EJERCICIO 5. Viga biapoyada en elasticidad bidimensional
Estudiar mediante un modelo de elasticidad bidimensional el comportamiento de una viga biapoyada de 6 m de luz, cuya sección transversal tiene 0,2 m de ancho y 0,4 m de canto. El material de la viga es hormigón armado con un módulo elástico E = 30 GPa y un coeficiente de Poisson = 0,2. La viga soporta una carga distribuida uniforme de 20 kN/m y no se considera el efecto del peso propio ni se modelizarán las armaduras del hormigón.
1 Creación de la geometría del modelo
La geometría de un modelo en Abaqus/CAE se define en los módulos Part y Sketch. Dado que en este ejercicio se trata de una estructura simple, la geometría del modelo se definirá mediante una única parte. La creación de partes se realiza en el módulo Part, mediante el comando definido en la Tabla 1
Tabla 1. Comandos de creación de una parte
Acción Módulo Acceso por menú Icono Crear una nueva parte Part Part > Create
Al ejecutar el comando de creación de una parte se muestra el formulario de la Figura 1, donde debe introducirse en el campo Name un nombre unívoco1 para la parte que se va a generar y a continuación seleccionar las opciones adecuadas para el tipo de modelo estructural considerado.
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Los nombres deben tener 38 caracteres como máximo y no pueden comenzar con un número ni comenzar o finalizar con un espacio o un guión bajo (_). Tampoco pueden contener comillas dobles (“), puntos (.) o barras inclinadas a la izquierda (\).
En este ejemplo se utiliza la teoría de la elasticidad bidimensional, por lo que el espacio de modelado (Modeling Space) debe ser bidimensional (2D Planar) y la Base Feature, que determina la clase de geometría que tendrá la parte, debe ser Shell. En el campo Type debe seleccionarse la opción Deformable, siempre que no quiera modelarse un cuerpo rígido. Por último en el campo Approximate size debe indicarse el tamaño aproximado de la dimensión mayor del modelo2.
Al pulsar el botón se accede al módulo Sketch (Figura 2), donde se dibujará la Base Feature a partir de la que se generará la geometría de la parte. En el caso de un modelo en elasticidad bidimensional la Base Feature será la geometría de la estructura en el plano, que es un rectángulo de 6 x 0,4 m. Para ello se utiliza el comando correspondiente indicado en la Tabla 2.
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Este valor únicamente influye en el tamaño de la cuadrícula de apoyo el módulo sketch.
Figura 1. Formulario de creación de una parte
Figura 2. Espacio de dibujo del módulo sketch
Tabla 2. Comandos de dibujo
Acción Módulo Acceso por menú Icono
Dibujar un punto Sketch Add > Point
Dibujar una polilínea Sketch Add > Line > Connected lines Dibujar un rectángulo Sketch Add > Line > Rectangle
Dibujar un círculo Sketch Add > Circle
Para dibujar el rectángulo se deben especificar dos vértices opuestos del mismo. Esto puede hacerse pulsando directamente con el botón izquierdo del ratón en el espacio de dibujo o introduciendo el valor de las coordenadas en el cuadro inferior, identificado con la etiqueta enter X,Y. En este ejemplo, el primer vértice del rectángulo se posicionará en el origen y el segundo en el punto x = 6, y = 0,43.
Una vez dibujado el rectángulo, para salir de la herramienta de dibujo se pulsa el icono o la tecla Esc. Como ya se ha finalizado con el dibujo de la sección puede salirse del módulo sketch pulsando el botón y se retorna al módulo Part, donde se muestra la geometría de la parte que se ha creado.
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2 Definición de propiedades del modelo
Una vez establecida la geometría del modelo, el siguiente paso es definir sus propiedades, lo que incluye las características de los materiales y las dimensiones de aquellos componentes que no han quedado definidas en la geometría creada en el módulo Part. En este ejemplo, al definir la geometría se ha dibujado el alzado de la viga, es decir, un rectángulo de 6 x 0,4 m, pero es necesario introducir también el ancho de la sección transversal para que el modelo quede completamente definido.
Las propiedades de un modelo se introducen en el módulo Property y en la Tabla 3 se muestran los comandos necesarios para ello.
Tabla 3. Comandos de introducción de propiedades
Acción Módulo Acceso por menú Icono Crear material Property Material > Create
Crear sección Property Section > Create Asignar sección Property Assign > Section
En primer lugar, deben definirse las propiedades de los materiales de la estructura y mediante el comando de crear material se accede al formulario de la Figura 3.
En el campo Name se introduce un nombre unívoco para el material y a continuación se elige el comportamiento que se quiere asignar al material en cuestión. En este caso, se emplea la teoría de la elasticidad para modelar el comportamiento del hormigón, que se considerará un material homogéneo e isótropo.
Figura 3. Definición de las propiedades de un material
Por ello, basta con pulsar el botón y elegir la opción Elasticity > Elastic. A continuación en el campo Type se elige el comportamiento isótropo y se introduce el módulo de Young y el coeficiente de Poisson4 en la tabla Data.
El paso siguiente consiste en crear las secciones transversales que se asignarán a cada una de las partes de la estructura. Mediante el comando de creación de secciones (Tabla 3) se accede al formulario de la Figura 4, donde se introduce un nombre para la sección transversal en el campo Name y se selecciona la opción Solid en el bloque Category. Dado que en este ejemplo se considera el material homogéneo en el bloque Type debe elegirse la opción Homogeneus.
Pulsando el botón se muestra el formulario de la Figura 5 donde se elige el material que se asigna a la sección y, dado que se emplea la teoría de la elasticidad bidimensional, debe introducirse el espesor que se asigna al estado de tensión o deformación plana que se tenga en cada caso. En este ejemplo se modela el comportamiento de la viga suponiendo un estado de tensión plana, por lo que en el campo Plane stress/strain thickness debe introducirse el ancho de la viga.
Figura 4. Creación de una sección Figura 5. Definición de una sección
El último paso para completar esta fase consiste en asignar las propiedades definidas a cada una de las regiones del modelo. En este ejemplo sólo se tiene una parte por lo que se hará una única asignación. Para ello se utiliza el comando de asignación de secciones (Tabla 3) y se seleccionan mediante el ratón las regiones en cuestión (Figura 6), que se identifican en color rojo. Al finalizar se pulsa el botón .
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Abaqus/CAE admite utilizar notación científica e introducir operaciones simples en los campos de datos. Así, expresiones del tipo 2+3*50E6 pueden utilizarse para facilitar la entrada de datos al usuario.
Figura 6. Asignación de secciones a las regiones del modelo
A continuación se presenta en pantalla el formulario de la Figura 7, donde en el campo Section se escoge una de las secciones definidas previamente y en el bloque Thickness se elige la opción From section, para que el espesor de la región seleccionada en la Figura 6 se tome del valor introducido al definir la sección en el formulario de la Figura 5.
Al pulsar el botón se completa la definición de propiedades del modelo y si el proceso se ha ejecutado correctamente, la geometría se mostrará en color verde, para indicar que a esas regiones ya se les
han asignado propiedades. Las regiones sin asignación de propiedades se mostrarán en color gris.
3 Ensamblado del modelo
Se denomina ensamblado del modelo al proceso mediante el cual las partes que se han creado en las etapas anteriores, cada una de ellas en su propio sistema de coordenadas local independiente de las demás, se disponen en su ubicación final y se establece la posición relativa entre ellas.
El ensamblado del modelo se realiza en el módulo Assembly. En este módulo se crean copias de las partes, denominadas instancias (Instances), que se posicionan de manera relativa entre ellas en un sistema de coordenadas global.
Una instancia mantiene su relación con la parte original. Si la geometría de la parte cambia, el programa automáticamente realizará los cambios pertinentes en la instancia. De este modo, para realizar cambios en las propiedades de una instancia, debe modificarse la parte correspondiente.
Un modelo puede contener varias partes, y una parte puede dar lugar a una o varias instancias en el ensamblaje; sin embargo, un modelo sólo puede contener un único ensamblaje. En este ejemplo el ensamblado constará de una sola instancia de la parte que se ha definido. En la Tabla 4 se muestran diferentes comandos relacionados con el ensamblado del modelo.
Tabla 4. Comandos de ensamblado del modelo
Acción Módulo Acceso por menú Icono Crear instancia Assembly Instance > Create
Trasladar instancia Assembly Instance > Translate Rotar instancia Assembly Instance > Rotate Combinar instancias Assembly Instance > Merge/Cut
Para crear una instancia se utiliza el comando correspondiente de la Tabla 4, lo que da lugar a que se muestre el formulario de la Figura 8. En él se elige en primer lugar en el bloque Parts la parte de la que se va a generar una copia o instancia. El tipo de instancia puede ser dependiente o independiente. En el primer caso, la malla de elementos finitos se genera en la parte, mientras que en el segundo caso la malla se genera en la instancia.
En este ejemplo, dado que sólo se cuenta con una parte y una instancia de la misma, no existen diferencias sustanciales entre los tipos de instancia, pero en el caso de un modelo que tuviese varias instancias de una parte, el hecho de que fuesen independientes obligaría a mallar cada instancia por separado, mientras que de
Figura 8. Creación de una instancia de una parte
ser instancias dependientes, bastaría con mallar la parte correspondiente y de manera inmediata la malla se replicaría a todas sus instancias5.
Una vez generada la instancia, el resultado se presenta en la Figura 9, donde se muestra el ensamblado en color azul y en color verde el sistema de coordenadas global.
Figura 9. Ensamblado del modelo de la viga biapoyada
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No debe interpretarse este hecho como una recomendación de uso de las instancias dependientes frente a las independientes. Ambos tipos presentan ventajas e inconvenientes y debe ser el usuario el que elija el tipo más adecuado en cada caso atendiendo a las particularidades del modelo.
4 Definición de la secuencia de análisis del modelo
Una vez generado el ensamblaje del modelo debe definirse la secuencia de análisis que se van a llevar a cabo. Los análisis se organizan en steps, que son los diferentes pasos en los que se divide la secuencia de análisis. Los steps se generan en el módulo Step y en la Tabla 5 se muestran los comandos relacionados con la definición de la secuencia de análisis.
Tabla 5. Comandos de definición de la secuencia de análisis
Acción Módulo Acceso por menú Icono Crear step Step Step > Create
La secuencia de steps proporciona un modo conveniente de capturar los cambios en las cargas y en las condiciones de contorno del modelo, las variaciones en el modo en que las partes del modelo interactúan con las demás, la adición o supresión de partes a lo largo del análisis y cualquier otro cambio que puede suceder durante el curso del análisis.
Al seleccionar el comando de creación de un step se muestra el formulario de la Figura 10, donde en el campo Name se introduce el nombre del step y a continuación se selecciona el step previo al que se está definiendo6. Existen diferentes tipos de steps y para seleccionar un análisis estático debe elegirse la opción Static, General. Pulsando el botón se accede a las opciones del step (Figura 11), que en este ejemplo se dejan por defecto.
Figura 10. Creación de un step
Figura 11. Opciones de un step
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En todos los modelos siempre existe un step inicial, con el nombre Initial. Este step es el origen del análisis y no puede ser eliminado.
5 Introducción de las cargas y las condiciones de contorno
Las cargas y condiciones de contorno del modelo se definen en el módulo Load. En la Tabla 6 se presentan los comandos correspondientes.
Tabla 6. Comandos de creación de cargas y condiciones de contorno
Acción Módulo Acceso por menú Icono
Crear carga Load Load > Create
Crear condición de contorno Load BC > Create
Al accionar el comando de crear una carga se muestra el formulario de la Figura 12, donde en el campo Name se introduce el nombre de la carga y en el desplegable Step se elige en qué paso del análisis se aplicará esa carga7. Para aplicar una carga distribuida debe elegirse el tipo Pressure de la categoría Mechanical. Al pulsar el botón el programa permite seleccionar las regiones sobre las que se
aplicará la carga. En este ejemplo, debe seleccionarse la arista superior del rectángulo y pulsar el botón .
A continuación se presenta la pantalla de la Figura 13 para definir el tipo de carga elegido. En este caso, y teniendo en cuenta que se trata de una carga de presión, debe introducirse en el campo Magnitude el valor de la carga distribuida por unidad de superficie, es decir, el valor de la carga por unidad de longitud dividido por el ancho de la viga, teniendo presente que el sentido positivo de la carga es el descendente.
Figura 12. Creación de una carga Figura 13. Definición de una carga distribuida
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Normalmente, las cargas y condiciones de contorno que se definen en un step de tipo Static, General permanecen activas en los steps sucesivos, a no ser que se desactiven explícitamente.
El procedimiento para definir las condiciones de contorno es análogo al de definición de cargas. Se comienza seleccionando el comando correspondiente (Tabla 6) que muestra el formulario de creación de condiciones de contorno de la Figura 14.
Figura 14. Creación de una condición de contorno Figura 15. Definición de una condición de contorno de movimientos
En el campo Name se introduce el nombre de la condición y en el desplegable Step se elige en qué paso del análisis se activará. Para aplicar una condición de contorno de movimientos debe elegirse el tipo Displacement/Rotation de la categoría Mechanical. Al pulsar el botón el programa permite seleccionar las regiones en las que se establece la condición. En este ejemplo, debe seleccionarse en primer lugar el vértice inferior izquierdo del rectángulo, que se corresponde con el apoyo fijo izquierdo y pulsar el botón . En ese momento aparece el formulario de la Figura 15 donde se define el valor del movimiento impuesto en cada grado de libertad de los nodos que se ubicarán en la región seleccionada. En este ejemplo se impone movimiento nulo en la dirección horizontal U1 y vertical U2 para el apoyo izquierdo.
El proceso anterior debe repetirse para el apoyo derecho, pero imponiendo el movimiento nulo sólo en el desplazamiento vertical U2. Al finalizar el proceso de definición de cargas y condiciones de contorno el modelo queda como se muestra en la Figura 16.
Figura 16. Modelo con cargas y condiciones de contorno definidas
6 Generación de la malla de elementos finitos
El último paso antes de ejecutar el análisis del modelo consiste en crear la malla de elementos finitos. Esto se realiza en el módulo Mesh y en la Tabla 7 se muestran los principales comandos relacionados con esta tarea.
Tabla 7. Comandos de mallado del modelo
Acción Módulo Acceso por menú Icono
Asignar seeds a una instancia Mesh Seed > Instance
Asignar seeds a un contorno Mesh Seed > Edges Asignar controles de malla Mesh Mesh > Controls Definir el tipo de elemento Mesh Mesh > Element Type Mallar una instancia Mesh Mesh > Instance
El procedimiento comienza asignando la posición de las seeds, que son los puntos en los que se obliga al algoritmo de mallado a ubicar un nodo8. Pueden asignarse seeds a una instancia de forma global o bien pueden asignarse a los diferentes contornos del modelo. En este ejemplo se asignarán de manera global a la instancia. Para ello se ejecuta el comando correspondiente de la Tabla 7, lo que muestra el formulario de la
8
No es necesario definir la posición de todos los nodos de la malla. De hecho el proceso de definir las
seeds no es obligatorio. Sin embargo, es una norma de buena práctica realizarlo para poder tener una
malla de buena calidad. De nuevo, las particularidades de cada modelo serán determinantes a la hora de establecer el número adecuado de seeds.
Figura 17, donde en el campo Approximate global size se introduce el tamaño aproximado de los elementos.
Figura 17. Asignación global de seeds Figura 18. Asignación de controles de malla
Es útil previsualizar la ubicación de las seeds pulsando el botón . Una vez que el resultado es el deseado se pulsa el botón . El siguiente paso es el de asignar los controles de malla. Para ello se activa el comando correspondiente (Tabla 7), lo que muestra el formulario de la Figura 18. Aquí se controla el modo en el que el algoritmo de mallado del programa generará la malla a partir de la posición de las seeds. Dado que la geometría de este ejemplo es rectangular, se elige una malla de elementos cuadriláteros mediante la opción Quad y se establece una malla estructurada con la opción Structured del bloque Technique. Al finalizar la asignación de controles de malla el modelo se muestra en color verde para indicar que el programa puede generar una malla estructurada con los datos introducidos.
El último paso antes de crear la malla es elegir el tipo de elemento finito con el que se discretizará la estructura. Al ejecutar este comando (Tabla 7) el programa pregunta a qué regiones se asignará. Una vez seleccionadas se pulsa el botón y se muestra el formulario de la Figura 19. Para este ejemplo se tomará un elemento de 4 nodos en tensión plana (Plane Stress en el bloque Family) de orden lineal y con modos incompatibles.
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Crear un trabajo de análisis Job Job > Create
Mediante el gestor de trabajos (Figura 21) es posible realizar todas las tareas relacionadas con el análisis de un modelo. El paso previo para ejecutar un análisis es crear un trabajo de análisis. Esto puede realizarse mediante el comando correspondiente (Tabla 8) o bien mediante el botón en el gestor de trabajos. En la Figura 22 se muestra el formulario de creación de un trabajo. En el campo Name se introduce el nombre del mismo y a continuación se elige el modelo que se va a analizar. Pulsando el botón se muestran las opciones de ejecución del trabajo (Figura 23)
Figura 21. Gestor de trabajos Figura 22. Creación de un trabajo de análisis
Una vez creado el trabajo, se puede volver al gestor (Figura
21) para lanzarlo
mediante el botón , comenzando la ejecución del análisis. El estado en el que se encuentra la ejecución se muestra en el campo Status del gestor de trabajos. Si el trabajo finaliza correctamente el Status
cambiará a Completed y en ese momento puede accederse a los resultados pulsando el botón .
8 Visualización de resultados
Los resultados del análisis se muestran en el módulo Visualization. En la Tabla 9 se muestran los comandos más comunes utilizados para visualizar los resultados y en la Figura 24 se presenta la barra de herramientas que selecciona el resultado que se muestra en pantalla en cada momento. Los resultados de tensión se identifican con la letra S, los de deformación con la E, los movimientos con U y las reacciones con RF. Las respectivas componentes se identifican como S11, S22, S12 y sucesivos, correspondiéndose con la tensión normal en dirección 1 y 2 y con la tensión tangencial en dirección 1 y 2, respectivamente. En este ejemplo las direcciones 1 y 2 equivalen a los ejes x e y.
Tabla 9. Comandos de visualización de resultados
Acción Módulo Acceso por menú Icono
Mostrar geometría indeformada Visualization Plot > Undeformed Shape
Mostrar geometría deformada Visualization Plot > Deformed Shape Mostrar gráfico de contorno sobre
la geometría indeformada Visualization
Plot > Countours > On Undeformed Shape Mostrar gráfico de contorno sobre
la geometría deformada Visualization
Plot > Countours > On Deformed Shape
Figura 24. Barra de herramientas de selección de resultados
Los resultados que proporciona la teoría de resistencia de materiales aplicada a este ejemplo se indican a continuación. El momento flector en el centro de vano será
M PL
2
8 90kNm
Mientras que la tensión normal máxima en la sección del centro de vano es
x,max 6M
bh2 16875kPa
La flecha en el centro de vano debido a los esfuerzos de flexión y cortante es u2,max 5PL
4
384EI PL
2
8GAs 0, 01056 0, 000108 0, 0106548m Donde As es el área a cortante y G es el módulo de elasticidad tranversal
As 5 6A
G E
A continuación se comparan estos resultados con los obtenidos por el programa para el modelo discretizado mediante elementos finitos.
Utilizando el comando de mostrar gráfico de contorno sobre la geometría deformada (Tabla 9) y seleccionando como resultado U2 (Figura 24) se obtiene la deformada del modelo con los desplazamientos verticales superpuestos (Figura 25).
Figura 25. Deformada del modelo y desplazamientos verticales
Mediante el comando de mostrar gráfico de contorno sobre la geometría indeformada y seleccionando como resultado S11 se presenta en la Figura 26 la tensión normal x. Repitiendo el procedimiento y seleccionando S12 se obtiene la tensión
tangencial xy (Figura 27).
Figura 26. Tensión normal x
Figura 27. Tensión tangencial xy
En la Figura 28 se presenta el momento flector y el esfuerzo cortante obtenidos por el programa en las secciones características de apoyos y centro de vano. Puede comprobarse que existe un ligero error en el esfuerzo cortante respecto a los resultados proporcionados por la resistencia de materiales.
P secci tensi Figu Figur Por último, ión de cent ión normal ura 29. Tensi centro ra 28. Momen en la Figu tro de vano x en la fibr ión normal x o de vano (x = nto flector y e ura 29 se m (x = 3 m) ra superior ( x en la sección = 3 m) esfuerzo corta muestra la va y en la Fig (y = 0,4 m). n de F ante en seccio ariación de gura 30 se . Figura 30. Te sup ones caracter la tensión presenta la ensión norma perior (y = 0,4 rísticas normal x a variación al x en la fibr 4 m) en la de la ra
