Instituto Politécnico Nacional UPIITA

(1)

Matemáticas

El presente documento es una compilación de reactivos de exámenes aplicados en procesos de admisión anteriores. Se incluyen algunas respuestas.

ADVERTENCIA: Estos reactivos no comprometen en manera alguna al proceso de admisión actual, por lo que podrán presentarse nuevos y/o novedosos reactivos.

Para completar su preparación, se recomienda revisar los temarios de los cursos propedéuticos; ahí encontrará la bibliografía recomendada.

1. Resuelva las ecuaciones o desigualdades con valor absoluto. Exprese las soluciones de las desigualdades utilizando la notación de intervalos:

a) 2 1 3 2 2−  x b) 3x− 4 = x c) 3x−2+31 2. Reescriba las expresiones sin los símbolos de valor absoluto, si es posible:

a) − x4 2 −9 b) 3x3+3 c) 4 5 6 x − −

3. Resuelva las desigualdades. Exprese su respuesta utilizando notación de intervalos.

a) 9x2− x6 +10 b) x3 +2x2−4x−80 c) 0 1 2 2 −  − x x d) 0 16 1 2 2  − − a a

4. Dado que │a│<│b│↔ a2_{< b}2_{, utilice esta propiedad para resolver las siguientes desigualdades de valor}

absoluto. Exprese su respuesta utilizando la notación de intervalos. a) x−3 x−2 b) 2x+1 x+3 5. Demuestre por inducción matemática que:

a) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + 𝑛(𝑛 + 1) =𝑛(𝑛+1)(𝑛+2) 3 b) 1 2_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ ⋯ + 𝑛}2 ₌𝑛(𝑛+ 1 2)(𝑛+1) 3 c) 1 1∙2

+

1 2∙3

+

1 3∙4

+ ⋯ +

1 𝑛(𝑛+1)

=

𝑛 𝑛+1 d) 3 2n_{-1 es divisible por 8}

6. Los límites de la forma

h x f h x f lím h ) ( ) ( 0 − +

→ aparecen con mucha frecuencia. Evalúe este límite para

los siguientes valores de x y f(x):

a) f(x)= x2, x=1 b) f(x)=3x−4, x=2 c) f(x)= x, x=7

7. Dada una función f(x), así como los números L, xo y є > 0, determine un intervalo abierto alrededor de xo

en el que se cumpla la desigualdad |f(x)-L| < є. Luego de un valor de δ >0 tal que para toda x que satisface que 0 < |x-xo| < δ se cumple la desigualdad |f(x)-L|< є.

a) f(x) = x2 _{- 5, L = 11, x} o = 4, є = 1 b) f(x) = mx + b, m>0, L = m + b, xo = 1, є = 0.05 8. Sea:      +  − = 2 , 1 2 2 , 3 ) ( x x x x x f a) Represéntela gráficamente b) Determine el ( ) 2 f x lím x→ + y xlím→2− f(x).

(2)

c) ¿Existe el ( )

2 f x

lím

x→ ? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué? d) Determine el ( ) 4 x f lím x→ + y ( ) 4 x f lím x→ − . e) ¿Existe el ( ) 4 f x lím

x→ ? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

9. Sea:         =  − = 2 , 2 2 , 2 2 , 3 ) ( x x x x x x f a) Represéntela gráficamente b) Determine el ( ) 2 f x lím x→ + , xlím→2− f(x) y f(2). c) ¿Existe el

(

)

2

f

x

lím

x→ ? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué? d) Determine el ( ) 1 x f lím x→− + y ) ( 1 x f lím x→− − . e) ¿Existe el ( ) 1f x lím

x→− ? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

10. Sea:       = 0 , 1 0 , 0 ) ( x x sen x x f a) Represéntela gráficamente b) ¿Existe el ( ) 0 x f lím x→ +

? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

c) ¿Existe el ( )

0

x f lím

x→ − ? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué? d) ¿Existe el

(

)

0

f

x

lím

x→ ? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué? 11. Calcule los siguientes límites:

a) 2 1 1 + − + → _x x lím x b) h h h lím h 5 5 4 2 0 − + + + → c) ₂ 2 ) 3 ( 2 + + + + − → _x x x lím x d) ₂ 2 ) 3 ( 2 + + + − − → _x x x lím x e)

1 )

1 (

2

1

−

+ →

_x

x

lím

x f)

1 )

1 (

2

1

−

− →

_x

x

lím

x g)

t

senkt

lím

t→0 (k constante) h)

_sen

_h

h

lím

h→0−

3

i)

x

lím

x

2 tan

0 → j)

_x

x

lím

x

_cos

₅

csc

0 → k) _senx _x x x x lím x _cos cos 0 + → l)



_cot

₃

tan

2 0 →

lím

(3)

12. Sea             + − =     − − = 3 2 , 0 2 1 , 4 2 1 , 1 1 0 , 2 0 1 , 1 ) ( 2 x x x x x x x x x f a) Represéntala gráficamente. b) ¿Existe f(-1)? c) ¿Existe ( ) 1 f x lím x→−+ ? d) ¿ ( ) ( 1) 1+ = − − → f x f lím x ? e) La función es continua en x = -1? f) ¿Existe f(1)? g) ¿Existe

(

)

1

f

x

lím

x→ ? h) ¿ ( ) (1) 1 f x f lím x→ = ? i) La función es continua en x = 1?

j) ¿Está definida f en x = 2? ¿f es continua en x = 2? k) ¿En qué valores de f la función f es continua?

l) ¿Qué valor debe asignarse a f(2) para hacer que la función extendida sea continua en x = 2? m) ¿A qué nuevo valor debe cambiarse f(1) para eliminar la discontinuidad?

13. ¿En que puntos las funciones siguientes son continuas?

a)

₍

₎

4 2 1 2 + + = x y b) 10 3 3 2− − + = x x x y c)

x

y

=

cos

d)

1 tan

2

+

=

x

y

e)

y

=

2 +

x

3

f)     =  − − − = 3 , 5 3 , 3 6 ) ( 2 x x x x x x g

14. ¿Para qué valores de a

     − = 3 , 2 3 , 1 ) ( 2 x ax x x x

f es continua para toda x?

15. ¿Para qué valores de b

   −  −  = 2 , 2 , ) ( ₂ x bx x x x

16. ¿Para qué valores de a

     − = 2 , 12 2 , 2 ) ( 2 x x a x a x

17. ¿Para qué valores de b

     +  + − = 0 , 0 , 1 ) ( 2 x b x x b b x x

g es continua para toda x?

(4)

a) 2 −3  → _x lím x b)

2 (

1 /

)

1 x

lím

x→−

+

c)

_x

x

sen

lím

x

2

 → d)

_t

sent

t

lím

x

_cos

2 +

+

−

 → e)

7

2

2 3 3

+

−

+

 →

_x

x

lím

x f)

₂

7

3

2

−

+

− →

_x

x

lím

x g) 6 4 5

31

10 x

x

lím

x

+

→ h) _x _x _x x x lím x 3 3 5 3 2 2 2 3 3 − + + − −  → i) x x x lím x + −  → 2 2 2 3 8 j) 5 2 3 7 1       + − − → _x _x x lím x k)

3

7

2

1

−

+

−  →

_x

x

lím

x l) 3 5 5 3 x x x x lím x + − − → m) x x x x x lím x + + + − → ₃ 7 2 5 8 3 1 3 5 n) 1 1 2 + +  → _x x lím x ñ)

₄

₂₅

3

2

+

−

 →

_x

x

lím

x o)

₉

3

4

6 3

+

−

− →

_x

x

lím

x p)

x

lím

x

3

1

0+ → q)

₃

1

3+

−

→

_x

lím

x r) 0 15

2 x

lím

x→ + s) 0 15

2 x

lím

x→ − t) 0 25

4 x

lím

x→ − 19. Determine 4 1 2− x lím cuando: a) x→12+ _{b) x→2}- _{c) x→-2}+ _{d) x→-2}+ 20. Determine 1 2 − x x lím cuando: a) x→1+ _{b) x→1}- _{c) x→-1}+ _{d) x→-1}+ 21. Determine ₃ ₂ 2 2 2 3 x x x x lím − + − cuando: a) x→0+ _{b) x→2}- _{c) x→2}+ _{d) x→2} 22. Determine x x x x lím 4 2 3 3 2 − + − cuando: a) x→2+ _{b) x→-2}+ _{c) x→0}- _{d) x→1}+ 23. Para la función 4 8 2 ) ( ₂ 2 − − + = x x x x

f , determinar: Dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipos de discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales.

24. Sea la función ₃ ₂ 2 3 3 ) ( x x x x x f − +

= . Encontrar el dominio y las raíces; clasificar sus discontinuidades; encontrar sus asíntotas verticales y horizontales.

25. Para la curva 3 2 6 7 2 2 2 − + + + = x x x x

y , obtener: Dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipos de discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales.

26. Hallar las derivadas de las funciones a) 𝑠 = 4 3𝜋𝑠𝑒𝑛 3𝑡 + 4 5𝜋cos 5𝑡 b) 𝑟 = (csc 𝜃 + 𝑐𝑜𝑡 𝜃) −1 _{c) 𝑦 = 𝑥}2 _𝑠𝑒𝑛4 _{𝑥 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠}−2_𝑥 d) 𝑦 = 1 21(3𝑥 − 2) 7_{+ (4 −} 1 2𝑥2) −1 e) 𝑦 = (4𝑥 + 3)4(𝑥 + 1)−3 _f) ℎ(𝑥) = 𝑥 tan(2√𝑥) + 7 g) 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃2_{)𝑐𝑜𝑠(2𝜃)} _{h) 𝑞 = 𝑠𝑒𝑛 (} 1 √𝑡 +1) i) 𝑦 = 𝑥(𝑥 2_{+ 1)}1 2⁄

(5)

27. Halla 𝑑𝑦 𝑑𝑡 a) 𝑦 = (1 + cos 2𝑡)−4 b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑐𝑜𝑠(2𝑡 − 5)) c) 𝑦 = (1 + 𝑡𝑎𝑛4(𝑡 12)) 3 d) 𝑦 = √1 + 𝑐𝑜𝑠(𝑡2₎ _{e) 𝑠 = √𝑡}7 2 f) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 [(2𝑡 + 5)−2 3⁄ _{] g) y = ln(t}2₎

h) y = t(lnt)2 _{i) y = ln(lnx)} _{j) y=lnx/(1+lnx)} _{j) y = θ(sen(ln θ) + cos(ln θ))}

k) y=ln1/(x(x+1)1/2₎ _l)_{𝑓(𝑥) = √1 − √𝑥} m) ℎ(𝜃) = √1 + cos(2𝜃)3 28. Halla 𝑦". (a) 𝑦 = (1 +1 𝑥) 3 (b) 𝑦 =1 9 𝑐𝑜𝑡(3𝑥 − 1)

29. Halla el valor o valores de 𝑐 que satisfacen la ecuación 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

𝑏−𝑎 = 𝑓´(𝑐) en la conclusión del teorema

del valor medio para las funciones e intervalos de los siguientes ejercicios. a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 2𝑥 − 1, [0,1] b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥, [ 1 2, 2]

30. ¿Para qué valores de 𝑎, 𝑚 y 𝑏 la función 𝑓(𝑥) = {

3, 𝑥 = 0 −𝑥2_{+ 3𝑥 + 𝑎, 0 < 𝑥 < 1}

𝑚𝑥 + 𝑏, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2

satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,2]? 31. Usa la regla de l`Hôpital para hallar los límites de los siguientes ejercicios:

a) 1 cos 8 2 0 − → _x x lím x b) _cos(₂ ₎ 2 2       − − → lím c)     ₁ _cos₂ 1 2 + − → sen lím d) ) ln(sec 2 0 _x x lím x→ e) sent t t t lím t − − → ) cos 1 ( 0 f) 2 1 22 0 − → x x x lím g) x x x lím x ln ) 2 ln( 2 0 + + → h) _y ax a ay lím y 2 2 0 − + → , a>0. i) ln( ln( 1)) 0+ − + → x x lím x j)       ₋ − + → _x _x lím x ln 1 1 1 1 k) 1 1 cos 0 − − − →     _e lím l) t e t e lím _t t t − +  → 2

32. Desarrolle las siguientes funciones en serie de Taylor alrededor de x=0: a) 1/(1-x) b) senx c) cosx d) ln(1-x)