Apuntes sobre las Teorías del Átomo

(1)

Apuntes sobre las Teorías del Átomo

La idea de átomo como último constituyente indivisible de la materia fue atribuida a los filósofos griegos Leucipo y Demócrito en 450 a.c. pero fue redescubierto por Dalton en 1803 Leucipo (450 a.c.)

Cualquier trozo de materia, por muy pequeño que sea, siempre puede dividirse en otros aún más pequeños. Finalmente una de estas partículas podría ser tan pequeña que ya no podría seguir dividiéndose.

Demócrito (470 – 380 a. de C.)

Llamó átomos –que significa “indivisible”- a las partículas que habían alcanzado el menor tamaño posible.

Supuso que los átomos de cada elemento eran diferentes en tamaño y forma, y que eran estas diferencias las que conferían a los elementos sus distintas propiedades. Las substancias reales, que podemos ver y tocar están compuestas de mezclas de átomos de diferentes elementos, y una substancia puede transformarse en otra alterando la naturaleza de la mezcla.

Demócrito no basó sus afirmaciones en la experimentación, sino en la argumentación a partir de “primeros principios”.

Con Aristóteles se abandonó este campo de pensamiento por parecerles paradójico. Tito Lucrecio Caro (95 – 55 a de C.)

Lucrecio expuso la teoría atómica en un poema –“De Rerum Natura”- sobre la naturaleza de las cosas.

Dalton 1803,

1- Para Dalton los átomos son esferas sólidas que se unen para formar moléculas. 2- Resume las leyes cuantitativas de la química:

a) Ley de conservación de la masa (Lavoisier) b) Ley de las proporciones definidas (Proust) c) Ley de las proporciones múltiples (Dalton)

- Los elementos químicos están formados por partículas muy pequeños e indivisibles llamadas átomos.

- Los átomos son indivisibles y no se pueden crear ni destruir en una reacción química. - Cada átomo de un elemento es exactamente igual a otro del mismo elemento y

diferente de otros átomos de otros elementos.

- Cuando los átomos se combinan entre sí, lo hacen en proporciones de pequeños números enteros.

Thomson (1897)

El primer modelo atómico estático y sin núcleo fue el de Thomson (1897). Según este modelo, el átomo consistía en una esfera uniforme cargada positivamente en la que los electrones estarían incrustados en la masa positiva, como las semillas en una sandía. Los electrones podrían ser arrancados de la esfera si la energía era suficiente.

(2)

Protones: Carga eléctrica positiva (1.6 10−19_{C.) y su masa}≅_{a la de un átomo de} Hidrógeno.

Neutrones: Se encuentran en el núcleo junto con los protones, no tienen carga eléctrica y su masa es aproximadamente igual a la del protón.

Electrones: La masa es muy pequeña. La carga eléctrica es negativa (- 1.6 10−19_{C.) o igual} a la del protón.

Rutherford (1911)

La idea del núcleo atómico como parte central del átomo, cargada positivamente y que contiene casi toda la masa fue introducida por Rutherford (1911).

El modelo de Rutherford describe el interior de un átomo como un sistema solar o planetario, siendo el núcleo cargado positivamente el sol y los planetas los electrones.

Rutherford descubrió que el átomo poseía un núcleo central. La totalidad de la carga positiva estaría concentrada en el núcleo y los electrones girarían alrededor para no precipitarse sobre él por la carga eléctrica. Como consecuencia del desvío que sufrían

algunas partículas

α

, pensó que éstas deberían chocar con una gran masa de elevada carga eléctrica positiva; las cuales estarían concentradas en el núcleo.

Los datos experimentales indicaban que el radio del núcleo era unas 10.000 veces menor que el del átomo. El átomo estaría prácticamente hueco.

El núcleo estaría formado por protones – carga positiva -, neutrones – masa – y rodeando al núcleo estarían los electrones -carga negativa – orbitando a su alrededor. Nucleones:

El núcleo atómico está constituido por protones y neutrones (Chadwick-1932-Los neutrones serían partículas con masa parecida a los protones pero sin carga)

Número atómico Z:

El número de protones, que es igual al de electrones -en el átomo neutro- Identifica a un elemento.

Número másico A:

Es el número de nucleones: A = Z + N ⇒ XA

Z Siendo N = número de neutrones. Isótopos:

Un elemento puede tener átomos de diferente número másico, es decir, puede contener átomos de distinta masa atómica.

Masa atómica:

Es la media de las masas atómicas de los distintos átomos que forman un elemento, ponderadas de acuerdo con su abundancia relativa.

