Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: 9º Periodo: 2º Docente: Esp. BLANCA ROZO BLANCO Duración:
Área: Matemática Asignatura: Matemática
ESTÁNDAR: Identifica diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Formula y soluciona problemas por medio de sistemas de ecuaciones lineales.
EJE(S) TEMÁTICO(S):
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2X2,3X3
DESIGUALDADES
ORIENTACIONES
1) Observaciones sobre el desarrollo de la guía 2)Lectura texto guía
(seguir correctamente las instrucciones dadas , 3)Explicación por parte del docente atención y concentración durante las explicaciones, 4)Desarrollo del taller asignado en grupo. leer comprensivamente, orden , pulcritud.) 5) Se valorarán todos los momentos de la guía
EXPLORACIÓN
Cambie el cuadro con las incógnitas (???) por uno de los tres que están a la derecha (a ,b, c):
01.
02.
03.
04.
CONCEPTUALIZACIÓN
SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Un sistema de ecuaciones lineales se compone de dos o más ecuaciones lineales.
Un sistema se caracteriza por su dimensión. La dimensión de un sistema se determina según el número de
ecuaciones y de variables involucradas en el sistema.
Un sistema de dos ecuaciones en dos variables se dice que es de dimensión 2x2. Un sistema de dos ecuaciones en
tres variables se dice que es de dimensión 2x3. Un sistema de tres ecuaciones en tres variables se dice que es uno 3x3.
Ejemplo 1
8 y 2 x 4 y x 2
dimensión 2x2; HAY DOS ECUACIONES Y DOS VARIABLES Ejemplo 2 2 z y 2 x 1 z y x
dimension 2x3; HAY DOS ECUACIONES Y TRES VARIABLES Ejemplo 3 1 c b 2 a 10 c b a 0 c b a 2
dimensión 3x3; HAY TRES ECUACIONES Y TRES VARIABLES
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es una expresión algebraica de la forma: a x + b y = c
a’x + b’y = c’
donde a, b, c, a’, b’ y c’ son números conocidos: x e y son las incógnitas.
Una solución de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de valores (x, y) que verifican las dos ecuaciones. Si un sistema tiene solución, se llama compatible o consistente; y, si no la tiene, incompatible o
inconsistente, Si tiene infinitas soluciones se llama consistente dependiente..
Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
TIPOS DE SOLUCIÓN
Consideremos un sistema como el siguiente:
SISTEMA COMPATIBLE
Si admite soluciones.
La compatibilidad de un sistema se determina a partir del determinante de la matriz 2x2 que constituye el sistema o equivalentemente de los cocientes de la primera ecuación y la segunda.
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Si admite un número finito de soluciones; en el caso de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, si el sistema es determinado solo tendrá una solución. Su representación gráfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores de x e y de ese punto son la solución al sistema.
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es compatible determinado cuando:
Por ejemplo, dado el sistema:
Podemos ver, que: Lo que da lugar a que las dos rectas se corten en un punto.
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.
Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:
Tomando la x como variable independiente, y la y como variable dependiente, según la expresión anterior, asignando valores a x obtendremos el correspondiente de y, cada par (x, y), así calculado será una solución del sistema, pudiendo asignar a x cualquier valor real.
SISTEMA INCOMPATIBLE
El sistema no admite ninguna solución.
El sistema admite un número infinito de soluciones; su representación gráfica son dos rectas coincidentes. Las dos ecuaciones son equivalentes y una de ellas se puede considerar como redundante: cualquier punto de la recta es solución del sistema.
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es indeterminado si:
Por ejemplo con el sistema:
Se puede ver:
En este caso, su representación gráfica son dos rectas paralelas y no tienen ningún punto en común porque no se cortan. El cumplimiento de una de las
ecuaciones significa el incumplimiento de la otra y por lo tanto no tienen ninguna solución en común. Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es incompatible si:
Por ejemplo, dado el sistema:
Se puede ver que:
La igualdad:
1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES - MÉTODO GRÁFICO.
Para aplicar el método gráfico se realizan los siguientes pasos:
1) Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.
2) Se construye para cada una de las ecuaciones la tabla de valores correspondientes. 3) Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4) Se hallan los puntos de intercepción. Puede suceder los siguientes casos:
Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (figura 1). Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2).
Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura 3).
EJEMPLO
Solucionar el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Hacemos una tabla para cada ecuación.
Luego, representamos los valores obtenidos en un par de eje cartesianos. En el eje horizontal (eje de las abscisas) represento los valores de X y en el eje vertical (eje de las ordenadas) represento los valores de Y.
