INFERENCIA ESTADÍSTICA MAT - 322

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CUADERNO DE APUNTES DEL ESTUDIANTE

Inferencia Estadística

«Tampoco es inescrutable el azar, también está regido por un orden».

PRESENTACIÓN

Este cuaderno corresponde al módulo “Inferencia estadística”, que debe llevar al estudiante a ser capaz de:

Realizar pruebas de hipótesis estadísticas en el ámbito de los fenómenos económicos, financieros, comerciales, administrativos y sociales, demostrando capacidad para analizar e interpretar resultados numéricos estadísticos en contextos específicos.

El cuaderno está organizado en 14 CLASES. En cada una de ella se trata un tema relevante del programa y por eso, todas se inician con la descripción de los aprendizajes esperados que debe lograr el estudiante.

Cada se clase se estructura en las siguientes secciones:

1º: Síntesis: es un resumen de los conceptos centrales involucrados en los aprendizajes de la clase. Asimismo, se encuentran las principales fórmulas y relaciones numéricas que sustentan la Estadística.

2º: Ejercicios resueltos: en esta sección se plantean ejercicios, problemas y casos representativos de la clase y se resuelven en detalle.

3º: Ejercicios propuestos: se plantean problemas aplicados en forma de preguntas de selección múltiple. A final de cada clase se encuentran las claves correctas. Esta sección le permitirá al estudiante ejercitar los aprendizajes de la clase y podrá autoevaluar su desempeño.

4º: Fuentes complementarias: en esta parte se sugieren fuentes de información alternativos, donde el estudiante podrá encontrar información y ejercicios. En esta misma, además, se sugieren actividades de aprendizaje complementarias para quienes se interesen.

Problemas de recapitulación:

Al final del cuaderno se presentan una colección de casos para su resolución, orientados a la preparación del examen de módulo.

Uso de calculadora:

Para trabajar con el presente cuaderno, el o la estudiante debe usar calculadora científica. En este apunte se considera una calculadora Casio fx-350MS, cuyo uso debe serle familiar.

Inferencia estadística:

Inferir es sacar una conclusión a partir de algunas premisas iniciales. Por eso es posible distinguir dos clases de inferencia; la deductiva, que va desde lo general a lo particular y la inductiva, que procede desde lo particular a lo general. Como la inferencia estadística se concretiza a través de hacer afirmaciones acerca de una población a partir de datos de una muestra, esta constituye, en concreto, un caso de inferencia inductiva.

En una inferencia inductiva, la conclusión se apoya en las premisas obtenidas de casos particulares, pero éstas, en el mejor de los casos, solo la hacen probable. De aquí que la teoría de la probabilidad se erija en el pilar de la inferencia estadística. Por este motivo, en este cuaderno, primero se establecen las bases del cálculo de probabilidades y luego, en una segunda unidad, se desarrollan las aplicaciones básicas de los métodos de inferencia más usuales en la estadística.

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Índice

PROGRAMA

3 CLASE 1: Introducción al cálculo de probabilidades

5 CLASE 2: Probabilidad de sucesos

condicionales 16

CLASE 3: El modelo de probabilidad

binomial

25 CLASE 4: El modelo de probabilidad de Poisson

31 CLASE 5: El modelo de probabilidad

normal

37 CLASE 6: Conceptos básicos de inferencia estadística

47 CLASE 7: Intervalos de confianza para la media

55 CLASE 8: Intervalos de confianza para la proporción

63 CLASE 9: Cálculo del tamaño de la muestra

71 CLASE 10: Introducción al contraste de hipótesis

80 CLASE 11: Contraste de hipótesis de proporciones

89 CLASE 12: Contraste de la diferencia de proporciones

98 CLASE 13: Contraste de hipótesis

de

la

media

107 CLASE 14: Contraste de la diferencia de medias

118 PROBLEMAS

DE

RECAPITULACIÓN

127 TABLA 1: Probabilidad inferior en distribución Z

133 TABLA 2: Probabilidad superior en distribución Z

134 TABLA 3: Percentil de distribución t

135

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I: IDENTIFICACIÓN

NOMBRE DEL MÓDULO: INFERENCIA ESTADÍSTICA

UNIDAD DE COMPETENCIA: Al finalizar el módulo los participantes serán capaces de:

Realizar pruebas de hipótesis estadísticas en el ámbito de los fenómenos económicos, financieros, comerciales, administrativos y sociales, demostrando capacidad para analizar e interpretar resultados numéricos estadísticos en

contextos específicos.

DURACIÓN: 72 horas pedagógicas

II: DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITO

Área de formación: general diferenciada Ubicación: depende de la carrera Prerrequisito: depende de la carrera

III: UNIDADES DE APRENDIZAJE

1ª UNIDAD: Fundamentos del cálculo de probabilidades DURACIÓN: 24 horas pedagógicas

Aprendizajes Esperados Contenidos

-Explican el concepto de probabilidad y suceso aleatorio.

-Aplican la definición clásica de probabilidad al cálculo de probabilidad simple en casos sencillos.

-Identifican los axiomas y teoremas básicos de las probabilidades. -Traducen eventos del lenguaje corriente al lenguaje algebraico y viceversa, en el contexto de problemas de aplicación.

-Resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidad simple. -Resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidad de sucesos contrarios.

-Resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidad de sucesos mutuamente excluyentes.

-Resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidad de sucesos independientes.

-Resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidad de sucesos condicionales.

-Calculan el valor esperado y la varianza de una distribución de probabilidad.

-Identifican el modelo de probabilidad binomial y los parámetros que lo definen.

-Resuelven problemas que involucran operar con el modelo de probabilidad binomial.

-Identifican el modelo de probabilidad de Poisson y los parámetros que lo definen.

-Resuelven problemas que involucran operar con el modelo de Poisson. -Identifican el modelo de probabilidad normal y los parámetros que lo definen.

- Identifican el modelo de probabilidad normal estándar y los parámetros que lo definen.

-Calculan área bajo la curva normal utilizando tablas de la curva normal estándar.

-Calculan percentiles de la distribución normal estándar mediante tabla.

-Sucesos aleatorios y concepto de probabilidad

-Definición clásica de la probabilidad -Axiomática de probabilidades -Álgebra de eventos

-Cálculo de probabilidad de sucesos: • simples

• contrarios

• mutuamente excluyentes • independientes

• condicionales

-Concepto de valor esperado y varianza. -Modelos de probabilidad discreta:

• binomial • Poisson.

-Modelos de probabilidad continua: • curva normal.

• curva normal estándar.

-Cálculo de probabilidades y percentiles con la curva normal estándar.

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2ª UNIDAD: Teoría elemental de muestreo e intervalos de confianza DURACIÓN: 16 horas pedagógicas

-Explican el concepto de muestreo.

-Identifican distribución muestral de medias y su relación con la normal. -Explican el concepto de error y confianza.

-Explican el concepto de error muestral.

-Identifican el concepto de estimación, demostrando conocimiento de los distintos parámetros y sus respectivos estadígrafos.

-Calculan el error estándar para la media con datos muestrales dados. -Explican la influencia del tamaño de la muestra en el error.

-Calculan intervalos de confianza para la media con varianza conocida. -Calculan el error estándar de proporciones con datos muestrales dados.

-Calculan intervalos de confianza para la proporción poblacional con muestra grande.

-Calculan el tamaño de muestra para un intervalo de confianza con error dado.

-Concepto de muestreo y los estadísticos muestrales como variable aleatoria. -Concepto de confianza y error.

-Concepto de error muestral o estándar. -Concepto de estimación y de estimación por intervalos.

-Cálculo del error muestral para la media con varianza conocida.

-Cálculo de intervalos de confianza para la media con varianza conocida.

-Cálculo del error muestral para una proporción.

-Cálculo de intervalos de confianza para una proporción.

-Tamaño de la muestra

3ª UNIDAD: Dócimas de hipótesis DURACIÓN: 32 horas pedagógicas

-Identifican concepto de hipótesis estadística.

-Explican los errores de tipo I y de tipo II presentes en una decisión. -Identifican hipótesis nula y alternativa en casos dados.

-Plantean correctamente hipótesis estadísticas (H0 y H1). -Identifican los pasos de la metodología clásica de docimasia de hipótesis.

-Identifican ensayos de cola izquierda, cola derecha y de dos colas en situaciones dadas.

-Realizan pruebas de hipótesis para proporciones.

-Analizan e interpretan los resultados de la dócimas de hipótesis de proporciones en el contexto de casos dados.

-Realizan pruebas de hipótesis para la diferencia de proporciones. -Analizan e interpretan los resultados de la dócimas de hipótesis de diferencia de proporciones en el contexto de casos dados.

-Realizan pruebas de hipótesis para la media con varianza conocida. -Realizan pruebas de hipótesis para la media con varianza desconocida. -Analizan e interpretan los resultados de la dócimas de hipótesis de medias en el contexto de casos dados.

-Realizan pruebas de hipótesis para la diferencia media con varianzas iguales y desconocidas.

-Analizan e interpretan los resultados de la dócimas de hipótesis para la diferencia media con varianzas iguales y desconocidas en el contexto de casos dados.

-Hipótesis.

-Error tipo I y tipo II.

-Concepto de nivel de significación. -Planteamiento de hipótesis estadísticas -Metodología general para la prueba de hipótesis.

-Pruebas de hipótesis para proporciones. -Pruebas de hipótesis para la diferencia de proporciones.

-Prueba de hipótesis para la media con varianza conocida.

-Prueba de hipótesis para la media con varianza desconocida.

-Prueba de hipótesis para la diferencia media con varianzas iguales y

desconocidas.

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1ª UNIDAD: FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

CLASE 1

Introducción al cálculo de probabilidades

«Dios juega a los dados y... ¡Además los tiene trucados!».

I. Prigogine1

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

-Explican el concepto de probabilidad y suceso aleatorio.

-Aplican la definición clásica de probabilidad al cálculo de probabilidad simple en casos sencillos. -Identifican los axiomas y teoremas básicos de las probabilidades.

-Traducen eventos del lenguaje corriente al lenguaje algebraico y viceversa, en el contexto de problemas de aplicación.

-Resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidad simple.

-Resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidad de sucesos contrarios. -Resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidad de sucesos mutuamente excluyentes.

-Resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidad de sucesos independientes.

-Sucesos aleatorios y concepto de probabilidad -Definición clásica de la probabilidad -Axiomática de probabilidades -Álgebra de eventos -Probabilidad simple -Cálculo de probabilidad de sucesos: • simples • contrarios • mutuamente excluyentes • independientes II. DESARROLLO 1. Concepto de probabilidad 1.1. Probablemente:

Según Max Black2_{, la palabra “`probablemente” implica “posiblemente” y excluye “seguramente”. Lo que es probable ni es}

seguro, ni imposible. Todo el que dice que “probablemente extraerá una bola negra de una urna”, implica que es posible que se extraiga tal bola y también que no es seguro que vaya a ser así.

1.2. Probabilidad:

Es el grado de verosimilitud que se le atribuye a un enunciado, o el grado de certeza o confianza que pueden tener nuestras creencias acerca de sucesos futuros. La probabilidad también puede expresarse mediante un valor numérico y, en ese caso, la probabilidad es una medida de la posibilidad de un acontecimiento, expresada mediante un número real que va entre cero y uno.

2. Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es una acción que da origen a un fenómeno en cuyos resultados interviene el azar. En estos fenómenos, se pueden conocer todos los resultados posibles, pero no se puede predecir cuál de ellos ocurrirá. Un experimento aleatorio se puede repetir todas las veces que se desee, pero sus resultados particulares no se pueden predecir. Los

experimentos aleatorios suele representarse por la letra E.

1_{Con esta frase, Ilya Prigogine, premio Nóbel de química 1977, responde a Einstein la célebre frase “Dios no juega a los dados”. La idea de} Einstein es dar a entender que el azar y la incertidumbre del mundo, no es sino prueba de la limitación del hombre para comprender el mundo natural regido por leyes inflexibles. Prigogine, sin embargo, aboga por la concepción de un mundo azaroso, movedizo, impredecible. Sus ideas han sido centrales en la elaboración de la llamada Teoría del Caos.

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Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado para observar qué número resulta, se puede determinar el conjunto de resultados posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6), pero no es posible predecir cuál de ellos resultará en determinado lanzamiento.

3. Espacio muestral (Ω)

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa por la letra griega Ω. Ejemplo:

Experimento: E = lanzamiento de un dado Espacio muestral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

4. Suceso aleatorio

Un suceso o evento es cualquier subconjunto del espacio muestral Ω. Generalmente se representan mediante las primeras letras mayúsculas: A, B, C, etc.

Ejemplo:

Experimento: E = lanzamiento de un dado. Espacio muestral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso A: A = se obtiene número par.

A = {2, 4, 6}

5. Tipos de sucesos

5.1. Sucesos simples y compuestos:

Sucesos simples: Cuando un evento puede ocurrir de una sola forma.

Sucesos compuestos: Cuando un suceso puede ocurrir de diversas formas. Un suceso compuesto, a su vez, puede dividirse en varios eventos simples.

Ejemplo: Lanzar un dado y observar si “resulta un número par”:

Este suceso está compuesto por los siguientes sucesos simples: Resulta el 2. Resulta el 4. Resulta el 6. Entonces:

Resulta número par = Resulta el 2 o resulta el 4 o resulta el 6.

5.2. Suceso seguro:

Es aquel que siempre se verifica como resultado de un experimento aleatorio. A = Obtener un número entero del 1 al 6 al lanzar un dado normal. A es un suceso seguro.

5.3. Suceso imposible:

Es aquel que nunca se verifica como resultado de un experimento aleatorio. A = Obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado normal. A es un suceso imposible.

5.4. Suceso complementario o contrario:

Dos sucesos son contrarios si uno es la negación lógica del otro. A = Obtener Nº6 al lanzar un dado.

B = No obtener Nº6 al lanzar un dado.

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3.5. Sucesos mutuamente excluyentes:

Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea. A = Se obtiene Nº3 al lanzar un dado.

B = Se obtiene Nº4 al lanzar un dado.

A y B son sucesos mutuamente excluyentes. No pueden ocurrir ambos a la vez en el mismo experimento. OBSERVACIÓN: Los sucesos contrarios son mutuamente excluyentes, pero, no todos los sucesos mutuamente excluyentes son contrarios.

5.6. Sucesos independientes:

Dos o más sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. A = Se obtiene Nº3 al lanzar un dado.

B = Se obtiene sello al lanzar una moneda. A y B son sucesos independientes.

5.7. Sucesos condicionales:

Dos sucesos A y B son condicionales si la probabilidad de ocurrencia del suceso B está condicionada a la ocurrencia de un suceso anterior A.

6. Probabilidad de sucesos 6.1. Probabilidad de Laplace:

La probabilidad de que ocurra un suceso A se cuantifica a través de la razón entre el número de casos favorables al suceso A y el número total de casos posibles. Numéricamente puede expresarse como fracción, como decimal o como tanto por ciento.

posibles casos de N A suceso al favorables casos de N ) A ( P ° ° =

6.2. Enfoque de la probabilidad a priori:

Consiste en determinar la probabilidad de un suceso que aún no ha sucedido.

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar al lanzar una vez un dado normal? Casos favorables: 3.

Casos totales: 6.

Entonces, aplicando la fórmula de Laplace: P(Nº impar) =

2 1 6 3 = .

6.3. Enfoque de la probabilidad empírica:

Consiste en determinar la probabilidad de un suceso con los datos históricos de casos sucedidos. Es decir, se cuenta con antecedentes empíricos.

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Ejemplo: Se han lanzado dos monedas 25 veces, registrando los siguientes resultados: Suceso Nº de observaciones Cara – Cara Sello – Cara Cara – Sello Sello – Sello 4 7 8 6 Total 25 ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos?

Casos favorables: 6 Casos totales: 25

Entonces, aplicando la fórmula de Laplace: P(2 sellos) =

25 6 _{= 0,24.}

7. Álgebra de sucesos 7.1. Notación:

Si A y B son sucesos en el espacio muestral Ω. Entonces, hay sucesos básicos cuya representación algebraica es la que se presenta en el siguiente cuadro.

Suceso Significado A Ocurre el suceso A. A’ No ocurre A. (A o B) Ocurre A o B. (A y B) Ocurren A y B, ambos. (A – B) Ocurre A y no ocurre B.

(B / A) Ocurre B, dado que ocurrió A

7.2. Diagramas de sucesos:

Si A y B son sucesos en el espacio muestral Ω, con el espacio muestral representado por un rectángulo y los sucesos por círculos. Entonces, la representación gráfica de los sucesos básicos es:

Lo sombreado Significado

A Ocurre el suceso A. Ω

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7. Axiomas y teoremas de la probabilidad

Si A y B son sucesos en el espacio muestral Ω y P(A) y P(B) sus respectivas probabilidades, entonces se verifican los siguientes axiomas y propiedades:

7.1. Valores extremos de P:

1 0≤P(A)≤

La probabilidad de un suceso es un número real con un valor entre cero y 1, ambos valores inclusive.