100

∑

⋅

= Ai Xi

A

Siendo: A = Masa atómica del elemento natural. Ai = Masa atómica de cada isótopo. Xi= % de cada isótopo.

(3)

Consideraciones a esta teoría:

a) Los electrones al girar alrededor del núcleo tenían que emitir energía radiante, con lo cual, irían perdiendo energía y al final se precipitarían sobre el núcleo.

b) No se explican los espectros discontinuos observados, formados por rayos luminosos de frecuencias características.

Bohr (1913)

La diferencia esencial con el átomo de Rutherford es que aplica al átomo la idea de

cuantificación. Las órbitas de los electrones en torno al núcleo son estacionarias y la energía del electrón en ellas varía con los números enteros.

En = -E0 ₂ 1 n

⋅ (con n = 1, 2, 3,…)

Los radios de las órbitas están también cuantizados: r = r0 n2 (con n = 1, 2, 3, …). Con el modelo de Bohr se daba explicación a los espectros de emisión observados por Balmer en el átomo de Hidrógeno:

] 1 2 1 [ ₂ ₂ n R⋅ − = ν con n = 1, 2, 3, … y a Rydberg [ 1 1₂] 2 2 1 n n R⋅ − =

ν la cual para los distintos valores de n1, se obtienen una serie distinta:

Para n1 = 1 ⇒ Serie de Lyman y n2 = 2, 3, 4,… (UV) “ n1 = 2 ⇒ Serie de Balmer y n2 = 3, 4, 5,… (Vis) “ n1 = 3 ⇒ Serie de Lyman y n2 = 4, 5, 6,… (IR) “ n1 = 4 ⇒ Serie de Lyman y n2 = 5, 6, 7,… (IR) “ n1 = 5 ⇒ Serie de Lyman y n2 = 6, 7, 8,… (IR)

Postulados de Bohr (para el Hidrógeno 1913)

1. Los electrones en un átomo se mueven en órbitas circulares alrededor del núcleo sujetos por la atracción electrostática entre ambos, obedeciendo las leyes de la mecánica clásica.

2. El electrón solo puede girar en una órbita, aquella cuyo momento angular L sea un múltiplo entero de π 2 h . ⇒ Estados estacionarios. ⇒ m⋅r⋅v = π 2 h n

3. El electrón no emite radiación electromagnética cuando se mueve en éstas órbitas. Por tanto, su energía total permanece constante.

(4)

4. Se absorbe radiación electromagnética si un electrón, inicialmente en una órbita de energía E1, cambia a una órbita de mayor energía E2, es decir que E2 > E1. La frecuencia de la radiación absorbida es :

h E E2 − 1

=

ν

Si el salto se produce de E2 a E1, la energía ∆E =ν ⋅h será emitida.

Obtención del radio de Bohr (a

0

):

Fc = Fe ⇒ R v m 2 = ₂ 2 R e Z K ⋅ , siendo K = πε 4 1 , ⇒ 2 v m⋅ = R e Z K 2 ⋅ (i) Por el segundo postulado: L = n

π 2 h ⇒ L = nh con h = π 2 1 R∧P = nh ⇒ (mv)2 = (n R h )2 ⇒ m2v2 = n2 2 2 R h ⇒ 2 v m⋅ = m R n ⋅ ⋅ 2 2 2 _h (ii)

Igualando (i) y (ii) tendremos:

R e Z K 2 ⋅ = m R n ⋅ ⋅ 2 2 2 _h ⇒ R = m e K Z n ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 _h ⇒ R = a0 Z n2 _{⇒ a} 0 = m e K⋅ ⋅ ⋅ 2 2 h ⇒ a0 = 0,529 o A

Obtención de la energía:

Como la Ec = 2 2 1 v m⋅

-Modificación del modelo de Bohr-

- Cada nivel de energía se subdivide en subniveles muy cercanos entre sí. - Introdujo el número cuántico secundario o azimutal “l “

Valores posibles para l: 0, 1, 2, …, (n-1)

Para cada valor de l le corresponde un subnivel de energía: l = 0 ⇒ subnivel “s”

l = 1 ⇒ “ “p” l = 2 ⇒ “ “d” l = 3 ⇒ “ “f”

Orbital: A cada subnivel “región del espacio, caracterizada por una determinada energía, donde la probabilidad de encontrar un electrón es del 99 %”.

(6)

Modelo mecanocuántico:

Es un modelo de tipo matemático en el que desaparece la noción de órbita, que es substituida por la de orbital. La magnitud de los niveles energéticos pasan a depender de cuatro números cuánticos: n, l, m, s, que permiten explicar los espectros de átomos complejos. La magnitud que describe el estado del electrón es la función de onda Ψ cuyo cuadrado da idea de la probabilidad de encontrar al electrón en un punto dado.