Desde el punto de intersección de las dos representaciones graficas de las funciones trazamos rectas perpendiculares a cada uno de los ejes.
2) RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN
Tenemos que resolver el sistema: esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas
dadas, de las cuales se conoce su ecuación.
Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente (en este caso
elegimos y):
Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también lo son, por lo tanto igualamos: Luego:
Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda): Operamos para hallar el valor de y: y=2. Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):
Ahora sí, podemos asegurar que x= 4 e y = 2
3) RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN.
Tenemos que resolver el sistema: Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación): Y la reemplazamos en la otra ecuación:
Operamos para despejar la única variable existente ahora:
Hallamos la respuesta x= 4, y = 2,
4) RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN
Tenemos que resolver el sistema: El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas
aditivas, sabiendo que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número. También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.
Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero?
La respuesta es -2. Veamos:
Con lo que obtenemos:
Y la sumamos la primera obteniéndose:
-7y = -14
y = 2
Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:
Y finalmente hallar el valor de x:
Ejercicio: Resuelve por este método:
5) RESOLUCIÓN POR DETERMINANTES
CONCEPTO DE MATRIZ
Se denomina m a t r i z a todo conjunto de números o un arreglo de a x n números ordenados dispuestos en forma
Cada uno de los números de que consta la m a t r i z se denomina e l e m e n t o . Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la f i l a y la c o l u m n a a la que pertenece.
El número de filas y columnas de una matriz se denomina d i m e n s i ó n de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3... El conjunto de m a t r i c e s de a f i l a s y n c o l u m n a s se denota por Am x n o ( ai j) , y un e l e m e n t o cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por ai j.
Dos m a t r i c e s son i g u a l e s cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
DETERMINANTES 2X2
Sabemos que un determinante se representa como:
d
c
b
a
Este se calcula de la siguiente manera: det = a·d – b·c Sea el sistema:
a1x + b1y = c1
a2x + b2 y = c2
El valor de x está dado por:
2 2 1 1 2 2 1 1
b
a
b
a
b
c
b
c
x
e 2 2 1 1 2 2 1 1b
a
b
a
c
a
c
a
y
Ejemplo. Resolver el sistema:: 4 14 56 6 20 54 110 5 2 3 4 5 18 3 22 2 2 1 1 2 2 1 1 b a b a b c b c x 2 14 28 14 44 72 14 18 2 22 4 2 2 1 1 2 2 1 1 b a b a c a c a yEl punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)} Resuelve, por determinantes:
ACTIVIDAD.
CONSULTA Y ESTUDIA LA REGLA DE CRAMER
Teoría y ejercicios. Prepare exposición,
Regla de Sarrus para calcular un determinante asociado a una matriz de orden 3x3. Teoría y ejercicio
Prepare exposición,
SOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES VARIABLES.
En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Cada una de las ecuaciones representa un plano. De acuerdo con las posibles relaciones que se den entre los tres planos, se determina el tipo de solución que tiene el sistema.
Mientras las ecuaciones lineales de dos dimensiones representan rectas, las ecuaciones lineales con tres variables:
Ax + By +Cz = D , representan planos. Para representar un plano se necesitan tres puntos que no estén en la misma
recta. Y estos se determinan encontrando tres soluciones. Representar gráficamente la ecuación 4x + 3y + 2z = 12
Solución:
Buscamos tres triplas que satisfagan la ecuación.
Las triplas más fáciles de encontrar son las correspondientes a los puntos de intersección del plano con cada uno de los ejes. Estas se obtienen al hacer que dos de las tres variables sean cero y resolviendo la ecuación para la otra.
Ubicamos en el eje de tres coordenadas y trazamos el plano determinado por la ecuación 4x + 3y + 2z = 0. Todos los puntos que pertenezcan a este plano son soluciones de la ecuación.
