DESARROLLO Y USO DIDÁCTICO DE GEOGEBRA

CONFERENCIA LATINOAMERICANA COLOMBIA 2012 Y XVII ENCUENTRO DEPARTAMENTAL DE MATEMÁTICAS

Memorias

FRANCISCO JAVIER CÓRDOBA GÓMEZ JORGE CARDEÑO ESPINOSA

Desarrollo y uso didáctico de GeoGebra Conferencia Latinoamericana Colombiana y XVII departamental de Matemáticas Medellín, 2, 3 y 4 de agosto de 2012

© FRANCISCO JAVIER CÓRDOBA GÓMEZ - Compilador © JORGE CARDEÑO ESPINOSA - Compilador

© Instituto Tecnológico Metropolitano Red de Investigación Elime-Gnomon Edición: febrero 2013

ISBN: 978 -958-8743-30-1 Hechos todos los depósitos legales

Publicación electrónica para consulta gratuita

Rectora

LUZ MARIELA SORZA ZAPATA

Editora

SILVIA INÉS JIMÉNEZ GÓMEZ

Secretaria técnica

VIVIANA DÍAZ DÍAZ

Corrección de textos

LILA MARÍA CORTÉS FONNEGRA

Diagramación

ALFONSO TÓBON BOTERO CARLOS ALBERTO ROJAS HINCAPIÉ

Editado en Medellín, Colombia Fondo Editorial ITM

Instituto Tecnológico Metropolitano Calle 73 No. 76A 354

Tel.: (574) 440 5197 • Fax: 440 5289

Las opiniones, originales y citaciones del texto son de la responsabilidad de los autores. El Instituto salva cualquier obligación derivada del libro que se publica. Por lo tanto, ella recaerá única y exclusivamente sobre los autores.

Se concede permiso para copiar, distribuir o modificar este documento bajo los términos de la Licencia de Documentación Libre de gnu, versión 1.3, o cualquier Desarrollo y uso didáctico de Geogebra. Conferencia Latinoamericana Colombia 2012.

XVII Encuentro Departamental de Matemáticas / compiladores Francisco Javier Córdoba Gómez, Jorge Cardeño Espinosa. -- Medellín: Fondo Editorial ITM, 2013. 477 p. : il

ISBN 978-958-8743-30-1

1. Matemáticas - Aplicaciones 2. Geogebra (Programa para computador) 3. Enseñanza con ayuda de computadores I. Córdoba Gómez, Francisco Javier, comp. II. Cardeño Espinosa, Jorge, comp. III. Encuentro Departamental de Matemáticas (17. : 2012 : Medellín). 510.285 SCDD Ed.21

Mariano Real Pérez, España Esperanza Valdés y Medina, México

Leilani Medina, México Juan Pablo Serrano, Costa Rica

Fabián Vitabar, Uruguay Juan Guillermo Rivera, Colombia

Hernán Ortiz, Colombia Elkin Castrillón, Colombia Juan Guillermo Arango, Colombia

Carlos Mario Restrepo, Colombia Héctor Herrera, Colombia Sergio Alarcón, Colombia María Cristina González, Colombia

Sara María Yepes, Colombia Carlos Alberto Rojas, Colombia

Jhon Jairo García, Colombia Jhony Alexander Villa, Colombia Francisco Javier Córdoba Gómez, Colombia

Jorge Alberto Bedoya, Colombia Jorge Cardeño, Colombia José Alberto Rúa Vásquez, Colombia

COMITÉ COORDINADOR INTERINSTITUCIONAL Instituto Tecnológico Metropolitano

Instituto GeoGebra de Medelín Universidad de Medellín

CEID-ADIDA Francisco Javier Córdoba Gómez

Coordinador Principal Jorge Cardeño Espinosa

AUTORES

Alexander Parra • Carlos Alberto Rojas H.• Carlos E. León Salinas •

Carlos Enrique Villa Arango • Carlos Mario Restrepo Restrepo • David Benítez Mojica • Davidson Paulo A. O. • Diana L. Londoño Londoño •

Diana Y. Gaviria Rodríguez • Diego I. Villa Chica • Edwin A. Carranza Vargas • Edwin A. Gómez Lindo • Elkin A. Castrillón Jiménez •

Esperanza Georgina Valdés y Medina • Fabián G. Vitabar Vaz • Farley S. Rojas Restrepo • Fernando Angulo Díaz • Ferney Tavera Acevedo •

Francisco Javier Córdoba Gómez • Héctor Herrera Mejía • Héctor M. Ruíz Vahos • Hernán D. Ortiz Alzate • Hernando Álvarez Romero •

Ismael Guillermo Lasprilla Ramírez • Jhony Alexander Villa Ochoa •

John Jairo García Mora • Jorge A. Bedoya Beltrán • José Javier Mogollón Carvajal • Juan G. Arango Arango • Juan Guillermo Rivera Berrío • Juan Pablo Serrano Echeverría • Juracélio Ferreira Lópes • Leilani Medina Valdés • Leonel Manrique Vergara • María Cristina González Mazuelo • Mariano Real Pérez • Maurício de Moraes Fontes • Natalia F. Sgreccia • Norberto Silva Cañas • Pablo Felipe Ardila Rojo • Piedad E. Ávila Mejía, RonyC.O.Freitas • Sara M. Yepes Zuluaga • Sergio Alarcón Vasco • Tulio R. Amaya De Armas • Víctor M. Uribe Villegas

1 Uso del GeoGebra como herramienta metodológica para los procesos de mediación y aprendizaje de la

Matemática ...13 2 GeoGebra y la Web 2.0. fuente de recursos para el aula ...25 3 Sobre los números primos y su tendencia: algunas

aproximaciones usando GeoGebra ...40 4 Visualización de objetos matemáticos en Trigonometría

con el uso del software GeoGebra ...65 5 Geometría de los mecanismos, experiencia de investigación

para potencializar el pensamiento geométrico en estudiantes de grado noveno de la Institución Educativa

Técnica Nacionalizada de Samacá. ...65 6 Cirugía de paladar hendido y labio leporino ...79 7 Resoluções geométricas de equações do 2º grau

em um ambiente dinâmico ...87 8 Las representaciones gestálticas en el entorno GeoGebra ...96 9 Propuestas de actividades para reconocer la

independencia de las nociones de área y perímetro

de Figuras planas ...110 10 O uso da geometria dinâmica em materiais didáticos

online para formação a distância de professores de

Matemática ...120 11 GeoGebra como vehículo para la formación y actualización

12 Orquestación instrumental de un ambiente informático

de aprendizaje: la noción de función ...143 13 Ejemplos de secuencias didácticas con pizarra interactiva ...151 14 Uso de GeoGebra para la determinacion de los puntos

notables respecto de un triángulo, a partir del conocimiento

de la longitud de sus lados ...164 15 Aplicaciones de máximos y mínimos en GeoGebra ...177 16 Una metodología para la construcción y justificación

de conjeturas a través del uso de GeoGebra ...194 17 Modelación Matemática del tiro parabólico a través

del uso de GeoGebra, una experiencia humana ...214 18 El uso de GeoGebra en la solución de algunos problemas

de modelación en Matemática escolar ...223 19 Contextualización de las nociones de familias de curvas

y la constante de integración C con GeoGebra ...237 20 Guía didáctica para transformaciones de funciones con

GeoGebra para el aula de clase ...248 21 GeoGebra ideal para prescindir totalmente del esfuerzo

rutinario dedicado a desarrollar tareas mecánicas de

trazado y parcialmente las tareas de cálculo geométrico ...260 22 Análisis de funciones trigonométricas, dinamizado en GeoGebra ...275 23 Pensamiento variacional: el estudio de las relaciones

trigonométricas en contextos ...281 24 GeoGebra en el resurgimiento de los objetos de aprendizaje ...294 25 El GeoGebra y las Matemáticas financieras ...304

html (páginas Web) con programas de geometría dinámica ...314 2 Taller sobre construccion de páginas Web con GeoGebra

y HTML5...326 3 Construcción de la pizarra interactiva con objetos de

aprendizaje en GeoGebra ...331 4 Diseño de objetos virtuales de aprendizaje (ova) con el

apoyo de GeoGebra para el análisis de funciones racionales ...344 5 Las transformaciones isométricas con el software GeoGebra. ...352 6 Diseño de actvidades de aula que promueven el trabajo

colaborativo con GeoGebra...361 7 Construcciones geométricas básicas con GeoGebra ...371 8 GeoGebra no demuestra pero su uso didáctico si ayuda:

ejemplos de modelos de cálculo y geometría ...386 9 Cônicas: construção a partir da definição e propriedades

da reta tangente ...400 10 Elaboración de objetos de aprendizaje virtuales con la

nueva versión deGeoGebra ...414 11 Modelado básico en programación lineal. Una

solución gráfica empleando una nueva herramienta de

GeoGebra 4: las desigualdades ...424 12 Uso de secuencias para promover la generalización

13 Resolución de problemas de construcción geométrica

en GeoGebra empleando lugares geométricos ...435 14 Uso de GeoGebra como herramienta didáctica dentro

del aula de Matemáticas ...446 15 Visualización del concepto de recta tangente a una

curva con ayuda de GeoGebra ...455 16 Exposición: la calculadora y su rol en el desarrollo de

La innovación en la creación de ambientes de aprendizaje dinámicos e interactivos en los cuales la integración didáctica de herramientas tecnológicas y de software matemático, en este caso GeoGebra, sean una prioridad, se ha convertido en la última década en materia de investigaciones y estudios por parte de docentes de todos los niveles educativos, investigadores, desarrolladores de software y público en general en el mundo entero.

Este evento tuvo como propósito principal dar a conocer los avances, innovaciones y experiencias, tanto en el desarrollo como en el uso didáctico de GeoGebra no solo en el aula de Matemáticas sino también en otras áreas y en diferentes niveles educativos que docentes, investigadores y expertos han estado desarrollando en Colombia y en diferentes países del mundo.

Se trató entonces de afianzar y consolidar la comunidad de GeoGebra en el ámbito regional y mundial, de tal forma que las experiencias y resultados de investigaciones y estudios pudieran ser compartidos y discutidos y que al mismo tiempo se generaran redes y comunidades de aprendizaje alrededor de GeoGebra. El Instituto GeoGebra de Medellín (IGM), junto con otras instituciones y organizaciones, mediante la realización de este evento quiso crear un contexto que facilitara y promoviera este tipo de intercambios y discusiones.

Por lo anterior, este evento se convirtió en un espacio académico y científico para la discusión y presentación de experiencias didácticas y de investigación en el uso y aplicación de nuevas herramientas y recursos en los diferentes niveles educativos.

Se espera que los esfuerzos y acciones en esta materia, tengan como objetivo principal promover más y mejores aprendizajes por parte de los estudiantes en todos los niveles educativos, tanto

en Matemáticas como en ciencias en general y al mismo tiempo permitir la formación y cualificación docente como una componente fundamental de la calidad educativa.

1.

Juan Pablo Serrano Echeverría Departamento de Gestión y Producción de Recursos Tecnológicos Dirección de Recursos Tecnológicos Ministerio de Educación Pública de Costa Rica [email protected]

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La incorporación de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en el ámbito educativo conlleva una reflexión adecuada de cómo utilizarlas como herramienta metodológica y no como un fin en sí mismas. Para ejemplificar este uso en el área de la Matemática, se muestran algunas aplicaciones desarrolladas con el GeoGebra, en las que se potencian procesos tales como la construcción de algoritmos, la visualización, la elaboración de simulaciones, así como el establecimiento de conjeturas y la evaluación dinámica de contenidos.

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A

The incorporation of information technologies and communication (ITC) in the educational field leads an accurate reflection of how to use them as a methodological instrument and not an end in themselves. To illustrate this use in the area of mathematics, there are a few applications developed with GeoGebra, which are enhanced processes such as the construction of algorithms, visualization,

simulation development, such as the deduction of concepts and dynamic evaluation of content.

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I

El uso de las tecnologías de información y comunicación (TIC) en los ambientes educativos es cada día más frecuente y necesario. Sin embargo, no debe realizarse de manera forzada y sin analizar previamente sus fortalezas como herramienta para lograr aprendizajes significativos. Segura (2008) al reflexionar sobre las TIC en la educación, sostiene que

La verdadera maestría en el uso se adquiere al aplicarlas como herramienta de búsqueda de información, de análisis, de procesamiento, de diseño, de organización, de comunicación, de simulación de procesos… en definitiva, como herramienta de trabajo en la construcción de conocimiento a lo largo de todas las etapas educativas y en todas las áreas del currículo. (p.12)

Debe tenerse en cuenta que las TIC son instrumentos, y como tales, dependen del uso que les otorgue el docente, como por ejemplo, proyectar presentaciones o corregir ejercicios realizados. Estas prácticas limitan el potencial pedagógico que poseen las TIC o que pueden llegar a tener, el cual consiste en servir como herramientas que, junto a una adecuada mediación pedagógica, ayuden a incrementar el nivel cognitivo del estudiante.

De acuerdo con Preiner (2008) la tecnología en los procesos de mediación y aprendizaje de la Matemática se puede integrar de dos formas: como manipulativos virtuales y como softwares matemáticos. Los manipulativos virtuales son ambientes de aprendizaje interactivos que generalmente están diseñados para

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

entornos de red. Por otro lado, los softwares matemáticos consisten en un compendio de elementos que permiten plantear diferentes experiencias de aprendizaje.

Un software que posee todo el potencial para lograr este fin, es el GeoGebra (www.GeoGebra.org), creado por Markus Hohenwarter en el 2002, pues permite elaborar aplicaciones que ayuden al estudiante a generar su propio conocimiento.

Por ser libre y gratuito, GeoGebra ha tenido un desarrollo muy particular. Actualmente existe un grupo de desarrolladores enfocados a agregarle nuevas funciones y también se ha convertido en una comunidad de colaboradores que comparten al mundo sus materiales y conocimiento.

Una particularidad presente en el GeoGebra, es ser un software matemático con un sinnúmero de herramientas, y que a la vez, puede generar manipulativos virtuales que no necesitan tener el software instalado para poder utilizarlos.

A continuación se ejemplifican algunos manipulativos virtuales que pretenden, junto a una adecuada mediación docente, propiciar entornos de aprendizaje en diferentes situaciones y fines.

D

El uso de las TIC en la educación no es un fin en sí mismo, ni tampoco la solución de los problemas educativos. Sobre esto, Coll (2006) expresa que: “no es la incorporación ni el uso per se de las TIC -ordenadores, periféricos o internet-, sino determinados usos de estas tecnologías, los que generan dinámicas de innovación, información y mejora de la enseñanza y el aprendizaje.”(p.167)

La tecnología no debe ser utilizada solo por el afán de usarla. Su uso debe enfocarse a buscar la manera en que se convierta en un apoyo para que la experiencia de aprendizaje sea enriquecedora.

Esto por esto que se presentan a continuación algunas aplicaciones diseñadas en GeoGebra que tienen como fin incrementar el nivel cognitivo de los estudiantes.

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C

Se presenta a continuación una propuesta para la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo, tal como se aprecia en la Figura 1.

Figura 1: Applet para el tema de suma de las medidas de ángulos internos de un triángulo

Fuente: Elaboración del autor

En esta aplicación, el estudiante puede cambiar las medidas de los lados del triángulo. Esto permite conjeturar, a través de preguntas generadoras planteadas por el docente, el resultado de sumar las medidas de los ángulos internos de cualquier triángulo. La primera pregunta generadora que se podría hacer es: ¿cuál es la relación existente entre las medidas de los ángulos internos de un triángulo?

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

luego realizar grupos de 2 o 3 personas para discutir los resultados obtenidos. Posteriormente el docente lidera una discusión plenaria para unificar conceptos. Es importante señalar que una de las riquezas de esta propuesta es que el estudiante traslada los ángulos internos del triángulo para hallar la relación geométrica de estos y luego realizar la suma de sus medidas.

C

Una aplicación puede proveer las herramientas necesarias para poder construir, a través de preguntas generadoras, un conjunto de instrucciones que conlleven a realizar una operación determinada. Uno de los temas en Matemática, que ofrece la oportunidad al estudiante de hacerlo, es el de multiplicación de fracciones propias, como lo muestra la Figura 2.

Figura 2: Manipulador para la multiplicación de fracciones propias

Fuente: Elaboración del autor

La aplicación presenta un cuadrado y unos objetos llamados deslizadores, los cuales otorgan valores a unas variables, con el fin de representar, en primera instancia, una fracción propia de la forma:

Posteriormente se solicita la interpretación de la representación gráfica de una operación, como por ejemplo 1/5 * 2/3. Después, se recomienda solicitar la realización de otras operaciones tales como

y que experimenten de forma individual.

Finalmente, hacer grupos de 2 o 3 personas para que discutan sus apreciaciones. Al igual que la propuesta anterior, el papel del docente es de observador activo. Su función es detectar dudas y proporcionar pequeñas “pistas” a aquellos que lo necesiten, pero sin resolverles el ejercicio. Luego debe promoverse la manipulación de las fracciones para realizar la multiplicación de al menos 5 casos diferentes. Se concluiría la lección con una mesa redonda para unificar criterios.

Este manipulador ha sido utilizado en Brasil y en Costa Rica. Los docentes han comentado que la experiencia ha sido positiva, pues los estudiantes han logrado comprender el concepto y luego establecer el algoritmo de la multiplicación de fracciones propias, y posteriormente generalizarlo a tanto propias como impropias.

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F

Este uso del GeoGebra es uno de los más utilizados en los procesos de mediación y aprendizaje de la Matemática, ya que el software permite construir figuras o gráficos cuya manipulación dinámica permita trabajar y entender mejor los conceptos matemáticos asociados.

La Figura 3 muestra una pirámide, la cual se puede rotar así como cambiar el tamaño y el número de lados de la base. Este manipulador permite disponer de la figura para visualizar claramente sus elementos y así poder resolver problemas que se refieran a esta. Los deslizadores presentes son la principal fortaleza, pues controlan de una manera simple y sencilla los elementos seleccionados de la

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

Figura. GeoGebra permite activar para cada uno una animación automática, tanto de forma ascendente como descendente.

Figura 3: Pirámide regular

Fuente: Elaboración del autor

Si el tema en estudio es la figura en sí misma, se recomienda que el estudiante realice una exploración elemento por elemento, anotando las características que permanezcan invariantes de un caso a otro. Luego el docente podrá fomentar la discusión en una plenaria.

s

La simulación de experimentos o situaciones en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática es importante para contrastar los resultados obtenidos con los esperados. En este aspecto, la estadística es un tema que puede aprovechar este uso de la tecnología. Al respecto

Ramírez (2012) afirma que:

Es necesario plantear actividades que estimulen la experimentación, el desarrollo de conjeturas y la búsqueda de explicaciones en un ambiente donde,

de representación, exploración y análisis de la información que resulta ser un componente importante en el desarrollo del pensamiento estadístico (p.3).

Un ejemplo interesante es la simulación de un problema que enuncia lo siguiente:

Se tiene una caja con 6 bolas de diferentes colores, a saber: rojo, azul, anaranjado, verde, gris y morado. Si se toma una bola al azar y se vuelve a poner en la caja. ¿Cuál es será probabilidad que en una extracción determinada se obtenga una bola de color azul?

Como se puede apreciar en la Figura 4, la aplicación elaborada por Daniel Mentrard simula 1000 extracciones sin reemplazo, y representa en tiempo real, un gráfico con la distribución de frecuencias. Esto permite realizar una comparación entre la frecuencia teórica esperada con la obtenida experimentalmente.

Figura 4: Simulación de un experimento estadístico

Fuente: Elaboración del autor

E

Con el GeoGebra, actualmente es posible la generación automatizada de ítems isomorfos. Esto se puede lograr con la utilización de listas

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

la par se muestra la representación gráfica de la situación, lo cual también integra uno de los procesos mencionados anteriormente: la visualización. Cabe señalar que el estudiante tiene la posibilidad de volver a realizar el ejercicio, pero con valores diferentes.

Figura 5: Ejemplo de un ítem de selección única realizado con GeoGebra

Fuente: Elaboración del autor

C

GeoGebra dispone de un comando llamado “Exporta-Hoja dinámica como página Web” que genera aplicaciones encapsuladas para ser vistas en entornos Web, utilizando un explorador de red para visualizarlas. Esto permite elaborar guías dinámicas de trabajo. No obstante, si se desea realizar un cuaderno de actividades interactivo, la situación se vuelve un poco más problemática, pues habría que crear un formulario Web y contar con un servidor donde se puedan guardar los cambios realizados.

Existen herramientas ofimáticas que permiten la inclusión de exploradores Web, y así lograr la elaboración de guías, en un procesador de texto, que admitan tanto la introducción de texto

de forma directa, como la inclusión directa de la aplicación de GeoGebra, transformándolas en cuadernos dinámicos de trabajo. La Figura 6 muestra una aplicación insertada en un documento de Microsoft Word.

Figura 6: Ejemplo de cuaderno dinámico en Microsoft Word

Fuente: Elaboración del autor

El ejemplo permite la manipulación del applet y la inclusión de texto, por lo que el estudiante tendrá al final un documento completo, con sus observaciones y la aplicación encapsulada para poder manipularla en el momento en que considere conveniente.

C

El GeoGebra es un software muy valioso que permite realizar diferentes manipuladores virtuales con intencionalidades pedagógicas distintas. Lo más importante es recalcar la labor del docente. Este debe fomentar la libre exploración, el intercambio y

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la discusión de ideas, mas no debe dejar de propiciar un espacio que permita la unificación de criterios y la definición del concepto estudiado.

El uso del GeoGebra como herramienta para establecer conjeturas, es una propuesta que puede utilizarse junto con otros procesos descritos en este documento. Por ejemplo, se puede establecer una conjetura, luego analizar la simulación de alguna situación, para finalizar con una práctica que evalúe los conocimientos adquiridos. En particular, el cuaderno dinámico de trabajo es una propuesta tanto relevante en su práctica como promisoria en la utilización de la herramienta, pues permite tener en un solo archivo el trabajo propuesto, el realizado y las observaciones correspondientes a modo de realimentación.

La inclusión del GeoGebra como herramienta metodológica para los procesos de mediación y aprendizaje de la Matemática, es muy importante pues permite que el estudiante razone, cuestione y vaya más allá de la recepción de un concepto, sino que tiene la oportunidad de vivir una experiencia de aprendizaje más enriquecedora, cognitivamente hablando.

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[1] Coll, C. (2008). TIC y prácticas educativas: realidades y expectativas. En Fundación Santillana Primera (Ed.). Las Tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en la educación: Retos y posibilidades pp. 163-176. Madrid: Editorial Santillana.

[2] Preiner, J. (2008). Introducing Dynamic Mathematics Software to Mathematics Teachers: the Case of GeoGebra. Tesis doctoral. University of Salzburg, Faculty of Natural Sciences. Austria.

[3] Ramírez, G. (2012). Un taller de simulaciones: Fathom, GeoGebra y Excel para resolver problemas controversiales de probabilidad. Revista digital Matemática, Educación e Internet, 12(2), 1-43. Recuperado el 20 de julio de 2012 de http://www.tecdigital.itcr.ac.cr/revistamatematica/.

[4] Segura, M. (2008). Las TIC en la educación: panorama internacional y situación española. En Fundación Santillana Primera (Ed.). Las Tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en la educación: Retos y posibilidades pp. 11-49. Madrid: Editorial Santillana.

2.

AuLA

Mariano Real Pérez Centro del Profesorado de Sevilla Consejería de Educación de la Junta de Andalucía (España) [email protected]

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GeoGebra nos ofrece, además de su potencial para el aula de Matemáticas y su facilidad de uso, la posibilidad de integrarla en herramientas del conjunto Web 2.0, facilitando con esta característica que el alumnado no tenga que disponer de ningún tipo de software adicional para su utilización. En esta comunicación vamos a presentar un proyecto en el que ese potencial de GeoGebra se aprovecha para ofrecer un recurso conjunto para el profesorado y el alumnado, haciendo un especial hincapié en los contenidos de Geometría. Además de integrar construcciones con GeoGebra, se ofrece gran cantidad de recursos, tanto para los que se inician en esta herramienta como para los que desean seguir profundizando en la misma. Los múltiples enlaces y el espacio de que dispone en las redes sociales facilita a docentes, alumnos y alumnas poder realizar un seguimiento de esta herramienta.

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A

GeoGebra offers us, besides its potential for math classes and its simplicity of use, the possibility of integration in the group of tools from Web 2.0. This characteristic enables students to use it without

any additional software. We are going to present a project in this presentation for the use of GeoGebra as a resort for both teacher and studentpropone el diseño e implementación de un sistema robot.

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C

El trabajo que se presenta es un blog con gran cantidad de applets de GeoGebra que han sido insertadas en el mismo para que sean utilizadas por el alumnado de Enseñanza Secundaria: 12 a 18 años. El contexto de la experiencia es por tanto la Enseñanza Secundaria. El blog que presentamos cuya dirección es http://geogebreando. blogspot.com supone un paso adelante en la importancia que debemos otorgarle a los contenidos de Geometría y a las soluciones que la geometría nos propone para determinados problemas. Los contenidos geométricos pasan a ocupar el papel que les corresponde en el currículum de Matemáticas a partir de una serie de escenas especialmente diseñadas para enganchar al alumnado y aportarles soluciones geométricas a problemas, que planteados de una forma numérica, tendrían una complicada solución fuera del alcance de los contenidos numéricos que se deben tratar en estos niveles. Así, la clasificación por niveles que se ha utilizado ha sido la española: 1º ESO (alumnado de 12 a 13 años), 2º ESO (alumnado de 13 a 14 años), 3º ESO (alumnado de 14 a 15 años), 4º ESO (alumnado de 15 a 16 años), 1º Bachillerato (alumnado de 16 a 17 años) y 2º Bachillerato (alumnado de 17 a 18 años).

El gusto por la geometría y por las soluciones que el campo geométrico nos propone para determinados problemas no han sido adquiridas por el alumnado debido a que a lo largo de los diferentes cursos se ha pasado “de puntillas” por estos contenidos. Una visión espacial amplía el campo de observación y de planteamiento de soluciones

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

a determinados problemas que el alumnado puede encontrarse en su quehacer diario. La reducción de la geometría al conocimiento de determinados polígonos o poliedros y al teorema de Pitágoras se ha visto generalizada en la mayoría de los niveles educativos restándole la importancia que los contenidos geométricos tienen. El alumnado aprende a mirar a utilizar y a deducir propiedades gráficas que planteamientos algebraicos no pueden vislumbrar, solamente pueden ratificar. La importancia del presente blog radica no solamente en poner encima de la mesa esos contenidos sino además en hacerlos interactivos de cara a que el alumnado se formule nuevas preguntas y se plantee nuevos retos, como así ha ocurrido. La parte de curiosidades geométricas ha terminado por implicar y atraer al alumnado hacia unos conocimientos que había reducido a la mínima expresión.

2.2 D

El sistema está conformado por los bloques mostrados en la Figura 2.1: un módulo de alimentación y monitoreo del estado de carga de la batería; un módulo de percepción, o etapa sensorial, para detectar la presencia del competidor; un módulo de control, para leer los sensores, aplicar un algoritmo de búsqueda y navegación para encontrar al robot oponente y dar la orden a la etapa de potencia para efectuar el respectivo movimiento; y un módulo de locomoción, para recibir la información de la etapa de control y ejecutar los movimientos pertinentes.

J

Los profesores de Matemáticas nos enfrentamos al reto de enseñar a unos alumnos convencidos de que los contenidos de esta asignatura, a pesar de ser necesarios, son casi imposibles de aprender. Esta creencia supone una plúmbea losa que entorpece el trabajo que

pretendemos conseguir con nuestros alumnos. A esto le tenemos que añadir lo alejado y poco relacionado que suponen que están los contenidos de esta asignatura de la realidad y el mundo en el que se mueven, no resultando fácil hacerles ver lo erróneo de esta idea. Si el panorama general de los alumnos de la ESO de cara a las Matemáticas no es nada halagüeño, especial dificultad nos suponen los alumnos que cursan Matemáticas y observan esta asignatura totalmente alejada de la realidad. En general, estos alumnos provienen de un fracasado andar por el camino de las matemáticas. Supone un gran reto para los profesores de esta asignatura lograr que los alumnos consigan un talento básico en esta materia y un gusto especial por sus contenidos.

Además, nos encontramos con la realidad del aula en la que observamos que cada vez le dedicamos más tiempo a la parte de números y funciones quedando los contenidos de Geometría relegados a ser tratados durante una semana en el aula, aunque en el currículum consta que deben recibir un trato igual al de números. es más, el alumnado de secundaria y bachillerato termina su formación en muchas ocasiones sin haber dedicado ni una sola hora a los contenidos de Geometría.

Por otra parte, la herramienta GeoGebra, además de proporcionarnos un claro potencial para tratar los contenidos geométricos de forma dinámica, es una herramienta que puede ser utilizada con distintos sistemas operativos: Windows, Linux, Mac. Si además le unimos que la herramienta es gratuita ¿qué estamos esperando para potenciar el uso de la misma de cara al proceso enseñanza-aprendizaje de los contenidos geométricos?

Con esta herramienta no solamente tenemos que puede ser utilizada con distintos sistemas operativos, sino que además, el producto final que obtenemos puede ser integrado en la Web para poder utilizarlo posteriormente en el proceso de enseñanza-aprendizaje

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

en el aula, o en cada casa en particular, sin necesidad de un software específico que pueda complicar la utilización y/o asimilación de los contenidos geométricos tratados con este herramienta.

Si además de proporcionar al alumnado y al profesorado construcciones geométricas para utilizar en el aula, podemos aprovechar enlaces existentes que contienen información sobre otras construcciones de interés para el aula y logramos clasificar las construcciones geométricas que coloquemos en nuestro blog, ya tendríamos más que justificado la elección que hemos hecho de nuestro trabajo en cuanto a contenido, herramienta, que sea el blog de forma de encauzarlo y que lo pongamos a disposición, de nuestro alumnado y de toda la comunidad educativa y todo aquel docente o alumno o alumna de cualquier centro educativo.

Dicen que una imagen vale más que mil palabras y eso es lo que nos proporciona GeoGebra, imágenes que nos ayudan a comprender, entender o plantear situaciones geométricas con las qué desarrollar o aplicar los contenidos que sobre este bloque se recogen en el currículum de la asignatura de Matemáticas de Secundaria.

Otro de los retos que se nos plantea a los docentes, es aprovechar las nuevas tecnologías a nuestro alcance. Desde muchos frentes se ha hecho una gran apuesta por las tecnologías de la información y la comunicación. Esta apuesta, que ha comenzado por la educación, debe ser aprovechada por todos los docentes para facilitar a los alumnos el aprendizaje de los contenidos de estas asignaturas.

O

Los objetivos que se persiguen con esta experiencia son: a) Contribuir al desarrollo de la competencia

tratamiento de la información y competencia digital en el alumnado desde el área de matemáticas.

b) Facilitar al profesorado un banco de recursos de applets interactivas realizadas con GeoGebra que aparecieran ordenadas por niveles y temáticas.

c) Facilitar al alumnado el descubrimiento y aprendizaje de determinados conceptos matemáticos a través de ventanas sobre las que pudieran interactuar para su investigación.

d) Proponer al alumnado distintas tareas que pudieran resolver a través de la investigación utilizando ventanas interactivas de GeoGebra.

e) Disponer de un espacio de referencia sobre ejercicios y problemas de geometría dinámica.

f) Plantear al alumnado situaciones geométricas que son fácilmente resolubles desde el punto de vista de la geometría dinámica.

g) Proporcionar al alumnado y al profesorado un base de recursos para el aula de Matemáticas con ventanas interactivas y ejemplos geométricos de fácil diseño.

h) Plantear al alumnado situaciones curiosas que son fácilmente resolubles con la geometría dinámica.

i) Aglutinar los recursos existentes sobre la herramienta GeoGebra colaborando a la resolución de problemas matemáticos utilizando dicha herramienta.

j) Proporcionar al alumnado un lugar al que recurrir en el caso de querer resolver distintas tareas geométricas.

k) Darle a la geometría la importancia que se recoge en el currículum de la asignatura de Matemáticas.

l) Tratar los temas geométricos de forma atractiva utilizando GeoGebra.

m) Fomentar la curiosidad y la experimentación de los alumnos para que sean ellos mismos los constructores de su conocimiento.

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

n) Potenciar los procesos inductivos y el razonamiento argumentado como parte esencial de la actividad matemática. ñ) Impulsar el gusto por la belleza de las matemáticas, en las que

el rigor científico vaya acompañado por una estética atractiva. o) Proporcionar al alumnado y al profesorado información sobre

GeoGebra y su utilización como recurso didáctico para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

C

El proceso seguido se ha basado en un trabajo constante de búsqueda de ejercicios geométricos que pudieran resultar atractivos para el alumnado y que a la vez supusieran un banco didáctico con el qué trabajar en el aula los contenidos geométricos propios de la asignatura.

Estos contenidos geométricos que se tratan en Matemáticas suponen una cuarta parte de los que se recogen en el currículum de la asignatura para cada nivel. Cada una de las entradas del blog también se ha clasificado de forma que el alumnado pudiera encontrar en cada momento las entradas correspondientes que puedan resultar de su interés o que traten ejercicios de los vistos en el aula.

Una parte de los diseños geométricos utilizados en el aula aparecen recogidos en Web de referencia de contenidos geométricos, por lo que en lugar de ingrarlos directamente en el blog se ha recogido en dicho blog el enlace a esas Web de referencia para que posteriormente fueran utilizadas en el aula.

Por otra parte, en el blog se han dispuesto una serie de enlaces a herramientas que vamos utilizando en el aula dependiendo de las necesidades de los contenidos tratados y los aspectos que deben desarrollar los alumnos y alumnas en función de los contenidos que estén tratando en su nivel. Algunas de estas herramientas son

generalistas, como calculadoras o representaciones gráficas y otras son más específicas adaptándose a los contenidos en cada momento como puede ser Descartes.

Como ya hemos mencionado anteriormente, en el aula se han tenido tres momentos claros de los que el blog que presentamos supone algunas partes de esos momentos.

En un primer momento se le planteaba al alumnado situaciones geométricamente sencillas para que resolvieran en sus cuadernos. Debido a que estos contenidos no los habían tratado en cursos anteriores, el alumnado se encontraba con serias dificultades para resolver esas situaciones. Posteriormente se les mostraba la solución con alguna ventana de las que se recogen en el Blog de forma que ellos podían interactuar y comprobar si sus soluciones eran las correctas o estaban cerca de ellas.

En un segundo momento se le mostraba al alumnado el cumplimiento de determinadas propiedades geométricas con distintas ventanas interactivas que podían manejar, exponiéndoles la forma de construir cada una de ellas con las distintas herramientas de GeoGebra y animándoles a que ellos mismos las construyeran guiados por el profesor.

Para finalizar, en un tercer paso se le proponía al alumnado determinados problemas geométricos para que plantearan e intentaran resolver utilizando GeoGebra. esta parte está siendo la más fructífera por las aportaciones y la mentalidad “geométrica” que ya están adquiriendo, observando la geometría como una herramienta en la que poder hallar soluciones a distintos problemas que se les puedan plantear.

Todo el proceso ha ocupado la finalización del segundo trimestre y el comienzo del primer trimestre. Poco a poco se van incluyendo construcciones. Algunas de ellas se han utilizado previamente en el aula antes de incluirlas en el blog. Es decir, ha sido uno de los

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

elementos didácticos en los que nos hemos basado para desarrollar el proceso de enseñanza. Esas construcciones, tras ser mostradas en el aula se han ido integrando en el blog.

Por otra parte, dado que cada vez que colocamos un blog en Internet, en este caso, lo tenemos abierto a todo el mundo, hemos dado la posibilidad de que aquel profesorado o visitante que tuviera alguna construcción interesante realizada con GeoGebra pudiera enviárnosla de forma que pudiéreamos integrarla en el blog. La clasificación del nivel y curso al que puede ir dirigida la hacemos nosotros. Con este fin se ha habilitado una dirección de correo electrónico.

Observando las estadísticas del blog, las visitas provienen de España, Estados Unidos, Argentina, México, Colombia y otro buen número de países que intuíamos podían ser un buen potencial que podrían aportarnos problemas u objetos de aprendizaje con el qué enriquecer las clases y la formación de nuestro alumnado. Así, al correo electrónico nos han llegado dos construcciones y tres problemas a los que hemos dado solución utilizando GeoGebra. Así, a lo largo de los tres momentos que hemos expuesto, hemos estado utilizando GeoGebra y construcciones realizadas con ella, que en un principio partían del profesorado hacia el alumnado como herramientas de comprobación; en una segunda fase el profesorado las utilizaba en el aula como herramienta didáctica con la qué hacer ver al alumnado determinadas propiedades geométricas. Como ya hemos indicado, en el aula también se utilizaron ventanas interactivas de GeoGebra con las que se comprueba que determinadas propiedades que creían que se cumplían, no era así. Estas construcciones con GeoGebra no han sido incluidas en el blog. Ya en una última fase el alumnado ha estado utilizando GeoGebra para resolver determinados problemas geométricos que se le planteaban. De esta forma se ha fomentado el aprendizaje de este

bloque de Matemáticas que observamos que cada año quedaba reducido a la mínima expresión.

El blog está compuesto de: 15 entradas sobre información.

26 entradas con vídeos explicativos sobre la instalación y utilización de GeoGebra para la resolución de problemas.

4 entradas con la resolución de actividades geométricas en 3 dimensiones.

151 entradas con construcciones realizadas con GeoGebra con la que se resuelven distintas actividades Matemáticas.

45 curiosidades resueltas con GeoGebra.

Ya por niveles educativos, la composición actual del blog es de: 14 entradas con actividades para 1º de ESO, 32 entradas con actividades para 2º de ESO, 29 entradas con actividades para 3º de ESO, 14 entradas con actividades para 4º de ESO, 22 entradas con actividades para 1º de bachillerato y 12 entradas con actividades para 2º de bachillerato.

Por bloques de la Matemática, la composición actual del blog es: 11 entradas para la resolución de actividades de álgebra y aritmética, 93 entradas para la resolución de actividades de geometría, 22 entradas para la resolución de actividades de gráficas y funciones, 5 entradas para la resolución de actividades de estadística, 3 entrada para la resolución de una actividad de probabilidad.

Además, de las entradas con construcciones de GeoGebra, el blog contiene 3 unidades didácticas interactivas completas que aparecen en el lateral izquierdo en el epígrafe denominado “Unidades con GeoGebra”. Estas unidades son:

- Una UDI con la resolución de siete problemas curiosos de geometría.

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

- Una UDI para el tratamiento de los elementos notables de un triángulo.

Debemos destacar que, tanto las entradas realizadas en el blog GeoGebreando que contienen construcciones realizadas con GeoGebra, como aquellas construcciones que aparecen en las unidades didácticas mencionadas aparecen con el tamaño que facilita su utilización con la pizarra digital interactiva, propiciando el uso de las herramientas con las que contamos en algunas aulas.

M

La metodología utilizada se ha dividido en tres momentos claros de los que el blog que presentamos supone algunas partes de esos momentos.

En un primer momento se le planteaba al alumnado situaciones geométricamente sencillas para que resolvieran en sus cuadernos. Debido a que estos contenidos no los habían tratado en cursos anteriores, el alumnado se encontraba con serias dificultades para resolver esas situaciones. Posteriormente se les mostraba la solución con alguna ventana de las que se recogen en el Blog de forma que ellos podían interactuar y comprobar si sus soluciones eran las correctas o estaban cerca de ellas.

En un segundo momento se le mostraba al alumnado el cumplimiento de determinadas propiedades geométricas con distintas ventanas interactivas que podían manejar, exponiéndoles la forma de construir cada una de ellas con las distintas herramientas de GeoGebra y animándoles a que ellos mismos las construyeran guiados por el profesor.

Para finalizar, en un tercer paso se le proponía al alumnado determinados problemas geométricos para que plantearan e intentaran resolver utilizando GeoGebra. Esta parte está siendo la más fructífera por las aportaciones y la mentalidad “geométrica”

que ya están adquiriendo, observando la geometría como una herramienta en la que poder hallar soluciones a distintos problemas que se les puedan plantear.

La herramienta que presentamos supone el resultado final de algunos ejercicios sueltos que se han ido diseñando, probando y modificando en el aula para su posterior integración en el blog.

O

Comentaremos por separado algunas de las orientaciones para cada una de los dos posibles escenarios diferentes para los que pueden ser de utilidad los materiales didácticos del blog:

a) Siendo el usuario el profesor o profesora, en el aula “normal”: La mayoría de las entradas pueden resultar útiles para el apoyo a las explicaciones y exposiciones en el aula, por parte del profesor, dotado de un ordenador y el videoproyector (o pizarra digital).

Esta tecnología abre muchas posibilidades fuera del alcance de la tiza y pizarra convencionales, y el diseño de los recursos se ha hecho pensando en aprovechar didácticamente esas ventajas: la vistosidad de las figuras, su precisión, la facilidad para la realización de pequeños cambios, la comodidad para comprobar conjeturas, la idoneidad para provocar que sean los propios alumnos quienes propongan esas conjeturas, etc.

No obstante hay que tener claro que todas esas ventajas no convierten el uso de la pizarra digital en un fin en sí mismo, sino que se trata de un medio, un recurso más para alcanzar el verdadero objetivo: que nuestros alumnos aprendan más y mejor.

Desde esa perspectiva, creemos que un uso adecuado de estos materiales didácticos de cada entrada del blog en el aula pasa por evitar las exposiciones demasiado extensas o monólogos por

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

parte del profesor y por potenciar la participación y aprendizaje activo por parte del alumnado, el debate, la manipulación de las figuras por ellos mismos, etc.

b) Siendo los usuarios los propios alumnos y alumnas, en el aula de ordenadores dirigidos por el profesorado o bien fuera del aula, en su domicilio u otro lugar:

Cada una de las entradas de construcciones contiene una figura interactiva, acompañada en algunos casos de propuestas para que el alumno/a, interactúe en ella, introduciendo cambios, observando los correspondientes efectos y aprenda a partir de sus propios descubrimientos.

La experiencia con los materiales nos ha hecho comprobar que resulta muy sencillo provocar la curiosidad de los alumnos y alumnas ante las figuras interactivas y que las manipulen. Lo realmente complicado de conseguir, el reto profesional de los profesores y profesoras de Matemáticas es que el alumnado se esmere en expresarse –oralmente o por escrito– a la hora de responder a las cuestiones planteadas. Sobre todo cuando se requiere de un razonamiento o una justificación de las respuestas.

A pesar de las dificultades, el esfuerzo merece la pena: la comprensión y utilización de un lenguaje adecuado para referirse a conceptos o situaciones Matemáticas es esencial en la educación. Un lenguaje en el que se busque tanto el rigor como la claridad y tanto la precisión como la sencillez.

r

La evaluación de la experiencia se ha realizado en parte al alumnado y al profesorado. Estos últimos han valorado muy positivamente la “herramienta” que se les proporcionaba y la utilizan en su aula. Cada una de las distintas tareas y enlaces con los que cuenta el blog ha sido valorado muy positivamente por el alumnado y el

profesorado. Comprobando en cada momento la idoneidad de la respuesta que está encontrando a lo que se le demanda en cada tarea.

Por otra parte, el blog ha sido valorado por distintas entidades educativas obteniendo los siguientes reconocimientos:

A lo largo de este primer año que lleva funcionando el blog GeoGebreando ya ha recibido varios premios educativos de entre los que podemos citar los siguientes:

1. Finalista del Premio internacional EducaRed a la innovación educativa con el uso de las TIC en 2011. Este fue el primero que recibió y se le otorgó en la categoría de material educativo sin colaboración del alumnado.

2. Premio Internacional Edublog 2011 como segundo clasificado en la categoría de blog docente.

3. El último de los premios que ha recibido el blog ha sido el premio “Antonio Domínguez Ortiz” a la innovación y la mejora de la práctica educativa en el año 2012. Este último es el máximo galardón a nivel regional que concede en educación la Junta de Andalucía (España) en materia educativa.

C

La experiencia con los materiales nos ha hecho comprobar que resulta muy sencillo provocar la curiosidad de los alumnos y alumnas ante las figuras interactivas y que las manipulen. Lo realmente complicado de conseguir, el reto profesional de los profesores y profesoras de Matemáticas es que el alumnado se esmeren en expresarse –oralmente o por escrito– a la hora de responder a las cuestiones planteadas. Sobre todo cuando se requiere de un razonamiento o una justificación de las respuestas.

A pesar de las dificultades, el esfuerzo merece la pena:la comprensión y utilización de un lenguaje adecuado para referirse a conceptos o

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situaciones matemáticas es esencial en la educación matemática. Un lenguaje en el que se busque tanto el rigor como la claridad, y tanto la precisión como la sencillez.

r

[1] Instituto GeoGebra de Andalucía. (2012). I Encuentro de GeoGebra en Andalucía. Granada, 14 de abril de 2012. Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.

[2] Real, M. (2010). Tratamiento de la información y competencia digital en el área de Matemáticas. Suma +, 64, 71-80.

Francisco Javier Córdoba Gómez Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected] Pablo Felipe Ardila Rojo Instituto Tecnológico Metropolitano [email protected]

r

Los números primos son conocidos desde la antigüedad, es así como Euclides en su tratado realiza la primera prueba de la infinitud de estos números, posteriormente, Fermat, Euler, Mersenne y muchos más, indagan acerca de las propiedades y características de dichos números. Actualmente, la existencia de computadores con una gran velocidad de procesamiento y de programas como GeoGebra, permiten mejorar la calidad de cómputo y obtener resultados que una década antes eran imposibles de verificar. Destacamos su uso en la elaboración de tablas, la obtención de funciones de interpolación, la creación de contraejemplos para refutar algunas conjeturas, mediante el empleo de poderosas rutinas. Esta herramienta se puede implementar en el aula y mediante ella hacer que el estudiante relacione los mundos algebraicos, geométricos y computacionales.

p

:

GeoGebra

* Este trabajo hace parte del proyecto de investigación:

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

A

The Primes numbers, are known since ancient times, it is as well as Euclides in his treatise makes the first proof of the infinitude of these numbers, later Fermat, Euler, Mersenne, and many more, investigate about the properties and characteristics of these numbers. Currently, the existence of computers with a high-speed processing and programs like GeoGebra, allow you to improve the quality of computer and obtain results that a decade earlier were impossible to verify. We emphasize its use in the preparation of tables, obtaining interpolation functions, the creation of counterexamples to refute some conjectures, through the use of powerful routines. This tool can implement in the classroom and through making the student relate algebraic, geometric and computing worlds.

K

:

I

Históricamente fueron los números naturales los primeros en ser empleados y trabajados por nuestros antepasados, ya que estos permitían contar y magnificar lo que se tenía, un problema importante fue, dado un natural hallar una factorización o sea, descomponerlo en producto de otros números naturales tales que estos últimos fueran irreducibles, entendiéndose por irreducible, aquel número que solo era divisible por sí mismo y por el número uno. Esta última condición nos lleva a definir un nuevo subconjunto dentro de los naturales llamados los números primos. Así se tienen varias preguntas que nos interesará resolver y es cómo hallar números primos?, serán que son infinitos?, qué propiedades aritméticas tienen los números primos? Trataremos de mirar algunas cuestiones aritméticas, expresadas en problemas, muchos de los cuales han permanecido por varios siglos como problemas abiertos. Matemáticos como Fermat, Gauss,

Riemann, entre otros, presentaron resultados, teoremas y conjeturas que incluían finalmente, el uso de números primos o sus propiedades. Aunque no se conocen directamente aplicaciones a la geometría incluiremos algunas construcciones usando GeoGebra, además de realizar cómputos y completar tablas que son tediosas de realizar a mano.

H

Mundo antiguo

Debido a la falta de evidencias escritas, es muy aventurado hablar de un conocimiento preciso acerca de los números primos, sin embargo tenemos algunos registros en los cuales se muestra como se usaban algunos números primos en tablillas.

Grecia

Como cuna de la civilización permitió el surgimiento de mentes sumamente brillantes, que hicieron un aporte significativo a la cultura, la ciencia y claro está a las Matemáticas. Se destaca Euclides, que siendo un geómetra, compila en su publicación Elementos, todos los aspectos de la geometría conocidos a su época. Él habla de la factorización de números, el Teorema Fundamental de la Aritmética y muestra que los números primos son infinitos, además de haber dado una definición clara y precisa de número primo. No más importante que Euclides, Eratóstenes conocido por sus aportes al Astronomía, crea un algoritmo que aunque lento es contundente al hora de hallar números primos, este método conocido como Criba de Eratóstenes, usa el concepto de múltiplo de un número, y partiendo del número dos, descarta todos sus múltiplos, luego se toma el 3 y hace lo mismo, de esta manera los números que no se descartan será los números primos. Lamentablemente, ese proceso era dispendioso y poco práctico a la hora de pensar en contexto de los números naturales.

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Renacimiento

En este período de la historia, Pierre de Fermat, realizó notables aportes a la teoría de números, enuncia el teorema conocido como Pequeño Teorema de Fermat, que dice que para todo natural a y primo p, se tiene la relación, , donde ≡, representa congruente y quiere decir en otras palabras que a^p-a es un múltiplo de p. Así, si a=4 y P=5, el teorema dice que . Además, Fermat postula que los números de la forma , son primos para cada n en los naturales, lo cual solo es cierto en los primeros cuatro valores, ya que para n=5 este número no es primo, lo anterior se observa en la tabla 1.

Tabla 1: Primos de Fermat

Número natural Primo de Fermat

1 5 2 17 3 257 4 65537 5 4294967297=(641, 6700417) 6 18446744073709552000 7 340282366920938460000000000000000000000 8 1157920892373162000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000 9 1340780792994259700000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000 Fuente: Elaboración de los autores

Otro aporte significativo lo hace el matemático francés Marín Mersenne, quien define para cada primo p, el número, , el día de hoy se conocen unos 40 primos de Mersenne, en la tabla 2 se presentan algunos de los primos de Mersenne, notar que para el caso p=11, p=23, p=31, estos valores son en realidad factorizables.

Tabla 2: Primos de Mersenne

Primo=p _{Primo de Mersenne} Factorización

1 1 2 3 3 7 5 31 7 127 11 2047 (23, 89) 13 8191 17 131071 19 524287 23 8388607 (47, 178481) 29 536870911 233, 1103, 2089) 31 2147483647

Fuente: Elaboración de los autores

Época Moderna

Euler, prueba que la serie es divergente, más adelante Gauss, propone que la cantidad de números primos menores o iguales a n es aproximadamente igual a para valores de n grandes ver Figura 1, resultado conocido como el teorema del número primo.

Figura 1: Curva de aproximación del comportamiento de los números primos para valores grandes

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

¿C

?

Como se dijo al principio, la Criba de Eratóstenes permite hallar, o determinar, si un número dado es o no primo; la dificultad de este algoritmo es su lentitud, ya que para un número grande en tiempo es casi imposible determinar al primalidad del número, través de múltiplos de él. Así, que tenemos otros algoritmos que permiten hallar con rapidez cuándo un valor dado es primo. Tenemos el test de Lucas-Lehmer, usado con números de Mersenne, el test de Lucas, que se usa para determinar si un número dado es o no primo, pero requiere saber los factores primos del número anterior, test de Pocklington, el test de Konyagin-Pomerance, que es quizá el más eficiente pero de una altísima complejidad.

O

Números primos seguros: Un número q se denomina 1-seguro si q=2p+1, donde p es primo, y es 2-seguro si r=2s+1, con s 1-seguro, estos números, se emplean en criptografía. Así, el 7=2(3)+1, es 1-seguro y el 23=2(2(5)+1)+1 es 2-seguro.

Primos de la forma 4x+1: Los números primos de la forma 4x+1, además de ser infinitos, se pueden descomponer como la suma de dos cuadrados, en la Tabla 3 se observan los primeros valores de este conjunto.

Tabla 3: Primos de la forma 4x+1

Número Primo Primo de forma 4x+1

5 4(1)+1=4+1

13 4(3)+1=9+4

17 4(4)+1=16+1

29 4(7)=25+4

Fuente: Elaboración de los autores

Algunos algoritmos para verificar si un número n dado es primo, lo hacen dividiendo este valor por todos los números comprendidos entre 2 y √n, siendo muy ineficiente por el número tan elevado de divisiones que hay que realizar para el caso cuando n es muy grande. La conjetura de Goldbach. Propuesta en 1742 por el matemático alemán, Christian Goldbach, dice que cualquier número par mayor que 2 puede ser escrito como la suma de 2 primos, tenemos algunas aproximaciones a esta teoría, ya que se ha probado que casi todo número, se puede escribir como la suma de dos primos, y que cuando un número es muy grande este se puede escribir como la suma de un primo y otro número compuesto por el producto de dos primos, sin embargo hasta el día de hoy este es un problema abierto.

Función de conteo de primos: Esta función denotada por π(n), es igual a el número de primos menores o igual a n, luego π(10)=4 y π(20)=8 Función Zeta de Riemann: Propuesta por primera vez por el matemático Riemann, está definida para valores mayores que uno por la siguiente serie ζ(s)= en la región dicha función es analítica y converge, si la función se extiende a todo el plano, por continuidad analítica es meromorfa. La hipótesis de Riemann, afirma que todos los ceros de la función tiene parte real igual a 1/2.

Lo más importante es la relación que Euler descubrió con los números primos que se muestra en la siguiente ecuación:

La función φde Euler: Definida para un número natural cualquiera, como la cantidad de números menores o iguales que n que son primos relativos con n. Luego, por ejemplo φ(8)=4, ya que son primos relativos con de 8 los números 1,3, 5, y 7. Para cualquier número

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

primo p φ(p)=p-1, φ(7)=6, puesto que los primos relativos con 7, son los números 1, 2, 3, 4, 5, 6

A

G

G

Figura 2: Los números primos del 1 al 100

Si a cada primo le damos un valor de acuerdo a su orden de aparición podemos ubicarlo en el plano cartesiano. ¿Con el uso de Geogebra, ese conjunto de puntos le interpolamos una curva que pase por ellos para ver cuál es la que mejor se ajusta? En las Figuras 3, 4, 5, 6, 7 y 8 se observan las curvas de interpolación obtenidas con GeoGebra.

Figura 3: Ajuste logarítmico

Fuente: Elaboración de los autores

Figura 4: Ajuste exponencial

Fuente: Elaboración de los autores

Ecuación de ajuste Exponencial

Figura 5: Ajuste logarítmico vs exponencial

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

Figura 6: Ajuste logístico

Fuente: Elaboración de los autores

Ecuación de ajuste logístico

Figura 7: Ajuste polinómico

Figura 8: Ajuste potencia

Fuente: Elaboración de los autores

Ecuación de ajuste potencia

Tabla 4. Tipos de ajustes

Fuente: Elaboración de los autores

p

Para cada primo p definamos el polígono regular de p lados y longitud de lado s. A partir de cada polígono tomemos sus área A, y de esta manera tomemos la sucesión {A_1,A_2,A_3,…} y se determina una fórmula explicita para el área en función del número de sus lados, la cual para los 5 primeros valores es un hipérbola.

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

Figura 9: Polígonos primos

Fuente: Elaboración de los autores Figura 10: Hipérbola de aproximación

Fuente: Elaboración de los autores

C

• Los números primos tienen comportamiento asintótico a la función cuando n es grande

• Los algoritmos modernos para determinar si un número es primo, usan valores entre uno y √n

• La conjetura de Riemann y la de Goldbach usan propiedades de los números primos en sus equivalencias

• Cuando fueron enunciados tanto los primos de Fermat, como los de Mersenne, se creía que estas fórmulas siempre generaban numeros primos, hoy con el uso de programas como GeoGebra se sabe que la mayoría de esos valores en realidad no son primos

r

[1] Hoffman, P. (2000). El hombre que solo amaba los números. Buenos Aires: Granica.

Sitios Web consultados:

[2] http://yves.gallot.pagesperso-orange.fr/primes/gfn.html. Recuperado el 10 de julio de 2012.

[3] http://matematica.50Webs.com/primos-de-mersenne.html. Recuperado el 11 de julio de 2012.

[4] http://www.astroseti.org/articulo/3492/historia-de-los-numeros-primos. Recuperado el 11 de julio de 2012.

[5] (tux.uis.edu.co/didactica/files/NUMEROS_PRIMOS[1][1]. ppt). Recuperado el 11 de julio de 2012 de http://dialnet. unirioja.es/servlet/tesis?codigo=2607

4.

José Javier Mogollón Carvajal Institución Educativa Alfonso López Pumarejo San José del Guaviare [email protected]

r

Se propone una estrategia pedagógica para proveer a nuestros estudiantes de décimo grado de la Institución Educativa Alfonso López Pumarejo, en el municipio de San José del Guaviare capital del departamento del Guaviare, de herramientas para construir modelos que permitan visualizar objetos matemáticos de la trigonometría y de su aplicación en situaciones problema en al aula, usando el software dinámico GeoGebra, en función de experimentar, conjeturar, demostrar, desarrollar la intuición y sus habilidades Matemáticas, fortaleciendo así el pensamiento espacial y los sistemas geométricos.

p

: GeoGebra, visualización, objetos matemáticos

A

This work proposes a pedagogical strategy to provide the students of tenth grade of the Alfonso Lopez Pumarejo Educational Institution, in San José del Guaviare, department of Guaviare; with tools to construct models that allow the displaying of mathematical objects of the trigonometry and its application in problematic situations in the classroom using the dynamic software GeoGebra; in order to experiment, guess, demonstrate, and develop the intuition and its

mathematical skills, thereby strengthening the spatial thinking and geometric systems.

K

:

I

Durante los últimos años, al interior de la comunidad académica y en especial caso en la educación matemática, han manifestado la necesidad de realizar cambios en la forma en que las Matemáticas son enseñadas y comprendidas.

En nuestro país este cambio se ha dado gracias al interés de los maestros y al auspicio del Ministerio de Educación Nacional, al invertir en proyectos como Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y media de Colombia (Ministerio de Educación Nacional [MEN], 2002) que están orientados a buscar estrategias didácticas con las cuales nuestros estudiantes se apropien de los significados de la diferentes situaciones contextuales dejando a un lado procedimientos mecánicos sin ningún sentido. Este reto se ha visto beneficiado con la inclusión de la tecnologías de la información y la comunicación, entre ellas encontramos software libre y especializado para la enseñanza de las matemáticas, insumo tecnológico valioso del cual debemos valernos en procura de mejorar nuestras prácticas pedagógicas y que al estudiante le permite actuar, conjeturar, argumentar y visualizar las situaciones matemáticas de manera clara y eficiente. La principal motivación entre docentes y estudiantes es la de poder construir los modelos de algunas situaciones Matemáticas particulares en un software para experimentar y aprender de esta experiencia de manera significativa.

Desarrollo y uso didáctico de Geogebra

s

El eje en el cual se pueden ubicar este tipo de herramientas es el de la visualización de conceptos como varios autores la han definido: Se entiende por visualización la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información visual. En este sentido se trata de un proceso mental muy usado en distintas áreas del conocimiento matemático y, más generalmente, científico. Cantoral (2001, citado en Villarroel, Méndez y Lavaque, s.f, p.1.)

El término visualización se emplea, por lo general, con referencia a figuras o representaciones pictóricas ya sean estas externas o internas es decir, sobre soporte material (papel, pantalla, etc.) o en la mente. Y el pensamiento visual está fuertemente ligado a la capacidad para la formación de imágenes mentales también la capacidad para visualizar cualquier concepto matemático, o problema, requiere la habilidad para interpretar y entender información figurativa sobre el concepto, manipularla mentalmente, y expresarla sobre un soporte material (…) la visualización cobra especial importancia en procesos de razonamiento inductivo y deductivo. Castro y Castro (1997).

En este enfoque, se da claridad, que la visualización Matemática es en esencia una gran herramienta para que los estudiantes puedan desarrollar de manera efectiva el pensamiento espacial y geométrico a la vez que provoca la realización de conjeturas y puede facilitar la comprensión de juicios y razonamientos que permitan sostener como válidas dichas conjeturas.

s

Con la palabra objeto se quiere designar las cosas (elementos) que se emplean en matemáticas. Hay objetos aritméticos, geométricos, del análisis, de la estadística (…) Así, un número, un ángulo, una