Antecedentes: Broglie -1924 –

Propone que una partícula -pe. un electrón- puede considerarse como una onda: OM: E=h⋅ν ; Fotón: _E =_mc2_;

λ

ν

= c ⇒

λ

c h mc2 = ⋅ _⇒ c m h ⋅ =

λ

⇒ p h =

λ

Heisemberg -1927-

“Cuanto mayor sea la precisión en la posición, menor será la precisión del momento en ese instante, y viceversa.”

Es imposible conocer a la vez la posición y la velocidad de un objeto con precisión.

π

4 h p x⋅∆ ≥ ∆ ;

π

4 h t E⋅∆ ≥ ∆

En un experimento dado materia y radiación presentan un comportamiento de onda o de partícula de una manera complementaria, pero nunca simultáneamente –como la paradoja de La Fontaine sobre el murciélago-

Para poder observar un electrón, sería necesario emplear fotones. Los fotones, como

portadores de energía, al incidir sobre un electrón le producirían un cambio en el movimiento y la velocidad.

Schrödinger -1926-

Propuso una ecuación de onda para explicar el movimiento de partículas subatómicas ligadas. Es la combinación de una onda estacionaria con una partícula mediante la relación de Broglie.

En un átomo de Hidrógeno o ión con un solo electrón, el electrón se mueve en un campo esférico y centrado en el núcleo cuyo potencial es:

r e Z V 0 2 4

πε

⋅ − = En donde Z = número atómico y r = radio de giro.

La ecuación de schrödinger quedaría:

1- Onda estacionaria para una dimensión:

Ψ = Asen

(

wt+kx

)

, con k

λ

π

2

=

λ

π

x sen A 2 ₂ 2 2 2 ⇒ ₂ 2 x ∂ Ψ ∂ = - ₂ Ψ 2 4

λ

π

(7)

2- Energía de una partícula: E = Ec + V ⇒ E = ½ m v2 + V

π

_⇒ 2 2 x ∂ Ψ ∂ =

(

E V

)

m h − ⋅ 2 4 2 2

π

_Ψ _⇒ 2 2 x ∂ Ψ ∂ ₌

(

)

2 2 2 4 h V E m⋅ − ⋅ ⋅ −

π

Ψ ⇒ 2 2 x ∂ Ψ ∂ ₌₋

₍

La solución de la ecuación de Schrödinger ha de cumplir:

Ψdebe ser una función de valor único

Ψen ningún punto puede ser igual a 1

Ψpara r =∞debe ser cero

Ψdebe estar normalizada; Condición de Born es decir el valor de Ψ2 en un punto

representa la densidad de probabilidad de encontrar al electrón en dicho punto y el producto dV

⋅ Ψ2

, la probabilidad de encontrar al electrón en un volumen dV . La probabilidad de encontrarlo en un volumen V sería:

∫

Ψ

V dV

2 _{Y para todo el espacio:}

∫

Ψ

espaciodV 2 _{= 1}

(8)

Coordenadas polares esféricas para el átomo de Hidrógeno

X =

r⋅sen

θ

⋅cos

φ

r =

x2 + y2 +z2

(

r

,

ϕ

,

θ

)

Ψ

Y =

r⋅sen

θ

⋅cos

φ

x y g

φ

= tan

Z=

r⋅cosθ

r z =

θ

cos

x

r

x

∂

⋅

∂

Ψ

∂

=

∂

Ψ

∂

+

x

∂

⋅

∂

Ψ

∂

θ

+

∂

x

∂

⋅

∂

Ψ

∂

φ

(i)

y

r

y

∂

⋅

∂

Ψ

∂

=

∂

Ψ

∂

+

y

∂

⋅

∂

Ψ

∂

θ

+

y

∂

⋅

∂

Ψ

∂

φ

(ii)

z

r

z

∂

⋅

∂

Ψ

∂

=

∂

Ψ

∂

+

z

∂

⋅

∂

Ψ

∂

θ

+

z

∂

⋅

∂

Ψ

∂

φ

(iii)

(i)

x

r

∂

⋅

∂

Ψ

∂

:

z y x x x r + + ⋅ = ∂ ∂ 2 2 2 2 1 = r x = r sen r⋅

θ

⋅cos

θ

_⇒ θ θ ⋅cos sen ⇒

x

r

∂

⋅

∂

Ψ

∂

=

senθ⋅cosθ r ∂ Ψ ∂

x

∂

⋅

∂

Ψ

∂

θ

:

r z =

θ

sen r sen r r x ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ∂ ∂ 3 cos cos

