Tarea 3 Soluciones. persona 1, persona 2, persona 3...

Tarea 3 Soluciones

1. Demuestra por inducci´on la f´ormula de Gauss.

Extracto del libro Spivak:

La propiedad m´as fundamental de los n´umeros naturales es el principio de inducci´on matem´atica. Sup´ongase que P(x) sigifica que la propiedad P se cumple para el n´umero x. Entonces el principio de inducci´on matem´atica afirma que P(x) es verdad para todos los n´umeros naturales x siempre que:

1. P(1) sea verdad.

2. Si P(k) es verdad, tambi´en lo es P(k+1)

N´otese que la condici´on (2) se limita a afirmar la verdad de P(k+1) bajo el supuesto de que P(k) es verdad. Esto basta para asegurar la verdad de P(x) para todo x si tambi´en se cumple la condici´on (1). En efecto, si P(1) es verdad, se sigue entonces que P(2) es verdad [aplicando (2) al caso partic- ular k = 1]. Ahora, puesto que P(2) es verdad, se sigue que P(3) es verdad [aplicando (2) al caso particular k = 2]. Es evidente que todo n´umero ser´a al- canzado alguna vez mediante una serie de etapas de esta clase, de manera que P(k) ser´a verdad para todos los n´umeros k.

Una ilustraci´on muy corriente del razonamiento que justifca la inducci´on matem´atica considera una fila infinita de personas,

persona 1, persona 2, persona 3 . . .

Si cada persona ha recibido instrucciones de contar cualquier secreto que oiga a la persona que le sigue (la que tiene el n´umero siguiente) y se cuenta un secreto a la persona 1, es evidente entonces que cada persona se enterar´a ir- remisiblemente del secreto. Si P(x) es el acerto de que la persona n´umero x se enterar´a del secreto, entonces las istrucciones dadas(contar todos los secretos que se oigan a la persona siguiente) significan que la condici´on (2) se cumple, mientras que contar el secreto a la persona 1 hace que se cumpla la condici´on (1).

Ahora si la soluci´on,

La f´ormula de Gauss dice lo siguiente:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n + 1) 2 Para demostrar esta f´ormula,

Paso 1. N´otese primero que se cumple para n=1.

1 = 1(1 + 1)

2 = 1(2) 2 = 1

Paso 2. Sup´ongase ahora que para alg´un entero k se tiene:

1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1) 2 Entonces,

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = k(k + 1)

2 + k + 1 = k(k + 1) + 2k + 2 2

= k²+ 3k + 2

2 = (k + 1)(k + 2) 2

de manera que la f´ormula es tambi´en verdad para k + 1. Por el principio de inducci´on, esto demuestra que la f´ormula es v´alida para todos los n´umeros naturales n. 

2. Escribe dos ejemplos de cada uno de los incisos.

Funci´on.

Una funci´on es una relaci´on entre un conjunto dado X (el Dominio) y otro conjunto Y (el Codominio), donde a cada elemento de x del dominio le corresponde un ´unico elemento del codominio f (x). Y se denota por f : A → B.

Ejemplos:

Sean A el conjunto de las mujeres y B el conjunto de los hombres. La relaci´on de las parejas (x, y) tales que, ”x tiene un s´olo hombre corre- spondiente a y”, es una funci´on f : A → B.

Sea f : Z → N dada por f (n) = n² + 1 para toda n ∈ N . Es una

funci´on pues cada entero que te tomes, le asignas un ´unico natural.

Otra manera de ver la funci´on: Usualmente X y Y son conjuntos de n´umeros. Podemos comparar una funci´on con una m´aquina a la cual se le introduce el elemento x y cuya salida correspondiente es f (x).

Funci´on Inyectiva. Una funci´on f : X → Y es inyectiva si para cuales quiera dos elementos distintos de X, le corresponden dos elementos dis- tintos de Y , es decir, a cada elemento del conjunto X le corresponde un solo valor de Y tal que, en el conjunto X no puede haber dos o m´as elementos que le correspondan el mismo elemento de Y . Por ejemplo, f (x) = x² no es inyectiva pues a −2 y 2 les corresponde el mismo valor.

Ejemplos: Sea X = {1, 2, 3} y Y = {a, b, c, d}, sea f : X → Y tal que f (1) = a, f (2) = b, f (3) = c. Es una funci´on inyectiva. Notar que puede haber elementos en Y a los cuales no les pegue la funci´on.

Sea f : Z → Z dada por f (n) = 2n, entonces f es inyectiva porque f (n) = f (m) ⇒ 2n = 2m ⇒ m = n.

Funci´on Suprayectiva. Una funci´on f : X → Y es suprayectiva si cada elemento de Y es la imagen de al menos un elemento de X. Si para todo y ∈ Y ∃x ∈ X tal que f (x) = y.

Ejemplos: Sea X = {1, 2, 3} y Y = {a, d}, sea f : X → Y tal que f (1) = a, f (2) = a, f (3) = d. Es una funci´on suprayectiva, pues para cada elemento de Y , existe un elemento en X que le pega. Y no es inyectiva pues f (1) = f (2) y 1 6= 2.

Sea f : Z → N dada por f (n) = |n|, es una funci´on suprayectiva, pero no inyectiva.

Funci´on Biyectiva. Una funci´on f : X → Y es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. Notar que para que una funci´on pueda ser biyectiva, el conjunto X y el conjunto Y , deben de tener el mismo n´umero de elementos.

Ejemplos: Sea f : Z → Z dada por f (n) = n, es una funci´on biyectiva, pues es claramente inyectiva y sobre.

3. Escribe con tus palabras una definici´on de n´umero primo.

Sol. Decimos que un entero p distinto de ±1 es primo si sus ´unicos divisores son ±1 y ±p.

4. En el tri´angulo ABC sabemos que el ´angulo CBA es el doble del ´angulo BCA, el lado CA es 2 unidades mayor que el lado AB y BC mide 5. ¿Cu´anto miden AB y CA?

Definici´on. Semejanza de tri´angulos.Decimos que dos tri´angulos ABC y A₁B₁C₁ son semejantes si sus ´angulos respectivos son iguales y sus lados hom´ologos son proporcionales, es decir,

∠ABC = ∠A1B₁C₁

∠ACB = ∠A1C₁B₁

∠BAC = ∠B1A₁C₁ AB

A1B1

= BC B1C1

= CA C1A1

Sol.

1. Trazamos la bisectriz del ∠ABC, de tal forma que corte en el punto D al segmento AC. Entonces tenemos que ∠ABD = ∠DBC.

2. Notar que el tri´angulo DBC es is´osceles, pues ∠DBC = ∠BCD y DC = BD.

3. Observar que el tri´angulo ABC es semejante a el tri´angulo ADB.

4. A partir de lo anterior y lo que nos dice el problema,contamos con la siguiente informaci´on:

por (3),

AB

AD = AC

AB = BC DB

ahora sustituimos,

x

AD = x + 2

x = 5

DB

sabemos que AD = x + 2 − DC y por (2) DB = DC, sustituimos, x

x + 2 − DC = x + 2

x = 5

DC Usamos la ´ultima parte de la igualdad,

5

DC = x + 2

x ⇒ DC = 5x

x + 2(∗) por otro lado,

x

x + 2 − DC = 5

DC ⇒ x(DC) = 5(x + 2 − DC)

⇒ x(DC) = 5x + 10 − 5(DC) ⇒ x(DC) + 5(DC) = 5x + 10

⇒ (DC)(x + 5) = 5(x + 2) ⇒ DC = 5(x + 2) x + 5 (∗∗) Ahora igualando (*) y (**),

5x

x + 2 = 5(x + 2)

x + 5 ⇒ x(x + 5) = 5(x + 2)² 5

⇒ x²+ 5x = x²+ 4x + 4 ⇒ x²− x²+ 5x − 4x = 4 ⇒ x = 4 Por lo tanto, AB = x = 4 y AC = x + 2 = 6.

5. Tres hombres con sus esposas quieren cruzar el r´ıo en un bote en el que s´olo caben dos personas al mismo tiempo. Como los maridos son muy celosos, ninguna mujer puede quedarse en compan´ıa de un hombre a menos que su esposo est´e presente. ¿Pueden cruzar el r´ıo en menos de 8 viajes?

Sol. Independientemente de los celos, veamos si es posible que 6 personas vayan de un lado del r´ıo al otro en a lo m´as 8 viajes. Primer viaje van dos personas, se queda una y la otra hace un viaje de regreso. As´ı tienen que hacer otros 3 viajes (ida y regreso). Hasta este punto hay 4 personas del otro lado del rio. Y se necesita un ´ultimo viaje para que las ultimas dos personas

crucen. En total fueron 9 viajes no importando quien iba con qui´en. Entonces no se puede cruzar el r´ıo en menos de 8 viajes.

6. Irune orden´o sus mu˜necos: Kuro no est´a junto Pelu, ni Pelu junto a Ted- dy, y entre Luna y Pelu hay un mu˜neco. Si Tigre es el segundo mu˜neco de izquierda a derecha, ¿qu´e lugar ocupa Pelu?

Sol. Supongamos que el orden, de izquierda a derecha, es Kuro, Tigre, Pelu, entonces ya no podemos colocar ni a Teddy, ni a Luna. An´alogamente, si el orden fuera Kuro, Tigre, Luna, no podr´ıamos colocar ni a Teddy, ni a Pelu.

Si el orden fuera Pelu, Tigre, Luna, en el cuarto lugar puede ir Kuro y en el quinto Teddy, o viceversa. Si iniciamos con Luna Tigre, Pelu, tampoco podemos colocar a Teddy ni a Kuro. Por lo tanto, el primer mu˜neco es Pelu.

7. Definimos la operaci´on ∗ como

A ∗ B = A + 2B 3

¿Cu´al es el valor de [(4 ∗ 7) ∗ 8] − [4 ∗ (7 ∗ 8)]?

Sol. Haciendo las operaciones, obtenemos que: 4 ∗ 7 = ⁴⁺²⁽⁷⁾₃ = ¹⁸₃ = 6 y 7 ∗ 8 = ⁷⁺²⁽⁸⁾₃ = ²³₃. Similarmente, 6 ∗ 8 = ⁶⁺²⁽⁸⁾₃ = ²²₃ y 4 ∗ ²³₃ = ⁴⁺²₃²³³ = ⁵⁸₉. Por lo tanto, [(4 ∗ 7) ∗ 8] − [4 ∗ (7 ∗ 8)] = ⁸₉.

8. Mario guarda estampas en una caja. Un d´ıa cuenta 15 estampas y a partir de ese d´ıa:

cada d´ıa pone 10 estampas m´as en la caja,

cada 4 d´ıas saca 3 estampas y se las regala a Pedro,

cada 8 d´ıas saca, adem´as, 1 estampa y se la regala a Juan.

¿Despu´es de cu´antos d´ıas habr´a 2006 estampas en la caja?

Sol. Despu´es de cuatro d´ıas, habr´a 37 estampas m´as en la caja y despu´es de cuatro d´ıas habr´a 36 estampas de m´as en la caja. Es decir, cada 8 d´ıas el n´umero de estampas en la caja habr´a aumentado en 73. Lo que queremos es llegar a 2006 estampas, es decir, aumentar 1991 estampas a las 15 que tiene

Mario al inicio. Si dividimos 1991 entre 73, el resultado es 27 y deja residuo 20. Por lo que despu´es de 27×8+2 = 218 d´ıas habr´a 2006 estampas en la caja.

9. Luis, Carlos, Bruno y David se reparten 2011 dulces de la siguiente man- era: el primero, Luis, toma 1² dulces, el segundo Carlos, 2² dulces, Bruno toma 3², David 4², Luis 5², etc. Si no hay suficientes dulces para que la per- sona tome el cuadrado, entonces toma 1² y la secuencia se vuelve a repetir.

¿Qui´en toma el ´ultimo dulce?

Sol. Vamos a utilizar que la suma de los primeros n cuadrados es 1²+ 2²+ 3²+ ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)

6 Luego, buscamos el mayor n´umero n, tal que n(n+1)(2n+1)

6 ≤ 2011. Observemos que para n = 17 obtenemos,

1²+ 2² + 3²+ ... + 17² = 1785.

Si aumentamos 18² = 324, tenemos que 1785 + 324 > 20011. Luego, despu´es de 17 turnos, empieza la sucesi´on nuevamente. Ahora vemos que

1² + 2²+ ... + 8² = 204,

por lo cual 1785 + 204 = 1989, por lo que nos faltan 17 dulces para 2006.

Finalmente tenemos que 1²+ 2²+ 3² = 14, lo que nos da 1989 + 14 = 2003 y s´olo restan 8 dulces. Hasta este momento han pasado 17 + 8 + 3 = 28 turnos, luego el siguiente turno le corresponde a Luis que escoge 1² = 1, Carlos toma 2² = 4 dulces y, ahora solo quedan 3 dulces, le tocas a Bruno tomar 1¹ = 1, despu´es David toma 1¹ = 1, y finalmente, Luis toma el ´ultimo dulce.

10. La esposa de Juan ronda los 40 a˜nos. Si escribes tres veces seguidas la edad de Juan se obtiene un n´umero que es producto de su edad multiplicada por la de su mujer y la de sus 4 hijos. ¿Qu´e edad tiene su hijo mayor?

Sol. Denotemos la edad de Juan por ab. Entonces tenemos que:

ababab = 1000ab + 100ab + ab

= 10101ab

= (1 × 3 × 7 × 13 × 37)ab Por lo tanto, el hijo mayor de Juan tiene 13 a˜nos.