SISTEMAS DE 3X3
Se llaman así porque están compuestos por 3 ecuaciones y con 3 incógnitas. Ejemplo:
x + y + z = 1 x + y + 2z = 2 2x + y + z = 3
Resolución de la primera ecuación para x se tiene x = 5 + z 2 - y 3, y conectar esta en la tercera ecuación de rendimiento y en segundo lugar
Resolución de la primera de estas ecuaciones para los rendimientos y = 2 + 3 z, y conectar esta en los rendimientos segunda ecuación z = 2. Ahora tenemos:
Sustituyendo z = 2 en la segunda ecuación se obtiene y = 8, y la sustitución z = 2 y = 8 en el rendimiento de la primera ecuación x = −15. Por lo tanto, el conjunto de soluciones es el único punto (x, y, z) = (−15, 8,
DETERMINANTE DE ORDEN 3X3 = = a1 1 a2 2 a3 3 + a1 2 a2 3 a 3 1 + a1 3 a2 1 a3 2 - - a 1 3 a2 2 a3 1 - a1 2 a2 1 a 3 3 - a1 1 a2 3 a3 2 . = 3 · 2 · 4 + 2 · ( - 5 ) · ( - 2 ) + 1 · 0 · 1 - - 1 · 2 · ( - 2 ) - 2 · 0 · 4 - 3 · ( - 5 ) · 1 = = 2 4 + 2 0 + 0 - ( - 4 ) - 0 - ( - 1 5 ) = = 4 4 + 4 + 1 5 = 6 3
Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).
Ejercicios y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52 patas, ¿cuántos conejos y patos hay? Tenemos que determinar:
1. Cuáles son las incógnitas. 2. Qué relación hay entre ellas.
En este caso la propia pregunta dice cuáles son las incógnitas: el número de conejos y el número de patos. Llamaremos
x al número de conejos e y al número de patos: y
Sabemos que cada conejo y cada pato tienen una sola cabeza.
Por tanto: el número de conejos por una cabeza, más el número de patos por una cabeza también, tienen que sumar 18: x + y = 18. Por otra parte, los conejos tienen cuatro patas y los patos sólo tienen dos. Por tanto: el número de conejos por cuatro patas cada uno, más el número de patos por dos patas, tienen que sumar 52: 4x + 2y = 52. La cuestión es: qué valores de x e y cumplen las dos ecuaciones al mismo tiempo; esto es, las dos ecuaciones forman un sistema y el valor de la x y de la y es la solución de un sistema de dos ecuaciones:
Ya tenemos el sistema de ecuaciones perfectamente representado, primero veremos que clase de sistema es, y si admite solución o no, podemos ver que: . Luego el sistema es compatible determina, por lo que tendrá una única solución y podemos solucionarlo por cualquiera de los métodos ya vistos. Por ejemplo, el de reducción.
Si ahora la primera ecuación la cambiamos de signo, (multiplicándola por -1), tendremos:
sumamos las dos ecuaciones:
Con lo que tenemos que x= 8. Sustituyendo este valor en la primera ecuación, tenemos:
con lo que ya tenemos la solución del problema:
Podemos comprobar estos resultados en el enunciado del problema para comprobar que son correctos. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por medio la regla de Cramer
a) 2x + 5y = 4 3x + 2y = -5 b) 3x – 5y = 9 x + 2y = -4 c) x + 4y = 5 4x – 7y = -26
6. A un fabricante de ropa le han pedido 5 pantalones, 3 sacos, 12 camisas y 16 corbatas. El precio de cada pantalón es de $65, el de un saco $72. el de una camisa $44 y el de cada corbata $20.
a) Expresa mediante una matriz fila el pedido de ropa.
24.- Calcula los determinantes de cada una de las siguientes matrices: -3 2 -1 4 9 1 a) 4 -5 8 b) 7 9 -2
9 -2 3 -5 3 2
ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN
1)Buscar en el diccionario el significado de:
a)sistema, lineal, incompatible, compatible, sustitución, igualación, reducción, sustitución, matriz, determinante cofactor,
2)Resuelve utilizando los métodos de Igualación, Sustitución, Reducción y Determinantes: 1) 3x + 2y = 21 2) 5x – y = 11 3) x + y = 11 4) 4x + 5y = 3 5) 4(x + 2) = -6y 6) 3x + y = 7 x + 2y = 0 2x – y = 1 5x – y = 22 6x – 10y = 1 3(y + 2x) = 0 6x + 2y = 3 7)
2
5
3
2
7
x
y
y
x
8)2
3
23
5
6
17
x
y
x
y
9)3
7
9
5
2
23
y
x
x
y
10)6
8
20
5
3
8
x
y
y
x
2) Resolver los siguientes determinantes
2
2
5
1
3
4
A
7 4 1 0 1 2 B 6 5 4 3 2 1 A 4 3 2 1 2 0 B
1
1
A
3 2 1 B 0 3 2 7 5 1 BResuelve el sistema de ecuaciones:
1) 2) 3 ) 4 )
Soluciona los siguientes problemas.