=

r sen

φ

θ

⋅ cos

⇒ ⇒

x

∂

⋅

∂

Ψ

∂

θ

=

θ

φ

∂

θ

Ψ ∂ ⋅ ⋅ r cos cos

(9)

x

∂

⋅

∂

Ψ

∂

φ

sen r sen ⋅ − _⇒

x

∂

⋅

∂

Ψ

∂

φ

=

θ

φ

sen r sen ⋅ −

φ

∂

Ψ

∂

(i)

= ∂ Ψ ∂ x senθ ⋅cosθ ∂r Ψ ∂

+

θ

φ

θ

∂ Ψ ∂ ⋅ ⋅ r cos cos

-

θ

φ

sen r sen ⋅

∂

φ

Ψ

∂

(ii)

y

r

∂

⋅

∂

Ψ

∂

:

r =

2 2 2 z y x + +

⇒

y r ∂ ∂ ₌ 2 2 2 2 2 1 z y x y + + ⋅ ⋅ ₌ r y = r sen sen r⋅

θ

⋅

φ

_⇒ ⇒

y

r

∂

⋅

∂

Ψ

∂

=

r sen sen ∂ Ψ ∂ ⋅ ⋅

φ

θ

y ∂ ∂ ⋅ ∂ Ψ ∂

θ

:

θ cos = r z

⇒

y ∂ ∂cos

θ

= y r z ∂ ∂

⇒ y r z ∂ ∂ = 2₂ 2 r r y z ⋅ ⋅ ⋅ − = ₃ r y z⋅ −

;

y ∂ ∂cos

θ

= y sen ∂ ∂ ⋅ −

θ

⋅ cos

θ

∂ Ψ ∂ ⋅ y ∂ ∂ ⋅ ∂ Ψ ∂

φ

:

z y tag

φ

=

θ

cos 1 ⋅ ⋅sen r ⇒ y ∂ ∂φ

φ

2 cos 1 =

φ

θ

cos 1 ⋅ ⋅sen r ⇒ ∂y ∂φ ₌

φ

θ

φ

cos cos2 ⋅ ⋅sen r ⇒ ∂y ∂φ ₌

θ

φ

sen r⋅ cos _⇒ y ∂ ∂ ⋅ ∂ Ψ ∂

φ

=

θ

⋅ cos

θ

∂ Ψ ∂ ⋅

+

θ

φ

sen r⋅ cos

φ

∂ Ψ ∂ ⋅

(10)

(iii)

z

r

∂

⋅

∂

Ψ

∂

:

z

r

∂

= r z ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 1 = r r⋅cos

θ

⇒

z

r

∂

⋅

∂

Ψ

∂

= r ∂ Ψ ∂ ⋅

θ

cos z ∂ ∂ ⋅ ∂ Ψ ∂

θ

:

z=r⋅cosθ ⇒ r =cos

θ

z

;

z sen ∂ ∂ ⋅ −

θ

= r z 2 2 2 r r z z r− ⋅ = ₂ 2 r r z r−

θ

∂ Ψ ∂ ⋅ − ∂ Ψ ∂ ⋅ = ∂ Ψ ∂ r sen r z cos

Elevando al cuadrado cada uno de los operadores anteriores y sumándolos obtendremos el operador _∇2_{en coordenadas polares esféricas:}

2 ∇ = _      ∂ Ψ ∂ + ∂ Ψ ∂ + ∂ Ψ ∂ 2 2 2 2 2 2 z y x = {(senθ ⋅cosθ ∂r Ψ ∂

+

θ

φ

θ

-θ

φ

sen r sen ⋅ ∂φ Ψ ∂

₎

2

+

+ (

φ

θ

+

r sen

φ

+ (

θ

∂ Ψ ∂ ⋅ ⋅ ∂ Ψ ∂ ⋅ r sen r cos

)

2

}

Desarrollando los cuadrados: (senθ ⋅cosθ r ∂ Ψ ∂

+

θ

φ

θ

-θ

φ

₎

2 =a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc ⇒

θ

2 2 cos ⋅ sen ₂ 2 r ∂ Ψ ∂ + 2 2 2 2 2 cos cos

θ

φ

θ

∂ Ψ ∂ ⋅ ⋅ r +

θ

φ

2 2 2 sen r sen ⋅ 2 2 φ ∂ Ψ ∂ ₊ 2 r sen ∂ Ψ ∂ ⋅ ⋅

φ

θ

cos

θ

φ

θ

-

2senθ ⋅cosθ r ∂ Ψ ∂

θ

φ

sen r sen ⋅ ∂φ Ψ ∂ _- 2

θ

φ

θ

φ

(11)

(

φ

θ

+

r sen

φ

θ

r sen

φ

-

2

θ

∂ Ψ ∂ ⋅ ⋅ ∂ Ψ ∂ ⋅ r sen r cos

2

θ

(

2

φ

2

φ

₎

(

)

2 2 2 2 2 cos cos r sen sen

φ

θ

φ

θ

+ + 2 2

θ

∂ Ψ ∂ _⇒ 2 2 2 cos r sen

θ

+ 2 2

θ

θ

∂ Ψ ∂

(

θ

φ

2 2 2 sen r sen ⋅ +

θ

φ

θ

φ

θ

∂ Ψ ∂ ⋅ ∂ Ψ ∂ ⋅ ⋅ sen r r sen cos cos 2 =

φ

θ

φ

θ

∂ Ψ ∂ ∂ Ψ ∂ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − sen r sen 2 cos cos 2 +

φ

θ

φ

θ

∂ Ψ ∂ ∂ Ψ ∂ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ sen r sen 2 cos cos 2

= 0

(12)

r

∂ Ψ ∂ ∂ Ψ ∂ r ⇒ r

sen

θ

cos

φ

cos

θ

2⋅ ⋅ 2 ⋅

θ

∂ Ψ ∂ ∂ Ψ ∂ r + r sen sen

θ

θ ⋅Φ_m

( )

φ

Componente radial

↓

Componente angular Soluciones:

Parte radial:

Las funciones radiales Rn, l(r) dependen principalmente de: Distancia al núcleo.

Números cuánticos n y l.

Probabilidad de encontrar al electrón para un r=entre 0 y ∞. Rn,l (r) =

(

)

(

)

[

]

3 0 4 3 3 ! 1 ! 1 4 a n n z l n ⋅ ⋅ + ⋅ − − l a n r z       ⋅ ⋅ ⋅ 0 2 na0 r z e ⋅ ⋅ − L2_nn₊+_ll       ⋅ ⋅ ⋅ 0 2 a n r z _{Con n= 1,2,3,… y, l= 0,1,2,…,(n-1)}

(13)

Parte angular:

Determinan la forma y orientación de los orbitales.

Φ m,

( )

φ

= π 2 1 _±_⋅ _⋅_φ ⋅ im e Con l=0,1,2,… y m=0,±1,±2,...,±l Θl,m,

( )

θ

=

(

)

(

)

(

)

! 2 ! 1 2 m l m l l + − + Plm (cosθ ) Con l=0,1,2,… y m=0,±1,±2,...,±l

Forma de los orbitales:

Las funciones de onda Ψn, l, m expresada en coordenadas polares (r,θ, ), se pueden φ

descomponer en una parte radial, que no depende de m, –función del radio- y otra angular, que no depende de n, es decir:

Ψn, l, m

(r,

θ,φ

) = R

n, l

(r) A

l, m

(

θ,φ

)

Ejemplos:

Para el orbital 1s tendremos: n=1, l=0, Rn, l = (Constante) (Polinomio) (Exponencial); en este caso: R1,0 = 2Z3/2 1 e-Z.r Siendo r = r/a0 Para el 2s, R2,1 = 2 2 2 3 z (2- Zr) e-Zr/2

La parte angular: Al, m

para los orbitales s es

π 2 1 Para el 2p: R2,0 = 2 2 3 ) ( 6 2 r Z e r Z Z − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ y, la pz sería: Al, m= θ π cos 2 3

Números cuánticos:

n= Número cuántico principal, n= 1, 2, 3, …

Define la energía media del electrón situado en las capas K, L, N, … l = Número cuántico secundario, azimutal, l=0, 1, 2, …, n-1

Caracteriza la forma de los orbitales atómicos. l=0 ⇒ s; l=1 ⇒ p; l=2 ⇒ d; l=3 ⇒ f; l=4 ⇒ g; …

m= Número cuántico magnético, también ml, m=± 1, ±2, ±3, ±l Caracteriza las diferentes opciones de orientación de los orbitales. s = Número cuántico de spín, también ms ,

Nos indica los dos estados de orientación del electrón sobre sí mismo. Orbitales:

La función de onda Ψpara una combinación de valores n, l, m se llama orbital.

Un orbital es una función de onda que nos da el 90% de probabilidad de encontrar a un electrón -con una determinada energía- en una región del espacio.