7.2. Probabilidad del suceso imposible y del suceso seguro:

P(A) = 0 ⇔ A = suceso imposible P(A) = 1 ⇔ A = suceso seguro

• Mientas más cercana a 1 es la probabilidad de un suceso, mayor grado de confianza de que ocurrirá. • Mientas más cercana a 0 es la probabilidad de un suceso, mayor grado de confianza de que NO ocurrirá.

7.3. Probabilidad de dos sucesos contrarios:

Si A y A’ son sucesos contrarios, entonces: P(A')= 1 – P(A) ⇒ P(A) + P(A') = 1

A’ NO ocurre el suceso A.

A o B Ocurre el suceso A o el B

A y B Ocurren A y B, ambos.

A - B Ocurre A, pero no ocurre B

B

Ω

B

A

B

Ω

A

B

Ω

B

A

B

Ω

B

A

B

A

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Se suele llamar p a la probabilidad de un suceso y q a la probabilidad del suceso contrario, entonces: q = 1 – p ⇒ p + q = 1

Ejemplo: Cierto día, la probabilidad de que llueva es 0,35. Por lo tanto, la probabilidad de que no llueva es: P(No lluvia) = 1 – P(Lluvia) = 1 – 0,35 = 0,65.

Si:

p = probabilidad de lluvia; q = probabilidad de NO lluvia. p = 0,35; q = 0,65; p + q = 0,35 + 0,65 = 1

7.4. Probabilidad de sucesos mutuamente excluyentes:

P(A o B) = p(A) + p(B) ⇒ A y B son sucesos mutuamente excluyentes.

Esta propiedad es llamada también “regla de la suma de probabilidades”. Solo es válida para sucesos mutuamente excluyentes. Esta regla se aplica cuando entre los sucesos hay un conectivo “o”.

Ejemplo: En una empresa trabajan 3 ejecutivos, 4 administrativos y 6 operarios. Si se selecciona una persona al azar, la probabilidad de que sea un operario o un administrativo es:

Si O = selecciona un operario y A = selecciona un administrativo. Entonces: P(O o A) = p(O) + P(A) =

13 6 ₊ 13 4 ₌ 13 10_{= 0,7692}

7.5. Probabilidad de sucesos independientes:

P(A y B) = P(A) · P(B) ⇒ A y B son sucesos independientes.

Esta propiedad es llamada también “regla del producto de probabilidades”. Solo es válida para sucesos independientes. Esta regla se aplica cuando entre los sucesos hay un conectivo “y”.

Ejemplo: Si la probabilidad de lluvia es P(Ll) = 0,4 y la probabilidad de que corra viento es P(V) = 0,15, entonces, si ambos fenómenos son independientes, la probabilidad de que llueva con viento es:

P(V y Ll) = 0,15 · 0,4 = 0,06.

7.6. Probabilidad de diferencia de sucesos:

P(A – B) = P(A) – P(A y B) Lo siguiente es equivalente:

P(A – B) = P(A y B’). Luego: P(A y B’) = P(A) – P(A y B)

Ejemplo: Si la probabilidad de lluvia es P(Ll) = 0,4 y la probabilidad de que corra viento es P(V) = 0,15, entonces, si ambos fenómenos son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que llueva, pero no corra viento?

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III. EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CASOS RESUELTOS

1. Trabajo y estudio

Interesa estudiar la actividad de los jóvenes egresados de Educación Media, en cuanto su estudio y su trabajo. Se definen los sucesos E y T como:

E = estudia; T = trabaja.

1.1. Indique en lenguaje corriente el significado del suceso: (T – E) 1.2. Escriba algebraicamente el suceso: “trabaja, dado que no estudia”. 1.3. Dibuje un diagrama para el suceso: “Ni trabaja, ni estudia”.

1.4. Indique, en lenguaje corriente y en lenguaje algebraico el suceso representado en el diagrama siguiente:

Solución:

1.1. Del diagrama de álgebra de sucesos, se deduce que:

(T – E) = trabaja, pero no estudia. También es: trabaja y no estudia.

1.2. Del cuadro de álgebra de sucesos, se deduce que:

“Trabaja, dado que no estudia” = (T / E’)

1.3. Diagrama para el suceso: “Ni trabaja, ni estudia”.

1.4. Lo sombreado corresponde a:

(E – T) = Estudia, pero no trabaja. O bien:

(E y T’) = Estudia y no trabaja.

2. Accidentes laborales

Para el estudio de ciertos accidentes laborales, se han definido los sucesos siguientes: A = el accidente se produce por Acción insegura por parte del trabajador. C = el accidente se produce por Condición insegura en el lugar de trabajo. Se sabe que: P(A) = 0,56; P(C) = 0,48 y P(A y C) = 0,12

B

Ω

B

E

T

Ω

T

E

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2.1. Calcule P(A – C)

2.2. Calcule la probabilidad de accidente por Condición insegura, pero no por Acción insegura. 2.3. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra solo una de estas dos causas?

Solución:

Es conveniente trazar un diagrama, con las cantidades dadas:

2.1. P(A – C)

Esta es la probabilidad de accidente por Acción insegura, pero no por Condición insegura. En el diagrama esta probabilidad es 0,44.

Aplicando el teorema correspondiente: P(A – C) = P(A) – P(A y C) P(A – C) = 0,56 – 0,12 = 0,44

2.2. P(C – A)

Aplicando el teorema correspondiente:

P(C – A) = P(C) – P(A y C) = 0,48 – 0,12 = 0,36 Este resultado es consistente con la cifra del diagrama.

2.3. P(solo una de las causas)

P(solo una de las causas) = P(solo A o solo C)

En el diagrama, la probabilidad de “solo A” es 0,44, mientras que de “solo C” es 0,36. Como los sucesos son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad:

P(solo una de las causas) = 0,44 + 0,36 = 0,8.

3. Medicamento

Se sabe que de los clientes que entran a una farmacia a consultar por cierto medicamento, el 70% lo compra.

3.1. Si 3 clientes, independientes unos de otros, preguntan por el medicamento, ¿cuál es la probabilidad de que los tres lo

compren?

3.2. Si 2 clientes, independientes entre sí, preguntan por el medicamento, ¿cuál es la probabilidad que solo uno de ellos lo

compre?

3.3. Si 4 clientes, independientes unos de otros, entran a preguntar por el medicamento, ¿cuál es la probabilidad de que solo el

cuarto lo compre?

B

Ω 0,12 0,44 0,36 A C 0,08

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Solución:

Sea: C = compra el medicamento; P(C) = 0,7. Luego, P(C’) = 0,3

3.1. Debe ocurrir el siguiente suceso: C y C y C

Aplicando la regla del producto, tenemos que: P(los 3 compran) = 0,7 x 0,7 x 0,7 = 0,343

3.2. Debe ocurrir el siguiente suceso: C y C’ o C’ y C Aplicando la regla del producto y de la suma, tenemos que: P(solo uno compra) = 0,7 x 0,3 + 0,3 x 0,7 = 0,42

3.3. Debe ocurrir el siguiente suceso: C’ y C’ y C’ y C Aplicando la regla del producto, tenemos:

P(solo el 4º compra) = 0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,7 = 0,0189

IV. EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CASOS PROPUESTOS

1. Virus informático

Se ha constatado que el 32% de los computadores PC están infectados con virus del tipo Spyware y que el 14% tiene virus del tipo Troyano, pero sin Spyware. Estas dos infecciones son independientes una de otra. Si S representa el suceso “Tiene Spyware” y T el suceso “Tiene Troyano”, entonces:

1.1. Calcule P(T – S) =

A) 0,14 B) 0,18 C) 0,46 D) 0,54 E) 0,72

1.2. La probabilidad de que un computador no tenga ninguno de estos dos tipos de virus es:

A) 0,86 B) 0,54 C) 0,14 D) 0,46 E) 0, 68

1.3. La probabilidad de que un computador esté infectado de Troyano, pero no de Spyware, se escribe:

A) P(T’ y S’) B) P(T – S’) C) P(S y T’) D) P(T y S’) E) P(T o S’)

2. Venta de automóviles

En la tabla adjunta, la variable aleatoria X = Nº de automóviles mensuales vendidos por vendedor (con x >2) y P(x) su probabilidad:

X 3 4 5 6 7 8 o más

P(x) 0,07 0,21 p 0,19 0,11 0,09

2.1. La probabilidad de que un vendedor venda más de 4 automóviles en un mes es:

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2.2. ¿Cuál es la probabilidad de que un vendedor venta en un mes, a lo más 4 automóviles?

A) 0,72 B) 0,39 C) 0,28 D) 0,21 E) 0,07

3. Sistema productivo

Cierto sistema productivo del rubro alimentos, funciona con 2 motores independientes entre sí. La probabilidad de falla en cada uno de los motores es 0,05. El sistema funciona correctamente siempre y cuando haya, al menos, un motor funcionando.

3.1. ¿Cuál es la probabilidad de que solo uno de los motores funcione?

A) 0,0425 B) 0, 0475 C) 0,2815 D) 0,95 E) 0,095

3.2. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?

A) 0, 9975 B) 0, 9025 C) 0,4275 D) 0,095 E) 0,0475

4. Accidentes laborales mortales

Se han investigado 1.476 accidentes laborales mortales, que, clasificados según sector de la actividad económica y sexo del afectado, se distribuyen de acuerdo a la siguiente tabla:

Accidentes laborales mortales según sector de actividad económica.

Sector de actividad Nº de casos Hombre Mujer

Servicios _{331 187}₁₄₄

Agrario _{136 112}₂₄

Industria _{325 213}₁₁₂

Construcción _{684 668}₁₆

TOTAL 1.476 1.180 296

4.1. De acuerdo a la tabla, en la muestra estudiada ¿cuál es la probabilidad de accidente mortal en el sector agrario?

A) 0,824 B) 0,4561 C) 0,1765 D) 0,0949 E) 0,0921

4.2. De acuerdo a la tabla, en la muestra estudiada, ¿cuál es la probabilidad de que la víctima sea mujer del sector servicio o

agrario?

A) 0,1765 B) 0,4350 C) 0,5676 D) 0,1138 E) 0,3164

4.3. En la muestra estudiada, ¿cuál es la probabilidad de que la víctima sea un hombre del sector construcción?

A) 0,9766 B) 0,5661 C) 0,4526 D) 0,4634 E) 0,3721

Solución a problemas propuestos:

1.1. A 1.2. B 1.3. D 2.1. B 2.2. C

3.1. E 3.2. A

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V. RECURSOS COMPLEMENTARIOS

1. Bibliografía para conceptos básicos de probabilidad:

-Spiegel, Murray. Probabilidad y Estadística. McGraw Hill, 2003. ISBN: 9584101331. Capítulo I.

2. Sitio Web: AULAFACIL

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm CLASE 16. Cálculo de probabilidades

CLASE 17. Probabilidad de sucesos

3. Sitio Web: SECTOR MATEMÁTICA

http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm

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CLASE 2

Probabilidad de sucesos condicionales

«El hombre tiene mil planes para sí mismo. El azar, sólo uno para cada uno».

Mencio

-Resuelven problemas que involucran el cálculo de probabilidad de sucesos condicionales. -Cálculo de probabilidad de sucesos condicionales

II. DESARROLLO

1. Sucesos independientes

Si A y B son sucesos en el espacio muestral Ω y P(A) y P(B) sus respectivas probabilidades, entonces se pueden definir los siguientes conceptos:

Se dice que el suceso A es independiente de suceso B, si P(A / B) = P(A)

Esto es, que la probabilidad de que ocurra A, dado que ocurrió B, es simplemente P(A). En otras palabras, la ocurrencia de B no afecta, no interviene en la probabilidad de ocurrencia de A.

En otro caso, se dirá que A y B son condicionales o dependientes. Para dos sucesos A y B, independientes, se verifica que:

P(A y B) = P(A) · P(B) (Ver teorema y ejemplos en la clase 1).

2. Probabilidad de sucesos condicionales

Sean A y B dos sucesos en el espacio muestral Ω y P(A) y P(B) sus respectivas probabilidades. Si la ocurrencia de A está condicionada a la ocurrencia del suceso B, entonces, la probabilidad de que ocurra B, dado que ocurrió A está dada por:

P(B / A) = ) ( ) ( A P B y A P ₍₁₎

(18)

Ejemplo: Si P(A) = 0,4; P(B) = 0,3 y P(A y B) = 0,14; entonces: P(A / B) = 3 0 14 0 , , _{= 0,4667} P(B / A) = 4 0 14 0 , , _{= 0,35}

3. Teorema de la probabilidad total

Si un suceso A debe resultar en uno de los sucesos mutuamente excluyentes A₁, A₂, etc, entonces, la probabilidad de A es igual a:

P(A) = P(A₁) · P(A / A₁) + P(A₂) · P(A / A₂) + … = ΣP(A_i ·)P(A/A_i); con i = 1, 2, … Este es el llamado teorema de la probabilidad total.

4. Teorema de Bayes

De la relación de la probabilidad condicional (1): P(B / A) = ) ( ) ( A P B y A P Es posible hacerse la pregunta:

¿Cuál es la probabilidad de que haya ocurrido A, dado que ya ocurrió B? Esta probabilidad está dado por:

P(A / B) = ) ( ) / ( · ) ( B P A B P A P

Este es el caso particular del teorema de Bayes, para dos sucesos.

Caso general:

Si A₁, A₂, etc, son sucesos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral Ω, entonces, si B es cualquier suceso, es posible calcular la probabilidad de los sucesos A₁, A₂, etc, que pueden causar la ocurrencia de B, mediante:

P(A_i / B) = ) / ( ·) ( ) / ( · ) ( Ai B P A P A B P A P i i i Σ ; con i = 1, 2, … Este es el llamado teorema de Bayes.3

3_{El teorema de Bayes, es un método adecuado para calcular la probabilidad de las hipótesis que se confirman mediante la inducción. Este teorema} fundamenta una predicción o generalización basada en la observación de hechos, mediante el cálculo de probabilidades. Se da también el nombre de bayesiana a la decisión racional de maximizar la utilidad esperada o el valor estimado. Por este motivo, el teorema de Bayes tiene frecuentes aplicaciones en la teoría de las decisiones.

(19)

5. Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol es un esquema gráfico que ayuda a analizar una situación de probabilidad condicional, cuando se deben producir dos o más sucesos, uno después del otro. En este caso se muestran solo dos.

Este diagrama se desarrolla de izquierda a derecha (árbol horizontal), siguiendo las siguientes directrices:

1º: Cada suceso se representa por una rama, con bifurcaciones señaladas por las distintas posibilidades del suceso.

En el diagrama, se definen dos ramas, pero pueden ser más.

2º: Cada rama parcial lleva especificada su respectiva probabilidad. En cada suceso, la suma de las probabilidades de

sus ramas es 1. En el esquema, P(A) + P(B) = 1; P(C) + P(D) = 1; etc.

3º: El final de cada rama parcial se constituye en un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del

siguiente suceso.

4º: Cada secuencia de ramas constituye un suceso. Su probabilidad está dada por la regla del producto.

5º: La suma de las probabilidades al final de cada secuencia de ramas es 1 (probabilidad total). En el diagrama, P(A y

C) + P(A y D) + (B y E) + P(B y F)= 1

1. Accidentes laborales:

Para el estudio de ciertos accidentes laborales, se definen los sucesos siguientes: A = el accidente se produce por acción insegura por parte del trabajador. C = el accidente se produce por condición insegura en el lugar de trabajo. Se sabe que: P(A) = 0,56; P(C) = 0,48 y P(A y C) = 0,12

1.1. Calcule P(A / C)

1.2. Calcule la probabilidad de accidente por Condición insegura, dado que hubo Acción insegura.

A C D B E F P(A) P(B) P(C) P(D) P(E) P(F)

P(A y C) = P(A) · P(C/A)

P(B y E) = P(B) · P(E/B) P(A y D) = P(A) · P(D/A)

P(B y F) = P(B) · P(F/B)

(20)

Solución:

1.1. P(A / C). Esta es la probabilidad de accidente por Acción insegura, dado que hubo Condición insegura.

Aplicando el teorema correspondiente: P(A / C) = ) ( ) ( C P C y A P = 48 0 12 0 , , = 0,25

1.2. P(C / A): Esta es la probabilidad de accidente por Condición insegura, dado que hubo Acción insegura.

Aplicando el teorema correspondiente: P(C / A) = ) ( ) ( A P C y A P ₌ 56 0 12 0 , , _{= 0,2143}

1.3. Para que A y C sean independientes debe verificarse lo siguiente:

P(A) · P(C) = P(A y C)

Remplazando los valores dados: P(A) = 0,56; P(C) = 0,48 y P(A y C) = 0,12 0,56 · 0,48 = 0,12

≠ 2688 0, 0,12

Por lo tanto, A y C no son independientes.

2. Muestreo sin reposición

En una urna hay 4 fichas blancas y 5 negras de igual peso y tamaño. De esta caja, se extrae al azar y sin reposición, dos fichas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas resulten negras?

Solución:

Método 1:

Se trata de una situación de sucesos condicionales. Al no haber reposición, una vez que se extrae la primera ficha, para la segunda extracción el espacio muestral se ha modificado, dependiendo del resultado de la primera.

En la primera extracción hay 5 negras de un total de 9. Por lo tanto: P(N₁) =

9 5

Para la segunda extracción hay solo 8 fichas (ya se extrajo una), de las cuales 4 son negras (ya salió una negra en la primera extracción). Entonces: P(N₂/N₁) = 8 4 ₌ 2 1

Para que ocurran ambos sucesos, se usa la regla del producto: P(N₁ y N₂/N₁ ) = 9 5 · 2 1 = 18 5 = 0,2778

(21)

Método 2:

Extraer una a una dos fichas sin reposición, es igual a extraer dos fichas simultáneamente. Entonces, es posible aplicar el concepto de combinatoria4_.

Las dos fichas negras se pueden combinar de )(

2 5

maneras distintas, de un total de )(

2 9

casos posibles. Aplicando la ecuación de Laplace:

) 2 9 ( ) 2 5 ( negras) P(2 = = 0,2778 3. Faltas a la calidad

Una empresa que arma lavadoras automáticas tiene dos plantas A y B, que producen el 40% y el 60% de estos artefactos, respectivamente. Suponga que el 8% de los artefactos de la planta A y el 12% de los de la planta B presentan la misma falta de calidad (falla). Si se está frente a una lavadora con esta falla, interesa calcular la probabilidad de que el artefacto haya sido armado en la planta B.

3.1. ¿Cuál es la probabilidad de que esta empresa produzca artefactos con falla?

3.2. Si se está frente a una lavadora con esta falla, ¿cuál es la probabilidad de que el artefacto haya sido armado en la planta B?

Solución:

Para comprender mejor la situación, de realizará un diagrama de árbol.

3.1. Se pide P(F):

Sumando los resultados del diagrama de árbol, de las secuencias que terminan en (1) y (3:: P(F) = 0,032 + 0,072 = 0,104 (Esto es, el 10,4% de los artefactos).

Aplicando directamente el teorema de la probabilidad total:

P(F) = P(A)· P(F/A) + P(B)· P(F/B) = 0,4 · 0,08 + 0,6 · 0,12 = 0,104 A = Planta A F = Con falla F’ =Sin falla B = Planta B F =Con falla F’ =Sin falla 0,4 0,6 0,08 0,92 0,12 0,88 P(F/A) = 0,4 · 0,08 = 0,032 P(F/B) = 0,6 · 0,12 = 0,072 P(F’/A) = 0,4 · 0,92 = 0,368 P(F’/B) = 0,6· 0,88 = 0,528 (1) (2) (3) (4)

(22)

3.2. Si se está frente a una lavadora con esta falla, ¿cuál es la probabilidad de que el artefacto haya sido armado en la planta B?

Se pide determinar: P(B / F)

Aplicando el teorema de la probabilidad condicional, y sacando los valores de las respectivas ramas del árbol y el resultado anterior: P(B / F) = P(F) F) y P(B = 0,104 0,072 = 0,6923

Aplicando directamente el teorema de Bayes: P(B / F) = ) ( ) / ( · ) ( F P B F P B P = 0,104 0,12 · 0,6 _{= 0,6923}

4. Casados, urbanos y rurales

En cierta región, el 35% de los hombres mayores de 18 años vive en zonas rurales y el 65% en zonas urbanas. En las zonas rurales, el 80% de los hombres mayores de 18 años está casado, mientras que en las zonas urbanas ese % es solo del 60%.

4.1. ¿Cuál es la probabilidad de que en esta región un hombre de esta población esté casado?

4.2. Si se encuentra en esta población un hombre casado, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la zona rural?

Solución:

Sean los siguientes sucesos:

R = hombre mayor de 18 años de zonas rurales. U = hombre mayor de 18 años de zonas urbanas.

Nótese que, tal como está planteado el problema, U y R son complementarios. C/R = casado, dado que es de zona rural

C/U = casado, dado que es de zona urbana C = hombre de la región, mayor de 18 años, casado.

Nótese que el suceso C es condicional, ya que este estado civil depende de la zona U o R de donde provenga el hombre. Trasladando los datos dados en %, a probabilidad, se tiene:

P(R) = 0,35 y P(U) = 0,65 P(C/R) = 0,8 y P(C/U) = 0,6

Para una mejor comprensión y cálculo, es posible trazar un diagrama de árbol como el siguiente:

Rural y Casado = Urbana Rural Casado / R NO casado / R Casado / U NO casado / U 0,35 0,65 0,8 0,2 0,6 0,4 ⇒ ⇒ Urbano y Casado = 0,35 x 0,8 = 0,28 0,65 x 0,6 = 0,39

(23)

3.1. Los casados pueden ser de la zona R o de la zona U, siendo aplicable la regla de la suma de probabilidades: Entonces, con los datos del diagrama:

P(C) = P(C/R) + P(C/U) = 0,28 + 0,39 = 0,67.

También puede ser calculada esta probabilidad, aplicando directamente el teorema de la probabilidad total.

3.2. Se pide: P(R / C’) =

Desarrollando, con los datos del diagrama: P(R / C’) = ) P(C' ) C y P(R ' = 0,67 -1 0,2 · 0,35 _{= 0,2121}

También puede ser calculada esta probabilidad, aplicando directamente el teorema de Bayes.

1. Agricultores

En cierto sector agrícola, el 60% de los agricultores siembra trigo. De estos, el 75% usa semilla seleccionada. Si se selecciona al azar un agricultor de este sector, ¿cuál es la probabilidad de que haya sembrado trigo sin semilla seleccionada?

A) 0,125 B) 0,15 C) 0,25 D) 0,40 E) 0,45

2. Gripe

En una comuna donde el 60% de sus habitantes son mujeres, se produce una epidemia de gripe que afecta al 15% de los hombres y al 5% de las mujeres.

¿Cuál es la probabilidad de que un habitante de esta comuna tenga gripe?

A) 0,40 B) 0,20 C) 0,24 D) 0,09 E) 0,06

3. Estudio del mercado de refrescos

Según un estudio, se prueban tres sabores de refresco A, B y C, entre hombres (H) y mujeres (M). El estudio permitió construir la siguiente tabla de probabilidades de preferencias:

REFRESCO SEXO

A B C

HOMBRE 0,1 0,05 0,25

MUJER 0,15 0,3 0,15

De acuerdo a estos datos:

3.1. Calcule P(B o C)

A) 0,75 B) 0,4 C) 0,35 D) 0,3 E) 0,25

(24)

3.3. Calcule P(B / H) =

A) 0,4 B) 0,125 C) 0,05 D) 0,15 E) 0,25

3.4. Si se selecciona a una persona que gusta del refresco B, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? A) 0,35 B) 0,3 C) 0,857 D) 0,782 E) 0,627

4. Parceleros

Se ha comprobado que en la región de Aysén, el 75% de los parceleros son propietarios de las tierras que habitan. De ellos, el 60% son mujeres. Entre los no propietarios, el 55% son hombres. Si esto es así:

4.1. La probabilidad de que un parcelero de esta región sea mujer es:

A) 0,5625 B) 0,525 C) 0,6 D) 0,135 E) 0,45

4.2. La probabilidad de que un parcelero de esta región sea hombre y propietario, es: A) 0,125 B) 0,47 C) 0,135 D) 0,3 E) 0,45

4.3. ¿Cuál es la probabilidad de que un parcelero de esta región sea propietario, dado que es mujer? A) 0,75 B) 0,45 C) 0,656 D) 0,812 E) 0,8

4.4. ¿Cuál es la probabilidad de que un parcelero de esta región sea hombre, dado que es no es propietario? A) 0,435 B) 0,565 C) 0,55 D) 0,75 E) 0,25

1. B 2. D

3.1. A 3.2. E 3.3. B 3.4. C

4.1. A 4.4. D 4.3. E 4.4. C

1. Bibliografía para conceptos básicos de probabilidad:

2. Sitio Web: AULAFACIL

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm CLASE 24. Teorema de la probabilidad total

CLASE 25. Teorema de Bayes

3. Sitio Web: SECTOR MATEMÁTICA

http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm

Para descargar teoría y ejercicios de Combinatoria

4. Combinatoria

Los distintos grupos que se generan al seleccionar r elementos desde un conjunto de n elementos (con r ≤ n), está dado por la combinatoria:

(25)

)! ·( ! ! ) ( r n r n r n nCr − = = Siendo n! el factorial de n.