1) Para llevar 4 docenas de huevos y 3 libras de mantequilla, Angélica debe pagar$14.100; pero si lleva solo 3 docenas de huevos y una libra de mantequilla, el valor será de $ 8.700. Ella desea saber cuánto vale una docena de huevos y una libra de mantequilla (resolver por el método de eliminación).
2) El departamento de Educación Física del colegio compró 18 balones para las prácticas de fútbol y de voleibol, por un valor de $ 864.000. ¿Cuántos balones de cada deporte de compraron si un balón de fútbol cuesta $ 50.000 y uno de voleibol $ 44.000.(Resolver por el método de sustitución.
3)En los grados 9A y 9B de un colegio mixto, la distribución entre estudiantes hombres y mujeres es a si: 9A: 2x +3y = 30
9B: x +5y = 36
En este caso, x representa el número de hombres y, y el número de mujeres. ¿Cuántos estudiantes varones hay en total? ¿Y cuantas mujeres?
4) En un centro educativo el terreno disponible parar las prácticas deportivas es de forma rectangular y tiene un perímetro de 800 metros. Si el largo equivale al doble de su ancho disminuido en 50 metros. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?
5) Hallar dos números cuyo cociente sea 4/5 y su producto 80. Solución: (8, 10) y (-8, -10). 6) Hallar dos números cuya suma es 40 y su producto 256. Solución: (8, 32).
7) Don Renato tiene 37 animales entre conejos y gallinas, que sumando sus patas nos dan 100. ¿Cuantos conejos y gallinas tiene?
8) Si al numerador de una fracción le sumas 4 y al denominador le restas 2,la fracción equivale a 2, y si al Numerador le restas 3 y al denominador le sumas 4,la fracción equivale a 3/11 m. halla la fracción.
mide cada lado del triángulo?
SOCIALIZACIÓN
1) Puesta en común del trabajo desarrollado. 2) Retroalimentación de posibles dudas.
3) Evaluación escrita del tema visto. 4)Se evalúa la participación activa de todos los estudiantes. 5) Revisión de corrrecciones. 6) Revisión del trabajo desarrollado
COMPROMISO
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando los diferentes métodos.
a)
4
2
10
2
13
x
y
x
y
b)2
5
0
3
2
19
x
y
x
y
c)4
13 3
2
5
13
x
y
x
y
d)6
1
3
2
12
x
y
y
x
e)2
2
3
6
7
10
x
y
x
y
f)1
2
5
1
3
7
x
y
x
y
g)2
3
6
3
2
1
x
y
x
y
h)5
3
0
8
29
x
y
x
y
Resuelve los sistemas de ecuaciones: 1) 2)
1) Encuentra dos números enteros tales que su suma sea 85 y su diferencia 21.
2) Si la suma de la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de un número es 17, y si a este número se le resta 9, las cifras se invierten. ¿Cuál es el número?
3) Dos números están en la relación ¾ .Si el menor de ellos se disminuye en 5 y el mayor en 5, entonces la relación entre ellos es 2/3. Halla los números.
4) L a suma de tres números positivos es 50. Si el menor de ellos es cuatro veces la suma del intermedio y del mayor, y además el mayor es igual a la suma de los otros dos, halla los números.
5) Dentro de 6 años la edad de julio será los 2/3 de la edad de Pablo. Hace 5 años la edad de Julio era 3/10 de la edad de Pablo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno de ellos?
6) El perímetro de un triángulo isósceles es 21 cm. La base del triángulo es 6 unidades más larga que cualquiera de sus lados iguales. ¿Cual es la longitud de cada lado?
7) Un tren parte de una estación hacia el este. Una hora más tarde, un segundo tren viajando a una velocidad mayor que el primero en 10 km/h, parte de la misma estación en dirección oeste. Tres horas después de la salida del primer tren, los dos se encuentran a 330km uno del otro. ¿Cuál es le velocidad de desplazamiento de cada tren si esta es constante y el viaje de los dos trenes es sin escala?
8) Dos ángulos suplementarios son tales que la medida de uno de ellos es 20º menos que el triplo del segundo. ¿Cuál es la medida de cada ángulo?
9) La edad de Claudia excede en 4 años la edad de Andrea. Si ambas edades suman 32.Hallar las edades de Claudia y Andrea
ELABORÓ REVISÓ APROBÓ
NOMBRES
Esp. Blanca Rozo Blanco Lic. Yaira Liceth Rincón
CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico
