser´

a “como una onda”, . . . y eso

explica que se llame

nodos

5

de la interpolaci´on a los puntos

x

i

.

Relaci´on con las derivadas de

f

.

PROPOSICION:

(1)

f

(

x

)

P

n

(

x

) =

f

[

x0, . . . , x

n

, x

]

W

(

x

) , con

W

(

x

) = (

x

x0

)

· · ·

(

x

x

n

) .

(2) En el menor intervalo

J

que contenga a

x0, . . . , x

n

, hay alg´un

ξ

para el que se tiene

f

n)

(

ξ

) =

n

!

f

[

x0, . . . , x

n

] .

Prueba:

(1) Coincide con el (1) de la PROPOSICION anterior, si tomamos ese punto

x

como siguiente nodo.

(2) Como

f

P

n

se anula

n

+ 1 veces en

J

, el TVM implica por inducci´on sobre

k

que (

f

P

n

)

k)

se

anula al menos

n

+ 1

k

veces en

J

; pero

P

nn)

es la constante

n

!

f

[

x0, . . . , x

n

] .

La afirmaci´on (2) es la que hace que (1) sea algo m´as que una tautolog´ıa:

si tenemos informaci´on sobre

f

n+1)

: cotas, valor aproximado en

J

, signo, . . . , la igualdad

(1)+(2):

f

(

x

)

P

n

(

x

) =

f

n+1)

(

ξ

)

W

(

x

)

/

(

n

+ 1)! , para alg´un

ξ

J

traslada esa informaci´on al resto

f

(

x

)

P

n

(

x

) .

Pero tambi´en podemos ver (2) como una estimaci´on de

f

n)

en

J

, ´util si esa derivada no

cambia mucho en ese intervalo

(veremos m´as sobre esto m´

as adelante).

El caso de nodos equiespaciados

x

k

=

x0

+

kh

, y los operadores de diferencias sucesivas.

Si en ese caso redefinimos el operador diferencia que ya usamos anteriormente como

f

(

x

) =

f

(

x

+

h

)

f

(

x

) ,

y sus potencias: ∆

k

f

= ∆(∆

k−1

f

) ,

tenemos la identidad siguiente:

f

[

x0, . . . , x

k

] =

k

f

(

x0

)

k

!

h

k

que resulta por recurrencia de la igualdad (DD), si observamos que

x

k

x0

=

kh

:

kh f

[

x0, . . . , x

k

] =

f

[

x1, . . . , x

k

]

f

[

x0, . . . , x

k−1

] =

k−1

f

(

x1

)

k−1

f

(

x0

)

(

k

1)!

h

k−1

Si tomamos adem´as la nueva variable

s

dada por

x

=

x0

+

sh

, y observamos que

(

x

x0

)

· · ·

(

x

x

k−1

) =

h

k

s

(

s

1)

· · ·

(

s

k

+ 1) ,

la forma de Newton de

P

n

se convierte en:

P

n

(

x0

+

sh

) =

n

"

k=0

k

f

(

x0

)

k

!

s

(

s

1)

· · ·

(

s

k

+ 1) =

n

"

k=0

'

s

k

(

k

f

(

x0

)

donde hemos usado adem´as esta notaci´on, que extiende

s

IR

la del coeficiente binomial:

'

s

k

(

=

s

(

s

1)

· · ·

(

s

k

+ 1)

k

!

Comentarios:

Esta f´ormula para

P

n

(

x0

+

sh

) , en la que no aparecen expl´ıcitamente

h

ni los

x

i

,

i >

0 , refleja el hecho

de que el cambio de variable

x

=

x0

+

sh

reduce el problema de interpolaci´on con nodos equiespaciados

al caso

x

i

= 0

, . . . , n

.

Cuando

s

=

n

, la f´ormula parece decir “(1 + ∆)

n

f

(

x0

)” . Para entender por qu´e, definir (con

h

fijado) el siguiente

operador

E

, que traslada una funci´on:

Ef

(

x

) =

f

(

x

+

h

) =

f

(

x

) + ∆

f

(

x

) ,

de modo que

E

=

Id

+ ∆ , con

Id f

=

f

,

(6)

y observar que la identidad algebr´aica que da por recurrencia el

desarrollo binomial:

(1 +

X

)

m

"

1 k=0

'

m

1

k

(

X

k

=

m

"

k=0

'

m

k

(

X

k

s´olo usa las propiedades del producto: asociativa y distributiva respecto de la suma, que tambi´en tienen

nuestros operadores de diferencias sucesivas, luego produce el mismo desarrollo en este caso:

E

m

= (

Id

+ ∆)

m

= (

Id

+ ∆)

m

"

1 k=0

'

m

1

k

(

k

=

m

"

k=0

'

m

k

(

k

es decir,

f

(

x

+

mh

) =

E

m

f

(

x

) = (

Id

+ ∆)

m

f

(

x

) =

m

"

k=0

'

m

k

(

k

f

(

x

)

que coincide con la expresi´on anterior si

s

=

m

n

,

x

=

x0

; es decir, con la afirmaci´on de que

para

m

= 0

, . . . , n

, se tiene

f

(

x0

+

mh

) =

P

n

(

x0

+

mh

)

.

En una tabla de la

distribuci´on Normal

, que dar´a los valores

6

de la

F

(

x

) =

c

$

0x

exp(

s

2

/

2)

ds

, con

c

= 1

/

2

π

= 0

.

4

,

encontraremos los valores siguientes:

)

para

x

= 0 0

.

1 0

.

2 0

.

3

F

(

x

) = 0 0

.

0398 0

.

0793 0

.

1179

Suponer que la tabla no diese m´

as valores intermedios, y que necesitamos

F

(0

.

17)

.

Se trata de comparar los errores de estas tres opciones: 1) usar el valor

x

as cercano; 2)

interpolaci´on lineal sobre los 2 valores cercanos; 3) interpolaci´

on c´

ubica sobre esos 4 valores.

Escribir las f´

ormulas de

P[0

.2,0.1]

(

x

)

,

P[0

.2,0.1,0,0.3]

(

x

)

, y del error

f

(

x

)

P

n

(

x

)

en

x

= 0

.

17

.

Estudiar el tama˜

no de las derivadas relevantes en el intervalo en cuesti´on, y deducir el tama˜

no

aproximado del error en cada caso; usarlo para juzgar lo siguiente:

en vista de la precisi´on de

los datos, ¿merece la pena el esfuerzo extra de la interpolaci´on c´ubica?

E 3.3

EJ EMP LO PARA TRABAJAR HAST A LA CLASE SIGUIE NT E 1

[

] Generalizar el estudio anterior para responder esta pregunta:

cu´al ser´ıa la relaci´on entre el paso

h

de la tabla y el n´umero de d´ıgitos de precisi´on de sus datos que

puede hacer razonable el usar

7

interpolaci´on c´ubica en lugar de lineal.

La respuesta depender´a naturalmente de la “zona” de valores

x

, tratar de darla en esa forma.

6F(x) es el valor de laP(0< X < x) siXes una variable aleatoria Normal(0,1).

(7)

Interpolando con grado creciente.

Si vemos

P

n

como un intento de reconstruir

f

a partir de

n

valores suyos, es natural esperar

que en alg´

un sentido los errores

|

f

P

n

| →

0

al crecer

n

, al menos en el intervalo

J

que

ocupan los nodos. Para ver si es as´ı, examinemos la funci´

on

W

(

x

)

que entra en la f´

ormula del

error, empezando por el caso de los nodos

x

k

=

x0

+

kh

con un

h

fijado.

Va a ser m´as simple hablar del caso

|

f

(

x

)

P

n−1

(

x

)

|

, con

n

nodos.

Para un

x

(

x

k−1, xk

) , y mirando cada vez la peor posici´on posible

8

de

x

en ese intervalo,

|

W

(

x

)

|

< h

n

k

!(

n

k

)! ,

y ese valor es lo peor posible (es decir, m´aximo) cuando

k

= 1 , luego

|

W

(

x

)

|

< h

n

(

n

1)! para

x

J

= [

x0, x

n−1

] .

Eso da la siguiente cota para el resto, si

|

f

n)

(

x

)

| ≤

M

n

en

J

:

|

f

(

x

)

P

n−1

(

x

)

|

<

M

n

n

!

h

n

(

n

1)! =

M

n

n

h

n

y la pregunta es:

para qu´e funciones tender´a a 0 esa expresi´on, garantizando la convergencia de los

P

n

.

Parece que va bien

:

Por supuesto, para

f

= un polinomio, el error es =0 al llegar a su grado.

Para los siguientes ejemplos del C´alculo, como

sen

(

cx

) , exp(

cx

) , las cotas

M

n

sobre el intervalo

J

= [

x0, x0

+

h

(

n

1)] no crecen m´as que geom´etricamente:

M

n

a

n

, con lo que basta tomar

paso

h

= 1

/a

para compensarlas.

Mejor a´un: hemos tomado un intervalo

J

creciente con

h

constante, pero la pregunta natural ser´ıa:

si habr´a convergencia en un

J

= [

a, a

+

c

]

fijado, al tomar en ´el nodos

x

k

=

a

+

c k/n

, con

n

→ ∞

.

En ese caso, el factor

h

n

se convierte en (

c/n

)

n

, dando convergencia para cualquier

c

.

Pero puede ir mal

:

La inocente funci´on

f

(

x

) = 1

/

(1 +

x

2

) = 1

x

2

+

x

4

. . .

tiene derivadas

f

2m)

(0) =

±

(2

m

)! , luego

M

n

crece al menos como

n

! si 0

J

. Eso obliga a los

h

n

= (

c/n

)

n

a compensar el

n

! , lo que s´olo

se consigue

9

si la longitud

c

del intervalo

J

es

< e

.

Claro que s´olo estamos hablando de

cotas

:

|

f

n)

(

x

)

| ≤

M

n

, y a su vez

M

n

podr´ıa ser mucho mayor

que

f

n

(0) , de modo que habr´ıa que refinar mucho este argumento, o si no, experimentar.

En realidad,

tiene que ir mal

:

Los experimentos

10

confirman el problema, que en realidad

deber´ıa ser general,

por el motivo

siguiente: si comparamos las cotas halladas para

W

(

x

) en los subintervalos (

x

k−1, xk

) ,

entre la peor

(

k

= 1)

y las mejores

(

k

n/

2)

, hay un factor aproximado

*

n/n2

+

=

O

(2

n

/

n

)

.

Eso da una indicaci´on del valor aproximado, si

k

n/

2 , del polinomio de Lagrange

L

k

(

x

) =

W

(

x

)

/W

"

(

x

k

)(

x

x

k

)

en los subintervalos extremos

11

(ver figura a la vuelta), y ¡de esos sumandos est´a hecho

P

n

!

El problema es por lo tanto explicar por qu´e funciones como sen(

x

) o exp(

x

) funcionan tan bien;

la respuesta es que sus valores

f

k

=

f

(

x

k

) realizan un prodigioso equilibrio de cancelaciones para

que la suma

!

k

f

k

L

k

no oscile como sus sumandos.

¿Y por qu´e los valores de

f

(

x

) = 1

/

(1 +

x

2

) no consiguen lo mismo?

La respuesta es m´as profunda, y tiene que ver con lo siguiente: mientras que las otras dos son

anal´ıticas en todo el plano complejo

, esta funci´on tiene singularidades en

±

i

, y eso se refleja en el

crecimiento de sus cotas

M

n

.

Pero la mala noticia es que todo esto ocurrir´ıa

calculando exactamente;

en la pr´actica, los redondeos

de los datos

f

k

=

f

(

x

k

) rompen el equilibrio incluso en los casos buenos, dando cada vez m´as

oscilaciones

12

cuando

n

crece.

8Es f´acil razonar con m´as cuidado para ganar un factor 4, pero eso va a ser irrelevante en lo que sigue. 9Esto sale con facilidad de laormula de Stirling:n!2πn(n/e)n

10Que haremos en el Laboratorio.

11Un c´alculo m´as ajustado daO(2n/n2) para el m´aximo en esos intervalos. 12Para valores peque˜nos den, los redondeos del tama˜no de nuestroε

(8)

!2 !1 0 1 2 !0.03 !0.02 !0.01 0 0.01 W(x) , 8 nodos !2 !1 0 1 2 !1.5 !1 !0.5 0 0.5 1 1.5 2 L 3(x) !2 !1 0 1 2 !1.5 !1 !0.5 0 0.5 1 1.5x 10 !3 W(x) , 16 nodos !2 !1 0 1 2 !100 !50 0 50 100 L 7(x)

Estudiemos el caso de

n

nodos

x

k

=

x0

+

kh

,

k

= 0

, . . . , n

.

Razonar por qu´e (y c´omo) depende de

h

el tama˜

no de

W

(

x

) =

&

k

(

x

x

k

)

, pero no el

tama˜

no

13

de los polinomios de Lagrange

L

k

(

x

)

.

Tomando, en vista de lo anterior,

x0

= 0

,

h

= 1

, escribir una f´ormula exacta para el valor

de

|

L

m

(1

/

2)

|

si

n

= 2

m

.

Luego simplificarla usando la

ormula de Stirling:

n

!

2

πn

(

n/e

)

n

.

Habr´a que empezar por deducir de ´esta una aproximaci´on para el

semifactorial

, definido por

(2

n

)!! = 2

·

4

· · ·

2

n

,

y de ambas, otra para el semifactorial

(2

n

1)!! = 1

·

3

· · ·

(2

n

1) = (2

n

)!

/

(2

n

)!!

.

Verificar tambi´en lo dicho antes: que el producto

n

! (

c/n

)

n

tiende a 0 si

c < e

.

E 3.4

EJ EMP LO PARA TRABAJAR HAST A LA CLASE SIGUIE NT E 1

(9)

Soluciones al problema.

Hay varias posibilidades para evitar o reducir el mal comportamiento de los

P

n

, y cu´al elegir depende

en buena parte de

para qu´e quer´ıamos ese polinomio interpolador.

En vez de aumentar el grado, subdividir.

Por ejemplo, duplicar el n´umero de subintervalos [

x

i−1, xi

] y mantener el grado

n

, usando para

ello dos polinomios diferentes para los nodos

k

= 0

, . . . , n

y

k

=

n, . . . ,

2

n

.

La forma m´as simple de esta idea es usar la interpolaci´on lineal en cada

J

i

= [

x

i−1, xi

] , como hace

por defecto la funci´on

plot

de

Matlab

.

Seg´un para qu´e, puede interesarnos evitar los

picos

(saltos de la derivada

p

"

) que van a quedar de

este modo en cada extremo com´un de intervalos contiguos; para ello basta

aumentar el grado de

las piezas

, y usar los grados de libertad conseguidos as´ı. Si por ejemplo interpolamos

f

en cada

intervalo

J

i

con un

p

i

P ol2

en vez de un

p

i

lineal, podemos pedir que cumplan adem´as

p

"i

(

x

i

) =

p

"i+1

(

x

i

) , para 0

< i < n

y nos sobra en total 1 grado de libertad (que no est´a claro c´omo usar mejor). A este tipo de

aproximaci´on se le llama

spline

, el nombre ingl´es de una

regla flexible

que uno puede doblar para

que pase por los puntos deseados.

La regla se resiste a doblarse (por eso no forma esquinas), y algo parecido a la energ´ıa potencial

que acumula si le damos la forma

y

=

g

(

x

) es la integral

E

=

$

I

|

g

""

(

x

)

|

2

dx

.

Se puede probar que

la funci´on

g

que minimiza

E

bajo las condiciones siguientes

)

g

""

existe y es continua en cada

J

i

y tanto

g

como

g

"

son continuas en cada

x

i

, con

g

(

x

i

) =

f

(

x

i

)

es en cada

J

i

un polinomio

p

i

P ol3

, y los

p

i

cumplen:

para

0

< i < n

,

p

""i

(

x

i

)

p

""i+1

(

x

i

) = 0 =

p

""1

(

x0

) =

p

""n

(

x

n

)

Por lo tanto tambi´en

g

""

es continua en cada punto. A esto se le llama el

spline c´

ubico natural

.

Reducir el grado sin quitar datos

f

k

, convirtiendo el problema en sobredeterminado.

Esta era una de las ideas clave del Algebra Lineal vistas en el

Tema 2

, y aplicada a nuestro caso

da resultados sorprendentes

14

.

Usar mejores nodos para evitar que los

L

i

se comporten tan mal.

Para eso hay que juntar m´as los nodos en los extremos que en el centro

15

. Por razones que trataremos

de ver m´as adelante, una opci´on muy buena en el intervalo [

1

,

1] son los puntos

x

k

= cos(

kπ/n

)

(o sus im´agenes por transformaci´on af´ın

y

=

a

+

cx

, si interesa otro intervalo), que son los ceros

del polinomio de Chebychev definido por la igualdad

T

n

(cos(

θ

)) = cos(

)

y que dan por lo tanto una funci´on

W

(

x

) igual a ese polinomio.

El gr´afico muestra los primeros de ellos, y

permite observar la clave de su ventaja sobre

nuestros nodos

x

k

=

x0

+

hk

: las enormes

diferencias entre los m´aximos de

|

W

(

x

)

|

han

desaparecido por completo, sea cual sea

n

.

Relation to trigonometric functions.

The signal property of Chebyshev polynomials is the trigonometric representation on [-1,1].

Consider the following expansion using the

Mathematica

command "FunctionExpand."

Exploration 2.

These celebrated

Chebyshev polynomials

are readily available in

Mathematica

and called under the reserved name

"ChebyshevT[n,x]."

Roots of the

Chebyshev polynomials

The roots of

are

. These will be the nodes for polynomial approximation

of degree n.

Exploration 3.

14Como se puede ver con el c´odigo usado en el LAB esta semana, ver link de LAB, materiales Tema 3. Por ejemplo, las oscilaciones del polinomioP23que interpolaf(x) = 1/(1 +x2) en 24 nodos entre3 y 3 , casi desaparecen al bajar a grado 13, y los erroresf(xk)−P13(xk) son apenas visibles en el gr´afico.

15Esta idea, que tiene muchas ramificaciones, reaparecer´a en otra forma en el Tema 4.

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