Son aquellas que tienen las mismas soluciones.
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Ejemplo:
Son las que se obtienen una de la otra y tienen infinitas soluciones comunes.
Son las que no se obtienen una de la otra, cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución son simultáneas.
Ecuaciones incompatibles, son ecuaciones independientes que no tienen solución común.
5 8 2
y x
y
x son simultaneas porque:
x=3 y=2
satisfacen ambas ecuaciones
Ecuaciones simult
á
neas:
Ecuaciones equivalentes:
•
Se clasifican según el número de ecuaciones y según el número de incógnitas.
Ejemplo:
2x + 3y=5 x + y=8
3x + y + z = 2 x + y + z = 0 5x -2y + 3z =-8
•Solución de un sistema de ecuaciones es encontrar los valores de las incógnitas que hagan simultáneamente verdaderas a todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo:
La solución es : ,
Sustituyendo x, y en las ecuaciones:
• Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución. • Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución.
• Un sistema de ecuaciones es imposible o incompatible cuando no tiene solución. • Un sistema incompatible es indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.
Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Es un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas.
5 4
13 3 2
y x
y x
2
x y 3
Ecuaciones simultáneas (tienen las mismas soluciones).
13 13
13 9 4
13 3 3 2 2
13 3 2x y
5 5
5 3 8
5 3 2 4
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales existen dos métodos:
•
El método gráfico significa obtener la gráfica de cada línea, el punto donde cortan éstas líneas, es la solución del sistema.
Si una recta pasa por un punto, las coordenadas de este punto satisfacen la ecuación de la recta. Si las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación de una recta, dicho punto pertenece a la recta.
Por tanto, la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas representa las
coordenadas del punto de intersección de las dos rectas que representan las ecuaciones. Resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en hallar el punto de intersección de las dos rectas.
Existen tres posibilidades que pueden ocurrir al graficar dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
GRÁFICO
ALGEBRAICOS
POR ELIMINACIÓN
POR DETERMINANTES
•POR IGUALACIÓN •POR SUSTITUCIÓN
•POR SUMA Y RESTA
COMPATIBLES
INCOMPATIBLES
DETERMINADO. Una sola solución.
CASO 1. Las líneas se cortan:
COMPATIBLE-DETERMINADO.
Ejemplo 1.
•Despejar una incógnita en ambas ecuaciones.
En este caso despejaremos y (por ser la incógnita más sencilla).
•Damos valores a la incógnita
x,
(pueden tener cualquier valor, pero generalmente se empieza de cero, por ser éste el valor más sencillo).•Realizamos una tabla para cada ecuación, en donde anotes los valores de x.
•Resolvemos cada ecuación, sustituyendo en
x cada valor, posteriormente anotamos los
valores obtenidos de y en la tabla para ayudarnos.Ecuación 1 Ecuación 2
1 5 2 y x y x x y y x 2 5 5 2 x y x y x y y x 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1
(multiplicamos por –1 a todos los términos
de la ecuación, para que y sea positiva).
5 ) 0 ( 2 5 0 y y x x
y 5 2 y 1 x
x y
a 0 5 b 2 1 c 3 -1
1 4 5 ) 2 ( 2 5 2 y y y x 1 6 5 ) 3 ( 2 5 3 y y y x 1 0 1 0 y y x 1 2 1 2 y y x 3 4 1 2 y y x
x y
•Representa gráficamente. Uniendo los puntos x, y de cada recta.
•Observa: La solución esta en las coordenadas donde se cortan las dos rectas (punto de intersección).
• Las ecuaciones son: compatibles independientes.
CASO 2. Las líneas coinciden:
COMPATIBLE-INDETERMINADO.
Ejemplo 2.
•Despejar una incógnita en ambas ecuaciones.
En este caso despejaremos y (por ser la incógnita más sencilla). a (0, 5)
c (3, 1)
b,e (2, 1) f (4, 3)
d (0, -1)
5 2x y
1 y x
2
x y 1
18 9 6
6 3 2
y x
y x
3 2 6
2 6 3
6 3 2
x y
x y
y x
9 6 18
6 18 9
18 9 6
x y
x y
•Damos valores a la incógnita
x,
(pueden tener cualquier valor, pero generalmente se empieza de cero, por ser éste el valor más sencillo).•Realizamos una tabla para cada ecuación, en donde anotes los valores de x.
•Resolvemos cada ecuación, sustituyendo en
x cada valor, posteriormente anotamos los
valores obtenidos de y en la tabla para ayudarnos.Ecuación 1
Ecuación 2
•Representa gráficamente. Uniendo los puntos x, y de cada recta.
•Observa: La solución es una infinidad de puntos comunes, las rectas coinciden en su totalidad (son ecuaciones equivalentes).
• Las ecuaciones son: compatibles y dependientes
.
x y
a -3 4 b 0 2 c 6 -2
x y
d -3 4 e 0 2 f 6 -2 3 2 6 x y 9 6 18 x y 4 3 12 3 6 6 3 3 2 6 y y y y 2 3 6 3 0 6 3 0 2 6 y y y y 2 3 6 3 12 6 3 6 2 6 y y y y 4 9 36 9 18 18 9 3 6 18 y y y y 2 9 18 9 0 18 9 0 6 18 y y y y 2 9 18 9 36 18 9 6 6 18 y y y y
a, d (-3, 4)
b, e (0, 2)
c, f (6,- 2)
6 3 2x y
CASO 3. Las líneas son paralelas:
INCOMPATIBLES.
Ejemplo 3
•Despejar una incógnita en ambas ecuaciones.
En este caso despejaremos y (por ser la incógnita más sencilla).
•Damos valores a la incógnita
x,
(pueden tener cualquier valor, pero generalmente se empieza de cero, por ser éste el valor más sencillo).•Realizamos una tabla para cada ecuación, en donde anotes los valores de x.
•Resolvemos cada ecuación, sustituyendo en
x cada valor, posteriormente anotamos los
valores obtenidos de y en la tabla para ayudarnos.Ecuación 1 Ecuación 2
5 2 y x y x
x y
a -2 0 b 0 2 c 2 4
x y
d 0 5 e -3 2 f -5 0 2 1 2 1 2 2 x y x y x y y x 5 1 5 1 5 5 x y x y x y y x 2 x
y y x 5
•Representa gráficamente. Uniendo los puntos x, y de cada recta.
•Observa: No hay puntos de intersección, el sistema NO tiene solución (las rectas son paralelas).
• Las ecuaciones son: incompatibles e independientes.
a (-2, 0)
c (2, 4)
f (-5, 0)
d (0, 5)
5 y
x x y 2
•
Resolver el siguiente sistema:
Ecuación 1………
Ecuación 2………
•Despejar una incógnita en una de las ecuaciones.
En este caso despejaremos la incógnita y, de la ecuación 1 (por ser la incógnita más sencilla).
•Sustituye el valor de y (de la ecuación despejada), en la otra ecuación (ecuación 2).
•De esta manera, tenemos una ecuación con una incógnita, y así hemos eliminado a x.
•Resuelve dicha ecuación.
•Sustituyendo el valor de x =1 en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2). •Sustituyendo en la ecuación 1.
•Comprobación.
5 3 4
1 2
y x
y x
x y
y x
2 1
1 2
5 2 1 3
4x x
2 2
3 5 2
5 6 3 4
5 2 1 3 4
x x
x x
x x
1 x
2 1
1 2
1 1
2
y y
y
3 y
1 3 2
1 3 1 2
1 2x y
5 5
5 9 4
•
Resolver el siguiente sistema:
Ecuación 1………
Ecuación 2………
Sólo difiere en una ligera variante del método de sustitución.
•Despejar cualquiera de las incógnitas en ambas ecuaciones. Luego, igualándolas se encuentra el valor de una incógnita y al sustituir ese valor, se encuentra la solución del sistema.
En este caso despejaremos la incógnita x.
•Despejando x enEcuación 1:
•Despejando x enEcuación 2:
•Se igualan entre sí los dos valores de x que hemos obtenido. 5
3 4
8 2 3
y x
y x
3 2 8
2 8 3
8 2 3
y x
y x
y x
4 3 5
3 5 4
5 3 4
y x
y x
y x
4 3 5 3
2
•Resolver dicha ecuación y así, se obtiene el valor de una de las incógnitas.
Recordemos… Ecuaciones Fraccionarias: Resolveremos la ecuación mediante productos cruzados.
•Sustituir el valor de y, en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2).
•Sustituyendo en la ecuación 1 (generalmente se sustituye en la más sencilla).
•Comprobación.
17 17
17 17
32 15 9 8
9 15 8 32
3 5 3 2 8 4
4 3 5 3
2 8
y y
y y
y y
y y
y y
1 y
3 6 6 3
2 8 3
8 2 3
8 1 2 3
x x x x x
2 x
8 8
8 2 6
8 1 2 2 3
5 5
5 3 8
•
Consiste en multiplicar los dos miembros de cada ecuación por números que convengan, para que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.
Resolver el siguiente sistema:
Ecuación 1………
Ecuación 2………
•Multiplica los dos miembros de la ecuación 1 por 5, y los miembros de la ecuación 2 por 2, para eliminar a x.
•Obtenemos ecuaciones equivalentes en las que los coeficientes de x son iguales.
NOTA:
Se suman las dos ecuaciones si sus coeficientes son iguales.
Se restan las dos ecuaciones si sus coeficientes son iguales y del mismo signo. 29
7 5
12 3 2
y x
y x
1er. miembro
2do. miembro
1er. miembro
2do. miembro
29 5 7 5 5
12 5 3 2 5
y x
y x
58 14 10
60 15 10
y x
y
x sus coeficientes son
iguales y del mismo signo.
Por lo tanto se restan.
58 14
10
60 15 10
y x
y x
Restamos las ecuaciones.
•
Sustituyendo el valor de y =2 en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2).
•
Sustituyendo en la ecuación 1.
•
Comprobación.
2 6
6 12 2
12 6 2
12 2 3 2
x x x x
3 x
12 12
12 6 6
12 2 3 3 2
29 29
29 14 15