Ejemplo: De un curso de 32 estudiantes se debe elegir una comisión de 5 estudiantes. ¿Cuántas distintas comisiones podrían formarse?

Esto corresponde a la combinatoria 32C5, que también se puede escribir como ( )

5 32

y se lee “32 sobre 5”. Ingresando los valores a la calculadora:

32 nCr 5 =

201376

Ejercicios complementarios: Ejercicio 1: Calcule ) ( ) ( 3 8 3 5 = Ejercicio 2: Calcule ) ( ) ( · ) ( 5 9 2 4 3 5 =

Ejercicio 3: Calcule de cuántas maneras diferentes pueden elegirse al azar 3 personas desde un grupo de 7. Ejercicio 4: ¿Cuántas combinaciones son posibles en un juego de azar El Loto?

(26)

CLASE 3

El modelo de probabilidad binomial

«Los dioses nos dan muchas sorpresas: lo esperado no se cumple y para lo inesperado un dios abre la puerta».

Eurípides

-Identifican el modelo de probabilidad binomial y los parámetros que lo definen. -Calculan el valor esperado y la varianza de una distribución de probabilidad binomial. -Resuelven problemas que involucran operar con el modelo de probabilidad binomial.

-Concepto de valor esperado y varianza.

-Modelos de probabilidad discreta: • binomial

II. DESARROLLO

1. El experimento

El experimento binomial es el siguiente:

Se tiene una población grande en la cual se conoce la probabilidad p de un suceso A, o de encontrar un individuo con una característica A.5

Se extrae desde esta población una muestra aleatoria de tamaño n .

Interesa saber cuál es la probabilidad de que resulten 0, 1, 2, ... n sujetos con la característica A en la muestra.

2. El modelo binomial

Esta probabilidad está dada por la función:

x n x _q p x n x P( )=( )· · − ; con x = 0, 1, 2,...n Siendo: = n tamaño de la muestra = p probabilidad en la población; q=1−p =

x Número de éxitos en la muestra

=

) ( x

P Probabilidad de obtener x éxitos en la muestra de tamaño n.

Importante:

• Como el dominio de la función son solo números enteros, esta es una función de probabilidad discreta. • La probabilidad de un valor x cualquiera está dada por el valor de la función para esa x.

• ΣP_i=1. La suma de todas probabilidades parciales es 1.

5

(27)

Ejemplo: En la empresa Alka S. A., el 12,7% de las ausencias de trabajadores tiene como causa accidentes de trayecto. Si se extrae una muestra de 25 trabajadores ausentes de esta empresa, ¿cuál es la probabilidad de que en 10 de ellos haya sido por accidente de trayecto?

En este caso se dan las condiciones para aplicar el modelo binomial:

p= 0,127 es la probabilidad conocida en la población.

=

n 25. Es la muestra

X = Nº de ausencias por accidente de trayecto, con x = 0, 1, 2, …, 25.

3. Parámetros del modelo binomial

Los parámetros que definen el modelo son n y p. En el ejemplo anterior: n = 25 y p = 0,32

Entonces, para el ejemplo, la función de probabilidad queda definida por:

x 25 x ₀₈₇₃ 127 0 x 25 x P( )=( )· , · , − ; con x = 0, 1, 2,...25

Siendo X = número de ausencias por accidente de trayecto en una muestra de 25.

Vale decir, que solamente se requieren n y p para establecer un modelo binomial, siempre y cuando se cumplan las condiciones especificadas.

4. Características del modelo binomial

Valor esperado: E(x) = n · p Varianza: V(x) = n · p · q Desviación estándar: σ(x)= n·p·q

En el caso de ejemplo dado:

Valor esperado: E(x) = 25 · 0,32 = 8

Varianza: V(x) = 25 · 0,32 · 0,68 = 5,44 Desviación estándar: σ(x)= 5,44= 2,3324

5. Supuestos, aplicaciones y requisitos del modelo

• Se trata de una población binomial.

• Se conoce el valor poblacional p . Esta p es constante.

• El muestreo se hace con reposición o desde una población muy grande. • La muestra es independiente.

• El modelo funciona muy bien para p cercano a 0,5. • El modelo no funciona bien para <p 0,1 o para p>0,9.

(28)

1. Empresa de turismo

Una empresa de turismo sabe que el 26% de los adultos pensionados está dispuestos a realizar un viaje de placer. Esta empresa visita a estos clientes potenciales, seleccionándolos en forma aleatoria.

1.1. Si un vendedor visita a 12 pensionados, independientes unos de otros, ¿cuál es la probabilidad de que 5 de ellos estén dispuestos a realizar un viaje de placer?

1.2. Si un vendedor visita a 10 pensionados, ¿cuál es la probabilidad de que 3 o 4 de ellos estén dispuestos a realizar un viaje de placer?

1.3. Si un vendedor visita a 6 pensionados, ¿cuál es la probabilidad de que a lo menos uno de ellos esté dispuestos a realizar un viaje de placer?

Solución:

Es una situación modelable a través del modelo binomial.

1.1. n = 12; p = 0,26 y x = 5 El modelo es el siguiente: x 12 x ₀₇₄ 26 0 x 12 x P( )=( )· , · , − ; con x = 0, 1, 2,...12 Valorando la función para x = 5:

5 12 5 ₀₇₄ 26 0 5 12 5 x P( = )=( )· , · , − = 0,1143 1.2. n = 10; p = 0,26 y x = 3 o 4 El modelo es el siguiente: x 10 x ₀₇₄ 26 0 x 10 x P( )=( )· , · , − ; con x = 0, 1, 2,...10 Valorando la función para x = 3 y para x = 4:

7 3 ₀₇₄ 26 0 3 10 3 x P( = )=( )· , · , = 0,2563 6 4 ₀₇₄ 26 0 4 10 4 x P( = )=( )· , · , = 0,1576 ) (3ó4 P = 0,2563 + 0,1576 = 0,4139

(29)

1.3. n = 6; p = 0,26 y x ≥1 ) ( ... ) ( ) ( ) (x 1 P x 1 P x 2 P x 6 p ≥ = = + = + + =

En este caso es preferible calcular la probabilidad del suceso contrario:

) ( ) (x 1 1 P x 0 p ≥ = − = 6 0 ₀₇₄ 26 0 0 6 0 x P( = )=( )· , · , = 0,1642 1642 0 1 1 x p( ≥ )= − , = 0,8358 2. Reclamos

Una empresa de servicios ha detectado que el 57% de los e-mails recibidos es por reclamos del servicio que prestan. Se realiza un estudio especial con 40 correos seleccionadas al azar de entre todos los recibidos.

2.1. Indique el modelo de probabilidad para el número de correos de reclamo en la muestra de 40.

2.2. Calcule el valor esperado y desviación estándar de las correos de reclamo.

2.3. Calcule la probabilidad de que hayan 25 correos de reclamo en los 40 seleccionados.

Solución:

2.1. El modelo de probabilidad binomial es:

x 40 x ₀₄₃ 57 0 x 40 x P( )=( )· , · , − ; x = 0, 1, 2, 3... 40 Con X = número de correos de reclamo en la muestra de tamaño 40.

2.2. Valor esperado = 40 · 0,57 = 22,8 correos de reclamo Desviación estándar = 40·0,57·0,43=3,13 correos de reclamo

2.3. 05725 04315 25 40 25 x P( = )=( )· , · , = 0, 1008 R: La probabilidad es 0, 1008. Corresponde al 10,08%.

1. Función de probabilidad:

Se tiene la función de probabilidad siguiente:

x 30 x ₀₄ 6 0 x 30 x P( )=( )· , · , − ; con x = 0, 1, 2, 3...

(30)

1.2. Calcular P(x = 13)

A) 0,0269 B) 0,2654 C) 0,8451 D) 0,1245 E) 0,1478

1.3. El valor esperado y la desviación estándar de la distribución es, respectivamente: A) 12 y 0,24 B) 12 y 7,2 C) 18 y 0,24 D) 18 y 7,2 E) 18 y 2,68

2. Modelo binomial

Acerca del modelo binomial se afirma que: I: Está definido por dos parámetros solamente

II: Se puede aplicar efectivamente con cualquier valor de p III: Se puede usar aun si se desconoce el tamaño de la población Es (son) correcta(s):

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

3. Compra-venta de automóviles

Se ha constatado que en 3 de cada 5 ventas de automóviles a matrimonios, la decisión de compra es de la mujer. En una selección de 10 ventas a matrimonios tomadas al azar se desea saber la probabilidad de que en 7 de ellas la decisión de compra haya sido de la mujer.

3.1. Si se aplica el modelo binomial el parámetro p es igual a:

A) 0,3 B) 0,4 C) 0,5 D) 0,6 E) 0,7

3.2. Si se aplica el modelo binomial el parámetro n es igual a:

A) 15 B) 10 C) 7 D) 5 E) 3

3.3. Si se aplica el modelo binomial el valor de x es igual a:

A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) 10

4. Servicio de Internet

Una empresa de servicios de información y comunicaciones ha diagnosticado que en cierto sector residencial, solo 4 de cada 25 hogares tiene conexión a Internet.

4.1. Si se visita un hogar al azar, la probabilidad de que no tenga conexión a Internet es: A) 0,16 B) 0,32 C) 0,64 D) 0,72 E) 0,84

4.2. Si se visitan 8 hogares al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 5 no tengan conexión a Internet? A) 0,0959 B) 0,1681 C) 0,6250 D) 0,0721 E) 0,0840

4.3. Si se visitan 6 hogares al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos tenga conexión a Internet? A) 0,1651 B) 0,3513 C) 0,3281 D) 0,4172 E) 0,2184

(31)

Solución a problemas propuestos: 1.1. C 1.2. A 1.3. E 2.1. D 3.1. D 3.2. B 3.3. C 4.1. E 4.2. A 4.3. B V. RECURSOS COMPLEMENTARIOS

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm CLASE 28. Distribuciones discretas: Binomial

2. Aula virtual de Bioestadística: ver modelos de probabilidad

(32)

CLASE 4

El modelo de probabilidad de Poisson

«Son distintas las aguas que cubren a los que entran en el mismo río.

Heráclito.

-Identifican el modelo de probabilidad de Poisson y los parámetros que lo definen. -Calculan el valor esperado y la varianza de una distribución de probabilidad de Poisson. -Resuelven problemas que involucran operar con el modelo de Poisson.

-Concepto de valor esperado y varianza.

-Modelos de probabilidad discreta: • Poisson.

II. DESARROLLO

1. El experimento

Se tiene una población en la que se conoce el promedio de ocurrencia de un suceso por unidad de espacio, o de tiempo, volumen, etc. Si X representa el número de ocurrencias del suceso (0, 1, 2, …), e interesa saber cuál es probabilidad de que este resulte 0, 1, 2, ... veces, es aplicable el modelo de Poisson.

2. El modelo de Poisson

Esta probabilidad está dada por la función de Poisson:

! · ) ( x e x P = −λ λx ; con x = 0, 1, 2, ... Siendo:

λ= promedio de éxitos por unidad de medida (λ>0). =

) ( x

P Probabilidad de que se produzcan x éxitos. X = número de éxitos por unidad de medida. Además: e = 2,71828...6

Ejemplo de situaciones donde es aplicable el modelo de Poisson:

• El número de llamadas telefónicas que entran a una central telefónica es de 12 por minuto. • Un promedio de 6,5 pacientes llegan a una central de urgencia, por cada hora.

• Llegan 3,4 clientes a un cajero automático, por cada 10 minutos. • Se da un promedio de 2,5 fallas en la tela por cada 100 metros de tela.

En cada uno de estos casos existe un promedio de ocurrencia por cierta unidad de tiempo, espacio, volumen, etc. Este promedio es el parámetro λ de la función de Poisson.

6

(33)

Importante:

• Como el dominio de la función son enteros, esta es una función de probabilidad discreta. • La probabilidad de un valor x cualquiera está dada por el valor de la función para esa x. • ΣPi=1. La suma de todas probabilidades parciales es 1.

Ejemplo: Una empresa comercial del rubro retail ha constatado que, en promedio, 3,4 clientes de cada 10, pagan con dinero en efectivo.

En este caso se dan las condiciones para aplicar el modelo binomial: λ= 3,4 clientes de cada 10.

X = Nº de clientes que pagan con efectivo.

3. Parámetros del modelo binomial

El parámetro que define el modelo de Poisson es solamente λ. En el ejemplo: λ= 3,4

Entonces, para el ejemplo, la función de probabilidad queda definida por:

! , · ) ( , x 4 3 e x P = −34 x ; con x = 0, 1, 2, ...

Siendo X: número de clientes que pagan en efectivo, por cada 10 clientes.

Vale decir, que solamente se requiere λ para establecer un modelo de Poisson, siempre y cuando se cumplan las condiciones definidas.

4. Características del modelo de Poisson

Valor esperado: E(x) = λ Varianza: V(x) = λ Desviación estándar: σ(x)= λ

En el caso del ejemplo:

Valor esperado: E(x) = 3,4 clientes/por cada 10

Varianza: V(x) = 3,4

Desviación estándar: σ(x)= 3,4= 1,8439 clientes/por cada 10

5. Relación entre el modelo binomial y el modelo de Poisson

Es posible probar que entre el parámetro λ que caracteriza al modelo de Poisson, y los parámetros n y p de la binomial se puede establecer la relación:

p n· = λ

Esto hace que ambos modelos tengan cosas en común, pero también diferencias:

(34)

6. Supuestos, aplicaciones y requisitos del modelo

• Se conoce el valor poblacional λ o se tienen datos para calcularlo. Esta λ es constante. • El modelo funciona bien para λ entre 0,1 y 7.

• El modelo funciona muy bien cuando <p 0,1, es decir, para “casos extraños” y n > 50.

• El modelo funciona bien para p muy pequeño y n grande, tales que n· p < 7. • Una vez establecido el modelo, no se requiere conocer el tamaño de la muestra.

1. Cajero automático

El número de personas que llegan cada 5 minutos a un cajero automático está dado por la función de probabilidad:

! , · ) ( , x 6 4 e x f x 6 4 − = , con x = 0, 1, 2, …

1.1. Calcule la probabilidad de que en el lapso de 5 minutos lleguen 7 personas a ese cajero.

1.2. Calcule la probabilidad de que en el lapso de 5 minutos lleguen 2 o 3 personas a ese cajero.

1.3. Calcule la probabilidad de que en el lapso de 4 minutos lleguen 6 personas a ese cajero.

Solución: 1.1. Calculando f(x=7) en la función: ! , · ) ( , 7 6 4 e 7 x f = = −46 7 = 0,0869

1.2. La probabilidad f(2 o 3) = f(x=2) + f(x=3), por la propiedad de la suma de sucesos mutuamente excluyentes.

! , · ) ( , 2 6 4 e 2 x f = = −46 2 = 0,1063 ! , · ) ( , 3 6 4 e 3 x f = = −46 3 = 0,1631 Entonces: f(2 o 3) = 0,1063 + 0,1631 = 0,2694

1.3. Primero hay que transformar el parámetro λ, desde clientes cada 5 minutos a clientes cada 4 minutos. Aplicando proporciones: utos 4 clientes utos 5 clientes 6 4 min min , λ =

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Ahora sí se puede proceder a valorar la función para x = 6. ! , · ) ( , 6 68 3 e 6 x f = = −368 6 = 0,0670 2. Servicio de GPS

Una empresa de servicio de GPS tiene instalados 1.560 equipos en los vehículos de carga de cierta empresa. La probabilidad de que cualquiera de los equipos falle durante un mes es 0,003:

2.1. Plantee el modelo de probabilidad para el número de equipos que falla al mes.

2.2. Determine la probabilidad de que 4 equipos GPS fallen durante un mes;

2.3. Calcule la probabilidad de que más de un equipo falle durante un mes.

2.4. Calcule el valor esperado y desviación estándar de los equipos que fallan durante un mes.

Solución:

2.1. Se dan las condiciones para aplicar el modelo de Poisson: n = 1.560 equipos

p = 0,003; probabilidad de que un equipo falle durante un mes.

λ = n · p = 1.560 x 0,003 = 4,68 equipos, en promedio, fallan en un mes. Es decir, se cumple un n grande y un p pequeño, tales que n · p < 5

Entonces, el modelo es:

! , ) ( , x 68 4 e x f = −−468 x , con x = 0, 1, 2, …, 1.560.

X = número de equipos que pueden fallar en un mes, x = 0, 1, 2, 3,....,1.560 equipos.

2.2. ! , ) ( , 4 68 4 e 4 x f = = −468 4 = 0,1855 2.3.f(x≥2)=1−f(x≤1) = 1 – [f(x = 0) + f(x = 1)] f(x ≥ 2) = 1 – ( ! , , 0 68 4 e−468 0 + ! , , 1 68 4 e−468 1 ) = 1- (0,009279 + 0,04343) = 0,9473 2.4. E(x) = λ= 4,68 equipos σ(x) = λ= 4,68= 2,16 equipos

(36)

1. Servidor

Cierto servidor se “cae”, en promedio, 2,4 veces por cada 500 horas de funcionamiento continuado.

1.1. La probabilidad de que este servidor se caiga 2 veces en 500 horas de funcionamiento continuado es igual a: A) 0,3512 B) 0,4322 C) 0,1673 D) 0,2831 E) 0,2613

1.2. La probabilidad de que el servidor no se caiga en ese lapso de tiempo, es igual a:

A) 0,0 B) 0,0122 C) 0,0907 D) 0,2003 E) 0,1027

1.3. La probabilidad de que este servidor se caiga a lo más 2 veces en 500 horas, es:

A) 0,2613 B) 0,5697 C) 0,3917 D) 0,4790 E) 0,2177

1.4. El valor esperado y la varianza de esta distribución de probabilidades, respectivamente, son: A) 2,4 y 2,4 B) 2,4 y 2

4

2, C) 2,4 y 2,4 D) 2,4 y 2,4 E) 2,4 y 2,42

2. Proceso industrial

Cierto proceso industrial produce una falla con probabilidad 0,0035 por cada hora de trabajo. Este proceso funciona las 24 horas del día, todos los días, sin detención.

2.1. ¿Cuál es el valor del parámetro de Poisson, para las fallas en una semana de funcionamiento de este proceso? A) 0,0035 B) 0,0245 C) 0,0840 D) 0,5880 E) 0,6542

2.2. ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso genere 3 fallas en 4 semanas de funcionamiento? A) 0,2352 B) 0,2064 C) 0,3764 D) 0,1329 E) 0,0349

3. Obras viales

En ciertas faenas de obras viales, la probabilidad de accidente laboral por mes sigue una distribución de Poisson con parámetro 1,8.

3.1. La probabilidad de que en un mes no se produzcan accidentes laborales es:

A) 0,18 B) 0,6049 C) 0,1653 D) 0,3365 E) 0,1347

3.2. La probabilidad de que en un mes se produzca al menos 1 accidente laboral, es:

A) 0,2138 B) 0,4567 C) 0,5653 D) 0,8347 E) 0,7070

3.3. La probabilidad de que en un mes se produzca más de un accidente laboral es:

A) 0,2975 B) 0,4628 C) 0,8347 D) 0,7025 E) 0,5372

3.4. La probabilidad de que en un mes se produzcan 2 o 3 accidentes laborales es: A) 0,4285 B) 0,2678 C) 0,1607 D) 0,2523 E) 0, 7227

(37)

1.1. E 1.2. C 1.3. B 1.4. A 2.1. D 2.2. B

3.1. C 3.2. D 3.3. E 3.4. A

1. Bibliografía para conceptos básicos de probabilidad:

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm

CLASE 29. Distribuciones discretas: Poisson

3. Aula virtual de Bioestadística: ver modelos de probabilidad

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CLASE 5

El modelo de probabilidad normal

«Por perder un clavo, el caballo perdió la herradura, el jinete perdió al caballo, el jinete no combatió, la batalla se perdió, y con ella perdimos el reino ».

(Efecto mariposa)

-Identifican el modelo de probabilidad normal y los parámetros que lo definen. - Identifican el modelo de probabilidad normal estándar y los parámetros que lo definen. -Calculan área bajo la curva normal utilizando tablas de la curva normal estándar. -Calculan percentiles de la distribución normal estándar mediante tabla.

-Modelos de probabilidad continua: • curva normal.

• curva normal estándar. -Cálculo de probabilidades y percentiles con la curva normal estándar.

II. DESARROLLO

1. El modelo normal

Si X es una variable normal, entonces su función de densidad de probabilidad está dada por: 2 x 2 1 e 2 1 x f( ) ( σ ) μ − − π σ = ; con −∞<x<+∞

En esta función, x es variable aleatoria, que puede tomar cualquier valor real entre menos infinito e infinito. Este es, por lo tanto, un modelo de probabilidad continua.

2. Parámetros del modelo

Los parámetros del modelo son los valores μ y σ : Media aritmética: μ

Desviación estándar: σ

Por esto, cada curva normal queda definida por su μ y su σ. El gráfico típico de esta curva es el de una campana.

Si una variable se distribuye normalmente con media μ y varianza σ2, se escribe de la siguiente manera: X ~ N(μ;σ2)

Fig 5.1: Curva normal

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3. Principales propiedades de la curva normal

La curva normal tiene interesantes propiedades matemáticas. Sin embargo, para fines prácticos, las principales son: • La curva es asintótica respecto del eje x. Esto es, la curva no llega a intersectar al eje x por más que se prolongue. • La curva es simétrica respecto de la media μ.

• El área total bajo la curva equivale al 100% de n.

• Casi el 100% del área bajo la curva se halla entre comprendida en el intervalo: x−3σ y x+3σ. Ver figura 5.2. • La probabilidad en un punto x cualquiera es cero7_.

• La probabilidad entre dos valores de x es igual al área bajo la curva entre esos dos valores. Ver figura 5.3.

4. LA CURVA NORMAL ESTÁNDAR

Si en una distribución de probabilidad X, normal con media μ y desviación estándar σ, a cada valor de x se le resta la media y se divide el resultado por la desviación estándar, se obtiene una nueva variable Z.

σ μ − =x Z • Cuando x es mayor que la media, z es positivo • Cuando x es menor que la media, z es negativo • Cuando x es igual a la media, z es cero

Este puntaje Z, describe la distancia, medida en unidades σ, a que se encuentra un valor x respecto de la media. Por ejemplo, Z = -2,3 indica, por el signo -, que x se ubica a 2,3 σ por debajo de la media.

Un puntaje Z = 1,6 indica, por el signo +, que x está a 1,6 σ sobre la media.

Esta variable Z, llamada también puntaje estándar, tiene muy interesantes propiedades. • Es una variable aleatoria

• Se distribuye normalmente • Tiene media aritmética cero • Su desviación estándar es 1 • No tiene unidades

X ~ N(25; 42) Normal con media 25 y desv. St 4

x 13 17 21 25 29 33 37 % 100 ≈ Fig 5.2:

Probabilidad en la curva normal x

a b

P(a ≤ x ≤ b)

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Además, conserva las propiedades de toda curva normal: • Es simétrica respecto del cero

• El área total bajo la curva es 1.

• Prácticamente el total del área bajo la curva se halla entre z = -3 y z = 3.

5. Uso de la tabla Z 5.1. La tabla Z

El área bajo la curva normal se encuentra tabulada. Ver Tabla z en el anexo 1. La tabla es cuestión:

• Sirve para calcular el área bajo la curva desde −∞ hasta cualquier valor positivo de z. Tal como lo indica el área achurada del esquema gráfico. Por tal motivo esta tabla es denominada de “probabilidad inferior” o de “integral inferior”. Figura 5.5.

• Los valores de z se expresan con 2 decimales. • La columna z indica el valor del entero, más 1 decimal. • El segundo decimal (centésima) se busca en la primera fila.

Z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 …

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495

Por ejemplo, para calcular la probabilidad de que z ≤1,63: 1º: Se busca en la primera columna el valor 1,6.

2º: Se busca en la primera fila el valor 0,03, que corresponde al segundo decimal de 1,63. 3º: En el cruce de la fila con la columna está la probabilidad buscada.

P (z ≤1,63) = 0,9484

Nota: Para efectuar estos cálculos es conveniente trazar un esquema gráfico como el de la figura 5.6.

0 _1,₆₃ Z

Curva normal estándar (μ=0 y σ = 1) Z -3 -2 -1 0 1 2 3 Fig 5.4: 0 i z Z Fig 5.5: Fig 5.6: